基于分段常函数正交基的随机动态载荷分解技术

摘要

本发明公开了一种基于分段常函数正交基的随机动态载荷分解技术，包括以下步骤：1、确定随机动态载荷的均值和自协方差矩阵；2、选择分段常函数作为正交基求解第二类Fredholm积分方程，计算自协方差矩阵的特征值和特征向量，并获得特征值的截断数；3、将自协方差矩阵的特征向量采用分段常函数正交基进行分解，并计算正交基的参与因子；4、基于KL展开将随机动态载荷进行分解。本发明公开的方法可以进行平稳和非平稳随机动态载荷的分解，同时该方法可以在保证分解精度的基础上提高分解效率。

说明书

技术领域

本发明涉及随机动载荷分解技术领域，具体涉及一种基于分段常函数正交基的随机动载荷分解技术。

背景技术

随机动态载荷是工程结构中普遍存在的一种载荷，例如：风载荷、地震、大气湍流、气动噪声、发动机噪声等。同时，工程中绝大部分随机动态载荷是非平稳的，但为了便于计算分析，同时也由于非平稳随机动响应分析方法的局限性，常把非平稳随机动态载荷简化为平稳随机动态载荷，然而这样的简化方式会对后续的随机动响应预示带来不可忽视的误差。

目前，为了便于随机动响应分析，特别是非平稳随机动响应分析，常将随机动载荷分解为一系列确定性的随机变量。Karhunen-Loeve(KL)展开和Polynomial Chaos(PC)展开等谱随机有限元技术常用来对随机动态载荷常进行分解，其中KL展开又是最常用的方法之一。当基于KL展开技术对随机动态载荷进行分解时，需要对第二类Fredholm积分进行求解，进而获得自协方差函数的特征值和特征向量。然而，在求解第二类Fredholm积分方程时，正交基函数的选择非常重要。选择不同的基函数，积分方程的求解精度和效率会截然不同。如果选择的基函数不合适，可能会出现自协方差函数的特征值为负值或无限大的情况。因此，基函数的选择对于随机动载荷的分解精度和效率有较大的影响，选择合适的基函数对于随机动态载荷的分解来说至关重要。

发明内容

发明目的：针对现有技术中存在的问题，本发明公开了一种在保证分解精度基础上又能提高分解效率的随机动态载荷分解技术，该技术可用于平稳和非平稳随机动态载荷的分解。

技术方案：本发明公开了一种随机动态载荷分解技术，包括如下步骤：

(1)确定随机动态载荷的均值和自协方差矩阵；

(2)选择分段常函数作为正交基，求解第二类Fredholm积分方程，获得自协方差矩阵的特征值和特征向量以及特征值的截断数；

(3)将自协方差矩阵的特征向量采用正交基进行分解，并计算正交基的参与因子；

(4)基于KL展开将随机动态载荷进行分解。

进一步地，所述步骤(1)中确定随机动态载荷X(t)的均值μ(t)和自协方差矩阵C(t₁,t₂)计算公式为：

μ(t)＝E[X(t)](1)

C(t₁,t₂)＝E[(X(t₁)-μ(t₁))(X(t₂)-μ(t₂))](2)

其中t，t₁,t₂均为时间变量，E[·]表示均值。

进一步地，所述步骤(2)包括以下步骤：

(201)将时间t分成m个时间段[t_k-1,t_k]；

其中k＝1，2，3，…，m-1，m；其中m的取值应大于或等于随机动态载荷时间步数；

(202)选择分段基函数作为正交基，其表达式为：

(203)求解第二类Fredholm积分方程，获得自协方差矩阵的特征值和特征向量；其中第二类Fredholm积分方程为：

MΦ＝ΛNΦ(4)

式中，矩阵M的元素为矩阵N中的元素为矩阵Λ的元素为Λ_ij＝δ_ijλ_i，矩阵Φ＝[φ₁(t),φ₂(t),...,φ_i(t),...,φ_m(t)]^T，φ_i(t)为自协方差矩阵C(t₁,t₂)的第i阶特征向量，λ_i是φ_i(t)对应的特征值，t_min和t_max分别为分析时间的上下界，δ_ij为克罗内克函数，定义如式(5)，i,j＝1,2,……,m；

${\delta }_{ij}=\left(\begin{array}{ccc}0,& if& i\ne j\\ 1,& if& i=j\end{array}\right)---\left(5\right)$

(204)获得特征值的截断数n，即自大到小的前n个特征值之和大于所有特征值之和的95％时，在第n阶处截断。。

进一步地，所述步骤(3)中特征向量φ_i(t)采用正交基h_k(t)进行分解，计算正交基的参与因子d_ki采用下式：

${\phi }_i\left(t\right)=\underset{k=1}{\overset{m}{\Sigma }}{d}_{ki}{h}_k\left(t\right)---\left(6\right)$

进一步地，所述步骤(4)中基于KL展开将随机动态载荷X(t)分解为式(7)：

$X\left(t\right)=\mu \left(t\right)+\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}\sqrt{{\lambda }_i}{\xi }_i\left(\underset{k=1}{\overset{m}{\Sigma }}{d}_{ki}{h}_k\right(t\left)\right)---\left(7\right)$

其中ξ_i表示一组标准正态的随机变量，具有均值为0、方差为1的性质。

有益效果：本发明公开的随机动态载荷分解技术，采用分段常函数正交基可以避免自协方差函数的特征值和特征向量出现负值和无限大的情况，是一种既能保证分解精度又能提高分解效率的随机动态载荷分解技术，同时是一种既能分解平稳随机动态载荷又能分解非平稳随机动态载荷的分解技术。

附图说明

图1是本发明方法的逻辑流程框图。

具体实施方式

下面结合附图和具体实施方式，进一步阐明本发明。

以均值为零，自协方差为贝塞尔形式的随机动态载荷为例，载荷步数为1000，载荷时长为1s。采用本发明的基于分段常函数正交基的随机动态载荷分解技术分解，包括以下步骤：

步骤1：确定随机动态载荷X(t)的均值μ(t))和自协方差矩阵C(t₁,t₂)，分别如式(8)和式(9)：

μ(t)＝0(8)

$C(t_1,t_2)=10J_0\left(\frac{\left|t_1-t_2\right|}{0.1}\right)---\left(9\right)$

其中，J₀表示0阶第一类贝塞尔函数；

步骤2：选择分段常函数h_k(t)作为正交基求解第二类Fredholm积分方程，获得自协方差矩阵的特征值和特征向量以及特征值的截断数，具体步骤如下：

201、将时间1s分成1000个时间段[t_k-1,t_k]，其中k＝1，2，3，…，999，1000；

202、选择分段基函数作为正交基，其表达式如式(3)所示；

203、求解第二类Fredholm积分方程，获得自协方差矩阵的特征值λ_i和特征向量φ_i(t)以及特征值的截断数n；其中第二类Fredholm积分方程如式(4)所示；其中，矩阵M中的元素矩阵N中的元素矩阵Λ中的元素Λ_ij＝δ_ijλ_i，矩阵Φ＝[φ₁(t),φ₂(t),...,φ_i(t),...,φ₁₀₀₀(t)]^T，φ_i(t)为自协方差矩阵C(t₁,t₂)的第i阶特征向量，λ_i是φ_i(t)对应的特征值，δ_ij为克罗尼克函数；i,j＝1,2,……,1000。

204、在此实施例中前7阶特征值之和为0.98，所以截断数n取7。

步骤3：将自协方差矩阵的特征向量φ_i(t)采用正交基h_k(t)进行分解，并计算正交基的参与因子d_ki，如式(10)；

${\phi }_i\left(t\right)=\underset{k=1}{\overset{1000}{\Sigma }}{d}_{ki}{h}_k\left(t\right)---\left(10\right)$

步骤4：基于Karhunen-Loeve(KL)展开将随机动态载荷X(t)按式(7)进行分解，如下式：

$X\left(t\right)=0+\underset{i=1}{\overset{7}{\Sigma }}\sqrt{{\lambda }_i}{\xi }_i\left(\underset{k=1}{\overset{1000}{\Sigma }}{d}_{ki}{h}_k\right(t\left)\right)---\left(11\right)$

其中，ξ_i表示一组标准正态的随机变量，具有均值为0、方差为1的性质。