故障相关表决系统可靠性数学模型的数值解算方法

摘要

本发明公开了一种故障相关表决系统可靠性数学模型的数值解算方法，包括步骤1，获取故障相关表决系统可靠性数学模型；步骤2，化简可靠度公式；步骤3，对等效时间的消元；步骤4，将可靠度公式中的多重积分整理为累次积分；步骤5，对可靠度公式中的多次积分使用伪定值高斯法，得到多重积分的解，最终代入可靠度公式中得到故障相关表决系统可靠度。本发明方法适用于包括非指数分布的任意分布形式的故障相关表决系统，扩大了解析方法的适用范围。本发明从数值解算方法入手，不需要大量数据进行仿真，可以有效提高计算速度和精度。

说明书

技术领域

本发明涉及一种基于伪定值高斯法解算故障相关表决系统可靠性数学模型的方法，属于 可靠性技术领域。

背景技术

一般情况下的故障相关系统可靠性数学模型包含积分项的求解问题。由于方程中包含复 杂的积分项，仅仅是求积分项中被积函数的原函数就是一件十分困难的事情，在最简单的情 况下(由2个完全相同的故障相关单元组成的故障相关系统)，通过普通积分方法计算也是一 件非常费力的事情。因此常规的求原函数进行积分求解的方法不适用。同时，公式中含有几 重积分，由系统结构来确定，每个积分的积分区域都为一般区域，即除了最外层的积分上下 限为定值，其余每一重的上下限都包含变量，这使得不能直接使用现有的求多重积分的函数 进行计算。

鉴于此，目前的解算方法多为仿真解算方法。仿真解算方法需要辅助以相应的程序，这 需要大量的人力物力。而为了满足最终结果的精确度，需要进行大量仿真。这就造成了仿真 解算的精度较低，并且计算速度较慢。

发明内容

本发明的目的是为了解决上述问题，提出一种解算故障相关表决系统可靠性数学模型的 方法，能够快速计算得到满足精度要求的故障相关表决系统可靠度。

本发明变换故障相关表决系统可靠性数学模型，并引入解决负载问题的思路，对该模型 进行简化，最后利用伪定值高斯法对得到的重积分进行累次积分，得到故障相关表决系统的 可靠度。

本发明使用了数值解算方法进行了解算。为了避免求积分项的原函数，采用数值积分进 行数值近似估计计算，本发明引用考虑负载影响的可靠性相关问题，将故障相关系统可靠性 数学模型变形化简；将用于一重积分的高斯求积法进行改进，提供一种可应用于一般区域的 n重积分数值解算方法，称之为伪定值高斯法。

一种故障相关表决系统可靠性数学模型的数值解算方法，包括以下几个步骤：

步骤1，获取故障相关表决系统可靠性数学模型；

步骤2，根据负载影响下的可靠性的初始公式推导出R(t；s_N-i)和f(t；s_N-i)的表达式，并 将其代入故障相关表决系统可靠度计算公式中，化简可靠度公式；

步骤3，将等效时间递推公式整理化简，列出等效时间的表达式，并代入故障相关表决 系统可靠度计算公式，实现对等效时间的消元；

步骤4，将可靠度公式中的多重积分整理为累次积分；

步骤5，对可靠度公式中的多次积分使用伪定值高斯法，得到多重积分的解，最终代入 可靠度公式中得到故障相关表决系统可靠度。

本发明的优点在于：

(1)该方法适用于包括指数分布在内的各类分布的故障相关表决系统，使用范围更加广 泛。

(2)本发明从数值解算方法入手，不需要大量数据进行仿真，有效提高计算速度和精度。

(3)本发明将高斯求积法进行了改进，提供了一种适用于一般的多重积分求解的数值解 算方法。

(4)本发明可以制作成计算机算法，通过输入参数得到故障相关表决系统可靠度。

附图说明

图1为本发明的方法流程图。

具体实施方式

下面将结合附图和实施例对本发明作进一步的详细说明。

本发明的一种故障相关表决系统可靠性数学模型的数值解算方法，首先利用负载影响可 靠性的公式及思想，推导整理出相关的公式，并带入到故障相关系统可靠性数学模型中对其 进行变形化简。再将该数学模型中的积分整理为累次积分。对累次积分使用伪定值高斯法， 最终实现故障相关系统可靠性数学模型的数值解算，流程如图1所示，包括以下几个步骤：

步骤1，获取故障相关表决系统可靠性数学模型；

本发明针对的是故障相关表决系统，即所有单元间均存在故障相关性的系统，组成单元 个数大于等于2。系统中的组成单元共同承载系统的工作负载，组成单元发生一次或多次故 障后，剩余组成单元的失效特性(故障率或概率密度函数)会发生改变。同时故障相关表决 系统是一个考虑故障相关性的N中取K表决结构。N是指故障相关系统中的故障相关单元数 量，当正常工作的故障相关单元数大于等于最小工作单元数K时，故障相关系统能够正常工 作，反之，故障相关系统发生故障。

同时，本发明所针对的故障相关表决系统需满足以下几个条件：

第一，总负载恒定：系统总负载不随时间变化，是恒定的；

第二，故障相关表决系统中的组成单元服从相同分布，且参数相同；

第三，当其中某些故障相关单元失效后，一个恒定的总负载被等值均分在每一个剩 余工作单元上。

对上述系统，可利用下面的故障相关表决系统可靠度计算公式(简称可靠度公式)获取 系统可靠性模型：

$\left(\begin{array}{c}R=\underset{i=K}{\overset{N}{\Sigma }}\frac{N!}{i!}{\int }_0^t{\int }_{t_1}^t\mathrm{...}{\int }_{t_{N-i-1}}^{t}f(t_1;s_{N-0})f(t_2-t_1+{\tilde{t}}_1;s_{N-1})\mathrm{...}f(t_{N-i}-t_{N-i-1}+{\tilde{t}}_{N-i-1};s_{i+1})\\ ·{\left(R\right(t-t_{N-i}+{\tilde{t}}_{N-i};s_i\left)\right)}^i{\mathrm{dt}}_{N-i}\mathrm{...}{\mathrm{dt}}_2{\mathrm{dt}}_1\end{array}\right)$

R——故障相关表决系统可靠度

t——故障相关表决系统可靠度对应的时间

i——单元失效的序列号

t_i——第i个失效的单元的失效时间

s_N-i——i个单元失效后，各单元所承担的负载

——第N-i-1个失效的单元失效后，下一个将要失效的单元承担起新的负载的瞬间 的等效时间

R(t；s_N-i)——i个单元失效后，剩余单元在t时刻的可靠度

f(t；s_N-i)——i个单元失效后，下一个即将失效的单元在t时刻的失效概率密度

其中，等效时间是指某单元失效后的瞬间，剩余工作单元在新负载下，为适应新的失效 特性，假设出的工作时间。

步骤2，根据负载影响下的可靠性的初始公式推导出R(t；s_N-i)和f(t；s_N-i)的表达式，并 将其代入故障相关表决系统可靠度计算公式中，化简可靠度公式；

初始公式为：

(本发明中设α＝1)

可得，

f(t；s)＝φ(s)·f₀(t·φ(s))

其中R₀(t)是一般的寿命分布的可靠度函数(可以是指数分布、Weibull分布或任意分布 的可靠度函数)；f₀(t)是一般的寿命分布的概率密度函数；s表示元件的负载指标，可以是电 压、电流或功率等与元件寿命紧密相关的物理量，代表元件所处的工作环境；φ(s)代表了负 载对系统寿命的影响，体现了对原寿命可靠度(或分布函数)曲线在时间轴上的拉伸倍数。

因为系统的组成单元服从均分负载规则，所以各单元承担的负载是总负载(s_total)除以 工作单元的个数的值，即

$s_{N-i}=\frac{s_{total}}{N-i}$

假设当所有单元完好时，R(t,s_N-0)＝R₀(t)，故φ(s_N-i)的常用表达式为

$\phi \left(s_{N-i}\right)=\frac{s_{N-i}}{s_{N-0}}=\frac{\frac{s_{tolal}}{N-i}}{\frac{s_{total}}{N}}=\frac{N}{N-i}$

可得，R(t；s_N-i)和f(t；s_N-i)的表达式为：

$R(t-t_{N-i}+{\tilde{t}}_{N-i};s_{N-i})=R_0\left(\frac{N}{N-i}(t-t_{N-i}+{\tilde{t}}_{N-i})\right)$

$f(t_{i+1}-t_i+{\tilde{t}}_i;s_{N-i})=\frac{N}{N-i}{f}_0\left(\frac{N}{N-i}(t_{i+1}-t_i+{\tilde{t}}_i)\right)$

代入可靠度公式，得

$\left(\begin{array}{c}R=\underset{i=K}{\overset{N}{\Sigma }}\frac{N!}{i!}{\int }_0^t{\int }_{t_1}^t\mathrm{...}{\int }_{t_{N-i-1}}^t{f}_0\left(t_1\right)\frac{N}{N-1}{f}_0\left(\frac{N}{N-1}\right(t_2-t_1+{\tilde{t}}_1\left)\right)\mathrm{...}\frac{1}{i+1}{f}_0\left(\frac{N}{i+1}\right(t_{N-i}-t_{N-i-1}+{\tilde{t}}_{N-i-1}\left)\right)\\ ·{\left(R_0\right(\frac{N}{N-i}\left(t-t_{N-i}+{\tilde{t}}_{N-i}\right)\left)\right)}^i{\mathrm{dt}}_{N-i}\mathrm{...}{\mathrm{dt}}_2{\mathrm{dt}}_1\end{array}\right)$

步骤3，将等效时间递推公式整理化简，列出等效时间的表达式，并代入故障相关表决 系统可靠度计算公式，从而实现对等效时间的消元；

等效时间表达式的递推公式为：

由可靠度不能突变知，在第(k-1)个单元失效瞬间，负载突变瞬间可靠度不能突变，故 有：

${\tilde{t}}_{i+1}=(t_{i+1}-t_i+{\tilde{t}}_i)·\frac{\phi \left(s_{N-i}\right)}{\phi \left(s_{N-i-1}\right)},i\ge 0$

即

$\left(\begin{array}{c}{\tilde{t}}_{i+1}=(t_{i+1}-t_i+{\tilde{t}}_i)\frac{\frac{N}{N-i}}{\frac{N}{N-i-1}}\\ =(t_{i+1}-t_i+{\tilde{t}}_i)\frac{N-i-1}{N-i}\end{array}\right)$

依次将的表达式代入可靠度公式中。

步骤4，将可靠度公式中的多重积分整理为累次积分；

累次积分形式是指：

$\left(\begin{array}{c}R=\underset{i=k}{\overset{N}{\Sigma }}\frac{N!}{i!}{\int }_0^t{{\mathrm{dt}}_1\int }_{t_1}^t{\mathrm{dt}}_2\mathrm{...}{\int }_{t_{N-i-1}}^t{f}_0\left(t_1\right)\frac{N}{N-1}{f}_0\left(\frac{N}{N-1}\right(t_2-t_1+{\tilde{t}}_1\left)\right)\mathrm{...}\\ \frac{N}{i+1}{f}_0\left(\frac{N}{i+1}\right(t_{N-i}-t_{N-i-1}+{\tilde{t}}_{N-i-1}\left)\right)·{\left(R_0\right(\frac{N}{N-i}\left(t-t_{N-i}+{\tilde{t}}_{N-i}\right)\left)\right)}^i{\mathrm{dt}}_{N-i}\end{array}\right)$

步骤5，对可靠度公式中的多次积分使用伪定值高斯法，得到多重积分的解，最终代入 可靠度公式中得到故障相关表决系统可靠度。

高斯求积法公式：

${\int }_a^{b}f\left(x\right)dx=\frac{b-a}{2}{\int }_{-1}^{1}f(\frac{b-a}{2}x+\frac{a+b}{2})dx\approx \frac{b-a}{2}\underset{k=1}{\overset{n}{\Sigma }}{A}_{k}f(\frac{b-a}{2}{x}_k+\frac{a+b}{2})$

根据精度要求，A_k和x_k可通过查表或计算获得，A_k表示不依赖于f(x)的求积系数，叫 做高斯系数，x_k表示满足代数精度的点，叫做高斯点；

伪定值高斯法是在高斯求积法的基础上进行改进的算法，指将每一层都看作定积分，即 将每层积分下限中的变量看作是一个定值，逐层进行解算，对每层解算时，将该层除积分变 量外的其他变量都看作定值，从而实现逐层消元。故而该方法可应用于一般区域的n重积分 的数值解算。

即设$\left(\begin{array}{c}g(t_1,t_2,\mathrm{...},t_{N-i})=f_0\left(t_1\right)\frac{N}{N-1}{f}_0\left(\frac{N}{N-1}\right(t_0-t_1+{\tilde{t}}_1\left)\right)\mathrm{...}\\ \frac{N}{i+1}{f}_0\left(\frac{N}{i+1}\right(t_{N-i}-t_{N-i-1}+{\tilde{t}}_{N-i-1}\left)\right)·{\left(R_0\right(\frac{N}{N-i}\left(t-t_{N-i}+{\tilde{t}}_{N-i}\right)\left)\right)}^i\end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{c}G\left(t_1,t_2,\mathrm{...},t_{N-i-1}\right)={\int }_{t_{N-i-1}}^{t}g(t_1,t_2,\mathrm{...},t_{N-i}){\mathrm{dt}}_{N-i}\\ =\frac{t-t_{N-i-1}}{2}\underset{k=1}{\overset{5}{\Sigma }}{A}_{k}g(t_1,t_2,\mathrm{...},t_{N-i-2},\frac{t-t_{N-i-1}}{2}{x}_k+\frac{t_{N-i-1}+t}{2})\end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{c}H\left(t_1,t_2,\mathrm{...},t_{N-i-2}\right)={\int }_{t_{N-i-2}}^{t}G\left(t_1,t_2,\mathrm{...},t_{N-i-1}\right){\mathrm{dt}}_{N-i-1}\\ =\frac{t-t_{N-i-2}}{2}\underset{k=1}{\overset{5}{\Sigma }}{A}_{k}G(t_1,t_2,\mathrm{...},t_{N-i-3},\frac{t-t_{N-i-2}}{2}{x}_k+\frac{t_{N-i-2}+t}{2})\\ \mathrm{...}\\ \mathrm{...}\\ I={\int }_0^{t}M\left(t_1\right){\mathrm{dt}}_1\\ =\frac{t}{2}\underset{k=1}{\overset{5}{\Sigma }}{A}_{k}M\left(\frac{t}{2}{x}_k\frac{t}{2}\right)\end{array}\right)$

得到表达式中所有积分项的值后，代入可靠度公式，得到最终系统的可靠度的值。

工程上利用这个本发明解算结果进行可靠性的预计和评估，对可靠性工作的开展具有十 分重要的意义。

实施例：

以某散热系统为例，该散热系统由三个完全相同的散热设备组成，三个散热设备共同承 担系统的总负载，并且服从均分负载的原则。只要有一个散热设备正常工作，则系统可以正 常工作。

各单元都服从指数分布，故障率λ＝0.0001，计算当时间t＝1500h时，系统的可靠度。

根据本发明的故障相关表决系统可靠性数学模型的数值解算方法，其步骤如下：

步骤1，获取该故障相关表决系统可靠性数学模型；

该系统的可靠度公式为：

$\left(\begin{array}{c}R=\frac{3!}{1!}{\int }_0^t{\int }_{t_1}^{t}f(t_1;s_3)f(t_2-t_1+{\tilde{t}}_1;s_2)·{\left(R\right(t-t_2+{\tilde{t}}_2;s_1\left)\right)}^1{\mathrm{dt}}_2{\mathrm{dt}}_1\\ +\frac{3!}{2!}{\int }_0^{t}f(t_1;s_3)·{\left(R\right(t-t_1+{\tilde{t}}_1;s_2\left)\right)}^2{\mathrm{dt}}_1+{\left(R\right(t;s_3\left)\right)}^3\end{array}\right)$

步骤2，根据负载影响下的可靠性的初始公式推导出R(t；s_N-i)和f(t；s_N-i)的表达式，并 将其代入故障相关表决系统可靠度计算公式中，化简可靠度公式；

代入，得

$\left(\begin{array}{c}R=6{\int }_0^t{\int }_{t_1}^t{f}_0\left(t_1\right)\frac{3}{2}{f}_0\left(\frac{3}{2}(t_2-t_1+{\tilde{t}}_1)\right)·R_0\left(3\left(t-t_2+{\tilde{t}}_2\right)\right){\mathrm{dt}}_2{\mathrm{dt}}_1\\ +3{\int }_0^t{f}_0\left(t_1\right)·{\left(R_0\right(\frac{3}{2}\left(t-t_1+{\tilde{t}}_1\right)\left)\right)}^2{\mathrm{dt}}_1+{\left(R_0\right(t\left)\right)}^3\end{array}\right)$

步骤3，根据等效时间递推公式列出等效时间的表达式，并代入故障相关表决系统可靠 度计算公式；

该散热性中，

${\tilde{t}}_1=\frac{2}{3}{t}_1,$

${\tilde{t}}_2=\frac{1}{2}(t_2-\frac{1}{3}{t}_1).$

代入可靠度计算公式中可得

$\left(\begin{array}{c}R=9{\int }_0^t{\int }_{t_1}^t{f}_0\left(t_0\right)f_0\left(\frac{3}{2}\right(t_2-\frac{1}{3}{t}_1\left)\right)·R_0\left(3\right(t-\frac{1}{2}{t}_2-\frac{1}{6}{t}_1\left)\right){\mathrm{dt}}_2{\mathrm{dt}}_1\\ +3{\int }_0^t{f}_0\left(t_1\right)·R_0{(\frac{3}{2}t-\frac{1}{2}{t}_1)}^2{\mathrm{dt}}_1+{\left(R_0\right(t\left)\right)}^3\end{array}\right)$

步骤4，将可靠度公式中的多重积分整理为累次积分；

本案例的可靠度公式可整理为

$\left(\begin{array}{c}R=9{\int }_0^t{\mathrm{dt}}_1{\int }_{t_1}^t{f}_0\left(t_1\right)f_0\left(\frac{3}{2}(t_2-\frac{1}{3}{t}_1)\right)·R_0\left(3\left(t-\frac{1}{2}{t}_2-\frac{1}{6}{t}_1\right)\right)){\mathrm{dt}}_2\\ +3{\int }_0^t{f}_0\left(t_1\right)·R_0{\left(\frac{3}{2}t-\frac{1}{2}{t}_1\right)}^2{\mathrm{dt}}_1+{\left(R\right(t_0\left)\right)}^3\end{array}\right)$

步骤5，对可靠度公式中的累次积分使用伪定值高斯法，得到故障相关表决系统可靠度。

对本案例中的可靠度公式使用伪定值高斯法：

$\left(\begin{array}{c}R=9{\int }_0^t\frac{t-t_1}{2}\underset{k=1}{\overset{5}{\Sigma }}{A}_k{f}_0\left(t_1\right)f_0\left(\frac{3}{2}\right(\frac{t-t_1}{2}{x}_k+\frac{t+t_1}{2}-\frac{1}{3}{t}_1\left)\right)·R_0\left(3\right(t-\frac{1}{2}\left(\frac{t-t_1}{2}{x}_k+\frac{t+t_1}{2}\right)-\frac{1}{6}{t}_1\left)\right){\mathrm{dt}}_1\\ +3{\int }_0^t{f}_0\left(t_1\right)·R_0{(\frac{3}{2}t-\frac{1}{2}{t}_1)}^2{\mathrm{dt}}_1+{\left(R_0\right(t\left)\right)}^3\\ =\frac{9t}{2}\underset{k=1}{\overset{5}{\Sigma }}{A}_k\left[\frac{t-(\frac{t}{2}{x}_k+\frac{t}{2})}{2}\underset{k=1}{\overset{5}{\Sigma }}{A}_k{f}_0\left(\frac{3}{2}\right(\frac{t-(\frac{t}{2}{x}_k+\frac{t}{2})}{2}{x}_k+\frac{t+(\frac{t}{2}{x}_k+\frac{t}{2})}{2}-\frac{1}{3}(\frac{t}{2}{x}_k+\frac{t}{2})\right))\\ f_0(\frac{t}{2}{x}_k+\frac{t}{2})·R_0\left(3\right(t-\frac{1}{2}\left(\frac{t-(\frac{t}{2}{x}_k+\frac{t}{2})}{2}{x}_k+\frac{t+(\frac{1}{2}{x}_k+\frac{t}{2})}{2}\right)-\frac{1}{6}\left(\frac{t}{2}{x}_k+\frac{t}{2}\right)\left)\right)]+\\ \frac{3t}{2}\underset{k=1}{\overset{5}{\Sigma }}{A}_k{f}_0(\frac{t}{2}{x}_k+\frac{t}{2})·R_0{(\frac{3}{2}t-\frac{1}{2}(\frac{t}{2}{x}_k+\frac{t}{2}\left)\right)}^2+{\left(R\right(t\left)\right)}^3\end{array}\right)$

代入数值，得：R＝0.999497。