一种保证刀具轨迹整体G2连续的曲线拟合方法

摘要

本发明属于计算机辅助制造及数控加工领域，具体涉及一种保证刀具轨迹整体G2连续的曲线拟合方法，首先根据离散刀具轨迹分段建立拟合曲线，其次进行样条筛选，确定需要桥接处理的样条，然后截断参与桥接处理的样条，最后在两个截断点间建立一条具有五个控制点的B样条作为桥接曲线c(t)，控制桥接曲线c(t)与给定数据点Q的数据点误差，保证桥接曲线满足加工误差，以及通过控制桥接曲线的保型约束条件，得到满足光顺性要求的桥接曲线，最终建立整体G2连续且满足加工误差要求和光顺性要求的曲线。通过本发明，能保证样条拼接处G2连续，构造整体G2连续的样条曲线，使得数控加工产品具有更高的精度以及更好的加工质量。

说明书

技术领域

本发明属于计算机辅助制造及数控加工领域，更具体地，涉及一种保证刀具轨迹整体G2连续的曲线拟合方法。

背景技术

在计算机辅助制造及数控加工领域中，首先通过CAD/CAM系统，根据待加工曲面计算刀具轨迹，然后经过后置处理将刀具轨迹转换为程序代码，最后将相应的G代码传输给CNC系统。现有的刀具轨迹通常用小线段来表达，这种加工模式存在以下缺点：(1)刀具轨迹由大量数据点组成，存储量大；(2)刀具轨迹只具有G0连续性，系统频繁地加减速，容易引起机床振动，降低加工效率，加快刀具磨损；(3)刀具轨迹光顺性差，零件轮廓加工精度和表面质量差。G2连续的刀具轨迹可以避免速度、加速度的突变，减少加工过程的震荡与冲击，提高表面加工质量，因此为了使数控加工产品具有更高的精度和更好的加工质量，提高加工效率，刀具轨迹应当具备较高的几何连续性。几何连续性的定义为：①G0连续，即两段曲线连接于同一点；②G1连续，即两段曲线在连接处的切线方向相同；③G2连续，即两段曲线在连接处的曲率矢量相同。

离散刀具轨迹可以用样条曲线表示。表示离散刀具轨迹的数据点包含加工特征点，加工特征点指能够反映刀具轨迹特性且不能更改的点，因此在样条拟合之前，需要先识别特征点，为了提高拟合算法的效率，然后将两个相邻特征点之间的离散数据点分成一系列的小区间，最后对数据点分区拟合(Yan CY,Lee CH,Yang JZ.Three-axis tool-path b-Spline fitting based on preprocessing,least square approximation and energyminimization and its quality evaluation.Modern Machinery(MM)Science Journal2012)。目前，用样条曲线拟合离散刀具轨迹的方法已经较为成熟，拟合得到的样条曲线可以达到G2甚至更高的连续性。因此通过上述流程，可以分区得到多条G2连续的样条曲线，但其相邻样条曲线之间仅仅是G1连续，最终得到的样条曲线整体G2不连续。

经对现有技术的文献检索，发现了两类解决方法。一种方法是先不考虑误差约束和保型约束，加入端点G2连续约束，分段构造G2连续的Bezier插值曲线，然后再针对误差超出和不保型的地方，插入桥接曲线，从而得到满足误差约束和保型约束的整体G2连续的Bezier曲线(Fan W,Lee C H,Chen,J H,et al.Real-time Bezier interpolationsatisfying chord error constraint for CNC tool path.Sci.China Technol.Sci.(2016)59:203)，该方法采用的是插值方法，控制点较多，存储量和计算量较大。另一种方法是先不考虑端点处的连续性，将离散数据点分段拟合成满足误差要求的Bezier曲线，再用另一条Bezier曲线做桥接处理，保证局部G2连续，从而实现样条整体G2连续(赵晟，毕庆贞，王宇晗等.基于G2连续Bezier曲线的刀具轨迹压缩算法[J].上海交通大学学报,2014,48(5))，该方法的桥接曲线均采用中间两个控制点重合的三次Bezier曲线，只适合样条拼接处曲率为0的情况，应用比较局限。

由于存在上述缺陷和不足，本领域亟需做出进一步的完善和改进，设计一种曲线拟合方法，得到一条控制点较少，刀具轨迹整体G2连续，满足加工误差要求和光顺性要求的曲线，且该计算方法简单、且适用各种条件。

发明内容

针对现有技术的以上缺陷或改进需求，本发明提供了一种保证刀具轨迹整体G2连续的曲线拟合方法，通过对离散刀具轨迹分段拟合，得到多条满足加工误差要求和光顺性要求的B样条曲线，并在样条之间进行桥接处理，插入新的B样条，使插入的B样条与前后的B样条保持G2连续，且满足加工误差要求和光顺性要求，从而得到一条整体G2连续且满足加工误差要求和光顺性要求的曲线。

为实现上述目的，按照本发明的一个方面，提供了一种保证刀具轨迹整体G2连续的曲线拟合方法，其特征在于，具体包括以下步骤：

(1)根据离散刀具轨迹，识别特征点，并将每相邻的两个特征点之间的离散数据点分成若干个小区间，分段建立B样条曲线；

(2)筛选样条，确定需要桥接处理的样条；以特征点分段的样条曲线和数据点个数小于阈值N_num的样条曲线，不做桥接处理；

(3)截断参与桥接处理的样条c₁(w)，c₂(u)，得到截断点P₀,P₄，并计算截断点处的切矢T₁，T₂、法矢N₁，N₂和曲率k₁，k₂；

(4)计算桥接曲线的误差，构造目标函数；

(5)根据G2连续条件，计算中间三个控制点P₁，P₂,P₃；

(6)计算桥接曲线的保型条件，并转换为不等式约束，将目标函数的优化问题转换为带约束的优化问题；

(7)根据桥接曲线保型条件，计算目标函数的优化初始解；

(8)利用步骤(7)优化初始解和NLOPT优化库，求解目标函数；得到解后，代入步骤(5)中控制点的表达式，计算控制点。

进一步优选地，所述步骤(3)具体为：

S31.在参与桥接的样条c₁(w)，c₂(u)对应的数据点集{Qw_i}，{Qu_i}中找出与给定数据点Q最近的两个数据点Q₁,Q₂；

S32.找出数据点Q₁,Q₂中距离Q较近的一点，保证该数据点不变，根据最近距离更新另一个数据点；

S33.将更新后的两个数据点Q₁,Q₂分别向对应的B样条投影，得到的投影点即为截断点P₀，P₄；

S34.计算数据点Q₁,Q₂到截断点P₀,P₄的距离，若小于加工误差，转S35；若大于加工误差，则重新选择截断点；

S35.计算样条截断点和相邻节点间的距离，若距离过近，则用节点代替截断点，更新截断点P₀,P₄。

S36.计算截断点处的切矢T₁，T₂、法矢N₁，N₂和曲率k₁，k₂。

优选地，由于无法直接控制桥接曲线的误差，所以将问题转化为桥接曲线到给定数据点的误差。优选地，本专利截断时保证截断点到给定数据点的距离近似相等，且桥接曲线较短，过渡较为平缓，可以认为在c(0.5)处数据点误差最大，因此可以通过控制c(0.5)到给定数据点的误差从而控制桥接曲线的误差。

所述步骤(4)具体为：

设中间三个控制点为P₁，P₂，P₃，具有k+1重端节点的k次非均匀B样条曲线c(t)，若节点矢量u取为[0，0，0，0，0.5，1，1，1，1]，经推导可得

得到目标函数

F＝[4c(0.5)-4Q]²-16δ^2＝(P₁+2P₂+P₃-4Q)²-16δ²。

优选地，所述步骤(5)具体为：

在连接处要求G2连续，则必定G0和G1连续，截断点P₀，P₄即为首尾控制点；根据G1连续，令P₀P₁＝αT₁，P₃P₄＝βT₂(α，β未知)；

对于一条五个控制点的B样条c(t)

根据G2连续，主法矢的方向相同

主法矢

则P₀，P₁，P₂在N₁和T₁决定的平面上，P₀P₂可用T₁和N₁表示

P₀P₂＝t₁T₁+n₁N₁(t₁，n₁未知)

根据G2连续，曲率大小相等，则

则

可得：

因此

P₀P₂＝t₁T₁+n₁N₁＝3α²k₁N₁+t₁T₁(α，t₁未知)

同理可得：n₂＝-3β²k₂

P₂P₄＝t₂T₂+n₂N₂＝-3k₂β²N₂+t₂T₂(β，t₂未知)

下面计算P₂的表达式。令B₁＝T₁×N₁，B₂＝T₂×N₂，根据B₁×B₂的结果判断首尾切矢和法矢组成的平面是否共面，若B₁×B₂≠0表示首尾切矢和法矢组成的平面不共面，若B₁×B₂＝0表示首尾切矢和法矢组成的平面共面。

优选地，若B₁×B₂≠0表示首尾切矢和法矢组成的平面不共面，则：

S511.根据P₂在T₁,N₁组成的平面和T₂,N₂组成的平面的交线上,且P₂在距离直线P₀P₁为3k₁α²的直线上，用T₁和N₁表示P₂；

S512.根据P₂在T₁,N₁组成的平面和T₂,N₂组成的平面的交线上，且P₂在距离直线P₃P₄为3k₂β²的直线上，用T₂和N₂表示P₂；

S513.根据S511和S512分别求出的P₂表达式，计算参数α和β的关系式；

S514.利用参数α表示中间三个控制点P₁，P₂，P₃。

优选地，当B₁×B₂＝0时表示首尾切矢和法矢组成的平面共面，此时：

此时T₁,N₁组成的平面和T₂,N₂组成的平面属于一个平面，两平面的交线不复存在。因此引入一个新的直线，通过P₂且垂直于P₀P₄的直线，记垂足为Q^*，设P₀Q^*＝tP₀P₄，然后采用与不共面类似的方法推导，具体方法如下：

S521.根据P₂在距离直线P₀P₁为3k₁α²的直线上，同时P₂在过Q^*且垂直P₀P₄的直线上，将P₂用T₁，N₁和P₀Q^*表示；

S522.根据P₂在距离直线P₃P₄为3k₂β²的直线上，同时P₂在过Q^*且垂直P₀P₄的直线上，将P₂用T₂，N₂和Q^*P₄表示；

S523.根据S521和S522分别求出的P₂表达式，计算参数α，β和t的关系式；

S524.利用参数α和t表示中间三个控制点P₁，P₂，P₃。

优选地，所述步骤(7)具体为：

S71.如果B₁×B₂≠0时，求解步骤(6)中保型不等式，将其解作为目标函数优化的初始解；否则进入S72；

S72.如果B₁×B₂＝0，桥接曲线的保型问题等价为，使P₂限制在三角形ΔPP₁P₃内部，计算使P₂限制在三角形ΔPP₁P₃内部的充要条件，其中P是P₀P₁所在直线和P₃P₄所在直线的交点；

S73.求解S72中的不等式组，得共面情况下目标函数优化的初始解。

总体而言，通过本发明所构思的以上技术方案与现有技术相比，具有以下优点和有益效果：

(1)本专利首先通过对离散刀具采用B样条分段拟合，再针对分段处利用五个控制点的B样条作为桥接曲线，能有效地减少控制点数目；

(2)本专利充分考虑到桥接处的各种可能情况，比如首尾切矢和法矢共面和不共面的情况，桥接处曲率为0，经过分类处理，保证该方法不仅适用于平面桥接，也适合空间桥接，能处理桥接处曲率任意的情况；

(3)本专利通过控制桥接曲线c(t)与给定数据点Q的数据点误差，保证桥接曲线满足加工误差要求；

(4)本专利通过控制桥接曲线的保型约束条件，即桥接曲线无多余的拐点，无自相交，得到满足光顺性要求的桥接曲线。

附图说明

图1为G2桥接过程示意图；

图2为具有四个控制点的桥接曲线示意图；

图3为截断策略示意图；

图4为首尾截断点处切矢和法矢组成的平面不共面示意图；

图5为首尾截断点处切矢和法矢组成的平面共面示意图；

图6为首尾截断点处切矢和法矢组成的平面共面时，保型约束示意图。

具体实施方式

为了使本发明的目的、技术方案及优点更加清楚明白，以下结合附图及实施例，对本发明进行进一步详细说明。应当理解，此处所描述的具体实施例仅仅用以解释本发明，并不用于限定本发明。此外，下面所描述的本发明各个实施方式中所涉及到的技术特征只要彼此之间未构成冲突就可以相互组合。

本发明通过对离散刀具轨迹分段拟合，得到多条满足加工误差要求和光顺性要求的B样条曲线，并在样条之间进行桥接处理，如图1所示，插入新的B样条，使插入的B样条与前后的B样条保持G2连续，且满足加工误差要求和光顺性要求，从而得到一条整体G2连续且满足加工误差要求和光顺性要求的曲线。

首先根据离散刀具轨迹分段建立拟合曲线，其次进行样条筛选，确定需要桥接处理的样条曲线，然后截断参与桥接处理的样条，最后根据G2连续条件，在两个截断点间建立一条B样条作为桥接曲线c(t)，并通过控制控制桥接曲线c(t)与给定数据点Q的数据点误差，保证桥接曲线满足加工误差，以及通过控制桥接曲线的保型约束条件，即桥接曲线无多余的拐点，无自相交，得到满足光顺性要求的桥接曲线，最终建立整体G2连续且满足加工误差要求和光顺性要求的曲线。

本发明采用具有五个控制点的B样条作为桥接曲线。若采用具有四个控制点的B样条作为桥接曲线，如图2所示，为了保证连接处G2连续，则控制点P₀，P₁，P₂在T₁，N₁决定的平面上，P₁，P₂，P₃在T₂，N₂决定的平面上，故P₁，P₂在两平面的交线上，又因为T₁，T₂方向确定，则P₁，P₂在交线上的位置确定，最后得到的样条不能保证满足加工误差和光顺性要求。而采用具有五个控制点的B样条作为桥接曲线，既可以满足G2连续要求，又可以控制加工误差和光顺性，且控制点无冗余。

为更好地解释本发明，以下给出一个具体实施例：

本发明提供了一种保证刀具轨迹整体G2连续的曲线拟合方法，包括以下步骤：

(1)建立B样条曲线；

根据离散刀具轨迹，首先识别特征点，然后将每相邻的两个特征点之间的离散数据点分成若干个小区间，最后分段建立B样条曲线。本发明对B样条分段拟合不作过多叙述，具体细节可参考He S,et al.A chord error conforming tool path B-spline fittingmethod for NC machining based on energy minimization and LSPIA.Journal ofComputational Design and Engineering(2015)。

(2)筛选样条，确定需要桥接处理的样条

并非所有的样条都适合做G2桥接。由于特征点是不能更改的点，因此以特征点分段的样条曲线不做桥接处理；此外，当样条的数据点个数过少时，G2桥接就没有太大意义，在本发明中，优先地，当数据点个数少于7时，放弃桥接处理。

(3)截断参与桥接的样条c₁(w)，c₂(u)，得到截断点P₀，P₄，并计算截断

处的切矢T₁，T₂，法矢N₁，N₂和曲率k₁，k₂

G2桥接是在两条G1连接的B样条之间进行，拼接处是两个G01区间的公共数据点。如图3所示，若截断点越靠近公共数据点，则桥接生成的样条较短，误差越容易满足，且不易出现波动打折。

截断的具体步骤如下：

S31.在参与桥接的样条c₁(w)，c₂(u)对应的数据点集{Qw_i}，{Qu_i}中找出与给定数据点Q最近的两个数据点Q₁,Q₂；

S32.找出数据点Q₁,Q₂中距离Q较近的一点，保证该数据点不变，根据最近距离更新另一个数据点；

S33.将更新后的两个数据点Q₁,Q₂分别向对应的B样条投影，得到的投影点即为截断点P₀，P₄；

S34.计算数据点Q₁,Q₂到截断点P₀,P₄的距离，若小于加工误差，转S25；若大于加工误差，则重新选择截断点，新的截断点为原始截断点P₀,P₄到数据点Q的那一段B样条上的中点；

S35.计算第一条样条上的截断点和前一个相邻节点的距离，第二条样条上的截断点和后一个相邻节点的距离，若距离小于10^-6，则用该节点代替截断点，更新截断点；否则选取该截断点。

截断处的切矢、法矢和曲率计算公式如下：

(4)构造目标函数

由于无法直接控制桥接曲线的误差，所以将问题转化为桥接曲线到给定数据点的误差。由于截断时保证截断点到给定数据点的距离近似相等，且桥接曲线较短，过渡较为平缓，可以认为在c(0.5)处数据点误差最大，因此可以通过控制c(0.5)到给定数据点的距离从而控制加工误差。

设中间三个控制点为P₁，P₂，P₃，经推导

目标函数

F＝[4c(0.5)-4Q]²-16δ^2＝(P₁+2P₂+P₃-4Q)²-16δ²

(5)计算中间三个控制点P₁，P₂，P₃

本发明根据截断点首尾切矢和法矢组成的平面是否共面分类讨论，其中根据B₁×B₂的结果判断首尾切矢和法矢组成的平面是否共面，若B₁×B₂≠0表示首尾切矢和法矢组成的平面不共面，若B₁×B₂≠0表示首尾切矢和法矢组成的平面共面。

S51.若B₁×B₂≠0

如图4所示，根据G2连续条件，可推论出P₀，P₁，P₂在T₁，N₁组成的平面上，P₂，P₃，P₄在T₂，N₂组成的平面上，则P₂在两个平面的交线L₃上。同时P₂在距离直线P₀P₁为3k₁α²的直线L₁上，同时在距离直线P₃P₄为3k₂β²的直线L₂上，故P₂是三条直线L₁，L₂，L₃的交点。具体步骤如下：

S511.根据P₂在T₁,N₁组成的平面和T₂,N₂组成的平面的交线上,且P₂在距离直线P₀P₁为3k₁α²的直线上，用T₁和N₁表示P₂；

S512根据P₂在T₁,N₁组成的平面和T₂,N₂组成的平面的交线上，且P₂在距离直线P₃P₄为3k₂β²的直线上，用T₂和N₂表示P₂；

S513.根据S511和S512分别求出的P₂表达式，计算参数α，β的关系式:

若k₂≠0，对S511和S512中分别求出的P₂表达式两边同时和T₂作外积，再和T₁作内积，得到参数α和β的表达式β²＝Aα²+B；

若k₂＝0且k₁≠0，对S511和S512中分别求出的P₂表达式两边同时和T₁作外积，再和T₂作内积，得到参数α和β的表达式α²＝C；

若k₁＝0且k₂＝0，五个控制点P₀，P₁，P₂，P₃，P₄在一个平面上，且P₀，P₁，P₂在一条直线上，P₂,P₃,P₄在一条直线上，参数α和β无关系；

S514.利用参数α表示中间三个控制点P₁，P₂，P₃。

P₁＝P₀+αT₁

P₃＝P₄-βT₂

S52.若B₁×B₂＝0

如图5所示，此时T₁,N₁组成的平面和T₂,N₂组成的平面属于一个平面，两平面的交线不复存在。因此引入一个新的直线，通过P₂且垂直于P₀P₄的直线，记垂足为Q^*，设P₀Q^*＝tP₀P₄，然后采用S51中类似的方法推导，具体步骤如下：

S521.根据P₂在距离直线P₀P₁为3k₁α²的直线上，同时P₂在过Q^*且垂直P₀P₄的直线上，将P₂用T₁，N₁和P₀Q^*表示；

S522.根据P₂在距离直线P₃P₄为3k₂β²的直线上，同时P₂在过Q^*且垂直P₀P₄的直线上，将P₂用T₂，N₂和Q^*P₄表示；

S523.根据S521和S522分别求出的P₂表达式，计算参数α，β和t的关系式

若k₂≠0，对S521和S522中分别求出的P₂表达式两边同时两边同时点乘N₂，得到参数α和β的表达式

若k₂＝0且k₁≠0，对S521和S522中分别求出的P₂表达式两边同时点乘N₁，得到参数α和β的表达式

若k₁＝0且k₂＝0，五个控制点P₀，P₁，P₂,P₃，P₄在一个平面上，且P₀，P₁，P₂在一条直线上，P₂，P₃，P₄在一条直线上，参数α和β无关系；

S524.利用参数α表示中间三个控制点P₁，P₂，P₃。

P₁＝P₀+αT₁

P₃＝P₄-βT₂

将P₁，P₂，P₃表达式代入步骤(3)中目标函数的表达式中，可将目标函数表示成与α，β，t相关的函数，因此可以通过求解目标函数，确定α，β，t等参数，从而确定中间三个控制点P₁，P₂，P₃。

(6)将目标函数的优化问题转换为带约束的优化问题

得到的桥接曲线不仅要满足加工误差要求，还要满足光顺性要求。本发明中，通过控制保型条件来控制桥接曲线的光顺性，为了满足上述要求，本发明将保型约束转换为不等式约束，将目标函数的优化问题转换为带约束的优化问题。

保型条件：

P₁P₂·P₀P₄≥0

P₂P₃·P₀P₄≥0

(T₁×N₁)·(P₁P₂×P₂P₃)≥0

(T₂×N₂)·(P₁P₂×P₂P₃)≥0

本发明根据截断处首尾切矢和法矢组成的平面是否共面，分情况讨论约束转换问题，具体如下：

S61.B₁×B₂≠0，保型不等式约束可统一表示为：

X₀α³+X₁α²+X₂α²β+X₃αβ+X₄α+X₅β+X₆≥0

其中，X₀，X₁，X₂，X₃，X₄，X₅，X₆为常数

S62.B₁×B₂＝0，保型不等式约束可统一表示为：

X₀α³+X₁α²+X₂α²β+X₃αβ+X₄α+X₅tβ+X₆t+X₇+X₈β≥0

其中，X₀，X₁，X₂，X₃，X₄，X₅，X₆，X₇，X₈为常数

(7)计算目标函数的优化初始解

将(5)中P₁，P₂，P₃表达式代入步骤(4)中目标函数的表达式中，可将目标函数表示成与α，β，t相关的函数，根据目标函数的形式，可以分为以下5类：

1)B₁×B₂≠0且k₁≠0且k₂≠0

2)B₁×B₂≠0且k₁＝0且k₂≠0

目标函数为：

F(α)＝α²+b₁α+c₁

B₁×B₂≠0且k₁≠0且k₂＝0

目标函数为：

F(β)＝β²+b₂β+c₂

3)k₁＝0&&k₂＝0(B₁×B₂≠0和B₁×B₂＝0)

F(α，β)＝α²+β²+Aαβ+Bα+Cβ+P²-16δ²

4)B₁×B₂=0且k₂≠0

5)B₁×B₂=0且k₁≠0&&k₂=0

其中A^*,B^*,C^*,D^*,A^**,B^**,C^**,D^**,A,B,C,b₁,b₂,c₁,c₂,D₁，D₂，C均为常量

除2)可以直接求解，其他四种情况均需要计算目标函数优化的初始解。本发明中，根据桥接曲线保型条件求初始解，具体步骤如下：

S71.如果B₁×B₂≠0时，由于步骤(6)中S51的保型不等式的后两个不等式求解较为复杂，本发明中，只求解保型不等式的前两个不等式，通过求解参数关系式Aα²+B＞0和保型不等式的前两个不等式共同确定初始解；

S72.如果B₁×B₂＝0，桥接曲线的保型问题可以等价为，使P₂限制在三角形ΔPP₁P₃内部，其中P是P₀P₁所在直线和P₃P₄所在直线的交点；

如图6所示，若P₂在ΔPP₁P₃内，则P₁P₂可由P₁P和P₁P₃表示

设P₁P₂＝w₁P₁P+w₂P₁P₃

且满足0＜w₁＜1，0＜w₂＜1，w₁+w₂≤1

其中

若要保型，则需满足

通过求解上述不等式组，可求得共面情况下的优化初始解。

(8)求解优化问题

利用步骤(7)的初始解和NLOPT优化库，求解目标函数。

得到解后，根据步骤(4)中控制点的表达式，就可以算出控制点，从而得到满足误差要求和光顺性要求的桥接曲线，且桥接曲线在连接处G2连续。

本领域的技术人员容易理解，以上所述仅为本发明的较佳实施例而已，并不用以限制本发明，凡在本发明的精神和原则之内所作的任何修改、等同替换和改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。