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一种能克服传动间隙非线性的双环自抗扰控制器

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本发明一种能够克服传动间隙非线性的双环自抗扰控制器，所述控制器包括外环自抗扰控制器和内环自抗扰控制器；内环自抗扰控制器采用电机速度反馈，参考信号为外环自抗扰控制器中的ESO输出的速度信号与传动比的乘积；外环自抗扰控制器采用负载位置反馈，参考信号为设定的期望负载位置；将外环自抗扰控制器的输出控制量u1与内环自抗扰控制器的输出控制量u2相加作为被控对象的控制量；由此实现双环自抗扰控制器。本发明引入内环自抗扰控制器，内环自抗扰控制器的控制目标是使驱动与从动部分的速度同步，经过内环自抗扰控制器处理之后，被控对象呈现近似刚性的特性，这时再用外环自抗扰控制器控制负载的位置，可以实现很好的控制效果。

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公开/公告号CN105790668A

专利类型发明专利
公开/公告日2016-07-20

原文格式PDF
申请/专利权人北京理工大学;
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申请/专利号CN201610265025.3
发明设计人蔡涛;杨静远;陈杰;
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申请日2016-04-26
分类号H02P23/12(20060101);H02P23/04(20060101);
代理机构11120 北京理工大学专利中心;
代理人刘芳;仇蕾安
地址 100081 北京市海淀区中关村南大街5号
入库时间 2023-06-19 00:09:35

法律信息

法律状态公告日

法律状态信息

法律状态
2018-04-06

授权

授权
2016-08-17

实质审查的生效 IPC(主分类):H02P23/12 申请日:20160426

实质审查的生效
2016-07-20

公开

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说明书

技术领域

本发明涉及高精度位置跟踪控制系统，属于伺服控制技术领域，具体涉及一种能够克服传动间隙非线性的双环自抗扰控制器。

背景技术

传动间隙非线性指机械传动系统中运动部件之间存在的间隙，存在于齿轮- 齿轮、齿轮-齿带或蜗轮-蜗杆等传动环节，常导致位置(角度)控制误差。传动间隙既是机械运动传递过程中不可缺少的一种非线性，有利于运动部件之间的油膜生成，减少摩擦，防止卡滞，同时该间隙又是影响控制系统动态性能和稳态精度的重要因素。如果不能消除传动间隙的影响，系统性能会因之导致极限环等幅振荡而降低，严重时甚至使得系统变得不稳定；同时，间隙两侧的传动部件之间的刚性碰撞会产生严重的噪音，随着时间的推移，传动部件表面逐渐磨损，导致间隙变大，系统性能下降更为显著。由于间隙的不可微非线性特性，对其补偿非常困难，增加了存在传动间隙系统的控制难度。因而，在系统运行精度要求很高的领域，比如精密机械、高精度武器系统、机器人等领域，传动间隙非线性一直是研究的重要内容。

起初人们尝试通过机械的方法试图消除齿轮与齿轮之间的间隙，但是齿隙啮合必须满足一定的齿隙最小间距才能保证不发生滞塞现象，机械的方式不可能将齿轮间的传动间隙完全消除。另一种处理传动间隙的方法是从控制方法上下功夫。近十几年来，随着对间隙研究的深入和非线性理论的发展，建立的间隙非线性的数学模型变得更为复杂，这些模型覆盖了间隙在系统端部到间隙在系统中间，以及包含摩擦、饱和等其它非线性。建立在现代控制理论基础上的新方法不断出现，自适应控制理论、变结构控制理论、智能控制理论、非线性几何理论等成为研究传动间隙的有力工具；控制方法也更为复杂，研究人员陆续提出了逆模型方法、碰撞分析法、线性控制基础上的补偿方法以及分阶段控制法等方法。

现有的间隙补偿方法主要有逆模型补偿、可微齿隙逆模型补偿、基于线性控制的补偿方式、基于切换控制的补偿方式以及基于驱动冗余的补偿方式。

间隙的逆模型补偿方式是在系统控制信号输入端补偿一个间隙非线性的逆，用以抵消系统中间隙非线性的影响。一般来说间隙的逆模型补偿一般用迟滞模型作为逆模型对象，经过逆模型补偿后成为伪线性系统的广义对象可以施加任何形式的线性控制策略。但是应用间隙逆模型补偿方式的控制呈现不可微的“硬” 特性，是不连续的，在控制过程中易出现“抖动”现象。可微齿隙逆模型法是用可微函数近似表示的传动间隙逆模型，虽然引入了有界误差，相比于传统的逆模型补偿方法，改善了系统的控制性能。基于线性控制的补偿方式是在线性控制的基础上对间隙等非线性实施不同的补偿策略，具体包括观测器方式、智能方式、描述函数法等补偿策略，其控制策略多数是根据确定的未知参数而设计的，未知参数的变化可能会影响其控制效果。切换控制策略是针对系统的间隙阶段和接触阶段分别设计不同的控制策略，根据电机和负载的位置反馈可以得知当前间隙是在打开状态还是啮合状态，在接触啮合期间，间隙非线性消失，控制目标为系统期望指标；在间隙期间，系统驱动部分与从动部分成为两个相互独立的子系统，从动子系统处于自由衰减状态，控制目标为减小间隙非线性对系统的影响。切换控制策略是比较理想的选择，理论上可以在保证驱动部分快速通过间隙的同时，保证间隙终了时实现无碰撞接触，但若间隙期间的控制策略太复杂则会延长计算周期，使得控制不易实现，间隙较小时尤为如此，同时，间隙的大小在运行过程中的浮动也会影响这种控制方法的性能。驱动冗余补偿方式是通过对驱动同一从动轴的两组驱动电机施加大小相等、方向相反的偏置力矩，使得间隙非线性系统成为分段线性系统，显著地改善了系统的非线性特征。但该方法大幅增加了系统结构的复杂和设计成本，另外还引发了多电机同步协调等新的问题。

在位置伺服控制中，传动间隙的存在主要会引起两种问题。其一是稳定性问题。间隙的存在会引发高频极限环，其二是性能问题，负载在间隙期间不受控制，因此必然导致与期望值之间的误差。现有研究在面临这种问题时，控制策略主要分为两种，一种是“强控制策略”，主张在间隙期间采取强作用，使负载在间隙中的时间尽可能短；另一种是“弱控制策略”，这种控制策略包含两个控制器，一个着重于稳定性，在间隙期间发挥作用，另一个着重于性能指标，在间隙闭合时发挥作用，根据电机转矩对这两种控制器进行切换。具体的控制方式包括线性控制和自适应、非线性控制。线性控制根据反馈信号的不同又包括电机侧反馈、负载侧反馈和电机负载侧同时反馈。自适应和非线性控制包括负载反馈、电机负载侧同时反馈。

单独采用电机侧反馈虽然可以避免传动间隙造成的自激振荡，但是由于负载位置不在闭环内，稳态误差不可避免。而采用负载反馈，由于传动间隙的存在，会使系统出现自激振荡。某种程度上，传动间隙可以被视作一种转矩扰动，而近年来兴起的自抗扰控制专门针对控制过程中的扰动问题，通过扩张状态观测器(ESO)把被控对象化为标准的积分器串联型，然后施加合适的控制律，从而可以达到满意的控制效果，近年来的理论分析证明了其可行性，自抗扰控制技术对时滞、非最小相位系统均有良好的控制效果。

2010年ShenZhao将自抗扰控制方法应用于二惯量系统(S.ZhaoandZ.Gao, “Anactivedisturbancerejectionbasedapproachtovibrationsuppressionintwo-inertia systems,”inAmericanControlConference,2010,pp.1520-1525)，用于解决运动控制系统中的谐振问题，效果比传统方法有明显提升。他单独使用电机反馈或负载反馈，对电机(或负载)的速度或位置进行控制。但是采用负载反馈对负载速度进行控制时，负载速度可以得到稳定控制，但是消除谐振的代价是电机速度却始终处于波动中。2013年，QinlingZheng通过稳定性分析(QinlingZheng,Z.Gao, OnObserver-BasedActiveVibrationControlofTwo-InertiaSystems,American ControlConference,2013,pp.6634-6639)，调整了一个参数，使得电机侧和负载侧的振动同时被抑制。关于自抗扰控制方法用于存在传动间隙特性的二惯量系统的研究目前尚未见报道。

在大多数传动间隙问题的仿真研究中，间隙环节只被置于输出端，实际应用中传动间隙主要是在系统的驱动部分与从动部分之间。另外，实际的运动控制系统中，传动间隙不是一个恒定值，即便是全新的产品，也会存在加工误差导致运动过程中传动间隙的不均匀，另外，传动轴不是刚性不变的，存在径向跳动。在使用一段时间后，传动间隙还可能因为控制系统设计不够完善，没有考虑降低传动间隙的影响，导致机械部件的磨损，传动间隙增大，且不均匀性亦随之增加。针对高精度伺服控制系统的实际需求，本发明既可以克服传动间隙对于控制性能的不利影响，还对间隙大小变化不敏感，可实现具有传动间隙环节的高精度伺服控制。

发明内容

本发明提供了一种能够克服传动间隙非线性的双环自抗扰控制器，本发明引入内环自抗扰控制器，内环自抗扰控制器的控制目标是使驱动与从动部分的速度同步，经过内环自抗扰控制器处理之后，被控对象呈现近似刚性的特性，这时再用外环自抗扰控制器控制负载的位置，可以实现很好的控制效果。

实现本发明的技术方案如下：

一种能够克服传动间隙非线性的双环自抗扰控制器，所述控制器包括外环自抗扰控制器和内环自抗扰控制器；

内环自抗扰控制器采用电机速度反馈，参考信号为外环自抗扰控制器中的 ESO输出的速度信号与传动比的乘积；

外环自抗扰控制器采用负载位置反馈，参考信号为设定的期望负载位置；

将外环自抗扰控制器的输出控制量u₁与内环自抗扰控制器的输出控制量u₂相加作为被控对象的控制量；

由此实现双环自抗扰控制器。

进一步地，本发明所述内环自抗扰控制器的控制式如下所示：

$u_{2} = \frac{ω_{c m} (g r {\overset{\cdot}{θ}}_{L} - {\overset{\cdot}{θ}}_{M}) - {\hat{x}}_{2 m}}{b_{0 m}}$

其中，u₂为内环自抗扰控制器的输出控制量，ω_cm为内环控制器带宽，gr为被控对象中电机到负载的传动比，θ_L和分别为被控对象中负载的位置和速度，θ_M和分别为被控对象中电机的位置和速度；

所述内环自抗扰控制器上扩张状态观测器ESO的输入量为两个，其中一个为u₁与u₂的叠加，另一个为被控对象中电机的速度，则

${\hat{x}}_{2 m} \approx f + (b_{m} - b_{0 m}) (u_{1} + u_{2})$

$f_{1} = - \frac{k (\frac{θ_{M}}{g r} - θ_{L}) + c (\frac{{\overset{\cdot}{θ}}_{M}}{g r} - {\overset{\cdot}{θ}}_{L})}{J_{M} g r}, b_{m} = \frac{1}{J_{M}}$

其中，b_0m为预先设定的接近于b_m的常数，k,c为常数，b_M为被控对象中电机阻尼；

所述外环自抗扰控制器的控制式如下所示：为：

$u_{1} = \frac{u_{0 l} - {\hat{x}}_{4 l}}{b_{0 l}}$

其中，u₁为外环自抗扰控制器的输出控制量；

所述外环自抗扰控制器上扩张状态观测器的输入量为两个，其中一个为u₁，另一个为被控对象中负载的位置，则

${\hat{x}}_{4 l} \approx f_{2} + (b_{l} - b_{0 l}) u_{1}$

$b_{l} = \frac{c}{J_{M} J_{L} g r}, f_{2} = \frac{J_{M} k \cdot g r - k \cdot g r}{g r \cdot J_{L}} {\overset{\cdot}{θ}}_{L} - \frac{1}{J_{L}} {\overset{\cdot\cdot}{θ}}_{L}$

其中，b_0l为预先设定的接近b_l的常数，J_L为被控对象中负载转动惯量，

$u_{0 l} = {ω_{c l}}^{3} (r - {\hat{x}}_{1 l}) - 3 {ω_{c l}}^{2} {\hat{x}}_{2 l} - 3 ω_{c l} {\hat{x}}_{3 l}$

其中，ω_cl为外环控制器带宽，r为负载的参考输入，为观测器观测的负载的位置，为观测器观测的负载的速度，为观测器观测的负载的加速度。

有益效果：

(1)本发明提出的双环自抗扰控制器，引入了内环自抗扰控制器使驱动部分与从动部分速度同步，使得双环自抗扰控制器能够克服传动间隙的对控制的不利影响，可以保证系统位置输出完成快速过渡的同时，不会产生自激振荡，不会出现稳态误差。

(2)由于在设计过程中没有考虑传动间隙的大小，而抓住了引起自激震荡的根本原因是驱动与从动部分速度不同步，所以本发明提出的双环自抗扰控制器对传动间隙的大小变化不敏感，实现起来较为简单，非常适合工程应用。

(3)由于非刚性传动的谐振问题也是由于驱动与从动部分速度不同步造成的，所以本发明提出的双环自抗扰控制器不仅仅可以用于克服传动间隙特性，还可抑制非刚性传动的谐振问题。

附图说明

图1为存在传动间隙的二惯量系统框图。

图2为传统自抗扰控制器的原理框图。

图3为双环自抗扰控制器的原理框图。

图4为线性自抗扰控制器在不存在间隙时的电机及负载位置仿真响应。

图5为线性自抗扰控制器在存在间隙时的电机及负载位置仿真响应。

图6为线性自抗扰控制器在存在间隙时的电机位置仿真响应。

图7为线性自抗扰控制器在存在间隙时的负载位置仿真响应。

图8为双环自抗扰控制器在不存在间隙时的电机及负载位置仿真响应。

图9为双环自抗扰控制器在存在间隙时的电机及负载位置仿真响应。

图10为线性自抗扰控制器在不存在间隙时的电机及负载位置实验响应。

图11为线性自抗扰控制器在存在间隙时的电机及负载位置实验响应。

图12为双环自抗扰控制器在不存在间隙时的电机及负载位置实验响应。

图13为双环自抗扰控制器在存在间隙时的电机及负载位置实验响应。

图14为双环自抗扰控制器在存在间隙时的电机及负载位置实验响应的局部放大图。

具体实施方式

下面结合附图并举实施例，对本发明进行详细描述。

一、算法设计与仿真

图1为存在间隙的二惯量系统(TwoInertiaSystem)的框图，其中J_M为电机转动惯量，J_L为负载转动惯量，b_M为电机阻尼，b_L为负载阻尼，T为输入转矩， Y_L为负载位置输出，间隙的力矩模型为：

$(\begin{matrix} T_{S} = k (θ_{d} - α) + c {\overset{\cdot}{θ}}_{d}, & θ_{d} + (\frac{c}{k}) {\overset{\cdot}{θ}}_{d} > α \\ T_{S} = 0, & | θ_{d} + (\frac{c}{k}) {\overset{\cdot}{θ}}_{d} | \leq α \\ T_{S} = k (θ_{d} - α) + c {\overset{\cdot}{θ}}_{d}, & θ_{d} + (\frac{c}{k}) {\overset{\cdot}{θ}}_{d} < - α \end{matrix})$

其中，即为按照传动比折算到负载侧后电机与负载的位移差，T_S为轴传动转矩，α为传动间隙大小，k,c为常数，有实际的物理意义，θ_L为被控对象中负载的位置，θ_M为被控对象中电机的位置，gr为被控对象中电机到负载的传动比。

1、线性自抗扰控制器的设计与仿真(现有技术，作为本发明双环自抗扰控制器的效果对照)

传统线性自抗扰控制器的原理框图如图2所示。为了分析方便，忽略电机阻尼b_M与负载阻尼b_L，在不存在间隙时，经过计算可以得到输入力矩到负载位置输出的传递函数为，

$\frac{θ_{L} (s)}{U (s)} = \frac{\frac{c}{g r} s + \frac{k}{g r}}{J_{M} J_{L} s^{4} + (J_{M} c + J_{L} \frac{c}{{gr}^{2}}) s^{3} + (J_{M} k + \frac{J_{L} k}{{gr}^{2}}) s^{2}}$

其中，U(s)为被控对象的输入，θ_L(s)为负载的位置输出，s为拉普拉斯微分算子。由此可得被控对象的微分方程为，

$J_{M} J_{L} {gr}^{2} {\overset{\cdot\cdot\cdot\cdot}{θ}}_{L} + (J_{M} c \cdot {gr}^{2} + J_{L} c) {\overset{\cdot\cdot\cdot\cdot}{θ}}_{L} + (J_{M} {gr}^{2} k + J_{L} k) {\overset{\cdot\cdot}{θ}}_{L} = g r \cdot c \cdot \overset{\cdot}{u} + g r \cdot k \cdot u$

其中，u为被控对象的输入。

两端同时积分，得到，

$J_{M} J_{L} {gr}^{2} {\overset{\cdot\cdot\cdot\cdot}{θ}}_{L} = g r \cdot c \cdot u + g r \cdot k \int u - (J_{M} c \cdot {gr}^{2} + J_{L} c) {\overset{\cdot\cdot}{θ}}_{L} - (J_{M} {gr}^{2} k + J_{L} k) {\overset{\cdot}{θ}}_{L}$

${\overset{\cdot\cdot\cdot\cdot}{θ}}_{L} = \frac{c}{J_{M} J_{L} g r} u + \frac{g r \cdot k \int u - (J_{M} c \cdot {gr}^{2} + J_{L} c) {\overset{\cdot\cdot}{θ}}_{L} - (J_{M} {gr}^{2} k + J_{L} k) {\overset{\cdot}{θ}}_{L}}{J_{M} J_{L} {gr}^{2}}$

由此可以进行线性自抗扰控制器的设计，取x₁＝θ_L,为状态变量，得到系统的状态方程为

$(\begin{matrix} {\overset{\cdot}{x}}_{1} = x_{2} \\ {\overset{\cdot}{x}}_{2} = x_{3} \\ {\overset{\cdot}{x}}_{3} = b \cdot u + f \end{matrix})$

其中， $b = \frac{c}{J_{M} J_{L} g r}, f = \frac{g r \cdot k \int u - (J_{M} c \cdot {gr}^{2} + J_{L} c) {\overset{\cdot\cdot}{θ}}_{L} - (J_{M} {gr}^{2} k + J_{L} k) {\overset{\cdot}{θ}}_{L}}{J_{M} J_{L} {gr}^{2}} .$

根据状态方程设计扩张状态观测器(ESO)

$(\begin{matrix} {\overset{\cdot}{\hat{x}}}_{1} = {\hat{x}}_{2} + 4 ω_{o} (θ_{L} - {\hat{x}}_{1}) \\ {\overset{\cdot}{\hat{x}}}_{2} = {\hat{x}}_{3} + 6 {ω_{o}}^{2} (θ_{L} - {\hat{x}}_{1}) \\ {\overset{\cdot}{\hat{x}}}_{3} = b_{0} \cdot u + {\hat{x}}_{4} + 4 {ω_{o}}^{3} (θ_{L} - {\hat{x}}_{1}) \\ {\overset{\cdot}{\hat{x}}}_{4} = {ω_{o}}^{4} (θ_{L} - {\hat{x}}_{1}) \end{matrix})$

其中，b₀为取值接近于b的常数，为观测器状态,ω_o为常数，称为观测器带宽。通过选取合适的ω_o,可以使ESO的输出跟踪系统的各个状态，其中设参考输入为r，取控制量

$u_{0} = {ω_{c}}^{3} (r - {\hat{x}}_{1}) - 3 {ω_{c}}^{2} {\hat{x}}_{2} - 3 ω_{c} {\hat{x}}_{3}$

其中ω_c为控制器带宽。

$u = \frac{u_{0} - {\hat{x}}_{4}}{b_{0}} \Rightarrow b_{0} u = u_{0} - {\hat{x}}_{4} \Rightarrow b_{0} u = u_{0} - f - (b - b_{0}) u$

所以

b·u＝u₀-f

则系统状态方程变为

$(\begin{matrix} {\overset{\cdot}{x}}_{1} = x_{2} \\ {\overset{\cdot}{x}}_{2} = x_{3} \\ {\overset{\cdot}{x}}_{3} = u_{0} \end{matrix})$

即

${\overset{\cdot\cdot\cdot\cdot}{θ}}_{L} = u_{0}$

整个系统的闭环传递函数为，

$\frac{θ_{L} (s)}{R (s)} = \frac{1}{{(s + ω_{c})}^{3}}$

从而完成线性自抗扰控制器的设计目标。

取被控对象参数J_M＝0.0004,J_L＝0.0025,b_M＝0.002,b_L＝0.002,k＝8.45,c＝0.067, 线性自抗扰控制器参数ω_c＝15,ω_o＝300,b₀＝16750,Simulink仿真的结果如图4～7所示，在传动不存在传动间隙时，系统的输出很好，如图4所示，但是在存在0.01 弧度的间隙时，采用线性自抗扰控制器的系统输出出现了等幅振荡，如图5～7 所示。

2、本发明双环自抗扰控制器的设计与仿真

产生等幅振荡的原因是驱动与从动部分的速度不同步，如果驱动和从动部分的速度同步了，也就不会发生等幅震荡了。双环自抗扰控制器的特点在于引入内环自抗扰控制器，内环自抗扰控制器的控制目标是使驱动与从动部分的速度同步，经过内环自抗扰控制器处理之后，被控对象呈现近似刚性的特性，这时再用外环自抗扰控制器控制负载的位置，效果就会很理想。

2.1内环自抗扰控制器的设计

为了分析方便，推导过程忽略电机阻尼b_M与负载阻尼b_L。双环自抗扰控制器的原理框图如图3所示。被控对象为，

$(\begin{matrix} J_{M} {\overset{\cdot\cdot}{θ}}_{M} = T - \frac{k (\frac{θ_{M}}{g r} - θ_{L}) + c (\frac{{\overset{\cdot}{θ}}_{M}}{g r} - {\overset{\cdot}{θ}}_{L})}{g r} \\ J_{L} {\overset{\cdot\cdot}{θ}}_{L} = k (\frac{θ_{M}}{g r} - θ_{L}) + c (\frac{{\overset{\cdot}{θ}}_{M}}{g r} - {\overset{\cdot}{θ}}_{L}) \end{matrix}) - - - (1)$

T＝u₁+u₂(2)

其中，u₁为外环自抗扰控制器的输出控制量，u₂为内环自抗扰控制器的输出控制量。

内环自抗扰控制器的设计：

由(1)和(2)得

${\overset{\cdot\cdot}{θ}}_{M} = \frac{u_{1}}{J_{M}} + \frac{u_{2}}{J_{M}} - \frac{k (\frac{θ_{M}}{g r} - θ_{L}) + c (\frac{{\overset{\cdot}{θ}}_{M}}{g r} - {\overset{\cdot}{θ}}_{L})}{J_{M} g r} - - - (3)$

取为状态变量，得到系统的状态方程为，

${\overset{\cdot}{x}}_{1 m} = b_{m} (u_{1} + u_{2}) + f_{1} - - - (4)$

其中

根据(4)，设计扩张状态观测器(ESO)方程为，

${\begin{matrix} {\overset{\cdot}{\hat{x}}}_{1 m} = {\hat{x}}_{2 m} + b_{0 m} (u_{1} + u_{2}) + 2 \cdot ω_{o m} ({\overset{\cdot}{θ}}_{M} - {\hat{x}}_{1 m}) \\ {\overset{\cdot}{\hat{x}}}_{2 m} = {ω_{o m}}^{2} ({\overset{\cdot}{θ}}_{M} - {\hat{x}}_{1 m}) \end{matrix} - - - (5)$

其中为内环扩张状态观测器的状态变量，ω_om为常数，称为内环观测器带宽， b_0m为取值接近于b_m的常数。选取合适的ω_om，可以得到

${\hat{x}}_{2 m} \approx f_{1} + (b_{m} - b_{0 m}) (u_{1} + u_{2}) - - - (6)$

取负载速度为参考，设计内环控制器为

$u_{2} = \frac{ω_{c m} (g r {\overset{\cdot}{θ}}_{L} - {\overset{\cdot}{θ}}_{M}) - {\hat{x}}_{2 m}}{b_{0 m}} - - - (7)$

其中ω_cm为内环控制器带宽。

由(6)(7)得

$u_{2} \approx \frac{ω_{c m} (g r {\overset{\cdot}{θ}}_{L} - {\overset{\cdot}{θ}}_{M}) - f_{1} - (b_{m} - b_{0 m}) (u_{1} + u_{2})}{b_{0 m}}$

即

$b_{0 m} u_{2} \approx ω_{c m} (g r {\overset{\cdot}{θ}}_{L} - {\overset{\cdot}{θ}}_{M}) - f_{1} - (b_{m} - b_{0 m}) (u_{1} + u_{2})$

$b_{m} (u_{1} + u_{2}) \approx ω_{c m} (g r {\overset{\cdot}{θ}}_{L} - {\overset{\cdot}{θ}}_{M}) - f_{1} + b_{0 m} u_{1} - - - (8)$

将(8)代入(1)，整体被控对象变为

$(\begin{matrix} J_{M} {\overset{\cdot\cdot}{θ}}_{M} = u_{1} + J_{M} ω_{c m} (g r {\overset{\cdot}{θ}}_{L} - {\overset{\cdot}{θ}}_{M}) \\ J_{L} {\overset{\cdot\cdot}{θ}}_{L} = k (\frac{θ_{M}}{g r} - θ_{L}) + c (\frac{{\overset{\cdot}{θ}}_{M}}{g r} - {\overset{\cdot}{θ}}_{L}) \end{matrix}) - - - (9)$

由(9)中第二式可得，

${\overset{\cdot}{θ}}_{M} + \frac{k}{c} θ_{M} = \frac{g r (J_{L} {\overset{\cdot\cdot}{θ}}_{L} + c {\overset{\cdot}{θ}}_{L} + {kθ}_{L})}{c} - - - (10)$

由(9)中第一式可得

${\overset{\cdot\cdot}{θ}}_{M} + ω_{c m} {\overset{\cdot}{θ}}_{M} = \frac{1}{J_{M}} u_{1} + J_{M} ω_{c m} g r {\overset{\cdot}{θ}}_{L} - - - (11)$

取

$ω_{c m} = \frac{k}{c} - - - (12)$

联立(10)，(11)和(12)可得，

$\frac{1}{J_{M}} u_{1} + J_{M} \frac{k}{c} g r {\overset{\cdot}{θ}}_{L} = \frac{g r}{c} (J_{L} {\overset{\cdot\cdot\cdot\cdot}{θ}}_{L} + c {\overset{\cdot\cdot}{θ}}_{L} + k {\overset{\cdot}{θ}}_{L})$

${\overset{\cdot\cdot\cdot\cdot}{θ}}_{L} = \frac{c}{J_{M} J_{L} g r} u_{1} + \frac{J_{M} k \cdot g r - k \cdot g r}{g r \cdot J_{L}} {\overset{\cdot}{θ}}_{L} - \frac{1}{J_{L}} {\overset{\cdot\cdot}{θ}}_{L} - - - (13)$

由于内环控制器的设计，使得外环控制的控制对象发生了变化，上述公式(9) -(13)的推导是为了便于外环控制器的设计。

2.2外环自抗扰控制器的设计

根据式(13)，取x_1l＝θ_L,为状态变量，得到系统的状态方程为

$(\begin{matrix} {\overset{\cdot}{x}}_{1 l} = x_{2 l} \\ {\overset{\cdot}{x}}_{2 l} = x_{3 l} \\ {\overset{\cdot}{x}}_{3 l} = b_{l} \cdot u_{1} + f_{2} \end{matrix}) - - - (14)$

其中

根据式(14)设计外环扩张状态观测器(ESO)的观测器方程为，

$(\begin{matrix} {\overset{\cdot}{\hat{x}}}_{1 l} = {\hat{x}}_{2 l} + 4 ω_{o l} (θ_{L} - {\hat{x}}_{1 l}) \\ {\overset{\cdot}{\hat{x}}}_{2 l} = {\hat{x}}_{3 l} + 6 {ω_{o l}}^{2} (θ_{L} - {\hat{x}}_{1 l}) \\ {\overset{\cdot}{\hat{x}}}_{3 l} = b_{0 l} \cdot u_{1} + {\hat{x}}_{4 l} + 4 {ω_{o l}}^{3} (θ_{L} - {\hat{x}}_{1 l}) \\ {\overset{\cdot}{\hat{x}}}_{4 l} = {ω_{o l}}^{4} (θ_{L} - {\hat{x}}_{1 l}) \end{matrix})$

其中，为观测器状态变量，ω_ol为外环观测器带宽，b_0l为取值接近b_l的常数，选取合适的ω_ol可以得到，

${\hat{x}}_{4 l} \approx f_{2} + (b_{l} - b_{0 l}) u_{1} - - - (15)$

设参考输入为期望负载位置r，

$u_{0 l} = {ω_{c l}}^{3} (r - {\hat{x}}_{1 l}) - 3 {ω_{c l}}^{2} {\hat{x}}_{2 l} - 3 ω_{c l} {\hat{x}}_{3 l}$

其中ω_cl为外环控制器带宽。

设计外环控制器的控制律为，

$u_{1} = \frac{u_{0 l} - {\hat{x}}_{4 l}}{b_{0 l}} - - - (16)$

将式(15)带入式(16)得，

$u_{1} = \frac{u_{0 l} - f_{2} - (b_{l} - b_{0 l}) u_{1}}{b_{0 l}} - - - (17)$

整理式(17)可得

b_lu₁＝u_0l-f₂(18)

将式(18)代入式(14)中，系统状态方程变为，

$(\begin{matrix} {\overset{\cdot}{x}}_{1 l} = x_{2 l} \\ {\overset{\cdot}{x}}_{2 l} = x_{3 l} \\ {\overset{\cdot}{x}}_{3 l} = u_{0 l} \end{matrix})$

即

${\overset{\cdot\cdot\cdot\cdot}{θ}}_{L} = u_{0 l}$

则系统的参考输入r到系统的负载输出θ_L的传递函数为，

$\frac{θ_{L} (s)}{R (s)} = \frac{1}{{(s + ω_{c l})}^{3}}$

至此完成双环自抗扰控制器的设计。

2.3实际控制量的计算

将外环自抗扰控制器的控制量u₁与内环自抗扰控制器的控制量u₂相加得到实际被控对象的控制量。

取参数ω_cl＝15,ω_ol＝300ω_cm＝126,ω_om＝300,b_0m＝2500进行双环自抗扰控制器Simulink仿真，结果如图8、9所示，可见该控制器在有无传动间隙的情况下均表现良好。

二、实验验证

实验环境由如下部分组成：PC机、PCI-1716，PCI-QUAD04，ECPModel220 实验平台。PC机需要安装MatlabReal-timeWorkshop,ECPModel220实验平台包括驱动器、电机、负载以及传动机构，电机与负载均配备光电编码器，可得出位置信号，PCI-1716用于输出驱动器需要的±10V的电压，驱动器的电流环增益为1.5A/V,转矩常数为0.086Nm/A，PCI-QUAD04用于对编码器的脉冲信号进行计数，编码器输出A、B两相脉冲信号，根据两相信号相位之间的关系可判定旋转方向，编码器每转一圈，PCI-QUAD04会记录到16000个脉冲，所以分辨率为 0.0225度。

经过参数辨识得到，驱动器输入U(伏特)到电机位置Y_M(度)和负载位置Y_L(度)的传递函数为，

$\frac{Y_{L} (s)}{U (s)} = \frac{1}{s} \cdot \frac{50034 s + 1.078 \times 10^{8}}{s^{3} + 74.3 s^{2} + 6.542 \times 10^{4} s + 1.478 \times 10^{5}}$

$\frac{Y_{M} (s)}{U (s)} = \frac{1}{s} \cdot \frac{13460 s^{2} + 7.458 \times 10^{5} s + 4.213 \times 10^{8}}{s^{3} + 88.59 s^{2} + 6.414 \times 10^{4} s + 1.447 \times 10^{5}}$

由式可进行传统线性自抗扰控制器的设计，取参数 ω_c＝20,ω_o＝40,b₀＝50000可以得到负载输出在没有间隙情况下的控制效果，如图10 所示，控制效果很理想，但是此控制器在存在1度的齿轮间隙情况下，出现了等幅振荡，如图11所示。

按照前面介绍的方法进行双环自抗扰控制器的设计，由参数辨识出的传递函数可以得到

$\frac{k}{c} = 2155$

取参数ω_cl＝80,ω_ol＝30,b_0l＝50000,ω_cm＝250,ω_om＝30,b_0m＝14000，注意到此处ω_cm的取值小于因为取值过大会出现噪声，所以此处要进行均衡考虑，在避免噪声的同时，尽量使ω_cm接近双环自抗扰控制器在实验台没有传动间隙时的控制效果如图12所示，在实验台存在1度的传动间隙时的控制效果如图13、14所示。可见，双环自抗扰控制器的控制效果与传动过程中存不存在传动间隙无关，该控制器是可以克服传动间隙非线性的。此外，此控制器对于所有传动、从动不同步和非刚性传动的被控对象，如柔性传动轴等，均有很好的控制效果。

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