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一种部分执行机构故障下航天器混沌姿态控制方法

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一种部分执行机构故障下航天器混沌姿态控制方法，本发明涉及部分执行机构故障下航天器混沌姿态控制方法。本发明的目的是为了解决现有航天器执行机构部分故障或失效的情况下，不能使航天器快速消除混沌运动状态，达到稳定状态，并且达到稳定的时间也不能确定的问题。一、得到三控制输入混沌姿态动力学非线性方程形式；二、得到双输入混沌姿态动力学非线性方程形式；三、获得姿态角速度误差；四、设计积分滑模面，保证姿态角速度误差系统状态能在滑模面上滑动到平衡状态；五、设计滑模控制律，保证姿态角速度误差系统状态能从任意初始位置到达滑模面；六、将五代入二，使航天器角速度最终达到平衡状态。本发明用于航天器领域。

著录项

公开/公告号CN105912012A

专利类型发明专利
公开/公告日2016-08-31

原文格式PDF
申请/专利权人哈尔滨工业大学;
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申请/专利号CN201610494493.8
发明设计人孙兆伟;刘闯;石珂珂;王雪峰;叶东;张剑桥;邢雷;
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申请日2016-06-29
分类号
代理机构哈尔滨市松花江专利商标事务所;
代理人杨立超
地址 150001 黑龙江省哈尔滨市南岗区西大直街92号
入库时间 2023-06-19 00:22:08

法律信息

法律状态公告日

法律状态信息

法律状态
2018-09-11

授权

授权
2016-09-28

实质审查的生效 IPC(主分类):G05D1/08 申请日:20160629

实质审查的生效
2016-08-31

公开

公开

说明书

技术领域

本发明涉及部分执行机构故障下航天器混沌姿态控制方法。

背景技术

航天器广泛应用于通信、遥感、侦查以及一些科学研究，其姿态控制精度与稳定度严重影响航天器的性能，外界干扰力矩如气动力矩、重力梯度力矩、磁力矩、甚至是非合作目标航天器故意施加的干扰力矩都会严重影响航天器的正常运行。当敌方辨识出我方航天器的角速度和转动惯量时，通过施加相应的干扰力矩，意图使我方航天器处于混沌运动，导致我方航天器失效。

在航天器姿态控制系统中，从控制器发出的控制信号不能直接作用于系统，需要执行机构将控制信号转化成力矩的合适的启动信号以驱动系统，执行机构因此成为了系统的控制受动器，系统中执行机构发生部分故障会使航天器控制性能降低甚至引起严重后果。

现有技术针对航天器混沌运动的控制技术研究尚且不多，尤其是航天器执行机构部分故障或失效的情况下，不能使航天器快速消除混沌运动状态，达到稳定状态，并且达到稳定的时间也不能确定的问题。

发明内容

本发明的目的是为了解决现有航天器执行机构部分故障或失效的情况下，不能使航天器快速消除混沌运动状态，达到稳定状态，并且达到稳定的时间也不能确定的问题，而提出一种部分执行机构故障下航天器混沌姿态控制方法。

一种部分执行机构故障下航天器混沌姿态控制方法包括以下步骤：

步骤一、将外界干扰力矩作用下的刚体航天器混沌姿态动力学方程改写成矩阵向量表示的刚体航天器三控制输入混沌姿态动力学非线性方程形式；

步骤二、针对部分执行机构故障情况下(以安装在滚转轴上的执行机构失效为例)刚体航天器混沌姿态动力学方程，将刚体航天器三控制输入混沌姿态动力学非线性方程转化成刚体航天器双输入混沌姿态动力学非线性方程形式；

步骤三、针对刚体航天器双输入混沌姿态动力学非线性方程，设计姿态角速度参考轨迹及姿态角加速度参考轨迹，获得姿态角速度误差；

步骤四、针对姿态角速度误差，设计积分滑模面，保证姿态角速度误差系统状态能在滑模面上滑动到平衡状态；

步骤五、设计滑模控制律，保证姿态角速度误差系统状态能从任意初始位置到达滑模面；

步骤六、利用线性矩阵不等式方法求解积分滑模面所涉及的未知矩阵，根据所设计的姿态角速度参考轨迹和姿态角加速度参考轨迹最终都为零，将步骤五所设计的滑模控制律代入刚体航天器双输入混沌姿态动力学非线性方程，可使航天器角速度最终达到平衡状态。

本发明的有益效果为：

与现有技术相比，本发明的有益效果是在航天器执行机构部分故障或失效的情况下，能够使航天器消除混沌运动状态，最终达到稳定状态，而达到稳定的时间可以通过提前设计参考轨迹时间来设定。设计特征时间点t₃＝60s，可以看出航天器能够在60s的时候达到稳定状态，此时滚转轴的控制输入力矩T_c1＝0，即滚转轴上的执行机构失效，航天器的混沌运动状态消除。并且，俯仰轴和偏航轴上的控制输入力矩不超过所设定的控制力矩边界最大值0.88Nm。

本发明设计合理可行的控制策略，一旦发生混沌运动情况，使我方有能力将航天器从混沌运动快速达到稳定状态，满足任务需求。

附图说明

图1为本发明一种部分执行机构故障下航天器混沌姿态控制方法的流程图；

图2为本发明中无控条件下航天器滚转角速度-俯仰角速度平面图，ω₁表示无控条件下航天器姿态角速度在本体坐标系的第一个分量，ω₂表示无控条件下航天器姿态角速度在本体坐标系的第二个分量，rad/s表示角速度单位为弧度每秒；

图3为本发明中无控条件下航天器俯仰角速度-偏航角速度平面图，ω₃表示无控条件下航天器姿态角速度在本体坐标系的第三个分量；

图4为本发明中无控条件下航天器滚转角速度-偏航角速度平面图；

图5为本发明中航天器参考角速度的变化曲线图，[ω_dr1>dr2>dr3]表示航天器的角速度在本体坐标系的三个分量，°/s表示角速度单位为度每秒，s表示时间单位秒；

图6为本发明中航天器参考角加速度的变化曲线图，[dω_dr1>dr2>dr3]表示航天器的角加速度在本体坐标系的三个分量，°/s²表示角加速度单位为度每秒的平方；

图7为本发明中航天器角速度的变化曲线图，[ω₁>2>3]表示控制器作用下航天器的角速度在本体坐标系的三个分量；

图8为本发明中航天器角速度误差的变化曲线图，[e₁>2>3]表示航天器的角速度误差在本体坐标系的三个分量；

图9为本发明中航天器所受控制力矩的变化曲线图，[T_c1>c2>c3]表示航天器所受的控制输入力矩在本体坐标系的三个分量，Nm表示控制力矩单位为牛米。

具体实施方式

具体实施方式一：结合图1说明本实施方式，本实施方式的一种部分执行机构(如反作用飞轮、磁力矩器或控制力矩陀螺等)故障下航天器混沌姿态控制方法，其特征在于，一种部分执行机构故障下航天器混沌姿态控制方法包括以下步骤：

步骤一、将外界干扰力矩(如气动力矩、重力梯度力矩、磁力矩、甚至是非合作目标航天器故意施加的干扰力矩)作用下的刚体航天器混沌姿态动力学方程改写成矩阵向量表示的刚体航天器三控制输入混沌姿态动力学非线性方程形式；

步骤三、针对刚体航天器双输入混沌姿态动力学非线性方程，设计姿态角速度参考轨迹及姿态角加速度参考轨迹，获得姿态角速度误差；

步骤四、针对姿态角速度误差，设计积分滑模面，保证姿态角速度误差系统状态能在滑模面上滑动到平衡状态；

步骤五、设计滑模控制律，保证姿态角速度误差系统状态能从任意初始位置到达滑模面；

具体实施方式二：本实施方式与具体实施方式一不同的是：所述步骤一中将外界干扰力矩(如气动力矩、重力梯度力矩、磁力矩、甚至是非合作目标航天器故意施加的干扰力矩)作用下的刚体航天器混沌姿态动力学方程改写成矩阵向量表示的刚体航天器三控制输入混沌姿态动力学非线性方程形式；具体过称为：

外界干扰力矩(如气动力矩、重力梯度力矩、磁力矩、甚至是非合作目标航天器故意施加的干扰力矩)作用下的刚体航天器混沌姿态动力学方程为

$I \overset{\cdot}{ω} + ω \times (I ω) = T_{c} + T_{d}$

其中，ω＝[ω₁>2>3]^T表示航天器姿态角速度；为ω的一阶导数，表示航天器姿态角加速度；I表示航天器转动惯量，T为转置矩阵，T_c表示作用在航天器上的控制力矩，T_d表示外界干扰力矩，T_d一般具有如下形式

T_d＝Dω+M

其中，D＝[d_ij]_3×3∈R^3×3为常数矩阵或随航天器角速度变化的矩阵，M＝[m_i]_3×1∈R^3×1为常数矩阵或随航天器角速度变化的矩阵，[m_i]_3×1为3×1的向量，m_i表示M的第i个分量，[d_ij]_3×3为3×3的矩阵，d_ij表示D的第i行第j列个分量，i＝1,2,3，j＝1,2,3，R为实数集，R^3×1为3×1的实数集，R^3×3为3×3的实数集；

取航天器的三个惯性主轴为航天器体坐标系的三个轴，则I＝diag(I₁,I₂,I₃)；采用三维勒维奇维塔符号(是一种表示向量叉乘的符号)表示向量叉乘，记为ε_kij，定义为

对任意两个向量p＝[p_i]_3×1和q＝[q_j]_3×1，p表示向量叉乘计算的第一个向量，q表示向量叉乘计算的第二个向量，有

其中，()_k表示向量叉乘的第k个分量，[p_i]_3×1为用p的分量形式表示的向量叉乘计算的第一个3×1的向量，p_i表示p的第i个分量，[q_j]_3×1为用q的分量形式表示的向量叉乘计算的第二个3×1的向量，q_j表示q的第j个分量，k＝1,2,3，i＝1,2,3，j＝1,2,3；

将刚体航天器混沌姿态动力学方程写成用标量表示的分量形式可得

$(\begin{matrix} I_{1} {\overset{\cdot}{ω}}_{1} - (I_{2} - I_{3}) ω_{2} ω_{3} = T_{c 1} + d_{11} ω_{1} + d_{12} ω_{2} + d_{13} ω_{3} + m_{1} \\ I_{2} {\overset{\cdot}{ω}}_{2} - (I_{3} - I_{1}) ω_{1} ω_{3} = T_{c 2} + d_{21} ω_{1} + d_{22} ω_{2} + d_{23} ω_{3} + m_{2} \\ I_{3} {\overset{\cdot}{ω}}_{3} - (I_{1} - I_{2}) ω_{1} ω_{2} = T_{c 3} + d_{31} ω_{1} + d_{32} ω_{2} + d_{33} ω_{3} + m_{3} \end{matrix})$

式中，I₁为航天器转动惯量在本体坐标系第一个轴上的分量，I₂为航天器转动惯量在本体坐标系第二个轴上的分量，I₃为航天器转动惯量在本体坐标系第三个轴上的分量，ω₁表示航天器姿态角速度在本体坐标系的第一个分量，ω₂表示航天器姿态角速度在本体坐标系的第二个分量，ω₃表示航天器姿态角速度在本体坐标系的第三个分量，为ω₁的一阶导数，表示航天器姿态角加速度在本体坐标系的第一个分量；为ω₂的一阶导数，表示航天器姿态角加速度在本体坐标系的第二个分量；为ω₃的一阶导数，表示航天器姿态角加速度在本体坐标系的第三个分量；T_c1表示航天器所受的控制输入力矩在本体坐标系的第一个分量，T_c2表示航天器所受的控制输入力矩在本体坐标系的第二个分量，T_c3表示航天器所受的控制输入力矩在本体坐标系的第三个分量，d₁₁、d₂₁、d₃₁、d₁₂、d₂₂、d₃₂、d₁₃、d₂₃和d₃₃为D的自上而下自左而右的9个分量，m₁为M的第1个分量，m₂为M的第2个分量，m₃为M的第3个分量；

即

$(\begin{matrix} {\overset{\cdot}{ω}}_{1} = I_{1}^{- 1} (I_{2} - I_{3}) ω_{2} ω_{3} + I_{1}^{- 1} d_{11} ω_{2} + I_{1}^{- 1} d_{13} ω_{3} + I_{1}^{- 1} T_{c 1} + I_{1}^{- 1} m_{1} \\ {\overset{\cdot}{ω}}_{2} = I_{2}^{- 1} (I_{3} - I_{1}) ω_{1} ω_{3} + I_{2}^{- 1} d_{21} ω_{1} + I_{2}^{- 1} d_{22} ω_{2} + I_{2}^{- 1} d_{23} ω_{3} + I_{2}^{- 1} T_{c 2} + I_{2}^{- 1} m_{2} \\ {\overset{\cdot}{ω}}_{3} = I_{3}^{- 1} (I_{1} - I_{2}) ω_{1} ω_{2} + I_{3}^{- 1} d_{31} ω_{1} + I_{3}^{- 1} d_{32} ω_{2} + I_{3}^{- 1} d_{33} ω_{3} + I_{3}^{- 1} T_{c 3} + I_{3}^{- 1} m_{3} \end{matrix})$

令

$B = (\begin{matrix} I_{1}^{- 1} d_{11} & I_{1}^{- 1} d_{12} & I_{1}^{- 1} d_{13} \\ I_{2}^{- 1} d_{21} & I_{2}^{- 1} d_{22} & I_{2}^{- 1} d_{22} \\ I_{3}^{- 1} d_{31} & I_{3}^{- 1} d_{32} & I_{3}^{- 1} d_{33} \end{matrix}), f (ω) = A (\begin{matrix} ω_{2} ω_{3} \\ ω_{1} ω_{3} \\ ω_{1} ω_{2} \end{matrix}) + W,$

$A = d i a g (I_{1}^{- 1} (I_{2} - I_{3}), I_{2}^{- 1} (I_{3} - I_{1}), I_{3}^{- 1} (I_{1} - I_{2})),$

$W = {(\begin{matrix} I_{1}^{- 1} m_{1} & I_{2}^{- 1} m_{2} & I_{3}^{- 1} m_{3} \end{matrix})}^{T}, u = {(\begin{matrix} I_{1}^{- 1} T_{c 1} & I_{2}^{- 1} T_{c 2} & I_{3}^{- 1} T_{c 3} \end{matrix})}^{T}$

式中，A为由航天器转动惯量确定的对角矩阵，B为由航天器转动惯量及D确定的3×3的矩阵，W为由航天器转动惯量及M确定的3×1的矩阵，f(ω)为由航天器角速度、航天器转动惯量及M确定的3×1的矩阵，u为由航天器转动惯量及控制输入力矩确定的3×1的控制输入矩阵；

则刚体航天器三控制输入混沌姿态动力学非线性方程化为

$\overset{\cdot}{ω} = B ω + f (ω) + u$

在无控状态下(u＝0)，若航天器转动惯量及所受到的控制力矩满足

I₁＝2I₂＝2I₃

$T_{d} = (\begin{matrix} I_{1} a (ω_{2} - ω_{1}) \\ I_{2} (c ω_{1} - a ω_{1} + c ω_{2}) \\ - I_{3} b ω_{3} \end{matrix})$

则姿态动力学方程变为Chen系统形式

$(\begin{matrix} {\overset{\cdot}{ω}}_{1} = a (ω_{2} - ω_{1}) \\ {\overset{\cdot}{ω}}_{2} = (c - a) ω_{1} + c ω_{2} - ω_{1} ω_{3} \\ {\overset{\cdot}{ω}}_{3} = ω_{1} ω_{2} - {bω}_{3} \end{matrix})$

当a＝35,b＝3,c＝28时，该系统为混沌系统。

其它步骤及参数与具体实施方式一相同。

具体实施方式三：本实施方式与具体实施方式一或二不同的是：所述步骤二中针对部分执行机构故障情况下(以安装在滚转轴上的执行机构失效为例)刚体航天器混沌姿态动力学方程，将刚体航天器三控制输入混沌姿态动力学非线性方程转化成刚体航天器双输入混沌姿态动力学非线性方程形式；具体过称为：

以安装在滚转轴上的执行机构故障失效为例，即T_c1＝0。

部分执行机构故障失效，此时，T_c1＝0，令u＝[0>*T]^T，此时刚体航天器三控制输入混沌姿态动力学非线性方程转化为刚体航天器双输入混沌姿态动力学方程，具体过称为：

$\overset{\cdot}{ω} = B ω + f (ω) + (\begin{matrix} 0 \\ u_{2} \\ u_{3} \end{matrix}) = B ω + f (ω) + (\begin{matrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} u_{2} \\ u_{3} \end{matrix}) = B ω + f (ω) + {Fu}^{*}$

其中，

$F = (\begin{matrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}), u^{*} = (\begin{matrix} u_{2} \\ u_{3} \end{matrix})$

式中，u^*为由俯仰轴的控制输入和偏航轴的控制输入所组成的2×1的向量，u₂为俯仰轴的控制输入，u₃为偏航轴的控制输入。

其它步骤及参数与具体实施方式一或二相同。

具体实施方式四：本实施方式与具体实施方式一至三之一不同的是：所述步骤三中针对刚体航天器双输入混沌姿态动力学非线性方程，设计姿态角速度参考轨迹及姿态角加速度参考轨迹，获得姿态角速度误差；具体过称为：

为满足一定的任务要求，需要对航天器的角加速度进行一定限制，

假设将航天器偏航轴的角加速度最大值限制为可以设计偏航轴的姿态角加速度参考轨迹，其数学表达式为

${\overset{\cdot}{ω}}_{d r} (t) = (\begin{matrix} - \frac{{\overset{\cdot}{ω}}_{m}}{2} [1 + s i n (\frac{π t}{2 t_{1}})] & 0 \leq t \leq t_{1} \\ - {\overset{\cdot}{ω}}_{m} & t_{1} < t \leq t_{2} \\ - \frac{{\overset{\cdot}{ω}}_{m}}{2} [1 + \cos (\frac{t - t_{2}}{t_{3} - t_{2}} π)] & t_{2} < t \leq t_{3} \\ 0 & t > t_{3} \end{matrix})$

式中，为偏航轴的姿态角加速度参考轨迹，t为时间，t₁、t₂、t₃为特征时间点；

积分得到姿态角速度参考轨迹的减小量数学表达式为

$Δ ω (t) = (\begin{matrix} \frac{{\overset{\cdot}{ω}}_{m}}{2} t - \frac{{\overset{\cdot}{ω}}_{m} t_{1}}{π} (c o s \frac{π t}{2 t_{1}} - 1) & 0 \leq t \leq t_{1} \\ {\overset{\cdot}{ω}}_{m} (t - t_{1}) & t_{1} \leq t \leq t_{2} \\ \frac{{\overset{\cdot}{ω}}_{m}}{2} (t - t_{2}) + \frac{{\overset{\cdot}{ω}}_{m} (t_{3} - t_{2})}{2 π} \sin \frac{π (t - t_{2})}{t_{3} - t_{2}} & t_{2} \leq t \leq t_{3} \\ 0 & t \geq t_{3} \end{matrix})$

则偏航轴的姿态角速度参考轨迹的数学表达式为

$ω_{d r} (t) = (\begin{matrix} ω_{d 0} - \frac{{\overset{\cdot}{ω}}_{m}}{2} t + \frac{{\overset{\cdot}{ω}}_{m} t_{1}}{π} (\cos \frac{π t}{2 t_{1}} - 1) & 0 \leq t \leq t_{1} \\ ω_{d 0} - \frac{{\overset{\cdot}{ω}}_{m}}{2} (1 + \frac{2}{π}) t_{1} - {\overset{\cdot}{ω}}_{m} (t - t_{1}) & t_{1} \leq t \leq t_{2} \\ ω_{d 0} - \frac{{\overset{\cdot}{ω}}_{m}}{2} (1 + \frac{2}{π}) t_{1} - {\overset{\cdot}{ω}}_{m} (t_{2} - t_{1}) - \frac{{\overset{\cdot}{ω}}_{m}}{2} (t - t_{2}) - \frac{{\overset{\cdot}{ω}}_{m} (t_{3} - t_{2})}{2 π} \sin \frac{π (t - t_{2})}{t_{3} - t_{2}} & t_{2} \leq t \leq t_{3} \\ 0 & t \geq t_{3} \end{matrix})$

式中，ω_dr(t)为偏航轴的姿态角速度参考轨迹，ω_d0为偏航轴的参考姿态角速度初始值；

其中，航天器偏航轴的姿态角加速度最大值限制为受特征时间点t_i,i＝1,2,3及参考姿态角速度初始值ω_d0制约，假设航天器参考姿态角加速度为其中，为三个轴的参考姿态角加速度组成的3×1的向量，为航天器参考姿态角加速度在本体坐标系的第二个分量，为航天器参考姿态角加速度在本体坐标系的第三个分量；

则求得

${\overset{\cdot}{ω}}_{m} = \frac{2 {πω}_{d 0}}{2 t_{1} + π (t_{2} + t_{3} - t_{1})}$

姿态角速度误差设为e＝ω-ω_d，则姿态角加速度误差的变化率为

$\overset{\cdot}{e} = \overset{\cdot}{ω} - {\overset{\cdot}{ω}}_{d} = B ω + f (ω) + {Fu}^{*} - {\overset{\cdot}{ω}}_{d} .$

其它步骤及参数与具体实施方式一至三之一相同。

具体实施方式五：本实施方式与具体实施方式一至四之一不同的是：所述步骤四中针对姿态角速度误差e，设计积分滑模面，保证姿态角速度误差系统状态能在滑模面上滑动到平衡状态；

滑模控制律由等效控制u_eq和切换控制u_sw构成，通过取得到滑模控制律的等效项u_eq，然后令u＝u_eq+u_sw，通过分析并将u代入，使成立，从而得到滑模控制律的切换控制u_sw；等效控制保证系统的状态在滑模面上，切换控制保证系统的状态不离开滑模面。

设计积分滑模面

$s = C e + K \int_{0}^{t} e d t$

其中，

C为未知矩阵，c₁为C的第一列第一个分量，c₂为C的第一列第二个分量，K为积分系数矩阵；

$\overset{\cdot}{s} = C \overset{\cdot}{e} + K e = C (B ω + f (ω) + {Fu}^{*}) - C {\overset{\cdot}{ω}}_{d} + K ω - {Kω}_{d}$

令得到滑模控制律的等效项u_eq为

$u_{e q} = - C B ω - C f (ω) + C {\overset{\cdot}{ω}}_{d} + {Kω}_{d} - K ω$

从而得

$\overset{\cdot}{e} = B ω + f (ω) - F C B ω - F C f (ω) + F C {\overset{\cdot}{ω}}_{d} + {FKω}_{d} - F K ω - {\overset{\cdot}{ω}}_{d}$

又

$(\begin{matrix} f (ω) - F C f (ω) = (\begin{matrix} 0 \\ - ω_{1} ω_{3} \\ ω_{1} ω_{2} \end{matrix}) - (\begin{matrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} c_{1} & 1 & 0 \\ c_{2} & 0 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} 0 \\ - ω_{1} ω_{3} \\ ω_{1} ω_{2} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ - ω_{1} ω_{3} \\ ω_{1} ω_{2} \end{matrix}) - (\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ c_{1} & 1 & 0 \\ c_{2} & 0 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} 0 \\ - ω_{1} ω_{3} \\ ω_{1} ω_{2} \end{matrix}) \\ = (\begin{matrix} 0 \\ - ω_{1} ω_{3} \\ ω_{1} ω_{2} \end{matrix}) - (\begin{matrix} 0 \\ - ω_{1} ω_{3} \\ ω_{1} ω_{2} \end{matrix}) = 0 \end{matrix})$

$F C {\overset{\cdot}{ω}}_{d} - {\overset{\cdot}{ω}}_{d} = (\begin{matrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} c_{1} & 1 & 0 \\ c_{2} & 0 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} 0 \\ {\overset{\cdot}{ω}}_{d 2} \\ {\overset{\cdot}{ω}}_{d 3} \end{matrix}) - (\begin{matrix} 0 \\ {\overset{\cdot}{ω}}_{d 2} \\ {\overset{\cdot}{ω}}_{d 3} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ c_{1} & 1 & 0 \\ c_{2} & 0 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} 0 \\ {\overset{\cdot}{ω}}_{d 2} \\ {\overset{\cdot}{ω}}_{d 3} \end{matrix}) - (\begin{matrix} 0 \\ {\overset{\cdot}{ω}}_{d 2} \\ {\overset{\cdot}{ω}}_{d 3} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ {\overset{\cdot}{ω}}_{d 2} \\ {\overset{\cdot}{ω}}_{d 3} \end{matrix}) - (\begin{matrix} 0 \\ {\overset{\cdot}{ω}}_{d 2} \\ {\overset{\cdot}{ω}}_{d 3} \end{matrix}) = 0$

故上式可以化成

$\overset{\cdot}{e} = B ω - F C B ω - F K e = (B - F C B) (e + ω_{d}) - F K e = (B - F C B - F K) e + (B - F C B) ω_{d}$

又limω_d＝0，若要保证lime＝0，必须满足矩阵B-FCB-FK是Hurwitz稳定的，Hurwitz为赫尔维茨判据。

其它步骤及参数与具体实施方式一至四之一相同。

具体实施方式六：本实施方式与具体实施方式一至五之一不同的是：所述步骤五中设计滑模控制律，保证姿态角速度误差系统状态能从任意初始位置到达滑模面；具体过称为：

采用趋近律

$\overset{\cdot}{s} = - k s - ϵ | s |^{α} s g n (s), k > 0, ϵ > 0, 0 < α < 1$

式中，ε、α、k为给定的已知正常数；

则姿态角速度误差系统状态到达滑模面的时间为

$t^{*} = \frac{1}{k (α - 1)} \ln \frac{ϵ}{k | s (0) |^{1 - α} + ϵ}$

设计滑模控制律为

$u^{*} = - C B ω - C f (ω) + C {\overset{\cdot}{ω}}_{d} + {Kω}_{d} - K ω - k s - ϵ | s |^{α} s g n (s)$

该控制律能够保证姿态角速度误差系统状态在有限时间内到达滑模面，并在滑模面上渐进稳定在平衡点，保证lime＝0，即limω＝0。

为保证控制输入受限，可以通过选取合适的边界最大值来保证，判断是否合适的标准是该边界值是否影响系统的稳定性。

其它步骤及参数与具体实施方式一至五之一相同。

具体实施方式七：本实施方式与具体实施方式一至六之一不同的是：所述步骤六中利用线性矩阵不等式方法求解积分滑模面所涉及的未知矩阵，根据所设计的姿态角速度参考轨迹和姿态角加速度参考轨迹最终都为零，将步骤五所设计的滑模控制律代入刚体航天器双输入混沌姿态动力学非线性方程，可使航天器角速度最终达到平衡状态；具体过称为：

通过选取合适的对称正定矩阵P，若

P(B-FCB-FK)+(B-FCB-FK)^TP＜0

则满足Hurwitz稳定条件，并能够保证lime＝0，即limω＝0；

通过求解线性矩阵不等式的可行解，得到滑模控制律中的未知矩阵C和未知矩阵K。

其它步骤及参数与具体实施方式一至六之一相同。

采用以下实施例验证本发明的有益效果：

实施例一：

本实施例一种部分执行机构故障下航天器混沌姿态控制方法具体是按照以下步骤制

备的：

步骤一、将外界干扰作用下的刚体航天器混沌姿态动力学方程改写成矩阵向量表示的三控制输入非线性方程形式；

刚体航天器的姿态动力学方程为

$I \overset{\cdot}{ω} + ω \times (I ω) = T_{c} + T_{d}$

其中，ω＝[ω₁>2>3]^T表示航天器姿态角速度，I表示航天器转动惯量，T_c表示作用在航天器上的控制力矩，T_d表示外界干扰力矩，一般具有如下形式

T_d＝Dω+M

其中，D＝[d_ij]_3×3∈R^3×3(i,j＝1,2,3)和M＝[m_i]_3×1∈R^3×1(i＝1,2,3)为常数矩阵或随航天器角速度变化的矩阵。

取航天器的三个惯性主轴为其体坐标系的三个轴，可知I＝diag(I₁,I₂,I₃)。采用三维勒维奇维塔符号表示向量叉乘，记为ε_kij，定义为：

$ϵ_{k i j} = (\begin{matrix} + 1, i f (k, i, j) i s (1, 2, 3), (2, 3, 1) o r (3, 1, 2) \\ - 1, i f (k, i, j) i s (3, 2, 1), (1, 3, 2) o r (2, 1, 3) \\ 0, i f >i=j>or>j=k>or>k=i \end{matrix})$

对任意两个向量p＝[p_i]_3×1(i＝1,2,3)和q＝[q_j]_3×1(j＝1,2,3)，有其中，()_k表示向量叉乘的第k个分量。

将姿态动力学方程写成分量形式可得：

即

$(\begin{matrix} {\overset{\cdot}{ω}}_{1} = I_{1}^{- 1} (I_{2} - I_{3}) ω_{2} ω_{3} + I_{1}^{- 1} d_{11} ω_{1} + I_{1}^{- 1} d_{12} ω_{2} + I_{1}^{- 1} d_{13} ω_{3} + I_{1}^{- 1} T_{c 1} + I_{1}^{- 1} m_{1} \\ {\overset{\cdot}{ω}}_{2} = I_{2}^{- 1} (I_{3} - I_{1}) ω_{1} ω_{3} + I_{2}^{- 1} d_{21} ω_{1} + I_{2}^{- 1} d_{22} ω_{2} + I_{2}^{- 1} d_{23} ω_{3} + I_{2}^{- 1} T_{c 2} + I_{2}^{- 1} m_{2} \\ {\overset{\cdot}{ω}}_{3} = I_{3}^{- 1} (I_{1} - I_{2}) ω_{1} ω_{2} + I_{3}^{- 1} d_{31} ω_{1} + I_{3}^{- 1} d_{32} ω_{2} + I_{3}^{- 1} d_{33} ω_{3} + I_{3}^{- 1} T_{c 3} + I_{3}^{- 1} m_{3} \end{matrix})$

令

$B = (\begin{matrix} I_{1}^{- 1} d_{11} & I_{1}^{- 1} d_{12} & I_{1}^{- 1} d_{13} \\ I_{2}^{- 1} d_{21} & I_{2}^{- 1} d_{22} & I_{2}^{- 1} d_{22} \\ b_{31} & b_{32} & b_{33} \end{matrix}), f (ω) = A (\begin{matrix} ω_{2} ω_{3} \\ ω_{1} ω_{3} \\ ω_{1} ω_{2} \end{matrix}) + C,$

$A = d i a g (I_{1}^{- 1} (I_{2} - I_{3}), I_{2}^{- 1} (I_{3} - I_{1}), I_{3}^{- 1} (I_{1} - I_{2})),$

$C = {(\begin{matrix} I_{1}^{- 1} m_{1} & I_{2}^{- 1} m_{2} & I_{3}^{- 1} m_{3} \end{matrix})}^{T}, u = {(\begin{matrix} I_{1}^{- 1} T_{c 1} & I_{2}^{- 1} T_{c 2} & I_{3}^{- 1} T_{c 3} \end{matrix})}^{T}$

则三输入姿态动力学方程可化为：

$\overset{\cdot}{ω} = B ω + f (ω) + u$

在无控状态下(u＝0)，若航天器转动惯量及所受到的控制力矩满足

I₁＝2I₂＝2I₃

$T_{d} = (\begin{matrix} I_{1} a (ω_{2} - ω_{1}) \\ I_{2} ({cω}_{1} - {aω}_{1} + {cω}_{2}) \\ - I_{3} {bω}_{3} \end{matrix})$

则姿态动力学方程变为Chen系统形式

当a＝35,b＝3,c＝28时，该系统为混沌系统。

步骤二、针对部分执行机构故障情况下(以安装在滚转轴上的执行机构失效为例)航天器混沌姿态动力学方程，将三控制输入非线性方程转化成双输入非线性方程形式；

以安装在滚转轴上的执行机构故障失效为例，即T_c1＝0。令u＝[0>*T]^T，此时三输入姿态动力学方程转化为双输入姿态动力学方程：

其中，

$F = (\begin{matrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}), u^{*} = (\begin{matrix} u_{2} \\ u_{3} \end{matrix})$

步骤三、针对刚体航天器双输入混沌姿态动力学方程，设计姿态角速度及姿态角加速度参考轨迹，获得姿态角速度误差；

为满足一定的任务要求，需要对航天器的角加速度进行一定限制，假设将航天器偏航轴的角加速度最大值限制为可以设计偏航轴角加速度参考轨迹，其数学表达式为：

${\overset{\cdot}{ω}}_{d r} (t) = (\begin{matrix} - \frac{{\overset{\cdot}{ω}}_{m}}{2} [1 + \sin (\frac{π t}{2 t_{1}})] & 0 \leq t \leq t_{1} \\ - {\overset{\cdot}{ω}}_{m} & t_{1} < t \leq t_{2} \\ - \frac{{\overset{\cdot}{ω}}_{m}}{2} [1 + \cos (\frac{t - t_{2}}{t_{3} - t_{2}} π)] & t_{2} < t \leq t_{3} \\ 0 & t > t_{3} \end{matrix})$

积分可得到参考角速度的减小量数学表达式为：

从而可知，参考角速度的数学表达式为：

其中，角加速度最大值受特征时间点t_i,i＝1,2,3及参考角速度初始值制约，假设航天器参考角加速度为

可求得：

${\overset{\cdot}{ω}}_{m} = \frac{2 {πω}_{d 0}}{2 t_{1} + π (t_{2} + t_{3} - t_{1})}$

误差角速度设为e，则角加速度误差的变化率为

$\overset{\cdot}{e} = \overset{\cdot}{ω} - {\overset{\cdot}{ω}}_{d} = B ω + f (ω) + {Fu}^{*} - {\overset{\cdot}{ω}}_{d}$

步骤四、针对姿态角速度误差，设计积分滑模面，保证姿态角速度误差状态能在滑模面上滑动到平衡状态；

滑模控制律可由等效控制u_eq和切换控制u_sw构成，通过取可以得到滑模控制律的等效项u_eq，然后令u＝u_eq+u_sw，通过分析并将u代入，使成立，从而可得到滑模控制律的切换控制u_sw。等效控制保证系统的状态在滑模面上，切换控制保证系统的状态不离开滑模面。

设计滑模面

$s = C e + K \int_{0}^{t} e d t$

其中，

$\overset{\cdot}{s} = C \overset{\cdot}{e} + K e = C (B ω + f (ω) + {Fu}^{*}) - C {\overset{\cdot}{ω}}_{d} + K ω - {Kω}_{d}$

令可得到等效控制为：

$u_{e q} = - C B ω - C f (ω) + C {\overset{\cdot}{ω}}_{d} + {Kω}_{d} - K ω$

从而可得：

$\overset{\cdot}{e} = B ω + f (ω) - F C B ω - F C f (ω) + F C {\overset{\cdot}{ω}}_{d} + {FKω}_{d} - F K ω - {\overset{\cdot}{ω}}_{d}$

又

故上式可以化成

$\overset{\cdot}{e} = B ω - F C B ω - F K e = (B - F C B) (e + ω_{d}) - F K e = (B - F C B - F K) e + (B - F C B) ω_{d}$

又limω_d＝0，若要保证lime＝0，必须满足矩阵B-FCB-FK是Hurwitz稳定的。

步骤五、设计滑模控制器，保证姿态角速度误差状态能从任意初始位置到达滑模面；

采用趋近律

$\overset{\cdot}{s} = - k s - ϵ | s |^{α} s g n (s), k > 0, ϵ > 0, 0 < α < 1$

则系统状态到达滑模面的时间为

$t^{*} = \frac{1}{k (α - 1)} l n \frac{ϵ}{k | s (0) |^{1 - α} + ϵ}$

设计滑模控制律为

$u^{*} = - C B ω - C f (ω) + C {\overset{\cdot}{ω}}_{d} + {Kω}_{d} - K ω - k s - ϵ | s |^{α} s g n (s)$

该控制律能够保证系统状态在有限时间内到达滑模面，并在滑模面上渐进稳定在平衡点，保证lime＝0，即limω＝0。

为保证控制输入受限，可以通过选取合适的边界最大值来保证，判断是否合适的标准是该边界值是否影响系统的稳定性。

步骤六、利用线性矩阵不等式方法求解滑模面所涉及的未知矩阵，由于所设计的姿态角速度参考轨迹和姿态角加速度参考轨迹最终都为零，将所设计的滑模控制器代入刚体航天器双输入混沌姿态动力学方程，可使航天器角速度最终达到平衡状态。

通过选取合适的对称正定矩阵P，若

P(B-FCB-FK)+(B-FCB-FK)^TP＜0

则满足Hurwitz稳定条件，并能够保证lime＝0，即limω＝0。

通过求解线性矩阵不等式的可行解，可以得到控制器中的未知矩阵C和K。

以下通过数值仿真对本实施例的一种部分执行机构故障下航天器混沌姿态控制方法进行验证：

航天器转动惯量：I₁＝2kg·m²,I₁＝I₃＝1kg·m²

角速度初始值：ω₀＝[1.7189>T°/s

参考角速度：ω_d＝[0.5ω_dr>dr>dr]^T

参考角加速度：

特征时间点：t₁＝15s,t₂＝40s,t₃＝60s

偏航角速度初始值：ω_dr0＝1.7189°/s

选取对称正定矩阵：P＝diag(0.01,0.02,0.03)

控制器相关参数：k＝0.04,ε＝0.01,α＝0.4。

控制力矩边界最大值：u_m＝0.88Nm

可以计算

利用YALMIP工具箱求解线性矩阵不等式可得

$C = (\begin{matrix} 0.2804 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}), K = (\begin{matrix} 27.3126 & 32.5001 & 0 \\ 0 & 0 & 28.2085 \end{matrix})$

在无控条件下，图2至图4为相应的仿真结果，可以看出航天器处于混沌运动状态；将所得控制器代入步骤三获得的误差姿态动力学方程，图5至图9为相应的仿真结果，其中，图5为航天器参考角速度的变化曲线图，图6为航天器参考角加速度的变化曲线图，图7为在步骤五所设计的控制器的控制作用下航天器的角速度变化曲线图，图8为相应的航天器的角速度误差变化曲线图，图9为航天器所受控制力矩的变化曲线图。观察易见，航天器在步骤五所设计的控制器的控制作用下，能够在所设计的参考轨迹时间内，脱离混沌运动而达到稳定状态，且控制输入力矩在受限范围内。

可见，本发明的一种部分执行机构故障下航天器混沌姿态控制方法能够在执行机构故障情况下成功使航天器从混沌运动状态在有限时间内达到稳定状态。

本发明还可有其它多种实施例，在不背离本发明精神及其实质的情况下，本领域技术人员当可根据本发明作出各种相应的改变和变形，但这些相应的改变和变形都应属于本发明所附的权利要求的保护范围。

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