一种基于Shepard插值的纤维增强复合材料结构优化方法

摘要

本发明属于复合材料结构优化方法领域，并公开了一种基于Shepard插值的纤维增强复合材料结构优化方法，其包括以下步骤：在复合结构设计域内均匀定义一系列离散设计点，利用设计点处纤维角度值通过Shepard插值格式构建一个连续全局函数来表达整个设计域纤维角度；定义纤维增强复合材料结构优化设计问题，设计目标为使结构的柔度最小化，设计约束包括平衡方程以及的上下界；划分有限元网格进行有限元分析，求解位移场；推导目标函数柔度关于设计变量的敏度，并利用有限元结果计算敏度；利用优化算法更新设计变量直到收敛。本发明优化结果充分利用材料性能，便于加工制造，并且设计变量减少优化效率较高。

说明书

技术领域

本发明属于复合材料结构优化方法领域，更具体地，涉及一种基于Shepard插值的纤维增强复合材料结构优化方法。。

背景技术

纤维增强复合材料是一种代表性的先进复合材料，它由低密度、高强度的纤维材料与基体材料组合而成。其中增强材料主要是各种纤维，在复合材料中起主要作用，提供强度和刚度，控制其基本性能。而基体材料采用各种金属、非金属或者树脂基等，起配合作用，它支持和固定纤维材料，传递纤维间的载荷，保护纤维，防止磨损或腐蚀，改善复合材料的某些性能。因此纤维增强复合材料具有比传统材料高得多的比强度和比模量，同时还具有可设计性强、耐腐蚀优异、抗疲劳断裂性能好、抗震性优良等优点。其广泛运用于军事武器、建筑结构、运输工具、化工产品、仪器仪表、电子与核能工程结构、体育用品与医疗器械等领域。

纤维增强复合材料具有良好的可设计性特点。可以通过改变材料的种类、纤维的铺设方向、纤维的体积含量、结构拓扑以及铺层方向和顺序，使之满足结构设计中对材料刚度、强度、弹性和方向性的要求。设计人员可以根据需要设计纤维增强复合材料组分及其组合方式，从而最有效的发挥材料作用。由于纤维铺设路径对材料性能的重大影响，采用现代化的结构优化设计手段由计算机自动高效的决定纤维铺设路径越来越受到科学和工业界重视。其涉及力学建模、数学建模、优化方法、数值解技术以及复合材料其他领域的研究成果。

通常关于纤维增强复合材料的结构设计以优化纤维铺层角度为主要研究对象。早期由于制造工艺的限制，纤维铺设角度只能选取固定值，材料的性能没有得到充分利用，随着加工制造工艺的进步，特别是自动纤维铺设技术(AFP)的发明，使得纤维增强复合材料可以拥有连续空间变化的纤维铺设角度，这极大提升了纤维增强板材的设计自由度。也为开发新的优化方法以结合新的制造方法充分发挥复合材料的性能提出了新的需求。

一种直接的优化纤维铺设角度的设计方法是连续不断改变设计点纤维角度值。独立优化这些设计点通常会导致一些问题。优化的结构通常具有不连续的纤维铺设路径，这会导致不可制造的结构以及应力集中。另外，优化问题的非凸性和巨大的设计变量使得得到的解对于初始设计相当敏感从而导致亚最优。对于局部最优问题的处理，通常采用表示某个设计点的纤维角度为几个候选角度的加权和的离散材料优化方法(DMO)。困难在于这要求最后得到优化设计点的权值只有一个为1，其余为0，因为中间权值的出现使得纤维角度不符合实际，从而导致优化无意义。另外这类方法没有考虑纤维角度的空间变化连续性。

另外一类优化纤维铺设角度的设计方法基于曲线参数化格式，定义纤维铺设路径为解析函数的曲线图。曲线参数化拥有固有的优势保证纤维铺设路径的连续性，并且拥有较少的设计变量。然而这类方法的限制在于解的质量严重依赖于参数化格式。不合适的参数化格式会限制纤维路径的自由度从而限制其可调节性。而对于不规则几何结构很难找到合适的参数化格式。还有一类使用间接参数化格式的纤维角度设计方法。这类参数通常是完全描述层刚度特性的连续参数集合。这种方式使得优化问题变凸，可以有效的解决，另外优化结果不依赖于初始设计。然而对于复杂问题，层参数可行域的解析形式还是一个未解决的问题。

发明内容

针对现有技术的以上缺陷或改进需求，本发明提供了一种基于Shepard插值的纤维增强复合材料结构优化方法，其提出一种新的参数化格式，满足下面两个要求：第一、保证纤维角度的空间连续性以便于加工制造；第二、减少了设计变量使得优化可以更有效率的进行。所述纤维增强复合材料结构优化方法在结构内部均匀布局一系列离散设计点作为设计变量，通过离散点处的纤维角度值利用Shepard插值构建一个连续全局函数来表达整个设计域纤维角度；以结构柔度最小化作为设计目标，利用有限元分析建立刚度矩阵与设计变量的关系；通过基于敏度及其共轭映射的优化算法更新设计变量直到收敛。最终得到了具有纤维角度空间连续变化布局的纤维增强复合材料结构，并具有约束条件下最优的刚度值。

为实现上述目的，按照本发明，提供了一种基于Shepard插值的纤维增强复合材料结构优化方法，其特征在于，包括以下步骤：

(1)在复合结构设计域D内均匀定义一系列离散的设计点P_i，其中i＝1,2,3…n,n为正整数，给定P_i处纤维角度值θ_i的初值，利用设计点P_i处纤维角度初值，并通过Shepard插值格式构建一个连续全局函数θ(x)来表达整个设计域纤维角度，其中w_i(x)为权函数，x为位置坐标；

(2)定义纤维增强复合材料结构优化模型：设计变量为离散设计点的纤维角度值θ_i，设计目标为使结构的柔度c最小化，设计约束包括平衡方程Ku＝f以及θ_i的上下界θ_max、θ_min，优化模型表示如下：

findθ_i

min c＝f^Tu

s.t.Ku＝f

θ_min≤θ_i≤θ_max

其中f为力向量，K为全局刚度矩阵，u是整体位移向量；

(3)在设计域D内划分有限元网格，生成N_j个单元，其中N_j为正整数并且大于n，在每个单元j上分别建立依赖于单元中心处纤维转角θ_j的刚度矩阵K^j，其中j＝1,2,3,......,N_j，Ω为结构的体积，Ω_j为单元j的体积，B为位移应变矩阵，D(θ_j)是依赖于单元纤维角度值的单元弹性矩阵，从而获得整体位移向量u；

(4)利用刚度矩阵K^j与θ_j，以及θ_j与θ_i的关系获得目标函数柔度c关于设计变量θ_i的敏度u_j为每个单元的位移向量，从而利用步骤(3)获得的整体位移向量u得到敏度；

(5)利用基于敏度及其共轭映射的优化算法更新设计变量θ_i，直到目标函数收敛，该优化算法如下：

其中为第k+1步的θ_i值，为第k步的θ_i值，η为步长因子，是第k步的敏度值采用共轭映射后的结果，和分别为步长约束δ下的变量更新值，并且定义如下：

优选地，权函数w_i(x)通过归一化位置x和离散设计点P_i之间距离的反幂来表示：

其中||·||表示欧几里德范数，p>0是幂参数，X_i为设计点P_i的位置坐标。

优选地，实际构造全局纤维角度函数θ(x)时，θ(x)的构造选取在一个圆形的影响域内，以提升计算效率，并且影响域定义为：||x-X_i||≤R_c，R_c为截断半径并且至少包含一个设计点P_i，则修正后的插值函数θ(x)为：I_x为x处影响域内所有设计点索引集合。

优选地，有限单元中心处纤维转角θ_j通过修正后的全局纤维角度函数θ(x)得到，而θ(x)则通过影响域内设计点P_i处的θ_i插值得到。

优选地，有限元分析中单元弹性矩阵计算如下：D(θ_j)＝T(θ_j)D₀T(θ_j)^T，D₀为纤维未旋转时原始弹性矩阵，T(θ_j)为旋转矩阵。

优选地，目标函数的敏度的共轭映射计算步骤如下：

(6-1)首先将敏度相对于其最大值归一化；

(6-2)然后执行下面的映射F(·)：F(x)＝x e^(1-|x|)，e为自然底数。

总体而言，通过本发明所构思的以上技术方案与现有技术相比，能够取得下列有益效果：

本发明提供的基于Shepard插值的纤维增强复合材料结构优化方法，其在结构内部均匀布局一系列离散设计点作为设计变量，通过离散点处的纤维角度值利用Shepard插值构建一个连续全局函数来表达整个设计域纤维角度；利用有限元分析建立刚度矩阵与设计变量的关系；通过基于敏度及其共轭映射的优化算法更新设计变量达到结构柔度最小的目标；得到了具有纤维角度空间连续变化布局的纤维增强复合材料结构。优化结果充分利用材料性能，便于加工制造，并且设计变量减少优化效率较高。

附图说明

图1是本发明较佳实施方式提供的一个纤维增强复合材料悬臂梁结构优化设计的例子示意图。

图2是本发明基于Shepard插值的纤维增强复合材料的结构优化方法流程图。

图3是图1中的优化例子关于设计点处的纤维角度值优化结果。

图4是图1中的优化例子关于有限单元中心处纤维角度值优化结果。

图5是图1中的优化例子基于CFAO法优化得到的有限单元中心处纤维角度值优化结果。

具体实施方式

为了使本发明的目的、技术方案及优点更加清楚明白，以下结合附图及实施例，对本发明进行进一步详细说明。应当理解，此处所描述的具体实施例仅仅用以解释本发明，并不用于限定本发明。此外，下面所描述的本发明各个实施方式中所涉及到的技术特征只要彼此之间未构成冲突就可以相互组合。

请参阅图1，本实施方式以带有集中载荷的平面悬臂梁纤维增强结构柔度最小化的优化问题为例来解释本发明。在给定的1×2矩形设计域D内给定纤维角度初始布局，本例设定初始纤维角度均为90⁰，区域左侧边界施加位移约束，区域右边界中心处施加集中力f＝1。对所述悬臂梁纤维增强结构进行纤维角度布局优化，使其刚度最大化。

请参阅图2的流程图，本实施方式中，所述基于Shepard插值的纤维增强复合材料结构优化方法，其包括以下步骤：

步骤一，在复合结构设计域D内定义一系列离散设计点P_i(i＝1,2,3,......,200),设计点均匀排布为10×20，给定P_i处纤维角度初值在所有给定设计点建立关于设计域内任意位置x的权函数，其中||·||表示欧几里德范数，p>0是幂参数，取值为2。利用设计点P_i处纤维角度值θ_i以及权函数w_i(x)由Shepard插值格式构建一个连续全局函数θ(x)来表达整个设计域纤维角度，其中x为任意位置坐标。

步骤二，定义纤维增强复合材料结构优化设计问题，设计变量为离散设计点的纤维角度值θ_i，设计目标为使结构的柔度c最小化，设计约束包括平衡方程Ku＝f以及θ_i的上下界θ_max、θ_min，优化问题形式如下：

findθ_i(i＝1,2,......,200)

min c＝f^Tu

s.t.Ku＝f

θ_min≤θ_i≤θ_max

其中f为力向量，K为全局刚度矩阵，u是位移向量。本例中θ_i的上下界分别为θ_min＝0，θ_max＝θ_min+π-ε，其中ε＝1×10^-8为一个极小正值用来消除插值时由于三角函数计算造成的数值错误。

步骤三，在设计域D内划分20×40的有限元网格，生成800个单元，在每个单元j(j＝1,2,3,......,800)上建立依赖于单元中心处纤维转角θ_j的刚度矩阵K^j(θ_j)，其中B为位移应变矩阵，D(θ_j)是依赖于单元纤维角度值的单元弹性矩阵。单元弹性矩阵计算如下：D(θ_j)＝T(θ_j)D₀T(θ_j)^T，D₀为纤维未旋转时原始弹性矩阵，T(θ_j)为旋转矩阵：

其中E_x和E_y是杨氏模量，G_xy是剪切模量，ν_xy和ν_yx是泊松比，满足条件ν_xyE_y＝ν_yxE_x。进行有限元分析，其中单元纤维转角θ_j由设计点转角θ_i插值得到，为了提升计算效率，在一个圆形的影响域||x-X_i||≤R_c(R_c＝0.6为截断半径)内构建修正后的插值函数θ(x)为：I_x为x处影响域内所有设计点索引集合。计算位移场u。

步骤四，利用刚度矩阵与θ_j以及θ_j与θ_i的关系推导目标函数柔度c关于设计变量θ_i的敏度利用有限元结果计算敏度。

步骤五，敏度相对于归一化后共轭映射F(·)：F(x)＝x e^(1-|x|)，利用基于敏度共轭映射的优化算法更新设计变量θ_i直到收敛，其更新格式如下：

其中为第k+1步θ_i值，为第k步θ_i值，η为步长因子，是敏度值采用共轭映射后的结果，和分别为步长约束δ下的变量更新值，定义如下：

优化结果如下：优化后设计点处的纤维角度值布局如图3，有限单元中心处纤维角度值布局如图4，柔度值为53.70。作为对比，采用独立改变单元纤维角度的连续纤维角度优化法(CFAO)优化结构得到的纤维角度值布局如图5，柔度值为49.09，可以看出相较于本发明的方法，CFAO法得到的结构虽然刚度略大(柔度略小)，但纤维角度空间布局不连续，难以制造。

本发明提供的基于Shepard插值的纤维增强复合材料结构优化方法，其在在结构内部均匀布局一系列离散设计点作为设计变量，通过离散点处的纤维角度值利用Shepard插值构建一个连续全局函数来表达整个设计域纤维角度；利用有限元分析建立刚度矩阵与设计变量的关系；通过基于敏度及其共轭映射的优化算法更新设计变量达到结构柔度最小的目标；得到了具有纤维角度空间连续变化布局的纤维增强复合材料结构。

本领域的技术人员容易理解，以上所述仅为本发明的较佳实施例而已，并不用以限制本发明，凡在本发明的精神和原则之内所作的任何修改、等同替换和改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。