基于阵列天线确定微小卫星相对位置和相对姿态的方法

摘要

本发明公开了一种基于阵列天线确定微小卫星相对位置和相对姿态的方法，包括：先在主从航天器上分别安装阵列天线，建立坐标系，设计阵列天线发射信号及发射接收时序；再同时确定两个航天器之间的波达角和波离角；再构建天线阵列本体坐标系，得到两个天线阵列坐标系中各航天器之间的单位LOS向量，确定各航天器在本体坐标系中的单位LOS向量；再利用多个单位LOS向量之间的几何关系确定航天器之间的相对位置；最后利用多个单位LOS向量建立相对姿态转换矩阵方程，确定航天器之间的相对姿态。本方法利用航天器现有的通信模块进行相对位置和相对姿态的估计，尽可能地减少微小卫星重量，提高微小卫星的空间使用率。运算复杂度低，估计精度高。

说明书

【技术领域】

本发明属于微小卫星相对位置和相对姿态确定领域，具体涉及一种基于阵列天线确定微小卫星相对位置和相对姿态的方法。

【背景技术】

微小卫星编队飞行近几年来成为一个广泛关注的热门课题，通过卫星间的协调与控制，编队卫星不但能够代替单颗大卫星完成任务，还可以扩展传统卫星的应用领域和性能，应对不同航天需求，完成单颗大卫星不能完成的任务。在不依赖地面支持的情况下，利用星上敏感器实现微小卫星编队飞行相对位置和姿态的确定，是实现卫星编队自主运行和执行任务的基础。

传统的导航系统大都依赖精密而昂贵的导航设备，比如星敏感器和陀螺仪等，其重量和成本都很大，不适合用在体积和重量都比较小的微小卫星上。现有的方法还有基于全球导航定位系统(Global Positioning System,GPS)的方法，然而，GPS信号很容易受到干扰，会造成估计结果误差偏大。并且当卫星高于GPS卫星时，不便于相对状态的测量，也就是说对于深空编队任务，基于GPS的方法将不再适用。Texas A&M University开发了一种基于视觉的导航传感器系统(NISNAV)，该系统利用位置敏感二极管传感器来测量相对位置和姿态，但是这种传感器不可避免地额外增加了微小卫星重量。文献“Pixhawk:A system for autonomous flight using onboard computer vision”和“Optic flow-based vision system for autonomous 3d localization and control of small aerial vehicles”提出了利用立体相机来进行相对位置和姿态估计的方法，这种方法利用识别及追踪机载相机拍摄的图像中特征点来进行相对位置和姿态的确定。然而这种方法需要复杂的图像处理过程，非常耗费时间。

【发明内容】

本发明所要解决的技术问题在于针对上述现有技术中的不足，提供一种设计简单、低运算复杂度的、利用航天器现有模块进行确定的基于阵列天线确定微小卫星相对位置和相对姿态的方法。

本发明采用以下技术方案：

基于阵列天线确定微小卫星相对位置和相对姿态的方法，包括以下步骤：

S1、在主从航天器上分别安装阵列天线，建立坐标系，设计阵列天线发射信号及发射接收时序；

S2、根据步骤S1建立的接收信号及信道模型同时确定两个航天器之间通信链路直达径的波达角和波离角；

S3、构建天线阵列本体坐标系，利用步骤S2中确定的波达角和波离角得到两个天线阵列坐标系中各航天器之间的单位LOS向量，进一步得到各航天器在本体坐标系中的单位LOS向量；

S4、利用步骤S3中得到的多个单位LOS向量之间的几何关系确定航天器之间的相对位置；

S5、利用步骤S3中得到的多个单位LOS向量建立相对姿态转换矩阵方程，确定航天器之间的相对姿态。

进一步的，所述主航天器包括两个主航天器C₁、C₂，从航天器d_i，分别建立坐标系，其中，

主航天器C₁的本体坐标系的原点在航天器几何中心，y轴的方向与天线阵列所在的平面垂直并指向该平面，z轴指向主航天器C₁的正上方，x轴由右手准则给出，航天器所安装天线阵列的坐标系原点在天线阵列的几何中心，其x轴y轴和z轴分别与和平行，指向也相同；

主航天器C₂的本体坐标系的原点在航天器几何中心，-y轴的方向与天线阵列所在的平面垂直并指向该平面，z轴指向航天器C₁的正上方，x轴由右手准则给出，航天器所安装天线阵列的坐标系原点在天线阵列的几何中心，其z轴与平行，方向也相同，x轴和y轴与和方向相反。

进一步的，所述步骤S1中，两个主航天器同时接收来自从航天器的发射信号，阵列天线发射信号为采用伪随机序列的基带探测信号，使用BPSK对基带探测信号进行调制得到多径信号。

进一步的，所述探测信号经过发射机阵列天线利用微波开关进行切换循环发射信号，接收机同时接收所述探测信号。

进一步的，所述步骤S2具体包括：先从步骤S1的信道模型中提取LOS径，得到N*N振元的LOS径复数阵列冲激响应矩阵，通过对所述复数阵列冲激响应矩阵中的第m列和第n行构成的向量空间谱进行二维谱峰搜索得到波达角和波离角

所述波达角具体为：

所述波离角具体为：

其中，θ为俯仰角，为方位角，为发射端俯仰角-方位角平面，为接收端俯仰角-方位角平面，B_R为一个埃尔米特矩阵的参考子空间，为波达角空间谱，为波离角空间谱，[.]^H为埃尔米特变换。

进一步的，N*N振元的所述LOS径复数阵列冲激响应矩阵为从多径信号中提取LOS径构成，具体为

其中，τ为多径的时延值，是LOS径以波达角入射时的N维导向矢量，是LOS径以波离角入射时的N维导向矢量，KP_b为探测信号的自相关函数的峰值，m和n表示信号是从发射天线阵列的第n个振元到接收天线阵列的第m个振元，为LOS径冲激响应。

进一步的，所述步骤S3中航天器在本体坐标系中的单位LOS向量包括航天器相互之间在航天器本体坐标系中的单位LOS向量，具体为

${\overrightarrow{V}}_{C_1/d_i}^{C_1}=L_{S_{11}}^{C_1}{[{\alpha }_1,{\beta }_1,{\gamma }_1]}^T$

${\overrightarrow{V}}_{d_i/C_1}^{d_i}=L_{S_2}^{d_i}{[{\alpha }_2,{\beta }_2,{\gamma }_2]}^T$

其中，下标X1/X2表示从X1到X2的LOS向量，上标表示在天线阵列坐标系S中的单位LOS向量，C₁为主航天器，d_i为从航天器，为C₁上安装的天线阵列S₁₁坐标系与C₁本体坐标系之间的旋转矩阵，α、β、γ分别表示单位LOS向量在天线坐标系三个轴上的投影。

进一步的，所述步骤S4具体为，通过所述各航天器在本体坐标系中的单位LOS向量以及各单位LOS向量之间的夹角，得到从航天器分别在主航天器本体坐标系中的相对位置，具体为

$\left(\begin{array}{c}{P}_{d_i/C_1}=l_2{v}_4\\ P_{d_i/C_2}=l_1{v}_3\end{array}\right)$

其中，C₁、C₂为主航天器，d_i为从航天器，l为航天器之间的距离，v为两两航天器各自本体坐标系中的LOS向量。

进一步的，根据所述夹角通过正弦定理得到所述航天器之间的距离l，具体为

$\frac{l_3}{sin\left({ϵ}_3\right)}=\frac{l_2}{sin\left({ϵ}_2\right)}=\frac{l_1}{sin\left({ϵ}_1\right)}$

其中，ε为两两航天器各自本体坐标系中的LOS向量夹角，l₁和l₂分别表示航天器d_i与航天器C₁和C₂之间的距离，l₃为C₂和C₁之间的相对距离。

进一步的，所述步骤S5中根据建立的相对姿态转换矩阵方程求解出姿态转换矩阵，其中，B和R为符合右手准则的正交矩阵，得到主航天器C₁和从航天器d_i之间的相对姿态，具体为根据主航天器C₁和从航天器d_i之间的相对姿态得到主航天器C₂和从航天器d_i之间的相对姿态具体为

与现有技术相比，本发明至少具有以下有益效果：

(1)本方法通过加入波达角和波离角的信息，采用天线阵列估计出的信号方向解决航天器间相对位置和相对姿态确定问题，利用伪随机序列的基带探测信号组成探测帧，并在其两端分别加上保护头和保护尾，使用BPSK对基带探测信号进行调制得到多径信号，方法简单，测量精度高。

(2)本方法可以同时测得波达角和波离角进而得到双向LOS向量，即用一套设备可测量双向LOS向量。

(3)本方法运算复杂度低，估计精度高。利用通信数传模块即可进行LOS向量的测量，不需额外姿态测量模块，特别能够减轻微小卫星负载，提高空间使用率。

下面通过附图和实施例，对本发明的技术方案做进一步的详细描述。

【附图说明】

图1为本发明的航天器编队构形及其之间的单位LOS向量示意图；

图2为本发明的航天器坐标系示意图；

图3为本发明波达角和波离角定义示意图；

图4为本发明编队几何构型示意图。

【具体实施方式】

本发明基于阵列天线确定微小卫星相对位置和相对姿态的方法，包括以下五个步骤：(S1)航天器编队构形以及测量系统设计，即分别在主从航天器上安装阵列天线，建立坐标系，设计阵列天线发射信号及发射接收时序；(S2)根据步骤S1建立的接收信号及信道模型同时确定两个航天器之间通信链路LOS(Line-of-Sight)径的波达角和波离角；(S3)构建天线阵列本体坐标系，利用步骤S2中确定的波达角和波离角得到两个天线阵列坐标系中各航天器之间的单位LOS向量，并计算得到各航天器在本体坐标系中的LOS向量；(S4)利用步骤S3中得到的多个单位LOS向量之间的几何关系确定航天器之间的相对位置；(S5)利用步骤S3中得到的多个单位LOS向量建立相对姿态转换矩阵方程，确定航天器之间的相对姿态。

(S1)编队定义及测量系统

请参阅图1所示，主航天器包括两个主航天器C₁和C₂，从航天器包括d_i，C₁和C₂之间的相对位置和相对姿态已知，三个航天器上分别安装阵列天线，天线阵的本体坐标系与航天器的本体坐标系的相对关系已知。d_i上安装发射系统发射探测信号，C₁和C₂安装接收系统接收探测信号。

请参阅图2所示，以C₁和d_i为例介绍发射系统和接收系统。航天器C₁和d_i上分别安装阵列天线，包含N个振元。分别建立坐标系，其中，主航天器C₁的本体坐标系的原点在航天器几何中心，y轴的方向与天线阵列所在的平面垂直并指向该平面，z轴指向主航天器C₁的正上方，x轴由右手准则给出，航天器所安装天线阵列的坐标系原点在天线阵列的几何中心，其x轴y轴和z轴分别与和平行，指向也相同；

主航天器C₂的本体坐标系的原点在航天器几何中心，-y轴的方向与天线阵列所在的平面垂直并指向该平面，z轴指向航天器C₁的正上方，x轴由右手准则给出，航天器所安装天线阵列的坐标系原点在天线阵列的几何中心，其z轴与平行，方向也相同，x轴和y轴与和方向相反。

请参阅图3所示，θ_i为信号的俯仰角，为信号的方位角。长度为X的伪随机序列作为基带探测信号a(t)，其表达式为

$a\left(\tau \right)=\underset{n=0}{\overset{X-1}{\Sigma }}{b}_n{\mathrm{rect}}_{T_b}(\tau -{\mathrm{nT}}_b),b_n\in \{+1,-1\}---\left(1\right)$

其中，τ表示时间，表示宽度为T_b的矩形脉冲信号，X为序列长度，n为伪随机序列a(τ)的长度序号。

K个PN序列组成一个探测帧u(τ)，其表达式为

$u\left(\tau \right)=\underset{k=0}{\overset{K-1}{\Sigma }}a(\tau -{\mathrm{kT}}_p)---\left(2\right)$

其中T_p＝XT_b，K为PN序列个数。在探测帧u(τ)两端分别加上保护头和保护尾作为本方法中的基本探测信号，该探测信号经过BPSK调制后经发射端天线阵列的N个振元发射出去。在发射端，N个振元连接微波开关进行切换触发，在接收端，N个天线振元同时接收信号。

假设接收端收到了包含了L条多径的信号，经过通道识别，可以得到接收端的第m个振元接收到的来自第n个振元的输出信号表示如下

其中，L为多径条数，下标m和n表示信号是从发射天线阵列的第n个振元到接收天线阵列的第m个振元。表示第l条多径的信道复响应，是一个复常数，τ_l是第l条多径的时延值，和分别是接收端波达角为和发射端波离角为时的导向矢量，下标1和2分别表示波达角和波离角，其中θ表示俯仰角，表示方位角。N_mn(τ)为高斯噪声。a(τ-τ_l)为a(τ)的循环移位，移位长度为τ_l。将与a(τ)做滑动相关，可以得到L个尖峰，表示如下

其中是a(τ)的自相关函数的峰值，N'_m(τ)是N_m(τ)和a(τ)的相关结果，δ(τ)为冲激函数，其余与字母代表的含义与公式(1)-(3)中所表示的一样。公式(4)中的一个尖峰代表一条多径，它包含了多径复增益和收发两段天线阵列的导向矢量。将称作观察冲激响应，下标m和n表示信号是从发射天线阵列的第n个振元到接收天线阵列的第m个振元。

导向矢量和可以分解为

其中和分别是接收天线和发射天线复响应的幅度和相位，j为虚数的单位，j²＝-1。η_m是接收天线第m个振元的载波相位偏移，η_n是发射天线第n个振元的载波相位偏移，相位偏移是由于天线振元与参考点之间的距离差引起的。

举例如下：航天器C₁和C₂本体坐标系之间欧拉角为[20,70,20]，航天器C₂在C₁坐标系中的位置为[20,20,100]。航天器C₁和C₂上安装阵列天线和接收机，航天器d_i上安装阵列天线和发射机，发射机发射信号，接收机接收信号，两个主航天器同时接收来自从航天器的发射信号，。航天器C₁本体坐标系与其上阵列天线本体坐标系S₁之间旋转矩阵为I_3×3，即航天器C₂本体坐标系与其上安装的阵列天线本体坐标系S₃之间旋转矩阵为I_3×3，即航天器d_i本体坐标系与其上安装的阵列天线本体坐标系S₂之间旋转矩阵为L(π)，即本实例中航天器上振元数量N＝4，阵列天线的方向图在暗室中测得为4×180×180的矩阵Q。

d_i发射机使用长度为1023的m序列作为伪随机序列，基带探测信号a(t)的码速率为100兆比特/秒，也即式(1)中的T_b＝10ns，其中ns表示纳秒。一个探测帧u(t)由两个伪随机序列连接组成，也即式(2)中K＝2。探测帧通过BPSK调制，载波频率为2.5GHz。调制后的探测帧表示为u′(t)，航天器d_i天线阵列的4个振元通过微波开关切换顺序发射u′(t)。

(S2)估计波达角和波离角

(S2-1)计算LOS径复数阵列冲激响应矩阵

首先需要将LOS径从多径信号中提取出来，在式(4)的多个尖峰中能量最大的径即为LOS径，LOS径表示为：

式中为LOS径的波达角，为LOS径的波离角。收发两端各有N个振元，即m＝1,2,…,N n＝1,2,…,N，则可以得到N*N的LOS径复数阵列冲激响应矩阵，表示如下

式中，τ为多径的时延值，是LOS径以波达角入射时的N维导向矢量，是LOS径以波离角入射时的N维导向矢量，KP_b为探测信号的自相关函数的峰值，m和n表示信号是从发射天线阵列的第n个振元到接收天线阵列的第m个振元，是LOS径冲激响应，第n行表示由发射天线的第n个振元发射，接收天线的N个振元接收的链路LOS径构成的向量。第m列表示由发射天线的N个振元发射，接收天线的第m个振元接收的链路LOS径构成的向量。

对于波离角的估计，提取公式(8)中的第m列构成列向量

其中，是LOS径以波离角入射时的N维导向矢量。

协方差为N*N的矩阵，由下式给出

式中[.]^*和[.]^H分别表示共轭和埃尔米特变换，例如，表示的共轭变换，q^H表示q的埃尔米特变换。从式(10)中可以很容易看到是一个埃尔米特矩阵。

对进行特征值分解，可以得到N个特征值和N个特征向量。在这些特征根中，只有一个非零值，可以表示如下

式中λ₁,λ₂…λ_N为N特征值，与λ₁对应的特征向量u₁是LOS径以波离角发射时的导向矢量，即

特征向量u₁与其余非零特征值对应的特征向量u₂，u₃，……，u_N所张成的空间垂直，即，u₁⊥B_R，其中

B_R＝[u₂,u₃,…,u_N]>

将B_R定义为的参考子空间，因为所以以角度发射时的导向矢量也垂直于的参考子空间。

航天器C₁天线阵列的4个振元接收到射频信号，首先进行通道识别，区分出对应的发射振元和接收振元。设置m＝1,2,3,4，n＝1,2,3,4，对射频接收信号进行BPSK解调、低通滤波(滤波器带宽100MHz)，得到基带探测帧。将基带探测帧y_mn(t)和基带探测信号a(t)做滑动相关，以表示得到的相关结果，即观测冲激响应，取观测冲激响应中的幅度最大值作为LOS径的观测值，得到4×4的LOS径观测冲激响应矩阵

(S2-2)估计波达角

式中，是接收端的俯仰角-方位角平面，在微波暗室中提前测量，B_R为一个埃尔米特矩阵的参考子空间，也是利用观测冲激响应矩阵得到，与估计波离角不同的是，在从冲激响应观测矩阵中提取时，取矩阵(8)中的第n行。

对于C₁和d_i之间的波达角，取LOS径观测冲激响应矩阵的第n行，表示为按照式(10)计算出的协方差矩阵本例中矩阵是4×4的矩阵。对进行特征值分解，得到4个特征值。将这4个特征值按照从大到小的顺序排列，分别用λ₁,…,λ₄来表示。针对特征值λ₂,…,λ₄，分别求得其对应的特征向量，用u₂,…,u₄来表示。参考子空间B_R＝[u₂,u₃,u₄]。在取值区间θ_1los∈[0,π]，内遍历俯仰角θ_1los和方位角对每一种方位角和俯仰角取值组合带入方向图中得到导向矢量并按照式(14)计算出空间谱值在本例中是180×180的矩阵。搜索空间谱的最大值，找到最大值所处的位置坐标，并标记该坐标为也即LOS径的信号波达角。对于C₂和d_i之间的波达角可以用同样方法得到。

(S2-3)估计波离角

定义波离角空间谱如下

式中，θ为俯仰角，为方位角，是发射端俯仰角-方位角平面，B_R为一个埃尔米特矩阵的参考子空间，为波达角空间谱，为波离角空间谱，[.]^H为埃尔米特变换。

因为所以空间谱将会在目标角度时有一个尖峰。考虑到实际情况下存在噪声，LOS径的波离角可以通过对空间谱进行二维谱峰搜索得到，如下所示：

在微波暗室中提前测量，B_R利用观测冲激响应矩阵得到，具体参考公式(13)，利用(15)进而可以求出

对于C₁和d_i之间的波离角，取LOS径观测冲激响应矩阵的第m列，表示为按照式(10)计算出的协方差矩阵本例中矩阵是4×4的矩阵。对进行特征值分解，得到4个特征值。将这4个特征值按照从大到小的顺序排列，分别用λ₁,…,λ₄来表示。针对特征值λ₂,…,λ₄，分别求得其对应的特征向量，用u₂,…,u₄来表示。参考子空间B_R＝[u₂,u₃,u₄]。在取值区间θ_2los∈[0,π]，内遍历俯仰角θ_2los和方位角对每一种方位角和俯仰角取值组合带入方向图中得到导向矢量并按照式(14)计算出空间谱值在本例中是180×180的矩阵。搜索空间谱的最大值，找到最大值所处的位置坐标，并标记该坐标为也即LOS径的信号波离角。对于C₂和d_i之间的波离角可以用同样方法得到。

(S3)估计航天器本体坐标系中的单位LOS向量

对于C₁和d_i之间的单位LOS向量，阵列天线本体坐标系中的单位LOS向量由公式(17)得到，阵列天线本体坐标系中的单位LOS向量转化到航天器本体坐标系中，即和对于C₂和d_i之间的单位LOS向量和用同样的方法得到。

对于航天器C₁和d_i之间的通信链路，C₁上安装的天线阵列S₁₁坐标系与C₁本体坐标系之间的旋转矩阵为为已知量。对于航天器d_i，其上安装的天线阵列S₂坐标系与C₁本体坐标系之间的旋转矩阵为为已知量。利用步骤(S2)中求出的LOS径的波达角和波离角可以分别得到两个天线阵列坐标系中两个航天器之间的单位LOS向量，即和α、β、γ表示单位LOS向量在天线坐标系三个轴上的投影。其中下标X1/X2表示从X1到X2的LOS向量，上标S表示在坐标系S中的单位LOS向量如下所示

其中下标j＝1和j＝2分别表示波达角和波离角。则LOS向量在航天器本体坐标系中可以表示为

${\overrightarrow{V}}_{C_1/d_i}^{C_1}=L_{S_{11}}^{C_1}{[{\alpha }_1,{\beta }_1,{\gamma }_1]}^T---\left(18\right)$

${\overrightarrow{V}}_{d_i/C_1}^{d_i}=L_{S_2}^{d_i}{[{\alpha }_2,{\beta }_2,{\gamma }_2]}^T---\left(19\right)$

其中，下标C₁/d_i表示从C₁到d_i的LOS向量，上标C₁和d_i分别表示在天线阵列坐标系S的单位LOS向量，C₁为主航天器，d_i为从航天器，为C₁上安装的天线阵列S₁₁坐标系与C₁本体坐标系之间的旋转矩阵，α、β、γ分别表示单位LOS向量在天线坐标系三个轴上的投影。

对于航天器C₂和d_i之间的通信链路，C₂上安装的天线阵列S₂₁坐标系与C₂本体坐标系之间的旋转矩阵为为已知量。对于航天器d_i，其上安装的天线阵列S₂坐标系与C₁本体坐标系之间的旋转矩阵为为已知量。利用步骤(S2)中求出的LOS径的波达角和波离角可以分别得到两个天线阵列坐标系中两个航天器之间的单位LOS向量，即和其中下标X1/X2表示从X1到X2的LOS向量，上标S表示在坐标系S中的单位LOS向量如下所示

其中下标j＝1和j＝2表示分别波达角和波离角。则LOS向量在航天器本体坐标系中可以表示为

${\overrightarrow{V}}_{C_2/d_i}^{C_2}=L_{S_{21}}^{C_2}{[{\alpha }_1,{\beta }_1,{\gamma }_1]}^T---\left(21\right)$

${\overrightarrow{V}}_{d_i/C_2}^{d_i}=L_{S_2}^{d_i}{[{\alpha }_2,{\beta }_2,{\gamma }_2]}^T---\left(22\right)$

其中，下标C₂/d_i表示从C₂到d_i的LOS向量，上标C₂和d_i分别表示在天线阵列坐标系S的单位LOS向量，C₂为主航天器，d_i为从航天器，为C₂上安装的天线阵列S₂₁坐标系与C₂本体坐标系之间的旋转矩阵，α、β、γ分别表示单位LOS向量在天线坐标系三个轴上的投影。

(S4)计算相对位置

请参阅图4所示，三个航天器之间的几何构型如图4所示，为了方便起见，用v₁，v₂，v₃，v₄，v₅和v₆分别表示两两航天器各自本体坐标系中的LOS向量。v₁，v₂，v₃和v₄利用步骤(S3)中所示的方法得到。v₅和v₆根据已知的C₁和C₂之间的相对位置和姿态得到。令v₅和v₆根据C₁和C₂之间的相对位置和相对姿态得到。

ε₁，ε₂和ε₃分别是(v₄，v₅)，(v₃，v₆)和(v₁，v₂)之间的夹角。这三个角度根据向量点成公式得到，如下所示

$\begin{array}{c}{ϵ}_1=\arccos (v_4·v_5)\\ {ϵ}_2=\arccos (v_6·v_3)\\ {ϵ}_3=\arccos (v_1·v_2)\end{array}---\left(23\right)$

C₂在C₁的本体坐标系中的位置已知，则C₂和C₁之间的相对距离为l₁和l₂分别表示航天器d_i与航天器C₂和C₁之间的距离，根据正弦定理，如下所示

$\frac{l_3}{sin\left({ϵ}_3\right)}=\frac{l_2}{sin\left({ϵ}_2\right)}=\frac{l_1}{sin\left({ϵ}_1\right)}---\left(24\right)$

其中，ε为两两航天器各自本体坐标系中的LOS向量夹角，l₁和l₂分别表示航天器d_i与航天器C₁和C₂之间的距离，l₃为C₂和C₁之间的相对距离，则l₁＝l₃sin(ε₁)/sin(ε₃)，l₂＝l₃sin(ε₂)/sin(ε₃)，再结合v₃和v₄可以得到d_i分别在C₁和C₂本体坐标系中的位置，如下所示

$\left(\begin{array}{c}{P}_{d_i/C_1}=l_2{v}_4\\ P_{d_i/C_2}=l_1{v}_3\end{array}\right)---\left(25\right)$

其中，C₁、C₂为主航天器，d_i为从航天器，l为航天器之间的距离，v为两两航天器各自本体坐标系中的LOS向量，P_m/n的下标表示航天器m在航天器n本体坐标系中的位置。表示的是d_i在航天器C₁坐标系中的位置坐标距离为表示的是d_i在航天器C₂坐标系中的位置坐标距离为

根据公式(23)求出向量之间的夹角ε₁，ε₂和ε₃。航天器C₁和C₂之间的距离根据公式(24)求出C₁和d_i之间的距离l₂和C₂和d_i之间的距离l₁。根据公式(25)求出d_i在C₁和C₂本体坐标系中的位置。

(S5)计算相对姿态

请参阅图4所示，(C₁,d_i)与(C₂,d_i)之间的单位向量有以下关系

$-v_4=L_{d_i}^{C_1}{v}_1,---\left(26\right)$

$-v_3=L_{d_i}^{C_2}{v}_2=L_{C_1}^{C_2}{L}_{d_i}^{C_1}{v}_2,---\left(27\right)$

公式(26)两侧同时乘以得到

$-L_{C_1}^{C_2}{v}_3=L_{d_i}^{C_1}{v}_2,---\left(28\right)$

令-v₄＝w₁，则公式(25)和公式(27)变为

$\left(\begin{array}{c}{w}_1=L_{d_i}^{C_1}{v}_1\\ w_2=L_{d_i}^{C_1}{v}_2\end{array}\right)---\left(29\right)$

式中w₁，w₂，v₁和v₂均为单位向量。则利用公式(28)即可求出具体方法如下，首先利用w₁，w₂，v₁和v₂构造两组右旋正交基，即(<r₁,r₂,r₃>和<b₁,b₂,b₃>)，如下所示

$\left(\begin{array}{c}{r}_1=v_1,r_2=\frac{v_1\times v_2}{|v_1\times v_2|},r_3=r_1\times r_2\\ b_1=w_1,b_2=\frac{w_1\times w_2}{|w_1\times w_2|},b_3=b_1\times b_2\end{array}\right)---\left(30\right)$

则r表示单位正交基底，写成姿态转换矩阵方程形式如下

$B=L_{d_i}^{C_1}R---\left(31\right)$

其中，是姿态转换矩阵，因为构成矩阵B和矩阵R的向量符合右手准则，则这两个矩阵均为正交矩阵。因此

$L_{d_i}^{C_1}={\mathrm{BR}}^{-1}={\mathrm{BR}}^T---\left(32\right)$

最后，利用已知的得到

$L_{d_i}^{C_2}=L_{C_1}^{C_2}{L}_{d_i}^{C_1}---\left(33\right)$

利用公式(29)求出向量w₁和w₂。利用公式(30)求出r₁,r₂,r₃和b₁,b₂,b₃。令则最后，利用已知的得到

本发明一种基于阵列天线确定微小卫星相对位置和相对姿态的方法，先建立坐标系，通过探测信号组成探测帧，然后设计发射接收时序，两个主航天器同时接收来自从航天器的发射信号，得到输出信号，根据输出信号与探测信号做滑动相关，得到尖峰，一个尖峰表示一个多径；

再建立N*N的LOS径复数阵列冲激响应矩阵；然后结合波离角和波达角空间谱公式，进行二维谱峰搜索得到波离角和波达角的计算公式；

然后从航天器分别与两个主航天器在航天器本体坐标系中的单位LOS向量；主航天器到从航天器的LOS向量是在主航天器本体坐标系中表示，从航天器到主航天器的LOS向量是在从航天器本体坐标系中表示；

再根据正弦定理通过他们的距离和夹角分别得到从航天器在两个主航天器本体坐标系中的位置；

最后建立姿态转换矩阵方程，求解出姿态转换矩阵，得到相对姿态。

整个方法设计简单，运算复杂度较低，利用航天器现有模块进行确定，有效减小了微小卫星的重量，提高了微小卫星的空间使用率，实现了微小微型结构多功能。

以上内容仅为说明本发明的技术思想，不能以此限定本发明的保护范围，凡是按照本发明提出的技术思想，在技术方案基础上所做的任何改动，均落入本发明权利要求书的保护范围之内。