非确知目标先验知识条件下MIMO雷达稳健波形设计

摘要

本发明属于信号处理领域，涉及非确知目标先验知识条件下MIMO雷达稳健波形优化的设计。其实现方法是，首先建立杂波场景下MIMO雷达接收信号模型，基于此模型推导需估计参数克拉美罗界(CRB)，而后将初始参数估计不确定性凸集显式包含进波形优化问题，建立稳健波形优化模型；关于优化变量非常复杂的非线性问题，难以利用传统优化方法求解，本发明提出一种基于Hadamard不等式方法以求解此问题，可将此复杂问题转化为半定规划(SDP)问题，从而获得高效求解。与不相关发射波形以及非稳健方法相比，本发明可显著改善最差条件下参数估计性能，具有较好的稳健性，因而更贴近工程应用。

说明书

技术领域

本发明属于信号处理领域，涉及非确知目标先验知识条件下MIMO雷达稳健波形优化的设计方法。

背景技术

近年来，多输入多输出(multiple-input multiple-output，MIMO)雷达系统在国内外雷达信号处理领域引起了广泛的关注和研究，而波形优化是MIMO雷达的一个重要研究课题。根据波形优化问题中需要优化的信号模型不同，波形优化方法可以分为以下两类：(1)优化发射波形；(2)联合优化发射波形、接收权。对于前者，设计者通过优化波形协方差矩阵或者雷达模糊函数提高系统性能。对于后者，通过联合优化发射接收端以提高MIMO雷达综合性能。

在波形优化方法的研究过程中，之前的学者已取得了一些成就。J.Li等研究了点目标模型下基于克拉美罗界(CRB)的波形设计以提高参数估计性能的问题。杂波环境下，H.Y Wang等人考虑了目标先验信息确知条件下基于CRB的MIMO雷达波形与有偏估计量的联合优化问题。需要注意的是，这些方法中的波形优化问题都需要参数确知。然而，实际工程中，这些参数须通过估计得到，因而不可避免的存在估计误差。针对感兴趣目标先验知识不确知场景下通过波形设计改善系统最差条件下参数估计性能的问题，本专利提出了一种MIMO雷达的稳健波形优化方法，用于非确知目标先验知识条件下MIMO雷达稳健波形设计，显著改善了最差条件下参数估计性能。

发明内容

为了提高最坏情况下的MIMO雷达波形优化参数估计性能，本发明提出了非确知目标先验知识条件下MIMO雷达稳健波形设计方法，显式地将参数估计误差模型包含进波形设计问题，并基于最小化最差条件下约束CRB的迹准则，在发射波形功率以及初始参数不确定凸集约束下，得到稳健波形优化的数学表达。为求解得到的复杂非线性优化问题，首先利用哈达玛不等式将目标函数分解为一些相互独立的子问题。而后内层优化问题，即最大化项，将其转化为最小化问题。接着，外层优化问题，即最小化项，并与内层优化问题联合转化为半定规划(SDP)问题，从而利用诸如CVX等成熟的优化工具箱得到高效求解。本发明的技术方案是：

1、建立稳健波形优化问题模型

1)构建MIMO雷达信号模型

假设MIMO雷达接收信号：

$Y=\underset{k=1}{\overset{K}{\Sigma }}{\beta }_k{H}_{k}S+W$

其中，为发射波形矩阵，为第i个发射单元发射信号的离散基带表示，且采样数为L，和分别为K个感兴趣目标的与RCS成比例的复幅度以及目标位置参数，二者皆需基于接收数据估计得到。W为噪声加干扰矩阵，其每列可建模为独立同分布的圆对称复高斯随机向量，其均值为0，协方差矩阵为未知矩阵Q。H_k＝a(θ_k)v^T(θ_k)表示第k个目标信道矩阵，a(θ_k)和v(θ_k)分别表示位于θ_k的目标的接收和发射导向矢量，可表述为：

$a\left({\theta }_k\right)={[e^{j2{\mathrm{\pi f}}_0{\tau }_1\left({\theta }_k\right)},e^{j2{\mathrm{\pi f}}_0{\tau }_2\left({\theta }_k\right)},...,e^{j2{\mathrm{\pi f}}_0{\tau }_{M_r}\left({\theta }_k\right)}]}^T$

$v\left({\theta }_k\right)={[e^{j2{\mathrm{\pi f}}_0{\tilde{\tau }}_1\left({\theta }_k\right)},e^{j2{\mathrm{\pi f}}_0{\tilde{\tau }}_2\left({\theta }_k\right)},...,e^{j2{\mathrm{\pi f}}_0{\tilde{\tau }}_{M_i}\left({\theta }_k\right)}]}^T$

式中，f₀表示载波频率，τ_m(θ_k),m＝1,2,…M_r为电磁波从位于θ_k的目标到第m个接收阵元的传输时间，而则为从第n个发射阵元到此目标的传输时间。

2)构建基于约束CRB的稳健波形优化模型

现考虑已知条件下未知参数θ＝[θ₁,θ₂,…,θ_K]^T的CRB，此即所谓的constrained>

$C_{CCRB}=\left(\begin{array}{cc}{C}_{11}& 0_{K\times 2K}\\ 0_{2K\times K}& 0_{2K\times 2K}\end{array}\right)$

式中，

C₁₁＝(2Re(F₁₁))^-1

以及

${\left[F_{11}\right]}_{ij}=tr\left[{\beta }_i^{*}{\beta }_j{\stackrel{·}{H}}_i^H{Q}^{-1}{\stackrel{·}{H}}_j{R}_S\right]$

式中，

设目标信道矩阵的导数不确定但属于某一凸紧支集，可建模为：

${\stackrel{·}{\stackrel{~}{H}}}_k={\stackrel{·}{H}}_k+{\stackrel{·}{\delta }}_k,k=1,2,...,K$

式中，以及分别表示第k个目标信号矩阵的真实和假设导数，为的误差，其属于如下凸紧支集合：

$u=\left\{{\stackrel{·}{\delta }}_k\right|\left|\right|{\stackrel{·}{\delta }}_k|{|}_F\le {\sigma }_k,k=1,2,...,K\}$

为了不产生平凡解，本文假设

基于以上建模，改善最差条件下参数估计性能的稳健波形设计问题可简述如下：在关于WCM功率约束下，优化WCM以最小化凸集u上最差条件下CRB。基于迹准则，此优化问题可描述如下：

$\left(\begin{array}{ccc}\underset{R_S}{min}& \underset{{\left\{{\stackrel{·}{\delta }}_k\right\}}_{k=1}^K}{max}& tr\left(C_{CCRB}\right)\end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{cc}s.t.& {\stackrel{·}{\delta }}_k\in u\end{array}\right)$

tr(R_S)＝LP

式中，P为总发射功率。第三个约束是由于实际中任意阵元发射功率大于等于0。

明显地，上述优化问题中的目标函数是关于R_S以及的复杂非线性函数。因此，利用诸如凸优化等传统方法比较难以求解。

2、稳健波形优化问题的求解

根据Hadamard不等式，上述优化问题中的最大化问题可松弛为：

$\left(\begin{array}{cc}\underset{{\left\{{\stackrel{·}{\delta }}_k\right\}}_{k=1}^K}{max}& \underset{k=1}{\overset{K}{\Sigma }}{\left(2{\left|{\beta }_k\right|}^{2}tr\right[{\stackrel{·}{\stackrel{~}{H}}}_k^H{Q}^{-1}{\stackrel{·}{\stackrel{~}{H}}}_k{R}_S\left]\right)}^{-1}\end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{cc}s.t.& {\stackrel{·}{\delta }}_k\in u\end{array}\right)$

从上式可知，第k个相加项仅依赖于因此，该式等价于在对应约束下最大化相加的每一项，即此问题可表示为如下K个相互独立的问题：

$\left(\begin{array}{cc}\underset{{\stackrel{·}{\delta }}_k}{max}& {\left(2{\left|{\beta }_k\right|}^{2}tr\right[{\stackrel{·}{\stackrel{~}{H}}}_k^H{Q}^{-1}{\stackrel{·}{\stackrel{~}{H}}}_k{R}_S\left]\right)}^{-1}\end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{cc}s.t.& \left|\right|{\stackrel{·}{\delta }}_k|{|}_F\le {\sigma }_k\end{array}\right)$

注意到上式中的待优化参数为复数。为了将此问题表述为凸问题，我们可将此问题转化为如下关于实数的问题：

$\left(\begin{array}{cc}\underset{{\stackrel{·}{\delta }}_{R,k}}{max}& {\left({\left|{\beta }_k\right|}^{2}tr\right[{\stackrel{·}{\stackrel{~}{H}}}_{R,k}^T{Q}_R^{-1}{\stackrel{·}{\stackrel{~}{H}}}_{R,k}{R}_{R,S}\left]\right)}^{-1}\end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{cc}s.t.& \left|\right|{\stackrel{·}{\delta }}_{R,k}|{|}_F\le {\gamma }_k\end{array}\right)$

式中，

Q_x＝Re(Q),Q_y＝Im(Q)

由于QR为正定矩阵，且为关于的函数，则上述优化问题可等价为：

$\left(\begin{array}{cc}\underset{{\stackrel{·}{\delta }}_{R,k},t}{min}& t\end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{cc}s.t.& T^T{\stackrel{·}{\stackrel{~}{H}}}_{R,k}^T{Q}_R^{-1}{\stackrel{·}{\stackrel{~}{H}}}_{R,k}T\le tI\end{array}\right)$

$\left|\right|{\stackrel{·}{\delta }}_{R,k}|{|}_F\le {\gamma }_k$

式中，t为辅助变量。

基于Schur补定理，对上述优化问题中的两个约束条件进行重写，分别为：

式中，η≥0。

基于以上所述，最终将步骤1中的优化问题转化为如下的SDP问题：

$\left(\begin{array}{cc}\underset{T,t,\eta }{min}& t\end{array}\right)$

η≥0

为了得到最差条件下信道矩阵导数，给定最优T条件下，可得

${\stackrel{·}{\delta }}_{R,k}=\arg \underset{\left|\right|{\stackrel{·}{\delta }}_{R,k}\left|\right|\le {\gamma }_k}{min}tr\left({\stackrel{·}{\stackrel{~}{H}}}_{R,k}^T{Q}_R^{-1}{\stackrel{·}{\stackrel{~}{H}}}_{R,k}{R}_{R,S}\right)$

类似地，上式可重写为

$\left(\begin{array}{cc}\underset{t,{\stackrel{·}{\delta }}_{R,k}}{min}& t\end{array}\right)$

$\left|\right|{\stackrel{·}{\delta }}_{R,k}\left|\right|\le {\gamma }_k$

此问题等价于如下SDP问题：

$\left(\begin{array}{cc}\underset{t,{\stackrel{·}{\delta }}_{R,k}}{min}& t\end{array}\right)$

将得到的和R_S带入如下优化问题中的目标函数中，即可得到最优的最差条件的CRB：

$\left(\begin{array}{ccc}\underset{R_S}{min}& \underset{{\left\{{\stackrel{·}{\delta }}_k\right\}}_{k=1}^K}{max}& tr\left(C_{CCRB}\right)\end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{cc}s.t.& {\stackrel{·}{\delta }}_k\in u\end{array}\right)$

tr(R_S)＝LP

对于上述SDP问题，利用现阶段的很多成熟算法可获得高效求解。但需要注意的是，所提方法只能得到WCM而不是最终的发射波形。

本发明的有益效果是：本发明可用于减轻波形优化方法对参数估计误差和不确定性敏感的问题。通过将初始参数误差模型显式地包含进波形优化问题并基于克拉美-罗界(CRB)以得到稳健波形协方差(WCM)设计问题从而整体减缓敏感性最终改善最差条件(worst-case)下参数估计精度，同时为求解得到的复杂的非线性优化问题，首先利用哈达玛不等式(Hadamard’s Inequality)将目标函数分解为一些相互独立的子问题，而后内层优化问题可被转化为最小化问题，最终外层优化问题及内层优化问题可联合被转化为半定规划(SDP)问题，从而稳健优化问题可得到高效求解。仿真结果表明，与不相关发射波形以及非稳健方法相比，所提方法可显著改善最差条件下参数估计性能，具有较好的稳健性，因而更贴近工程应用。

附图说明

图1为本发明的流程图；

图2为本发明在ASNR＝10dB条件下得到的最优发射波束方向图；

图3为本发明与非相关波形得到的最坏情况下的CRBs随ASNR的变化情况；

图4为本发明与非相关波形和非稳健方法相比，所得到的最坏条件下的CRB均值随ASNR的变化

具体实施方式

下面结合图1至图4和实施例对本发明做进一步详细描述：本发明的非确知目标先验知识条件下MIMO雷达稳健波形设计的具体实施步骤为：

1、建立稳健波形优化问题模型

1)构建MIMO雷达信号模型

假设MIMO雷达接收信号：

$Y=\underset{k=1}{\overset{K}{\Sigma }}{\beta }_k{H}_{k}S+W$

其中，为发射波形矩阵，为第i个发射单元发射信号的离散基带表示，且采样数为L。和分别为K个感兴趣目标的与RCS成比例的复幅度以及目标位置参数，二者皆需基于接收数据估计得到。W为噪声加干扰矩阵，其每列可建模为独立同分布的圆对称复高斯随机向量，其均值为0，协方差矩阵为未知矩阵Q。H_k＝a(θ_k)v^T(θ_k)表示第k个目标信道矩阵，a(θ_k)和v(θ_k)分别表示位于θ_k的目标的接收和发射导向矢量，可表述为：

$a\left({\theta }_k\right)={[e^{j2{\mathrm{\pi f}}_0{\tau }_1\left({\theta }_k\right)},e^{j2{\mathrm{\pi f}}_0{\tau }_2\left({\theta }_k\right)},...,e^{j2{\mathrm{\pi f}}_0{\tau }_{M_r}\left({\theta }_k\right)}]}^T$

$v\left({\theta }_k\right)={[e^{j2{\mathrm{\pi f}}_0{\tilde{\tau }}_1\left({\theta }_k\right)},e^{j2{\mathrm{\pi f}}_0{\tilde{\tau }}_2\left({\theta }_k\right)},...,e^{j2{\mathrm{\pi f}}_0{\tilde{\tau }}_{M_i}\left({\theta }_k\right)}]}^T$

式中，f₀为载波频率，τ_m(θ_k),m＝1,2,…M_r为电磁波从位于θ_k的目标到第m个接收阵元的传输时间，而则为从第n个发射阵元到此目标的传输时间。

2)CRB推导

考虑已知条件下未知参数θ＝[θ₁,θ₂,…,θ_K]^T的CRB，constrained>

C_CCRB＝U(U^HFU)^-1U^H

式中，U满足

G(x)U(x)＝0,U^H(x)U(x)＝I

F为关于的Fisher信息矩阵(FIM)。

本文假设幅度矩阵β＝diag(β₁，β₂，…，β_K)已知，具有如下形式G＝[0_2K×K,I_2K×2K]，对应的零空间U可表示为U＝[I_K×K>K×2K]^H，关于x的FIM的计算如下：

$F(x_i,x_j)=2\mathrm{Re}\left\{tr\right[\frac{\partial {\left(\underset{k=1}{\overset{K}{\Sigma }}{\beta }_k{H}_{k}S\right)}^H}{\partial x_i}{Q}^{-1}\frac{\partial \left(\underset{k=1}{\overset{K}{\Sigma }}{\beta }_k{H}_{k}S\right)}{\partial x_j}\left]\right\}$

则

因此，

F(θ,θ)＝2Re(F₁₁)，

F^T(β_R,θ)＝F(θ,β_R)＝2Re(F₁₂)

F^T(β_I,θ)＝F(θ,β_I)＝-2Im(F₁₂)

F(β_R,β_R)＝F(β_I,β_I)＝2Re(F₂₂)

F(β_R,β_I)＝F^T(β_I,β_R)＝-2Im(F₂₂)

式中，

基于以上讨论，关于x的FIM F可表示如下

$F=2\left(\begin{array}{ccc}\mathrm{Re}\left(F_{11}\right)& \mathrm{Re}\left(F_{12}\right)& -\mathrm{Im}\left(F_{12}\right)\\ {\mathrm{Re}}^T\left(F_{12}\right)& \mathrm{Re}\left(F_{22}\right)& -\mathrm{Im}\left(F_{22}\right)\\ -{\mathrm{Im}}^T\left(F_{12}\right)& -{\mathrm{Im}}^T\left(F_{22}\right)& \mathrm{Re}\left(F_{22}\right)\end{array}\right)$

代入上述各式，得到

$C_{CCRB}=\left(\begin{array}{cc}{C}_{11}& 0_{K\times 2K}\\ 0_{2K\times K}& 0_{2K\times 2K}\end{array}\right)$

3)构建基于CRB的稳健波形优化模型

设目标信道矩阵的导数不确定但属于某一凸紧支集，可建模为：

${\stackrel{·}{\stackrel{~}{H}}}_k={\stackrel{·}{H}}_k+{\stackrel{·}{\delta }}_k,k=1,2,...,K$

误差属于如下凸紧支集合：

$u=\left\{{\stackrel{·}{\delta }}_k\right|\left|\right|{\stackrel{·}{\delta }}_k|{|}_F\le {\sigma }_k,k=1,2,...,K\}$

基于以上讨论，改善最差条件下参数估计性能的稳健波形设计问题可简述如下：

$\left(\begin{array}{ccc}\underset{R_S}{min}& \underset{{\left\{{\stackrel{·}{\delta }}_k\right\}}_{k=1}^K}{max}& tr\left(C_{CCRB}\right)\end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{cc}s.t.& {\stackrel{·}{\delta }}_k\in u\end{array}\right)$

tr(R_S)＝LP

2、稳健波形优化问题的求解

设目标信道矩阵的导数不确定但属于某一凸紧支集，可建模为：

${\stackrel{·}{\stackrel{~}{H}}}_k={\stackrel{·}{H}}_k+{\stackrel{·}{\delta }}_k,k=1,2,...,K$

式中，以及分别表示第k个目标信号矩阵的真实和假设导数，为的误差，其属于如下凸紧支集合：

$u=\left\{{\stackrel{·}{\delta }}_k\right|\left|\right|{\stackrel{·}{\delta }}_k|{|}_F\le {\sigma }_k,k=1,2,...,K\}$

为了不产生平凡解，本文假设

基于以上建模，改善最差条件下参数估计性能的稳健波形设计问题可简述如下：在关于WCM功率约束下，优化WCM以最小化凸集u上最差条件下CRB。基于迹准则，此优化问题可描述如下：

$\left(\begin{array}{ccc}\underset{R_S}{min}& \underset{{\left\{{\stackrel{·}{\delta }}_k\right\}}_{k=1}^K}{max}& tr\left(C_{CCRB}\right)\end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{cc}s.t.& {\stackrel{·}{\delta }}_k\in u\end{array}\right)$

tr(R_S)＝LP

式中，P为总发射功率。第三个约束是由于实际中任意阵元发射功率大于等于0。

明显地，上述优化问题中的目标函数是关于R_S以及的复杂非线性函数。因此，利用诸如凸优化等传统方法比较难以求解。

3、根据Hadamard不等式，上述优化问题中的最大化问题可松弛为：

$\left(\begin{array}{cc}\underset{{\left\{{\stackrel{·}{\delta }}_k\right\}}_{k=1}^K}{max}& \underset{k=1}{\overset{K}{\Sigma }}{\left(2{\left|{\beta }_k\right|}^{2}tr\right[{\stackrel{·}{\stackrel{~}{H}}}_k^H{Q}^{-1}{\stackrel{·}{\stackrel{~}{H}}}_k{R}_S\left]\right)}^{-1}\end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{cc}s.t.& {\stackrel{·}{\delta }}_k\in u\end{array}\right)$

从上式可知，第k个相加项仅依赖于因此，该式等价于在对应约束下最大化相加的每一项，即此问题可表示为如下K个相互独立的问题：

$\left(\begin{array}{cc}\underset{{\stackrel{·}{\delta }}_k}{max}& {\left(2{\left|{\beta }_k\right|}^{2}tr\right[{\stackrel{·}{\stackrel{~}{H}}}_k^H{Q}^{-1}{\stackrel{·}{\stackrel{~}{H}}}_k{R}_S\left]\right)}^{-1}\end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{cc}s.t.& \left|\right|{\stackrel{·}{\delta }}_k|{|}_F\le {\sigma }_k\end{array}\right)$

注意到上式中的待优化参数为复数。为了将此问题表述为凸问题，我们可将此问题转化为如下关于实数的问题：

$\left(\begin{array}{cc}\underset{{\stackrel{·}{\delta }}_{R,k}}{max}& {\left({\left|{\beta }_k\right|}^{2}tr\right[{\stackrel{·}{\stackrel{~}{H}}}_{R,k}^T{Q}_R^{-1}{\stackrel{·}{\stackrel{~}{H}}}_{R,k}{R}_{R,S}\left]\right)}^{-1}\end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{cc}s.t.& \left|\right|{\stackrel{·}{\delta }}_{R,k}|{|}_F\le {\gamma }_k\end{array}\right)$

式中，

Q_x＝Re(Q),Q_y＝Im(Q)

由于Q_R为正定矩阵，且为关于的函数，则上述优化问题可等价为：

$\left(\begin{array}{cc}\underset{{\stackrel{·}{\delta }}_{R,k},t}{min}& t\end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{cc}s.t.& T^T{\stackrel{·}{\stackrel{~}{H}}}_{R,k}^T{Q}_R^{-1}{\stackrel{·}{\stackrel{~}{H}}}_{R,k}T\le tI\end{array}\right)$

$\left|\right|{\stackrel{·}{\delta }}_{R,k}|{|}_F\le {\gamma }_k$

式中，t为辅助变量。

基于Schur补定理，对上述优化问题中的两个约束条件进行重写，分别为：

式中，η≥0。

基于以上所述，最终将步骤1中的优化问题转化为如下的SDP问题：

$\left(\begin{array}{cc}\underset{T,t,\eta }{min}& t\end{array}\right)$

η≥0

为了得到最差条件下信道矩阵导数，给定最优T条件下，可得

${\stackrel{·}{\delta }}_{R,k}=\arg \underset{\left|\right|{\stackrel{·}{\delta }}_{R,k}\left|\right|\le {\gamma }_k}{min}tr\left({\stackrel{·}{\stackrel{~}{H}}}_{R,k}^T{Q}_R^{-1}{\stackrel{·}{\stackrel{~}{H}}}_{R,k}{R}_{R,S}\right)$

类似地，上式可重写为

$\left(\begin{array}{cc}\underset{t,{\stackrel{·}{\delta }}_{R,k}}{min}& t\end{array}\right)$

$\left|\right|{\stackrel{·}{\delta }}_{R,k}\left|\right|\le {\gamma }_k$

此问题等价于如下SDP问题：

$\left(\begin{array}{cc}\underset{t,{\stackrel{·}{\delta }}_{R,k}}{min}& t\end{array}\right)$

将得到的和R_S带入如下优化问题中的目标函数中，即可得到最优的最差条件的CRB。

对于上述SDP问题，利用现阶段的很多成熟算法可获得高效求解。但需要注意的是，所提方法只能得到WCM而不是最终的发射波形。

仿真条件：

本实验基于3发3收MIMO雷达，其具有如下两种配置：MIMO雷达(0.5，0.5)以及MIMO雷达(1.5，0.5)，括号中参数分别为发射、接收阵列相邻阵元间距(以波长为单位)。系统采样数为L＝256。阵列信干噪比(ASNR)定义为取值范围为[-10,30dB]，其中，P为总的发射功率，表示加性白噪声的方差。场景中有位于-5°的干扰，阵列干扰比(JNR)定义为干扰功率与M_r之积与的商，设为60dB。具有单位幅度的目标位于20°。

仿真内容：

假设初始角估计的不确定性为Δθ＝[-3°,3°]，即其中为θ的估计，经过计算，得到数据：可得对于MIMO雷达(0.5，0.5)，σ＝7.5634，对于MIMO雷达(1.5，0.5)，σ＝29.5438。

图2为ASNR＝10dB时所提方法得到的最佳发射波束方向图。从图2可知，该方法在目标附近放置了一个峰值，此即意味着凸不确定集上MIMO雷达的最差参数估计性能可得到改善。此外，由图2(b)可得，MIMO雷达(1.5，0.5)可产生栅瓣，这是由于稀疏发射阵列所致。

为验证最差条件下参数估计改善性能，所提方法及非相关波形得到的CRBs随ASNR变化如图3所示，此比较以基于完备知识的非稳健方法所得的CRB为基准。明显地，所提方法与非相关波形得到的最坏情况下的CRBs随着ASNR的增加而增加，基于完备知识的非稳健方法所得的CRB亦如是。其次，无论ASNR取值为何，就最坏条件下的CRB而言，所提方法明显优于非相关波形，这是由于优化波形将发射能量集中于的不确定集，而非相关波形则全向发射。此外，还可看出，由所提方法与确知情况下的非稳健方法得到的最坏条件下CRBs差距比较小，说明所提方法可有效改善最坏条件下的参数估计性能。另外，比较图3(a)与(b)可知，MIMO雷达(1.5，0.5)的CRB比MIMO雷达(0.5，0.5)的小，这是由于前者的虚拟接收阵列孔径比后者大。

图4为所提方法得到的最差条件下CRB均值随ASNR而变化(基于100次蒙特卡洛试验)。由图4可知，所提方法得到的优化波形相比于非稳健、非相关波形有更好的最坏条件下的CRB，换言之，所提方法关于有较好的稳健性能。

综上所述，针对稳健MIMO雷达波形优化问题问题，本发明通过将参数不确定集显式地包含进波形优化问题，并基于constrained CRB以改善最差条件下系统参数估计性能，针对所得复杂的非线性问题，本发明提出了一种基于Hadamard不等式方法以求解此问题，所提方法可将此复杂问题转化为SDP问题，从而可以获得高效求解。数值仿真表明，与非稳健方法以及非相关波形相比，所提方法可显著降低最差条件下的CRB，从而改善了系统参数估计的稳健性能。