投影到春分点赤道坐标系的解析天文定位方法

摘要

本发明公开了一种投影到春分点赤道坐标系的解析天文定位方法。该投影到春分点赤道坐标系的解析天文定位方法，将测者位置投影到春分点赤道坐标系，在春分点赤道坐标系中建立天文三角形，使用观测天体方位或者高度数据，通过解算天文三角形和关联球面三角形得到天体位置或者测者位置数据。与现有技术相比，本发明的有益效果是：解析天文定位计算简便，尤其多次观测同一天体计算更加简便；观测两天体方位或者高度测定天体位置不严格要求同时性，在一段时间内都可以；利于实现连续跟踪、实时解算天文定位；航海天文历等给出天体格林时角的历书能够大幅度简化；为测定天体位置或者测者位置提供了一种新的天文定位方法。

说明书

技术领域

本发明涉及测定天体位置或者测者位置的方法，尤其是一种投影到春分点赤道坐标系的解析天文定位方法。

背景技术

天文定位的原理，根据观测时间求得天体在地面上的投影点，得到天文船位圆圆心，修正观测天体高度至真高度得到真顶距，得到天文船位圆半径，观测两个天体得到两个天文船位圆，两个天文船位圆相交一般有两个点，靠近推算船位的一点即为观测位置；

高度差法的原理是，以选择船位为基点，在天体计算方位方向上，用天体观测真高度与天体计算高度的差值为截距做垂线，该垂线为天文船位圆的切线，使用通过截点的切线代替天文船位圆。参见《航海学》郭禹，张吉平，戴冉主编，大连.大连海事大学出版社.2014.8，P119-120，172-173。

时角赤道坐标系，也称第一赤道坐标系，以天赤道为基准圆，以格林(或者测者)午圈与天赤道的交点为原点，几何极为北天极，坐标是赤纬和时角。在时角赤道坐标系中，赤纬与测者无关，而时角与测者有关。由于地球自转，天体时角是时刻变化的，天体位置表述的是某一时刻天体的瞬时位置。

春分点赤道坐标系，也称第二赤道坐标系，以天赤道为基准圆，以春分点为原点，几何极为北天极，坐标是赤纬和赤经。在春分点赤道坐标系中，天体的位置与地球自转无关，春分点和恒星的位置基本不变(变化非常缓慢)，太阳、行星和月亮的位置有变化。参见《航海学》郭禹，张吉平，戴冉主编，大连.大连海事大学出版社.2014.8，P123-125。

传统测定天体位置的方法为子午法，在天体上下中天经过测者子午圈时测定。子午法测定天体位置，是在天体中天时刻测定天体顶距，根据天体顶距和测者纬度求解得天体赤纬，根据天体中天时间得到天体赤经。参见《天体测量方法》李东明，金文敬，夏一飞等著，北京.中国科学技术出版社.2006.8，P7-8。

子午法实际上是在天体地方时角为0°或者180°的特殊时刻测量。

在先前申请专利：李清林ZL201510626370.7“用假设经纬度法观测天体定位的方法”中给出了观测任意时刻天体方位或者高度，通过解天文三角形得到位置线，位置线相交测定测者位置的方法。

在先前申请专利：李清林ZL201610725091.4“解析测定天体位置或者测者位置的天文定位方法”中给出了无需作图标绘，通过解算关联球面三角形，用两个方位或者高度解析得到天体位置或者测者位置数据的天文定位方法。

此前的方法天体位置要换算到天体地理位置，该位置是测量时间瞬间天体在地球表面投影，天文三角形是建立在时角赤道坐标系；在时角赤道坐标系中，天体有周日视运动，较好的符合人们日常习惯，在先前的作图标绘位置线求测者位置也更方便。

在时角赤道坐标系中，天体位置时刻在变化，不同时间观测同一天体，天体的位置是不同的；对于观测两天体方位或者高度解析定位需要同时性，非同时观测数据需要进行异顶差修正；

对于连续观测同一天体，因天体位置时刻在变化，每个观测数据解算都需要根据观测时间先求得天体位置，虽然这也是可以实现的，但对连续跟踪同一天体或者观测两天体方位或者高度解析、实时解算天文定位显然是一种增加计算量的不利因素。

发明内容

为了解决上述问题，在此提出投影到春分点赤道坐标系的解析天文定位方法。

本发明所采用的技术方案是：将测者位置投影到春分点赤道坐标系，在春分点赤道坐标系中建立天文三角形，使用观测天体方位或者高度数据，通过解算天文三角形和关联球面三角形得到天体位置或者测者位置数据。

与现有技术相比，本发明的有益效果是：解析天文定位计算简便，尤其多次观测同一天体计算更加简便；观测两天体方位或者高度测定天体位置不严格要求同时性，在一段时间内都可以；利于实现连续跟踪、实时解算天文定位；航海天文历等给出天体格林时角的历书能够大幅度简化；为测定天体位置或者测者位置提供了一种新的天文定位方法。

现行航海天文历给出春分点、太阳、月亮和行星每小时格林时角和赤纬及其变化量；投影到春分点赤道坐标系，需给出数据为：格林点、太阳、月亮和行星每日赤经和赤纬及其变化量，数据量为现行航海天文历的1/24；格林点赤经与春分点格林时角相同，但因其为均匀变化无超差，给出每日数据即可；现行航海天文历为每3日一页，每年共366/3＝122页，投影到春分点赤道坐标系为122/24＝5.08，每年共5.08页即可保持与现行航海天文历等精度。

附图说明

图1为：春分点赤道坐标系中天文三角形图。

图2为：同侧两地观测同一天体关联球面三角形边角关系图。

图3为：异侧两地观测同一天体关联球面三角形边角关系图。

图4为：一地观测同侧两天体关联球面三角形边角关系图。

图5为：一地观测异侧两天体关联球面三角形边角关系图。

具体实施方式

将测者位置投影到春分点赤道坐标系各量的表示方法：

为区别于时角赤道坐标系的表示方法，我们将格林午线与赤道的交点投影到春分点赤道坐标系，该点赤纬为0°，赤经为格林点赤经GRA，显然格林点赤经GRA数值上等于时角赤道坐标系中的春分点格林时角GHAΥ，但度量方向与其相反为沿天赤道向东度量，取值范围0°-360°。

将测者位置投影到春分点赤道坐标系，其测者赤纬等于测者纬度(Dec＝Lat)，测者赤经(RA_Z)为自春分点Υ沿天赤道向东度量至测者投影位置午线的弧距，显然，测者赤经RA_Z与格林点赤经GRA之间相差为测者经度Long，

同样我们将测者午圈与天体午圈在天赤道上所夹的弧距称为天体地方赤经(LRA)，用圆周法表示为由测者午圈沿天赤道向东度量至天体午圈，取值范围0°-360°；用半圆法表示由测者午圈沿天赤道向东或者向西度量至天体午圈，取值范围0°-180°，需要命名标注东E或者西W；天体地方赤经等于天体赤经与测者赤经的差值，LRA＝RA-RA_Z。

春分点赤道坐标系中天文三角形的建立：

在春分点赤道坐标系中，由测者午圈、天体午圈和天体垂直圈构成球面三角形，称为天文三角形，三个顶点是测者投影位置、天体位置和仰天极，三条边是余纬(90°-Lat)、余距(90°-Dec)和顶距(90°-h)，三个角是半圆方位角A、半圆地方赤经LRA、天体位置角X，如图1所示。显然，春分点赤道坐标系中的天文三角形与时角赤道坐标系中的天文三角形差别是用半圆地方赤经LRA代替了半圆地方时角LHA，其它各边和角都是相对应的。

将测者位置投影到春分点赤道坐标系的视运动情况：

春分点和恒星的位置基本不变(变化非常缓慢)，太阳做周年视运动，赤经和赤纬以年为周期变化；月亮做周月视运动，赤经和赤纬以月为周期变化；行星赤经和赤纬按各自运动周期变化。

格林点和测者投影点做周日视运动，即格林点和测者投影点赤经以日为周期变化；可以看作格林点和测者投影点每日扫过天球一周。

因为在春分点赤道坐标系，恒星位置基本不变(变化非常缓慢)，太阳位置以年为周期变化，月亮位置以月为周期变化，与在时角赤道坐标系中变化率相比，太阳约为1/365，月亮约为1/30，行星变化率也小很多。所以，在春分点赤道坐标系，连续多次观测同一天体计算更加简便；观测两天体方位或者高度测定天体位置不严格要求同时性，在一段时间内都可以；利于实现连续跟踪、实时解算天文定位。

投影到春分点赤道坐标系的解析天文定位方法，能够实现观测单天体方位和高度解析天体位置或者测者位置，已知测者位置和天体位置解算天体真方位和高度，两地观测同一天体方位或者高度解析天体位置，一地观测两天体方位或者高度解析测者位置。

具体实施方式如下。

具体实施方式1，在已知位置Z(Lat/Long)观测未知天体B的真方位A和真高度h，解算天体位置；根据时间得到格林点赤经GRA，将测者位置Z投影到春分点赤道坐标系在天文三角形中，如图1所示：已知顶距(90°-h)，余纬(90°-Lat)和方位角A三要素，使用余弦公式求解余距(90°-Dec)：

cos(90°-Dec)＝cos(90°-h)*cos(90°-Lat)

+sin(90°-h)*sin(90°-Lat)*cos(A)

＝sin(h)*sin(Lat)+cos(h)*cos(Lat)*cos(A)

解得余距(90°-Dec)，得到天体赤纬Dec；再使用余弦公式变形求解地方赤经LRA：

解算得到地方赤经LRA，得到天体赤经RA＝LRA+RA_Z，得到天体位置(Dec，RA)。

具体实施方式2，在未知位置Z观测已知天体B(Dec/RA)的真方位A和真高度h，解算测者位置；根据时间得到格林点赤经GRA，将测者位置Z投影到春分点赤道坐标系，在天文三角形中，如图1所示：已知余距(90°-Dec)，顶距(90°-h)和方位角A三要素，使用正弦公式求解地方赤经LRA：

解得地方赤经LRA，得到经度Long＝RA-LRA-GRA；再使用纳皮尔公式变形求解余纬(90°-Lat)：

解算得到余纬(90°-Lat)，得到纬度Lat；得到测者位置(Lat，Long)。

具体实施方式3，在已知位置Z(Lat/Long)观测已知天体B(Dec/RA)，解算天体真方位A和真高度h；根据时间得到格林点赤经GRA，将测者位置Z投影到春分点赤道坐标系由天体赤经RA和测者赤经RA_Z得到地方赤经LRA＝RA-RA_Z，在天文三角形中，如图1所示：已知余距(90°-Dec)，余纬(90°-Lat)和地方赤经LRA三要素，使用余弦公式求解顶距(90°-h)：

cos(90°-h)＝cos(90°-Dec)*cos(90°-Lat)

+sin(90°-Dec)*sin(90°-Lat)*cos(LRA)

＝sin(Dec)*sin(Lat)+cos(Dec)*cos(Lat)*cos(LRA)

解得顶距(90°-h)，得到高度h；再使用余弦公式变形求解方位角A：

解算得到方位角A；得到天体的真方位和真高度(A，h)。

具体实施方式4，在已知位置Z₁(Lat1/Long1)、Z₂(Lat2/Long2)，观测同一未知天体B的真方位分别为A1、A2，解算天体位置；根据时间得到格林点赤经GRA1、GRA2，将Z₁和Z₂投影到春分点赤道坐标系，Z₁和Z₂位于天体B同侧如图2，异侧如图3；在球面上用大圆弧连接点Z₁和Z₂得到两个辅助三角形△PZ₁Z₂和△BZ₁Z₂与天文三角形△PZ₁B和△PZ₂B组成关联球面三角形，如图2或者图3所示；

在三角形△PZ₁Z₂中，已知两边(90°-Lat1)、(90°-Lat2)及其夹角(RA_Z2-RA_Z1)，使用余弦公式求解另外一边Z₁Z₂：

cos(Z₁Z₂)＝cos(90°-Lat1)*cos(90°-Lat2)+sin(90°-Lat1)

*sin(90°-Lat2)*cos(RA_Z2-RA_Z1)

＝sin(Lat1)*sin(Lat2)+cos(Lat1)*cos(Lat2)

*cos(RA_Z2-RA_Z1)

再使用余弦公式变形求解另外两角∠PZ₁Z₂和∠PZ₂Z₁：

再由关联球面三角形边角关系解得∠BZ₁Z₂和∠BZ₂Z₁；

同侧∠BZ₁Z₂＝|∠PZ₁Z₂-A₁|和∠BZ₂Z₁＝|∠PZ₂Z₁+A₂|(若所得值大于180°用360°减去所得值)，或者异侧∠BZ₁Z₂＝|∠PZ₁Z₂-A₁|和∠BZ₂Z₁＝|∠PZ₂Z₁-A₂|；

在A1、A2已知情况下，两地在天体同侧或者异侧只能是其中一种情况，故两地观测同一天体方位求天体位置能够得到一组解；

在三角形△BZ₁Z₂中，已知两角∠BZ₁Z₂、∠BZ₂Z₁及其夹边Z₁Z₂，使用四元素公式变形求解另外两边(90°-h1)和(90°-h2)：

在三角形△PZ₁B中，已知两边(90°-h1)、(90°-Lat1)及其夹角A1，使用余弦公式求解另外一边(90°-Dec)：

cos(90°-Dec)＝cos(90°-h1)*cos(90°-Lat1)+sin(90°-h1)

*sin(90°-Lat1)*cos(A1)

＝sin(h1)*sin(Lat1)+cos(h1)*cos(Lat1)*cos(A1)

解得(90°-Dec)，得到赤纬Dec，再使用余弦公式变形求解另外一角LRA1：

或者在三角形△PZ₂B中，已知两边(90°-h2)、(90°-Lat2)及其夹角A2，求解另外一边(90°-Dec)和LRA2方法同解△PZ₁B；

由LRA得到天体赤经RA＝LRA+RA_Z，得到天体位置B(Dec，RA)。

具体实施方式5，在已知位置Z₁(Lat1/Long1)、Z₂(Lat2/Long2)，观测同一未知天体B的真高度分别为h1、h2，解算天体位置；根据时间得到格林点赤经GRA1、GRA2，将Z₁和Z₂投影到春分点赤道坐标系，Z₁和Z₂位于天体B同侧如图2，异侧如图3，在球面上用大圆弧连接点Z₁和Z₂得到两个辅助三角形△PZ₁Z₂和△BZ₁Z₂与天文三角形△PZ₁B和△PZ₂B组成关联球面三角形，如图2和图3所示；

在三角形△PZ₁Z₂中，已知两边(90°-Lat1)、(90°-Lat2)及其夹角(RA_Z2-RA_Z1)，使用余弦公式求解另外一边Z₁Z₂：

cos(Z₁Z₂)＝cos(90°-Lat1)*cos(90°-Lat2)+sin(90°-Lat1)

*sin(90°-Lat2)*cos(RA_Z2-RA_Z1)

＝sin(Lat1)*sin(Lat2)+cos(Lat1)*cos(Lat2)

*cos(RA_Z2-RA_Z1)

再使用余弦公式变形求解另外两角∠PZ₁Z₂和∠PZ₂Z₁：

在三角形△BZ₁Z₂中，已知三边(90°-h1)、(90°-h2)和Z₁Z₂，使用余弦公式变形求解两角∠BZ₁Z₂和∠BZ₂Z₁：

再由关联球面三角形边角关系解得A1和A2；

A₁＝|∠PZ₁Z₂-∠BZ₁Z₂|和A₂＝|∠PZ₂Z₁-∠BZ₂Z₁|，

与A₁＝∠PZ₁Z₂+∠BZ₁Z₂和A₂＝∠PZ₂Z₁+∠BZ₂Z₁(若所得值大于180°用360°减去所得值)；

在已知高度未知方位情况下，两组解能够同时存在，故两地观测同一天体高度求天体位置一般能够得到两组解；

在三角形△PZ₁B中，已知两边(90°-h1)、(90°-Lat1)及其夹角A1，使用余弦公式求解另外一边(90°-Dec)：

cos(90°-Dec)＝cos(90°-h1)*cos(90°-Lat1)+sin(90°-h1)

*sin(90°-Lat1)*cos(A1)

＝sin(h1)*sin(Lat1)+cos(h1)*cos(Lat1)*cos(A1)

解得(90°-Dec)，得到赤纬Dec，再使用余弦公式变形求解另外一角LRA1：

或者在三角形△PZ₂B中，已知两边(90°-h2)、(90°-Lat2)及其夹角A2，求解另外一边(90°-Dec)和LRA2方法同解△PZ₁B；

由LRA得到天体赤经RA＝LRA+RA_Z，得到天体位置B(Dec，RA)。

具体实施方式6，在未知位置Z观测已知天体B₁(Dec1/RA1)、B₂(Dec2/RA2)的真方位分别为A1、A2，解算测者位置；根据时间得到格林点赤经GRA，将测者Z投影到春分点赤道坐标系，B₁和B₂位于测者Z同侧如图4，异侧如图5；在球面上用大圆弧连接点B₁和B₂得到两个辅助三角形△PB₁B₂和△ZB₁B₂与天文三角形△PZB₁和△PZB₂组成关联球面三角形，如图4和图5所示；

在三角形△PB₁B₂中，已知两边(90°-Dec1)、(90°-Dec2)及其夹角(RA2-RA1)，使用余弦公式求解另外一边B₁B₂：

cos(B₁B₂)＝cos(90°-Dec1)*cos(90°-Dec2)+sin(90°-Dec1)

*sin(90°-Dec2)*cos(RA2-RA1)

＝sin(Dec1)*sin(Dec2)+cos(Dec1)*cos(Dec2)

*cos(RA2-RA1)

在三角形△PZB₁中，已知边(90°-Dec1)和角A1，未知(90°-h1)、和(90°-Lat)，使用余弦公式：

cos(90°-Dec1)＝cos(90°-h1)*cos(90°-Lat)+sin(90°-h1)*sin(90°-Lat)*cos(A1)---(1)

在三角形△PZB₂中，已知边(90°-Dec2)和角A2，未知(90°-h2)、和(90°-Lat)，使用余弦公式：

cos(90°-Dec2)＝cos(90°-h2)*cos(90°-Lat)+sin(90°-h2)*sin(90°-Lat)*cos(A2)---(2)

在三角形△ZB₁B₂中，已知边B₁B₂和角(A2-A1)(两天体同侧)或者角(A1+A2)(两天体异侧)(若所得值大于180°用360°减去所得值)，未知(90°-h1)、和(90°-h2)，使用余弦公式：

cos(B₁B₂)＝cos(90°-h1)*cos(90°-h2)+sin(90°-h1)*sin(90°-h2)*cos(A2-A1)---(3)

或者

cos(B₁B₂)＝cos(90°-h1)*cos(90°-h2)+sin(90°-h1)*sin(90°-h2)*cos(A1+A2)---(4)

在方位已知情况下，两天体在测者同侧或者异侧只能是其中一种情况，两天体同侧(1)-(3)或者两天体异侧(1)(2)(4)三式联立共3个未知数，求解得到(90°-h1)、(90°-h2)和(90°-Lat)，得到纬度Lat；

在三角形△PZB₁中，已知三边(90°-Dec1)、(90°-h1)、(90°-Lat)，使用余弦公式变形求解另外一角LRA1，

或者在三角形△PZB₂中，已知三边(90°-Dec2)、(90°-h2)、(90°-Lat)，使用余弦公式变形求解另外一角LRA2方法同解△PZB₁；

由LRA得到经度Long＝RA-LRA-GRA；得到测者位置Z(Lat，Long)。

具体实施方式7，在未知位置Z观测已知天体B₁(Dec1/RA1)、B₂(Dec2/RA2)的真高度分别为h1、h2，解算测者位置；根据时间得到格林点赤经GRA，将测者Z投影到春分点赤道坐标系，B₁和B₂位于测者Z同侧如图4，异侧如图5；在球面上用大圆弧连接点B₁和B₂得到两个辅助三角形△PB₁B₂和△ZB₁B₂与天文三角形△PZB₁和△PZB₂组成关联球面三角形，如图4和图5所示；

在三角形△PB₁B₂中，已知两边(90°-Dec1)、(90°-Dec2)及其夹角(RA2-RA1)，使用余弦公式求解另外一边B₁B₂：

cos(B₁B₂)＝cos(90°-Dec1)*cos(90°-Dec2)+sin(90°-Dec1)

*sin(90°-Dec2)*cos(RA2-RA1)

＝sin(Dec1)*sin(Dec2)+cos(Dec1)*cos(Dec2)

*cos(RA2-RA1)

再使用余弦公式变形求解另外两角∠PB₁B₂和∠PB₂B₁：

在三角形△ZB₁B₂中，已知三边(90°-h1)、(90°-h2)、B₁B₂，使用余弦公式变形求解另外两角∠ZB₁B₂和∠ZB₂B₁：

再由关联球面三角形边角关系解得∠PB₁Z和∠PB₂Z；

∠PB₁Z＝|∠PB₁B₂-∠ZB₁B₂|和∠PB₂Z＝|∠PB₂B₁-∠ZB₂B₁|，与∠PB₁Z＝∠PB₁B₂+∠ZB₁B₂和∠PB₂Z＝∠PB₂B₁+∠ZB₂B₁(若所得值大于180°用360°减去所得值)；

在已知高度未知方位情况下，两组解能够同时存在，故一地观测两天体高度求测者位置一般能够得到两组解；

在三角形△PB₁Z中，已知两边(90°-Dec1)、(90°-h1)及其夹角∠PB₁Z，使用余弦公式求解另外一边(90°-Lat)：

cos(90°-Lat)＝cos(90°-Dec1)*cos(90°-h1)+sin(90°-Dec1)

*sin(90°-h1)*cos(PB₁Z)

＝sin(Dec1)*sin(h1)+cos(Dec1)*cos(h1)*cos(PB₁Z)

解得(90°-Lat)，得到纬度Lat，再使用余弦公式变形求解另外一角LRA1：

或者在三角形△PB₂Z中，已知两边(90°-Dec2)、(90°-h2)及其夹角∠PB₂Z，使用余弦公式求解(90°-Lat)和LRA2方法同解△PB₁Z；

由LRA得到经度Long＝RA-LRA-GRA；得到测者位置Z(Lat，Long)。

公式中数值符号换算及命名规则：上述关联球面三角形均为欧拉球面三角形，公式中参与计算值取值范围[0-180°]；

1)纬度Lat1恒取正值+(无论北纬或者南纬)，求Z₁Z₂时，纬度Lat2与纬度Lat1同名取正值+，异名取负值-，取值范围[N/S>

2)解算得纬度Lat，正值+取与天体赤纬Dec同名，负值-取与天体赤纬异名，取值范围[N/S>

3)经度Long，东经E取正值+，西经W取负值-；解算得经度Long，结果正值+为东经E，结果负值-为西经W，取值范围[E/W 0-180°]；

4)求B₁B₂时，赤纬Dec1取正值+(无论北纬或者南纬)，赤纬Dec2与赤纬Dec1同名取正值+，异名取负值-，取值范围[N/S>

5)解算得赤纬Dec，正值+取与测者纬度Lat同名，负值-取与测者纬度异名，取值范围[N/S>

6)格林点赤经GRA和天体赤经RA恒为正值+，取值范围[0-360°]；

7)地方赤经LRA取半圆赤经，恒取正值+，取值范围[E/W 0-180°]；圆周法转换为半圆法规则：小于180°时为东向E取原值，大于180°时为西向E取(360°-LRA)；

8)解算得地方赤经LRA为半圆赤经，恒为正值+，取值范围[E/W 0-180°]，名称取半圆方位第二名称E/W；半圆法转换为圆周法规则：东向E取原值，西向W取(360°-LRA)；

9)观测真方位A取半圆方位，恒取正值+，取值范围[N/S//E/W 0-180°]；圆周方位转换为半圆方位规则：在北纬，0-180°用原值命名为NE，180°-360°用(360°-A)命名为NW；在南纬，0-180°用(180°-A)命名为SE，180°-360°用(A-180°)命名为SW；两地观测同一天体方位时，两半圆方位统一根据Lat1命名；

10)解算得方位角A为半圆方位，命名规则：第一名称同测者纬度Lat，第二名称同地方赤经LRA。

具体计算例1，1998年12月20日1800LT(1000GMT)在测者位置Z(N30°32′06″/E123°12′18″)观测五车二Capella的真方位A51°22′47″和真高度h 29°53′27″，解算天体位置；

根据时间得到格林点赤经GRA 238°47′12″，将测者位置Z投影到春分点赤道坐标系在天文三角形中，已知顶距(90°-h)＝90°-29°53′27″＝60°06′33″，余纬(90°-Lat)＝90°-30°32′06″＝59°27′54″和方位角A＝NE51°22′47″三要素，使用余弦公式求解余距(90°-Dec)：

cos(90°-Dec)＝cos(60°06′33″)*cos(59°27′54″)

+sin(60°06′33″)*sin(59°27′54″)*cos(51°22′47″)

解得余距(90°-Dec)＝44°00′18″，得到天体赤纬Dec＝N45°59′42″；再使用余弦公式变形求解地方赤经LRA：

解算得到地方赤经LRA＝77°10′00″，根据观测方位NE知为东向E，得到天体赤经RA＝LRA+RA_Z＝77°10′00″+1°59′30″＝79°09′30″；得到五车二Capella的位置(Dec>

具体计算例2，1998年12月20日1800LT(1000GMT)在未知测者位置观测五车二Capella(Dec N45°59′42″/RA 79°09′30″)的真方位A 51°22′47″和真高度h 29°53′27″，解算测者位置；

根据时间得到格林点赤经GRA 238°47′12″，将测者位置Z投影到春分点赤道坐标系，在天文三角形中，已知余距(90°-Dec)＝90°-45°59′42″＝44°00′18″，顶距(90°-h)＝90°-29°53′27″＝60°06′33″和方位角A＝NE51°22′47″三要素，使用正弦公式求解地方赤经LRA：

解得地方赤经LRA＝77°10′02″或者102°49′58″，根据观测方位NE知为东向E，得到经度Long＝RA-LRA-GRA＝79°09′30″-77°10′02″-238°47′12″＝E123°12′16″；或者Long＝79°09′30″-102°49′58″-238°47′12″＝E97°32′20″；再使用纳皮尔公式变形求解余纬(90°-Lat)：

或者

解算得到余纬(90°-Lat)＝59°27′52″或者35°14′56″，得到纬度Lat＝N30°32′08″或者Lat＝N54°45′04″；得到测者位置(Lat N30°32′08″，Long E123°12′16″)或者(Lat N54°45′04″，Long E97°32′20″)。

具体计算例3，1998年12月20日1800LT(1000GMT)在测者位置Z(N30°32′06″/E123°12′18″)观测五车二Capella(Dec N45°59′42″/RA 79°09′30″)，解算天体真方位A和真高度h；

根据观测时间得到格林点赤经GRA 238°47′12″，将测者位置Z投影到春分点赤道坐标系由天体赤经RA＝79°09′30″和测者赤经RA_Z＝1°59′30″得到地方赤经LRA＝RA-RA_Z＝79°09′30″-1°59′30″＝E77°10′00″，在天文三角形中，已知余距(90°-Dec)＝90°-45°59′42″＝44°00′18″，余纬(90°-Lat)＝90°-30°32′06″＝59°27′54″和地方赤经LRA＝E77°10′00″三要素，使用余弦公式求解顶距(90°-h)：

cos(90°-h)＝cos(44°00′18″)*cos(59°27′54″)

+sin(44°00′18″)*sin(59°27′54″)*cos(77°10′00″)

解得顶距(90°-h)＝60°06′33″，得到高度h＝29°53′27″；再使用余弦公式变形求解方位角A：

解算得到方位角A＝NE 51°22′47″＝51°22′47″；得到五车二Capella的真方位和真高度(A 51°22′47″，h 29°53′27″)。

上述3例中，正反解算结果有约2角秒的误差，是因为数据角秒后小数四舍五入造成的，例3中解算天体方位和高度小数点后4位为A＝51°22′46″.5656，h＝29°53′27″.0271，使用此数据进行例1、2解算，结果完全相符；后面计算例中误差产生原因相同。

具体计算例4，1998年12月20日1800LT(1000GMT)在测者位置Z₁(N18°18′12″/E113°11′18″)观测五车二Capella的真方位为A1>2(N38°28′12″/E121°55′30″)观测五车二Capella的真方位为A2>

根据时间得到格林点赤经GRA1 238°47′12″和GRA2 241°17′36″，将Z₁和Z₂投影到春分点赤道坐标系，半圆方位命名A1＝NE45°54′38″和A2＝NE55°47′25″；解算Z₁Z₂：

cos(Z₁Z₂)＝cos(90°-18°18′12″)*cos(90°-38°28′12″)

+sin(90°-18°18′12″)*sin(90°-38°28′12″)

*cos(3°13′06″-351°58′30″)

解得Z₁Z₂＝22°25′04″，再求解两角∠PZ₁Z₂和∠PZ₂Z₁：

解得∠PZ₁Z₂＝23°35′47″和∠PZ₂Z₁＝150°57′40″；

再由关联球面三角形边角关系解得：

∠BZ₁Z₂＝|∠PZ₁Z₂-A₁|＝45°54′38″-23°35′47″＝22°18′51″，

∠BZ₂Z₁＝|∠PZ₂Z₁+A₂|＝360°-(150°57′40″+55°47′25″)＝153°14′55″，

再求解(90°-h1)：

解得(90°-h1)＝75°01′51″，再求解(90°-Dec)：

cos(90°-Dec)＝cos(75°01′51″)*cos(90°-18°18′12″)

+sin(75°01′51″)*sin(90°-18°18′12″)*cos(45°54′38″)

解得(90°-Dec)＝44°00′18″，得赤纬Dec＝45°59′42″，再求解LRA1：

解得LRA1＝87°11′00″，根据观测方位NE知为东向E，得到天体赤经RA＝LRA+RA_Z＝87°11′00″+351°58′30″＝79°09′30″；

解算得到五车二Capella的位置(Dec>

具体计算例5，1998年12月20日1800LT(1000GMT)在测者位置Z₁(N18°18′12″/E113°11′18″)观测五车二Capella的真高度为h1>2(N38°28′12″/E121°55′30″)观测五车二Capella的真高度为h2>

根据时间得到格林点赤经GRA1 238°47′12″和GRA2 241°17′36″，将Z₁和Z₂投影到春分点赤道坐标系，

解算Z₁Z₂、∠PZ₁Z₂和∠PZ₂Z₁同计算例4，解得Z₁Z₂＝22°25′04″，∠PZ₁Z₂＝23°35′47″和∠PZ₂Z₁＝150°57′40″；再求解∠BZ₁Z₂和∠BZ₂Z₁：

解得∠BZ₁Z₂＝22°18′52″和∠BZ₂Z₁＝153°14′54″，

再由关联球面三角形边角关系解得：

A₁＝|∠PZ₁Z₂-∠BZ₁Z₂|＝23°35′47″-22°18′52″＝01°16′55″，

或者A1＝∠PZ₁Z₂+∠BZ₁Z₂＝23°35′47″+22°18′52″＝45°54′39″，再求解(90°-Dec)：

cos(90°-Dec)＝cos(90°-14°58′09″)*cos(90°-18°18′12″)

+sin(90°-14°58′09″)*sin(90°-18°18′12″)*cos(01°16′55″)

或者

cos(90°-Dec)＝cos(90°-14°58′09″)*cos(90°-18°18′12″)

+sin(90°-14°58′09″)*sin(90°-18°18′12″)*cos(45°54′39″)

解得(90°-Dec)＝03°33′11″或者44°00′19″，得到赤纬Dec＝N86°26′49″或者Dec＝N45°59′41″，再求解LRA1：

或者

解得LRA1＝159°35′30″或者87°11′00″，如天体方位已知直接命名，若方位未知，按照E或者W分别计算，RA＝LRA+RA_Z，

E：RA＝159°35′30″+351°58′30″＝511°34′00″-360°＝151°34′00″，

W：RA＝360°-159°35′30″+351°58′30″＝552°23′00″-360°＝192°23′00″，

或者E：RA＝87°11′00″+351°58′30″＝439°09′30″-360°＝79°09′30″，

W：RA＝360°-87°11′00″+351°58′30″＝624°47′30″-360°＝264°47′30″；

同样解算LRA2：

或者

解得LHA2＝148°20′54″或者75°56′24″用E或者W分别计算，

E：RA＝148°20′54″+3°13′06″＝151°34′00″，

W：RA＝360°-148°20′54″+3°13′06″＝214°52′12″，

或者E：RA＝75°56′24″+3°13′06″＝79°09′30″，

W：RA＝360°-75°56′24″+3°13′06″＝287°16′42″；

LHA1与LHA2计算结果相同为正确结果，得到天体赤经RA＝151°34′00″，或者RA＝79°09′30″，

解算得到五车二Capella的位置(Dec N86°26′49″，RA 151°34′00″)或者(Dec N45°59′41″，RA 79°09′30″)。

具体计算例6，1998年12月20日1800LT(1000GMT)在未知位置观测织女一Vega(DecN38°47′06″，RA 279°13′00″)的真方位为A1 302°20′43″和五车二Capella(Dec N45°59′42″，RA 79°09′30″)的真方位为A2 51°22′47″，解算测者位置；

在北半球半圆方位命名为A1＝NW57°39′17″和A2＝NE51°22′47″，根据时间得到格林点赤经GRA 238°47′12″，将测者Z投影到春分点赤道坐标系；解算B₁B₂：

cos(B₁B₂)＝cos(90°-38°47′06″)*cos(90°-45°59′42″)

+sin(90°-38°47′06″)*sin(90°-45°59′42″)

*cos(79°09′30″-279°13′00″)

解得B₁B₂＝93°19′57″，因为两天体方位NW和NE位于测者异侧，联立(1)(2)(4)式：

cos(90°-38°47′06″)＝cos(90°-h1)*cos(90°-Lat)+sin(90°-h1)*sin(90°-Lat)*cos(57°39′17″)---(1)

cos(90°-45°59′42″)＝cos(90°-h2)*cos(90°-Lat)+sin(90°-h2)*sin(90°-Lat)*cos(51°22′47″)---(2)

cos(93°19′57″)＝cos(90°-h1)*cos(90°-h2)+sin(90°-h1)*sin(90°-h2)*cos(57°39′17″+51°22′47″)---(4)

解得(90°-h1)＝66°15′14″，(90°-h2)＝60°06′32″，(90°-Lat)＝59°27′54″，得到纬度Lat＝N30°32′06″，再求解LRA1：

解得LRA1＝82°46′32″，根据观测方位NW知为西向W，得到经度Long＝RA-LRA-GRA＝279°13′00″-(360°-82°46′32″)-238°47′12″＝-236°47′40″＝E123°12′20″，

在南半球半圆方位命名为A1＝SW122°20′43″和A2＝SE128°37′13″，解算得到Z(Lat＝S51°50′56″，Long＝E121°02′04″)，在此位置两观测高度均为负值(h1＝-23°.7，h2＝-29°.9)，天体实际不可见；

解算得到测者位置Z(Lat N30°32′06″，Long E123°12′20″)。

具体计算例7，1998年12月20日1800LT(1000GMT)在未知位置观测织女一Vega(DecN38°47′06″，RA 279°13′00″)的真高度为h1 23°44′47″和五车二Capella(Dec N45°59′42″，RA 79°09′30″)的真高度为h2 29°53′27″，解算测者位置；

根据时间得到格林点赤经GRA 238°47′12″，将测者Z投影到春分点赤道坐标系；解算B₁B₂同计算例6，解得B₁B₂＝93°19′57″，再求解∠PB₁B₂和∠PB₂B₁：

解得∠PB₁B₂＝13°48′30″和∠PB₂B₁＝15°32′01″，再求解∠ZB₁B₂和∠ZB₂B₁：

解得∠ZB₁B₂＝55°10′52″和∠ZB₂B₁＝60°05′01″，

再由关联球面三角形边角关系解得∠PB₁Z：

∠PB₁Z＝|∠PB₁B₂-∠ZB₁B₂|＝55°10′52″-13°48′30″＝41°22′22″，

或者∠PB₁Z＝∠PB₁B₂+∠ZB₁B₂＝13°48′30″+55°10′52″＝68°59′22″，再求解(90°-Lat)：

cos(90°-Lat)＝cos(90°-38°47′06″)*cos(90°-23°44′47″)

+sin(90°-38°47′06″)*sin(90°-23°44′47″)*cos(41°22′22″)

或者

cos(90°-Lat)＝cos(90°-38°47′06″)*cos(90°-23°44′47″)

+sin(90°-38°47′06″)*sin(90°-23°44′47″)*cos(68°59′22″)

解得(90°-Lat)＝38°01′51″或者59°27′54″，得到纬度Lat＝N51°58′09″或者Lat＝N30°32′06″，再求解LRA1：

或者

解得LRA1＝100°53′17″或者82°46′30″，如天体方位已知直接命名，若方位未知，按照E或者W分别计算，Long＝RA-LRA-GRA，

E：Long＝279°13′00″-100°53′17″-238°47′12″＝W60°27′29″，

W：Long＝279°13′00″-(360°-100°53′17″)-238°47′12″＝E141°19′05″，

或者E：Long＝279°13′00″-82°46′30″-238°47′12″＝W42°20′42″，

W：Long＝279°13′00″-(360°-82°46′30″)-238°47′12″＝E123°12′18″，

同样解算LRA2：

或者

解得LHA2＝99°10′13″或者77°10′00″用E或者W分别计算，

E：Long＝79°09′30″-99°10′13″-238°47′12″＝E101°12′05″，

W：Long＝79°09′30″-(360°-99°10′13″)-238°47′12″＝W60°27′29″，

或者E：Long＝79°09′30″-77°10′00″-238°47′12″＝E123°12′18″，

W：Long＝79°09′30″-(360°-77°10′00″)-238°47′12″＝W82°27′42″，

LHA1与LHA2计算结果相同为正确，得到经度Long＝W60°27′29″，或者Long＝E123°12′18″，

解算得到测者位置Z(Lat N51°58′09″，Long W60°27′29″)或者(Lat N30°32′06″，LongE123°12′18″)。

投影到春分点赤道坐标系的解析天文定位方法，实际上也是用数学解算得到球面等方位角位置线或者球面等高度位置线的交点坐标，使用时要注意如下事项：

1)使用单天体方位和高度测定测者位置，同一天体的等方位角位置线与等高度位置线根据方位角和高度的不同，交点可能是一个或者两个，交角可能是0°-90°的任何角度，即两位置线可能垂直也有可能相切，在切点位置及其附近定位精度较差。

2)两方位或者高度测定天体位置或者测者位置，若采用同时数据，求解天体赤纬或者测者纬度与观测时间无关，即同时观测数据没有时间，也能够求解得到天体赤纬或者测者纬度。

3)天体方位观测数据与天体高度观测数据相比，天体高度观测数据受到大气密度垂直变化的影响，观测天体高度最好不低于30°；天体方位观测数据不受大气密度垂直变化的影响；在地面上对高度和方位相同的观测精度下，观测天体方位定位精度优于观测天体高度定位。