基于CFOA-MKHSVM的滚动轴承健康状态评估方法

摘要

基于CFOA-MKHSVM的滚动轴承健康状态评估方法，属于轴承故障评估技术领域。本发明是为了更有效评估滚动轴承性能退化程度。本发明方法先提取轴承振动信号的时域、频域统计特征及基于小波包的时频特征。针对滚动轴承各状态数据分布不均匀、数据异构的问题，采用超球体支持向量机识别并进行多核凸组合优化。为消除人为选择分类器多参数的盲目性，以及容易选入局部最优问题，将果蝇算法与混沌理论相结合，对多参数进行寻优。同时构建混沌优化果蝇算法——多核超球体支持向量机CFOA-MKHSVM模型，并提出归一化差别系数评估指标。经实验，与SVDD算法评估指标进行对比，验证了所提指标的有效性，实现了滚动轴承健康状态的定量评估。

说明书

技术领域

本发明涉及一种滚动轴承健康状态评估方法，属于轴承故障评估技术领域。

背景技术

滚动轴承是机械设备的关键旋转部件，是最容易受损的部件之一，其运行状态直 接影响整台设备的工作状况[1]。滚动轴承的性能退化评估是以故障诊断技术为基础的进 一步深入，通过从完好状态到一系列不同退化状态的整个过程进行描述建模，进而实现滚 动轴承健康状态的定量评估[2-3]。

滚动轴承性能退化评估技术的研究已得到众多学者的重视，美国成立的智能维护 系统研究中心、英国曼彻斯特大学、南安普顿大学、剑桥大学以及国内的部分科研院所和大 学，都在机械设备的损伤识别和健康状态评估方面展开了研究工作；文献[4]提出了基于自 组织映射和BP神经网络的滚动轴承健康状态评估方法；文献[5]提出一种结合希尔伯特黄 变换、支持向量机(SupportVectorsMachine，SVM)和支持向量回归机(SupportVector Regression，SVR)的滚动轴承健康状态监测方法，获得了较好效果；文献[6]将经验模态分 解(EmpiricalModeDecomposition，EMD)与神经网络相结合实现了对滚动轴承缺陷分类 及健康状态评估；文献[7-8]利用SVM和SVR相结合以及数据驱动和经验驱动的方法相结合 来实现轴承退化状态的检测。文献[9]利用小波包结合EMD进行滚动轴承振动信号特征提 取，再采用自组织映射神经网络实现轴承的性能退化评估，与传统的特征指标进行对比体 现出一定的优势。文献[10]提出了基于小波包分解和支持向量数据描述(SupportVector DataDescription,SVDD)的滚动轴承性能退化评估方法，实现了滚动轴承全寿命周期性能 退化评估。文献[11]在此基础上又提出了一种基于提升小波包分解和模糊的C–均值轴承性 能退化程度评估方法。文献[12]将双谱技术结合SVDD，提出了到超球面距离的退化指标，实 验验证了方法的有效性。

实际上，上述部分文献是对滚动轴承各性能退化状态的智能定量评估，其蕴藏着 对各性能退化状态的智能识别问题，只是在智能识别的过程中如何提炼并建立可有效评估 的指标。SVM在智能识别中扮演着重要的角色，对于多分类问题，超球体支持向量机具有独 特的优势，文献[13]中将优化后的集合EMD与超球体多类支持向量机结合，实现了滚动轴承 正常状态以及不同故障位置不同退化程度的综合诊断，但不能对轴承的性能退化程度进行 定量评估，同时，采用网格法获取分类的参数有待进一步改进。

滚动轴承正常状态振动数据和不同故障程度振动数据在样本数量上，往往是不均 匀的、异构的，因此，采用单核的分类器将样本映射到某一高维空间，识别效果不佳。因此， 可构建多核核函数的凸组合来代替单核核函数解决该问题。文献[14]采用多核SVM对滚动 轴承不同状态进行分类，获得了较好效果。

分类器参数的选取直接影响其性能，智能优化算法的研究一直受学者们的重视。 文献[15]运用遗传算法(GeneticAlgorithms,GA)对SVM参数选取问题进行研究，对滚动轴 承故障诊断获得了较好效果。文献[16]提出一种基于层次熵分析的特征提取方法，并利用 粒子群算法(ParticleSwarmOptimization,PSO)优化的SVM对滚动轴承进行故障诊断。文 献[17]提出了一种混沌优化果蝇算法(ChaosFruitFlyOptimizationAlgorithm， CFOA)，利用混沌系统的遍历性，可解决果蝇优化算法不易跳出局部最优解的问题。

现有的基于支持向量数据描述(SupportVectorDataDescription,SVDD)的滚 动轴承性能退化评估技术中无法正确评估轴承深度退化状态、且当出现故障后故障点又被 磨的相对平滑的服役阶段时，SVDD评估指标在下凹阶段与初始故障状态的评估值重叠范围 较大，且下凹趋势过大，非常容易产生状态识别错误的问题。现有技术中没有提出通过构建 CFOA-MKHSVM模型来评估滚动轴承健康状态。

发明内容

本发明为了更有效评估滚动轴承性能退化程度，提出一种混沌优化果蝇算法 (CFOA)与多核超球体支持向量机(MKHSVM)相结合的滚动轴承健康状态定量评估方法。

本发明为解决上述技术问题采取的技术方案是：

一种基于CFOA-MKHSVM的滚动轴承健康状态评估方法，所述方法是按照以下步骤 实现的：

步骤一、获取滚动轴承全寿命周期振动数据，并将其分成两部分，一部分作为训练 样本，一部分测试样本，且训练样本的数量大于测试样本；

步骤二、构建CFOA-MKHSVM模型：

步骤二一、特征提取：

对训练样本提取时域统计指标、频域统计指标以及小波包相关频带谱能量熵的时 频指标(此技术手段为现有技术，参照文献[19-21])作为特征指标，每个训练样本提取的特 征指标构成训练特征向量，由所有的训练特征向量组成训练向量特征集，特征集中的某个 特征向量记为z；

采用与训练样本相同的特征提取方法，提取测试样本的特征，构造由测试向量组 成的测试向量特征集；

步骤二二、超球体支持向量机(HSVM)的多核核函数构造：

利用高斯径向基核函数构造多核核函数：

$K_{mix}={\mathrm{\lambda K}}_{rbf,{\sigma }_1}+(1-\lambda )K_{rbf,{\sigma }_2}---\left(10\right)$

式中，核参数σ为核函数宽度；x_i、x_j分别表示构造训练特征集中的第i和j个特征向 量(每个特征向量由特征指标构成)；

K_rbf代表高斯径向基核函数，引入参数λ来控制两种核函数之间的权值，λ的取值范 围是λ∈[0,1]；当λ＝1时，多核核函数退化为核函数宽度为σ₁的单核径向基核函数；当λ＝0 时，多核核函数退化为核函数宽度为σ₂的单核径向基核函数；

经多核构造后，超球体支持向量机(HSVM)即为多核超球体支持向量机(MKHSVM)；

步骤二三、多核HSVM(MKHSVM)分类规则的确定：

将所构造的多核核函数K_mix代入HSVM的优化最小超球的式中得到：寻找最小超球 体的过程转变为以下的优化

式中，k表示第k个超球，且k＝1,2,…,m，m表示超球的类别数；为Lagrange乘 子，C^k为惩罚系数，l^k表示每个特征向量中的特征指标个数；

训练特征向量z到第k类超球球心a^k的距离的平方D_mix(z,a^k)定义为：

$D_{mix}(z,a^k)=\underset{i,j}{\Sigma }{\alpha }_i^k{\alpha }_j^k{K}_{mix}(x_i^k,x_j^k)-2\underset{i}{\Sigma }{\alpha }_i^k{K}_{mix}(x_i^k,z)+K_{mix}(z,z)---\left(12\right)$

第k类超球的半径可由该球表面上的支持向量z′计算得到，即

z是训练特征向量中泛泛的一个，所述x_i和x_j是代指训练特征向量中的第i和第j 个，i和j可取到全部；

基于式(12)多核改进分类规则：

如训练特征向量z不包含在M区域，则：

$f_1\left(z\right)=\arg \underset{k=1}{\overset{m}{min}}\left(D_{mix}\right(z,a^k)-R_k^2)---\left(13\right)$

如z包含在M区域并且集合I为空，则：

$f_2\left(z\right)=\arg \underset{x_p\in I}{min}\left(\frac{\sqrt{D_{mix}(z,a^k)}}{R_k}\right)---\left(14\right)$

如z包含在M区域并且集合I不为空，则：

$f_3\left(z\right)=\arg \underset{x_p\in I}{min}\left(D_{mix\_MI}\right(z,x_p\left)\right)---\left(15\right)$

式中，x_p是集合I中的样本点，样本点z的归属采用D_{mix_MI}(z,x_p)作为相似性的度量， 采用下式进行计算：

D_{mix_MI}(z,x_p)＝K_mix(x_p,x_p)-2K_mix(x_p,z)+K_mix(z,z)(16)

区域M是各超球内相交邻近空间，由参数β进行控制；

对于M区域的确定问题，由于M区域是动态变化的，引入参数β进行控制，判断训练 或测试特征向量z*在M区域应满足：$\sqrt{D_{mix}(z^{*},a^i)}\le R_i$且$\beta \sqrt{D_{mix}(z^{*},a^j)}<R_j,$或者， $\sqrt{D_{mix}(z^{*},a^j)}\le R_j$且(i＝1,2,…,m，j＝1,2,…,m，并且i≠j)，β∈[0,1]；定 义式(13)或(14)或(15)中的变量结构或或D_{mix_MI}(z,x_p)为差别系 数D_k,；

步骤二四、利用混沌优化果蝇算法(CFOA)对MKHSVM中的多参数进行寻优，构建 CFOA-MKHSVM模型：

将训练准确率作为CFOA中的适应度函数，对MKHSVM模型中的5个参数同时进行优 化，CFOA-MKHSVM模型建立的主要步骤为：

(1)初始化CFOA参数：基于混沌系统产生混沌序列初始化果蝇个体位置，并设定种 群规模Sizepop和最大迭代步数gen_max；由于需要优化MKHSVM中的惩罚系数C、核参数σ₁、核 参数σ₂、M区域控制参数β以及权值系数λ，所以取5个基于混沌序列的果蝇个体坐标，得到初 始坐标以及

(2)根据嗅觉觅食行为，对每个果蝇个体赋予基于混沌搜索技术的飞行方向和步 长，得到和并计算果蝇个体与原 点之间距离，得到味道浓度判定值和

(3)确定MKHSVM中惩罚系数C、核函数参数σ、M区域控制参数β以及权值系数λ的范 围，即C∈[1/N,1]，σ₁∈[2^-14,2¹⁴]，σ₂∈[2^-14,2¹⁴]，β∈[0,1]，λ∈[0,1]；N为各类别训练样本 的数量；

(4)将训练样本特征数据输入到MKHSVM中，进行模型训练，将分类准确率作为CFOA 中的适应度函数，即：

Smell_i＝Fitness(C_i,σ_i,1,σ_i,2,β_i,λ_i)＝accuracy(C_i,σ_i,1,σ_i,2,β_i,λ_i)

(5)找到适应度函数中对应训练准确率最高的果蝇个体，进入算法迭代寻优过程， 判断当前最高训练准确率是否优于前一代最高训练准确率：若高于，则保留当代最高训练 准确率的最大值及对应坐标，并将此坐标值赋给初始化坐标和若低于，则返回到步骤(2)；

(6)算法迭代结束后，即可得到最佳的参数C、σ₁、σ₂、β、λ，CFOA-MKHSVM模型建立完 毕；

步骤三、建立评估滚动轴承的健康状态评估指标：

将所有测试样本特征向量输入到CFOA-MKHSVM模型中，根据测试样本特征向量与 超球体之间的位置关系利用多核的分类规则，得到所有测试样本对应的故障状态，并计算 各个测试特征向量到与之状态相对应的超球体的差别系数D_k；设定第w个向量的差别系数 中的最小值为d_k,min(w)，所有测试向量的最小差别系数为集合D_k,min；

将所有的最小差别系数集合D_k,min进行归一化处理，得到集合D_norm，建立归一化差 别系数的评估指标式(26)，绘制所有归一化评估值，得到滚动轴承全寿命周期的健康状态 评估曲线：

$d_{norm}\left(w\right)=\frac{d_{k,min}\left(w\right)-min\left(D_{k,min}\right)}{\max \left(D_{k,\min }\right)-min\left(D_{k,\min }\right)}---\left(26\right)$

式中：w为第w个测试样本，w＝1,2,…,W，W为测试样本数量，D_k,min为差别系数最小 值的集合，d_norm(w)为D_norm中的元素。

在步骤二中，所述混沌序列为基于Logistic、Tent、Chebyshev、Circle和Gauss共5 个一维混沌系统产生的混沌映射迭代值，将其分别映射到CFOA所优化的5个参数范围内，并 将映射后混沌值构造成5×5的矩阵，再利用其进行迭代寻优。

在步骤二四中，所述训练准确率是训练样本经10倍交叉验证后得到的准确率；

其训练准确率accuracy的计算公式：

在步骤一中，训练样本为所述滚动轴承全寿命周期振动数据的三分之二，测试样 本为所述滚动轴承全寿命周期振动数据的三分之一。

本发明的有益效果是：

本发明针对滚动轴承振动数据不均匀、异构的问题，采用超球体SVM(Hypersphere SVM,HSVM)并进行多核构造，形成多核HSVM(MultiKernelHSVM，MKHSVM)。针对分类器多参 数选择的盲目性，以及容易选入局部最优问题，本发明采用CFOA进行优化。同时，提出归一 化最小差别系数作为评估指标，建立基于CFOA-MKHSVM评估模型。最终实现了滚动轴承的性 能退化状态定量评估。

本发明方法先提取轴承振动信号的时域、频域统计特征及基于小波包的时频特 征。针对滚动轴承各状态数据分布不均匀、数据异构的问题，采用超球体支持向量机识别并 进行多核凸组合优化。为消除人为选择分类器多参数的盲目性，以及容易选入局部最优问 题，将果蝇算法与混沌理论相结合，对多参数进行寻优。同时构建混沌优化果蝇算法—多核 超球体支持向量机(CFOA-MKHSVM)模型，并提出归一化差别系数评估指标。通过实验研究， 与SVDD算法评估指标进行对比，验证了所提指标的有效性，实现了滚动轴承健康状态的定 量评估。

附图说明

图1为本发明的轴承性能退化评估流程图，图2为本发明方法的实验装置示意图， 图3为迭代次数与训练准确率之间关系图，图4为SVDD算法性能退化归一化评估曲线，图5为 基于归一化差别系数的性能退化评估曲线。

具体实施方式

具体实施方式一：如图1所示，本实施方式所述的基于CFOA-MKHSVM的滚动轴承健 康状态评估方法是按照以下步骤实现的：

步骤一、获取滚动轴承全寿命周期振动数据，并将其分成两部分，一部分作为训练 样本，一部分测试样本，且训练样本的数量大于测试样本；

步骤二、构建CFOA-MKHSVM模型：

步骤二一、特征提取：

对训练样本提取时域统计指标、频域统计指标以及小波包相关频带谱能量熵的时 频指标(此技术手段为现有技术，参照文献[19-21])作为特征指标，每个训练样本提取的特 征指标构成训练特征向量，由所有的训练特征向量组成训练向量特征集，特征集中的某个 特征向量记为z；

采用与训练样本相同的特征提取方法，提取测试样本的特征，构造由测试向量组 成的测试向量特征集；

步骤二二、超球体支持向量机(HSVM)的多核核函数构造：

利用高斯径向基核函数构造多核核函数：

$K_{mix}={\mathrm{\lambda K}}_{rbf,{\sigma }_1}+(1-\lambda )K_{rbf,{\sigma }_2}---\left(10\right)$

式中，核参数σ为核函数宽度；x_i、x_j分别表示构造训练特征集中的第i和j个特征向 量(每个特征向量由特征指标构成)；

K_rbf代表高斯径向基核函数，引入参数λ来控制两种核函数之间的权值，λ的取值范 围是λ∈[0,1]；当λ＝1时，多核核函数退化为核函数宽度为σ₁的单核径向基核函数；当λ＝0 时，多核核函数退化为核函数宽度为σ₂的单核径向基核函数；

经多核构造后，超球体支持向量机(HSVM)即为多核超球体支持向量机(MKHSVM)；

步骤二三、多核HSVM(MKHSVM)分类规则的确定：

将所构造的多核核函数K_mix代入HSVM的优化最小超球的式中得到：寻找最小超球 体的过程转变为以下的优化

式中，k表示第k个超球，且k＝1,2,…,m，m表示超球的类别数；为Lagrange乘 子，C^k为惩罚系数，l^k表示每个特征向量中的特征指标个数；

训练特征向量z到第k类超球球心a^k的距离的平方D_mix(z,a^k)定义为：

$D_{mix}(z,a^k)=\underset{i,j}{\Sigma }{\alpha }_i^k{\alpha }_j^k{K}_{mix}(x_i^k,x_j^k)-2\underset{i}{\Sigma }{\alpha }_i^k{K}_{mix}(x_i^k,z)+K_{mix}(z,z)---\left(12\right)$

第k类超球的半径可由该球表面上的支持向量z′计算得到，即

z是训练特征向量中泛泛的一个，所述x_i和x_j是代指训练特征向量中的第i和第j 个，i和j可取到全部；

基于式(12)多核改进分类规则：

如训练特征向量z不包含在M区域，则：

$f_1\left(z\right)=\arg \underset{k=1}{\overset{m}{min}}\left(D_{mix}\right(z,a^k)-R_k^2)---\left(13\right)$

如z包含在M区域并且集合I为空，则：

$f_2\left(z\right)=\arg \underset{x_p\in I}{min}\left(\frac{\sqrt{D_{mix}(z,a^k)}}{R_k}\right)---\left(14\right)$

如z包含在M区域并且集合I不为空，则：

$f_3\left(z\right)=\arg \underset{x_p\in I}{min}\left(D_{mix\_MI}\right(z,x_p\left)\right)---\left(15\right)$

式中，x_p是集合I中的样本点，样本点z的归属采用D_{mix_MI}(z,x_p)作为相似性的度量， 采用下式进行计算：

D_{mix_MI}(z,x_p)＝K_mix(x_p,x_p)-2K_mix(x_p,z)+K_mix(z,z)(16)

区域M是各超球内相交邻近空间，由参数β进行控制；

对于M区域的确定问题，由于M区域是动态变化的，引入参数β进行控制，判断训练 或测试特征向量z*在M区域应满足：$\sqrt{D_{mix}(z^{*},a^i)}\le R_i$且$\beta \sqrt{D_{mix}(z^{*},a^j)}<R_j,$或者， $\sqrt{D_{mix}(z^{*},a^j)}\le R_j$且(i＝1,2,…,m，j＝1,2,…,m，并且i≠j)，β∈[0,1]；定 义式(13)或(14)或(15)中的变量结构或或D_{mix_MI}(z,x_p)为差别系数 D_k,；

步骤二四、利用混沌优化果蝇算法(CFOA)对MKHSVM中的多参数进行寻优，构建 CFOA-MKHSVM模型：

将训练准确率作为CFOA中的适应度函数，对MKHSVM模型中的5个参数同时进行优 化，CFOA-MKHSVM模型建立的主要步骤为：

(1)初始化CFOA参数：基于混沌系统产生混沌序列初始化果蝇个体位置，并设定种 群规模Sizepop和最大迭代步数gen_max；由于需要优化MKHSVM中的惩罚系数C、核参数σ₁、核 参数σ₂、M区域控制参数β以及权值系数λ，所以取5个基于混沌序列的果蝇个体坐标，得到初 始坐标以及

(2)根据嗅觉觅食行为，对每个果蝇个体赋予基于混沌搜索技术的飞行方向和步 长，得到和并计算果蝇个体与原 点之间距离，得到味道浓度判定值和

(3)确定MKHSVM中惩罚系数C、核函数参数σ、M区域控制参数β以及权值系数λ的范 围，即C∈[1/N,1]，σ₁∈[2^-14,2¹⁴]，σ₂∈[2^-14,2¹⁴]，β∈[0,1]，λ∈[0,1]；N为各类别训练样本 的数量；

(4)将训练样本特征数据输入到MKHSVM中，进行模型训练，将分类准确率作为CFOA 中的适应度函数，即：

Smell_i＝Fitness(C_i,σ_i,1,σ_i,2,β_i,λ_i)＝accuracy(C_i,σ_i,1,σ_i,2,β_i,λ_i)

(5)找到适应度函数中对应训练准确率最高的果蝇个体，进入算法迭代寻优过程， 判断当前最高训练准确率是否优于前一代最高训练准确率：若高于，则保留当代最高训练 准确率的最大值及对应坐标，并将此坐标值赋给初始化坐标和若低于，则返回到步骤(2)；

(6)算法迭代结束后，即可得到最佳的参数C、σ₁、σ₂、β、λ，CFOA-MKHSVM模型建立完 毕；

步骤三、建立评估滚动轴承的健康状态评估指标：

将所有测试样本特征向量输入到CFOA-MKHSVM模型中，根据测试样本特征向量与 超球体之间的位置关系利用多核的分类规则，得到所有测试样本对应的故障状态，并计算 各个测试特征向量到与之状态相对应的超球体的差别系数D_k；设定第w个向量的差别系数 中的最小值为d_k,min(w)，所有测试向量的最小差别系数为集合D_k,min；

将所有的最小差别系数集合D_k,min进行归一化处理，得到集合D_norm，建立归一化差 别系数的评估指标式(26)，绘制所有归一化评估值，得到滚动轴承全寿命周期的健康状态 评估曲线：

$d_{norm}\left(w\right)=\frac{d_{k,min}\left(w\right)-min\left(D_{k,min}\right)}{\max \left(D_{k,\min }\right)-min\left(D_{k,\min }\right)}---\left(26\right)$

式中：w为第w个测试样本，w＝1,2,…,W，W为测试样本数量，D_k,min为差别系数最小 值的集合，d_norm(w)为D_norm中的元素。

具体实施方式二：本实施方式为：在步骤二中，所述混沌序列为基于Logistic、 Tent、Chebyshev、Circle和Gauss共5个一维混沌系统产生的混沌映射迭代值，将其分别映 射到CFOA所优化的5个参数范围内，并将映射后混沌值构造成5×5的矩阵，再利用其进行迭 代寻优。其它步骤与具体实施方式一相同。

具体实施方式三：本实施方式为：在步骤二四中，所述训练准确率是训练样本经10 倍交叉验证后得到的准确率；

其训练准确率accuracy的计算公式：

其它步骤与具体实施方式一或二相 同。

具体实施方式四：本实施方式为：在步骤一中，训练样本为所述滚动轴承全寿命周 期振动数据的三分之二，测试样本为所述滚动轴承全寿命周期振动数据的三分之一。其它 步骤与具体实施方式一、二或三相同。

针对本发明的相关技术手段再进行如下阐述：

1多核超球体支持向量机

1.1超球体支持向量机

对于多分类问题，假设给定m个元素集合A^k，且k＝1,2,…,m，其空间维度为n维，每 个集合包含l^k个点且i＝1,2,…,l^k，都以a^k为球心，R_k为半径，寻找一个超球体(a^k,R_k)， 使得该超球体能够包含相应类别中的所有样本点或者绝大多数的样本点，并达到该球体的 半径尽可能最小。由于这种定义对于一些偏远点也很敏感，因此，引入松弛变量ε^k来进行控 制，允许一些样本点存在一定的偏差，可以在寻找的最小超球体的外面。于是，根据结构风 险最小化原则，可以将寻找最小超球体的过程转变为以下的优化问题：

$\left(\begin{array}{c}\min {\left(R_k\right)}^2+C^k\underset{i=1}{\overset{l^k}{\Sigma }}{ϵ}_i^k\\ s.t.\left(\begin{array}{c}\left|\right|x_i^k-a^k|{|}^2\le {\left(R_k\right)}^2+{ϵ}_i^k\\ {ϵ}_i^k\ge 0,i=1,2,3,...,l^k\end{array}\right)\end{array}\right)---\left(1\right)$

其中，为松弛变量，C^k为惩罚系数。

依据拉格朗日乘子法，可将上述带约束条件的二次规划问题，转化为求下列拉格 朗日函数鞍点的过程：

$L(R_k,a^k,{\alpha }_k,{\gamma }_k,{ϵ}^k)=R_k^2+C\underset{i=1}{\overset{l^k}{\Sigma }}{ϵ}^k-\underset{i=1}{\overset{l^k}{\Sigma }}{\gamma }_k{ϵ}^k-\underset{i=1}{\overset{l^k}{\Sigma }}\alpha (R_k^2+{ϵ}^k-||x_i^k-a^k|{|}^2)---\left(2\right)$

取L对R_k,a^k,ε^k的最小值，需求L对R_k,a^k,ε^k的偏微分，并令偏微分等于0，即可得到 如下关系：

当时，则有

$\underset{i=1}{\overset{l^k}{\Sigma }}{\alpha }_i=1---\left(3\right)$

当时，则有

$a^k=\underset{i=1}{\overset{l^k}{\Sigma }}{\alpha }_i{x}_i---\left(4\right)$

当时，则有

C-α_i-γ_i＝0(5)

将式(3)，(4)，(5)带入到(2)中，就会将(1)中的问题转化为如下的拉格朗日对偶 问题：

式中，为Lagrange乘子。

对于m类，可求得m个超球，第k个超球代表第k类。训练向量z到第k类球心a^k的距离 的平方D(z,a^k)定义为：

$D(z,a^k)=\underset{i,j}{\Sigma }{\alpha }_i^k{\alpha }_j^k(x_i^k·x_j^k)-2\underset{i}{\Sigma }{\alpha }_i^k(x_i^k·z)+(z·z)---\left(7\right)$

1.2多核核函数构造

核函数可将原本是低维空间中线性不可分的样本映射到高维空间中线性可分， HSVM分类中常使用单一核函数。为了解决轴承各状态数据不均衡、异构问题，基于HSVM，采 用多种“基本核函数”的凸组合方式，构造MKHSVM模型。

设χ是Rⁿ中的子集，定义在χ×χ上的函数，若有从χ到某一个希尔伯特空间H的映 射：

$\Phi :\begin{array}{c}\chi \to H\\ x\to \Phi \left(x\right)\end{array}---\left(8\right)$

使得：K(x_i,x_j)＝Φ(x_i)·Φ(x_j)，其中“·”表示空间H中的内积，则执行这个变换 过程的函数称为核函数，记为K(x,x)。

核函数选择不同，直接影响分类特性。目前，常用的核函数有：

(1)线性核函数：K(x_i·x_j)＝(x_i·x_j)。

(2)多项式核函数：K(x_i·x_j)＝[(x_i·x_j)+1]^q，核参数q为多项式的阶次。

(3)高斯径向基核函数：核参数σ为核函数宽度。

(4)Sigmoid核函数：K(x_i·x_j)＝tanh[v(x_i·x_j)+c]，v和c为对应的核参数。

核函数选择上往往是凭借专家经验选取。为了充分利用核函数的特性，根据核函 数的性质，将核函数以加权求和的方式多核化，构造的多核核函数依旧满足Mercer定理。多 核核函数构造方法：

$K_{mix}(x_i,x_j)=\underset{m=1}{\overset{M}{\Sigma }}{\lambda }_m{K}_m(x_i,x_j)---\left(9\right)$

其中，M为核函数个数，λ_m为权值系数，满足λ_m≥0且

本发明采用两个核函数宽度不同的径向基核函数的凸组合来构造多核核函数，提 高多核核函数的学习能力和泛化能力。其具体形式为为：

$K_{mix}={\mathrm{\lambda K}}_{rbf,{\sigma }_1}+(1-\lambda )K_{rbf,{\sigma }_2}---\left(10\right)$

式中，K_rbf,σ代表径向基核函数，引入参数λ来控制两种核函数之间的权值，λ的取值 范围是λ∈[0,1]。当λ＝1时，多核核函数退化为核函数宽度为σ₁的单核径向基核函数；当λ ＝0时，多核核函数退化为核函数宽度为σ₂的单核径向基核函数。

1.3多核超球体SVM分类规则

基于构造的多核核函数，式(6)用多核核函数代替欧式点积得到：

式(7)定义的D(z,a^k)也用核函数代替其中的欧式点积为：

$D_{mix}(z,a^k)=\underset{i,j}{\Sigma }{\alpha }_i^k{\alpha }_j^k{K}_{mix}(x_i^k,x_j^k)-2\underset{i}{\Sigma }{\alpha }_i^k{K}_{mix}(x_i^k,z)+K_{mix}(z,z)---\left(12\right)$

这里第k类超球的球心和半径可由该球表面上的支持向量z′计算得到，即， $a^k=\underset{i}{\Sigma }{\alpha }_i^k{x}_i^k,R_k^2=D_{mix}(z^{\prime },a^k),{\alpha }_i^k\ne 0.$

基于式(12)多核改进分类规则：

如训练特征向量z不包含在M区域，则：

$f_1\left(z\right)=\arg \underset{k=1}{\overset{m}{min}}\left(D_{mix}\right(z,a^k)-R_k^2)---\left(13\right)$

如z包含在M区域并且集合I为空，则：

$f_2\left(z\right)=\arg \underset{x_p\in I}{min}\left(\frac{\sqrt{D_{mix}(z,a^k)}}{R_k}\right)---\left(14\right)$

如z包含在M区域并且集合I不为空，则：

$f_3\left(z\right)=\arg \underset{x_p\in I}{min}\left(D_{mix\_MI}\right(z,x_p\left)\right)---\left(15\right)$

式中，x_p是集合I中的样本点，样本点z的归属采用D_{mix_MI}(z,x_p)作为相似性的度量， 采用下式进行计算：

D_{mix_MI}(z,x_p)＝K_mix(x_p,x_p)-2K_mix(x_p,z)+K_mix(z,z)(16)

对于M区域的确定问题，由于M区域是动态变化的，引入参数β进行控制，判断训练 或测试样本z*在M区域应满足：$\sqrt{D_{mix}(z^{*},a^i)}\le R_i$且$\beta \sqrt{D_{mix}(z^{*},a^j)}<R_j,$或者，$\sqrt{D_{mix}(z^{*},a^j)}\le R_j$且 (i＝1,2,…,m，j＝1,2,…,m，并且i≠j)，β∈[0,1]。定义式(13)或(14)或 (15)中的变量结构或或D_{mix_MI}(z,x_p)为差别系数D_k，便于后续使用。

2混沌优化果蝇算法(CFOA)

FOA具有初始化简单、收敛迅速等优点，但也容易陷入局部最优解中。由于混沌系 统具有遍历性，能够在整个设定空间内进行全局搜索，因此将混沌理论融入到果蝇优化算 法中。获取Logistic、Tent、Chebyshev、Circle和Gauss共5个一维混沌系统的混沌映射迭代 值^[18]，将其分别映射到CFOA所优化的5个参数范围内，并将映射后混沌值构造成5×5的矩 阵，再利用其进行迭代寻优。

CFOA的具体步骤为：

(1)初始化。设定混沌优化果蝇算法的最大迭代步数gen_max，令gen＝1。初始化基于 混沌序列V(·)的果蝇初始化坐标。

X_axis_i＝V_i,min+V(·)(V_i,max-V_i,min)(17)

Y_axis_i＝V_i,min+V(·)(V_i,max-V_i,min)(18)

其中，V_i,max和V_i,min是混沌变量的上限和下限，V(·)是混沌序列。

(2)给定果蝇个体利用嗅觉寻找食物的随机方向和距离。

X_i＝X_axis_i+R(gen)V(·)(19)

Y_i＝Y_axis_i+R(gen)V(·)(20)

其中，$R\left(gen\right)=\frac{V_{i,max}-V_{i,min}}{2}{\left(\frac{{\mathrm{gen}}_{max}-gen}{{\mathrm{gen}}_{max}}\right)}^{\phi }$为搜索半径。

(3)估计与原点之间的距离Dist_i，再计算味道浓度的判定值S_i。

${\mathrm{Dist}}_i=X_i^2-Y_i^2---\left(21\right)$

S_i＝|Dist_i|(22)

(4)将S_i带入味道浓度判定函数中，从而求出果蝇个体位置的味道浓度值Smell_i。

Smell_i＝Function(S_i)(23)

(5)找出该果蝇种群中味道浓度最高的个体及其位置，记录其味道浓度值和坐标。

[bestSmellbestIndex]＝max(Smell)(24)

(6)判断是否此时的适应度函数Fitness比前几代要好，如果是，则保留当前最佳 味道浓度以及其最佳位置，并且，令果蝇种群利用视觉飞往该最佳位置。

$\begin{array}{c}Smellbest=bestSmell\\ X\_axis=X\left(bestIndex\right)\\ Y\_axis=Y\left(bestIndex\right)\end{array}---\left(25\right)$

(7)进入算法迭代过程，重复步骤(2)-(6)，如果gen≥gen_max，则混沌优化果蝇算法 结束。

3CFOA-MKHSVM模型的建立

利用CFOA全局搜索能力强和搜索精度高等特点，对MKHSVM中的参数进行智能寻优 选取，构建CFOA-MKHSVM模型。将分类准确率作为CFOA中的适应度函数，对MKHSVM模型中的5 个参数同时进行优化，CFOA-MKHSVM模型建立的主要步骤为：

(1)初始化CFOA参数。基于一维混沌系统产生混沌序列，初始化果蝇个体位置，并 设定Sizepop和gen_max。由于算法中需要优化MKHSVM中的惩罚系数C、核参数σ₁、核参数σ₂、M区 域控制参数β以及权值系数λ，所以取5个基于混沌序列的果蝇个体坐标，得到初始坐标 以及

(2)根据嗅觉觅食行为，对每个果蝇个体赋予基于混沌搜索技术的飞行方向和步 长，得到和并计算果蝇个体与原 点之间距离，得到味道浓度判定值和

(3)确定MKHSVM中参数C、σ₁、σ₂、β和λ的范围，即C∈[1/N_,1]，σ∈[2^-14,2¹⁴]，β∈[0, 1]和λ∈[0,1]。其中，N为各类别训练样本的数量。

(4)将样本特征数据输入到MKHSVM中，进行模型训练，将分类准确率作为CFOA中的 适应度函数，即：

Smell_i＝Fitness(C_i,σ_i,1,σ_i,2,β_i,λ_i)＝accuracy(C_i,σ_i,1,σ_i,2,β_i,λ_i)

其中，分类准确率accuracy的计算公式：

(5)找到适应度函数中对应分类准确率最高的果蝇个体，进入算法迭代寻优过程， 判断当前最高分类准确率是否优于前一代最高分类准确率：若高于，则保留当代最高分类 准确率的最大值及对应坐标，并将此坐标值赋给初始化坐标和若低于，则返回到步骤(2)。

(6)算法迭代结束后，即可得到最佳的参数C、σ₁、σ₂、β、λ，CFOA-MKHSVM模型建立完 毕。

4滚动轴承状态评估指标及方法流程

4.1归一化差别系数评估指标

CFOA-MKHSVM模型建立完毕后，对任一测试向量可计算其到各个超球体的差别系 数D_k。特征向量的差别系数与其对应的状态最具有相关性，即在高维特征空间中，第k类特 征向量一般情况下是分布在第k类超球体附近的。这样，通过最小差别系数就能够获得当前 特征向量所属的状态，根据新多核分类规则，第w个测试向量的差别系数最小值为d_k,min(w)， 按该最小值来归属测试向量对应轴承退化的状态。再将所有测试向量的最小差别系数进行 归一化处理，得到集合D_norm。可根据式(26)绘制滚动轴承性能退化评估曲线，最终可应用到 滚动轴承的健康状态定量评估中。

$d_{norm}\left(w\right)=\frac{d_{k,min}\left(w\right)-min\left(D_{k,min}\right)}{\max \left(D_{k,\min }\right)-min\left(D_{k,min}\right)}---\left(26\right)$

式中w为第w个测试样本，w＝1,2,…,W，W为测试样本数量，D_k,min为差别系数最小值 的集合。

4.2滚动轴承性能退化评估方法流程

基于归一化差别系数的滚动轴承性能退化评估方法流程图如图1所示。

具体步骤为：

(1)特征提取：对滚动轴承全寿命周期振动信号按照文献[19-21]提取时域统计指 标、频域统计指标以及小波包相关频带谱能量熵特征指标，并构造特征集。

(2)CFOA-MKHSVM模型建立：基于构建的多核核函数及新的多核分类规则，用CFOA 对MKHSVM参数进行寻优，构建CFOA-MKHSVM模型。利用样本特征向量，将分类准确率作为 CFOA中的适应度函数，优化模型中的5个参数，从而建立CFOA-MKHSVM模型。

(3)状态识别：将测试样本特征向量输入到CFOA-MKHSVM模型中，根据特征向量与 超球体之间的位置关系，利用新的多核分类规则，计算各个特征向量到与之状态相对应的 超球体的最小差别系数D_k,min。

(4)性能退化评估过程：将各特征向量得到的最小差别系数进行归一化处理，即可 得到归一化差别系数评估指标D_norm。最后绘制滚动轴承性能退化评估曲线，完成对滚动轴 承性能退化状态的评估。

针对本发明方法的应用与效果分析

实验数据来自于美国辛辛那提大学IMS实验室，采用其中第2组滚动轴承全寿命周 期振动数据进行实验，其实验装置如图2所示。实验系统中，4个滚动轴承安装在一根轴上， 每个轴承上安装有高灵敏度石英加速度传感器采集加速度振动信号。实验中，轴的转速为 2000r/min，在轴和轴承的径向方向加载6000磅负载，数据采样频率为20kHz，采集时长近 164个小时。最终，实验以轴承1出现外环故障导致轴承完全失效而结束。

1、CFOA-MKHSVM模型验证实验

采用CFOA对MKHSVM中的参数C、σ₁、σ₂、β以及λ进行寻优，构建CFOA-MKHSVM模型。将 模型训练过程中的分类准确率作为CFOA中的适应度函数，设定Sizepop＝20，gen_max＝200， 果蝇个体搜索步长[-1,1]。同时，将CFOA算法与GA、PSO、FOA优化算法进行对比，参数设定均 相同。优化后的各模型参数及经10次实验后的平均分类准确率如表1所示。

表1不同模型的滚动轴承各状态分类结果

以MKHSVM分类模型为例，利用各优化算法对MKHSVM中参数进行优化，其迭代步数 与训练准确率之间的关系如图3所示。

分析表1中各个模型与平均准确率之间关系可知，SVM分类器得到的分类准确率平 均值都低于90％，而采用HSVM和MKHSVM模型得到的平均准确率都在90％以上；并且，除FOA 优化算法外，相同智能优化算法中，SVM、HMSVM与MKHSVM分类器模型(例如GA-SVM、GA-HMSVM 与GA-MKHSVM)相比较，MKHSVM在滚动轴承各状态识别中，准确率最高，HSVM其次。说明 MKHSVM在处理滚动轴承振动数据这类分布非均匀、数据异构情况下，其分类性能高于HSVM 和SVM。

由表1和图3中各智能优化算法之间对比分析可知，在参数寻优精度上，CFOA的寻 优精度最高。在参数迭代步数上，FOA和GA都具有较快的收敛速度，但是却容易陷入局部最 优解。而CFOA在全局搜索能力上也是最好的，多次跳出局部最优解；PSO也具有相似性能，但 在寻优精度上不如CFOA。

综上，构建的CFOA-MKHSVM模型，既能保证在全局范围内进行参数搜索，又具有较 高的分类准确率，说明多核优化和CFOA多参数优化是有效的。

2、性能退化评估实验

滚动轴承性能退化状态一般分为正常状态、初始故障状态、中度故障状态、深度故 障状态以及失效状态。本节对轴承全寿命周期数据，分别采用基于SVDD的评估指标和提出 的归一化差别系数评估指标进行对比分析。

SVDD评估方法的基本思想是利用部分正常状态数据进行训练，建立一个超球体， 其余所有数据作为测试数据，计算测试向量到建立超球球心距离。若距离小于超球半径，则 测试向量在超球内，轴承为正常状态；若距离大于半径，则测试向量在超球外，距离越大，说 明偏离正常状态越远，其性能退化状态越严重。基于SVDD算法的滚动轴承健康状态归一化 评估曲线如图4所示。

对基于CFOA-MKHSVM模型的归一化差别系数评估指标进行实验研究。根据新的多 核分类规则，计算所有样本到与之状态相对应的超球体的归一化差别系数D_norm，绘制的全 寿命周期数据性能退化评估曲线如图5所示。

从图4和图5中的两种评估曲线变化趋势可看出，轴承在开始运行的相当长的一段 时间内，其评估值较低，且趋势平稳，滚动轴承性能状态良好。图5中在88.5h左右时，归一化 差别系数评估指标有明显上升，偏离正常状态，轴承开始进入初始性能退化状态。图4中在 88.5h左右时，SVDD算法的评估指标有较小提升，也可判断轴承进入初始退化状态，但相对 归一化差别系数评估指标变化不明显。

在116.7h左右，两种指标均有非常明显的增加，表明滚动轴承进入中度性能退化 状态。在116.7h左右到158.3h左右，曲线出现下凹现象，实际为出现故障后故障点又被磨的 相对平滑。图4的SVDD评估指标在下凹阶段与初始故障状态的评估值重叠范围较大，非常容 易产生状态识别错误，而归一化差别系数虽有所重叠，但是重叠范围较小

从158.3h左右到163.5h左右，图4中SVDD评估指标在158.3h左右先是评估值基本 不变，然后又有明显下降趋势，并没有与中度性能退化状态有明显区分，无法正确评估轴承 深度退化状态。而图5中评估指标有明显上升趋势，表明滚动轴承进入深度性能退化状态， 此时轴承已经基本不能正常工作，直至到163.5h左右最终完全失效。

由以上可知，所提归一化差别系数评估指标在轴承初始性能退化状态较敏感；在 故障点平滑的下凹阶段与初始退化指标重叠范围小，误估率低；同时，能够准确的对轴承深 度故障及失效状态进行评估。因此，归一化差别系数评估指标具有更好的评估效果。

根据上述实验，可得到如下结论或验证效果：

(1)本发明提出了一种滚动轴承健康状态定量评估方法，可减少“维修不足”或“过 度维修”，最大限度利用轴承寿命，降低停机率，避免重大经济损失和安全事故的发生。

(2)对超球体支持向量机进行多核凸组合优化，解决了滚动轴承状态数据分布不 均匀、数据异构的问题。

(3)将果蝇算法与混沌理论相结合，对MHSVM的多参数进行了寻优，消除人为选择 分类器多参数的盲目性，以及容易选入局部最优问题。构建CFOA-MKHSVM分类模型，具有较 高的分类准确率。

(4)提出了归一化差别系数评估指标，构建CFOA-MKHSVM评估模型，与SVDD算法评 估指标进行对比，验证了所提指标的有效性，实现了滚动轴承健康状态的定量评估。

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