基于运动学原理的渐开线圆柱齿轮双面啮合测量仿真方法

摘要

基于运动学原理的渐开线圆柱齿轮双面啮合测量仿真方法，属于精密测试技术与仪器领域。该方法是通过建立齿轮模型，进而求解齿轮的双面啮合模型，得到在笛卡尔坐标系下的齿轮双面啮合的啮合线表达式，将齿轮的基圆半径误差、齿槽半角误差引入啮合线表达式中，得到齿轮在双面啮合过程中的径向、切向的变化量曲线。啮合线方程是在笛卡尔坐标系下求得，所以得到的是啮合线在径向、切向的参数方程。

说明书

技术领域

本发明涉及精密测试技术与仪器领域，具体是一种基于渐开线齿轮双面啮合数学模型的齿轮双面啮合误差仿真分析方法。

背景技术

齿轮传动机构在航空航天、仪器仪表、汽车工业、精密机械等各个领域都有广泛的应用。齿轮精度、质量直接影响机器设备的效率、噪声、运动精度和使用寿命。因此，对齿轮的检验就显得尤为重要。

对齿轮进行检验的仪器有很多，包括齿轮单面啮合检查仪、齿轮双面啮合检查仪、齿轮测量中心等。其中对于中小模数齿轮，大多采用齿轮双面啮合检查仪，其具有对环境要求不高、结构简单、操作方便等优点。

通过理论分析对齿轮双面啮合过程进行仿真的方法中，传统的方法是通过齿轮建模，求解出齿轮双面啮合过程中，中心距变化与齿轮误差的关系，从而得出齿轮双面啮合的仿真误差曲线。该方法所得到的误差曲线为齿轮中心距变化曲线，即为齿轮径向变动的误差曲线，对于齿轮在双面啮合过程中的切向变动量并没有考虑。

发明内容

为解决背景技术中提出的问题，本发明提出了一种新的齿轮双面啮合误差分析方法。该方法是通过建立齿轮模型，进而求解齿轮的双面啮合模型，得到在笛卡尔坐标系下的齿轮双面啮合的啮合线表达式，将齿轮的基圆半径误差、齿槽半角误差引入啮合线表达式中，得到齿轮在双面啮合过程中的径向、切向的变化量曲线。

本发明采用的技术方案为基于运动学原理的渐开线圆柱齿轮双面啮合测量仿真方法，该方法的实现过程如下：

1)在笛卡尔坐标系下，写出齿轮一个齿面的渐开线表达式，再通过坐标变化，得到齿轮所有渐开线齿面的表达式，进而得到齿轮的数学模型；

2)在建立齿轮数学模型的基础上，根据齿轮啮合原理——齿轮啮合过程中，在相互包络齿廓的接触点处，相对运动的速度矢量应当垂直于齿廓的法线矢量，求解出齿轮双面啮合方程；

3)将齿轮的渐开线表达式与齿轮双面啮合方程结合，得到双面啮合的啮合线方程；

4)由于该啮合线方程是在笛卡尔坐标系下求得，所以得到的是啮合线在径向、切向的参数方程。该参数方程的变量中含有齿轮的基本参数，由误差理论推导出啮合线在径向、切向的变化量与齿轮参数变化量之间的关系，从而得到齿轮双面啮合的径向、切向误差变化曲线。

5)有误差的齿轮双面啮合过程主要分为两个部分——渐开线啮合部分和顶刃啮合部分，最终的双啮误差分析仿真为两部分的结合。

由于采用了上述推导过程，本发明的有益效果是：

根据齿轮基本参数的变化量，带入到推导出的齿轮双面啮合误差曲线函数中，可以得到齿轮双面啮合径向及切向变化曲线。

附图说明

图1齿轮的数学模型

图2齿轮的双面啮合数学模型

图3一个周节角内基圆半径变化-10μm对径向偏差的影响

图4一个周节角内基圆半径变化-10μm对切向偏差的影响

具体实施方式

为使本方法的实现过程更加清晰，以下结合附图及分析公式对本方法做进一步说明。

在笛卡尔坐标系下，求解出齿轮1一个渐开线齿面的表达式：

为展开角，θ为渐开线角，α为压力角，ξ为齿槽半角，r_b1为齿轮1的基圆半径，x_R1、y_R1分别表示齿轮1第一个渐开线右齿面上任意一点在笛卡尔坐标系下的横坐标、纵坐标。

上述表达式表示第一个齿的右齿面方程，当齿轮1有z个齿时，则其第i个齿的右齿面方程可通过该表达式乘以旋转矩阵：

z表示齿轮1的的齿数

即齿轮1第i个齿的右齿面的渐开线方程为：

x_Ri、y_Ri分别表示齿轮1第i个渐开线右齿面上任意一点在笛卡尔坐标系下的横坐标、纵坐标。

对于齿轮1左齿面而言，只需求取齿轮1右齿面第一段渐开线关于x轴对称的曲线，即可得到第z个齿的左齿面渐开线方程：

x_Lz、y_Lz分别表示齿轮1第z个渐开线右齿面上任意一点在笛卡尔坐标系下的横坐标、纵坐标。

上式表示齿轮1第z个齿的左齿面，要将其转化为齿轮1第i个齿的左齿面只需乘以旋转矩阵：

即齿轮1第i个齿的左齿面的渐开线方程为：

x_Li、y_Li分别表示齿轮1第i个渐开线右齿面上任意一点在笛卡尔坐标系下的横坐标、纵坐标。

将左右齿面渐开线模型联立，即可得到齿轮渐开线数学模型，参照图1。

在所建立的齿轮渐开线数学模型基础上，建立齿轮双面啮合数学模型，改模型的建立过程如下：

如图2中所示齿轮1和齿轮2，以齿轮中心为坐标原点，建立坐标系。其中齿轮1所在的坐标系C₁[O₁；x₁,y₁,z₁]为被测齿轮的可动坐标系，实线坐标系为坐标系C₁初始位置，虚线坐标系为坐标系C₁随齿轮1旋转后的位置；齿轮2所在的坐标C₂[O₂；x₂,y₂,z₂]为标准齿轮的可动坐标系，实线坐标系为坐标系C₁初始位置，虚线坐标系为坐标系C₁随齿轮1旋转后的位置；两齿轮分度圆交点为固定坐标系的原点O，其参考坐标系为C[O；x,y,z]。

结合齿轮啮合原理——齿轮啮合过程中，在相互包络齿廓的接触点处，相对运动的速度矢量应当垂直于齿廓的法线矢量，对双面啮合数学模型进行求解，解出齿轮双面啮合方程：

齿轮1第i个齿的右齿面啮合方程：

表示齿轮1旋转的角度，a表示齿轮1与齿轮2的理论中心距，i₂₁表示齿轮2与齿轮1的转动比。

齿轮1第i个齿的左齿面啮合方程：

将上述的啮合线方程与推导出的齿轮渐开线方程联立，及可得到齿轮双面啮合的啮合线表达式。啮合线上任意一点的坐标(x,y)与r_b1，ξ四个量有关，即：

当这四个量存在偏差时，理论啮合线与实际啮合线的位置就会发生变化，从而引起测量上的误差。考虑四个量中有两个量存在偏差，分别为Δr_b1，Δξ，理论的啮合点为Q(x,y)，变化之后的啮合点为Q′，则Q′的坐标为(x′，y′)，则：

x′＝x+Δx

y′＝y+Δy

由误差理论可知：

将参数带入上述表达式，可得：

左齿面：

右齿面：

当被测齿轮存在基圆半径偏差时，会出现顶刃啮合的现象。在顶刃啮合期间，被测齿轮的齿顶与标准齿轮的齿面相接触，不符合啮合原理。此时，对于基圆半径偏差引起的啮合线的变化，需另作计算。

具有基圆半径误差为Δr_b1的被测齿轮在啮合时，由顶刃啮合引起的啮合线增量可按下式计算：

ΔL表示啮合线方向增量，表示齿轮1从顶刃啮合开始到结束齿轮转过的角度，Δx表示径向变化量，Δy表示切向变化量。

通过Matlab将渐开线啮合与顶刃啮合的结果进行处理，即可得到基圆半径存在定值误差时，齿轮双面啮合在径向、切向的误差变化曲线。

基于上述误差分析，本发明给出了如下的一组齿轮数据进行仿真实验：

名称被测齿轮(齿轮1)标准齿轮(齿轮2)模数m2.52.5齿数z4570齿顶高系数11齿根高系数1.251.25压力角α20°20°