基于分数阶幂次趋近律的终端滑模机械臂轨迹跟踪方法

摘要

本发明公开了一种基于分数阶幂次趋近律的终端滑模机械臂轨迹跟踪方法，通过设计对不确定上界的自适应率和分数阶幂次趋近的切换控制，使系统状态更快的收敛到滑模面上，再通过非奇异快速终端滑模面的滑模特性，使系统状态在有限时间内更快的收敛到平衡点，即跟踪误差收敛到0，从而实现对期望关节角轨迹的跟踪。

说明书

技术领域

本发明属于六自由度机器臂轨迹跟踪技术领域，更为具体地讲，涉及一种基于分数阶幂次趋近律的终端滑模机械臂轨迹跟踪方法。

背景技术

随着控制理论及机械技术的发展，机械臂在工业领域得到了越来越广泛的应用。但是机械臂系统是一个复杂的非线性模型，同时由于模型参数不可能准确的测量从而造成建模失配，所以精确建立一个机械臂模型是非常困难的，而且在实际控制中模型会受到外界未知干扰的影响。而现在在工业领域，机械手在执行复杂任务时，轨迹跟踪的高精度是主要关心的内容。所以机械臂的运动控制已经成为一个重要的研究领域，并且出现了各种各样的控制方法。

滑模控制的能够克服系统的不确定性，对干扰和未建模动态具有很强的鲁棒性，尤其是对非线性系统具有良好的控制效果，从而在机器人控制领域得到了广泛的应用。但由于在控制过程中频繁切换控制结构，使控制器的输出出现较大的抖振现象，导致系统不能达到理想滑动模态。基于抖振问题，已有很多先进的方法被提出，例如，边界层法、滑模区域法、趋近率法等，其均能从一定程度上克服或减少抖振，但均以花费更长的响应时间或是跟踪误差较大为代价的。对于高精度要求的多连杆机械臂系统中，响应时间的长短，跟踪误差的大小均是其不可忽略的性能指标。

发明内容

本发明的目的在于克服现有技术的不足，提供一种基于分数阶幂次趋近律的终端滑模机械臂轨迹跟踪方法，在切换控制中设计分数阶幂次趋近律的滑模控制，能有效降低控制器的抖震，同时可以更快的在有限时间内跟踪到期望关节角轨迹。

为实现上述发明目的，本发明一种基于分数阶幂次趋近律的终端滑模机械臂轨迹跟踪方法，其特征在于，包括以下步骤：

(1)、设期望的六自由度机械臂末端位姿信息为P，P∈R^4×4为齐次变换矩阵，由机械臂逆运动学将末端位姿信息P解算为各个关节的期望关节角q_d，q_d∈R⁶且q_d＝[q_d1,q_d2,...,q_d6]^T，R⁶表示6维的实数；

(2)、建立六自由度机械臂的动力学模型：

其中，分别代表六个关节角的角度，角速度和角加速度，M(q)＝M₀(q)+ΔM(q)∈R^6×6为正定惯性矩阵，为科里奥利矩阵，G(q)＝G₀(q)+ΔG(q)∈R⁶为重力矩阵，为标称值，为系统误差项，τ,τ_d∈R⁶分别为驱动力矩和干扰力矩；

设六自由度机械臂的动力学模型的实际关节角输出为q，则关节角的角度跟踪误差为：e＝q-q_d；

比较角度跟踪误差e与预设阈值ζ的大小，如果e＜ζ，则运行结束，否则进入步骤(3)；

(3)、根据角度跟踪误差e设计线性滑模面s和非奇异快速终端滑模面σ

(3.1)、线性滑模面s为：

其中，为e的一阶导，β＝diag(β₁₁,β₁₂,...,β_1n)，diag(·)表示对角矩阵，β₁₁,β₁₂,...,β_1n为对角矩阵中的元素；

(3.2)、非奇异快速终端滑模面σ为：

其中，γ₁＝diag(γ₁₁,γ₁₂,...,γ_1n)，γ₂＝diag(γ₂₁,γ₂₂,...,γ_2n)，p₁,p₂为正的奇数且有1＜p₁/p₂＜2，p₀＞p₁/p₂，为s的一阶导；

(4)、根据线性滑模面s和非奇异快速终端滑模面σ设计等效控制器u₀对非奇异快速终端滑模面σ求一阶导，得：

令得到等效控制器u₀：

其中，为u₀的一阶导；

(5)、设计基于分数阶符号函数的幂次趋近律的切换控制器u₁

其中，为u₁的一阶导，为正定对角阵，||·||为欧几里得范数，|·|表示绝对值，α为幂次趋近律的幂次，sgn(·)为符号函数，为分数阶阶次为a的符号函数，且有0≤a＜1，为自适应参数，实现对系统误差和外界干扰上界的估计；

(6)、将等效控制器和切换控制器相加并积分，得到最终的控制器τ；

(7)、在控制器τ的控制下，六自由度机械臂的动力学模型输出实际的关节角q^*，再利用q^*替代假设的q，并返回步骤(2)，完成机械臂轨迹跟踪。

本发明的发明目的是这样实现的：

本发明一种基于分数阶幂次趋近律的终端滑模机械臂轨迹跟踪方法，通过设计对不确定上界的自适应率和分数阶幂次趋近的切换控制，使系统状态更快的收敛到滑模面上，再通过非奇异快速终端滑模面的滑模特性，使系统状态在有限时间内更快的收敛到平衡点，即跟踪误差收敛到0，从而实现对期望关节角轨迹的跟踪。

同时，本发明一种基于分数阶幂次趋近律的终端滑模机械臂轨迹跟踪方法还具有以下有益效果：

(1)、针对抖振现象，本发明采用积分器对控制器的输出进行积分，将不连续的控制信号转化为连续信号，从而有效减小了控制的抖震；

(2)、本发明对滑模控制算法进行了改进，设计一个分数阶滑模控制算法，在切换控制中引入了分数阶幂次趋近律，加快了向滑模面的趋近速度，提高了效率；其次，引入分数阶次扩大了系统的性能调节范围，具有更好的适应性；

(3)、本发明针对被控机械臂系统的建模失配和外界干扰，引入了自适应法则，对系统的不确定性上界进行估计，从而有效解决了在没有先验知识的前提下，对不确定性的抑制问题，提高了系统的鲁棒性；

(4)、本发明采用了非奇异快速终端滑模面，能够有效避免滑模面的奇异问题，而且能够保证系统状态可以在有限时间内快速的收敛到平衡点，即跟踪误差为0，实现机械臂关节角的精确跟踪。

附图说明

图1是本发明基于分数阶幂次趋近律的终端滑模机械臂轨迹跟踪方法流程图；

图2是六自由度机械臂关节角跟踪曲线(分数阶次a＝0.25)；

图3是六自由度机械臂关节角跟踪误差(分数阶次a＝0.25)；

图4是自适应参数随时间的变化曲线(分数阶次a＝0.25)；

图5是控制方法对六自由度机械臂的实际控制值(分数阶次a＝0.25)；

图6是非奇异快速终端滑模变量随时间的变化(分数阶次a＝0.25)；

图7是整数阶(a＝0)和分数阶(a＝0.511)轨迹跟踪曲线图；

图8是整数阶(a＝0)和分数阶(a＝0.511)的滑模变量随时间变化曲线图。

具体实施方式

下面结合附图对本发明的具体实施方式进行描述，以便本领域的技术人员更好地理解本发明。需要特别提醒注意的是，在以下的描述中，当已知功能和设计的详细描述也许会淡化本发明的主要内容时，这些描述在这里将被忽略。

实施例

图1是本发明基于分数阶幂次趋近律的终端滑模机械臂轨迹跟踪方法流程图。

在本实施例中，将本发明应用于六自由度机械臂的控制，即对机械臂的六个关节角进行轨迹跟踪。下面结合图1，对本发明一种本发明基于分数阶幂次趋近律的终端滑模机械臂轨迹跟踪方法进行详细说明，具体包括以下步骤：

S1、针对具体的任务需求，设期望的六自由度机械臂末端位姿序列信息为P，P∈R^4×4为齐次变换矩阵，由机械臂逆运动学将末端位姿信息P解算为各个关节的期望关节角q_d，q_d∈R⁶且q_d＝[q_d1,q_d2,...,q_d6]^T，R⁶表示6维的实数；

S2、建立六自由度机械臂的动力学模型：

其中，分别代表六个关节角的角度，角速度和角加速度，M(q)＝M₀(q)+ΔM(q)∈R^6×6为正定惯性矩阵，为科里奥利矩阵，G(q)＝G₀(q)+ΔG(q)∈R⁶为重力矩阵，为标称值，为系统误差项，τ,τ_d∈R⁶分别为驱动力矩和干扰力矩；

设六自由度机械臂的动力学模型的实际关节角输出为q，则关节角的角度跟踪误差为：e＝q-q_d；

比较角度跟踪误差e与预设阈值ζ的大小，如果e＜ζ，则运行结束，否则进入步骤S3；

S3、根据角度跟踪误差e设计线性滑模面s和非奇异快速终端滑模面σ

S3.1、线性滑模面s为：

其中，为e的一阶导，β＝diag(β₁₁,β₁₂,...,β_1n)，diag()表示对角矩阵，β₁₁,β₁₂,...,β_1n为对角矩阵中的元素；

S3.2、非奇异快速终端滑模面σ为：

其中，γ₁＝diag(γ₁₁,γ₁₂,...,γ_1n)，γ₂＝diag(γ₂₁,γ₂₂,...,γ_2n)，p₁,p₂为正的奇数且有1＜p₁/p₂＜2，p₀＞p₁/p₂，为s的一阶导；

在本实施例中，采用了非奇异快速终端滑模面，能够有效避免滑模面的奇异问题，而且能够保证系统状态可以在有限时间内快速的收敛到平衡点，即跟踪误差为0，实现机械臂关节角的精确跟踪。

S4、根据线性滑模面s和非奇异快速终端滑模面σ设计等效控制器u₀

对非奇异快速终端滑模面σ求一阶导，得：

令得到等效控制器u₀：

其中，为u₀的一阶导；

S5、设计基于分数阶符号函数的幂次趋近律的切换控制器u₁

其中，为u₁的一阶导，为正定对角阵，||·||为欧几里得范数，|·|表示绝对值，α为幂次趋近律的幂次，sgn(·)为符号函数，为分数阶阶次为a的符号函数，且有0≤a＜1，为自适应参数，实现对系统误差和外界干扰上界的估计；

其中，满足条件：

本发明针对系统误差和外界干扰上界进行估计，从而有效解决了在没有先验知识的前提下，对不确定性的抑制问题，提高了系统的鲁棒性；下面我们对自适应参数的确定方法进行说明，具体为：

利用死区技术对非奇异终端滑模面的范数||σ||＝0的[0,+ε)邻域进行处理，处理后的自适应参数为：

其中，ρ₀,ρ₁,ρ₂为正的可调参数，ε为一个很小的正常数。

这样通过在切换控制中引入了分数阶幂次趋近律，加快了向滑模面的趋近速度，提高了效率；其次，引入分数阶次扩大了系统的性能调节范围，具有更好的适应性。

S6、将等效控制器和切换控制器相加并积分，得到最终的控制器τ；

在本实施例中，采用积分器对控制器的输出进行积分，将不连续的控制信号转化为连续信号，从而有效减小了控制的抖震。

S7、在控制器τ的控制下，六自由度机械臂的动力学模型输出实际的关节角q^*，再利用q^*替代假设的q，并返回步骤S2，经过闭环反馈，最终跟踪到期望的关节角轨迹。

实例

在本实例中，我们先针对分数阶阶次a＝0.25时，进行本发明所提出方法可行性的验证。然后在整数阶a＝0和分数阶a＝0.511时，进行对比分析。下面对仿真中用到的参数进行说明。

设六自由度机械臂系统内部有十二个状态x∈R¹²且

期望的各关节角的轨迹为：

q_d1＝3.75-(7/5)e^-t+(7/20)e^-4t，q_d2＝1.25+e^-t-(1/4)e^-4t，q_d3＝1.25-(6/5)e^-t+(6/20)e^-4t，

q_d4＝3.25-e^-t+(5/20)e^-4t，q_d5＝0.25-(4/5)e^-t+(4/20)e^-4t，q_d6＝4.25-(3/5)e^-t+(3/20)e^-4t。

机械臂系统的初始状态选择为：

q_i(0)＝0.3491,(i＝1,2,4,6),q₃(0)＝2,q₅(0)＝0.1，

外部干扰项为：

τ_di＝0.2sin(t)+0.05sin(200πt),i＝1,3,4,6，τ_d2＝0.1cos(2t)+0.05sin(200πt)，

τ_d5＝0.1sin(200πt)。

针对本发明所提出的控制器，参数选取为：

β＝diag(30,30,30,30,30,30)，γ₁＝diag(0.1,0.1,0.1,0.1,0.1,0.1)，

γ₂＝diag(0.02,0.02,0.02,0.02,0.02,0.02)，p₀＝1.5,p₁＝15,p₂＝13。自适应参数：

ρ₀＝0.3,ρ₁＝0.25,ρ₂＝0.57，ε＝0.1。初始值

切换控制中参数的选取：切换控制中幂次趋近律的幂α＝0.5，K^*＝diag(100,80,120,120,40,180)。

将上述参数加到所提出的控制器及仿真模型中，得到下面的仿真结果。这里切换控制中分数阶的阶次选取a＝0.25，并且进行控制方法可行性的验证。

图2为六自由度机械臂六个关节角的跟踪曲线，其中q_di,(i＝1,...,6)为期望的关节角轨迹，q_i,(i＝1,...,6)为实际跟踪曲线。由图可以看出在外界干扰存在的情况下，本发明所提出的控制方法可以有效的跟踪到期望的关节角轨迹。

图3为机械臂六个关节角的跟踪误差，由图中可以看出，6个关节角误差均能在有限时间内快速收敛到0，从而体现了快速终端滑模的功效，即可以使系统状态在有限时间内快速收敛到系统的平衡点。

图4所示为自适应参数随时间的变化曲线，由图可以看出，该自适应法则可以对系统的不确定性上界进行估计，当估计值可以使滑模变量到达滑模面附近时，运用死区技术使该自适应参数不再增长，从而有效抑制了外界干扰和建模失配对控制性能的影响。

图5所示为六自由度机械臂的实际控制值τ，每个分量记为τ_i,i＝1,...,6。由图中可以看出，各控制值是相对平滑的，通过对实际切换控制的积分，有效抑制了由切换控制带来的抖震问题，提高了控制的性能。

图6所示为在分数阶阶次a＝0.25时，滑模变量σ随时间的变化曲线，每个分量记为σ_i,i＝1,...,6。由图中可以看出，6维的滑模变量σ在切换控制的作用下向滑模面运动，到达滑动模态，体现了本发明分数阶幂次趋近的切换控制的有效性。

接下来针对本发明提出的控制方法，进行整数阶和分数阶控制方法的对比分析。保持上述控制方法和机械臂模型参数不变，只修改切换控制中分数阶的阶次为a＝0和a＝0.511。图7所示为整数阶次和分数阶的轨迹跟踪曲线对比，跟踪到期望轨迹的时间如表1所示。

表1

由该表1可以看出，当分数阶切换控制的阶次为0.511时，关节角的跟踪速度比整数阶的快，从而体现了本发明的优势，即增加参数的可调范围，提升算法的适用性，从而提升控制性能。

图8所示为整数阶次和分数阶的非奇异终端滑模面随时间的变化对比，具体的收敛到滑模面的时间如表2所示。

表2

由表2中可以看出，当分数阶次为0.511时，滑模变量σ趋向滑模面(即σ＝0)的速度比整数阶的快，从而体现了分数阶幂次切换控制的性能，更快的进入滑动模态，从而提升跟踪误差的收敛速度，最终使关节角更快的收敛到期望值。

尽管上面对本发明说明性的具体实施方式进行了描述，以便于本技术领域的技术人员理解本发明，但应该清楚，本发明不限于具体实施方式的范围，对本技术领域的普通技术人员来讲，只要各种变化在所附的权利要求限定和确定的本发明的精神和范围内，这些变化是显而易见的，一切利用本发明构思的发明创造均在保护之列。