一种应用于机载红外辅助导航的Risley棱镜系统控制方法

摘要

本发明提出一种应用于机载红外辅助导航的Risley棱镜系统控制方法，该方法以瞄准线指向矢量命令为输入量，利用基于非近轴矢量光线追迹法的反向精确解析算法，计算出能够准确实现瞄准线指向要求的棱镜各自旋转角度并作为控制模型输出量。该方法能够有效解决实际应用中瞄准线扫描轨迹连续,离散的各瞄准线指向矢量相应的棱镜旋转角度计算过程相互独立，从而造成的棱镜不断大幅度旋转的问题，提高了棱镜旋转的平稳性和效率。仿真及实施结果表明使用本发明中控制方法能够达到发明目的，具有瞄准线指向控制精确，棱镜旋转运动控制效果好等优点，同时作为软件控制算法，使用成本低，适用范围广。

说明书

技术领域

本发明属于机载红外辅助导航设备中瞄准线指向的伺服控制领域，主要涉及一种Risley棱镜系统的精确控制模型，具体为一种应用于机载红外辅助导航的Risley棱镜系统控制方法，保证棱镜连续、平滑、高效旋转。

背景技术

机载红外辅助导航设备用于飞机在夜间或复杂气象条件下对飞行航线前方区域进行扫描观察，实时形成清晰的地理图像供飞行员观察，能够提高飞行员对空地态势的感知能力，提高飞机的夜视作战能力。

目前许多机载红外辅助导航设备由传统的悬挂光电吊舱形式转变为与武器挂架整体外形一体化形式，设备允许的体积空间极其有限，同时还要实现大范围扫描以及严格的重量限制。传统瞄准线运动方案如整体稳定万向架式方案和双反射镜方案很难满足载动静态性能、稳定性、体积、重量等设计指标的要求。

Risley棱镜又称为旋转双棱镜，由两块共轴相邻独立旋转的楔形折射棱镜组成。根据棱镜对入射光束的折射作用原理，通过控制两个棱镜的各自旋转角度，使得出射光束的方位角度、俯仰角度连续变化，实现出射光束在以入射光束为轴的锥形范围内任意方向变化，引导出射光束到达指定的位置，就可以实现瞄准线的扫描运动。旋转Risley棱镜方案具有控制灵活、机械运动平稳、振动噪声小、扫描效率高，结构紧凑等优点，已被广泛应用于性能先进的机载光电产品中。

寻求两个棱镜的旋转角度与出射光束指向位置之间的内在联系是Risley棱镜光束指向系统实际应用面临的基本问题。由出射光束的指向计算两个棱镜各自的旋转角度，是Risley棱镜瞄准线运动方案应用研究的基础前提。传统方法采用一级近轴近似矢量中心算法结合逆向推算求解该问题：将棱镜看作楔角很小的光楔，入射光束在棱镜主截面内偏转角度恒定，仅取决于楔角和折射率的大小。Risley棱镜对光束总的偏转角度就是两个棱镜偏转角度的矢量和。该方法是近轴条件下的薄棱镜近似，仅适用于偏转角较小的Risley棱镜系统，且求解精度不够。对于机载红外辅助导航设备中大角度范围光束转向的需求，需要精确的Risley棱镜运动控制方法。采用非近轴矢量光线追迹法结合两步法可以求得该问题的精确解析解。首先基于光线追迹法推导光束指向随Risley棱镜角度位置变化的解析关系式；然后采用两步法：第一步保持一个棱镜不动，转动另一棱镜直至出射光束的偏转角到达目标值，第二步保持两个棱镜的相对夹角不变，同时转动两个棱镜直至到达出射光束要求指向。该算法为双棱镜系统的大角度偏转应用提供了理论基础和方法导引。

中国专利《采用双光楔实现的机载红外扫描观察装置》公开了一种采用双光楔实现瞄准线扫描的机载红外扫描观察装置，该发明通过旋转双光楔使机载红外导航装置实现了瞄准线扫描观察。该发明公开的双光楔控制方法中有两方面尚待改进：第一，该发明未建立双棱镜旋转控制模型，采用一级近轴近似算法求解双光楔各自的旋转角度，求解精度不够；第二，该发明棱镜运动过程中存在大角度旋转问题，影响瞄准线反应速度及双棱镜系统的平稳性。

发明内容

本发明针对现有技术中存在的双棱镜旋转控制模型不明晰、Risley棱镜光束指向控制算法不精确等问题，利用基于非近轴矢量光线追迹法的反向精确解析算法，提出了能够准确实现瞄准线指向控制的Risley棱镜系统旋转控制模型；针对实际应用中的棱镜不断大幅度旋转问题，提供一种将离散的各瞄准线指向矢量命令的棱镜旋转角度计算过程由相互独立转化为相互关联的控制方法，从而保证棱镜连续、平滑、高效旋转。

本发明的技术方案为：

所述一种应用于机载红外辅助导航的Risley棱镜系统控制方法，其特征在于：包括以下步骤：

步骤1：将机载红外辅助导航设备工作过程中的扫描轨迹指令离散化为若干瞄准线指向矢量(δ_i,β_i),i＝1,2,3...，其中δ_i，β_i分别表示瞄准线指向的方位角度和俯仰角度，-π/2＜δ_i＜π/2，-π/2＜β_i＜π/2；并按照下面公式对瞄准线指向矢量(δ_i,β_i),i＝1,2,3...进行矢量变换，得到转换后的瞄准线指向矢量(Φ_i,Θ_i),i＝1,2,3...：

步骤2：对于步骤1中得到的每一个转换后的瞄准线指向矢量，通过以下步骤得到对应的Risley棱镜对中两个棱镜的旋转角度；其中对应于第i个转换后的瞄准线指向矢量(Φ_i,Θ_i)，得到的Risley棱镜对中入射棱镜和出射棱镜的旋转角度依次为θ_1,i，θ_2,i：

步骤2.1：根据第i个转换后的瞄准线指向矢量(Φ_i,Θ_i)，利用公式

θ_12,i＝θ_11,i+|Δθ|_i

$\left(\begin{array}{c}{K}_i=a_{1,i}+a_{3,i}sin{\alpha }_{2}cos|\Delta \theta {|}_i\\ L_i=a_{3,i}{\mathrm{sin\alpha }}_{2}sin|\Delta \theta {|}_i\\ M_i=a_{2,i}-a_{3,i}{\mathrm{cos\alpha }}_2\end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{c}{a}_{1,i}={\mathrm{sin\alpha }}_1({\mathrm{cos\alpha }}_1-\sqrt{n_1^2-{\sin }^2{\alpha }_1})\\ a_{2,i}=-(\sqrt{n_1^2-{\sin }^2{\alpha }_1}{\mathrm{cos\alpha }}_1+{\sin }^2{\alpha }_1)\\ a_{3,i}=-\left(a_{1,i}{\mathrm{sin\alpha }}_2\cos \right|\Delta \theta {|}_i-a_{2,i}{\mathrm{cos\alpha }}_2)+\sqrt{1-n_2^2+{\left(a_{1,i}{\mathrm{sin\alpha }}_2\cos \right|\Delta \theta {|}_i-a_{2,i}{\mathrm{cos\alpha }}_2)}^2}\end{array}\right)$

$|\Delta \theta {|}_i=\arccos \left(\frac{1}{a_{1,i}{\mathrm{tan\alpha }}_2}\right(a_{2,i}+\frac{1}{2(a_{2,i}+{\mathrm{cos\Phi }}_i)}\times \left(1-n_2^2-{\left(\frac{a_{2,i}+{\mathrm{cos\Phi }}_i}{{\mathrm{cos\alpha }}_2}\right)}^2\right)\left)\right)$

计算得到满足瞄准线指向要求的棱镜旋转角度集合：{θ_1,i}＝{θ_11,i+2Zπ}，{θ_2,i}＝{θ_12,i+2Zπ}，其中Z为整数集，n₁和n₂依次为Risley棱镜对中入射棱镜和出射棱镜的折射系数，α₁和α₂依次为Risley棱镜对中入射棱镜和出射棱镜的顶角；

步骤2.2：在步骤2.1中得到的满足瞄准线指向要求的棱镜旋转角度集合中，按照两个棱镜的实时状态θ_pre1,θ_pre2，以棱镜所需转动幅度ξ_1,i和ξ_2,i最小为要求，得到最终两个棱镜的旋转角度为：

$\left(\begin{array}{c}{\theta }_{1,i}={\theta }_{11,i}+2Z_{1,i}\pi \\ {\theta }_{2,i}={\theta }_{12,i}+2Z_{2,i}\pi \end{array}\right)$

其中

以最终得到的两个棱镜的旋转角度作为控制量，驱动相应驱动装置带动两个棱镜旋转，实现瞄准线正确指向。

所述一种应用于机载红外辅助导航的Risley棱镜系统控制方法，其特征在于：包括以下步骤：

步骤1：将机载红外辅助导航设备工作过程中的扫描轨迹指令离散化为若干瞄准线指向矢量(δ_i,β_i),i＝1,2,3...，其中δ_i，β_i分别表示瞄准线指向的方位角度和俯仰角度，-π/2＜δ_i＜π/2，-π/2＜β_i＜π/2；并按照下面公式对瞄准线指向矢量(δ_i,β_i),i＝1,2,3...进行矢量变换，得到转换后的瞄准线指向矢量(Φ_i,Θ_i),i＝1,2,3...：

步骤2：对于步骤1中得到的每一个转换后的瞄准线指向矢量，通过以下步骤得到对应的Risley棱镜对中两个棱镜的旋转角度；其中对应于第i个转换后的瞄准线指向矢量(Φ_i,Θ_i)，得到的Risley棱镜对中入射棱镜和出射棱镜的旋转角度依次为θ_1,i，θ_2,i：

步骤2.1：根据第i个转换后的瞄准线指向矢量(Φ_i,Θ_i)，利用公式

θ_21,i＝θ_22,i+|Δθ|_i

$\left(\begin{array}{c}{K}_i=a_{1,i}cos|\Delta \theta {|}_i+a_{3,i}sin{\alpha }_2\\ L_i=a_{1,i}\sin |\Delta \theta {|}_i\\ M_i=a_{2,i}-a_{3,i}{\mathrm{cos\alpha }}_2\end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{c}{a}_{1,i}={\mathrm{sin\alpha }}_1({\mathrm{cos\alpha }}_1-\sqrt{n_1^2-{\sin }^2{\alpha }_1})\\ a_{2,i}=-(\sqrt{n_1^2-{\sin }^2{\alpha }_1}{\mathrm{cos\alpha }}_1+{\sin }^2{\alpha }_1)\\ a_{3,i}=-\left(a_{1,i}{\mathrm{sin\alpha }}_2\cos \right|\Delta \theta {|}_i-a_{2,i}{\mathrm{cos\alpha }}_2)+\sqrt{1-n_2^2+{\left(a_{1,i}{\mathrm{sin\alpha }}_2\cos \right|\Delta \theta {|}_i-a_{2,i}{\mathrm{cos\alpha }}_2)}^2}\end{array}\right)$

$|\Delta \theta {|}_i=\arccos \left(\frac{1}{a_{1,i}{\mathrm{tan\alpha }}_2}\right(a_{2,i}+\frac{1}{2(a_{2,i}+{\mathrm{cos\Phi }}_i)}\times \left(1-n_2^2-{\left(\frac{a_{2,i}+{\mathrm{cos\Phi }}_i}{{\mathrm{cos\alpha }}_2}\right)}^2\right)\left)\right)$

计算得到满足瞄准线指向要求的棱镜旋转角度集合：{θ_1,i}＝{θ_21,i+2Zπ}，{θ_2,i}＝{θ_22,i+2Zπ}，其中Z为整数集，n₁和n₂依次为Risley棱镜对中入射棱镜和出射棱镜的折射系数，α₁和α₂依次为Risley棱镜对中入射棱镜和出射棱镜的顶角；

步骤2.2：在步骤2.1中得到的满足瞄准线指向要求的棱镜旋转角度集合中，按照两个棱镜的实时状态θ_pre1,θ_pre2，以棱镜所需转动幅度ξ_1,i和ξ_2,i最小为要求，得到最终两个棱镜的旋转角度为：

$\left(\begin{array}{c}{\theta }_{1,i}={\theta }_{21,i}+2Z_{3,i}\pi \\ {\theta }_{2,i}={\theta }_{22,i}+2Z_{4,i}\pi \end{array}\right)$

其中

以最终得到的两个棱镜的旋转角度作为控制量，驱动相应驱动装置带动两个棱镜旋转，实现瞄准线正确指向。

有益效果

本发明的有益效果体现在以下几个方面：

(一)本发明建立了双棱镜旋转控制模型，该模型以机载红外辅助导航设备瞄准线指向矢量为输入量，以双棱镜各自旋转角度为输出量，利用基于非近轴矢量光线追迹法的反向解析算法精确解析瞄准线控制问题，解决了现有基于双棱镜系统的机载红外辅助导航装置中由于采用近似算法导致瞄准线指向误差较大的问题。

(二)本发明提出了双棱镜连续平滑旋转控制方法，将独立的棱镜旋转角度计算过程联系起来，扩大棱镜旋转角度取值范围，参考当前棱镜旋转角度，以两棱镜所需运动幅度最小为标准对多组棱镜旋转角计算结果取值，因此该控制方法能够有效消除传统控制算法导致的棱镜大幅度运动现象，最大程度上保证了双棱镜运动控制的平稳性及精确性。

附图说明

图1是瞄准线指向空间矢量转换示意图。

图2是双棱镜系统示意图。

图3是双棱镜控制模型步骤图。

图4是瞄准线菱形扫描轨迹示意图。

图5是实现菱形扫描轨迹双棱镜旋转角度变化示意图。

图6是两棱镜旋转角度变化示意图1(应用双棱镜平滑旋转控制方法前)。

图7是两棱镜旋转角度变化示意图2(应用双棱镜平滑旋转控制方法后)。

具体实施方式

下面结合瞄准线指向扫描仿真实例及相应附图对本发明作进一步的详述。

首先叙述本发明的基本原理：

一、Risley棱镜系统反向精确解析算法

Risley棱镜系统对入射光线产生偏折从而改变光的传播方向，机载红外辅助导航设备利用双棱镜的相对旋转，引导出射光束到达预先设定的指向，通过反向精确解析计算实现瞄准线指向所需的双棱镜旋转角度，实现瞄准线的扫描运动。

1)瞄准线指向矢量变换

在机载红外辅助导航设备工作过程中，瞄准线指向不断移动形成连续的扫描轨迹。离散化该扫描轨迹为一系列瞄准线指向矢量(δ_i,β_i),i＝1,2,3...，作为本发明中Risley棱镜系统旋转控制模型的输入量，其中δ_i(-π/2＜δ_i＜π/2)，β_i(-π/2＜β_i＜π/2)分别表示瞄准线指向的方位角度和俯仰角度。

建立如图1所示的瞄准线指向空间坐标系，为瞄准线指向矢量，为便于利用非近轴光线追迹法中的Snell定理计算，将瞄准线指向矢量转换表示为其中偏转角Φ(0＜Φ＜π/2)为瞄准线与Z轴逆方向夹角，旋转角Θ(0≤Θ＜2π)为瞄准线指向矢量在Z轴垂直面上的投影逆时针旋转的角度。

当瞄准线指向第一象限即δ＞0且β＞0时：

$tan\delta =\frac{BO}{PO},tan\beta =\frac{AO}{PO},tan\Theta =\frac{QB}{BO}=\frac{AO}{BO}=\frac{AO}{PO}/\frac{BO}{PO}=\frac{tan\beta }{tan\delta },$

Θ＝arctan(tanβ/tanδ)

$\tan \Phi =\frac{QO}{PO}=\frac{QB}{\sin \Theta ·PO}=\frac{AO}{\sin \Theta ·PO}=\frac{\tan \beta }{\sin \Theta }=\tan \beta /\sin \left[\arctan (\tan \beta /\tan \delta )\right]$

Φ＝arctan{tanβ/sin[arctan(tanβ/tanδ)]}

将瞄准线指向矢量转换推广到整个平面有：

2)基于非近轴光线追迹法的Risley棱镜系统反向精确解析算法

建立如图2所示的双棱镜坐标系，棱镜Π₁和棱镜Π₂的折射系数分别为n₁和n₂，棱镜顶角分别为α₁和α₂。θ₁，θ₂分别表示棱镜Π₁和棱镜Π₂的旋转角度，入射光束沿Z轴逆方向入射，则棱镜Π₁的左界面法线矢量可表示为：

${\hat{n}}_1=({\mathrm{sin\alpha }}_1{\mathrm{cos\theta }}_1,{\mathrm{sin\alpha }}_1{\mathrm{sin\theta }}_1,{\mathrm{cos\alpha }}_1)$

对棱镜Π₁应用空间矢量形式的Snell定理，入射光线在棱镜左界面发生折射，折射光线矢量为：

$\widehat{s_1^r}=\frac{1}{n_1}\left[\widehat{s_1^h}-\left(\widehat{s_1^h}·\widehat{n_1}\right)\widehat{n_1}\right]-\widehat{n_1}\sqrt{1-\frac{1}{n_1^2}+\frac{1}{n_1^2}{(\widehat{s_1^h}·\widehat{n_1})}^2}$

由于两个棱镜之间的空气层左右界面平行，入射光束在棱镜Π₁中与Π₂中的传播方向不变，因此可忽略其中的两次折射过程。从棱镜Π₂右界面入射的光线矢量可以看作：

$\widehat{s_2^h}=\widehat{s_1^r}$

棱镜Π₂右界面的法线矢量可表示为：

${\hat{n}}_2=(-{\mathrm{sin\alpha }}_2{\mathrm{cos\theta }}_2,-{\mathrm{sin\alpha }}_2{\mathrm{sin\theta }}_2,{\mathrm{cos\alpha }}_2)$

再次应用Snell定理进行折射计算，得到棱镜Π₂右界面的折射光线矢量为：

$\widehat{s_2^r}=n_2\left[\widehat{s_2^h}-\left(\widehat{s_2^h}·\widehat{n_2}\right)\widehat{n_2}\right]-\widehat{n_2}\sqrt{1-{n_2}^2+{n_2}^2{(\widehat{s_2^h}·\widehat{n_2})}^2}$

将表达式代入表达式可得出射光束的方向余弦向量(K,L,M)，其中：

$\left(\begin{array}{c}K=a_{1}cos{\theta }_1+a_{3}sin{\alpha }_{2}cos{\theta }_2\\ L=a_1{\mathrm{sin\theta }}_1+a_3{\mathrm{sin\alpha }}_2{\mathrm{sin\theta }}_2\\ M=a_2-a_3{\mathrm{cos\alpha }}_2\end{array}\right)$

且：

$\left(\begin{array}{c}{a}_1=sin{\alpha }_1(cos{\alpha }_1-\sqrt{n_1^2-{\sin }^2{\alpha }_1})\\ a_2=-(\sqrt{n_1^2-{\sin }^2{\alpha }_1}cos{\alpha }_1+si{n}^2{\alpha }_1)\\ a_3=-(a_1\sin {\alpha }_2\cos \Delta \theta -a_{2}cos{\alpha }_2)+\sqrt{1-n_2^2+{(a_1{\mathrm{sin\alpha }}_{2}cos\Delta \theta -a_2{\mathrm{cos\alpha }}_2)}^2}\\ \Delta \theta ={\theta }_2-{\theta }_1\end{array}\right)$

其中由于双棱镜旋转角度θ₁和θ₂，折射系数n₁和n₂，顶角α₁和α₂均已知，可推出偏转角Φ与旋转角Θ分别为：

Φ＝arccos(-M)

由上式知，偏转角Φ一旦确定，双棱镜旋转角度之差|Δθ|也随之确定，且：

$\left|\Delta \theta \right|=\arccos \left(\frac{1}{a_1{\mathrm{tan\alpha }}_2}\right(a_2+\frac{1}{2(a_2+\cos \Phi )}\times \left(1-n_2^2-{\left(\frac{a_2+\cos \Phi }{{\mathrm{cos\alpha }}_2}\right)}^2\right)\left)\right)$

本发明中，瞄准线指向矢量(Φ，Θ)为已知量，根据偏转角Φ求出|Δθ|，进而采用两步法求解两棱镜旋转角度θ₁和θ₂：第一步，保持一个棱镜不动，旋转另一棱镜直至两个棱镜旋转角度之差为|Δθ|，此时瞄准线指向矢量由(0,0)变为(Φ,Θ')，Θ'可由正向算法计算得出。第二步，保持|Δθ|不变，将两棱镜同时旋转ρ＝Θ-Θ'，使瞄准线指向达到目标指向。

对于同一瞄准线指向，该方法可求得两套解：

对应|Δθ|＝θ₂-θ₁，即在第一步中保持棱镜Π₁不动；

或：

对应|Δθ|＝θ₁-θ₂，即在第一步中保持棱镜Π₂不动。

二、Risley棱镜平滑旋转控制方法及旋转控制模型

在上述双棱镜反向解析计算过程中，瞄准线指向矢量的旋转角Θ的值域为[0,2π)，双棱镜旋转角度θ的值域为(-2π,2π)。在机载红外辅助导航设备工作时，通常会接收连续的扫描轨迹指令(如对战场进行连续逆时针螺旋轨迹扫描)，从而旋转角Θ会在X正半轴即2π处发生跳跃现象。同时，当切换观察多个特定区域时，瞄准线指向要求突变，也会造成旋转角Θ跳跃。

由于双棱镜反向解析计算过程相互独立，上述的两种跳跃现象会导致双棱镜旋转角度θ作为计算结果也会发生跳跃，这种现象会导致双棱镜在执行旋转命令时大幅度运动，降低导航设备的稳定精度和跟踪精度，降低瞄准线反应速度。

为解决上述问题，保证双棱镜能够平滑、连续、高效地旋转，本发明设计了双棱镜平滑旋转控制方法，下面对于两套解均做描述：

(1)将瞄准线指向矢量的旋转角Θ及双棱镜旋转角度θ的值域均扩大到(-∞,∞)，这样每个瞄准线指向(δ,β)均对应多组满足条件的棱镜旋转角度，即

或其中Z表示整数集；

(2)参考上一瞄准线指向对应的双棱镜旋转角度θ_pre1和θ_pre2，以当前棱镜所需转动幅度ξ₁＝|θ₁-θ_pre1|和ξ₂＝|θ₂-θ_pre2|最小为标准，对旋转角度进行取值作为最终计算结果。

上述方法将扫描轨迹离散化后的各瞄准线指向相应的独立计算过程相互关联起来，形成具有“累积效应”的旋转角度取值过程。结合该方法，联立双棱镜反向解析算法各等式，本发明建立Risley棱镜系统旋转控制模型，如图3所示：

步骤1：将机载红外辅助导航设备工作过程中的扫描轨迹指令离散化为若干瞄准线指向矢量(δ_i,β_i),i＝1,2,3...作为输入量，其中δ_i(-π/2＜δ_i＜π/2)，β_i(-π/2＜β_i＜π/2)分别表示瞄准线指向的方位角度和俯仰角度；并按照下面公式对瞄准线指向矢量(δ_i,β_i),i＝1,2,3...进行矢量变换，得到转换后的瞄准线指向矢量(Φ_i,Θ_i),i＝1,2,3...：

步骤2：对于步骤1中得到的每一个转换后的瞄准线指向矢量，通过以下步骤得到对应的Risley棱镜对中两个棱镜的旋转角度；其中对应于第i个转换后的瞄准线指向矢量(Φ_i,Θ_i)，得到的Risley棱镜对中入射棱镜和出射棱镜的旋转角度依次为θ_1,i，θ_2,i：

采用第一套解：

步骤2.1：根据第i个转换后的瞄准线指向矢量(Φ_i,Θ_i)，利用公式

θ_12,i＝θ_11,i+|Δθ|_i

$\left(\begin{array}{c}{K}_i=a_{1,i}+a_{3,i}sin{\alpha }_{2}cos|\Delta \theta {|}_i\\ L_i=a_{3,i}{\mathrm{sin\alpha }}_{2}sin|\Delta \theta {|}_i\\ M_i=a_{2,i}-a_{3,i}{\mathrm{cos\alpha }}_2\end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{c}{a}_{1,i}={\mathrm{sin\alpha }}_1({\mathrm{cos\alpha }}_1-\sqrt{n_1^2-{\sin }^2{\alpha }_1})\\ a_{2,i}=-(\sqrt{n_1^2-{\sin }^2{\alpha }_1}{\mathrm{cos\alpha }}_1+{\sin }^2{\alpha }_1)\\ a_{3,i}=-\left(a_1{\mathrm{sin\alpha }}_2\cos \right|\Delta \theta {|}_i-a_{2,i}{\mathrm{cos\alpha }}_2)+\sqrt{1-n_2^2+{\left(a_{1,i}{\mathrm{sin\alpha }}_{2}cos\right|\Delta \theta {|}_i-a_{2,i}{\mathrm{cos\alpha }}_2)}^2}\end{array}\right)$

$|\Delta \theta {|}_i=\arccos \left(\frac{1}{a_{1,i}{\mathrm{tan\alpha }}_2}\right(a_{2,i}+\frac{1}{2(a_{2,i}+{\mathrm{cos\Phi }}_i)}\times \left(1-n_2^2-{\left(\frac{a_{2,i}+{\mathrm{cos\Phi }}_i}{{\mathrm{cos\alpha }}_2}\right)}^2\right)\left)\right)$

计算得到满足瞄准线指向要求的棱镜旋转角度集合：{θ_1,i}＝{θ_11,i+2Zπ}，{θ_2,i}＝{θ_12,i+2Zπ}，其中Z为整数集，n₁和n₂依次为Risley棱镜对中入射棱镜和出射棱镜的折射系数，α₁和α₂依次为Risley棱镜对中入射棱镜和出射棱镜的顶角；

步骤2.2：在步骤2.1中得到的满足瞄准线指向要求的棱镜旋转角度集合中，按照两个棱镜的实时状态θ_pre1,θ_pre2，以棱镜所需转动幅度ξ_1,i和ξ_2,i最小为要求，得到最终两个棱镜的旋转角度为：

$\left(\begin{array}{c}{\theta }_{1,i}={\theta }_{11,i}+2Z_{1,i}\pi \\ {\theta }_{2,i}={\theta }_{12,i}+2Z_{2,i}\pi \end{array}\right)$

其中

以最终得到的两个棱镜的旋转角度作为控制量，驱动相应驱动装置带动两个棱镜旋转，实现瞄准线正确指向。

采用第二套解：

步骤2.1：根据第i个转换后的瞄准线指向矢量(Φ_i,Θ_i)，利用公式

θ_21,i＝θ_22,i+|Δθ|_i

$\left(\begin{array}{c}{K}_i=a_{1,i}cos|\Delta \theta {|}_i+a_{3,i}sin{\alpha }_2\\ L_i=a_{1,i}\sin |\Delta \theta {|}_i\\ M_i=a_{2,i}-a_{3,i}{\mathrm{cos\alpha }}_2\end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{c}{a}_{1,i}={\mathrm{sin\alpha }}_1({\mathrm{cos\alpha }}_1-\sqrt{n_1^2-{\sin }^2{\alpha }_1})\\ a_{2,i}=-(\sqrt{n_1^2-{\sin }^2{\alpha }_1}{\mathrm{cos\alpha }}_1+{\sin }^2{\alpha }_1)\\ a_{3,i}=-\left(a_1{\mathrm{sin\alpha }}_2\cos \right|\Delta \theta {|}_i-a_{2,i}{\mathrm{cos\alpha }}_2)+\sqrt{1-n_2^2+{\left(a_{1,i}{\mathrm{sin\alpha }}_{2}cos\right|\Delta \theta {|}_i-a_{2,i}{\mathrm{cos\alpha }}_2)}^2}\end{array}\right)$

$|\Delta \theta {|}_i=\arccos \left(\frac{1}{a_{1,i}{\mathrm{tan\alpha }}_2}\right(a_{2,i}+\frac{1}{2(a_{2,i}+{\mathrm{cos\Phi }}_i)}\times \left(1-n_2^2-{\left(\frac{a_{2,i}+{\mathrm{cos\Phi }}_i}{{\mathrm{cos\alpha }}_2}\right)}^2\right)\left)\right)$

计算得到满足瞄准线指向要求的棱镜旋转角度集合：{θ_1,i}＝{θ_21,i+2Zπ}，{θ_2,i}＝{θ_22,i+2Zπ}，其中Z为整数集，n₁和n₂依次为Risley棱镜对中入射棱镜和出射棱镜的折射系数，α₁和α₂依次为Risley棱镜对中入射棱镜和出射棱镜的顶角；

步骤2.2：在步骤2.1中得到的满足瞄准线指向要求的棱镜旋转角度集合中，按照两个棱镜的实时状态θ_pre1,θ_pre2，以棱镜所需转动幅度ξ_1,i和ξ_2,i最小为要求，得到最终两个棱镜的旋转角度为：

$\left(\begin{array}{c}{\theta }_{1,i}={\theta }_{21,i}+2Z_{3,i}\pi \\ {\theta }_{2,i}={\theta }_{22,i}+2Z_{4,i}\pi \end{array}\right)$

其中

以最终得到的两个棱镜的旋转角度作为控制量，驱动相应驱动装置带动两个棱镜旋转，实现瞄准线正确指向。

本仿真实例中取棱镜折射率为n₁＝n₂＝4，棱镜顶角为α₁＝α₂＝3.1°＝0.0541rad。

1)设计合理的扫描轨迹

为设计合理的扫描轨迹，需要求解Risley棱镜系统的最大扫描范围，并将瞄准线扫描轨迹约束在该扫描范围内。显然，光束经双棱镜折射后的偏转范围是以棱镜旋转轴为对称轴，以2Φ_max为顶角的圆锥，其中Φ_max为Risley棱镜系统的最大偏转角。令两棱镜旋转角度θ₁＝0,θ₂＝0，此时光束偏转程度最大。入射光束逆Z轴方向入射，经两棱镜折射后，其方向余弦向量为(K,L,M)，则有：

$\left(\begin{array}{c}{a}_1={\mathrm{sin\alpha }}_1({\mathrm{cos\alpha }}_1-\sqrt{n_1^2-{\sin }^2{\alpha }_1})\\ =\sin \left(0.0541\right)[\cos \left(0.0541\right)-\sqrt{4^2-{\sin }^2\left(0.0541\right)}]=-0.1623\\ a_2=-(\sqrt{n_1^2-{\sin }^2{\alpha }_1}{\mathrm{cos\alpha }}_1+{\sin }^2{\alpha }_1)\\ =-[\sqrt{4^2-{\sin }^2\left(0.0541\right)}\cos \left(0.0541\right)+{\sin }^2\left(0.0541\right)]=-3.9967\\ a_3=-(a_1{\mathrm{sin\alpha }}_2\cos \Delta \theta -a_2{\mathrm{cos\alpha }}_2)+\sqrt{1-n_2^2+{(a_1{\mathrm{sin\alpha }}_2\cos \Delta \theta -a_2{\mathrm{cos\alpha }}_2)}^2}\\ =-[(-0.1623)\sin \left(0.0541\right)-(-3.9967)\cos \left(0.0541\right)]+\\ \sqrt{1-4^2+{[(-0.1623)\sin \left(0.0541\right)-(-3.9967)\cos \left(0.0541\right)]}^2}=-3.0563\\ \Delta \theta ={\Theta }_2-{\Theta }_1=0\end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{c}K=a_{1}cos{\theta }_1+a_{3}sin{\alpha }_{2}cos{\theta }_2=-0.1623-3.0563sin\left(0.0541\right)=-0.3276\\ L=a_{1}sin{\theta }_1+a_3\sin {\alpha }_2\sin {\theta }_2=0\\ M=a_2-a_{3}cos{\alpha }_2=-3.9967-(-3.0563)=-0.9448\end{array}\right)$

于是求得光束最大偏转角：

Φ＝arccos(-M)＝arccos(0.9448)＝0.3337rad

$\Theta =\arctan \left(\frac{L}{K}\right)+\pi =\pi$

因此设计本次仿真实例中扫描轨迹为图4中的菱形扫描轨迹，起点为(δ＝-0.33,β＝0)，扫描方向为顺时针，其方程形式为：

$\beta =\left(\begin{array}{cc}\delta +0.33& (-0.33\le \delta <0)\\ -\delta +0.33& (0\le \delta <0.33)\\ \delta -0.33& (0\le \delta <0.33)\\ -\delta -0.33& (-0.33\le \delta <0)\end{array}\right).$

2)方法实施流程

下面结合图3说明算法实施步骤：

第一步：将菱形扫描轨迹均匀地离散化为N＝400个瞄准线指向矢量(δ_i,β_i),i＝1,2,...,N。为描述算法实施细节，本发明取第202个瞄准线指向矢量为例进行计算演示。此时满足第201个瞄准线指向矢量(δ₂₀₁＝0.33,β₂₀₁＝0)的两棱镜当前旋转角度为θ_pre1＝-3.2881，θ_pre2＝-2.9977。对进行矢量转换：

${\Phi }_{202}=\arctan \left(\right|\frac{{\mathrm{tan\beta }}_{202}}{\sin \left(\arctan \right(\frac{{\mathrm{tan\beta }}_{202}}{{\mathrm{tan\delta }}_{202}}\left)\right)}\left|\right)=\arctan \left(\right|\frac{\tan |-0.0033|}{\sin \left(\arctan \right(\frac{\tan |-0.0033|}{\tan 0.3267}\left)\right)}\left|\right)=0.3267$

${\Theta }_{202}=2\pi -\arctan \left(\right|\frac{{\mathrm{tan\beta }}_{202}}{{\mathrm{tan\delta }}_{202}}\left|\right)=2\pi -\arctan \left(\right|\frac{tan(-0.0033)}{tan0.3267}\left|\right)=6.2734$

第二步：经过双棱镜反向解析算法计算得出两棱镜旋转角度并扩大取值范围：θ₁＝θ₁₁+2Zπ，θ₂＝θ₁₂+2Zπ

其中：

$\left|\Delta \theta \right|=\arccos \left(\frac{1}{a_1{\mathrm{tan\alpha }}_2}\right(a_2+\frac{1}{2(a_2+{\mathrm{cos\Phi }}_i)}\times \left(1-n_2^2-{\left(\frac{a_2+{\mathrm{cos\Phi }}_i}{{\mathrm{cos\alpha }}_2}\right)}^2\right)\left)\right)$

$\left(\begin{array}{c}{a}_1={\mathrm{sin\alpha }}_1({\mathrm{cos\alpha }}_1-\sqrt{n_1^2-{\sin }^2{\alpha }_1})\\ a_2=-(\sqrt{n_1^2-{\sin }^2{\alpha }_1}{\mathrm{cos\alpha }}_1+{\sin }^2{\alpha }_1)\\ a_3=-(a_1{\mathrm{sin\alpha }}_2\cos \Delta \theta -a_2{\mathrm{cos\alpha }}_2)+\sqrt{1-n_2^2+{(a_1{\mathrm{sin\alpha }}_{2}cos\Delta \theta -a_2{\mathrm{cos\alpha }}_2)}^2}\end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{c}K=a_1+a_{3}sin{\alpha }_{2}cos\left|\Delta \theta \right|\\ L=a_{3}sin{\alpha }_{2}sin\left|\Delta \theta \right|\\ M=a_2-a_3\cos {\alpha }_2\end{array}\right)$

作为棱镜系统固有参数，a₁＝-0.1623,a₂＝-3.9967保持不变

$\left(\begin{array}{c}\left|\Delta \theta \right|=\arccos \left(\frac{1}{a_1{\mathrm{tan\alpha }}_2}\right(a_2+\frac{1}{2(a_2+{\mathrm{cos\Phi }}_{202})}\times \left(1-n_2^2-{\left(\frac{a_2+{\mathrm{cos\Phi }}_{202}}{{\mathrm{cos\alpha }}_2}\right)}^2\right)\left)\right)\\ =\arccos \left\{\frac{1}{(-0.1623)\tan 0.0541}\left(\begin{array}{c}(-3.9967)+\frac{1}{2[(-3.9967)+\cos 0.3267]}\\ \times \left\{1-4^2-{\left[\frac{(-3.9967)+\cos \left(0.3267\right)}{\cos 0.0541}\right]}^2\right\}\end{array}\right)\right\}\\ =0.3992\end{array}\right)$

此时：

$\left(\begin{array}{c}{a}_3=-(a_1{\mathrm{sin\alpha }}_{2}cos\Delta \theta -a_2{\mathrm{cos\alpha }}_2)+\sqrt{1-n_2^2+{(a_1{\mathrm{sin\alpha }}_{2}cos\Delta \theta -a_2{\mathrm{cos\alpha }}_2)}^2}\\ =-[(-0.1623)\sin \left(0.0541\right)\cos \left(0.3992\right)-(-3.9967)\cos \left(0.0541\right)]+\\ \sqrt{1-4^2+{[(-0.1623)\sin \left(0.0541\right)\cos \left(0.3992\right)-(-3.9967)\cos \left(0.0541\right)]}^2}\\ =-3.0541\end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{c}K=a_1+a_{3}sin{\alpha }_{2}cos\left|\Delta \theta \right|=-0.1623-3.0541sin\left(0.0541\right)cos\left(0.3992\right)=-0.3145\\ L=a_{3}sin{\alpha }_{2}sin\left|\Delta \theta \right|=-3.0541sin\left(0.0541\right)\sin \left(0.3992\right)=-0.0642\\ M=a_2-a_3\cos {\alpha }_2=-3.9967+3.0541\cos \left(0.0541\right)=-0.9471\end{array}\right)$

${\theta }_{11}={\rho }_{\theta 1=0,\theta 2=\left|\Delta \theta \right|}={\Theta }_{202}-\arctan \left(\frac{L}{K}\right)-\pi =6.2734-\arctan \left(\frac{-0.0642}{-0.3144}\right)=2.9305$

θ₁₂＝|Δθ|+θ₁₁＝0.3992+2.9305＝3.3297

第三步：当前棱镜满足瞄准线方向要求的最小旋转幅度为：

min(ξ₁)＝min{|θ₁₁+2Zπ-θ_pre1|}＝|θ₁₁+2Z₁π-θ_pre1|＝0.0614

min(ξ₂)＝min{|θ₁₂+2Zπ-θ_pre2|}＝|θ₁₂+2Z₂π-θ_pre2|＝0.0474

此时Z₁＝-1,Z₂＝-1，得出：

$\left(\begin{array}{c}{\theta }_1={\theta }_{11}+2Z_1\pi =2.9305-2\pi =-3.3527\\ {\theta }_2={\theta }_{12}+2Z_2\pi =3.3297-2\pi =-2.9535\end{array}\right)$

类似地，其它离散的各扫描轨迹点也可求得相应的双棱镜旋转角，控制模型输出旋转角度控制相应电机运动，带动两棱镜旋转以实现瞄准线指向正确移动，进而实现本仿真算例中的菱形扫描轨迹。

3)计算结果分析及算法有效性说明

图5为本发明仿真算例中实现菱形扫描轨迹的双棱镜旋转角度变化图。图中随着瞄准线指向的顺时针旋转，两棱镜的旋转角度随箭头不断变化，四段弧线表示棱形扫描轨迹四个边相应的棱镜旋转角度变化，其趋势平滑连续。

图6为使用棱镜连续平滑旋转控制方法前两棱镜旋转角度随瞄准线指向方位角的变化趋势：当瞄准线指向由菱形扫描轨迹的第一象限部分过渡到第二象限部分时，两棱镜旋转角均出现幅度为2π的跳跃。

图7为使用棱镜连续平滑旋转控制方法后两棱镜旋转角度随瞄准线指向方位角的变化趋势，由图可以明显看出，该趋势平滑连续，传统控制算法导致的棱镜大幅度运动现象消失，双棱镜旋转的平稳性得到了明显改善。

从实施算例效果可知，本发明设计的双棱镜连续平滑旋转控制方法和基于非近轴矢量光线追迹法实现瞄准线精确指向的双棱镜旋转控制模型能够有效地消除传统控制算法导致的棱镜大幅度运动现象，最大程度上保证了双棱镜运动控制的平稳性及精确性，同时解决了现有控制算法存在的求解不精确的问题。