一种非合作目标航天器相对轨道姿态有限时间控制方法

摘要

一种非合作目标航天器相对轨道姿态有限时间控制方法，涉及航空航天领域。解决了目前非合作目标的航天器相对轨道姿态联合控制中所存在的问题。一种非合作目标航天器相对轨道姿态有限时间控制方法包括以下步骤：步骤一：将用惯性系表示的相对轨道动力学模型投影到视线系，采用视线系描述航天器的相对轨道动力学模型；步骤二：建立姿态动力学模型和姿态运动学模型；步骤三：将相对轨道动力学模型、姿态动力学模型和姿态运动学模型进行状态空间表示，获得相对轨道姿态动力学模型；步骤四：根据相对轨道姿态动力学模型和有限时间控制理论获得有限时间连续控制器。本发明适用于非合作目标航天器的相对轨道姿态联合控制。

说明书

技术领域

本发明涉及航空航天领域。

背景技术

随着空间资源的开发与利用，各个国家都纷纷发射自己的卫星以及建造自己的空间站， 但是随着卫星和空间站数量的不断增加，空间资源越来越缺乏，而且由于卫星的寿命或者失 效问题，已经产生了大量的空间垃圾，占用很多轨道资源。为此，对空间碎片、失效卫星等 非合作目标的接近和近距离跟踪监控，对失效的航天器进行维护使其恢复工作等空间任务已 经成为当今航天领域的一个研究热点与难点。尽管这些空间任务目标各种各样，但都有同样 的一个要求，即要求航天器在受控飞行过程中，其轨道与姿态能够同时以高控制精度达到期 望的状态，也就是说要求航天器具备高精度的相对位置与姿态联合控制精度。从另一角度来 说，航天器与目标之间的相对位置和相对姿态的精确控制对于能否完成空间任务起到了关键 性作用。而且，当今世界航空航天技术已经进入了发展的快车道，各国纷纷展开空间活动， 空间任务也越来越多样化，对空间系统的功能要求越来越高，对航天器近距离运动的航天器 的位姿控制技术也面临着更多的挑战。因此，有必要对非合作目标的姿轨联合控制问题进行 研究。

航天器的相对轨道机动是研究追踪航天器处于目标航天器或虚拟航天器周围的持续运动 规律，是研究轨道机动、编队飞行、在轨维护、交会对接、跟踪监视等空间任务的基础。

根据控制器输出的形式，航天器相对轨道控制的方法可以分为脉冲控制和连续推力控制。 脉冲控制是指控制推进装置提供一个或多个短暂的速度增量进行相对轨道转移的控制方法， 由于推进装置的工作时间很小，可以忽略，将产生的推力看成是脉冲。脉冲控制简单，但无 法应对转移过程的未知干扰，控制不灵活。连续推力控制是指航天器发生相对转移的过程中 始终施加控制作用，随着推进装置的发展和控制理论的完善，连续推力控制在航天器的相对 轨道控制中得到了越来越多的应用，而且连续控制由于在转移的过程中一直存在控制作用， 应对转移过程的未知干扰能力较强，近些年已经成为相对轨道控制的研究热点。

航天器的相对轨道控制中，分为两类，一类是合作目标的航天器相对轨道控制，一类是 非合作目标的航天器相对轨道控制。

所谓的非合作目标航天器是指追踪航天器无法获取目标航天器的相对轨道参数的目标航 天器，比如失效的航天器、空间碎片和敌方的航天器等等。针对非合作目标航天器的相对轨 道控制在空间非合作目标的跟踪监视、干扰、打击等空间任务中起到举足轻重的作用。

在非合作目标的相对轨道控制中，一方面不仅要求追踪航天器能够有效的估计出目标航 天器的相对位置信息和相对速度信息，另一方面还要求追踪航天器能够利用估计出来的非合 作目标的位置信息和速度信息设计控制律，使得追踪航天器能够转移到目标航天器的周围。

航天器姿态控制是指获得并保存航天器在空间定向的技术，其一般是指相对于某参考系， 要求航天器姿态以给定的要求或规律变化。

航天器的姿态控制可以分为姿态调节控制与姿态跟踪控制。航天器姿态调节控制是设计 一个控制器将航天器的姿态镇定到平衡点附近。相比于航天器姿态调节控制，当期望的参考 轨迹为时变信号时，航天器姿态控制问题称为姿态跟踪控制。一般来讲，姿态跟踪问题比姿 态调节问题更难于处理，因为对于姿态跟踪问题，控制器不仅要镇定整个系统的状态变量， 还需使系统的输出跟踪上时变的期望轨迹。

文献“XinM,PanH.Nonlinearoptimalcontrolofspacecraftapproachingatumblingtarget[J]. AerospaceScienceandTechnology,2011,15(2):79-89.”研究了近距离非合作目标的相对轨道姿 态联合控制问题，采用θ-D方法设计控制器，该控制器具有控制精度高，误差小等优点，但 是没能考虑目标轨道机动时动力学的不确定性，因此控制效果不佳。

文献“高登巍,罗建军,马卫华,康志宇,陈晓光.接近和跟踪非合作机动目标的非线性最优控 制[J].宇航学报,2013,06:773-781.”研究了非合作目标的接近和视线跟踪问题，设计了θ-D控 制器。根据Lyapunov最小-最大原理设计了θ-D修正控制器，来减小跟踪同时存在轨道和姿态 机动的非合作目标的控制误差，改善跟踪非合作目标的姿轨联合控制的性能。上述方法虽然 能获得满意的控制效果，但是其是根据渐近稳定的思想设计的控制器，也就是说理论上系统 只有当时间为无穷大时系统才会收敛到平衡点。

文献“王磊,袁建平,罗建军.接近非合作目标的部分状态反馈姿轨联合控制[J].计算机仿 真,2013,09:41-45+73.”针对非合作翻滚目标航天器的自主接近跟踪问题，建立了航天器六自 由度类拉格朗日动力学方程，利用相对位置和相对姿态反馈信息并针对航天器惯性参数不确 定性，采用自适应非线性输出反馈控制和神经网络逼近控制方法设计了姿轨联合控制器。

方案的具体内容如下：

基于视线坐标系建立轨道动力学方程：

其中μ为地球引力常数，a_x2、a_y2、a_z2为沿视线坐标系三轴的控制加速度，r为两航天器之 间的视线距离，r_T为目标与地心之间的距离，ψ为视线与其在目标轨道面上的投影之间的夹 角，这里称为视线倾角，θ为视线偏角。ω为航天器姿态角速度各式两端同时乘以追踪航天 器质量m_c得到类拉格朗日形式方程：

$J_o\left(q_s\right){\stackrel{··}{q}}_s+C_o(q_s,{\stackrel{·}{q}}_s){\stackrel{·}{q}}_s+L_o\left(q_s\right)=u_o,---\left(2\right)$

其中：

q_s＝[rψθ]^T

u_o＝[a_x2ra_y2ra_z2cos²ψ]^T

$J_o\left(q_s\right)=m_c\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& r^2& 0\\ 0& 0& r^2{\cos }^2\psi \end{array}\right)$

$C_o(q_s,{\stackrel{·}{q}}_s)=m_c\left(\begin{array}{ccc}0& -r\stackrel{·}{\psi }& -r\stackrel{·}{\theta }{\cos }^2\psi +2{\mathrm{r\omega cos}}^2\psi \\ r\stackrel{·}{\psi }& r\stackrel{·}{r}& r^2\theta \sin \psi \cos \psi -2r^2\omega \sin \psi \cos \psi \\ r\stackrel{·}{\theta }{\cos }^2\psi -2{\mathrm{r\omega cos}}^2\psi & -r^2\stackrel{·}{\theta }\sin \psi \cos \psi +2r^2\omega \sin \psi \cos \psi & r\stackrel{·}{r}{\cos }^2\psi -r^2\stackrel{·}{\psi }\cos \psi \sin \psi \end{array}\right)$

追踪航天器的姿态动力学方程为：

$J_c\stackrel{·}{\omega }+\omega \times J_c\omega =t_c,---\left(3\right)$

式中J_c为追踪航天器转动惯量，t_c为航天器所受的控制力矩，ω为航天器姿态角速度。

追踪航天器姿态运动学方程为：

$\stackrel{·}{\sigma }=B\left(\sigma \right)\omega ,---\left(4\right)$

其中：

$\left(\begin{array}{c}B\left(\sigma \right)=\frac{1}{4}\left(\right(1-{\sigma }^T\sigma \left)\right[I_{3\times 3}]+2{\mathrm{\sigma \sigma }}^T+2[\tilde{\sigma }\left]\right)\\ =\frac{1}{4}*\left(\begin{array}{ccc}(1-{\sigma }^2+2{\sigma }_i^2)& 2({\sigma }_i{\sigma }_j-{\sigma }_k)& 2({\sigma }_i{\sigma }_k+{\sigma }_j)\\ 2({\sigma }_i{\sigma }_j+{\sigma }_k)& (1-{\sigma }^2+2{\sigma }_j^2)& 2({\sigma }_j{\sigma }_k-{\sigma }_j)\\ 2({\sigma }_i{\sigma }_k-{\sigma }_j)& 2({\sigma }_j{\sigma }_k+{\sigma }_j)& (1-{\sigma }^2+2{\sigma }_k^2)\end{array}\right)\end{array}\right)$

$\left[\tilde{\sigma }\right]=\left(\begin{array}{ccc}0& -{\sigma }_k& {\sigma }_j\\ {\sigma }_k& 0& -{\sigma }_i\\ -{\sigma }_j& {\sigma }_i& 0\end{array}\right)$

根据式(3)和式(4)整理可得类拉格朗日形式的姿态动力学方程为(这里下标a表示姿态)：

$J_a\left(\sigma \right)\stackrel{··}{\sigma }+C_a(\sigma ,\stackrel{·}{\sigma })\stackrel{·}{\sigma }=u_a,---\left(5\right)$

其中：

J_a(σ)＝B^-T(σ)J_cB^-1(σ)，

$S\left(J_c{B}^{-1}\stackrel{·}{\sigma }\right)=S\left(J_c\omega \right),$

u_a＝B^-T(σ)t_c，

$C_a(\sigma ,\stackrel{·}{\sigma })=-B^{-T}{J}_c{B}^{-1}\stackrel{·}{B}{B}^{-1}-B^{-T}S\left(J_c{B}^{-1}\stackrel{·}{\sigma }\right)B^{-1}.$

联合式(2)和式(5)可得追踪航天器六自由度类拉格朗日动力学方程：

$J^{*}\stackrel{··}{x}+C\stackrel{·}{x}+L=U,---\left(6\right)$

其中：$J^{*}=\left(\begin{array}{cc}{J}_o& \\ & J_a\end{array}\right),C=\left(\begin{array}{cc}{C}_o& \\ & C_a\end{array}\right),L=\left(\begin{array}{c}{L}_o\\ 0_{3\times 1}\end{array}\right),$U＝[u_ou_a]^T，x＝[q_sσ]^T。

首先定义参数估计误差其中表示质量估计误差，表示转动 惯量估计误差并假设:定义为常值、未知参数矢量，即： 其中为的估计值。定义相对跟踪误差 e＝[e_oe_a]^T∈R⁶，伪速率滤波器输出e_f＝[e_foe_fa]^T∈R⁶，辅助滤波器变量p(t)∈R⁶，则伪 速率滤波器动态方程：

$\begin{array}{c}{e}_f=-Ke+p\\ \stackrel{·}{p}=-(K+I)p+(K^2+I)e\\ p\left(0\right)=Ke\left(0\right)\end{array},---\left(7\right)$

其中K∈R^6×6是常值矩阵。引入辅助跟踪误差变量η＝[η₁η₂]∈R⁶，其形式为假定x_d是式(6)中x的期望值，L_d为式(6)中L矩阵的期望值。从而得到闭环误差动力学方程：

其中$\tilde{L}=L-L_d,$

$\chi =J^{*}\left(x\right){\stackrel{··}{x}}_d+C(x,\stackrel{·}{x}){\stackrel{··}{x}}_d-J^{*}\left(x_d\right){\stackrel{··}{x}}_d-C(x_d,{\stackrel{·}{x}}_d){\stackrel{··}{x}}_d+C(x,\stackrel{·}{x})(e_f+e)+J^{*}\left(x\right)\eta -2J^{*}\left(x\right)e_f-\tilde{L},$神 经网络的激活函数选为高斯型函数则神经网络控制器为

$U_2=-K{\left(\begin{array}{ccc}\tanh \left({\mathrm{\delta e}}_{f1}\right)& \mathrm{...}& \tanh \left({\mathrm{\delta e}}_{fn}\right)\end{array}\right)}^T+\hat{\chi },---\left(9\right)$

自适应非线性输出反馈控制器设计为：

可得如下的姿轨联合控制器U＝U₁+U₂，令估计值为基函数，是 权重矩阵的估计值，ε是逼近误差，δ为正的控制参数。

则不包含速度误差项的自适应参数估计变化律为：

其中Γ、Γ_m、k_w为正的控制参数。

该方法中控制器的形式非常复杂，这限制了其在实际工程应用中的使用，而且，该控制 是基于渐近稳定的思想设计的，理论上只有当时间为无穷大时，系统才会达到稳定，当要求 系统在有限时间内达到稳定状态时就无法应用。

文献“苏晏,黎康.近距离星间相对姿轨耦合动力学建模与控制[J].空间控制技术与应 用,2014,04:20-25.”针对在轨服务过程中近距离星间相对位置以及相对姿态精确控制的问题， 设计了相对姿态轨道联合控制算法，实现了对目标星的精确指向绕飞运动。

方案的具体内容如下：

建立相对姿轨耦合动力学模型：

$\left(\begin{array}{c}\stackrel{·}{\rho }=\nu \\ \stackrel{·}{\nu }=f(\omega ,\stackrel{·}{\omega },\rho ,\stackrel{·}{\rho },r_t)+C_{to}g(\omega ,\stackrel{·}{\omega },\rho ,\stackrel{·}{\rho },J_2)+C_{tc}a\\ {\stackrel{·}{q}}_e=\frac{1}{2}\Omega \left(q_e\right)C_{co}^T({\omega }_{db}-{\omega }_{cb})\\ {\stackrel{·}{\omega }}_{cb}=J_c^{-1}(-{\omega }_{cb}^{\times }{J}_c{\omega }_{cb}+T+d)\end{array}\right),---\left(13\right)$

式中：

$f(\omega ,\stackrel{·}{\omega },\rho ,\stackrel{·}{\rho },r_t)=-2\omega \times \stackrel{·}{\rho }-\omega \times (\omega \times \rho )-\stackrel{·}{\omega }\times \rho +C_{to}\frac{\mu }{r_t^3}(\frac{3{\mathrm{xr}}_t}{r_t}-\rho ),$

$\Omega \left(q_e\right)=\left(\begin{array}{c}{q}_{e4}{I}_3+q_{ev}^{\times }\\ -q_{ev}^T\end{array}\right),$C_tc＝C_toC_oc，为基准坐标系向基准星轨道坐标系的转换矩阵， μ为引力常数，b_t和b_c分别为各自摄动力引起的加速度，ω和分别为目标轨道坐标系角速 度矢量和角加速度矢量，r_t、r_c分别为两颗卫星的地心距，表示惯性系到基准星轨道坐标系 的转换矩阵，x、y、z表示位置矢量在基准星轨道坐标系的分量大小，J_c为编队星的转动惯 量在编队星本体坐标系下的表示。

基准坐标系的x_d轴保持对基准星指向；y_d轴与x_d垂直且与矢量m夹角最小，其中m为对 航天器与地球质心的指向矢量；z_d轴的选取遵循右手定则。基准坐标系如下:x_d＝-ρ₀/||ρ₀||， y_d＝(x_d×m)×x_d/||(x_d×m)×x_d||，z_d＝(x_d×y_d)×x_d，C_do＝[x_dy_dz_d]^T。期望获得的角速度和 角加速度在基准坐标系下的表示为：${\omega }_{db}^{\times }=-{\stackrel{·}{C}}_{do}{C}_{do}^T,{\stackrel{·}{\omega }}_{db}^{\times }=-{\stackrel{·}{C}}_{do}{\stackrel{·}{C}}_{do}^T-{\stackrel{··}{C}}_{do}{\stackrel{·}{C}}_{do}^T.$

定义跟踪误差

$\{\begin{array}{c}{e}_{\rho }=\rho -{\rho }_d\\ e_v=v-v_d\\ e_{\omega }={\omega }_{cb}-{\omega }_{db}-{\omega }_{ed}\end{array},---\left(14\right)$

其中ρ_d为期望相对位置，v_d为期望相对速度，ω_db为期望角加速度，ω_ed为期望角加速度 差。

设计轨道控制加速度为：

$a=C_{tc}^{-1}[-f(\omega ,\stackrel{·}{\omega },\rho ,\stackrel{·}{\rho },r_t)-C_{to}g(\omega ,\stackrel{·}{\omega },\rho ,\stackrel{·}{\rho },J_2)+{\stackrel{·}{v}}_d-{\mathrm{Re}}_{\rho }-{\mathrm{Qe}}_v],---\left(15\right)$

取姿态控制力矩

T＝T_c1+T_c2，(16)

其中，T_c2用来消除编队星由于质量偏心等因素引入的轨道控制对姿态的干扰力矩。

设计控制力矩

$T_{c1}={\omega }_{cb}^{\times }{J}_c{\omega }_{cb}+J_c(-{\omega }_{cb}+{\omega }_{cbd}+{\stackrel{·}{\omega }}_{cbd}),---\left(17\right)$

$T_{c2}=-(d_{max}+\xi )\frac{s}{\left|\right|s\left|\right|},---\left(18\right)$

式中d_max为轨控推力引入的最大姿态干扰力矩，ξ为很小的正数，d_max+ξ>||d||， d∈M＝{d:||d||≤d_max＝l_max×F}，l_max为最大干扰力臂，F为轨控推力，P为正定矩阵。

在该方案中，所用的动力学模型比较复杂，控制器的形式相对复杂，其仍然是一个渐近 稳定的系统，理论上在该控制器的作用下，追踪航天器未能在有限时间内到达系统的平衡点。

发明内容

本发明为了解决目前非合作目标的航天器相对轨道姿态联合控制中所存在的问题，提出 了一种非合作目标航天器相对轨道姿态有限时间控制方法，

一种非合作目标航天器相对轨道姿态有限时间控制方法包括以下步骤：

步骤一、将用惯性系表示的相对轨道动力学模型投影到视线系，采用视线系描述航天 器的相对轨道动力学模型；

步骤二、建立姿态动力学模型和姿态运动学模型；

步骤三、将相对轨道动力学模型、姿态动力学模型和姿态运动学模型进行状态空间表 示，获得相对轨道姿态动力学模型；

步骤四、根据相对轨道姿态动力学模型和有限时间控制理论获得有限时间连续控制 器。

有益效果：本发明专利研究了非合作目标航天器的相对轨道姿态联合控制问题，考虑了 未知干扰和不确定性，结合有限时间控制理论，提出了姿轨联合控制的有限时间控制器。

本发明针对的是非合作航天器的相对轨道、姿态控制，只需要知道目标航天器的逃逸上 界就能够获得非常好的控制效果，而无需对目标的逃逸进行估计；由于考虑了系统的不确定 性与外界未知干扰，即便存在不确定性的外界干扰时，追踪航天器仍能很好的跟踪上逃逸的 非合作目标航天器；利用有限时间控制原理获得控制器，能够使航天器能够在有限的时间内 跟踪上非合作目标的航天器并对其进行跟踪；同时，控制器的形式简单、计算量小，适合在 星载计算机上使用，易于工程实现，具有工程实际意义。

附图说明

图1为具体实施方式二所述的惯性系与视线系以及它们之间的关系示意图；

图2为在接近和跟踪非合作目标时，轨道相关参数随时间变化曲线图，包括相对距离、 视线倾角和视线偏角；

图3为在接近和跟踪非合作目标时，姿态角随时间变化曲线图；

图4为在接近和跟踪非合作目标时，控制加速度随时间变化曲线图；

图5为在接近和跟踪非合作目标时，控制力矩随时间变化曲线图；

图6为轨道姿态参数与相应的期望参数之间的偏差随时间变化曲线图；

图7为y＝tanh(x)曲线与y＝x曲线关系示意图。

具体实施方式

具体实施方式一、本具体实施方式所述的一种非合作目标航天器相对轨道姿态有限时 间控制方法包括以下步骤：

步骤一、将用惯性系表示的相对轨道动力学模型投影到视线系，采用视线系描述航天 器的相对轨道动力学模型；

步骤二、建立姿态动力学模型和姿态运动学模型；

步骤三、将相对轨道动力学模型、姿态动力学模型和姿态运动学模型进行状态空间表 示，获得相对轨道姿态动力学模型；

步骤四、根据相对轨道姿态动力学模型和有限时间控制理论获得有限时间连续控制 器。

本实施方式通过有限时间控制理论，采用连续控制的方式，获得有限时间连续控制器， 进而实现非合作目标的航天器相对轨道姿态联合控制。

具体实施方式二、结合图1说明本具体实施方式，本具体实施方式与具体实施方式一所 述的一种非合作目标航天器相对轨道姿态有限时间控制方法的区别在于，步骤一所述的将用 惯性系表示的相对轨道动力学模型投影到视线系，采用视线系描述航天器的相对轨道动力学 模型的具体过程为：

将用惯性系O_ix_iy_iz_i表示的相对轨道动力学模型投射到视线系O_lx_ly_lz_l：

$\begin{array}{c}{\left(\frac{d^2\rho }{{\mathrm{dt}}^2}\right)}_l=\frac{d^2{\left(\rho \right)}_l}{{\mathrm{dt}}^2}+{\left({\stackrel{·}{\omega }}_l\right)}_l^{\times }{\left(\rho \right)}_l+2{\left({\omega }_l\right)}_l^{\times }\frac{d{\left(\rho \right)}_l}{dt}+{\left({\omega }_l\right)}_l^{\times }{\left({\omega }_l\right)}_l^{\times }{\left(\rho \right)}_l\\ ={\left(\Delta g\right)}_l+{\left(f\right)}_l-\left(u_c\right)l\end{array},---(1-1)$

其中，ρ为目标航天器相对于追踪航天器的位置矢量，上标×表示向量的反对称矩阵， △g＝[△g_x△g_y△g_z]^T为两空间飞行器的引力差项，当进行近距离相对转移和跟踪时，△g等 于0。f＝[f_xf_yf_z]^T为目标空间飞行器的逃逸，u_c＝[u_cxu_cyu_cz]^T为输入的控制矢量；

将式(1-1)按照分量展开，即可获得采用视线系描述航天器的相对轨道动力学模型：

$\left(\begin{array}{c}\stackrel{··}{\rho }-\rho ({\stackrel{·}{q}}_{ϵ}^2+{\stackrel{·}{q}}_{\beta }^2{\cos }^2{q}_{ϵ})={\mathrm{\Delta g}}_x+f_x-u_{cx}\\ \rho {\stackrel{··}{q}}_{ϵ}+2\stackrel{·}{\rho }{\stackrel{·}{q}}_{ϵ}+\rho {\stackrel{·}{q}}_{\beta }^2{\mathrm{sinq}}_{ϵ}{\mathrm{cosq}}_{ϵ}={\mathrm{\Delta g}}_y+f_y-u_{cy}\\ -\rho {\stackrel{··}{q}}_{\beta }{\mathrm{cosq}}_{ϵ}+2\rho {\stackrel{·}{q}}_{\beta }{\stackrel{·}{q}}_{ϵ}{\mathrm{sinq}}_{ϵ}-2\stackrel{·}{\rho }{\stackrel{·}{q}}_{\beta }{\mathrm{cosq}}_{ϵ}={\mathrm{\Delta g}}_z+f_z-u_{cz}\end{array}\right),---(1-2)$

其中q_ε为视线倾角，q_β为视线偏角。

具体实施方式三、本具体实施方式与具体实施方式二所述的一种非合作目标航天器相 对轨道姿态有限时间控制方法的区别在于，步骤二所述的建立姿态动力学模型和姿态运动学 模型的具体过程为：

用下标b表示体坐标系，t表示目标飞行器，c表示追踪飞行器，则追踪航天器姿态动力 学方程，即姿态动力学模型为：

$J_c{\stackrel{·}{\omega }}_{bc}+{\omega }_{bc}^{\times }{J}_c{\omega }_{bc}=T_c,---(1-3)$

其中，J_c＝[J_cxJ_cyJ_cz]^T是转动惯量，ω_bc＝[ω_xω_yω_z]^T是姿态角速度， T_c＝[T_cxT_cyT_cz]^T是控制力矩，

定义θ、ψ分别是追踪飞行器绕本体x、y、z轴的转角，则用欧拉角表示的姿态为：

从而获得姿态角速度为：

定义矩阵R为：

则姿态运动学模型为：

具体实施方式四、本具体实施方式与具体实施方式三所述的一种非合作目标航天器相 对轨道姿态有限时间控制方法的区别在于，步骤三所述的将相对轨道动力学模型、姿态动力 学模型和姿态运动学模型进行状态空间表示，获得相对轨道姿态动力学模型的具体过程为：

将式(1-2)、式(1-3)和式(1-7)表示为状态空间的形式：

$\left(\begin{array}{c}\stackrel{··}{\rho }\\ {\stackrel{··}{q}}_{ϵ}\\ {\stackrel{··}{q}}_{\beta }\\ {\stackrel{·}{\omega }}_x\\ {\stackrel{·}{\omega }}_y\\ {\stackrel{·}{\omega }}_z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\rho {\stackrel{·}{q}}_{ϵ}^2+\rho {\stackrel{·}{q}}_{\beta }^2{\cos }^2{q}_{ϵ}\\ -\frac{2\stackrel{·}{\rho }}{\rho }{\stackrel{·}{q}}_{ϵ}-{\stackrel{·}{q}}_{\beta }^2{\mathrm{sinq}}_{ϵ}{\mathrm{cosq}}_{ϵ}\\ \frac{2{\stackrel{·}{q}}_{\beta }{\stackrel{·}{q}}_{ϵ}{\mathrm{sinq}}_{ϵ}}{{\mathrm{cosq}}_{ϵ}}-\frac{2\stackrel{·}{\rho }{\stackrel{·}{q}}_{\beta }}{\rho }\\ \frac{(J_{cy}-J_{cz})}{J_{cx}}{\omega }_y{\omega }_z\\ \frac{(J_{cz}-J_{cx})}{J_{cy}}{\omega }_x{\omega }_z\\ \frac{(J_{cx}-J_{cy})}{J_{cz}}{\omega }_y{\omega }_x\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}{f}_x\\ \frac{f_y}{\rho }\\ \frac{-f_z}{{\mathrm{\rho cosq}}_{ϵ}}\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}-u_{cx}\\ \frac{-u_{cy}}{\rho }\\ \frac{u_{cz}}{{\mathrm{\rho cosq}}_{ϵ}}\\ \frac{T_{cx}}{J_{cx}}\\ \frac{T_{cy}}{J_{cy}}\\ \frac{T_{cz}}{J_{cz}}\end{array}\right),---(1-9)$

设

则式(1-8)和式(1-9)成为如下状态空间形式，即相对轨道姿态动力学模型为：

$\left(\begin{array}{c}{\stackrel{·}{x}}_1=A\left(x_1\right)x_2\\ {\stackrel{·}{x}}_2=f\left(x\right)+w\left(x\right)+g\left(x\right)u\end{array}\right),---(1-10)$

其中，

w(x)是系统的不确定性和外部干扰的总和，满足||w(x)||≤w_d，其中w_d>0，u∈Rⁿ是系统的 输入。

具体实施方式五、本具体实施方式与具体实施方式四所述的一种非合作目标航天器相 对轨道姿态有限时间控制方法的区别在于，步骤四所述的根据相对轨道姿态动力学模型和有 限时间控制理论获得有限时间连续控制器的具体过程为：

记辅助控制器：

v(x₁)＝-A^-1(x₁)K₁sign(x₁)tanh^α(|x₁|)，(1-11)

其中，K₁＝diag(k₁₁,...,k_1n)，k_1i>0，0<α<1，记sign(x)tanh^α(|x|)＝th^α(x)，则：

v(x₁)＝-A^-1(x₁)K₁th^α(x₁)，(1-12)

定义误差变量：

z＝x₂-v(x₁)，(1-13)

将式(1-12)和式(1-13)代入式(1-10)中，得：

$\begin{array}{c}{\stackrel{·}{x}}_1=A^{-1}\left(x_1\right)(z+v(x_1\left)\right)=-K_1{\mathrm{th}}^{\alpha }\left(x_1\right)+A\left(x_1\right)z\\ \stackrel{·}{z}=f\left(x\right)+g\left(x\right)u+w\left(x\right)-\stackrel{·}{v}\left(x_1\right)\end{array},---(1-14)$

则有限时间连续控制器为：

$u=g^{-1}\left(x\right)\left(\stackrel{·}{v}\right(x_1)-f(x)-w_{d}sign(z)-A^T(x_1)x_1-K_2{\mathrm{th}}^{\alpha }(z\left)\right),---(1-15)$

其中，K₂＝diag(k₂₁...k_2n)>0，w_d为系统不确定性与外界未知干扰的总和的上界。

本实施方式中涉及到有限时间稳定理论，具体如下：

考虑一个形式如下的非线性时变系统

$\stackrel{·}{x}=f\left(x\right),f\left(0\right)=0,x\in R^n,---(2-1)$

其中f:U→Rⁿ为开区域U上对x连续的函数，且开区域U包含原点。

引理1：对于非线性系统(1-1)，假设存在定义在Rⁿ原点邻域内的连续函数V(x)，且实 数c>0,0<α<1，满足：

(1)V(x)在中正定

(2)$\stackrel{·}{V}\left(x\right)+{\mathrm{cV}}^{\alpha }\left(x\right)\le 0,\forall x\in \hat{U}$

则系统(1-1)的原点是局部有限时间稳定。稳定时间取决于初始状态x(0)＝x₀，满足：

$T_x\left(x_0\right)\le \frac{V{\left(x_0\right)}^{1-\alpha }}{c(1-\alpha )},---2-2)$

对于原点一些开邻域中的所有x₀成立。若且V(x)径向无界(V(x)→+∞时，||×||→+∞)， 则系统(1-1)的原点是全局有限时间稳定。

引理2：假定x:[0,∞)→R一阶连续，且可微，而且t→∞时存在极限，那么若存在且有界，那么

本实施方式中，由于th^α(x₁)在x_1i＝0且时的微分为无穷大，为了避免这种奇异问题， 设置一个阈值λ来判断奇异，因此定义如下

$\stackrel{·}{v}\left(x_1\right)=\left(\begin{array}{cc}-{\stackrel{·}{A}}^{-1}\left(x_1\right)K_1{\mathrm{th}}^{\alpha }\left(x_1\right)-A^{-1}\left(x_1\right)\eta \left(x_1\right),& {\stackrel{·}{x}}_1\ne 0\\ 0,& {\stackrel{·}{x}}_1=0\end{array}\right),---(1-16)$

${\eta }_i\left(x_{1i}\right)=\left(\begin{array}{c}{k}_{1i}\alpha {\left|x_{1i}\right|}^{\alpha -1}{\stackrel{·}{x}}_{1i},\left|x_{1i}\right|\ge \lambda \\ k_{1i}\alpha {\left|{\Delta }_i\right|}^{\alpha -1}{\stackrel{·}{x}}_{1i},\left|x_{1i}\right|<\lambda \end{array}\right)$

其中λ和△_i都是小的正常数，x_1i为x₁的第i个元素，η_i(x_1i)为η(x₁)中的第i个元素。

因为f(x)、g(x)和tanh(x)都是连续函数，因此该控制器还是连续的。

将控制器代入式(1-14)得

$\begin{array}{c}{\stackrel{·}{x}}_1=-K_1{\mathrm{th}}^{\alpha }\left(x_1\right)+A\left(x_1\right)z\\ \stackrel{·}{z}=-K_2{\mathrm{th}}^{\alpha }\left(z\right)-A^T\left(x_1\right)x_1+w\left(x\right)-w_{d}sign\left(z\right)\end{array},---(1-17)$

证明：

第一步：证明全局渐近稳定

选取Lyapunov函数

$V=\frac{1}{2}{x}_1^T{x}_1+\frac{1}{2}{z}^{T}z$

则

$\left(\begin{array}{c}\stackrel{·}{V}=x_1^T{\stackrel{·}{x}}_1+z^T\stackrel{·}{z}\\ =x_1^T(-K_1{\mathrm{th}}^{\alpha }(x_1)+A(x_1\left)z\right)\\ +z^T(-K_2{\mathrm{th}}^{\alpha }(z)-A^T(x_1)x_1+w(x)-w_{d}sign(z\left)\right)\\ =-x_1^T{K}_1{\mathrm{th}}^{\alpha }\left(x_1\right)+x_1^{T}A\left(x_1\right)z-z^T{K}_2{\mathrm{th}}^{\alpha }\left(z\right)-z^T{A}^T\left(x_1\right)x_1\\ +z^{T}w\left(x\right)-z^T{w}_{d}sign\left(z\right)\\ =-x_1^T{K}_1{\mathrm{th}}^{\alpha }\left(x_1\right)-z^T{K}_2{\mathrm{th}}^{\alpha }\left(z\right)+z^{T}w\left(x\right)-z^T{w}_{d}sign\left(z\right)\end{array}\right)$

由于||w(x)||≤w_d，所以z^Tw(x)≤z^Tw_dsign(z)，因此

$\stackrel{·}{V}\le -x_1^T{K}_1{\mathrm{th}}^{\alpha }\left(x_1\right)-z^T{K}_2{\mathrm{th}}^{\alpha }\left(z\right)\le 0$

x₁和z的L₂范数有界，由v(x₁)和z的定义知x₂有界，对于绝大多数系统有界，由引理 2可知，当t→∞时，x₁→0，z→0，x₂→0，故系统(1-17)全局渐近稳定。

第二步：证明全局有限时间稳定

y＝tanh(x)曲线与y＝x曲线如图7所示，当x₁,z在x₁＝0,z＝0的邻域内时，即 ||x₁||≤δ,||z||≤δ,δ≤0.5，th^α(x₁)≈sig^α(x₁)，th^α(z)≈sig^α(z)，此时，辅助控制器为

v(x₁)＝-A^-1(x₁)K₁sig^α(x₁)，(1-18)

控制器为

$u=g^{-1}\left(x\right)\left(\stackrel{·}{v}\right(x_1)-f(x)-w_{d}sign(z)-K_2{\mathrm{sig}}^{\alpha }(z)-A^T(x_1\left)x_1\right),---(1-19)$

将控制器代入式(1-15)得

$\begin{array}{c}{\stackrel{·}{x}}_1=-K_1{\mathrm{sig}}^{\alpha }\left(x_1\right)+A\left(x_1\right)z\\ \stackrel{·}{z}=-K_2{\mathrm{sig}}^{\alpha }\left(z\right)-A^T\left(x_1\right)x_1-w_{d}sign\left(z\right)+w\left(x\right)\end{array},---(1-20)$

只需要证明系统(1-20)在||x₁||≤δ,||z||≤δ,δ≤0.5内全局有限时间稳定就说明系统(1-17)是 全局有限时间稳定。

选取Lyapunov函数

$V_1=\frac{1}{2}{x}_1^T{x}_1+\frac{1}{2}{z}^{T}z$

对Lyapunov函数进行求导，可以得到

$\begin{array}{c}{\stackrel{·}{V}}_1=x_1^T{\stackrel{·}{x}}_1+z^T\stackrel{·}{z}\\ =x_1^T(-K_1{\mathrm{sig}}^{\alpha }(x_1)+A(x_1\left)z\right)+z^T(-K_2{\mathrm{sig}}^{\alpha }(z)-A^T(x_1)x_1-w_{d}sign(z)+w(x\left)\right)\\ =-x_1^T{K}_1{\mathrm{sig}}^{\alpha }\left(x_1\right)+x_1^{T}A\left(x_1\right)z-z^T{K}_2{\mathrm{sig}}^{\alpha }\left(z\right)-z^T{A}^T\left(x_1\right)x_1+z^T\left(w\right(x)-w_{d}sign(z\left)\right)\\ =-x_1^T{K}_1{\mathrm{sig}}^{\alpha }\left(x_1\right)-z^T{K}_2{\mathrm{sig}}^{\alpha }\left(z\right)+z^T\left(w\right(x)-w_{d}sign(z\left)\right)\end{array},$

由于||w(x)||≤w_d，所以z^Tw(x)≤z^Tw_dsign(z)，因此

$\left(\begin{array}{c}{\stackrel{·}{V}}_1\le -x_1^T{K}_1{\mathrm{sig}}^{\alpha }\left(x_1\right)-z^T{K}_2{\mathrm{sig}}^{\alpha }\left(z\right)\\ =-\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}{k}_{1i}{\left|x_{1i}\right|}^{1+\alpha }-\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}{k}_{2i}{\left|z_i\right|}^{1+\alpha }\\ \le -{\bar{k}}_1{\left(\frac{1}{2}\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}{x}_{1i}^2\right)}^{\mu }-{\bar{k}}_{21}{\left(\frac{1}{2}\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}{z}_i^2\right)}^{\mu }\\ \le -\bar{k}{V}_1^{\mu }\end{array}\right)$

其中$\mu =\frac{(1+\alpha )}{2},\frac{1}{2}<\mu <1,$k_1min＝min{k_1i},k_2min＝min{k_2i}，${\bar{k}}_1=2^{\mu }{k}_{1\min },{\bar{k}}_2=2^{\mu }{k}_{2\min },$$\bar{k}=min\{{\bar{k}}_1,{\bar{k}}_2\}.$

所以，根据引理1可以知道，对于任意给定的初始值x(0)＝x₀，x₁和z将在时间T之内稳 定到原点，T为稳定时间。由v(x₁)和z的定义可知，当x₁＝0,z＝0，可以得到x₂＝0，从而系 统(1-20)全局有限时间稳定。

故系统(1-17)是全局有限时间稳定。

下面将对本发明所提出的方法进行验证，首先对期望轨道和期望姿态进行计算。

(1)期望轨道

追踪航天器轨道期望之所以发生变化是因为目标的姿态运动导致了特征点在视线坐标系 的相对位置变化。记目标空间飞行器特征点在其体坐标系下的单位矢量方向为n_b，则-n_b就 是进行视线跟踪的期望轨道方向，所以，将追踪航天器的期望方向投影到惯性系得：

${\rho }_i=C_i^{bt}(-n_b{\rho }_f)={\left(\begin{array}{ccc}{x}_i& y_i& z_i\end{array}\right)}^T,---(1-21)$

其中就是将目标体坐标系变换到惯性系的矩阵。在追踪航天器视线坐标系下表示的最终期 望跟踪方向为ρ_l＝[ρ_f00]^T，ρ_f为期望的相对距离，从而得到在惯性坐标系下的表达式：

${\rho }_i=C_i^l{\rho }_l,---(1-22)$

其中就是将视线坐标系变换到惯性坐标系的矩阵。

根据式(1-21)和式(1-22)容易得到期望视线倾角q_εf和期望的视线偏角q_βf。

对惯性坐标系而言，目标体坐标系是转动的，将该角速度投影到惯性坐标系下，记为ω_bt,i， 可由下式计算：

${\omega }_{bt,i}=C_i^{bt}{\omega }_{bt},---(1-23)$

其中ω_bt是姿态角速度，其是目标相对于惯性坐标系的，则两航天器之间距离的变化率为：

${\stackrel{·}{\rho }}_i={\left(\begin{array}{ccc}{\stackrel{·}{x}}_i& {\stackrel{·}{y}}_i& {\stackrel{·}{z}}_i\end{array}\right)}^T={\left({\omega }_{bt,i}\right)}^{\times }{\left(\begin{array}{ccc}{x}_i& y_i& z_i\end{array}\right)}^T,---(1-24)$

这样，根据式(1-22)和式(1-24)容易得到期望的视线倾角角速率和期望的视线偏角速率

(2)期望姿态

在进行近距离的非合作目标空间飞行器相对轨道的视线跟踪时，要求追踪飞行器能够实 时监视目标。假设对测量设备进行安装时，其中心轴线与x_bcf轴方向相同，x_bc的方向与视线 轴方向相同，则可以得到：

$x_{bcf}=\frac{{\rho }_i}{{\rho }_f},y_{bcf}=\frac{{\rho }_i^{\times }\hat{s}}{\left|\right|{\rho }_i^{\times }\hat{s}|{|}_2},z_{bcf}=x_{bcf}^{\times }{y}_{bcf},---(1-25)$

式中是惯性坐标系下太阳光线的方向，在进行跟踪时，要求入射光线垂直太阳能帆板，故 安装太阳能帆板时，要求沿着追踪航天器体坐标系y轴。

再由下式

$I_3=C_{bc}^i\left(\begin{array}{ccc}{x}_{bcf}& y_{bcf}& z_{bcf}\end{array}\right),---(1-26)$

即可求解追踪航天器的期望姿态角θ_f、ψ_f，再对式(1-25)进行求导再联立式(1-26) 即可求解出追踪航天器的期望姿态角速度。

选取实际值与期望值之差作为状态变量，设开始时两航天器的相对距离为260m，首先转 移到距离目标100m处，再进行视线跟踪。

目标在惯性系的初始位置是[2000，0，0]m，初始本体系与惯性系对齐，运行过程中角速度 在本体系中是[-0.00250.002-0.002]rad/s，特征点在本体系中的单位方向矢量是 轨道机动在本体系每个轴上为[-1,1]m/s²上服从均匀分布。

追踪航天器初始视线倾角为0.9rad，初始视线偏角为-3.1rad，初始姿态角为[0.2,0,3]rad， 设太阳光照方向为转动惯量J_c＝[30,25,20]，在实际系统中，控制器的 输出总是会饱和的，故在仿真中限制每轴所能提供的最大控制加速度为5m/s²，最大控制力矩 为1Nm。按照式(1-15)设计控制器，w_d＝diag(1,1,1)，K₁＝diag(1.5,0.1,0.1,0.2,0.1,0.1)， K₂＝diag(75,2.5,4,2,3,3.5)，α＝0.8，λ＝0.01，仿真时间1000s，定步长为0.01s。

图2为在接近和跟踪非合作目标时，轨道相关参数随时间变化曲线，包括相对距离、视 线倾角和视线偏角，从图中可以看出，在大约40s的时候，从相距目标转移到了，并保持跟 踪上期望轨道。

图3为在接近和跟踪非合作目标时，姿态角随时间变化曲线，根据图可以得到，大约40s 后，姿态角快速趋向于期望值，能够在期望值附近运动，实现了对非合作目标航天器特定方 向指向。

图4为相对轨道的控制加速度的变化曲线，根据图可以看出，由于目标航天器是处于逃 逸状态，追踪航天器为了能够跟踪上目标航天器，其控制加速度一直保持输出。

图5为追踪航天器的姿态控制力矩变化曲线，根据图可以看出，大约在40s后，追踪航 天器完成姿态指向后，追踪航天器姿态控制力矩的输出为0。

图6为轨道姿态参数与相应的期望参数之间的偏差随时间变化曲线，e1、e2、e3、e4、 e5、e6分别为相对距离、视线倾角、视线偏角、的偏差，可以看出，当跟踪上期望信号之后， 能够保持实际的轨道姿态参数偏离期望值非常小。