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一种带有未知滞环的小车倒立摆系统积分滑模控制方法

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一种带有未知滞环的小车倒立摆系统积分滑模控制方法，包括：建立倒立摆系统的动态模型，结合滞环并将其进行等效变换，初始化系统状态、采样时间以及控制参数；结合滑模控制及反演法，在每一步设计中引入虚拟控制变量，最后推导出自适应控制器输入；同时，利用Nussbaum函数的特性，解决了控制方向未知的问题；计算控制系统跟踪误差，积分滑模面，误差变量及微分。本发明提供一种能够有效改善倒立摆系统位置的滑模控制方法，保证系统的倒立摆系统快速稳定收敛至零点，有效消除滑模控制中的抖振问题。

著录项

公开/公告号CN105843041A

专利类型发明专利
公开/公告日2016-08-10

原文格式PDF
申请/专利权人浙江工业大学;
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申请/专利号CN201610218626.9
发明设计人陈强;郑恒火;陶亮;董方;
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申请日2016-04-08
分类号G05B13/04(20060101);
代理机构33241 杭州斯可睿专利事务所有限公司;
代理人王利强
地址 310014 浙江省杭州市下城区潮王路18号浙江工业大学科技处
入库时间 2023-06-19 00:12:25

法律信息

法律状态公告日

法律状态信息

法律状态
2023-07-25

专利实施许可合同备案的生效 IPC(主分类):G05B13/04 专利申请号:2016102186269 专利号:ZL2016102186269 合同备案号:X2023980037566 让与人:浙江工业大学受让人:嘉兴倍创网络科技有限公司发明名称:一种带有未知滞环的小车倒立摆系统积分滑模控制方法申请日:20160408 申请公布日:20160810 授权公告日:20190122 许可种类:普通许可备案日期:20230706

专利实施许可合同备案的生效、变更及注销
2023-07-21

专利实施许可合同备案的生效 IPC(主分类):G05B13/04 专利申请号:2016102186269 专利号:ZL2016102186269 合同备案号:X2023980037549 让与人:浙江工业大学受让人:浙江濮云科技有限公司发明名称:一种带有未知滞环的小车倒立摆系统积分滑模控制方法申请日:20160408 申请公布日:20160810 授权公告日:20190122 许可种类:普通许可备案日期:20230705

专利实施许可合同备案的生效、变更及注销
2019-01-22

授权

授权
2016-09-07

实质审查的生效 IPC(主分类):G05B13/04 申请日:20160408

实质审查的生效
2016-08-10

公开

公开

说明书

技术领域

本发明涉及一种倒立摆系统滑模控制方法，特别是带有未知滞环的小车倒立摆系统的积分滑模控制方法。

背景技术

倒立摆是一种典型的多变量、强耦合非线性系统。然而，近年来的研究表明，倒立摆控制方向在一定条件下是未知的，未知的控制方向使控制器的设计成为了难题。因此，如何设计控制方向未知的非线性系统的控制器已成为控制中亟待解决的关键问题之一。

滑模变结构控制(Sliding Mode Control,SMC)由于对系统数学模型要求不高，且对系统参数摄动、外部扰动具有较强的鲁棒性，被广泛应用于混沌控制研究中。但传统的滑模控制方法中由于控制增益的过高以及符号函数的存在，导致其存在一定的抖振问题，影响了实际应用。目前，在消除抖振研究方面，各种改进的滑模控制方法已被提出，如用积分滑模控制器，取得了良好的效果。

发明内容

为了克服现有倒立摆系统在一定参数条件下控制方向未知、无法消除滑模控制中的抖振问题的不足，本发明提供一种基于扩张状态观测器的倒立摆系统积分滑模控制方法，取消系统所有状态完全可测的限制，采用扩张状态观测器估计系统状态以及不确定项，并基于估计值设计积分滑模控制器，结合Nussbaum函数，解决控制方向未知的问题，保证系统快速稳定收敛至零点。

为了解决上述技术问题提出的技术方案如下：

一种带有未知滞环的小车倒立摆系统积分滑模控制方法，所述控制方法包括以下步骤：

步骤1,建立倒立摆系统的模型，初始化系统状态以及控制参数，所述的倒立摆系统能描述为：

${\begin{matrix} {\overset{\cdot}{x}}_{1} = x_{2} \\ {\overset{\cdot}{x}}_{2} = f ({\overline{x}}_{2}) + g ({\overline{x}}_{2}) H (u) + d (t) \end{matrix} - - - (1)$

其中

$\begin{matrix} f ({\overline{x}}_{2}) = 9.8 (m_{c} + m) \sin >x_{1}-{mlx}_{2}^{2}\cos>x_{1}\sin>x_{1}l (\frac{4}{3} - \frac{m >\cos^{2}x_{1}}{m_{c} + m}) (m_{c} + m)g ({\overline{x}}_{2}) = \frac{\cos >x_{1}}{l (\frac{4}{3} - \frac{m >\cos^{2}x_{1}}{m_{c} + m}) (m_{c} + m)}d (t) = 3 + 2 \cos (2 t)---(2) \end{matrix}$

其中，y＝x(t)∈R，u(t)∈R分别表示系统状态，倒立摆状态和倒立摆控制信号；θ表示位置，m表示倒立摆质量，m_c表示小车质量，l表示倒立摆长度，d(t)表示未知干扰，H(u)表示滞环,即H(u)＝μ₁u+μ₂ζ，其中μ₁,μ₂是符号相同的常数；

步骤2，将倒立摆模型转变为更适宜自适应扩张状态观测器设计的形式，过程如下：

2.1,将式(2)转换成如下形式：

${\begin{matrix} {\overset{\cdot}{x}}_{1} = x_{2} \\ {\overset{\cdot}{x}}_{2} = a (x) + g_{0} u \end{matrix} - - - (3)$

其中，

2.2,令a₀＝a(x)+Δbu，Δb＝g₀-b₀，其中b₀为g₀的估计值，基于扩张状态观测器的设计思想，通过定义扩展状态x₃＝a₀，则式(3)改写为以下等效形式：

$(\begin{matrix} {\overset{\cdot}{x}}_{1} = x_{2} \\ {\overset{\cdot}{x}}_{2} = x_{3} + b_{0} u \\ {\overset{\cdot}{x}}_{3} = h \end{matrix}) - - - (4)$

其中，

步骤3,设计滤波器，过程如下：

令y_i＝η_0,i+g₀η_1,i+ε_i,i＝1,2,3分别为式(4)中状态变量x_i的观测值，定义观测误差为y_i-x_i，则自适应扩张状态观测器表达式为：

$(\begin{matrix} {\overset{\cdot}{η}}_{0, 1} = k_{1} (x_{1} - η_{0, 1}) + η_{0, 2} \\ {\overset{\cdot}{η}}_{0, 2} = k_{2} (x_{1} - η_{0, 1}) + η_{0, 3} \\ {\overset{\cdot}{η}}_{0, 3} = k_{3} (x_{1} - η_{0, 1}) \end{matrix}) - - - (5)$

$(\begin{matrix} {\overset{\cdot}{η}}_{1, 1} = k_{1} (x_{1} - η_{1, 1}) + η_{1, 2} \\ {\overset{\cdot}{η}}_{1, 2} = k_{2} (x_{1} - η_{1, 1}) + η_{1, 3} + u \\ {\overset{\cdot}{η}}_{1, 3} = k_{3} (x_{1} - η_{1, 1}) \end{matrix}) - - - (6)$

其中，k₁,k₂,k₃均为增益向量，且

$(\begin{matrix} {\overset{\cdot}{ϵ}}_{1} = - k_{1} ϵ_{1} + ϵ_{2} \\ {\overset{\cdot}{ϵ}}_{2} = - k_{2} ϵ_{1} + ϵ_{3} \\ {\overset{\cdot}{ϵ}}_{3} = - k_{3} ϵ_{1} \end{matrix}) - - - (7)$

步骤4,基于扩张状态观测器，设计滑模控制器，过程如下：

4.1,定义跟踪误差e为

e＝y₁-y_d>

其中y_d为期望轨迹；

4.2,根据式(8)，设计如下滑模面：

s₁＝e+λ∫edt>

对(8)和(9)求导得到：

$(\begin{matrix} \overset{\cdot}{e} = {\overset{\cdot}{y}}_{1} - {\overset{\cdot}{y}}_{d} = y_{2} - {\overset{\cdot}{y}}_{d} \\ {\overset{\cdot}{s}}_{1} = \overset{\cdot}{e} + λ e = y_{2} - {\overset{\cdot}{y}}_{d} + λ e \end{matrix}) - - - (10)$

由(5)和(6)的定义得：

$y_{2} = η_{0, 2} + g_{0} η_{1, 2} + {\hat{ϵ}}_{2} - - - (11)$

将(11)代入(10),得到：

${\overset{\cdot}{s}}_{1} = η_{0, 2} + g_{0} η_{1, 2} + {\hat{ϵ}}_{2} - {\overset{\cdot}{y}}_{d} - - - (12)$

4.3设计虚拟控制率：

$α_{1} = N_{1} (φ) {\overline{α}}_{1} - - - (13)$

其中N₁(φ)是满足如下性质的函数：

$(\begin{matrix} \lim_{k \to \pm \infty} \sup \frac{1}{k} \int_{0}^{k} N (φ) d φ = + \infty \\ \lim_{k \to \pm \infty} \inf \frac{1}{k} \int_{0}^{k} N (φ) d φ = - \infty \end{matrix}) - - - (14)$

其中φ满足

$\overset{\cdot}{φ} = γ_{φ} s_{1} {\overline{α}}_{1} - - - (15)$

其中γ_φ是整数；

是虚拟控制量,表达式为：

${\overline{α}}_{1} = - c_{1} s_{1} - d_{1} s_{1} - η_{0, 2} + {\overset{\cdot}{y}}_{d} - λ e - - - (16)$

其中c₁,d₁为大于零的常数；

4.4定义误差

s₂＝η_1,2-α₁>

将(17)代入(12)得：

$\begin{matrix} {\overset{\cdot}{s}}_{1} = η_{0, 2} + g_{0} (s_{2} + α_{1}) + {\hat{ϵ}}_{2} - {\overset{\cdot}{y}}_{d} + κ e = \\ η_{0, 2} + g_{0} s_{2} + (g_{0} N_{1} (φ) - 1) {\overline{α}}_{1} + \\ {\overline{α}}_{1} + {\hat{ϵ}}_{2} - {\overset{\cdot}{y}}_{d} + κ e = \\ g_{0} z_{2} + (g_{0} N_{1} (φ) - 1) {\overline{α}}_{1} - c_{1} s_{1} - d_{1} s_{1} + {\hat{ϵ}}_{2} \end{matrix} - - - (18)$

4,5设计李雅普诺夫函数：

$V_{1} = \frac{1}{2} s_{1}^{2} + \frac{1}{d_{1}} {\hat{ϵ}}^{T} P_{0} \hat{ϵ} - - - (19)$

其中矩阵P₀满足：

$A_{0} = (\begin{matrix} - k_{1} & 1 & 0 \\ - k_{2} & 0 & 1 \\ - k_{3} & 0 & 0 \end{matrix}) - - - (20)$

P₀A₀+A₀P₀＝-I>

计算(19)的微分，得到：

$\begin{matrix} {\overset{\cdot}{V}}_{1} = - c_{1} s_{1}^{2} - d_{1} s_{1}^{2} + s_{1} {\hat{ϵ}}_{2} - \frac{1}{d_{1}} {\hat{ϵ}}^{T} \hat{ϵ} + \\ s_{1} (g_{0} s_{2} + (g_{0} N_{1} (φ) - 1) {\overline{α}}_{1} \leq \\ - c_{1} s_{1}^{2} - d_{1} {(s_{1} - \frac{1}{2 d_{1}} {\hat{ϵ}}_{2})}^{2} - \frac{3}{4 d_{1}} {\hat{ϵ}}^{T} \hat{ϵ} + \\ g_{0} s_{2} s_{1} + s_{1} (g_{0} N_{1} (φ) - 1) {\overline{α}}_{1} \leq \\ - c_{1} s_{1}^{2} - \frac{3}{4 d_{1}} {\hat{ϵ}}^{T} \hat{ϵ} + g_{0} s_{2} s_{1} + s_{1} (g_{0} N_{1} (φ) - 1) {\overline{α}}_{1} . \end{matrix} - - - (22)$

4.6计算(17)的微分，得到：

$\begin{matrix} {\overset{\cdot}{s}}_{2} = η_{1, 3} + u - k_{2} η_{1, 1} - \frac{\partial α_{1}}{\partial η_{0}} {\overset{\cdot}{η}}_{0} \\ - \frac{\partial α_{1}}{\partial η_{1}} {\overset{\cdot}{η}}_{1} - \frac{\partial α_{1}}{\partial y} (η_{0, 2} + g_{0} η_{1, 2} + {\hat{ϵ}}_{2}) \\ - \frac{\partial α_{1}}{\partial {\hat{g}}_{0}} {\overset{\cdot}{\hat{g}}}_{0} - Σ_{j = 0}^{1} \frac{\partial α_{1}}{\partial y_{d}^{(j)}} y_{d}^{(j + 1)} \end{matrix} - - - (23)$

4.7设计控制率

$\begin{matrix} u = - c_{2} s_{2} - s_{1} - d_{2} {(\frac{\partial α_{1}}{\partial y})}^{2} - η_{1, 3} + k_{2} η_{1, 1} \\ + b_{0} \frac{\partial α_{1}}{\partial y} η_{1, 2} + \frac{\partial α_{1}}{\partial y} η_{0, 2} + \frac{\partial α_{1}}{\partial η_{0}} {\overset{\cdot}{η}}_{0} \\ + \frac{\partial α_{1}}{\partial η_{1}} {\overset{\cdot}{η}}_{1} + Σ_{j = 0}^{1} \frac{\partial α_{1}}{\partial y_{d}^{(j)}} y_{d}^{(j + 1)} \end{matrix} - - - (24)$

其中c₂,d₂是大于零的实数；

设计自适应率

${\overset{\cdot}{b}}_{0} = Γ τ - - - (25)$

其中Γ是大于零的常数；

4.8设计李雅普诺夫函数

$V_{2} = V_{1} + \frac{1}{2} s_{2}^{2} + \frac{1}{d_{2}} {\hat{ϵ}}^{T} P_{0} \hat{ϵ} + {\tilde{ϵ}}^{T} P_{0} \tilde{ϵ} - - - (26)$

其中误差

对(26)微分，得到

$\begin{matrix} {\overset{\cdot}{V}}_{n} \leq - Σ_{i = 1}^{n} (c_{i} s_{i}^{2} + \frac{3}{4 d_{i}} {\hat{ϵ}}^{T} \hat{ϵ}) + s_{1} (g_{0} N_{1} (v) - 1) {\overline{α}}_{1} \\ - (1 - σ) {\tilde{ϵ}}^{T} \tilde{ϵ} + \frac{1}{σ} {|| P_{0} ||}^{2} ω_{0}^{2} \leq \\ - {κV}_{n} + s_{1} (g_{0} N_{1} (φ) - 1) {\overline{α}}_{1} + M \end{matrix} - - - (27)$

其中σ是大于零的常数，如果则系统是稳定的。

本发明结合扩张状态观测器技术和积分滑模控制技术，设计带有未知滞环的小车倒立摆系统积分滑模控制方法，抑制滑模控制中的抖振问题，结合Nussbaum函数，解决控制方向未知的问题，保证系统的混沌状态快速稳定收敛至零点。

本发明的技术构思为：倒立摆在一定条件下控制方向不可知。针对部分控制方向未知的倒立摆系统，结合积分滑模控制和扩张状态观测器理论，设计一种倒立摆系统积分滑模控制方法，取消了系统所有状态完全可测的限制。利用Nussbaum函数，解决了滞环方向未知的问题。在系统部分状态和非线性不确定项上界均未知的情况下，基于扩张状态观测器估计系统未知状态及不确定项，并设计积分滑模控制器保证系统状态快速稳定收敛至零点。本发明提供一种能够改善滑模控制抖振问题并提高系统控制精度及鲁棒性的倒立摆系统积分滑模控制方法。确保在系统部分状态不可测的情况下,并保证系统的混沌状态快速稳定收敛至零点。

本发明的优点为：保证系统的倒立摆系统快速稳定收敛至零点，有效消除滑模控制中的抖振问题。

附图说明

图1为本发明的控制算法流程图；

图2为本发明的信号跟踪效果示意图；

图3为本发明的信号估计误差示意图；

图4为本发明的估计参数示意图；

图5为本发明的控制信号示意图。

具体实施方式

下面结合附图对本发明做进一步说明。

参照图1-图5，一种带有未知滞环的倒立摆系统积分滑模控制方法，

所述控制方法包括以下步骤：

步骤1,建立倒立摆系统的模型，初始化系统状态以及控制参数，所述的倒立摆系统能描述为：

${\begin{matrix} {\overset{\cdot}{x}}_{1} = x_{2} \\ {\overset{\cdot}{x}}_{2} = f ({\overline{x}}_{2}) + g ({\overline{x}}_{2}) H (u) + d (t) \end{matrix} - - - (1)$

其中

步骤2，将倒立摆模型转变为更适宜自适应扩张状态观测器设计的形式，过程如下：

2.1,将式(2)转换成如下形式：

${\begin{matrix} {\overset{\cdot}{x}}_{1} = x_{2} \\ {\overset{\cdot}{x}}_{2} = a (x) + g_{0} u \end{matrix} - - - (3)$

其中，

2.2,令a₀＝a(x)+Δbu，Δb＝g₀-b₀，其中b₀为g₀的估计值，基于扩张状态观测器的设计思想，通过定义扩展状态x₃＝a₀，则式(3)改写为以下等效形式：

$(\begin{matrix} {\overset{\cdot}{x}}_{1} = x_{2} \\ {\overset{\cdot}{x}}_{2} = x_{3} + b_{0} u \\ {\overset{\cdot}{x}}_{3} = h \end{matrix}) - - - (4)$

其中，

步骤3,设计滤波器，过程如下：

令y_i＝η_0,i+g₀η_1,i+ε_i,i＝1,2,3分别为式(4)中状态变量x_i的观测值，定义观测误差为y_i-x_i，则自适应扩张状态观测器表达式为：

其中，k₁,k₂,k₃均为增益向量，且

$(\begin{matrix} {\overset{\cdot}{ϵ}}_{1} = - k_{1} ϵ_{1} + ϵ_{2} \\ {\overset{\cdot}{ϵ}}_{2} = - k_{2} ϵ_{1} + ϵ_{3} \\ {\overset{\cdot}{ϵ}}_{3} = - k_{3} ϵ_{1} \end{matrix}) - - - (7)$

步骤4,基于扩张状态观测器，设计滑模控制器，过程如下：

4.1,定义跟踪误差e为

e＝y₁-y_d>

其中y_d为期望轨迹；

4.2,根据式(8)，设计如下滑模面：

s₁＝e+λ∫edt>

其中，λ为控制参数，λ＞0；

对(8)和(9)求导得到：

由(5)和(6)的定义得：

$y_{2} = η_{0, 2} + g_{0} η_{1, 2} + {\hat{ϵ}}_{2} - - - (11)$

将(11)代入(10),得到：

${\overset{\cdot}{s}}_{1} = η_{0, 2} + g_{0} η_{1, 2} + {\hat{ϵ}}_{2} - {\overset{\cdot}{y}}_{d} - - - (12)$

4.3设计虚拟控制率：

$α_{1} = N_{1} (φ) {\overline{α}}_{1} - - - (13)$

其中N₁(φ)是满足如下性质的函数：

$(\begin{matrix} \lim_{k \to \pm \infty} \sup \frac{1}{k} \int_{0}^{k} N (φ) d φ = + \infty \\ \lim_{k \to \pm \infty} \inf \frac{1}{k} \int_{0}^{k} N (φ) d φ = - \infty \end{matrix}) - - - (14)$

其中φ满足

$\overset{\cdot}{φ} = γ_{φ} s_{1} {\overline{α}}_{1} - - - (15)$

其中γ_φ是整数；

是虚拟控制量,表达式为：

${\overline{α}}_{1} = - c_{1} s_{1} - d_{1} s_{1} - η_{0, 2} + {\overset{\cdot}{y}}_{d} - λ e - - - (16)$

其中c₁,d₁为大于零的常数；

4.4定义误差

s₂＝η_1,2-α₁>

将(17)代入(12)得：

4,5设计李雅普诺夫函数：

$V_{1} = \frac{1}{2} s_{1}^{2} + \frac{1}{d_{1}} {\hat{ϵ}}^{T} P_{0} \hat{ϵ} - - - (19)$

其中矩阵P₀满足：

$A_{0} = (\begin{matrix} - k_{1} & 1 & 0 \\ - k_{2} & 0 & 1 \\ - k_{3} & 0 & 0 \end{matrix}) - - - (20)$

P₀A₀+A₀P₀＝-I>

计算(19)的微分，得到：

4.6计算(17)的微分，得到：

4.7设计控制率

其中c₂,d₂是大于零的实数；

设计自适应率

${\overset{\cdot}{b}}_{0} = Γ τ - - - (25)$

其中Γ是大于零的常数；

4.8设计李雅普诺夫函数

$V_{2} = V_{1} + \frac{1}{2} s_{2}^{2} + \frac{1}{d_{2}} {\hat{ϵ}}^{T} P_{0} \hat{ϵ} + {\tilde{ϵ}}^{T} P_{0} \tilde{ϵ} - - - (26)$

其中误差

对(26)微分，得到

其中σ是大于零的常数，如果则系统是稳定的。

为验证所提方法的有效性，本发明对由式(24)表示的基于扩张状态观测器的积分滑模控制器的控制效果进行仿真实验。仿真中采用的倒立摆系统、扩张状态观测器以及滑模控制器的部分参数设计如下：倒立摆系统参数m_c＝1,l＝0.5,m＝0.1，滞环参数μ₁＝1,μ₂＝1，采样时间T_s＝0.01s，初始条件(x₁(0),x₂(0))＝(0.1，0.1)，滑模与扩张观测器的参数设置为：k₁＝6,k₂＝12,k₃＝27，λ＝8，c₁＝150,c₂＝150，d₁＝0.1,d₂＝0.1，Γ＝10，C1中g₀初始条件为1，C2中g₀初始条件为-1。

从图2-图5的实验结果对比能看出：g₀的初始估计符号不同时，两种控制方法的镇定效果对比。从图中可以看出，无论g₀的符号估计是否正确，最终都能使倒立摆系统达到镇定。整体来看，在基于扩张状态观测器的积分滑模控制器的作用下，不仅能有效消除滑模控制中的抖振问题，而且保证系统状态快速稳定收敛至零点。

以上阐述的是本发明给出的一个实施例表现出的优良优化效果，显然本发明不只是限于上述实施例，在不偏离本发明基本精神及不超出本发明实质内容所涉及范围的前提下对其可作种种变形加以实施。所提出的控制方案对带有未知滞环和模型不确定项的倒立摆系统是有效的，在所提出的控制器的作用下，抑制滑模控制中的抖振问题，保证系统快速稳定收敛至零点。

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