基于微分测度随机相遇不确定性的搜救方法及系统

摘要

本发明公开了一种基于微分测度随机相遇不确定性的搜救方法及系统，其中方法包括以下步骤：步骤1、确定走失者D所走失的路径L，并确定走失者D最后出现在路径L上的位置点；步骤2、测量搜寻者C在路径L上的位置点；步骤3、计算搜寻者C与走失者D分布在路径L的概率密度函数p

说明书

技术领域

本发明涉及搜救领域，尤其涉及一种基于微分测度随机相遇不确定性的搜 救方法及系统。

背景技术

近年来，人员搜寻和救援案例时有发生。例如，户外活动中的人员失联与 搜救，老人小孩的走失与搜寻等。一种典型案例是这样的：已知走失者最后出 现在路径L的中间位置且在路径L上自由移动；一搜寻者在路径L上遇到走 失者的可能性有多大？搜寻者在路径L的哪个位置点遇见走失者的可能性最 大？

1.改进前方法工作的机理

传统的救援过程往往出于人的本能或人道主义，将大量的搜救资源投入到 走失者最后出现地点周边的一定区域，缺乏精准的搜救规划(刘钊，等，2014)。 其中，预知搜寻者能遇见走失者的可能性，是搜救方案规划和最大可能地成功 救援的前提。已有的概率时间地理学采用概率值定量化表达相遇可能性，并提 出了一种计算相遇概率的离散型方法(Winter,YIN,2011)。该方法规定：搜寻者 C与走失者D能相遇的条件是在离散型地理空间中C、D位于同一离散单元中。

设：搜寻者C与走失者D所在的路径L的长度为l。C、D分布在路径L 上的概率密度函数为c、d。相遇概率的离散型方法的计算步骤如下：

步骤1：将路径L均匀划分为n小段：L₁、L₂、…、L_n(图1(a))。

步骤2：记C、D分别位于任一小段L_i的概率值c_i、d_i，有：0≤c_i≤1,0≤d_i≤1(图1(b))，${\Sigma }_{i=1}^n{c}_i=1,{\Sigma }_{i=1}^n{d}_i=1,i=1,2,...,n.$

步骤3：在搜寻者找到走失者之前，两个体的移动可视为独立的。这样， 个体C、D位于或相遇于任一单元L_i的概率值为c_i×d_i。相应地，相遇于整个 路径L的概率值为${\Sigma }_{i=1}^n{c}_i\times d_i,i=1,2,...,n$(图1(c))。

为了简单起见，令c、d为均匀分布。

(1)当n＝1时，则c、d分布在L₁的概率值c₁＝1，d₁＝1，相应的相遇 概率：${\Sigma }_{i=1}^n{c}_i\times d_i={\Sigma }_{i=1}^1{c}_i\times d_i=c_1\times d_1=1.$

(2)当n＝2时，则c、d分布在L₁的概率值c₁＝d₁＝0.5，c、d分布在L₂的概率值c₂＝d₂＝0.5，相应的相遇概率：${\Sigma }_{i=1}^n{c}_i\times d_i={\Sigma }_{i=1}^2{c}_i\times d_i=c_1\times d_1+c_2\times d_2=$$\mathrm{0.5.}$

(3)当n＝10时，则c、d分布在L_i的概率值c_i＝d_i＝0.1，相应的相遇概 率：${\Sigma }_{i=1}^n{c}_i\times d_i={\Sigma }_{i=1}^{10}{c}_i\times d_i=10\times (0.1\times 0.1)=\mathrm{0.1.}$

由上可知，当离散单元的数量n不断增大时，搜寻者C在路径L上遇见 走失者D的可能性不断减小，即成功搜寻的概率与n成反比；这一结论同样 适用于c、d为非均匀分布的情形，如正态分布、三角形分布等。

2.改进前方法存在的问题

综上，离散型方法依赖于离散单元的尺度(Winter,YIN,2011)，相遇概率会 随离散单元数量的增加而减小；这样，离散型方法中尺度或离散单元数量设置 的人为性势必造成相遇概率的随意性。然而，作为客观规律的相遇概率具有稳 定性，在理论上与计算方法无关。

发明内容

本发明针对在路径L上搜寻者C能遇见走失者D的概率问题，离散型方 法不能给出具有稳定性或唯一性的相遇概率。提出一种根据搜寻者与走失者分 布在路径L上的非均匀概率分布，利用连续微分推算出具有唯一性的相遇概率 的基于微分测度随机相遇不确定性的搜救方法及系统。

本发明解决其技术问题所采用的技术方案是：

提供一种基于微分测度随机相遇不确定性的搜救方法，包括以下步骤：

步骤1、确定走失者D所走失的路径L，并确定走失者D最后出现在路径 L上的位置点；

步骤2、测量搜寻者C在路径L上的位置点；

步骤3、计算搜寻者C与走失者D分布在路径L的概率密度函数p_c、p_d， C位于路经L上的位置点x₀时能与D相遇的概率相应计算路径L上其他点x₁、x₂、…、x_k、…的微分相遇概率获 得{p(E_meet|x₀),p(E_meet|x₁),…,p(E_meet|x_k),…}，找到微分相遇概率最大值所对 应的位置点为x_m；

步骤4、当搜寻者C位于全部点{x|x＝x₀,x₁,…,x_k,…}时，搜救者C能与 走失者D的相遇概率p(E_meet)：

$\left(\begin{array}{c}p\left(E_{meet}\right)=p\left(E_{meet}\right|x_0)+p\left(E_{meet}\right|x_1)+...+p\left(E_{meet}\right|x_k)+...\\ =p_c\left(x_0\right)dx\times \underset{\left|y-x_0\right|\le md,y\in L}{\int }{p}_d\left(y\right)dy+p_c\left(x_1\right)dx\times \underset{\left|y-x_1\right|\le md,y\in L}{\int }{p}_d\left(y\right)dy+...+p_c\left(x_k\right)dx\\ \times \underset{\left|y-x_k\right|\le md,y\in L}{\int }{p}_d\left(y\right)dy+...\\ =\underset{x\in L}{\Sigma }{p}_c\left(x\right)dx·\underset{\left|y-x\right|\le md,y\in L}{\int }{p}_d\left(y\right)dy=\underset{x\in L}{\int }{p}_c\left(x\right)·\underset{\left|y-x\right|\le md,y\in L}{\int }{p}_d\left(y\right)dydx\end{array}\right)$

则搜寻者C在路径L上能找到走失者D的概率：

其中md为搜寻者C与走失者D可相遇的 最大距离，变量x表示搜寻者C所在位置点与路径L的一个端点O之间的距 离；变量y表示走失者D所在位置点与端点O之间的距离；

步骤5、根据计算的与微分相遇概率最大值相对应的位置点，以及相遇概 率p(E_meet)安排搜寻者C在路径L上进行搜救。

本发明所述的搜救方法中，若走失者D最后出现在路径L的中间点且只 在路径L上作自由移动，则可合理假设走失者D分布在路径L的概率密度函 数p_d呈三角形分布；若搜寻者C从路径L的中间点开始找寻，则也可合理假 设搜寻者C分布在路径L的概率密度函数p_c呈三角形分布。

本发明还提供一种基于微分测度随机相遇不确定性的搜救系统，该系统包 括：

确认模块，用于确定走失者D所走失的路径L，并确定走失者D最后出现 在路径L上的位置点；

数据获取模块，用于测量的搜寻者C在路径L上的位置点；

概率密度函数计算模块，用于计算搜寻者C与走失者D分布在路径L的概 率密度函数p_c、p_d，C位于路经L上的位置点x₀时能与D相遇的概率相应计算路径L上其他点x₁、x₂、…、x_k、…的微分相 遇概率，获得{p(E_meet|x₀),p(E_meet|x₁),…,p(E_meet|x_k),…}，找到微分相遇概率 最大值所对应的位置点为x_m；

相遇概率计算模块，用于计算当搜寻者C位于全部点{x|x＝x₀,x₁,…, x_k,…}时，搜救者C能与走失者D的相遇概率p(E_meet)：

$\left(\begin{array}{c}p\left(E_{meet}\right)=p\left(E_{meet}\right|x_0)+p\left(E_{meet}\right|x_1)+...+p\left(E_{meet}\right|x_k)+...\\ =p_c\left(x_0\right)dx\times \underset{\left|y-x_0\right|\le md,y\in L}{\int }{p}_d\left(y\right)dy+p_c\left(x_1\right)dx\times \underset{\left|y-x_1\right|\le md,y\in L}{\int }{p}_d\left(y\right)dy+...+p_c\left(x_k\right)dx\\ \times \underset{\left|y-x_k\right|\le md,y\in L}{\int }{p}_d\left(y\right)dy+...\\ =\underset{x\in L}{\Sigma }{p}_c\left(x\right)dx·\underset{\left|y-x\right|\le md,y\in L}{\int }{p}_d\left(y\right)dy=\underset{x\in L}{\int }{p}_c\left(x\right)·\underset{\left|y-x\right|\le md,y\in L}{\int }{p}_d\left(y\right)dydx\end{array}\right)$

则搜寻者C在路径L上能找到走失者D的概率为：

其中md为搜寻者C与走失者D可相遇的 最大距离，变量x表示搜寻者C所在位置点与路径L的一个端点O之间的距 离；变量y表示走失者D所在位置点与端点O之间的距离；

分析处理模块，用于根据计算的与微分相遇概率最大值相对应的位置点， 以及相遇概率p(E_meet)安排搜寻者C在路径L上进行搜救。

本发明所述的搜救系统中，所述概率密度函数计算模块具体用于在走失者 D最后出现在路径L的中间点且只在路径L上作自由移动时，则合理假设走失 者D分布在路径L的概率密度函数p_d呈三角形分布；在搜寻者C从路径L的 中间点开始找寻时，则也合理假设搜寻者C分布在路径L的概率密度函数p_c 呈三角形分布。

本发明产生的有益效果是：本发明利用相遇概率的微分方法，根据可相遇 的最大距离md和搜寻者C、走失者D的概率密度函数p_c、p_d，可解决C能找 到D的概率以及在何处找到的概率最大等问题。本发明的相遇概率的微分方 法，不同于离散型方法，本发明计算的相遇概率值具有稳定性和唯一性。

附图说明

下面将结合附图及实施例对本发明作进一步说明，附图中：

图1：传统相遇概率的离散型方法图，其中(a)路径的离散化；(b)个体位于 离散单元的概率；(c)相遇概率；

图2：搜寻者C能遇见走失者D的事件,其中(a)变量定义；(b)相遇事件示 例；

图3：搜寻者C在何处能遇见走失者D的概率最大的推理方法，其中(a) 微分概率；(b)C位于给定点的微分相遇概率；(c)C位于序列点的序列微分相 遇概率；

图4：本发明中搜寻者C能遇见走失者D的概率的推理方法；

图5：本发明的相遇概率微分法的技术路线图；

图6：本发明一个实施例中相遇概率最大值所在的空间位置；

图7：本发明另一个实施例中相遇概率最大值所在的空间位置。

具体实施方式

为了使本发明的目的、技术方案及优点更加清楚明白，以下结合附图及实 施例，对本发明进行进一步详细说明。应当理解，此处所描述的具体实施例仅 用以解释本发明，并不用于限定本发明。

1.本发明所采取的主要技术方案

在现实环境中，两个个体之间的相遇主要受两者之间的空间距离(如可视 距离)制约。这里，将两个体可相遇的最大距离，记为md(meetingdistance)。 据此，相遇语义可定义为：当且仅当两个体的相距距离不超过md时就认为能 相遇。这样，md在一定程度上确定了相遇的尺度，从而为相遇概率的唯一性 提供了理论基础。

下面介绍本发明所采取的主要技术方案。

1)相遇事件

令，直线段L的一个端点为O；搜寻者C与走失者D同位于L上。

设：变量x表示搜寻者C所在位置点与端点O之间的距离；变量y表示 走失者D所在位置点与端点O之间的距离(图2a)。

根据相遇语义，相遇事件E_meet＝{搜寻者C所在的位置x与走失者D所在 的位置y之间在距离上不超过md的事件}，即：

E_meet＝{(x,y)||y-x|≤md，x∈L，y∈L}(公式1)

或者，E_meet＝{(x,y)|x-md≤y≤x+md，x∈L，y∈L}

这样，在搜寻者C位于位置点x时，如果走失者D所在的位置y₁满足公 式1，即|y₁-x|≤md，则相遇事件E_meet发生；如果走失者D所在的位置y₂不 能满足公式1，即|y₁-x|>md，则相遇事件E_meet不可能发生(图2b)。

2)搜寻者C在何处能以最大概率找到走失者D

相遇概率p(E_meet)就是相遇事件E_meet发生的概率。令，搜寻者C和走失者 D分布在路径L上的概率密度函数分别为：p_c、p_d，且C与D的运动相互独立。

通常情况下，变量x的增量Δx被称为x的微分，记作dx，即dx＝Δx。

搜寻者C位于点x₀处的概率p_c(x₀)可采用微分概率p_c(x₀)dx表示。其中， 微分概率p_c(x₀)dx，等于搜寻者C的概率密度函数p_c分布在点x₀处的概率p_c(x₀) 与微分线段长度dx的乘积(图3a阴影部分的面积)。在Δx→0时，根据微分 原理有p_c(x₀)dx→p_c(x₀)；这样，微分概率p_c(x₀)dx能表示概率p_c(x₀)。

当搜寻者C位于一个点x₀(x₀∈L)时，根据公式(1)相遇事件E_meet的发 生意味着走失者D位于点x₀附近，即|y-x₀|≤md(图3b粗横线)。走失者D 位于点x₀附近的概率为(图3b阴影部分的面积)，它表示D的概 率p_d分布在区域{|y-x₀|≤md，y∈L}上的概率值。这样，C位于一个点x₀时 能与D相遇的概率

$p\left(E_{meet}\right|x_0)=p_c\left(x_0\right)dx\times \underset{\left|y-x_0\right|\le md,y\in L}{\int }{p}_d\left(y\right)dy$(公式2)

其中，p_c(x₀)dx表示C位于点x₀的微分概率。类似地，我们可以获得其他微分 相遇概率：

C位于一个点x₁时能与D相遇的概率

C位于一个点x₂时能与D相遇的概率

……

C位于一个点x_k时能与D相遇的概率

……

综上，能获得{p(E_meet|x₀),p(E_meet|x₁),…,p(E_meet|x_k),…}的最大值(如图 3(c)所示)，不失一般性可设该最大值所在的位置点为x_m。这样，搜寻者C 在x_m处能以最大概率找到走失者D。

3)搜寻者C在路径L上能找到走失者D的概率

当搜寻者C位于全部点{x|x＝x₀,x₁,…,x_k,…}时，C能与D相遇的概率：

$\left(\begin{array}{c}p\left(E_{meet}\right)=p\left(E_{meet}\right|x_0)+p\left(E_{meet}\right|x_1)+...+p\left(E_{meet}\right|x_k)+...\\ =p_c\left(x_0\right)dx\times \underset{\left|y-x_0\right|\le md,y\in L}{\int }{p}_d\left(y\right)dy+p_c\left(x_1\right)dx\times \underset{\left|y-x_1\right|\le md,y\in L}{\int }{p}_d\left(y\right)dy+...+p_c\left(x_k\right)dx\\ \times \underset{\left|y-x_k\right|\le md,y\in L}{\int }{p}_d\left(y\right)dy+...\\ =\underset{x\in L}{\Sigma }{p}_c\left(x\right)dx·\underset{\left|y-x\right|\le md,y\in L}{\int }{p}_d\left(y\right)dy=\underset{x\in L}{\int }{p}_c\left(x\right)·\underset{\left|y-x\right|\le md,y\in L}{\int }{p}_d\left(y\right)dydx\end{array}\right)$

这样，搜寻者C在路径L上能找到走失者D的概率：

$p\left(E_{meet}\right)=\underset{x\in L}{\int }{p}_c\left(x\right)·\underset{\left|y-x\right|\le md,y\in L}{\int }{p}_d\left(y\right)dydx$(公式3)

从积分的角度，p(E_meet)就是p(E_meet|x)与X轴之间的面积(图4)。

2.技术路线

上述相遇概率技术方案，搜寻者C找到走失者D的概率计算可分为三步(图 5)。

步骤1：获取搜寻基本数据，包括路径L的长度，可相遇的最大距离md， 以及搜寻者C、走失者D分布在L的概率密度函数p_c、p_d等。

步骤2：根据公式(2)，计算搜寻者C位于L上各点的微分相遇概率，分 析搜寻者C在何处能以最大概率找到走失者D。

步骤3：根据公式(3)，推理搜寻者C在路径L上能找到走失者D的概率。

本发明的相遇概率的微分方法，根据可相遇的最大距离md和搜寻者C、 走失者D的概率密度函数p_c、p_d，能回答C能找到D的概率以及在何处找到 的概率最大等问题。相遇概率的微分方法，一方面不同于离散型方法，前者计 算的相遇概率值具有稳定性和唯一性，后者则具有随意性和非唯一性；另一方 面也不同于积分法，对于C、D的概率密度函数为非均匀分布时，相遇概率的 积分法由于将相遇事件作为一个整体因而往往不能计算复杂函数的积分，或计 算的复杂度大；相遇概率的微分法则由于将相遇事件划分成若干子事件，因而 能将复杂函数的积分问题转换为单个相遇事件上简单函数的积分问题，从而有 助于简化积分及相遇概率的计算。因此，对于C、D的概率密度函数呈非线性 特征时，采用微分法可降低计算复杂度；对于C、D的概率密度函数为均匀分 布或呈线性特征时，可以采用积分法或等效的微分法。

本发明的基于微分测度随机相遇不确定性的搜救系统，用于实现上述搜救 方法，该系统包括：

确认模块，用于确定走失者D所走失的路径L，并确定走失者D最后出现 在路径L上的位置点；

数据获取模块，用于测量的搜寻者C在路径L上的位置点；

概率密度函数计算模块，用于计算搜寻者C与走失者D分布在路径L的概 率密度函数p_c、p_d，C位于路经L上的位置点x₀时能与D相遇的概率相应计算路径L上其他点x₁、x₂、…、x_k、…的微分相 遇概率，获得{p(E_meet|x₀),p(E_meet|x₁),…,p(E_meet|x_k),…}，找到微分相遇概率 最大值所对应的位置点为x_m；

相遇概率计算模块，用于计算当搜寻者C位于全部点{x|x＝x₀,x₁,…, x_k,…}时，搜救者C能与走失者D的相遇概率p(E_meet)：

$\left(\begin{array}{c}p\left(E_{meet}\right)=p\left(E_{meet}\right|x_0)+p\left(E_{meet}\right|x_1)+...+p\left(E_{meet}\right|x_k)+...\\ =p_c\left(x_0\right)dx\times \underset{\left|y-x_0\right|\le md,y\in L}{\int }{p}_d\left(y\right)dy+p_c\left(x_1\right)dx\times \underset{\left|y-x_1\right|\le md,y\in L}{\int }{p}_d\left(y\right)dy+...+p_c\left(x_k\right)dx\\ \times \underset{\left|y-x_k\right|\le md,y\in L}{\int }{p}_d\left(y\right)dy+...\\ =\underset{x\in L}{\Sigma }{p}_c\left(x\right)dx·\underset{\left|y-x\right|\le md,y\in L}{\int }{p}_d\left(y\right)dy=\underset{x\in L}{\int }{p}_c\left(x\right)·\underset{\left|y-x\right|\le md,y\in L}{\int }{p}_d\left(y\right)dydx\end{array}\right)$

则搜寻者C在路径L上能找到走失者D的概率为：

其中md为搜寻者C与走失者D可相遇的 最大距离，变量x表示搜寻者C所在位置点与路径L的一个端点O之间的距 离；变量y表示走失者D所在位置点与端点O之间的距离。

分析处理模块，用于根据计算的与微分相遇概率最大值相对应的位置点， 以及相遇概率p(E_meet)安排搜寻者C在路径L上进行搜救。

其中，所述概率密度函数计算模块具体用于在走失者D最后出现在路径L 的中间点且只在路径L上作自由移动时，则合理假设走失者D分布在路径L 的概率密度函数p_d呈三角形分布；在搜寻者C从路径L的中间点开始找寻时， 则也合理假设搜寻者C分布在路径L的概率密度函数p_c呈三角形分布。

以下利用具体实施例来说明上述搜救方法的具体应用。

设：路径L的长度l＝10，能相遇的最大距离md＝2，分析搜寻者C能随 机找到走失者D的概率以及在何处找到的概率最大。

实例1：

步骤1：当仅仅知道走失者D最后出现在线路L的中间点且只在L上作自 由移动，可以合理假设D分布在L的概率密度函数p_d为三角形分布，即 $p_d\left(y\right)=\left(\begin{array}{cc}\frac{y}{25},& 0\le y\le 5\\ \frac{10-y}{25},& 5<y\le 10\end{array}\right).$又，知道搜寻者C在L上随机移动，可合理假设C 分布在L的概率密度函数p_c为均匀分布，即p_c(x)＝0.1，x、y分别表示C、D 的位置点。

步骤2：根据公式(2)，C位于一个点x_k时能与D相遇的概率在x_k＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}时有

$p\left(E_{meet}\right|x_k=1)=p_c\left(x_k\right)dx\underset{0\le y\le x_k+2}{\int }{p}_d\left(y\right)dy=\frac{dx}{10}\times {\int }_0^3\frac{y}{25}dy=\frac{4.5}{250}dx.$

$p\left(E_{meet}\right|x_k=2)=p_c\left(x_k\right)dx\underset{0\le y\le x_k+2}{\int }{p}_d\left(y\right)dy=\frac{dx}{10}\times {\int }_0^4\frac{y}{25}dy=\frac{8}{250}dx.$

$p\left(E_{meet}\right|x_k=3)=p_c\left(x_k\right)dx\underset{x_k-2\le y\le x_k+2}{\int }{p}_d\left(y\right)dy=\frac{dx}{10}\times {\int }_1^5\frac{y}{25}dy=\frac{12}{250}dx.$

$p\left(E_{meet}\right|x_k=4)=p_c\left(x_k\right)dx\underset{x_k-2\le y\le x_k+2}{\int }{p}_d\left(y\right)dy=\frac{dx}{10}\times ({\int }_2^5\frac{y}{25}dy+{\int }_5^6\frac{10-y}{25}dy)=\frac{15}{250}dx.$

$p\left(E_{meet}\right|x_k=5)=p_c\left(x_k\right)dx\underset{x_k-2\le y\le x_k+2}{\int }{p}_d\left(y\right)dy=\frac{dx}{10}\times ({\int }_3^5\frac{y}{25}dy+{\int }_5^7\frac{10-y}{25}dy)=\frac{16}{250}dx.$

$p\left(E_{meet}\right|x_k=6)=p_c\left(x_k\right)dx\underset{x_k-2\le y\le x_k+2}{\int }{p}_d\left(y\right)dy=\frac{dx}{10}\times ({\int }_4^5\frac{y}{25}dy+{\int }_5^8\frac{10-y}{25}dy)=\frac{15}{250}dx.$

$p\left(E_{meet}\right|x_k=7)=p_c\left(x_k\right)dx\underset{x_k-2\le y\le x_k+2}{\int }{p}_d\left(y\right)dy=\frac{dx}{10}\times {\int }_5^9\frac{10-y}{25}dy=\frac{12}{250}dx.$

$p\left(E_{meet}\right|x_k=8)=p_c\left(x_k\right)dx\underset{x_k-2\le y\le x_k+2}{\int }{p}_d\left(y\right)dy=\frac{dx}{10}\times {\int }_6^{10}\frac{10-y}{25}dy=\frac{8}{250}dx.$

$p\left(E_{meet}\right|x_k=9)=p_c\left(x_k\right)dx\underset{x_k-2\le y\le x_k+2}{\int }{p}_d\left(y\right)dy=\frac{dx}{10}\times {\int }_7^{10}\frac{10-y}{25}dy=\frac{4.5}{250}dx.$

这样，搜寻者C位于点时x＝5时能遇见走失者D的概率最大(图6)。

步骤3：由于p_c、p_d都关于L的中间点对称，因此有 $\underset{x\in [0,5]}{\int }{p}_c\left(x\right)\underset{\left|y-x\right|\le md,y\in L}{\int }{p}_d\left(y\right)dydx=\underset{x\in [5,10]}{\int }{p}_c\left(x\right)·\underset{\left|y-x\right|\le md,y\in L}{\int }{p}_d\left(y\right)dydx;$这样，根据公式(3)，有$p\left(E_{meet}\right)$$=2\underset{x\in [0,5]}{\int }{p}_c\left(x\right)·\underset{\left|y-x\right|\le md,y\in L}{\int }{p}_d\left(y\right)dydx.$

其中，

综上，相遇概率p(E_meet)＝2×0.19467＝0.38933。

实例2：

步骤1：当仅仅知道走失者D最后出现在线路L的中间点且只在L上作自 由移动，可以合理假设D分布在L的概率密度函数p_d为三角形分布，即 $p_d\left(y\right)=\left(\begin{array}{cc}\frac{y}{25},& 0\le y\le 5\\ \frac{10-y}{25},& 5<y\le 10\end{array}\right).$又，知道搜寻者C从L的中间点开始找寻，也可合 理假设C分布在L的概率密度函数p_c为三角形分布，即 $p_c\left(x\right)=\left(\begin{array}{cc}\frac{x}{25},& 0\le x\le 5\\ \frac{10-x}{25},& 5<x\le 10\end{array}\right),$x、y分别表示C、D的位置点。

步骤2：根据公式(2)，C位于一个点x_k时能与D相遇的概率在x_k＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}时有

$p\left(E_{meet}\right|x_k=1)=p_c\left(x_k\right)dx\underset{0\le y\le x_k+2}{\int }{p}_d\left(y\right)dy=\frac{dx}{25}\times {\int }_0^3\frac{y}{25}dy=\frac{4.5}{625}dx.$

$p\left(E_{meet}\right|x_k=2)=p_c\left(x_k\right)dx\underset{0\le y\le x_k+2}{\int }{p}_d\left(y\right)dy=\frac{2dx}{25}\times {\int }_0^4\frac{y}{25}dy=\frac{16}{625}dx.$

$p\left(E_{meet}\right|x_k=3)=p_c\left(x_k\right)dx\underset{x_k-2\le y\le x_k+2}{\int }{p}_d\left(y\right)dy=\frac{3dx}{25}\times {\int }_1^5\frac{y}{25}dy=\frac{36}{625}dx.$

$p\left(E_{meet}\right|x_k=4)=p_c\left(x_k\right)dx\underset{x_k-2\le y\le x_k+2}{\int }{p}_d\left(y\right)dy=\frac{4dx}{25}\times ({\int }_2^5\frac{y}{25}dy+{\int }_5^6\frac{10-y}{25}dy)=\frac{60}{625}dx.$

$p\left(E_{meet}\right|x_k=5)=p_c\left(x_k\right)dx\underset{x_k-2\le y\le x_k+2}{\int }{p}_d\left(y\right)dy=\frac{5dx}{25}\times ({\int }_3^5\frac{y}{25}dy+{\int }_5^7\frac{10-y}{25}dy)=\frac{80}{625}dx.$

$p\left(E_{meet}\right|x_k=6)=p_c\left(x_k\right)dx\underset{x_k-2\le y\le x_k+2}{\int }{p}_d\left(y\right)dy=\frac{10-6}{25}dx\times ({\int }_4^5\frac{y}{25}dy+{\int }_5^8\frac{10-y}{25}dy)=\frac{60}{625}dx.$

$p\left(E_{meet}\right|x_k=7)=p_c\left(x_k\right)dx\underset{x_k-2\le y\le x_k+2}{\int }{p}_d\left(y\right)dy=\frac{10-7}{25}dx\times {\int }_5^9\frac{10-y}{25}dy=\frac{36}{625}dx.$

$p\left(E_{meet}\right|x_k=8)=p_c\left(x_k\right)dx\underset{x_k-2\le y\le x_k+2}{\int }{p}_d\left(y\right)dy=\frac{10-8}{25}dx\times {\int }_6^{10}\frac{10-y}{25}dy=\frac{16}{625}dx.$

$p\left(E_{meet}\right|x_k=9)=p_c\left(x_k\right)dx\underset{x_k-2\le y\le x_k+2}{\int }{p}_d\left(y\right)dy=\frac{10-9}{25}dx\times {\int }_7^{10}\frac{10-y}{25}dy=\frac{4.5}{625}dx.$

这样，搜寻者C位于点时x＝5时能遇见走失者D的概率最大(图7)。

步骤3：由于p_c、p_d都关于L的中间点对称，因此有 $\underset{x\in [0,5]}{\int }{p}_c\left(x\right)·\underset{\left|y-x\right|\le md,y\in L}{\int }{p}_d\left(y\right)dydx=\underset{x\in [5,10]}{\int }{p}_c\left(x\right)·\underset{\left|y-x\right|\le md,y\in L}{\int }{p}_d\left(y\right)dydx;$这样，根据公式(3)，有$p\left(E_{meet}\right)$$=2\underset{x\in [0,5]}{\int }{p}_c\left(x\right)·\le \underset{\left|y-x\right|\le md,y\in L}{\int }{p}_d\left(y\right)dydx.$

其中，

综上，相遇概率p(E_meet)＝2×(0.0181333+0.0405333+0.1898667)＝0.49707。

由以上实例可知，基于微分方法的相遇概率具有如下特点：①相遇概率 p(E_meet)完全由可相遇距离md和移动对象本身的概率密度函数p_c(x)、p_d(y)决定， 与算法过程中的变量无关，因而具有稳定性和唯一性；②搜寻者C在路径L 上的不同位置点x_k可遇见走失者D的概率p(E_meet|x_k)是x_k的函数，存在众数 x_m或最大概率值对应的位置点x_m，即C在点x_k可遇见D的概率最大；③在走 失者D的概率密度函数不变时，搜寻者C采用均匀分布、三角形分布的不同 策略，将出现不同的搜寻成功率，前者为0.38933，后者为0.49707，后者较前 者高出21.68％，因此相遇概率是搜救方案的精准规划和优化的前提和基础。

应当理解的是，对本领域普通技术人员来说，可以根据上述说明加以改进 或变换，而所有这些改进和变换都应属于本发明所附权利要求的保护范围。