一种旋转对称结构固有频率和稳定性的简化分析方法

摘要

一种旋转对称结构固有频率和稳定性的简化分析方法：分别建立系统的完整动力学微分方程、采用无延展假设的动力学微分方程和延展假设的动力学微分方程，包括：建立系统的完整动力学微分方程；建立采用无延展假设的动力学微分方程；建立采用延展假设的动力学微分方程；引入坐标变换将三个动力学微分方程转换到支撑随动坐标系下，得到相对应的三个常系数偏微分动力学方程；将支撑随动坐标系下的三个常系数偏微分动力学方程离散处理为三个常微分矩阵方程；分别得到一个完整动力学微分方程的特征值和两个简化动力学微分方程的特征值；根据三个特征值分析旋转对称结构的参激振动模态特性和动力稳定性变化规律。本发明能够更清晰的得到系统特征值的具体解析表达式。

说明书

技术领域

本发明涉及一种旋转对称结构固有频率和稳定性的分析方法。特别是涉及一种旋转对称结构固有频率和稳定性的简化分析方法。

背景技术

旋转机械在工业生产中，尤其是现代机械工业中是广泛存在的。例如内啮合齿轮传动、电子定/转子系统、柱塞马达、喷气发动机、轴承内外圈和水轮发电机组等。这类结构通常都可以总结为一种旋转对称结构。它们在工业生产过程中将不可避免的出现振动和噪声问题，尤其是在一些高速、重载的应用场合，已成为制约系统整体性能的一个关键因素。在现有的针对该类系统固有频率和动力稳定性分析的研究中，其动力学模型一般都较为庞大，尤其是针对薄圆环弹性构型(例如行星齿轮传动系统、喷气式发动机和水轮发电机组等方面)等进行振动仿真时，传统模型还具有很大的改进空间。

参激振动行为是旋转对称周期结构的一个重要动力学现象，其过于复杂的动力学模型是制约解析分析进行的一个关键技术瓶颈。现有技术(Kim W,Chung J.Free non-linear vibration of a rotating thin ring with the in-plane and out-of-planemotions,Journal of Sound and Vibration,2002,258:167-178)建立了一个自由圆环包含面内和面外振动的多维非线性模型，然后利用四种不同的建模假设将其简化为线性模型后分析了固有频率，并对比讨论了不同建模假设在描述系统非线性振动行为时的适用性。现有技术(Charnley T,Perrin R,Mohanant V,Banu H.Vibration of thin rings ofrectangular cross-section,Journal of Sound and Vibration,1989,134:455-488)重点分析对比了无延展和延展假设在分析静环固有频率问题时的互补性。现有技术(CooleyC G,Parker R G.Limitations of an inextensible model for the vibration ofhigh-speed rotating elastic rings with attached space-fixed discretestiffnesses,European Journal of Mechanics-A/Solids,2015,54:187-197)研究了一个旋转弹性环的固有频率问题，指出了无延展假设在简化完整模型时的局限性，尤其是在圆环高速旋转时几乎失效。

现有针对旋转对称结构的解析分析中，一般均会同时考虑圆环的径向和切向变形，在圆环随动坐标系下得到的系统的动力学方程会成为一个耦合径向和切向变形的矩阵方程。这就导致了现有技术在直接解析求解其动力学方程时过于复杂和繁琐，增大了工作量的同时还无法得到系统特征值的解析表达式。

发明内容

本发明所要解决的技术问题是，提供一种可以大幅度提高系统固有频率求解、动力稳定性预测和动态响应考察的分析计算效率的旋转对称结构固有频率和稳定性的简化分析方法。

本发明所采用的技术方案是：一种旋转对称结构固有频率和稳定性的简化分析方法，分别对由薄圆环和离散旋转支撑构成的旋转对称结构建立：系统的完整动力学微分方程，采用无延展假设的动力学微分方程，以及延展假设的动力学微分方程，对三种所述的动力学微分方程对比分析，得到无延展假设和延展假设适用条件；具体包括如下步骤：

1)分别建立系统的完整动力学微分方程、采用无延展假设的动力学微分方程和延展假设的动力学微分方程：

(1)建立系统的完整动力学微分方程：在圆环随动坐标系o-rθz下，基于Hamilton原理建立旋转对称结构的完整动力学微分方程为：

式中：

为质量算子矩阵；

为考虑径向和切向变形的系统的动力学响应，均为时间t的函数；

为圆环刚度算子矩阵；其中

为旋转支撑附加刚度算子矩阵；其中

利用Dirac函数描述了旋转支撑的时变性；

β为旋转支撑的方向角；

θ为表示旋转支撑位置角的一个空间函数；

k_t为圆环外侧均布切向静止支撑刚度；

k_r为圆环外侧均布径向静止支撑刚度；

θ_j＝2π(j–1)/N，表示第j个旋转支撑的初始位置，N为总的旋转支撑个数；

Ω为旋转支撑的转速；

t表示时间；

c_z＝I/(AR²)为人为引入的一个运算符；

I＝bh³/12为圆环截面惯性矩；

A＝bh为圆环截面面积；

R为圆环中心圆半径；

b为圆环的径向厚度；

h为圆环的轴向高度；

k_s为旋转支撑刚度；

(2)应用无延展假设建立采用无延展假设的动力学微分方程：

式中：

为质量算子；

为圆环刚度算子矩阵；

为均布支撑附加刚度算子矩阵；

为旋转支撑附加刚度算子矩阵；

(3)应用延展假设建立采用延展假设的动力学微分方程：

式中：

为质量算子；

为圆环刚度算子矩阵；

为均布支撑附加刚度算子矩阵；

为旋转支撑附加刚度算子矩阵；

2)引入坐标变换将步骤1)中的三个动力学微分方程转换到支撑随动坐标系下，分别得到与三个动力学微分方程相对应的三个常系数偏微分动力学方程如下：

(1)(M′^C+K′^C0+K′^C1)q^C＝0；

式中：

(2)(M′^SA+K′^SA0+K′^SAout+K′^SA1)u＝0；

式中：

(3)(M′^SB+K′^SB0+K′^SBout+K′^SB1)v＝0；

式中：

3)利用Galerkin方法，将支撑随动坐标系下的三个常系数偏微分动力学方程离散处理为三个常微分矩阵方程：

式中：

为质量矩阵；

为动力学响应矩阵；

为陀螺矩阵；

为刚度矩阵

式中：

n为振动波数；

式中：

式中：

4)对步骤3)中第(1)个常微分矩阵方程，利用经典振动理论，借助Matlab软件，得到完整动力学微分方程的特征值；

对步骤3)中第(2)个和第(3)个常微分矩阵方程，分别对应设解和并对应代入第(2)个和第(3)个常微分矩阵方程，运算后得到相应的特征值的表达式：

5)根据步骤4)中所得到的完整动力学微分方程的特征值和两个简化动力学微分方程的特征值，根据三个所述的特征值分析旋转对称结构的参激振动模态特性和动力稳定性变化规律。

步骤5)所述的参激振动模态特性和动力稳定性变化规律，是将特征值的虚部作为旋转对称结构的固有频率；将特征值的实部作为稳定性判据：当特征值的实部大于零，则旋转对称结构出现不稳定现象；当特征值的实部小于或等于零，则旋转对称结构稳定。

本发明的一种旋转对称结构固有频率和稳定性的简化分析方法，通过引入了两种不同的建模假设，大幅度的减少了系统特征值分析和求解过程中的计算量，并能够更清晰的得到系统特征值的具体解析表达式。本发明的方法不仅较大程度的简化了旋转机械的解析分析过程，而且能够更为直观的给出其解析形式的特征值。比现有的数值和解析分析方法更具有简洁性、一般性和普适性，克服了现有技术偏于数值计算、推导过程较为繁琐、分析效率低下且可推广性受限制的缺点。使类似结构的旋转机械在关于参激振动方面的研究更加简单、高效，并且能够满足工程应用要求。同时该方法通过对比不同建模假设的应用，阐明了各种动力学模型的适用条件和范围，可实现在设计阶段针对不同的使用背景，更有针对性的预估旋转机械的模态特性、振动行为及动态响应结果。以指导旋转机械的高效结构设计，进而提高其动力稳定性和运行效率。本发明可以用于旋转机械，如内啮合齿轮传动、电子定/转子系统、柱塞马达、喷气发动机、轴承内外圈和水轮发电机组等旋转对称结构的动力学简化分析，也可应用于相关的试验、仿真、设计和制造等领域。可以大幅度提高系统固有频率求解、动力稳定性预测和动态响应考察的分析计算效率。

附图说明

图1是本发明中所述的旋转对称结构示意图及两种坐标系；

图2a是在较小的旋转支撑刚度下，基于完整动力学微分方程和两个简化动力学微分方程得到的旋转对称结构固有频率随振动波数n变化的对比；

图2b是在较大的旋转支撑刚度下，基于完整动力学微分方程和两个简化动力学微分方程得到的旋转对称结构固有频率随振动波数n变化的对比；

图3a是基于完整动力学微分方程预测的旋转对称结构在不同旋转支撑转速Ω下的不稳定区域；

图3b是基于两个简化动力学微分方程预测的旋转对称结构在不同旋转支撑转速Ω下的不稳定区域的叠加；

具体实施方式

下面结合实施例和附图对本发明的一种旋转对称结构固有频率和稳定性的简化分析方法做出详细说明。

本发明的一种旋转对称结构固有频率和稳定性的简化分析方法，根据在圆环随动坐标系下建立的旋转对称结构的完整动力学微分方程，然后利用坐标变换方法和经典振动理论计算了系统的特征值，并对比预测了完整和简化动力学微分方程下系统的模态特性和动力稳定性规律，分析了两种简化动力学微分方程在工程实际中的适用性。是基于经典振动理论，结合圆环振动理论中已有的无延展和延展假设，通过在不同的工程背景条件下引入不同的假设条件，实现了完整动力学微分方程的精简，提出了一种旋转对称结构参激振动解析分析的简化方法。

本发明的一种旋转对称结构固有频率和稳定性的简化分析方法，分别对由薄圆环和离散旋转支撑构成的旋转对称结构建立：系统的完整动力学微分方程，采用无延展假设的动力学微分方程，以及延展假设的动力学微分方程，对三种所述的动力学微分方程对比分析，得到无延展假设和延展假设适用条件；具体包括如下步骤：

1)分别建立系统的完整动力学微分方程、采用无延展假设的动力学微分方程和延展假设的动力学微分方程：

(1)建立系统的完整动力学微分方程：在圆环随动坐标系o-rθz下，基于Hamilton原理建立旋转对称结构的完整动力学微分方程为：

式中：

为系统完整动力学微分方程的质量算子矩阵；

为考虑径向和切向变形的系统的动力学响应，均为时间t的函数；

为圆环刚度算子矩阵；其中

为旋转支撑附加刚度算子矩阵；其中

利用Dirac函数描述了旋转支撑的时变性；

β为旋转支撑的方向角；

θ为表示旋转支撑位置角的一个空间函数；

k_t为圆环外侧均布切向静止支撑刚度；

k_r为圆环外侧均布径向静止支撑刚度；

θ_j＝2π(j–1)/N，表示第j个旋转支撑的初始位置，N为总的旋转支撑个数；

Ω为旋转支撑的转速；

t表示时间；

c_z＝I/(AR²)为人为引入的一个运算符；

I＝bh³/12为圆环截面惯性矩；

A＝bh为圆环截面面积；

R为圆环中心圆半径；

b为圆环的径向厚度；

h为圆环的轴向高度；

k_s为旋转支撑刚度；

对圆环随动坐标系o-rθz下利用Hamilton原理建模的同时，分别引入无延展假设和延展假设将完整动力学微分方程的径向和切向变形耦合的动力学矩阵方程转换为只与其中某一个变形的有关的简化动力学方程。具体如下：

(2)应用无延展假设建立采用无延展假设的动力学微分方程A：

式中：

为质量算子；

为圆环刚度算子矩阵；

为均布支撑附加刚度算子矩阵；

为旋转支撑附加刚度算子矩阵；

(3)应用延展假设建立采用延展假设的动力学微分方程B：

式中：

为质量算子；

为圆环刚度算子矩阵；

为均布支撑附加刚度算子矩阵；

为旋转支撑附加刚度算子矩阵；

2)引入坐标变换将步骤1)中的三个动力学微分方程转换到支撑随动坐标系下，分别得到与三个动力学微分方程相对应的三个常系数偏微分动力学方程如下：

式中：

(2)(M′^SA+K′^SA0+K′^SAout+K′^SA1)u＝0；

式中：

(3)(M′^SB+K′^SB0+K′^SBout+K′^SB1)v＝0；

式中：

3)由于研究的是方程简化对旋转对称结构的模态特性和动力稳定性分析的影响，故需将2n/N取为整数(此为本领域的公知常识)。则有

式中：

n为振动波数；

利用Galerkin方法，将支撑随动坐标系下的三个常系数偏微分动力学方程离散处理为三个常微分矩阵方程，所述Galerkin方法包括：

针对步骤2)中的三个常系数偏微分动力学方程，将常系数偏微分动力学方程中的动力学响应设解如下：

式中：

U和V均为时间的复函数，且有U(t)＝x₁(t)+iy₁(t)和V(t)＝x₂(t)+iy₂(t)；

i为虚数单位；

“～”表示复共轭；

定义一种内积形式如下：

将上述设解形式分别代入步骤2)中的三个常系数偏微分动力学方程中去，并与作内积，分离方程的实、虚部，然后分别转换为三个常微分矩阵方程如下：

式中：

为质量矩阵；

为动力学响应矩阵；

为陀螺矩阵；

为刚度矩阵

式中：

式中：

4)对步骤3)中第(1)个常微分矩阵方程，利用经典振动理论，借助Matlab软件，得到完整动力学微分方程的特征值；

对步骤3)中第(2)个和第(3)个常微分矩阵方程，分别对应设解和并对应代入第(2)个和第(3)个常微分矩阵方程，可得到对应的特征方程分别为

分别求解上述两个特征方程式，运算后得到相应的特征值的表达式：

以表1中数据为例，计算步骤3)中对应的常微分矩阵方程的特征值；

表1 旋转环状周期结构系统模型基本结构参数

5)根据步骤4)中所得到的完整动力学微分方程的特征值和两个简化动力学微分方程的特征值，根据三个所述的特征值分析旋转对称结构的参激振动模态特性和动力稳定性变化规律。所述的参激振动模态特性和动力稳定性变化规律，是将特征值的虚部作为旋转对称结构的固有频率；将特征值的实部作为稳定性判据：当特征值的实部大于零，则旋转对称结构出现不稳定现象；当特征值的实部小于或等于零，则旋转对称结构稳定。

具体是根据步骤4)中所得到的三种动力学微分方程的系统特征值，利用其虚部和实部即可分别得到系统对应的固有频率和参激振动动力稳定性变化规律，解析结论分别如附图2a、图2b和图3a、图3b所示。对比分析其变化规律，即可得到两种动力学微分方程简化假设的适用性条件。在图2a和图2b中，对比了三种动力学微分方程所求得的系统固有频率在不同的振动波数时的解析结论。实线为完整动力学微分方程的一阶正弦模态固有频率，长虚线为完整动力学微分方程的一阶余弦模态固有频率，短虚线为完整动力学微分方程的二阶正弦模态固有频率，点划线为完整动力学微分方程的二阶余弦模态固有频率；“○”和“+”分别为简化动力学微分方程A正、余弦模态的固有频率；“□”和“☆”分别为简化动力学微分方程B正、余弦模态的固有频率。简化动力学微分方程A的余弦模态固有频率和简化动力学微分方程B的正弦模态固有频率在逼近完整动力学微分方程的一阶余弦和二阶正弦模态固有频率时存在跃迁现象，跃迁点随着支撑刚度的增大而右移。说明对于参激振动系统，在简化动力学微分方程的时候，要针对不同的区间内的振动波数，选择适合的无延展假设或者延展假设。

图3a、图3b对比了三种动力学微分方程对于旋转对称结构不稳定区域的预测结果，图中横、纵坐标分别为旋转支撑的转速和刚度。图中黑色点状区域表示出现了不稳定现象，其它区域意味着稳定。简化动力学微分方程A和B分别预测的结果进行叠加以后，可以直接预测出完整动力学微分方程一、二阶振动的两个不稳定主共振点。此外，需要注意的是，完整动力学微分方程预测出的另一个不稳定共振点，其位置约在简化模型可预测的两个不稳定主共振点之和的一半处，说明在工程中借助无延展假设和延展假设来简化完整动力学微分方程时，除了要关注所得的两个共振点的位置以外，还应重点关注两个共振点之和的一半的位置。

综上所述，本发明实施例提供了一种旋转对称结构模态特性和动力稳定性解析分析的简化方法，该方法可在数学建模阶段从圆环随动坐标系入手，借助一种无延展和延展假设，大幅度的简化系统动力学方程的复杂程度。然后通过引入坐标变换，消去了时变参激刚度项，进而得到旋转机械系统完整和简化动力学微分方程的解析形式的特征值，并指出了不同简化动力学微分方程的具体适用条件。该简化分析方法较大程度的提高了旋转机械模态和动力稳定性分析的效率和普适性，更好地满足了工程应用的需要。

根据本发明给出的三种所述的动力学微分方程做出适当的推广，可以大幅度的简化针对电机定/转子、内啮合齿轮和轴承内外圈等旋转机械系统的动力学分析过程，提高工程中进行类似设计时的分析效率。

本领域技术人员可以理解附图只是一个特殊实施例的示意图，并不用以限制本发明。显然，本领域的技术人员可以对本发明进行各种改动和变型而不脱离本发明的精神和范围。凡在本发明的精神和原则之内，所作的任何修改、等同替换和变型等，均应包含在本发明的保护范围之内。