一种基于迭代逐维法的多学科区间不确定性分析方法

摘要

本发明公开了一种基于迭代逐维法的多学科区间不确定性分析方法，属于多学科不确定性分析领域。首先，利用区间

说明书

技术领域

本发明涉及多学科不确定性分析的技术领域，特别涉及基于迭代逐维法的多学科区间不确定性分析方法。

背景技术

多学科设计优化设计在处理复杂工程问题上显示了巨大的潜力，设计师可以挖掘学科之间的耦合效应和协同效应从而改善设计。然而，在实际工程中由于缺乏知识，随机材料特性，设计和制造缺陷，不同加载条件等造成了各种各样的不确定性。随着现代技术的快速发展和对工程系统的鲁棒性和安全性日益提高的要求，基于不确定性的多学科优化设计快速成为了多学科优化设计的一个重要分支。

多学科不确定性传播分析是不确定性优化设计的重要部分，能够进一步被用来做出可靠的决策。多学科不确定性分析方法可以分为概率法和非概率法，由于概率方法的研究历史较长，已经拥有较为完备的数学理论基础而且在工程实际中也更为频繁地被应用。然而，概率方法需要大量的样本数据点来描述不确定性参数的概率分布，这在一定程度上限制了概率方法的应用。相比之下，非概率方法仍处于探索阶段，有待进一步的研究。

在非概率方法中，区间模型是一个重要的方法，区间分析方法只需要知道不确定性参数的边界，而不需要知道不确定性参数具体的分布或隶属函数的形式，从而大大减少了对原始数据的需求。在区间模型中，变量是由两个标量，即下界值和上界值来表示，区间算法是用描述不确定性参数的区间来进行算术运算，它已经被应用于各种领域，包括结构分析和动态分析，然而，这些应用局限于一个很小的范围，主要涉及一些简单的问题。因为区间算术产生潜在的保守的结果，而且，区间运算的计算量也大，因为它处理的是区间，而不仅仅是数字。

除了传统的区间算法，大多数非概率多学科区间不确定性分析方法是基于一阶泰勒展开式和全局灵敏度分析。然而，当系统非线性程度较高时，这些方法的误差较大。而传统的蒙特卡洛法计算费用较高，本发明能够利用迭代逐维法得到多学科系统输出变量的响应区间，计算精度很高，相比于蒙特卡洛法，计算效率也得到大幅度提高。

发明内容

本发明要解决的技术问题是：克服现有方法的不足，提供一种基于迭代逐维的多学科区间不确定性分析方法。迭代逐维法计算精度很高，相比于蒙特卡洛法，计算效率也得到大幅度提高，是现有方法很好的一个补充。

本发明采用的技术方案为：基于迭代逐维法的多学科区间不确定性分析方法，用来做出可靠的决策，其实现步骤如下：

步骤一：根据所作的现实的抽象、假设情况，知识的缺乏情况，几何尺寸和加载条件，材料特性确定输入参数的上下界，利用区间合理表征贫信息、少数据条件下的不确定性参数的集合，其中，X表示输入参数的下界，表示输入参数的上界。不确定变量的集合X包括学科不确定变量x_i,(i＝1,2,…n)和系统不确定变量x_s，其中x_i只在学科i中出现，x_s是多个学科的不确定输入。

步骤二：设置第l次循环时不确定输入变量的名义值X^l_n，l的初始值为1；

步骤三：执行逐维法来得到第l次循环的最值点X^l_m；

步骤四：令第l+1次循环的不确定变量的名义值为X^l_m，即X^l+1_n＝X^l_m；

步骤五：计算残差系数并判断迭代过程是否收敛，如果收敛，则执行步骤六，否则，返回步骤一，残差系数C_sys的计算公式为：

C_sys＝|X^l+1_n-X^l_m|

步骤六：通过确定性分析得到系统输出在X^l_m处的值Z，此即为系统输出的最大或最小值。

进一步的，所述步骤一中区间不确定性参数取决于现实的抽象、假设情况，知识的缺乏情况，几何尺寸和加载条件，材料特性的共同作用，输入不确定性参数的集合可以表述为

进一步的，所述步骤二中不确定输入变量的初始名义值X¹_n取为其区间中值，即

进一步的，所述步骤三中利用逐维法来寻找最值点的过程如下：

当寻找某一不确定变量x_i的最值点时，其它不确定变量均固定为其名义值，用切比雪夫多项式拟合系统输出变量与x_i的函数关系，并寻找该拟合函数的最值点。

进一步的，所述步骤四中用第l次得到的不确定变量的最值点X^l_m代替第l+1次迭代的不确定变量名义值X^l+1_n。

进一步的，步骤五中所述步骤五中残差系数C_sys的计算公式为：

C_sys＝|X^l+1_n-X^l_m|

进一步的，步骤六中系统输出的区间响应是通过在不确定输入的最值点X^l_m处通过确定性分析得到的。

本发明与现有技术相比的优点在于：本发明提供了多学科区间不确定性分析的一种新思路，弥补和完善了传统基于概率理论的多学科不确定性分析方法，所采用的基于迭代逐维法的多学科区间不确定性分析方法，一方面可大幅减小对样本信息的依赖性，另一方面可以充分利用其高精度特性，得到较为准确的系统输出区间响应，与传统蒙特卡洛法相比，迭代逐维法的计算量也大幅度降低，节省了计算时间。

附图说明

图1是本发明针对基于迭代逐维法的多学科区间不确定性分析方法的总体流程图；

图2是本发明中带控制面的二维翼型简化模型图；

图3是本发明中迭代逐维法在实施例中的实施流程图；

图4是本发明中基于迭代逐维法的迎角的响应区间的迭代历程图；

图5是本发明中二维翼型的压力云图；

图6是本发明中二维翼型压力中心位置随控制面偏角的变化图。

具体实施方式

下面结合附图以及具体实施例进一步说明本发明。

本发明提出了一种基于迭代逐维法的多学科区间不确定性分析方法，具体步骤如下：

步骤一：根据所作的现实的抽象、假设情况，知识的缺乏情况，几何尺寸和加载条件，材料特性确定输入参数的上下界，利用区间合理表征贫信息、少数据条件下的不确定性参数的集合，其中，X表示输入参数的下界，表示输入参数的上界。不确定变量的集合X包括学科不确定变量x_i,(i＝1,2,…n)和系统不确定变量x_s，其中x_i只在学科i中出现，x_s是多个学科的不确定输入。

步骤二：设置第l次循环时不确定输入变量的名义值X^l_n，l的初始值为1，设置不确定输入变量的初始名义值为其区间中值，即

步骤三：执行逐维法来得到第l次循环的最值点X^l_m，逐维法得到第l次循环不确定变量的最值点的过程如下：

首先，将不确定变量转换成其标准形式，即其中e_i∈[-1,1],e_s∈[-1,1]，假设X是所有不确定输入变量的集合，Z是系统输出变量的集合，即X＝[x₁,…,x_n,x_s],Z＝[z₁,…,z_n]，于是可以得到：

其中e＝[e₁,…,e_n,e_s]^T，操作符ο代表对应的元素相乘。假设e中第j个元素是u,(-1≤u≤1)，其它元素均为0，即：

e^j＝{0,…,u,…0}

1,…,j,…

所以第j次输入变量X^j可以写成：

用切比雪夫多项式拟合系统输出变量与不确定输入变量的函数关系。假设H_r＝Span{L₀(u),L₁(u),…,L_r(u)}为r阶切比雪夫多项式的一个子空间，于是目标就变为寻求一系列的最小平方逼近多项式T_r^ij(u)∈H_r来拟合系统输出与输入的函数关系，即：

其中z_i(X^j)表示z_i在第j次不确定输入变量X^j处的取值。根据高斯-切比雪夫积分，

其中积分点u_p,(p＝1,2,…,q)是L_q(u)的根，工程中切比雪夫多项式拟合常用的q的取值为10，故本发明中取q＝10，

于是可以得到：

于是就可以得到系统输出变量与不确定输入变量的拟合函数关系：

根据拟合函数，很容易就可以得到不确定输入变量的最值点。

步骤四：第l次得到的不确定变量的最值点X^l_m代替第l+1次迭代的不确定变量名义值X^l+1_n。

步骤五：计算残差系数并判断迭代过程是否收敛，如果收敛，则执行步骤五，否则，返回步骤一，残差系数C_sys的计算公式为：

C_sys＝|X^l+1_n-X^l_m|

步骤六：通过确定性分析得到系统输出在X^l_m处的值Z，此即为系统输出的最大或最小值。

实施例1：

为了更充分地了解该发明的特点及其对工程实际的适用性，本发明针对图2所示带控制面的二维机翼进行了多学科区间不确定性分析。实施例中二维机翼的弦长为b，e₁和e₂决定了弾性轴和控制面的位置，α为机翼迎角，设机翼下偏时其为正；β是控制面偏角并设控制面下偏时为正。

在气动学科中，迎角的大小影响气动力矩的大小；而在结构学科中，气动力矩的大小又影响的迎角的大小。因此,迎角α和力矩M被选为系统输出变量。在气动学科中，力矩是由高精度数值计算工具，即计算流体动力学(CFD)计算的。在结构学科中，假设在攻角为零的情况下，扭簧无弹性变形，则迎角可以采用下式计算：

其中K_α是机翼的扭转刚度，考虑到飞行不稳定性以及材料的分散性等，将飞行速度v，控制面偏角β，扭转刚度K_α取为不确定变量。表1显示了这些不确定变量中心值和偏差系数。

表1

图3显示了迭代逐维法在本算例中寻找极值点的过程，模块DOE通过确定性静气弹分析获得系统输出在给定点的响应，CATIA被用来进行参数建模,利用ICEM进行自动网格划分，气动分析是在Fluent中进行的，MATLAB被用来执行逐维法，所有这些由iSIGHT进行集成。显然，由于采用了CFD蒙特卡洛法所需计算量太大，所以不适合解决这个问题。迭代逐维法、逐维法和一阶泰勒展开法分别被用来解决这个问题。一阶泰勒展开法中的微分被有限差分代替，即，

表2显示了迭代逐维法中最值点的迭代过程。逐维法在寻找其最值点时，先将β和K_α取为其名义值-3.3deg和160N·m/deg^-1，在v的区间范围内算出对应的10个高斯积分点处的力矩和迎角响应，然后用切比雪夫多项式拟合力矩或迎角与速度v的函数关系，于是就可以通过拟合函数得到速度v的最值点。同理可得β和K_α的最值点。迭代逐维法就是用第一次算出的最值点代替第二次不确定变量的名义值，再用逐维法算出不确定变量的最值，如此往复循环，直至收敛。

表2

如图4所示，迭代逐维法的迭代过程在3步之内就收敛了，因此，迭代逐维法的计算量是可以接受的。在此实施例中，在给定的区间内，当β大于某一临界值时，气动力矩随速度单调递减，当β小于该临界值时正好相反。如图5所示，在给定的区间内，β的变化对压力的分布影响很小。但β的变化使得压力中心移动，到β超过某一临界值是，压力中心甚至移到了弹性轴之后，如图6所示。

表3显示了由逐维法、迭代逐维法和一阶泰勒展开法得到的结果。由于迭代逐维法获得的系统输出的最值是在得到的最值点通过确定性分析得到的，因此迭代逐维法获得的结果必然是可得到的。然而,通过逐维法得到的攻角和力矩的上界比迭代逐维法的小得多。所以逐维法存在误差。此外，一阶泰勒展开得到的结果与迭代逐维法得到的结果之间的相对误差也相当大，因为此问题是非单调的，一阶泰勒展开解决非单调问题时有相当大的误差，在这个实施例中，一阶泰勒展开法的误差还包括用有限差分代替微分的计算误差。所以迭代逐维法是一种用来解决多学科区间不确定性分析的很好的方法，因为它的精度高且计算量也不大。

表3

综上所述，本发明提出了一种基于迭代逐维法的多学科区间不确定性传播分析方法。首先，利用区间合理表征贫信息、少数据条件下的不确定性参数；其次，设置不确定变量的初始名义值；然后，采用逐维法得到不确定变量的最大和最小值点；最后，计算残余参数并判断是否收敛，如果收敛，则输出系统输出变量的响应区间，否则，进行下一次循环直至收敛。

以上仅是本发明的具体步骤，对本发明的保护范围不构成任何限制；凡采用等同变换或者等效替换而形成的技术方案，均落在本发明权利保护范围之内。

本发明未详细阐述部分属于本领域技术人员的公知技术。