不同大小样本均值-标准偏差控制图的统计过程控制方法

摘要

本发明公开了一种不同大小样本均值-标准偏差控制图的统计过程控制方法，主要解决现有控制图无法对样本大小不同时实施统计过程控制的问题。其实施步骤是：1、获取产品样本；2、计算得到每组样本的均值和标准偏差；3、获得母体均值和标准偏差；4、计算均值-标准偏差控制图中两个控制图各自相应的特征值，获得均值-标准偏差控制图中两个控制图各自相应的控制线；5、按照休哈特控制图的绘制方法，将特征值和控制线绘制成对应的控制图；6应用判断过程异常准则对步骤5的控制图进行判断，得出生产过程是否处于受控状态的结果。本发明适用范围广，母体的均值和标准偏差计算精度高，可用于样本大小相同或不同的统计过程控制。

说明书

技术领域

本发明属于生产质量控制领域，特别涉及一种统计过程控制方法，可用于样本大小 不同时监控生产状态是否处于受控状态的统计过程控制。

背景技术

“统计过程控制”是当今一种最流行和最有效的质量改进方法。统计过程控制技术主 要指运用休哈特的过程控制理论即控制图来监控产品在生产过程中的各个阶段，即工序的 质量特性，根据控制图上的点分布状况，分析质量特性的趋势，采取预防措施，确保生产 过程处于统计控制状态，从而达到改进与保证质量的目的。但是应用传统控制图的前提是 要求生产过程中采集的各批次样本数据服从独立且服从同一个正态分布，即通常所说的独 立同正态分,IIND条件。为了计算控制限，要求过程的均值和标准偏差已知，或可以由采 集的数据计算得到。但是基于采集的数据计算控制限时，为了保证可信度，至少需要20 到25批样本数据，且要求每批样本数据大小需相同。

然而，在实际中生产中，存在以下两种情况：①批次产品量相差较大；②批次产品量 大小不同且每个批次的产品量都很小。针对第一种情况传统的做法是：固定抽样样本大小， 但它的缺点是抽样样本不能真实的反映出各批产品的实际情况。针对第二种情况传统的做 法是：按所有批中最小的产品量进行抽样，但由于产品量很小，抽取样本的不同会导致结 果相差过大，并且当后续生产的批次产品量更小时，需重新按最新出现的最小的产品量进 行抽样。其实针对第一种情况最理想的抽样方法是等比抽样，针对第二种情况最理想做法 是所有产品作为样本。但这样就出现了样本大小不同的情况。当样本大小不同时，传统控 制图的方法不再适用，无法建立控制图进行统计过程控制。

发明内容

本发明的目的在于针对已有传统控制图的不足，提出一种基于不同大小样本均值-标准 偏差控制图的统计过程控制方法，以实现实际生产中每批产品抽取样本大小不同时的统计 过程控制。

本发明的技术方案是这样实现的：

一.技术原理

统计过程控制SPC的实现是指，对同一产品每生产完一个批次后要对此批产品进行采 样，得到样本数据；再对样本数据进行数理统计分析，及时发现系统性因素出现的征兆， 并采取措施消除其影响，使过程维持在仅受随机性因素影响的受控状态，达到质量改进的 目的。

根据估计量的无偏性、有效性及相合性，计算出在不同样本大小的情况下均值和标准 偏差的估计量，然后将每批样本的均值和标准偏差转化为服从标准正态分布的结果数据。 最后按照休哈特控制图的绘制方法绘制“均值-标准偏差”控制图，从而完成对样本大小不 同时的统计过程控制

二.实现方案

根据以上原理，本发明的实现步骤包括如下：

(1)采集样本：

当同一产品在相应的工序完成加工后，根据企业采样标准，采集k批样本；记第i批 样本的大小为n_i，第i批的第j个样本为x_ij，其中i＝1,2,…,k，j＝1,2,…n_i，k≥25，n_i≥2；

(2)根据每批的样本，获得每批样本的均值和标准偏差，其中第i批的均值和标 准偏差s_i为:

${\bar{X}}_i=\frac{1}{n_i}\underset{j=1}{\overset{n_i}{\Sigma }}{x}_{ij},s_i=\frac{1}{n_i-1}\sqrt{\underset{j=1}{\overset{n_i}{\Sigma }}{(x_{ij}-{\bar{X}}_i)}^2};$

(3)根据每批样本的大小、均值和标准偏差，获得母体均值估计量μ和标准偏差估 计值σ：

$\mu =\frac{\underset{i=1}{\overset{k}{\Sigma }}{n}_i{\bar{X}}_i}{\underset{i=1}{\overset{k}{\Sigma }}{n}_i},\sigma =\underset{i=1}{\overset{k}{\Sigma }}\frac{\frac{C_2\left(n_i\right)s_i}{C_3^2\left(n_i\right)}}{\underset{j=1}{\overset{k}{\Sigma }}\frac{C_2^2\left(n_j\right)}{C_3^2\left(n_j\right)}};$

其中C₂(n_i)、C₃(n_i)为中间变量，是关于样本大小n_i的函数，其计算公式为： $C_2\left(n_i\right)=\sqrt{\frac{2}{n_i-1}}\frac{\Gamma (n_i/2)}{\left(\right(n_i-1)/2)},C_3\left(n_i\right)=\sqrt{1-C_2^2\left(n_i\right)},$Γ(n_i/2)和Γ((n_i-1)/2)是关于样本 大小n_i的伽玛函数；

(4)获得“均值-标准偏差”控制图中两个控制图各自相应的特征值：

4a)根据第i批的均值母体均值估计量μ和标准偏差估计值σ，获得均值控制 图的特征值：${\mu }_{di}=\frac{{\bar{X}}_i-\mu }{\sigma /\sqrt{n_i}};$

4b)根据第i批的标准偏差s_i、母体均值估计量μ和标准偏差估计值σ，获得标准偏 差控制图的特征值：

(5)获得“均值-标准偏差”控制图中两个控制图各自相应的控制线：

5a)根据均值控制图的特征值μ_di服从标准正态分布的特性，利用‘3sigma’原理， 得到均值控制图的中心线CL₁、上控制线UCL₁和下控制线LCL₁：

CL₁＝0

UCL₁＝3；

LCL₁＝-3

5b)根据标准偏差控制图的特征值s_di近似服从标准正态分布的特性，利用‘3sigma’

原理，得到标准偏差控制图的中心线CL₂、上控制线UCL₂和下控制线LCL₂：

CL₂＝0

UCL₂＝3；

LCL₂＝-3

(6)按照休哈特控制图的绘制方法，将步骤(4a)和步骤(5a)得到的结果绘制到均 值控制图中，将步骤(4b)和步骤(5b)得到的结果绘制到标准偏差控制图中；

(7)应用判断过程异常准则对步骤(6)得到的两个控制图进行判断：如果两个控制 图均未出现异常，则说明生产过程是受控的，继续进行生产；如两个控制图有一个或两个 控制图出现异常，则说明生产过程失控，则需停止生产，查找失控原因并采取相应的措施。

本发明具有如下优点：

1.适用范围广

本发明不仅适用于样本大小不同的统计过程控制，而且适用于样本大小相同的过程控 制；适用于各种抽样方法，甚至可以将整批产品作为样本。

2.母体均值和标准偏差的计算非常准确

本发明中均值估计值和标准偏差估计值，满足估计量的无偏性、有效性及强相合性， 因而均值估计值和标准偏差估计值非常准确。

附图说明

图1本发明的实现流程图；

图2是本发明中在不同样本大小时得到的标准-标准偏差控制图。

具体实施方式

下面结合附图，以某公司生产5欧姆电阻为例，对本发明做进一步的描述。

参照图1，本发明的实现步骤如下：

步骤1：采集样本。

1a)每加工完成一批产品，采用1％的抽样比例进行等比抽样，对抽取的样本进行测量 后得到样本数据；

1b)连续采集25次后得到25批样本数据，如表1所示，记第i批样本的大小为n_i， 第i批的第j个样本为x_ij，其中i＝1,2,…,25，j＝1,2,…n_i。

表1电阻样本数据

步骤2：根据表1的数据利用下式计算第i批的均值X_i和标准偏差s_i:

${\bar{X}}_i=\frac{1}{n_i}\underset{j=1}{\overset{n_i}{\Sigma }}{x}_{ij},$

$s_i=\frac{1}{n_i-1}\sqrt{\underset{j=1}{\overset{n_i}{\Sigma }}{(x_{ij}-{\bar{X}}_i)}^2},$

计算结果如表2所示：

表2样本的均值和标准偏差

步骤3：根据表2的数据，利用下式计算母体的均值μ和标准偏差σ。

$\mu =\frac{\underset{i=1}{\overset{k}{\Sigma }}{n}_i{\bar{X}}_i}{\underset{i=1}{\overset{k}{\Sigma }}{n}_i},\sigma =\underset{i=1}{\overset{k}{\Sigma }}\frac{\frac{C_2\left(n_i\right)s_i}{C_3^2\left(n_i\right)}}{\underset{j=1}{\overset{k}{\Sigma }}\frac{C_2^2\left(n_j\right)}{C_3^2\left(n_j\right)}};$

其中C₂(n_i)、C₃(n_i)为中间变量，是关于样本大小n_i的函数，其计算公式为： $C_2\left(n_i\right)=\sqrt{\frac{2}{n_i-1}}\frac{\Gamma (n_i/2)}{\left(\right(n_i-1)/2)},C_3\left(n_i\right)=\sqrt{1-C_2^2\left(n_i\right)},$Γ(n_i/2)和Γ((n_i-1)/2)是关于样本 大小n_i的伽玛函数；

计算得到母体均值μ＝4.9936和标准偏差σ＝0.0952。

步骤4：获得均值-标准偏差控制图中两个控制图各自相应的特征值。

根据表2的数据、母体均值μ和标准偏差σ，利用下式计算均值控制图的特征值μ_di和 标准偏差控制图的特征值s_di：

${\mu }_{di}=\frac{{\bar{X}}_i-\mu }{\sigma /\sqrt{n_i}},s_{di}=\frac{x-C_2\left(n_i\right)\sigma }{C_3\left(n_i\right)\sigma }$

计算结果如表3所示：

表3均值-标准偏差控制图相应的特征值

批次 均值控制图的特征值μ_di标准偏差控制图的特征值s_di1 -0.7114 1.6771 2 -1.2111 0.5927 3 -0.2317 -0.7180 4 -0.9121 0.0399 5 0.3880 -1.1752 6 1.0656 -0.8881 7 1.1377 -0.3502 8 -0.4273 1.9672 9 1.3038 -0.4499 10 -1.8064 -0.5895 11 -0.8895 0.6280 12 -0.7646 -0.7585 13 1.0497 0.9396 14 0.9416 0.1769 15 -0.7207 -0.6359 16 -0.1863 0.8807 17 1.4223 -0.6064 18 -0.0265 0.9976 19 0.4748 0.3241 20 -0.4939 0.0286 21 -0.8171 0.7040 22 0.6588 -0.7315 23 0.1991 -1.0380 24 0.5948 -0.1632 25 -1.2138 -0.8722

(5)获得均值-标准偏差控制图中两个控制图各自相应的控制线：

5a)根据均值控制图的特征值μ_di服从标准正态分布的特性，利用‘3sigma’原理， 得到均值控制图的中心线CL₁、上控制线UCL₁和下控制线LCL₁：

CL₁＝0

UCL₁＝3；

LCL₁＝-3

5b)根据标准偏差控制图的特征值s_di近似服从标准正态分布的特性，利用‘3sigma’ 原理，得到标准偏差控制图的中心线CL₂、上控制线UCL₂和下控制线LCL₂：

CL₂＝0

UCL₂＝3；

LCL₂＝-3

所述‘3sigma’原理是一个统计原理，用于计算统计控制图中的控制线。上控制线 为特征值的均值加3倍的特征值的标准偏差，下控制限为特征值的均值减去3倍的特征值 的标准偏差。

步骤6：按照休哈特控制图的绘制方法，绘制均值-准偏差控制图。

6a)新建平面直角坐标系A，在A中绘制出步骤5a)中得到的中心线CL₁、上控制线 UCL₁和下控制线LCL₁，再在上控制线UCL₁与中心线CL₁之间绘制两条虚线，并将上控制 线UCL₁与中心线CL₁的之间距离三等分；然后在下控制线LCL₁与中心线CL₁之间，绘制 两条实线，并将下控制线LCL₁与中控制线CL₁之间的距离三等分；

6b)将步骤4a)得到的特征值标示在平面直角坐标系A中，然后按批次顺序将数据点 用折线连接，这样就得到了均值控制图；

6c)新建平面直角坐标系B，在B中绘制出步骤5b)中得到的中心线CL₂、上控制线 UCL₂和下控制线LCL₂，再在上控制线UCL₂与中心线CL₂之间，绘制两条虚线，并将上控 制线UCL₂与中心线CL₂之间的距离三等分；在下控制线LCL₂与中心线CL₂之间，绘制两 条实线，将下控制线LCL₂与中控制线CL₂之间的距离三等分；

6d)将步骤4b)得到的特征值标示在平面直角坐标系B中，然后按批次顺序将数据点 用折线连接，这样就得到了标准偏差控制图；

最终得到的均值-标准偏差控制图如附图2所示，其中图(2a)是均值控制图，图(2b)是 标准偏差控制图。

步骤7：应用判断过程异常准则对步骤(6)得到的均值-标准偏差控制图进行判断。 判断过程异常准则是根据数据点是否落在上、下控制线内且随机排列来进行判断：

如果数据点落在上、下控制线内，且数据点是随机排列的，则控制图正常；

如果数据点落在上、下控制线外或恰好落在上、下控制线上或数据点非随机排列，则 控制图异常；

若两个控制图均未出现异常，则说明生产过程是受控的，继续进行生产；

若两个控制图有一个或两个控制图出现异常，则说明生产过程失控，则需停止生产， 查找失控原因并采取相应的措施。

从图2中可以看出，均值控制图和标准偏差控制图的数据点均落在上、下控制线内， 且数据点是随机排列的，所以控制图正常，说明生产过程受控，可继续进行生产。