基于根部标准系列厚度的少片变截面弹簧的优化设计方法

摘要

本发明涉及基于根部标准系列厚度的少片变截面弹簧的优化设计方法，属于悬架钢板弹簧技术领域。本发明可根据钢板弹簧的安装结构、抛物线段厚度比，刚度设计要求值，首先对等效单片的根部厚度h

说明书

技术领域

本发明涉及车辆悬架钢板弹簧，特别是基于根部标准系列厚度的少片变截面弹簧 的优化设计方法。

背景技术

少片变截面钢板弹簧与多片叠加钢板弹簧相比，由于其受力合理，应力载荷趋于 均衡，并且节省材料和成本，实现车辆轻量化，降低车轮动载，提高车辆行驶安全性，同时还 节省燃油，提高车辆运输效率，具有良好的经济效益和社会效益，目前国外已经得到了普遍 推广应用，因此，引起了我国车辆专家及钢板弹簧生产企业的高度关注。对于少片变截面钢 板弹簧，通常根部安装平直段大都采用标准系列钢板厚度，并根部平直段与抛物线段之间 增设一斜线段，即采用根部标准系列厚度的加强型少片变截面钢板弹簧，这样不仅可降低 弹簧的应力，提高其应力强度，同时，还可满足刚度精确设计值，而且根部标准系列厚度段 可免加工，且增设斜线段便于抛物线段的加工，因此，显著改善其加工工艺性。尽管先前曾 有人给出了少片抛物线型变截面钢板弹簧的设计方法，例如，彭莫和高军曾在《汽车工程》 第14卷第3期，提出了变断面钢板弹簧的设计计算方法，该方法只能对根部未加强，且端部 等构的少片抛物线型变截面钢板弹簧进行设计，其不足之处是不能满足基于根部标准系列 厚度的加强型少片变截面钢板弹簧的设计要求，因为当根部采用标准系列厚度时，将导致 难以与基于刚度所设计得到的根部厚度理论设计值相吻合，即导致所设计的少片变截面钢 板弹簧的实际刚度，难以与原设计要求刚度值相吻合。

对于基于根部标准系列厚度且带有加强段的少片变截面钢板弹簧，由于受变形或 刚度计算理论、叠加等效根部厚度及拆分设计理论的制约，至今尚未给出一直简便、准确、 可靠的设计方法，目前大都是忽略根部加强斜线段的影响，将斜线段直接近似看作抛物线 段，对根部加强型少片变截面钢板弹簧进行近似设计，并依据根部厚度的理论计算值，再近 似地取一个根部标准系列厚度设计值，因此，难以得到准确可靠的参数设计值及刚度设计 值。随着计算机及有限元仿真软件的仿真，目前尽管有人曾对基于根部标准系列厚度且带 有斜线段加强型的少片变截面钢板弹簧采用ANSYS建模仿真法，但是该方法仅能对给定设 计结构的基于根部标准系列厚度的少片变截面钢板弹簧的变形或刚度进行仿真验证，不能 提供精确的解析设计式，更不能满足车辆快速发展及对悬架钢板弹簧现代化CAD设计软件 开发的要求。

因此，必须建立一种精确、可靠的基于根部标准系列厚度且带有斜线加强型的少 片变截面钢板弹簧的设计方法，满足车辆行业快速发展及对悬架钢板弹簧精确设计的要 求，提高少片变截面钢板弹簧的设计水平、质量和性能，提高车辆行驶平顺性和安全性；同 时，降低弹簧质量及成本，降低设计、制造及试验费用，加快产品开发速度。

发明内容

针对上述现有技术中存在的缺陷，本发明所要解决的技术问题是提供一种简便、 可靠的基于根部标准系列厚度的少片变截面弹簧的优化设计方法，设计流程如图1所示。单 片基于根部标准系列厚度的抛物线型变截面弹簧为对称结构，一半对称结构的弹簧可看作 悬臂梁，即将对称中心线为一半弹簧的固定端，将端部受力点看作为弹簧的端点。单片基于 根部标准系列厚度的抛物线型变截面弹簧的一半对称结构示意图，如图2所示，由根部平直 段、斜线段、抛物线段和端部平直段4段所构成，即在根部平直段和斜线段之间增加了一斜 线段，以对弹簧起加强作用；根部平直段的厚度采用钢板弹簧标准系列厚度，以降低加工工 作量；各片端部平直段非等构，即第1片的端部平直段的厚度和长度，大于其他各片的厚度 和长度，以满足第1片端部受力复杂的要求；通过斜线段的小端厚度h_2p的优化设计，使钢板 弹簧达到刚度设计要求值。其中，L为弹簧长度的一半，l₃为安装间距的一半，h₂为根部平直 段的厚度；Δl为斜线段的长度，h_2p为斜线段的小端厚度，即斜线段的厚度比γ＝h_2p/h₂； h_1i、l_1i分别为第i片弹簧的端部平直段的厚度和长度,即第i片弹簧的抛物线段的厚度比β_i＝h_1i/h_2p。在钢板弹簧的安装结构、刚度设计要求值、最大载荷、及安全许用应力给定情况 下，首先对少片变截面钢板弹簧的片数N和基于标准系列的根部平直段厚度h₂进行设计，然 后，对基于根部标准系列厚度的少片变截面弹簧的斜线段的厚度比γ及小端厚度h_2p，及各 片端部平直段的厚度h_1i和长度l_1i进行优化设计。

为解决上述技术问题，本发明所提供的基于根部标准系列厚度的少片变截面弹簧 的优化设计方法，其特征在于采用以下设计步骤：

(1)少片抛物线型变截面钢板弹簧的等效单片根部厚度h_e的计算：

首先，选取等效单片变截面钢板弹簧抛物线段的厚度比β，其中，β的选取范围为 0.5～0.6；然后，根据少片变截面钢板弹簧的一半长度L，一半刚度设计要求值K_M，宽度b，弹 性模量E，安装间距的一半l₃，对满足刚度要求的少片抛物线型变截面钢板弹簧的等效单片 根部厚度h_e进行计算，即

$h_e=\sqrt[3]{K_M{G}_{x-D}};$

其中，

(2)少片抛物线型变截面钢板弹簧的片数N及各片根部平直段厚度h₂的设计：

A步骤：确定少片弹簧根部平直段厚度的最大许用厚度[h₂]：

根据少片变截面钢板弹簧的一半长度L，宽度b，所受最大载荷的一半即单端点载 荷P，许用应力[σ]，及步骤(1)中计算得到的h_e，确定少片抛物线型变截面弹簧根部平直段 厚度的最大许用厚度[h₂]，即

$\left[h_2\right]=\frac{{\mathrm{bh}}_e^3\left[\sigma \right]}{6PL};$

B步骤：变截面钢板弹簧片数N及各片根部平直段厚度h₂的设计：

选取少片变截面钢板弹簧的片数的初始值N＝2，其中，N为2～5之间的整数；根据A 步骤中确定的[h₂]，及步骤(1)中计算得到的h_e，对少片抛物线型变截面钢板弹簧的各片根 部平直段厚度的理论设计值进行设计，即

$h_{2M}=\frac{1}{\sqrt[3]{N}}{h}_e;$

将理论设计值h_2M向上圆整，得到h_2M的圆整数值，即基于标准系列厚度的实际根部 平直段厚度的设计值h₂；

若h₂≤[h₂]，则h₂即为基于根部标准系列厚度的少片变截面钢板弹簧的各片弹簧 的根部平直段厚度的设计值，所对应的N即为少片变截面钢板弹簧的设计片数；

若h₂>[h₂]，则取钢板弹簧的片数N＝N+1，返回继续执行B步骤，对增加1片情况下的 根部厚度h₂进行设计，直到当h₂≤[h₂]时，基于标准系列厚度的少片变截面钢板弹簧的片数 及各片弹簧的根部平直段厚度设计完毕；

(3)基于根部标准系列厚度的各片变截面钢板弹簧的抛物线段的厚度比和斜线段 的厚度比的优化设计：

I步骤：根据步骤(2)中设计得到的h₂，确定第1片变截面弹簧的抛物线段的厚度比 β₁，即

${\beta }_1=\left(\begin{array}{cc}0.65,& h_2\in [5,10]mm\\ 0.60,& h_2\in (10,15]mm\\ 0.55,& h_2\in (15,20]mm\\ 0.50,& h_2\in (20,25]mm;\\ 0.45,& h_2\in (25,30]mm\\ 0.40,& h_2\in (30,35]mm\end{array}\right);$

II步骤：根据步骤(1)中确定的β和h_e，步骤(2)中设计得到的基于标准系列厚度的 少片变截面钢板弹簧的片数N和各片根部平直段的厚度h₂，及I步骤中所确定的第1片变截 面弹簧的抛物线段的厚度比β₁，对第2片,第3片,…,第N片变截面弹簧的抛物线段的厚度比 进行设计，即

${\beta }_2={\beta }_3=...={\beta }_N=\sqrt[3]{\frac{{\beta }^3{h}_e^3-{\beta }_1^3{h}_2^3}{h_2^3(N-1)}};$

III步骤：根据少片变截面钢板弹簧的一半刚度设计要求值K_M，一半长度L，宽度b， 弹性模量E，斜线段的长度Δl，安装间距的一半l₃，斜线段的根部到弹簧端点的距离l₂＝L- l₃，抛物线段的根部到弹簧端点的距离l_2p＝L-l₃-Δl，I步骤中确定的第1片变截面弹簧的 抛物线段的厚度比β₁，II步骤中设计得到的第2片,第3片,…,第N片变截面弹簧的抛物线段 的厚度比β₂＝β₃＝…＝β_N，及步骤(2)中设计得到的h₂，以斜线段的厚度比γ为待设计参数 变量，建立少片抛物线型变截面钢板弹簧斜线段的厚度比γ的优化设计数学模型，即

$K_M=\underset{i=1}{\overset{N}{\Sigma }}\frac{h_2^3}{G_{x-Ei}};$

其中，利用Matlab程序，求解上述关于γ的方程，便可得到基于根部标准系列厚度的少片抛物线 型变截面钢板弹簧的斜线段的厚度比γ的优化设计值；

(4)基于根部标准系列厚度的少片变截面钢板弹簧的斜线段的小端厚度和各片端 部平直段的厚度和长度的优化设计：

i步骤：根据步骤(2)中设计得到的h₂，及步骤(3)中III步骤优化设计得到的γ，确 定基于标准系列厚度的少片变截面钢板弹簧的斜线段的小端厚度h_2p，即

h_2p＝γh₂；

ii步骤：根据抛物线段的根部到弹簧端点的距离l_2p，i步骤中所确定的h_2p，及I步 骤中所确定的β₁，确定第1片基于标准系列厚度的变截面钢板弹簧的端部平直段的厚度h₁₁和长度l₁₁，分别为

h₁₁＝β₁h_2p，

$l_{11}={\beta }_1^2{l}_{2p};$

iii步骤：根据抛物线段的根部到弹簧端点的距离l_2p，i步骤中确定的h_2p，及II步 骤中设计得到的β₂＝β₃＝…＝β_N的数值，对第2片,第3片,…,第N片基于标准系列厚度的变 截面钢板弹簧的端部平直段的厚度和长度进行设计，即

$h_{12}=h_{13}=...=h_{1N}=\sqrt[3]{\frac{{\beta }^3{h}_e^3-{\beta }_1^3{h}_2^3}{h_2^3(N-1)}}{h}_{2p},$

$l_{12}=l_{13}=...=l_{1N}={\left(\frac{{\beta }^3{h}_e^3-{\beta }_1^3{h}_2^3}{h_2^3(N-1)}\right)}^{\frac{2}{3}}{l}_{2p};$

(5)基于根部标准系列厚度的少片变截面弹簧的各片不同位置厚度h_i(x)的设计：

根据少片变截面钢板弹簧的一半长度L，斜线段的根部到弹簧端点的距离l₂，抛物 线段的根部到弹簧端点的距离l_2p，步骤(2)中设计得到的h₂，及步骤(4)中确定的h_2p，h₁₁，h₁₂＝h₁₃＝…＝h_1N，l₁₁，l₁₂＝l₁₃＝…＝l_1N，以弹簧端点为坐标原点，可得基于根部标准系列厚 度的少片变截面弹簧的各片在不同位置x处厚度h_i(x)的设计值，即

$h_i\left(x\right)=\{\begin{array}{cc}{h}_{1i}& x\in [0,l_{1i}]mm\\ h_{2p}\sqrt{\frac{x}{l_{2p}}},& x\in (l_{1i},l_{2p}]mm\\ \frac{h_2-h_{2p}}{l_2-l_{2p}}x+\frac{h_{2p}{l}_2-h_2{l}_{2p}}{l_2-l_{2p}},& x\in (l_{2p},l_2]mm\\ h_2,& x\in (l_2,L]mm\end{array};$

其中，i＝1,2,…,N。

本发明比现有技术具有的优点

对于基于根部标准系列厚度且带有加强段的少片变截面钢板弹簧，由于受变形或 刚度计算理论、叠加等效根部厚度及拆分设计理论的制约，至今尚未给出一直简便、准确、 可靠的设计方法，目前大都是忽略根部加强斜线段的影响，将斜线段直接近似看作抛物线 段，对根部加强型少片变截面钢板弹簧进行近似设计，并依据根部厚度的理论计算值，再近 似地取一个根部标准系列厚度设计值，因此，难以得到准确可靠的参数设计值及刚度设计 值。随着计算机及有限元仿真软件的仿真，目前尽管有人曾对基于根部标准系列厚度且带 有斜线段加强型的少片变截面钢板弹簧采用ANSYS建模仿真法，但是该方法仅能对给定设 计结构的基于根部标准系列厚度的少片变截面钢板弹簧的变形或刚度进行仿真验证，不能 提供精确的解析设计式，更不能满足车辆快速发展及对悬架钢板弹簧现代化CAD设计软件 开发的要求。

本发明根据钢板弹簧的设计刚度和结构尺寸，所选定等效单片变截面钢板弹簧的 端抛物线段的厚度比β，对满足刚度要求的少片抛物线型变截面钢板弹簧的等效单片根部 厚度h_e进行计算；然后，根据钢板弹簧载荷及最大许用应力[σ]，给出少片变截面钢板弹簧 的根部最大许用厚度[h₂]设计值；随后，根据等效单片的根部厚度的h_e，利用叠加钢板重叠 部分的等效厚度计算公式，给出少片变截面钢板弹簧的片数N设计值、根部厚度的理论设计 值h_2M，并根据根部厚度的理论设计值h_2M和钢板弹簧的标准系列厚度，通过向上圆整h_2M，得 到基于标准系列厚度的根部厚度的实际设计值h₂；最后，根据少片变截面钢板弹簧的结构 尺寸及抛物线段的厚度比β，一半刚度设计要求值K_M，少片变截面钢板弹簧的片数N设计值、 根部厚度的实际设计值h₂，及斜线段的长度，对少片变截面钢板弹簧根部斜线段的厚度比 γ和斜线段的小端厚度，及第1片钢板弹簧的端部厚度和长度进行优化设计设计，并根据等 效单片变截面钢板弹簧的端部平直段厚度的设计值，对第2片、第3片、…、第N片钢板弹簧的 端部厚度和长度进行设计。

通过设计实例及ANSYS仿真验证可知，该方法可得到准确、可靠的基于根部标准系 列厚度的少片变截面钢板弹簧的参数设计值及刚度设计要求值，为基于根部标准系列厚度 的少片变截面钢板弹簧提供了可靠的设计方法，并且为CAD软件开发奠定了可靠的技术基 础。利用该方法，可提高车辆悬架少片变截面钢板弹簧的设计水平和性能，降低悬架弹簧质 量和成本，提高车辆的运输效率和行驶安全性；同时，还降低设计、制造及试验费用，加快产 品开发速度。

附图说明

为了更好地理解本发明，下面结合附图做进一步的说明。

图1是基于根部标准系列厚度的少片变截面弹簧的优化设计流程图；

图2是基于根部标准系列厚度的单片变截面弹簧的一半对称结构示意图；

图3是实施例一所设计的第1片弹簧一半的结构参数图；

图4是实施例一所设计的第2片弹簧一半的结构参数图；

图5是实施例一所设计基于根部标准系列厚度的少片变截面弹簧的变形仿真云 图；

图6是实施例二的所设计的第1片弹簧一半的结构参数图；

图7是实施例二的所设计的第2片弹簧一半的结构参数图；

图8是实施例二所设计基于根部标准系列厚度的少片变截面弹簧的变形仿真云 图。

具体实施方案

下面通过实施例对本发明作进一步详细说明。

实施例一：某少片变截面钢板弹簧各片的一半长度L＝575mm，宽度b＝60mm，弹性 模量E＝200GPa，安装间距的一半l₃＝55mm，斜线段的长度Δl＝30mm，许用应力[σ]＝ 500MPa，弹簧一半的刚度设计要求值K_M＝24N/mm。对该基于根部标准系列厚度的少片变截 面弹簧进行设计，并对所设计弹簧在最大载荷的一半即单端点载荷P＝1200N下的变形及一 半刚度进行仿真验证。

本发明实例所提供的基于根部标准系列厚度的少片变截面弹簧的优化设计方法， 其设计流程如图1所示，具体步骤如下：

(1)少片抛物线型变截面钢板弹簧的等效单片根部厚度h_e的计算：

首先，选取等效单片变截面钢板弹簧的抛物线段的厚度比β＝0.55；然后，根据少 片变截面钢板弹簧的一半长度L＝575mm，一半刚度设计要求值K_M＝24N/mm，宽度b＝60mm， 弹性模量E＝200GPa，安装间距的一半l₃＝55mm，对满足刚度要求的少片抛物线型变截面钢 板弹簧的等效单片根部厚度h_e进行计算，即

$h_e=\sqrt[3]{K_M{G}_{x-D}}=13.50mm;$

其中，

(2)少片抛物线型变截面钢板弹簧的片数N及各片根部平直段厚度h₂的设计：

A步骤：确定各片变截面弹簧的根部平直段厚度的最大许用厚度[h₂]：

根据少片变截面钢板弹簧的一半长度L＝575mm，宽度b＝60mm，所受的一半载荷P ＝1200N，安全许用应力[σ]＝500MPa，及步骤(1)中计算得到的h_e＝13.50mm，确定各片变截 面弹簧的根部厚度的最大许用厚度[h₂]，即

$\left[h_2\right]=\frac{{\mathrm{bh}}_e^3\left[\sigma \right]}{6PL}=17.83mm;$

B步骤：钢板弹簧片数N及各片根部平直段厚度h₂的设计：

选取少片变截面钢板弹簧的片数初始值N＝2，其中，N为2～5之间的整数；根据A步 骤中确定的[h₂]＝17.83mm，及步骤(1)中计算得到的h_e＝13.50mm，对少片抛物线型变截面 钢板弹簧的各片根部厚度的理论设计值进行设计，即

$h_{2M}=\frac{1}{\sqrt[3]{N}}{h}_e=10.72mm;$

将理论设计值h_2M向上圆整，得到h_2M的圆整数值，即得到基于标准系列厚度的少片 变截面钢板弹簧的根部平直段厚度设计值h₂＝11.0mm；

因为h₂≤[h₂]，则少片变截面钢板弹簧的各片根部平直段厚度的实际设计值h₂＝ 11.0mm，钢板弹簧片数N＝2；

(3)基于标准系列厚度的各片变截面钢板弹簧的抛物线段的厚度比和斜线段的厚 度比的优化设计：

I步骤：根据步骤(2)中设计得到的h₂＝11mm，确定第1片变截面弹簧的抛物线段的 厚度比β₁，即

β₁＝0.60；

II步骤：根据步骤(1)中确定的β＝0.55和h_e＝13.50mm，I步骤中所确定的第1片弹 簧的β₁＝0.60，及步骤(2)中设计得到的钢板弹簧片数N＝2和各片根部平直段的厚度h₂＝ 11mm，确定第2片变截面弹簧的抛物线段的厚度比，即

${\beta }_2=\sqrt[3]{\frac{{\beta }^3{h}_e^3-{\beta }_1^3{h}_2^3}{h_2^3(N-1)}}=0.45;$

III步骤：根据少片变截面钢板弹簧的一半刚度设计要求值K_M＝24N/mm，一半长度 L＝575mm，宽度b＝60mm，弹性模量E＝200GPa，斜线段的长度Δl＝30mm，安装间距的一半l₃＝55mm，斜线段的根部到弹簧端点的距离l₂＝L-l₃＝520mm，抛物线段的根部到弹簧端点的 距离l_2p＝L-l₃-Δl＝490mm，I步骤中确定的β₁＝0.60，II步骤中确定的β₂＝0.45，及步骤(2) 中所设计得到的h₂＝11mm，以斜线段的厚度比γ为待设计参数变量，建立该基于标准系列 厚度的少片变截面钢板弹簧的斜线段的厚度比γ的优化设计数学模型，即

$K_M=\underset{i=1}{\overset{N}{\Sigma }}\frac{h_2^3}{G_{x-Ei}};$

其中，利用Matlab程序，求解上述关于γ的方程，可得该基于标准系列厚度的少片变截面弹簧的 斜线段的厚度比γ的优化设计值，即γ＝0.94；

(4)基于标准系列厚度的少片变截面钢板弹簧的斜线段的小端厚度和各片端部平 直段的厚度和长度的优化设计：

i步骤：根据步骤(2)中设计得到的h₂＝11mm，及步骤(3)中III步骤确定的γ＝ 0.94，确定基于标准系列厚度的少片变截面钢板弹簧的斜线段的小端厚度h_2p，即

h_2p＝γh₂＝10.34mm；

ii步骤：根据抛物线段的根部到弹簧端点的距离l_2p＝490mm，i步骤中确定的h_2p＝ 10.34mm，及I步骤所确定的β₁＝0.60，确定第1片基于标准系列厚度的变截面钢板弹簧的端 部平直段的厚度h₁₁和长度l₁₁，分别为

h₁₁＝β₁h_2p＝6.20mm，

$l_{11}={\beta }_1^2{l}_{2p}=176.40mm;$

iii步骤：根据抛物线根部到弹簧端点的距离l_2p＝490mm，i步骤中确定的h_2p＝ 10.34mm，及II步骤中所确定的β₂＝0.45，确定第2片基于标准系列厚度的变截面钢板弹簧 的端部平直段厚度和长度，分别为

h₁₂＝β₂h_2p＝4.65mm，

$l_{12}={\beta }_2^2{l}_{2p}=99.23mm;$

(5)基于根部标准系列厚度的少片变截面弹簧的各片不同位置厚度h_i(x)的设计：

根据少片变截面钢板弹簧的一半长度L＝575mm，抛物线段的根部到弹簧端点的距 离l_2p＝490mm，斜线段的根部到弹簧端点的距离l₂＝520mm，步骤(2)中设计得到的h₂＝ 11mm，及步骤(4)中确定的h_2p＝10.34mm、h₁₁＝6.20mm、l₁₁＝176.40mm、h₁₂＝4.65mm、l₁₂＝ 99.23mm，以钢板弹簧端点为坐标原点，可得两片基于根部标准系列厚度的变截面弹簧的在 不同位置x处的厚度h₁(x)和h₂(x)的设计值，分别为

$h_1\left(x\right)=\{\begin{array}{cc}6.20mm,& x\in [0,176.40]mm\\ 10.34\times \sqrt{\frac{x}{490}}mm,& x\in (176.40,490]mm\\ (0.022x-0.44)mm,& x\in (490,520]mm\\ 11mm,& x\in (520,575]mm\end{array},$

$h_2\left(x\right)=\left(\begin{array}{cc}4.65mm,& x\in [0,99.23]mm\\ 10.34\times \sqrt{\frac{x}{490}}mm,& x\in (99.23,490]mm\\ (0.022x-0.44)mm,& x\in (490,50]mm\\ 11mm,& x\in (520,575]mm\end{array}\right);$

其中，第1片变截面弹簧在抛物线段及斜线段不同位置x处的厚度h₁(x)，见表一所 示；第2片变截面弹簧在抛物线段及斜线段不同位置x处的厚度h₂(x)，见表二所示；

表一第1片变截面弹簧在抛物线段及斜线段不同位置x处的厚度

位置x/(mm) 520 491.40 456.40 421.40 386.40 351.40 316.40 281.40 246.40 211.40 176.40 厚度h₁(x)/(mm) 11.0 10.37 9.98 9.59 9.18 8.76 8.31 7.84 7.33 6.79 6.20

表二第2片变截面弹簧在抛物线段及斜线段不同位置x处的厚度

位置x/(mm) 520 504.23 459.23 414.23 369.23 324.23 279.23 234.23 189.23 144.23 99.23 厚度h₂(x)/(mm) 11.0 10.65 10.01 9.51 8.96 8.41 7.81 7.15 6.43 5.61 4.65

设计所得到的第1片基于根部标准系列厚度的变截面钢板弹簧的结构参数，如图3 所示；第2片基于根部标准系列厚度的变截面钢板弹簧的结构参数，如图4所示。

利用ANSYS有限元仿真软件，根据优化设计得到的少片变截面钢板弹簧的结构参 数和材料特性参数，建立该少片变截面钢板弹簧的一半对称结构的ANSYS仿真模型，划分网 格，并在仿真模型的根部施加固定约束，在端点施加集中载荷P＝1200N，对少片变截面钢板 弹簧的变形进行ANSYS仿真，所得到的变形仿真云图，如图5所示，其中，该钢板弹簧在端部 位置处的最大变形量f＝49.58mm，因此可得该钢板弹簧的一半刚度为K_M＝P/f＝24.20N/ mm。可知，该钢板弹簧一半刚度的ANSYS仿真验证值K_M＝24.20N/mm，与设计要求值K_M＝24N/ mm相吻合，相对偏差仅为0.83％；结果表明该发明所提供的基于根部标准系列厚度的少片 变截面弹簧的优化设计方法是正确的，参数设计值是准确可靠的。

实施例二：某少片变截面钢板弹簧的一半长度L＝600mm，宽度b＝60mm，安装间距 的一半l₃＝60mm，斜线段长度Δl＝30mm，弹性模量E＝200GPa，安全许用应力[σ]＝500MPa， 一半刚度设计要求值K_M＝46N/mm。对该基于根部标准系列厚度的少片变截面弹簧进行设 计，并对在最大载荷的一半即单端点载荷P＝3000N下的所设计基于根部标准系列厚度的少 片变截面弹簧的变形及一半刚度进行仿真验证。

采用与实施例一相同的设计方法和步骤，对该基于根部标准系列厚度的少片变截 面弹簧进行设计，具体步骤如下：

(1)少片抛物线型变截面钢板弹簧的等效单片根部厚度h_e的计算：

首先，选取等效单片抛物线型变截面钢板弹簧抛物线段的厚度比β＝0.55；然后， 根据一半刚度设计要求值K_M＝46N/mm，一半长度L＝600mm，宽度b＝60mm，安装间距的一半l₃＝60mm，弹性模量E＝200GPa，对满足刚度要求的少片抛物线型变截面钢板弹簧的等效单片 根部厚度h_e进行计算，即

$h_e=\sqrt[3]{K_M{G}_{x-D}}=17.46mm;$

其中，

(2)少片抛物线型变截面钢板弹簧的片数N及各片根部平直段厚度h₂的设计：

A步骤：确定各片变截面弹簧的根部平直段厚度的最大许用厚度[h₂]：

根据少片变截面钢板弹簧的一半长度L＝600mm，宽度b＝60mm，所受最大载荷的一 半即单端点载荷P＝3000N，许用应力[σ]＝500MPa，及步骤(1)中计算得到的h_e＝17.46mm， 确定各片抛物线型变截面钢板弹簧的根部平直段厚度的最大许用厚度[h₂]，即

$\left[h_2\right]=\frac{{\mathrm{bh}}_e^3\left[\sigma \right]}{6PL}=14.79mm;$

B步骤：变截面钢板弹簧片数N及各片根部平直段厚度h₂的设计：

选取少片变截面钢板弹簧的片数初始值N＝2，其中，N为2～5之间的整数；根据A步 骤中确定的[h₂]＝14.79mm，及步骤(1)中计算得到的h_e＝17.46mm，对少片变截面钢板弹簧 的各片根部厚度的理论设计值进行设计，即

$h_{2M}=\frac{1}{\sqrt[3]{N}}{h}_e=13.86mm;$

将理论设计值h_2M向上圆整，得到h_2M的圆整数值，即基于标准系列厚度的根部平直 段厚度的实际设计值h₂＝14.0mm；

因为h₂≤[h₂]，则基于标准系列厚度的少片变截面钢板弹簧的各片弹簧的根部厚 度设计值h₂＝14.0mm，钢板弹簧片数N＝2；

(3)基于根部标准系列厚度的各片变截面钢板弹簧的抛物线段的厚度比和斜线段 的厚度比的优化设计：

I步骤：根据步骤(2)中设计得到的h₂＝14mm，确定第1片变截面弹簧的抛物段的厚 度比β₁，即

β₁＝0.60；

II步骤：根据步骤(1)中所确定的β＝0.55和h_e＝17.46mm，及步骤(2)中设计得到 的N＝2和h₂＝14mm，及I步骤中所确定的第1片变截面弹簧的抛物线段的厚度比β₁＝0.60，确 定第2片变截面弹簧的抛物线段的厚度比，即

${\beta }_2=\sqrt[3]{\frac{{\beta }^3{h}_e^3-{\beta }_1^3{h}_2^3}{h_2^3(N-1)}}=0.47;$

III步骤：根据少片变截面钢板弹簧的一半刚度设计要求值K_M＝46N/mm，一半长度 L＝600mm，宽度b＝60mm，弹性模量E＝200GPa，斜线段的长度Δl＝30mm，安装间距的一半l₃＝60mm，抛物线段的根部到弹簧端点的距离l_2p＝L-l₃-Δl＝510mm，斜线段的根部到弹簧端 点的距离l₂＝L-l₃＝540mm，步骤(2)中设计得到的h₂＝14mm，I步骤中确定的β₁＝0.60，及II 步骤中确定的β₂＝0.47，以斜线段的厚度比γ为待设计参数变量，建立基于标准系列厚度 的少片变截面钢板弹簧的斜线段的厚度比γ的优化设计数学模型，即

$K_M=\underset{i=1}{\overset{N}{\Sigma }}\frac{h_2^3}{G_{x-Ei}};$

其中，

利用Matlab程序，求解上述关于γ的方程，可得基于标准系列厚度的少片抛物线 型变截面钢板弹簧的斜线段的厚度比γ的优化设计值γ＝0.96；

(4)基于根部标准系列厚度的少片变截面钢板弹簧的斜线段的小端厚度和各片端 部平直段的厚度和长度的优化设计：

i步骤：根据步骤(2)中设计得到的h₂＝14mm，及III步骤所确定的γ＝0.96，确定 少片变截面钢板弹簧的斜线段的小端厚度h_2p，即

h_2p＝γh₂＝13.44mm；

ii步骤：根据抛物线段的根部到弹簧端点的距离l_2p＝510mm，i步骤中确定的h_2p＝ 13.44mm，及I步骤中所确定的β₁＝0.60，确定第1片基于标准系列厚度的变截面钢板弹簧的 端部平直段的厚度h₁₁和长度l₁₁，分别为

h₁₁＝β₁h_2p＝8.06mm，

$l_{11}={\beta }_1^2{l}_{2p}=183.60mm;$

iii步骤：根据抛物线段的根部到弹簧端点的距离l_2p＝510mm，i步骤中确定的h_2p＝13.44mm，及II步骤所确定的β₂＝0.47，确定第2片基于标准系列厚度的变截面钢板弹簧 的端部平直段的厚度和长度，分别为

h₁₂＝β₂h_2p＝6.32mm，

$l_{12}={\beta }_2^2{l}_{2p}=112.66mm;$

(5)基于根部标准系列厚度的少片变截面弹簧的各片不同位置厚度h_i(x)的设计：

根据少片变截面钢板弹簧的一半长度L＝600mm，斜线段的根部到弹簧端点的距离 l₂＝540mm，抛物线段的根部到弹簧端点的距离l_2p＝510mm，步骤(2)中设计得到的h₂＝ 14mm，及步骤(4)中确定的h_2p＝13.44mm、h₁₁＝8.06mm、l₁₁＝183.60mm、h₁₂＝6.32mm和l₁₂＝ 112.66mm，以弹簧端点为坐标原点，可得两片基于根部标准系列厚度的变截面弹簧在不同 位置x处的厚度h₁(x)、h₂(x)的设计值，分别为

$h_1\left(x\right)=\{\begin{array}{cc}8.06mm,& x\in [0,183.60]mm\\ 13.44\times \sqrt{\frac{x}{510}}mm,& x\in (183.60,510]mm\\ (0.019x+3.92)mm,& x\in (510,540]mm\\ 14mm,& x\in (540,600]mm\end{array},$

$h_2\left(x\right)=\left(\begin{array}{cc}6.32mm,& x\in \left[\mathrm{0.112.66}\right]mm\\ 13.44\times \sqrt{\frac{x}{510}}mm,& x\in (112.66,510]mm\\ (0.019x+3.92)mm,& x\in (510,540]mm\\ 14mm,& x\in (540,600]mm\end{array}\right);$

其中，第1片基于根部标准系列厚度的变截面弹簧在抛物线段和斜线段不同位置x 处的厚度h₁(x)，见表三所示；第2片基于根部标准系列厚度的变截面弹簧在抛物线段和斜 线段不同位置x处的厚度h₂(x)，见表四所示；

表三第1片弹簧在抛物线段及斜线段不同位置x处的厚度

位置x/(mm) 540 525.60 487.60 449.60 411.60 373.60 335.60 297.60 259.60 221.60 183.60 厚度h₁(x)/(mm) 14.0 13.73 13.14 12.62 12.07 11.50 10.90 10.27 9.59 8.86 8.06

表四第2片弹簧在抛物线段及斜线段不同位置x处的厚度

位置x/(mm) 540 517.66 472.66 427.66 382.66 337.66 292.66 247.66 202.66 157.66 112.66 厚度h₂(x)/(mm) 14.0 13.58 12.94 12.31 11.64 10.94 10.18 9.37 8.47 7.47 6.32

设计所得到的第1片基于根部标准系列厚度的变截面弹簧的一半对称结构参数， 如图6所示；第2片基于根部标准系列厚度的变截面弹簧的一半对称结构参数，如图7所示。

利用ANSYS有限元仿真软件，根据优化设计得到的少片变截面钢板弹簧的结构参 数和材料特性参数，建立该基于根部标准系列厚度的变截面弹簧的一半对称结构的ANSYS 仿真模型，划分网格，并在仿真模型的根部施加固定约束，在端点施加集中载荷P＝3000N， 对少片变截面钢板弹簧的变形进行ANSYS仿真，所得到的变形仿真云图，如图8所示，其中， 该钢板弹簧在端部位置处的最大变形量f＝64.84mm，因此可得该钢板弹簧的一半刚度为K_M＝P/f＝46.27N/mm。

可知，该钢板弹簧一半刚度的ANSYS仿真验证值K_M＝46.27N/mm，与设计要求值K_M＝ 46N/mm相吻合，相对偏差仅为0.59％；结果表明该发明所提供的基于根部标准系列厚度的 少片变截面弹簧的优化设计方法是正确的，参数设计值是准确可靠的。