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四旋翼无人机控制系统的嵌套饱和非线性设计方法

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四旋翼无人机控制系统的嵌套饱和非线性设计方法，涉及无人机控制系统的嵌套饱和非线性设计方法。为了解决目前具有执行器饱和的四旋翼无人机控制系统的控制效果不够理想的问题，本发明首先对四旋翼无人机控制系统进行状态变换，将其转化为前馈型非线性控制系统；然后分别设计俯仰通道控制系统的嵌套饱和非线性控制律τθ和横滚通道控制系统的嵌套饱和非线性控制律本发明适用于四旋翼无人机控制系统的全局镇定。

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公开/公告号CN105912826A

专利类型发明专利
公开/公告日2016-08-31

原文格式PDF
申请/专利权人哈尔滨工业大学;
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申请/专利号CN201610494491.9
发明设计人周彬;李鸿儒;杨雪飞;
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申请日2016-06-29
分类号G06F17/50(20060101);
代理机构23109 哈尔滨市松花江专利商标事务所;
代理人杨立超
地址 150001 黑龙江省哈尔滨市南岗区西大直街92号
入库时间 2023-06-19 00:22:08

法律信息

法律状态公告日

法律状态信息

法律状态
2020-05-29

专利权的转移 IPC(主分类):G06F17/50 登记生效日:20200509 变更前: 变更后: 申请日:20160629

专利申请权、专利权的转移
2020-01-03

专利权的转移 IPC(主分类):G06F17/50 登记生效日:20191213 变更前: 变更后: 申请日:20160629

专利申请权、专利权的转移
2019-01-08

授权

授权
2016-09-28

实质审查的生效 IPC(主分类):G06F17/50 申请日:20160629

实质审查的生效
2016-08-31

公开

公开

说明书

技术领域

本发明涉及无人机控制系统的嵌套饱和非线性设计方法。

背景技术

二十世纪四、五十年代以来，现代控制理论得到了快速的发展，各国学者提出了各种先进的控制方法，并在工业控制中也得到了广泛的应用。然而这些控制方法大都建立在线性系统的理论框架之下，而在实际的控制工程中真正的线性系统是不存在的，这使得现代控制理论的应用受到了一定的限制。实际上，任何工程控制系统都无一例外地表现出非线性特性，其中一个典型的非线性特性就是执行器饱和非线性。由于物理上的限制和出于安全的需要，几乎所有的控制系统都受到了执行器饱和的限制。例如，飞机的水平转向是由竖直的尾翼控制的，其幅值和速率要受到限制；电动机因受到物理条件的限制而只能达到有限的转速或转矩；四旋翼无人机的电机转速不可能无限大，其俯仰角加速度和横滚角加速度都要受到限制。

四旋翼无人机控制系统可以用一类具有执行器饱和的前馈型非线性系统进行建模。对于四旋翼无人机控制系统设计而言，经典控制方法往往先把原系统复杂的非线性模型线性化，然后再运用经典线性控制理论对其进行分析和设计，这样难免使得控制效果不够理想，且不能保证系统的全局渐近稳定性。相比之下，运用现代非线性控制理论设计的控制算法，其控制性能可以明显优于经典控制算法，且能从理论上保证控制系统的稳定性。

发明内容

本发明为了解决目前具有执行器饱和的四旋翼无人机控制系统的控制效果不够理想的问题，提出了四旋翼无人机控制系统的嵌套饱和非线性设计方法。

四旋翼无人机控制系统的嵌套饱和非线性设计方法，包括以下步骤：

步骤一：对四旋翼无人机控制系统进行状态变换，将其转化为前馈型非线性控制系统；

步骤二：设计俯仰通道控制系统的嵌套饱和非线性控制律

$> τ_{θ} = - \frac{ϵ_{4 θ}}{r_{θ}} σ [\frac{r_{θ} λ_{θ} w_{4}}{ϵ_{4 θ}} + \frac{r_{θ} ϵ_{3 θ}}{ϵ_{4 θ}} σ [\frac{λ_{θ} w_{3}}{ϵ_{3 θ}} + \frac{ϵ_{2 θ}}{ϵ_{3 θ}} σ [\frac{λ_{θ} w_{2}}{ϵ_{2 θ}} + \frac{ϵ_{1 θ}}{ϵ_{2 θ}} σ [\frac{λ_{θ} w_{1}}{ϵ_{1 θ}}]]]]$ >

保证闭环系统的全局渐近稳定性；σ(·)为标准的饱和函数，σ(·)定义为

$> σ (x^{'}) = (\begin{matrix} 1, & x^{'} > 1 \\ x^{'}, & - 1 \leq x^{'} \leq 1 \\ - 1, & x^{'} < - 1 \end{matrix})$ >

x′表示σ(x′)的自变量；w₄，w₃，w₂，w₁为四旋翼俯仰通道控制系统的状态变量；λ_θ，ε_4θ，ε_3θ，ε_2θ，ε_1θ，r_θ为满足下式的参数

$> (\begin{matrix} λ_{θ} \leq \sqrt{\frac{u_{m a x θ}}{a} [1 - {[\frac{b}{2}]}^{2}]} \\ ϵ_{4 θ} > 0 \\ ϵ_{3 θ} = \frac{b}{2} ϵ_{4 θ} \\ ϵ_{2 θ} = {(\frac{b}{2})}^{2} ϵ_{4 θ} \\ ϵ_{1 θ} = 20 a - 20 \sin >a-4{ab}^{2}+5b^{2}\sin>a16 aϵ_{4 θ}r_{θ} = \frac{ϵ_{4 θ} - ϵ_{2 θ}}{{aλ}_{θ}^{2}}>a和b是限定λ θ 、ε 4θ 、ε 3θ 、ε 2θ 、ε 1θ 、r θ 而选取的参数，其中a＜0.8， u maxθ 是给定的正的常数，代表四旋翼无人机俯仰角加速度允许的最大值；参数λ θ 是待设计的正常数；步骤三：设计横滚通道控制系统的嵌套饱和非线性控制律> τ_{φ} = - \frac{ϵ_{4 φ}}{r_{φ}} σ [\frac{r_{φ} λ_{φ} v_{4}}{ϵ_{4 φ}} + \frac{r_{φ} ϵ_{3 φ}}{ϵ_{4 φ}} σ [\frac{λ_{φ} v_{3}}{ϵ_{3 φ}} + \frac{ϵ_{2 φ}}{ϵ_{3 φ}} σ [\frac{λ_{φ} v_{2}}{ϵ_{2 φ}} + \frac{ϵ_{1 φ}}{ϵ_{2 φ}} σ [\frac{λ_{φ} v_{1}}{ϵ_{1 φ}}]]]] >保证闭环系统的全局渐近稳定性；其中σ(·)为标准的饱和函数，v 4 ，v 3 ，v 2 ，v 1 为四旋翼横滚通道控制系统的状态变量；λ φ ，ε 4φ ，ε 3φ ，ε 2φ ，ε 1φ ，r φ 为满足下式的参数c和d是限定而选取的参数，其中c＜0.8，是给定的正的常数，代表四旋翼无人机横滚角加速度允许的最大值；参数为待设计的正常数。发明效果本发明所提出的方法最显著的优点是：针对具有执行器饱和的四旋翼无人机控制系统，本发明通过设计嵌套饱和非线性控制方法，使四旋翼无人机系统有较好的动态特性，即控制效果比较理想；并且可以保证控制系统的全局渐近稳定性。从仿真结果中可以看出，四旋翼无人机控制系统的各状态变量可以较快地收敛到设定位置，而且超调量很小。仿真结果还说明了利用本方法所设计的控制方案具有较好的鲁棒性。附图说明图1为地理惯性坐标系和机体参考坐标系示意图；图2为地理坐标系下X和Y方向位移仿真图；图3为地理坐标系下俯仰角θ和横滚角φ仿真图。具体实施方式具体实施方式一：本实施方式的四旋翼无人机控制系统的嵌套饱和非线性设计方法，包括以下步骤：步骤一：对四旋翼无人机控制系统进行状态变换，将其转化为前馈型非线性控制系统；步骤二：设计四旋翼无人机俯仰通道控制系统的嵌套饱和非线性控制律> τ_{θ} = - \frac{ϵ_{4 θ}}{r_{θ}} σ [\frac{r_{θ} λ_{θ} w_{4}}{ϵ_{4 θ}} + \frac{r_{θ} ϵ_{3 θ}}{ϵ_{4 θ}} σ [\frac{λ_{θ} w_{3}}{ϵ_{3 θ}} + \frac{ϵ_{2 θ}}{ϵ_{3 θ}} σ [\frac{λ_{θ} w_{2}}{ϵ_{2 θ}} + \frac{ϵ_{1 θ}}{ϵ_{2 θ}} σ [\frac{λ_{θ} w_{1}}{ϵ_{1 θ}}]]]] - - - (1) >保证闭环系统的全局渐近稳定性；这里σ(·)为标准的饱和函数，定义为> σ (x^{'}) = (\begin{matrix} 1, & x^{'} > 1 \\ x^{'}, & - 1 \leq x^{'} \leq 1 \\ - 1, & x^{'} < - 1 \end{matrix}) - - - (2) >w 4 ，w 3 ，w 2 ，w 1 为四旋翼俯仰通道控制系统的状态变量；λ θ ，ε 4θ ，ε 3θ ，ε 2θ ，ε 1θ ，r θ 为满足下式的参数> (\begin{matrix} λ_{θ} \leq \sqrt{\frac{u_{m a x θ}}{a} [1 - {[\frac{b}{2}]}^{2}]} \\ ϵ_{4 θ} > 0 \\ ϵ_{3 θ} = \frac{b}{2} ϵ_{4 θ} \\ ϵ_{2 θ} = {(\frac{b}{2})}^{2} ϵ_{4 θ} \\ ϵ_{1 θ} = 20 a - 20 \sin >a-4{ab}^{2}+5b^{2}\sin>a16 aϵ_{4 θ}r_{θ} = \frac{ϵ_{4 θ} - ϵ_{2 θ}}{{aλ}_{θ}^{2}}>a和b是限定λ θ 、ε 4θ 、ε 3θ 、ε 2θ 、ε 1θ 、r θ 而选取的参数，其中a＜0.8， u maxθ 是给定的正的常数，代表四旋翼无人机俯仰角加速度允许的最大值；参数λ θ 是待设计的正常数；步骤三：设计横滚通道控制系统的嵌套饱和非线性控制律保证闭环系统的全局渐近稳定性；这里σ(·)为标准的饱和函数，v 4 ，v 3 ，v 2 ，v 1 为四旋翼横滚通道控制系统的状态变量；为满足下式的参数c和d是限定而选取的参数，其中c＜0.8，是给定的正的常数，代表四旋翼无人机横滚角加速度允许的最大值；参数为待设计的正常数。具体实施方式二：本实施方式步骤一所述的将四旋翼无人机控制系统转化为前馈型非线性控制系统的具体过程如下：对于如图1所示的四旋翼无人机系统，其模型为> (\begin{matrix} m \overset{\cdot\cdot}{X} = u (c o s (φ) c o s (ψ) s i n (θ) + s i n (φ) s i n (ψ)) \\ m \overset{\cdot\cdot}{Y} = u (c o s (φ) s i n (θ) s i n (ψ) - \cos (ψ) s i n (φ)) \\ m \overset{\cdot\cdot}{Z} = u >cos(φ)\cos(θ)-mg \\ \overset{\cdot\cdot}{φ} = τ_{φ} \\ \overset{\cdot\cdot}{θ} = τ_{θ} \\ \overset{\cdot\cdot}{ψ} = τ_{ψ} \end{matrix}) - - - (4) >其中：u：四旋翼无人机四个电机的总输入量；地理坐标系E：O-XYZ，X表示地理坐标系E下X方向位移；Y表示地理坐标系E下Y方向位移；Z表示地理坐标系E下Z方向位移；机体坐标系B：o-xyz，x：机体坐标系B下x方向位移；y：机体坐标系B下y方向位移；z：机体坐标系B下z方向位移；m：四旋翼无人机的质量；g：重力加速度；横滚角的角加速度；τ θ ：俯仰角的角加速度；τ ψ ：偏航角的角加速度；θ：俯仰角，定义为机体轴ox与水平面OXY平面上的夹角，ox向上为正；横滚角，定义为无人机对称平面oxz与包含ox轴的与水平面垂直的铅垂线平面之间的夹角，向右滚转时为正；ψ：偏航角，定义为机体轴ox在水平面上的投影与机体坐标系轴ox之间的夹角，无人机右偏航时形成的角度为正；机体坐标系{B}和地理坐标系{E}通过矩阵R相联系：> R = (\begin{matrix} \cos (θ) \cos (ψ) & \cos (ψ) \sin (θ) \sin (φ) - \cos (φ) \sin (ψ) & \cos (φ) \cos (ψ) \sin (θ) + \sin (φ) \sin (ψ) \\ \cos (θ) \sin (ψ) & \sin (θ) \sin (φ) \sin (ψ) + \cos (φ) \cos (ψ) & \cos (φ) \sin (θ) \sin (ψ) - \cos (ψ) \sin (φ) \\ - \sin (θ) & \cos (θ) \sin (φ) & \cos (θ) \cos (φ) \end{matrix}) >机体坐标系B和地理坐标系E通过矩阵R相联系：> m (\begin{matrix} \overset{\cdot\cdot}{x} \\ \overset{\cdot\cdot}{y} \\ \overset{\cdot\cdot}{z} \end{matrix}) = {mR}^{T} (\begin{matrix} \overset{\cdot\cdot}{X} \\ \overset{\cdot\cdot}{Y} \\ \overset{\cdot\cdot}{Z} \end{matrix}) = R^{T} (\begin{matrix} m \overset{\cdot\cdot}{X} \\ m \overset{\cdot\cdot}{Y} \\ m \overset{\cdot\cdot}{Z} \end{matrix}) - - - (5) >将式(4)和R代入到式(5)可以得到> m \overset{\cdot\cdot}{x} = m g >sinθ---(6) >> m \overset{\cdot\cdot}{y} = - m g >sin(φ)cos(θ)---(7) >(一)、考虑俯仰通道控制系统为> (\begin{matrix} \overset{\cdot\cdot}{x} = g >\sinθ \\ \overset{\cdot\cdot}{θ} = τ_{θ} \end{matrix}) - - - (8) >取状态变量x 1θ ＝x， x 3θ ＝θ，则> (\begin{matrix} {\overset{\cdot}{x}}_{1 θ} = x_{2 θ} \\ {\overset{\cdot}{x}}_{2 θ} = {gx}_{3 θ} + g (s i n (x_{3 θ}) - x_{3 θ}) \\ {\overset{\cdot}{x}}_{3 θ} = x_{4 θ} \\ {\overset{\cdot}{x}}_{4 θ} = τ_{θ} \end{matrix}) - - - (9) >令y 1θ ＝r θ x 1θ ，y 2θ ＝r θ x 2θ ，y 3θ ＝r θ x 3θ ，y 4θ ＝r 1θ x 4θ ，u θ ＝r θ τ θ ，则公式(9)变换成> (\begin{matrix} {\overset{\cdot}{y}}_{1 θ} = y_{2 θ} \\ {\overset{\cdot}{y}}_{2 θ} = {gy}_{3 θ} + r_{θ} g (s i n (\frac{y_{3 θ}}{r_{θ}}) - \frac{y_{3 θ}}{r_{θ}}) \\ {\overset{\cdot}{y}}_{3 θ} = y_{4 θ} \\ {\overset{\cdot}{y}}_{4 θ} = u_{θ} \end{matrix}) - - - (10) >令> (\begin{matrix} z_{1 θ} = \frac{y_{1 θ}}{g} \\ z_{2 θ} = \frac{y_{2 θ}}{g} \\ z_{3 θ} = y_{3 θ} \\ z_{4 θ} = y_{4 θ} \end{matrix}) - - - (11) >则如公式(9)所示的俯仰通道控制系统被变换成如下的前馈型非线性系统> (\begin{matrix} {\overset{\cdot}{z}}_{1 θ} = z_{2 θ} \\ {\overset{\cdot}{z}}_{2 θ} = z_{3 θ} + r_{θ} (s i n (\frac{z_{3 θ}}{r_{θ}}) - \frac{z_{3 θ}}{r_{θ}}) \\ {\overset{\cdot}{z}}_{3 θ} = z_{4 θ} \\ {\overset{\cdot}{z}}_{4 θ} = u_{θ} \end{matrix}) - - - (12) >(二)、考虑横滚通道控制系统为> (\begin{matrix} \overset{\cdot\cdot}{y} = - g >\sin(φ)\cos(θ) \\ \overset{\cdot\cdot}{φ} = τ_{φ} \end{matrix}) - - - (13) >由于在设计横滚通道控制律时认为俯仰通道的俯仰角θ已经收敛到零，所以公式(13)可以写成> (\begin{matrix} \overset{\cdot\cdot}{y} = - g >\sinφ \\ \overset{\cdot\cdot}{φ} = τ_{φ} \end{matrix}) - - - (14) >取状态变量x 1φ ＝y， x 3φ ＝φ，则> (\begin{matrix} {\overset{\cdot}{x}}_{1 φ} = x_{2 φ} \\ {\overset{\cdot}{x}}_{2 φ} = - {gx}_{3 φ} - g (s i n (x_{3 φ}) - x_{3 φ}) \\ {\overset{\cdot}{x}}_{3 φ} = x_{4 φ} \\ {\overset{\cdot}{x}}_{4 φ} = τ_{φ} \end{matrix}) - - - (15) >令y 1φ ＝r φ x 1φ ，y 2φ ＝r φ x 2φ ，y 3φ ＝r φ x 3φ ，y 4φ ＝r φ x 4φ ，u φ ＝r φ τ φ ，其中r φ 是待设计的正的常数，有> (\begin{matrix} {\overset{\cdot}{y}}_{1 φ} = y_{2 φ} \\ {\overset{\cdot}{y}}_{2 φ} = - {gy}_{3 φ} - r_{φ} g (s i n (\frac{y_{3 φ}}{r_{φ}}) - \frac{y_{3 φ}}{r_{φ}}) \\ {\overset{\cdot}{y}}_{3 φ} = y_{4 φ} \\ {\overset{\cdot}{y}}_{4 φ} = u_{φ} \end{matrix}) - - - (16) >令> (\begin{matrix} z_{1 φ} = - \frac{y_{1 φ}}{g} \\ z_{2 φ} = - \frac{y_{2 φ}}{g} \\ z_{3 φ} = y_{3 φ} \\ z_{4 φ} = y_{4 φ} \end{matrix}) - - - (17) >则如公式(14)所示的横滚通道控制系统被变换成如下的前馈型非线性系统> (\begin{matrix} {\overset{\cdot}{z}}_{1 φ} = z_{2 φ} \\ {\overset{\cdot}{z}}_{2 φ} = z_{3 φ} + r_{φ} (s i n (\frac{z_{3 φ}}{r_{φ}}) - \frac{z_{3 φ}}{r_{φ}}) \\ {\overset{\cdot}{z}}_{3 φ} = z_{4 φ} \\ {\overset{\cdot}{z}}_{4 φ} = u_{φ} \end{matrix}) - - - (18) >其它步骤及参数与具体实施方式一相同。具体实施方式三：本实施方式步骤二中设计俯仰通道控制系统的嵌套饱和非线性控制律的具体设计过程为：步骤3.1：定义一般的饱和函数：σ ε (·)为一般的饱和函数，按如下方式进行定义> σ_{ϵ} (x^{'}) = (\begin{matrix} ϵ, & x^{'} > ϵ \\ x^{'}, & - ϵ \leq x^{'} \leq ϵ \\ - ϵ, & x^{'} < - ϵ \end{matrix}) - - - (19) >ε表示一般的饱和函数的饱和值；如果ε＝1则σ 1 (x′)＝σ(x′)为(2)式定义的标准饱和函数；步骤3.2：将如公式(12)所示的俯仰通道控制系统变换成上三角非线性系统：对于如公式(12)所示的俯仰通道控制系统，设> A_{0} = (\begin{matrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}), b_{0} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) - - - (20) >以及> A_{1} = (\begin{matrix} 0 & λ_{θ} & λ_{θ} & λ_{θ} \\ 0 & 0 & λ_{θ} & λ_{θ} \\ 0 & 0 & 0 & λ_{θ} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}), b_{1} = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) - - - (21) >其中λ θ 为待设计的正的常数；对如公式(12)所示的俯仰通道控制系统作变换w＝T θ z θ ，z θ ＝[z 1θ,z 2θ,z 3θ,z 4θ] T ，w＝[w 1,w 2,w 3,w 4] T> T_{θ} = (\begin{matrix} b_{1} & A_{1} b_{1} & A_{1}^{2} b_{1} & A_{1}^{3} b_{1} \end{matrix}) {(\begin{matrix} b_{0} & A_{0} b_{0} & A_{0}^{2} b_{0} & A_{0}^{3} b_{0} \end{matrix})}^{- 1} - - - (22) >根据(20)和(21)能够推出> T_{θ} = (\begin{matrix} λ_{θ}^{3} & 3 λ_{θ}^{2} & 3 λ_{θ} & 1 \\ 0 & λ_{θ}^{2} & 2 λ_{θ} & 1 \\ 0 & 0 & λ_{θ} & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}) - - - (23) >其逆矩阵为> {T_{θ}}^{- 1} = (\begin{matrix} \frac{1}{λ_{θ}^{3}} & - \frac{3}{λ_{θ}^{3}} & \frac{3}{λ_{θ}^{3}} & - \frac{1}{λ_{θ}^{3}} \\ 0 & \frac{1}{λ_{θ}^{2}} & - \frac{2}{λ_{θ}^{2}} & \frac{1}{λ_{θ}^{2}} \\ 0 & 0 & \frac{1}{λ_{θ}} & - \frac{1}{λ_{θ}} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}) >设> f (z_{3 θ}) = r_{θ} (s i n (\frac{z_{3 θ}}{r_{θ}}) - \frac{z_{3 θ}}{r_{θ}}) >则如公式(12)所示的俯仰通道控制系统可以变换为> (\begin{matrix} {\overset{\cdot}{w}}_{1} = λ_{θ} w_{2} + λ_{θ} w_{3} + λ_{θ} w_{4} + u_{θ} + 3 λ_{θ}^{2} f (z_{3 θ}) \\ {\overset{\cdot}{w}}_{2} = λ_{θ} w_{3} + λ_{θ} w_{4} + u_{θ} + λ_{θ}^{2} f (z_{3 θ}) \\ {\overset{\cdot}{w}}_{3} = λ_{θ} w_{4} + u_{θ} \\ {\overset{\cdot}{w}}_{4} = u_{θ} \end{matrix}) - - - (24) >步骤3.3：设计俯仰通道控制系统的嵌套饱和非线性控制律u θ ＝-u 4θ ，其中> (\begin{matrix} u_{4 θ} = σ_{ϵ_{4 θ}} (λ_{θ} w_{4} + u_{3 θ}) \\ u_{3 θ} = σ_{ϵ_{3 θ}} (λ_{θ} w_{3} + u_{2 θ}) \\ u_{2 θ} = σ_{ϵ_{2 θ}} (λ_{θ} w_{2} + u_{1 θ}) \\ u_{1 θ} = σ_{ϵ_{1 θ}} (λ_{θ} w_{1}) \end{matrix}) - - - (25) >分别是饱和值为ε 1θ ‐ε 4θ 的一般的饱和函数；u 1θ -u 4θ 是定义的中间参量；由于上式恰好可以写成(1)；步骤3.4：建立保证控制律u θ ＝-u 4θ 工作在线性区的条件：考虑(24)和(25)组成的闭环系统的最后一个状态w 4 满足的方程> {\overset{\cdot}{w}}_{4} = - u_{4 θ} = - σ_{ϵ_{4 θ}} (λ_{θ} w_{4} + u_{3 θ}) >取Lyapunov函数若2ε 3θ ＜ε 4θ (26)则存在一个数d 1 使得ε 3θ ＜d 1 ≤ε 4θ -ε 3θ ；当λ θ w 4 >d 1 时，有> σ_{ϵ_{4 θ}} (λ_{θ} w_{4} + u_{3 θ}) > σ_{ϵ_{4 θ}} (d_{1} - ϵ_{3 θ}) = d_{1} - ϵ_{3 θ} > 0 >其中0＜d 1 -ε 3θ ＜ε 4θ ，所以因此> {\overset{\cdot}{V}}_{1} (w_{4}) = w_{4} {\overset{\cdot}{w}}_{4} < - | w_{4} | (d_{1} - ϵ_{3 θ}) - - - (27) >类似地，如果λ θ w 4 ＜-d 1 ，那么> σ_{ϵ_{4 θ}} (λ_{θ} w_{4} + u_{3 θ}) < σ_{ϵ_{4 θ}} (- d_{1} + ϵ_{3 θ}) = - d_{1} + ϵ_{3 θ} < 0 >由于2ε 3θ -ε 4θ ＜-d 1 +ε 3θ ＜0，也就是因此> {\overset{\cdot}{V}}_{1} (w_{4}) = w_{4} {\overset{\cdot}{w}}_{4} < - | w_{4} | (d_{1} - ϵ_{3 θ}) - - - (28) >综合(27)和(28)可知，如果(26)成立，则> {\overset{\cdot}{V}}_{1} (w_{4}) < - (d_{1} - ϵ_{3 θ}) \sqrt{2 V_{1} (w_{4})}, \forall w_{4} \in {w_{4} : V_{1} (w_{4}) > \frac{d_{1}^{2}}{2 λ_{θ}^{2}}} >根据Lyapunov稳定性理论，存在有限时间T 1 >t 0 ，对于有最终对有|λ θ w 4 |≤d 1 和|λ θ w 4 +u 3θ |≤d 1 +ε 3θ ≤ε 4θ ；从而有u 4θ ＝λ θ w 4 +u 3θ (29)以及|λ θ w 4 |≤ε 4θ -ε 3θ (30)将(29)代入系统(24)和(25)，得到如下系统> (\begin{matrix} {\overset{\cdot}{w}}_{1} = λ_{θ} w_{2} + λ_{θ} w_{3} - u_{3 θ} + 3 λ_{θ}^{2} f (z_{3 θ}) \\ {\overset{\cdot}{w}}_{2} = λ_{θ} w_{3} - u_{3 θ} + λ_{θ}^{2} f (z_{3 θ}) \\ {\overset{\cdot}{w}}_{3} = - u_{3 θ} \\ {\overset{\cdot}{w}}_{4} = - λ_{θ} w_{4} - u_{3 θ} \end{matrix}) - - - (31) >考虑闭环系统的第三个状态w 3 满足的方程> {\overset{\cdot}{w}}_{3} = - u_{3 θ} = - σ_{ϵ_{3 θ}} (λ_{θ} w_{3} + u_{2 θ}) >取Lyapunov函数若2ε 2θ ＜ε 3θ (32)则存在一个数d 2 使得ε 2θ ＜d 2 ≤ε 3θ -ε 2θ ，当λ θ w 3 >d 2 时，有> σ_{ϵ_{3 θ}} (λ_{θ} w_{3} + u_{2 θ}) > σ_{ϵ_{3 θ}} (d_{2} - ϵ_{2 θ}) = d_{2} - ϵ_{2 θ} > 0 >其中0＜d 2 -ε 2θ ＜ε 3θ ，所以因此> {\overset{\cdot}{V}}_{2} (w_{3}) = w_{3} {\overset{\cdot}{w}}_{3} < - | w_{3} | (d_{2} - ϵ_{2 θ}) - - - (33) >类似地，如果λ θ w 3 ＜-d 2 ，那么> σ_{ϵ_{3 θ}} (λ_{θ} w_{3} + u_{2 θ}) < σ_{ϵ_{3 θ}} (- d_{2} + ϵ_{2 θ}) = - d_{2} + ϵ_{2 θ} < 0 >由于2ε 2θ -ε 3θ ＜-d 2 +ε2θ＜0，也就是因此> {\overset{\cdot}{V}}_{2} (w_{3}) = w_{3} {\overset{\cdot}{w}}_{3} < - | w_{3} | (d_{2} - ϵ_{2 θ}) - - - (34) >综合(33)和(34)可知，如果(32)成立，则> {\overset{\cdot}{V}}_{2} (w_{3}) < - (d_{2} - ϵ_{2 θ}) \sqrt{2 V_{2} (w_{3})}, \forall w_{3} \in {w_{3} : V_{2} (w_{3}) > \frac{d_{2}^{2}}{2 λ_{θ}^{2}}} >根据Lyapunov稳定性理论，存在有限时间T 2 >t 0 ，对于有最终，对于有|λ θ w 3 |≤d 2 和|λ θ w 3 +u 2θ |≤d 2 +ε 2θ ≤ε 3θ 成立；从而有u 3θ ＝λ θ w 3 +u 2θ (35)以及|λ θ w 3 |≤ε 3θ -ε 2θ (36)将(35)代入系统(31)可以得到> (\begin{matrix} {\overset{\cdot}{w}}_{1} = λ_{θ} w_{2} - u_{2 θ} + 3 λ_{θ}^{2} f (z_{3 θ}) \\ {\overset{\cdot}{w}}_{2} = - u_{2 θ} + λ_{θ}^{2} f (z_{3 θ}) \\ {\overset{\cdot}{w}}_{3} = - λ_{θ} w_{3} - u_{2 θ} \\ {\overset{\cdot}{w}}_{4} = - λ_{θ} w_{4} - λ_{θ} w_{3} - u_{2 θ} \end{matrix}) - - - (37) >考虑闭环系统的第二个状态w 2 满足的方程> {\overset{\cdot}{w}}_{2} = - u_{2 θ} + λ_{θ}^{2} f (z_{3 θ}) = - σ_{ϵ_{2 θ}} (λ_{θ} w_{2} + u_{1 θ}) + λ_{θ}^{2} f (z_{3 θ}) >由于> (\begin{matrix} z_{3 θ} = \frac{w_{3} - w_{4}}{λ_{θ}} \\ | w_{3} | \leq \frac{ϵ_{3 θ} - ϵ_{2 θ}}{λ_{θ}} \\ | w_{4} | \leq \frac{ϵ_{4 θ} - ϵ_{3 θ}}{λ_{θ}} \end{matrix}) - - - (38) >所以有下面求取函数> f (z_{3 θ}) = r_{θ} [\frac{z_{3 θ}}{r_{θ}} - s i n [\frac{z_{3 θ}}{r_{θ}}]], | z_{3 θ} | \in [0, \frac{ϵ_{4 θ} - ϵ_{2 θ}}{λ_{θ}^{2}}] >极大值，由于> | f (z_{3 θ}) | = r_{θ} | s i n (\frac{z_{3 θ}}{r_{θ}}) - \frac{z_{3 θ}}{r_{θ}} | = f (- z_{3 θ}) >所以只要假设z 3θ ≥0.取其中a为大于0待定常数；那么> (\begin{matrix} m a x {f (z_{3 θ})} = r_{θ} (\frac{ϵ_{4 θ} - ϵ_{2 θ}}{r_{θ} λ_{θ}^{2}} - s i n (\frac{ϵ_{4 θ} - ϵ_{2 θ}}{r_{θ} λ_{θ}^{2}})) \\ = r_{θ} (a - \sin >a) \\ = \frac{(ϵ_{4 θ} - ϵ_{2 θ}) (a - \sin >a)}{λ_{θ}^{2} a} \end{matrix}) >令> \frac{(ϵ_{4 θ} - ϵ_{2 θ}) (a - \sin >a)}{a} = ϵ_{0 θ} >取Lyapunov函数若2ε 1θ +ε 0θ ＜ε 2θ (39)成立，则存在一个数d 3 使得ε 1θ +ε 0θ ＜d 3 ≤ε 2θ -ε 1θ ；当λ θ w 2 >d 3 时，有> σ_{ϵ_{2 θ}} (λ_{θ} w_{2} + u_{1 θ}) + λ_{θ}^{2} f (z_{3 θ}) > σ_{ϵ_{2 θ}} (d_{3} - ϵ_{1 θ}) - ϵ_{0 θ} = d_{3} - ϵ_{1 θ} - ϵ_{0 θ} > 0 >其中ε 0θ ＜d 3 -ε 1θ ＜ε 2θ ，所以因此> {\overset{\cdot}{V}}_{3} (w_{2}) = w_{2} {\overset{\cdot}{w}}_{2} < - | w_{2} | (d_{3} - ϵ_{1 θ} - ϵ_{0 θ}) - - - (40) >类似地，如果λ θ w 2 ＜-d 3 ，那么> σ_{ϵ_{2 θ}} (λ_{θ} w_{2} + u_{1 θ}) + λ_{θ}^{2} f (z_{3 θ}) < σ_{ϵ_{2 θ}} (- d_{3} + ϵ_{1 θ}) + ϵ_{0 θ} = - d_{3} + ϵ_{1 θ} + ϵ_{0 θ} < 0 >由于2ε 1θ -ε 2θ ≤-d 3 +ε 1θ ＜-ε 0θ ，也就是因此> {\overset{\cdot}{V}}_{3} (w_{2}) = w_{2} {\overset{\cdot}{w}}_{2} < - | w_{2} | (d_{3} - ϵ_{1 θ} - ϵ_{0 θ}) - - - (41) >综合(40)和(41)可知，如果(39)成立，则> {\overset{\cdot}{V}}_{3} (w_{2}) < - (d_{3} - ϵ_{1 θ} - ϵ_{0 θ}) \sqrt{2 V_{3} (w_{2})}, \forall w_{2} \in {w_{2} : V_{3} (w_{2}) > \frac{d_{3}^{2}}{2 λ_{θ}^{2}}} >根据Lyapunov稳定性理论，存在有限时间T 3 >t 0 ，对于有最终，对于有|λ θ w 2 |≤d 3 和|λ θ w 2 +u 1θ |≤d 3 +ε 1θ ≤ε 2θ 成立；从而有u 2θ ＝λ θ w 1 +u 1θ将上式代入系统(37)可以得到> (\begin{matrix} {\overset{\cdot}{w}}_{1} = - u_{1 θ} + 3 λ_{θ}^{2} f (z_{3 θ}) \\ {\overset{\cdot}{w}}_{2} = - λ_{θ} w_{2} - u_{1 θ} + λ_{θ}^{2} f (z_{3 θ}) \\ {\overset{\cdot}{w}}_{3} = - λ_{θ} w_{3} - λ_{θ} w_{2} - u_{1 θ} \\ {\overset{\cdot}{w}}_{4} = - λ_{θ} w_{4} - λ_{θ} w_{3} - λ_{θ} w_{2} - u_{1 θ} \end{matrix}) - - - (42) >考虑闭环系统的第一个状态w 1 满足的方程> {\overset{\cdot}{w}}_{1} = - u_{1 θ} + 3 λ_{θ}^{2} f (z_{3 θ}) = - σ_{ϵ_{1 θ}} (λ_{θ} w_{1}) + 3 λ_{θ}^{2} f (z_{3 θ}) >取Lyapunov函数令> \frac{3 (ϵ_{4 θ} - ϵ_{2 θ}) (a - \sin >a)}{a} = α >如果不等式> \frac{3 (ϵ_{4 θ} - ϵ_{2 θ}) (a - \sin >a)}{a} < ϵ_{1 θ} - - - (43) >成立，则当λ θ w 1 >ε 1θ 时有> {\overset{\cdot}{V}}_{4} (w_{1}) = w_{1} {\overset{\cdot}{w}}_{1} \leq - | w_{1} | (ϵ_{1 θ} - α) < 0 >当λ θ w 1 ＜-ε 1θ 时有> {\overset{\cdot}{V}}_{4} (w_{1}) = w_{1} {\overset{\cdot}{w}}_{1} \leq - | w_{1} | (ϵ_{1 θ} - α) < 0 >根据Lyapunov稳定性理论，存在有限时间T 4 >t 0 ，对于有|λ θ w 1 |≤ε 1θ ，从而有u 1θ ＝λ θ w 1 ，将此式代入系统(42)可以得到> (\begin{matrix} {\overset{\cdot}{w}}_{1} = - λ_{θ} w_{1} + 3 λ_{θ}^{2} f (z_{3 θ}) \\ {\overset{\cdot}{w}}_{2} = - λ_{θ} w_{2} - λ_{θ} w_{1} + λ_{θ}^{2} f (z_{3 θ}) \\ {\overset{\cdot}{w}}_{3} = - λ_{θ} w_{3} - λ_{θ} w_{2} - λ_{θ} w_{1} \\ {\overset{\cdot}{w}}_{4} = - λ_{θ} w_{4} - λ_{θ} w_{3} - λ_{θ} w_{2} - λ_{θ} w_{1} \end{matrix}) - - - (44) >综合上述推导，如果不等式(26)、(32)、(39)、(43)成立，控制律(25)最终工作在线性区，闭环系统可以写成(44)；将不等式(26)、(32)、(39)、(43)综合写成> (\begin{matrix} 2 ϵ_{3 θ} < ϵ_{4 θ} \\ 2 ϵ_{2 θ} < ϵ_{3 θ} \\ 2 ϵ_{1 θ} + \frac{(ϵ_{4 θ} - ϵ_{2 θ}) (a - \sin >a)}{a} < ϵ_{2 θ} \\ \frac{3 (ϵ_{4 θ} - ϵ_{2 θ}) (a - s i n >a)}{a} < ϵ_{1 θ} \end{matrix}) - - - (45) >因此可以取> (\begin{matrix} 2 ϵ_{3 θ} = {bϵ}_{4 θ} \\ 2 ϵ_{2 θ} = {bϵ}_{3 θ} \\ 2 ϵ_{1 θ} + \frac{(ϵ_{4 θ} - ϵ_{2 θ}) (a - \sin >a)}{a} < ϵ_{2 θ} \\ \frac{3 (ϵ_{4 θ} - ϵ_{2 θ}) (a - s i n >a)}{a} < ϵ_{1 θ} \end{matrix}) - - - (46) >其中b＜1是正的常数；解不等式(46)可得> (\begin{matrix} ϵ_{3 θ} = \frac{b}{2} ϵ_{4 θ} \\ ϵ_{2 θ} = \frac{b}{2} ϵ_{3 θ} = {(\frac{b}{2})}^{2} ϵ_{4 θ} \\ ϵ_{1 θ} < \frac{1}{2} [{[\frac{b}{2}]}^{2} ϵ_{4 θ} - \frac{[1 - {[\frac{b}{2}]}^{2}] (a - \sin >a)}{a} ϵ_{4 θ}] \\ \frac{3 ϵ_{4 θ} [1 - {[\frac{b}{2}]}^{2}] (a - \sin >a)}{a} < ϵ_{1 θ} \end{matrix}) - - - (47) >显然ε 1θ 存在的充分必要条件是> \frac{3 ϵ_{4 θ} [1 - {[\frac{b}{2}]}^{2}] (a - \sin >a)}{a} < \frac{1}{2} [{(\frac{b}{2})}^{2} ϵ_{4 θ} - \frac{[1 - {[\frac{b}{2}]}^{2}] (a - \sin >a)}{a} ϵ_{4 θ}] - - - (48) >由此解得> b > \sqrt{\frac{28 a - 28 \sin >a}{8 a - 7 \sin >a}} - - - (49) >另一方面注意到> u_{m a x θ} \geq \frac{ϵ_{4 θ}}{r_{θ}} = \frac{ϵ_{4 θ}}{\frac{ϵ_{4 θ} - ϵ_{2 θ}}{{aλ}_{θ}^{2}}} = \frac{{aλ}_{θ}^{2} ϵ_{4 θ}}{ϵ_{4 θ} - ϵ_{2 θ}} = \frac{{aλ}_{θ}^{2}}{1 - {[\frac{b}{2}]}^{2}} - - - (50) >其中u maxθ 是给定的正的常数，代表四旋翼无人机俯仰角加速度允许的最大值；由上式解得λ θ 应满足不等式> λ_{θ} \leq \sqrt{\frac{u_{m a x θ}}{a} [1 - {[\frac{b}{2}]}^{2}]} - - - (51) >进而取> \begin{matrix} ϵ_{1 θ} = \frac{1}{2} [\frac{1}{2} [{[\frac{b}{2}]}^{2} ϵ_{4 θ} - \frac{[1 - {[\frac{b}{2}]}^{2}] (a - \sin >a)}{a} ϵ_{4 θ}] + \frac{3 ϵ_{4 θ} [1 - {[\frac{b}{2}]}^{2}] (a - \sin >a)}{a}] \\ = 20 a - 20 \sin >a-4{ab}^{2}+5b^{2}\sin>a16 aϵ_{4 θ}---(52)>总结可知，如果下面的一组条件满足> (\begin{matrix} λ_{θ} \leq \sqrt{\frac{u_{m a x θ}}{a} [1 - {[\frac{b}{2}]}^{2}]} \\ \sqrt{\frac{28 a - 28 \sin >a}{8 a - 7 \sin >a}} < b < 1 \\ ϵ_{4 θ} > 0 \\ ϵ_{3 θ} = \frac{b}{2} ϵ_{4 θ} \\ ϵ_{2 θ} = {(\frac{b}{2})}^{2} ϵ_{4 θ} \\ ϵ_{1 θ} = 20 a - 20 \sin >a-4{ab}^{2}+5b^{2}\sin>a16 aϵ_{4 θ}---(53)>则如公式(25)所示的控制律工作在线性区，闭环系统可以写成：> >其中> >步骤3.5：证明如公式(54)所示的闭环系统的全局渐近稳定性：对于闭环系统(54)，设> >取Lyapunov函数V 5 (w)＝w T Pw，其中P＝I 4 为4阶单位矩阵，则> >由于> >则(55)可进一步写成> >由于和> >成立，从(57)可以推出> >另一方面，由于> >不等式(59)可以进一步写成> >令> >再令由于所以又由于所以l 3 ∈[0,a]；从而g(z 3θ)可以写成> >由于函数在[0,π]上单调递增，所以当l 3 ＝a时g(z 3θ)取极大值因此(60)可以写成> >因此，如果> >或者等价地> >则存在充分小的正数δ θ 使得> >根据Lyapunov稳定性定理，闭环系统(54)是一致指数渐近稳定的；最后，解不等式(61)得到a＜0.8(62)综上，如果a满足不等式(62)，则闭环系统(54)是渐近稳定的。其它步骤及参数与具体实施方式一或二相同。具体实施方式四：本实施方式步骤三中设计横滚通道控制系统的嵌套饱和非线性控制律的具体设计过程为：步骤4.1：将如公式(18)所示的横滚通道控制系统变换成上三角非线性系统：对于如公式(18)所示的横滚通道控制系统，设以及> >其中为待设计的正的常数，对如公式(18)所示的横滚通道系统作变换其中根据(63)和(64)可推出则其逆矩阵为设则如公式(18)所示的横滚通道控制系统可以变换为步骤4.2：设计横滚通道控制系统的嵌套饱和非线性控制律u φ ＝-u 4φ ，其中分别是饱和值为ε 1θ ‐ε 4θ 的一般的饱和函数；是定义的中间参量；由于上式恰好可以写成(3)；步骤4.3：建立保证控制律u φ ＝-u 4φ 工作在线性区的条件：考虑(67)和(68)组成的闭环系统的最后一个状态v 4 满足的方程> >取Lyapunov函数若2ε 3φ ＜ε 4φ (69)则存在一个数d 4 使得ε 3φ ＜d 4 ≤ε 4φ -ε 3φ ，当λ φ v 4 >d 4 时，有> >其中0＜d 4 -ε 3φ ＜ε 4φ ，所以因此> >类似地，如果λ φ v 4 ＜-d 4 ，那么> >由于2ε 3φ -ε 4φ ＜-d 4 +ε 3φ ＜0，也就是因此> >综合(70)和(71)可知，如果(69)成立，则> >根据Lyapunov稳定性理论，存在有限时间T 5 >t 0 ，对于有最终对有|λ φ v 4 |≤d 4 和|λ φ v 4 +u 3φ |≤d 4 +ε 3φ ≤ε 4φ ，从而有u 4φ ＝λ φ v 4 +u 3φ (72)以及|λ φ v 4 |≤ε 4φ -ε 3φ (73)将(72)代入系统(67)和(68)，得到如下系统> >考虑闭环系统(74)的第三个状态v 3 满足的方程> >取Lyapunov函数若2ε 2φ ＜ε 3φ (75)则存在一个数d 5 使得ε 2φ ＜d 5 ≤ε 3φ -ε 2φ ，当λ φ v 3 >d 5 时，有> >其中0＜d 5 -ε 2φ ＜ε 3φ ，所以因此> >类似地，如果λ φ v 3 ＜-d 5 ，那么> >由于2ε 2φ -ε 3φ ＜-d 5 +ε 2φ ＜0，也就是因此> >综合(76)和(77)可知，如果(75)成立，则> >按照Lyapunov稳定性理论，存在有限时间T 6 >t 0 ，对于有最终，对于有|λ φ v 3 |≤d 5 和|λ φ v 3 +u 2φ |≤d 5 +ε 2φ ≤ε 3φ 成立；从而有u 3φ ＝λ φ v 3 +u 2φ (78)以及|λ φ v 3 |≤ε 3φ -ε 2φ (79)将(78)代入系统(74)可以得到> >考虑闭环系统(74)的第二个状态v 2 满足的方程> >由于> >所以有下面求取函数> >极大值，由于> >所以只要假设z 3φ ≥0；取其中c为大于0待定常数，那么> >令> >取Lyapunov函数若2ε 1φ +ε 0φ ＜ε 2φ (82)存在一个数d 6 使得ε 1φ +ε 0φ ＜d 6 ≤ε 2φ -ε 1φ ；当λ φ v 2 >d 6 时，有> >其中ε 0φ ＜d 6 -ε 1φ ＜ε 2φ ，所以因此> >类似地，如果λ φ v 2 ＜-d 6 ，那么> >由于2ε 1φ -ε 2φ ≤-d 6 +ε 1φ ＜-ε 0φ ，也就是因此> >综合(83)和(84)可知，如果(82)成立，则> >根据Lyapunov稳定性理论，存在有限时间T 7 >t 0 ，对于有最终，对于有|λ φ v 2 |≤d 6 和|λ φ v 2 +u 1φ |≤d 6 +ε 1φ ≤ε 2φ 成立；从而有u 2φ ＝λ φ v 1 +u 1φ将上式代入系统(80)可以得到> >考虑闭环系统的第一个状态v 1 满足的方程> >取Lyapunov函数令> >如果不等式> >成立，则当λ φ v 1 >ε 1φ 时> >当λ φ v 1 ＜-ε 1φ 时有> >根据Lyapunov稳定性理论，存在有限时间T 8 >t 0 ，对于有|λ φ v 1 |≤ε 1φ ，从而有u 1φ ＝λ φ v 1 ，将此式代入系统(82)可以得到> >综合上述推导，如果不等式(69)、(75)、(82)、(86)成立，控制律(68)最终工作在线性区，闭环系统可以写成(87)；将不等式(69)、(75)、(82)、(86)综合写成> >因此可以取> >其中d＜1是正的常数；解不等式(89)可得> >显然ε 1φ 存在的充分必要条件是> >由此解得> >另一方面注意到> >其中u maxφ 是给定的正的常数，代表四旋翼无人机横滚角加速度允许的最大值；由上式解得λ φ 应满足不等式：> >进而取> \end{matrix}) \end{matrix} \end{matrix}) \end{matrix})$

四旋翼无人机控制系统的嵌套饱和非线性设计方法

摘要

著录项

法律信息

说明书

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