基于提升结构的两通道双正交图滤波器组设计方法

摘要

本发明公开一种基于提升结构的两通道双正交图滤波器组设计方法，其基于单级提升结构，能有效控制分析和综合频谱核的频率特性。其利用单级提升结构，将分析和综合频谱核表示为关于两个提升滤波器的函数，使其自动满足重构条件，从而将对分析和综合子带滤波器的优化转化为对两个提升滤波器的优化，即分析和综合滤波器的频率特性可描述为关于提升滤波器的函数，通过求解带约束的二次规划问题优化，以获得良好的频率特性。本发明方法在保证完全重构特性的前提下获得良好了的频率特性。

说明书

技术领域

本发明涉及多速率信号处理领域，具体涉及一种基于提升结构的两通道 双正交图滤波器组设计方法。

背景技术

图(graph)是一种有效描述非规则的几何结构的模型。社交网络、无线传 感器网络、金融网络等均可用图进行描述，图的节点表示数据所在的位置， 数据的大小可以用图节点信号来表示，而图中节点之间的连线可以表示不同 数据节点之间的关联性。然而，在实际应用中，图数据量十分庞大，对全图 的处理将带来十分巨大的计算复杂度，往往无法实现，从而图信号的处理成 为了关键，特别是图信号的多分辨分析。

目前，有学者提出了适用于图信号处理的小波变换/滤波器组。典型的例 子有：适用于交通网络图的类小波变换，适用于无线传感器网络图的两通道 可逆滤波器组。在这些工作中，两通道双正交图滤波器组是最为优秀的结构 之一，其具备临界采样、紧支撑、完全重构等优点。然而，目前却只有一种 方法用于该类结构的设计，但由于该方法基于多项式分解，因而设计中无法 兼顾子带滤波器的频率特性。

发明内容

本发明所要解决的技术问题是提供一种基于提升结构的两通道双正交图 滤波器组设计方法，其所设计的滤波器能在保证重构特性的前提下获得良好 的频率特性。

为解决上述问题，本发明是通过以下技术方案实现的：

基于提升结构的两通道双正交图滤波器组设计方法，包含如下步骤：

步骤1、将两通道图滤波器组的分析子带滤波器H_i和综合子带滤波器G_i分别表示为关于分析频谱核和综合频谱核的函数；即

$H_i=\underset{\lambda \in \sigma \left(G\right)}{\Sigma }{h}_i\left(\lambda \right)P_{\lambda },G_i=\underset{\lambda \in \sigma \left(G\right)}{\Sigma }{g}_i\left(\lambda \right)P_{\lambda },i=\mathrm{0,1}$①

式中，H_i为第i个分析子带滤波器，G_i为第i个综合子带滤波器，h_i(λ)为 第i个分析子带滤波器频谱核在特征根λ处的取值，g_i(λ)为第i个综合子带滤 波器频谱核在特征根λ处的取值，P_λ为特征根λ对应的正交投影矩阵，λ为图 G拉普拉斯矩阵的特征根，σ(G)为图G拉普拉斯矩阵的特征根集合，i是子带 滤波器的序号；

步骤2、进行变量替换x＝λ-1，并引入单级提升结构，将第0个分析子 带滤波器频谱核在变量x处的取值和第0个综合子带滤波器频谱核在变 量x处的取值表示为关于分析提升滤波器和综合提升滤波器的函数，即：

${\tilde{h}}_0\left(x\right)=\frac{1}{2}[\sqrt{2}+x·s\left(x^2\right)],{\tilde{g}}_0\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}[2+x^{-1}t\left(x^2\right)-\frac{s\left(x^2\right)t\left(x^2\right)}{\sqrt{2}}]$②

式中，为第0个分析子带滤波器频谱核在变量x处的取值，为 第0个综合子带滤波器频谱核在变量x处的取值，s(x²)为分析提升滤波器， t(x²)为综合提升滤波器；

步骤3、优化分析提升滤波器s(x²)，即求解以下优化问题：

③

式中，λ_s是阻带截止频率，c_h(x)是分析子带滤波器频谱核对应的频率向 量，s是由分析提升滤波器系数构成的向量，U_h是分析子带滤波器频谱核对 应的阻带能量矩阵，r_h是分析子带滤波器频谱核对应的阻带能量向量；

步骤4、固定分析提升滤波器s(x²)，优化综合提升滤波器t(x²)，即求解 以下优化问题：

$\left(\begin{array}{cc}\underset{t}{\min }& {\int }_{{\lambda }_s-1}^1{\left|{\tilde{g}}_0\left(x\right)\right|}^{2}dx=t^T{U}_{g}t+r_g^{T}t+2-{\lambda }_s\\ s.t.& \sqrt{2}+c_g^T\left(x_k\right)t\le ϵ,\\ & \sqrt{2}+c_g^T\left(x_k\right)t\ge -ϵ,x_k={\lambda }_k={\lambda }_s-1+k\left(2-{\lambda }_s\right)/N,k=0,\mathrm{...},N\end{array}\right)$④

式中，λ_s是阻带截止频率，是第0个综合子带滤波器频谱核在变量x 处的取值，t是由综合提升滤波器系数构成的向量，U_g是综合子带滤波器频 谱核对应的阻带能量矩阵，r_g是综合子带滤波器频谱核对应的阻带能量向量， c_g(x)是综合子带滤波器频谱核对应的频率向量，ε是容忍因子；

步骤5、将步骤3优化得到的分析提升滤波器s(x²)和步骤4优化得到的 综合提升滤波器t(x²)带入公式②中，得到第0个分析子带滤波器频谱核在变 量x处的取值和第0个综合子带滤波器频谱核在变量x处的取值

步骤6、进行变量反替换λ＝x+1，得到第0个分析子带滤波器频谱核在特 征根λ处的取值h₀(λ)和第0个综合子带滤波器频谱核在特征根λ处的g₀(λ)；

步骤7、将步骤6所得的第0个分析子带滤波器频谱核在特征根λ处的取 值h₀(λ)和第0个综合子带滤波器频谱核在特征根λ处的g₀(λ)带入公式⑤中， 得到第1个分析子带滤波器频谱核在特征根λ处的取值h₁(λ)和第1个综合子 带滤波器频谱核在特征根λ处的g₁(λ)，即

h₁(λ)＝g₀(2-λ)，g₁(λ)＝h₀(2-λ)⑤。

与现有技术相比，本发明基于单级提升结构，能有效控制分析和综合频 谱核的频率特性。其利用单级提升结构，将分析和综合频谱核表示为关于两 个提升滤波器的函数，使其自动满足重构条件，从而将对分析和综合子带滤 波器的优化转化为对两个提升滤波器的优化，即分析和综合滤波器的频率特 性可描述为关于提升滤波器的函数，通过求解带约束的二次规划问题优化 s(x),t(x)，以获得良好的频率特性。本发明方法在保证完全重构特性的前提下 获得良好了的频率特性。

附图说明

图1是图滤波器组的结构图。

图2是子带滤波器长度较低时的优化结果图，其中(a)为现有方法设计 所得的图滤波器，(b)为本发明方法设计所得的图滤波器。PRV表示重构特 性。

图3是子带滤波器长度较高时的优化结果图，其中(a)为现有算法设计 所得的图滤波器，(b)为本发明算法设计所得的图滤波器。PRV表示重构特 性。

图4是本发明方法设计的图滤波器组对于密尼苏达交通网络的子带分解 图，其中(a)为LL子带分解图，(b)为LH子带分解图，(c)为HL子带分 解图，(d)为HH子带分解图。

具体实施方式

一种基于提升结构的两通道双正交图滤波器组设计方法，其包含如下步 骤：

第一步：两通道图滤波器组的结构如图1所示。其分析和综合子带滤波 器表示为关于分析和综合频谱核的函数：

$H_i=\underset{\lambda \in \sigma \left(G\right)}{\Sigma }{h}_i\left(\lambda \right)P_{\lambda },G_i=\underset{\lambda \in \sigma \left(G\right)}{\Sigma }{g}_i\left(\lambda \right)P_{\lambda },i=0,1---\left(1\right)$

式中，H_i为第i个分析子带滤波器，G_i为第i个综合子带滤波器，是h_i(λ) 为第i个分析子带滤波器频谱核在特征根λ处的取值，g_i(λ)为第i个综合子带 滤波器频谱核在特征根λ处的取值，P_λ为特征根λ对应的正交投影矩阵。λ为 图G拉普拉斯矩阵的特征根，σ(G)图G拉普拉斯矩阵的特征根集合。i是子带 滤波器的序号。

如果满足h₁(λ)＝g₀(2-λ),g₁(λ)＝h₀(2-λ)，双正交条件为：

$h_0\left(\lambda \right)g_0\left(\lambda \right)+h_0(2-\lambda )g_0(2-\lambda )=2,\forall \lambda \in [0,2]---\left(2\right)$

式中，h₀(λ)为第0个分析子带滤波器频谱核在特征根λ处的取值，g₀(λ)为 第0个综合子带滤波器频谱核在特征根λ处的取值，h₀(2-λ)为第0个分析子 带滤波器频谱核在特征根2-λ处的取值，g₀(2-λ)为第0个综合子带滤波器频 谱核在特征根2-λ处的取值。进行变量替换x＝λ-1，并定义

${\tilde{h}}_0\left(x\right)=h_0(x+1)=h_0\left(\lambda \right),{\tilde{g}}_0\left(x\right)=g_0(x+1)=g_0\left(\lambda \right)---\left(3\right)$

式中，为第0个分析子带滤波器频谱核在变量x处的取值，为 第0个综合子带滤波器频谱核在变量x处的取值。式(2)可写成：

${\tilde{h}}_0\left(x\right){\tilde{g}}_0\left(x\right)+{\tilde{h}}_0(-x){\tilde{g}}_0(-x)=2,\forall x\in [-1,1]---\left(4\right)$

式中，为第0个分析子带滤波器频谱核在变量x处的取值，为 第0个综合子带滤波器频谱核在变量x处的取值。为第0个分析子带滤 波器频谱核在变量-x处的取值，为第0个综合子带滤波器频谱核在变 量-x处的取值。x是取值范围为[-1,1]的变量。

第二步：引入单级提升结构，将表示为关于提升滤波器的函 数：

$\begin{array}{c}{\tilde{h}}_0\left(x\right)=\frac{1}{2}\left[\sqrt{2}+x·s\left(x^2\right)\right]\\ g_0\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[2x^{-1}t\left(x^2\right)-\frac{s\left(x^2\right)t\left(x^2\right)}{\sqrt{2}}\right]\end{array}---\left(5\right)$

式中，为第0个分析子带滤波器频谱核在变量x处的取值，为 第0个综合子带滤波器频谱核在变量x处的取值。s(x²)和t(x²)分别为分析和 综合提升滤波器。其中，s(x),t(x)均为关于变量x的多项式：

$s\left(x\right)=\underset{n=0}{\overset{L_s}{\Sigma }}{s}_n{x}^n,t\left(x\right)=\underset{n=0}{\overset{L_t}{\Sigma }}{t}_n{x}^n---\left(6\right)$

式中，s(x)是分析提升滤波器，t(x)为综合提升滤波器，s_n是提升滤波器 s(x)的系数，L_s是提升滤波器s(x)的阶数，t_n是提升滤波器t(x)的系数，L_t是 提升滤波器t(x)的阶数。可验证，引入提升结构后，双正交条件(4)自动满 足。

第三步：优化s(x)，将问题归结为带约束的二次规划，目标函数为阻带 能量，约束为通带平坦性

$\begin{array}{cc}\underset{s_n}{\min }& {\int }_{{\lambda }_s-1}^1{\left|{\tilde{h}}_0\left(x\right)\right|}^{2}dx\\ s.t.& {\tilde{h}}_0\left(-1\right)=\sqrt{2}\end{array}---\left(7\right)$

式中，为第0个分析子带滤波器频谱核在变量x处的取值，s_n是提升 滤波器s(x)的系数，λ_s是阻带截止频率。将式(5)和(6)代入式(7)

式中，s是由提升滤波器s(x)系数构成的向量，U_h是分析子带滤波器频谱 核对应的阻带能量矩阵，r_h是分析子带滤波器频谱核对应的阻带能量向量， c_h(x)是分析子带滤波器频谱核对应的频率向量。

第四步：固定s(x)，优化t(x)，将问题归结为带约束的二次规划，目标函 数为阻带能量，通带平坦约束自动成立，考虑提升结构中，分析和 综合频谱核的频率特性相互限制，故增加阻带波纹约束

将式(5)和(6)代入式(9)，可得

$\begin{array}{cc}\underset{t}{\min }& {\int }_{{\lambda }_s-1}^1{\left|{\tilde{g}}_0\left(x\right)\right|}^{2}dx=t^T{U}_{g}t+r_g^{T}t+2-{\lambda }_s\\ s.t.& \sqrt{2}+c_g^T\left(x_k\right)t\le ϵ,\\ & \sqrt{2}+c_g^T\left(x_k\right)t\ge -ϵ,x_k={\lambda }_k={\lambda }_s-1+k\left(2-{\lambda }_s\right)/N,k=0,\mathrm{...},N\end{array}---\left(10\right)$

式中，ε是容忍因子，t是由提升滤波器t(x)系数构成的向量，U_g是综合 子带滤波器频谱核对应的阻带能量矩阵，r_g是综合子带滤波器频谱核对应的 阻带能量向量，c_g(x)是综合子带滤波器频谱核对应的频率向量。

第五步：将第三、四步优化得到s(x)和t(x)代入式(5)，即得到和

第六步：进行变量反替换λ＝x+1，得h₀(λ)和g₀(λ)。

第七步：将h₀(λ)和g₀(λ)带入式(11)，得h₁(λ)和g₁(λ)

h₁(λ)＝g₀(2-λ)，g₁(λ)＝h₀(2-λ)(11)

上述s(x)和s(x²)只是对函数的变量进行了变换而已，本质上还是分析提 升滤波器；同理，t(x)和t(x²)也只是对函数的变量进行了变换而已，本质上还 是综合提升滤波器。

为验证本方法的有效性，进行了仿真实验并与现有方法进行比较。仿真 参数为：子带滤波器的通带和阻带截止频率设为：λ_p＝0.7,λ_s＝1.3。失真参数、 子带滤波器长度和提升滤波器长度参数分两种情况，分别为： ε＝0.1,L_a＝10,L_s＝17,L_s＝4,L_t＝4,ε＝0.01,L_a＝18,L_s＝33,L_s＝8,L_t＝8。我们分别采用 现有方法和本发明方法设计上述滤波器组。

表1给出了两种方法的性能比较。设计所得的子带滤波器频率响应如图 2和图3所示(两种长度情况)，图2是子带滤波器长度较低时的优化结果图， 图3是子带滤波器长度较高时的优化结果图，其中(a)为现有方法设计所得 的图滤波器，(b)为本发明方法设计所得的图滤波器。PRV表示重构特性。 图4是本发明方法设计的图滤波器组对于密尼苏达交通网络的子带分解图， 其中(a)为LL子带分解图，(b)为LH子带分解图，(c)为HL子带分解图， (d)为HH子带分解图。表2给出了本发明方法设计所得的提升滤波器的系 数。

表1

表2

从仿真结果可以得出，本发明方法设计所得的子带滤波器在保证重构特 性的前提下拥有良好的频率特性，优于现有的方法。