基于时延QoS与公平的多用户安全认知网络资源分配方法

摘要

基于时延QoS与公平的多用户安全认知网络资源分配方法，属于无线通信技术领域。本发明以存在窃听信道的多用户安全认知无线电网络为通信系统模型，以认知无线电网络的频谱共享模式为通信机制，借助安全有效容量跨层模型，联合优化次要用户发射端工作时段及发射功率，同时引入α-效用函数平衡物理层在各个次要用户发射端工作时段可支持的平均服务速率。该资源分配方法不但使得多用户安全认知无线电网络满足了上层用户服务质量(时延QoS)的要求，更进一步平衡了次要用户之间的资源分配的公平性，实现了系统性能的最优和物理层资源利用的高效化，具有重要的理论及现实意义。

说明书

技术领域

本发明涉及一种基于时延QoS与公平的多用户安全认知网络资源分配方法，属于无线通 信技术领域。

背景技术

对于无线通信网络，频谱资源是珍贵且有限的资源，但随着无线通信技术的发展，频谱 资源的需求也随之加大，现有的固定频谱分配策略越来越不适用。为了提高频谱利用率、缓 解频谱需求，认知无线电概念应运而生。认知无线电网络支持不同的共存模式来实现频谱共 用，其中之一即为频谱共享模式，具体为认知无线电网络允许次要用户和主要用户同时使用 相同频段，但是次要用户发射端需要调整发射功率，以保证对主要用户接收端的干扰功率不 超过其能容忍的门限值。

近年来，物理层安全技术随着无线通信系统物理层资源的日益丰富不断发展，认知无线 电网络的安全问题也逐渐成为关注的热点。同时，多元化的QoS(服务质量)要求与安全问题 一样，在新一代无线通信网络传输中起着至关重要的作用。对于许多对时延敏感的多媒体应 用中，统计时延QoS是一个非常有意义的QoS参数。专利CN104703191A曾于2015年6月10 日公布了一种保证时延QoS要求的安全认知无线电网络功率分配方法，该发明通过安全有效 容量跨层优化实现了在满足不同时延QoS限制下，单用户安全认知无线电网络的性能最优以 及资源利用的最大化。

最近，许多文献中报道了与用户公平性有关的工作，这些工作都致力于提高不同网络环 境中分配资源时用户之间的公平性。“JointOptimalSubcarrierandPowerAllocationfor WirelessCooperativeNetworksOverOFDMFadingChannels”(无线协作OFDM衰落网络的 联合最优子载波与功率分配)【IEEETransactionsonVehicular Technology,vol.61,no.1,pp.249-257,Jan.2012.】一文中不仅讨论了在无线协作OFDM网络 中能效较高的资源分配方式，还考虑了用户之间的公平性。然而，目前查阅到的资料中，还 没有探讨过如何在频谱共享模式多用户安全认知无线电网络中兼顾时延QoS要求与用户公平 性的方法。

发明内容

为了弥补现有技术存在的不足，本发明提供了一种基于时延QoS与公平的多用户安全认 知网络资源分配方法。本发明在规划优化问题时，借助安全有效容量跨层联合优化模型与α- 效用函数，不但可以能效高的分配多个用户的资源，还能保证用户之间的公平性。

本发明的技术方案如下：

一种基于时延QoS与公平的多用户安全认知网络资源分配方法，由以下通信系统来实现， 该系统包括L个次要用户发射端、一个次要用户接收端、一个主要用户接收端、一个窃听端， 通信机制为认知无线电网络频谱共享模式，即L个次要用户发射端向次要用户接收端发送信 号，窃听端在这个过程中对信号进行窃听，同时次要用户发射端发射的信号会对主要用户接 收端造成一定的功率干扰，该通信系统采用时分多址方式，即一个时隙可被多个用户分时段 占用，对于次要用户发射端l(l＝1,2,…,L)，假设其在某一时隙中占用的工作时段为τ_l，与该 次要用户发射端对应的主要信道、次要信道和窃听信道的功率增益分别为g_l，h_l和q_l，其中 下标l表示上述三种功率增益属于第l个次要用户发射端。假设该通信系统的信道功率增益均 服从离散时间块衰落，即g_l，h_l和q_l在一个时隙长度T内保持不变，但在时隙转化时经历一个 联合平稳遍历衰落随机过程，该随机过程的联合概率密度函数是连续的且已知，此外，通信 过程中所有的噪声项设为零均值、单位方差的高斯白噪声，通信系统的总频宽设为B，所有的 次要用户发射端对信道状态信息都已知，信道状态信息即一次信道实现Λ，Λ可以具体表示 为Λ:＝[g₁,...,g_L,h₁,...,h_L,q₁,...,q_L]^T，符号:＝表示定义，[·]^T表示对中括号内向量的转置，由于 每个时隙都被L个次要用户发射端用非重叠且专用的时段{τ₁,…,τ_L}共享，运算符号{·}表示大 括号内元素的集合，为不失一般性，每个时隙长度T可归一化为T＝1，则该方法的 具体步骤如下：

1)在不考虑时延QoS时计算多用户安全认知无线电网络的瞬时保密速率

设次要用户发射端l在时段τ_l下的发射功率为p_l，在窃听端存在的情况下，次要用户发射 端l与次要用户接收端之间进行保密通信，瞬时保密速率r_sec(τ_l,p_l)根据下式计算：

该式表明，当h_l＞q_l且τ_l＞0时，可求得非零瞬时保密速率；一般，通信系统总频宽B为常量， 对将要规划的优化问题无影响，故B可归一化为1；

2)计算基于时延QoS的安全有效容量

安全有效容量是对保密系统中物理层服务过程服务能力的一种量化描述，表示在给定时 延QoS要求的情况下可以支持的最大服务速率，其基本表达式为

$E_{\sec }\left(\theta \right)=-\frac{1}{\theta }log\left(E\right\{e^{-{\mathrm{\theta r}}_{\sec }({\tau }_l,p_l)}\left\}\right),---\left(2\right)$

其中θ为时延(服务质量的一项指标)QoS指数，运算符号E表示对大括号内部分求数学期望， 将(1)式所得的瞬时保密速率r_sec(τ_l,p_l)代入(2)式即可得次要用户发射端l工作时段的安全 认知无线电网络安全有效容量E_sec(θ)，其表示式如下：

$E_{\sec }\left(\theta \right)=-\frac{1}{\theta }log\left(E\right\{e^{-{\mathrm{\theta \tau }}_l[{\log }_2(1+h_l{p}_l/{\tau }_l)-{\log }_2(1+q_l{p}_l/{\tau }_l)]}\left\}\right).---\left(3\right);$

3)引入效用函数

为了能使次要用户之间分配的资源更公平，我们引入了效用函数，采用的效用函数定义 如下：

$U_{\alpha }\left({\bar{E}}_l\right)=\left(\begin{array}{cc}{\left({\bar{E}}_l\right)}^{1-\alpha }/(1-\alpha ),& \alpha \ne 1,\\ \log \left({\bar{E}}_l\right),& \alpha =1.\end{array}\right)---\left(4\right)$

其中，指的是安全认知无线电网络中物理层在次要用户发射端l工作时段可支持的平均服务 速率；α是效用参数，α≥0，随着α的增加，不同次要用户发射端工作时物理层可支持的平 均服务速率差距会减小，即次要用户之间的资源分配会变得越来越公平；

4)确定优化问题

以效用函数为目标函数，功率、安全有效容量、时段限制条件为约束条件，构造如下优 化问题：

其中τ和p分别表示目标函数所需优化的物理层可支持的平均服务速率、次要用户发射端 工作时段和发射功率这三种优化参量，优化参量可具体写作τ＝[τ₁,...,τ_L]^T， p＝[p₁,...,p_L]^T，而且g_l、h_l和q_l(l＝1,2,…,L)均是随机变量，和分别表示次要用户发射 端l工作时段的平均发射功率阈值和平均干扰功率阈值，运算符号E_Λ表示对中括号内部分在 所有信道实现下求数学期望；(5)式中的subjectto符号及其后面的式子表示为约束式， subjectto表示为约束符号，符号maximize表示求最大值符号，(5)式表示在约束式中对各个 次要用户分别工作时的发射功率、干扰功率、安全有效容量及时段进行限制的条件下，求解 目标函数即符号maximize：后的部分的最大值；

当θ_l→0时，根据泰勒近似log(1+s)≈s(s→0)，(5)式中的第三个约束 式可以转化为：

$E_{\Lambda }\left[e^{-{\theta }_l{r}_{\sec }({\tau }_l,p_l)}\right]-1+{\theta }_l{\bar{E}}_l\le 0,l=1,...,L,---\left(6\right)$

此时，(5)式中的优化问题重新写作:

(7)式表示在约束式中的各个次要用户分别工作时的发射功率、干扰功率、时段及简化的安 全有效容量限制条件下，求解目标函数即符号maximize：后的部分的最大值，借助凸优化理 论，可以证明(7)式的最大化问题为凸优化问题，该最大化问题在下面的描述中也称为原问题；

5)求解原问题

通过证明可知，上述原问题的目标函数是凹的，发射功率、干扰功率、安全有效容量及 时段限制条件都是凸的，因此该原问题的最优解是唯一的，凸优化理论中的拉格朗日对偶理 论指出，原最大化问题即原问题可与一个最小化问题即对偶问题建立关联性，在得到对偶问 题之前，首先令λ₁,...,λ_L分别表示与L个发射功率限制条件相关的对偶因子，其中 l＝1,...,L；令β₁,...,β_L分别表示与L个干扰功率限制条件相关的对偶因子，其中 l＝1,...,L；令μ₁,...,μ_L分别表示与L个简化的安全有效容量限制条件相关的对偶因子，其中l＝1,...,L；令η表示与时段限制条件相关的对偶因子，为简化书写，可 将上述前三种对偶因子写作向量形式λ＝[λ₁,...,λ_L]，β＝[β₁,...,β_L]，μ＝[μ₁,...,μ_L]，由此给出 原问题的拉格朗日函数为

$\begin{array}{c}L\left(X,\Psi \right)=\underset{l=1}{\overset{L}{\Sigma }}{U}_{\alpha }\left({\bar{E}}_l\right)-\underset{l=1}{\overset{L}{\Sigma }}{\lambda }_l\left(E_{\Lambda }\left[p_l\right]-{\bar{p}}_l\right)-\underset{l=1}{\overset{L}{\Sigma }}{\beta }_l\left(E_{\Lambda }\left[g_l{p}_l\right]-{\bar{Q}}_l\right)\\ -\underset{l=1}{\overset{L}{\Sigma }}{\mu }_l\left(E_{\Lambda }\left[e^{-{\theta }_l{r}_{\sec }\left({\tau }_l,p_l\right)}\right]-1+{\theta }_l{\bar{E}}_l\right)-\eta \left[\underset{l=1}{\overset{L}{\Sigma }}{\tau }_l-1\right]\\ =\underset{l=1}{\overset{L}{\Sigma }}\left(U_{\alpha }\left({\bar{E}}_l\right)-{\mu }_l{\theta }_l{\bar{E}}_l\right)+\underset{l=1}{\overset{L}{\Sigma }}\left({\lambda }_l{\bar{p}}_l+{\beta }_l{\bar{Q}}_l+{\mu }_l\right)\\ -\underset{l=1}{\overset{L}{\Sigma }}{E}_{\Lambda }\left[{\lambda }_l{p}_l+{\beta }_l{g}_l{p}_l+{\mu }_l{e}^{-{\theta }_l{r}_{\sec }\left({\tau }_l,p_l\right)}\right]-\eta \left[\underset{l=1}{\overset{L}{\Sigma }}{\tau }_l-1\right],\end{array}---\left(8\right)$

其中X是(7)式中目标函数所需优化的各个次要用户发射端工作时段、发射功率以及物理层 可支持的平均服务速率这三者的集合，其可表示为对偶因子Ψ＝{λ,β,μ,η}， 则原问题的对偶函数如下：

$D\left(\Psi \right)=\underset{X}{\max imize}:L(X,\Psi )---\left(9\right)$

该对偶函数表示通过优化X求解目标函数即拉格朗日函数的最大值。根据(9)式中的对偶函 数可得到与其对应的对偶问题为：

该对偶问题表示在对偶因子Ψ≥0的约束条件下，通过优化Ψ求解目标函数即对偶函数D(Ψ) 的最小值；通过验证可知原问题具有强对偶性，故原问题(7)式的最优解可通过求解对偶问 题(10)式而得到，对于对偶问题，可借助子梯度下降迭代算法求解最优的对偶因子Ψ^*，Ψ^*的求解过程具体如下：

a)设置效用参数α为某一定值，初始迭代次数t＝0，对偶因子初始值Ψ(0)为非负实数， 即Ψ(0)＝{λ₁(0),…λ_L(0),β₁(0)，…β_L(0),μ₁(0),…μ_L(0),η(0)}集合内的各初值均为非负实数；

b)当迭代次数为t时，用Ψ(t)表示当前更新的对偶因子，基于当前对偶因子Ψ(t)，将式 (8)中的拉格朗日函数分别对τ_l和p_l求偏导并代入以下三种Karush-Kuhn-Tucker(KKT) 条件，可求得迭代次数为t时对应的最优次要用户发射端工作时段τ_l(Ψ(t))、发射功率p_l(Ψ(t)) 以及物理层可支持的平均服务速率三种KKT条件分别如下表示：

$\frac{\partial L(X,\Psi )}{\partial {\bar{E}}_l}\left(\begin{array}{c}=0,{\bar{E}}_l>0\\ <0,{\bar{E}}_l=0\end{array}\right),\forall l,---\left(11\right)$

$\frac{\partial L(X,\Psi )}{\partial p_l}\left(\begin{array}{c}=0,p_l>0\\ <0,p_l=0\end{array}\right),\forall l,---\left(12\right)$

$\frac{\partial L(X,\Psi )}{\partial {\tau }_l}\left(\begin{array}{c}<0,{\tau }_l=0\\ =0,0<{\tau }_l<1\\ >0,{\tau }_l=1\end{array}\right),\forall l,---\left(13\right)$

符号表示对于所有的l都要满足条件；

c)采用如下各式分别更新对偶变量：

${\lambda }_l(t+1)={[{\lambda }_l\left(t\right)-\lambda \_s_l\left(t\right)\left(E\right[p\left(\Psi \right(t\left)\right)]-{\bar{p}}_l\left)\right]}^{+},\forall l,---\left(14\right)$

${\beta }_l(t+1)={[{\beta }_l\left(t\right)-\beta \_s_l\left(t\right)\left(E\right[g_{l}p\left(\Psi \right(t\left)\right)]-{\bar{Q}}_l\left)\right]}^{+},\forall l,---\left(15\right)$

${\mu }_l(t+1)={[{\mu }_l\left(t\right)-\mu \_s_l\left(t\right)\left(E_{\Lambda }\right[e^{-{\theta }_l{r}_{\sec }({\tau }_l,p_l)}]-1+{\theta }_l{\bar{E}}_l)]}^{+},\forall l,---\left(16\right)$

$\eta (t+1)={[\eta \left(t\right)-\eta \_s\left(t\right)(\underset{l=1}{\overset{L}{\Sigma }}{\tau }_l-1)]}^{+},---\left(17\right)$

其中符号[]⁺表示对[]中的部分取非负值，λ_s_l(t)，β_s_l(t)，μ_s_l(t)及η_s(t)分别表示相 应对偶因子λ_l(t)，β_l(t)，μ_l(t)及η(t)对应的迭代步长；

d)令Ψ^*＝{λ₁(t+1),…λ_L(t+1),β₁(t+1),…β_L(t+1),μ₁(t+1),…μ_L(t+1),η(t+1)}，若Ψ^*满足预 定义的数据精度，则输出最优对偶因子Ψ^*；否则，令t＝t+1，跳转至步骤b)，继续迭代，直 到满足预定义的数据精度；

6)不同效用参数α下物理层在各个次要用户工作时段可支持的平均服务速率比较

变化不同的效用参数α值，分别在不同α值情况下，按照步骤5)求取安全认知无线电网 络中物理层在次要用户发射端l工作时段可支持的平均服务速率比较值的差异， 验证随着α的增加，不同次要用户工作时物理层可支持的平均服务速率差距会减小，即次要用 户之间的资源分配会变得越来越公平。

所述的QoS(QualityofService，服务质量)是指一个网络能够利用各种基础技术，为 指定的网络通信提供更好的服务能力,是网络的一种安全机制，是用来解决网络延迟和阻塞 等问题的一种技术。

本发明提供了一种基于时延QoS与公平的多用户安全认知网络资源分配方法，在较为复杂 的多用户认知无线电网络中采用安全有效容量跨层联合优化模型，首先实现了在认知无线电 网络中兼顾系统安全性与时延QoS要求的目标，再辅以考虑效用函数，进一步平衡了次要用 户之间的资源分配的公平性，使得有限的物理层资源得到高效利用，具有重大的理论和现实 意义。

附图说明

图1为实现本发明方法的通信系统示意图。

具体实施方式

下面结合附图和实施例对本发明作进一步说明，但不限于此。

实施例：

本发明实施例如图1所示，一种基于时延QoS与公平的多用户安全认知网络资源分配方 法，由以下通信系统来实现，该系统包括L个次要用户发射端、一个次要用户接收端、一个主 要用户接收端、一个窃听端，通信机制为认知无线电网络频谱共享模式，即L个次要用户发射 端向次要用户接收端发送信号，窃听端在这个过程中对信号进行窃听，同时次要用户发射端 发射的信号会对主要用户接收端造成一定的功率干扰，该通信系统采用时分多址方式，即一 个时隙可被多个用户分时段占用，对于次要用户发射端l(l＝1,2,…,L)，假设其在某一时隙中 占用的工作时段为τ_l，与该次要用户发射端对应的主要信道、次要信道和窃听信道的功率增益 分别为g_l，h_l和q_l，其中下标l表示上述三种功率增益属于第l个次要用户发射端。假设该通 信系统的信道功率增益均服从离散时间块衰落，即g_l，h_l和q_l在一个时隙长度T_f内保持不变， 但在时隙转化时经历一个联合平稳遍历衰落随机过程，该随机过程的联合概率密度函数是连 续的且已知，此外，通信过程中所有的噪声项设为零均值、单位方差的高斯白噪声，通信系 统的总频宽设为B，所有的次要用户发射端对信道状态信息都已知，信道状态信息即一次信道 实现Λ，Λ可以具体表示为Λ:＝[g₁,...,g_L,h₁,...,h_L,q₁,...,q_L]^T，符号:＝表示定义，[·]^T表示对中 括号内向量的转置，由于每个时隙都被L个次要用户发射端用非重叠且专用的时段{τ₁,…,τ_L} 共享，运算符号{·}表示大括号内元素的集合，为不失一般性，每个时隙长度T可归一化为 T＝1，则该方法的具体步骤如下：

1)在不考虑时延QoS时计算多用户安全认知无线电网络的瞬时保密速率

设次要用户发射端l在时段τ_l下的发射功率为p_l，在窃听端存在的情况下，次要用户发射 端l与次要用户接收端之间进行保密通信，瞬时保密速率r_sec(τ_l,p_l)根据下式计算：

该式表明，当h_l＞q_l且τ_l＞0时，可求得非零瞬时保密速率；一般，通信系统总频宽B为常量， 对将要规划的优化问题无影响，故B可归一化为1；

2)计算基于时延QoS的安全有效容量

安全有效容量是对保密系统中物理层服务过程服务能力的一种量化描述，表示在给定时 延QoS要求的情况下可以支持的最大服务速率，其基本表达式为

$E_{\sec }\left(\theta \right)=-\frac{1}{\theta }log\left(E\right\{e^{-{\mathrm{\theta r}}_{\sec }({\tau }_l,p_l)}\left\}\right),---\left(2\right)$

其中θ为时延(服务质量的一项指标)QoS指数，运算符号E表示对大括号内部分求数学期望， 将(1)式所得的瞬时保密速率r_sec(τ_l,p_l)代入(2)式即可得次要用户发射端l工作时段的安全 认知无线电网络安全有效容量E_sec(θ)，其表示式如下：

$E_{\sec }\left(\theta \right)=-\frac{1}{\theta }log\left(E\right\{e^{-{\mathrm{\theta \tau }}_l[{\log }_2(1+h_l{p}_l/{\tau }_l)-{\log }_2(1+q_l{p}_l/{\tau }_l)]}\left\}\right).---\left(3\right);$

3)引入效用函数

为了能使次要用户之间分配的资源更公平，我们引入了效用函数，采用的效用函数定义 如下：

$U_{\alpha }\left({\bar{E}}_l\right)=\left(\begin{array}{cc}{\left({\bar{E}}_l\right)}^{1-\alpha }/(1-\alpha ),& \alpha \ne 1,\\ \log \left({\bar{E}}_l\right),& \alpha =1.\end{array}\right)---\left(4\right)$

其中，指的是安全认知无线电网络中物理层在次要用户发射端l工作时段可支持的平均服务 速率；α是效用参数，α≥0，随着α的增加，不同次要用户发射端工作时物理层可支持的平 均服务速率差距会减小，即次要用户之间的资源分配会变得越来越公平；

4)确定优化问题

以效用函数为目标函数，功率、安全有效容量、时段限制条件为约束条件，构造如下优 化问题：

其中τ和p分别表示目标函数所需优化的物理层可支持的平均服务速率、次要用户发射端 工作时段和发射功率这三种优化参量，优化参量可具体写作τ＝[τ₁,...,τ_L]^T， p＝[p₁,...,p_L]^T，而且g_l、h_l和q_l(l＝1,2,…,L)均是随机变量，和分别表示次要用户发射 端l工作时段的平均发射功率阈值和平均干扰功率阈值，运算符号E_Λ表示对中括号内部分在 所有信道实现下求数学期望；(5)式中的subjectto符号及其后面的式子表示为约束式， subjectto表示为约束符号，符号maximize表示求最大值符号，(5)式表示在约束式中对各个 次要用户分别工作时的发射功率、干扰功率、安全有效容量及时段进行限制的条件下，求解 目标函数即符号maximize：后的部分的最大值；

当θ_l→0时，根据泰勒近似log(1+s)≈s(s→0)，(5)式中的第三个约束 式可以转化为：

$E_{\Lambda }\left[e^{-{\theta }_l{r}_{\sec }({\tau }_l,p_l)}\right]-1+{\theta }_l{\bar{E}}_l\le 0,l=1,...,L,---\left(6\right)$

此时，(5)式中的优化问题重新写作:

(7)式表示在约束式中的各个次要用户分别工作时的发射功率、干扰功率、时段及简化的安 全有效容量限制条件下，求解目标函数即符号maximize：后的部分的最大值，借助凸优化理 论，可以证明(7)式的最大化问题为凸优化问题，该最大化问题在下面的描述中也称为原问题；

5)求解原问题

通过证明可知，上述原问题的目标函数是凹的，发射功率、干扰功率、安全有效容量及 时段限制条件都是凸的，因此该原问题的最优解是唯一的，凸优化理论中的拉格朗日对偶理 论指出，原最大化问题即原问题可与一个最小化问题即对偶问题建立关联性，在得到对偶问 题之前，首先令λ₁,...,λ_L分别表示与L个发射功率限制条件相关的对偶因子，其中 l＝1,...,L；令β₁,...,β_L分别表示与L个干扰功率限制条件相关的对偶因子，其中 l＝1,...,L；令μ₁,...,μ_L分别表示与L个简化的安全有效容量限制条件相关的对偶因子，其中l＝1,...,L；令η表示与时段限制条件相关的对偶因子，为简化书写，可 将上述前三种对偶因子写作向量形式λ＝[λ₁,...,λ_L]，β＝[β₁,...,β_L]，μ＝[μ₁,...,μ_L]，由此给出 原问题的拉格朗日函数为

$\begin{array}{c}L\left(X,\Psi \right)=\underset{l=1}{\overset{L}{\Sigma }}{U}_{\alpha }\left({\bar{E}}_l\right)-\underset{l=1}{\overset{L}{\Sigma }}{\lambda }_l\left(E_{\Lambda }\left[p_l\right]-{\bar{p}}_l\right)-\underset{l=1}{\overset{L}{\Sigma }}{\beta }_l\left(E_{\Lambda }\left[g_l{p}_l\right]-{\bar{Q}}_l\right)\\ -\underset{l=1}{\overset{L}{\Sigma }}{\mu }_l\left(E_{\Lambda }\left[e^{-{\theta }_l{r}_{\sec }\left({\tau }_l,p_l\right)}\right]-1+{\theta }_l{\bar{E}}_l\right)-\eta \left[\underset{l=1}{\overset{L}{\Sigma }}{\tau }_l-1\right]\\ =\underset{l=1}{\overset{L}{\Sigma }}\left(U_{\alpha }\left({\bar{E}}_l\right)-{\mu }_l{\theta }_l{\bar{E}}_l\right)+\underset{l=1}{\overset{L}{\Sigma }}\left({\lambda }_l{\bar{p}}_l+{\beta }_l{\bar{Q}}_l+{\mu }_l\right)\\ -\underset{l=1}{\overset{L}{\Sigma }}{E}_{\Lambda }\left[{\lambda }_l{p}_l+{\beta }_l{g}_l{p}_l+{\mu }_l{e}^{-{\theta }_l{r}_{\sec }\left({\tau }_l,p_l\right)}\right]-\eta \left[\underset{l=1}{\overset{L}{\Sigma }}{\tau }_l-1\right],\end{array}---\left(8\right)$

其中X是(7)式中目标函数所需优化的各个次要用户发射端工作时段、发射功率以及物理层 可支持的平均服务速率这三者的集合，其可表示为对偶因子Ψ＝{λ,β,μ,η}， 则原问题的对偶函数如下：

$D\left(\Psi \right)=\underset{X}{\max imize}:L(X,\Psi )---\left(9\right)$

该对偶函数表示通过优化X求解目标函数即拉格朗日函数的最大值。根据(9)式中的对偶函 数可得到与其对应的对偶问题为：

该对偶问题表示在对偶因子Ψ≥0的约束条件下，通过优化Ψ求解目标函数即对偶函数D(Ψ) 的最小值；通过验证可知原问题具有强对偶性，故原问题(7)式的最优解可通过求解对偶问 题(10)式而得到，对于对偶问题，可借助子梯度下降迭代算法求解最优的对偶因子Ψ^*，Ψ^*的求解过程具体如下：

a)设置效用参数α为某一定值，初始迭代次数t＝0，对偶因子初始值Ψ(0)为非负实数， 即Ψ(0)＝{λ₁(0),…λ_L(0),β₁(0)，…β_L(0),μ₁(0),…μ_L(0),η(0)}集合内的各初值均为非负实数；

b)当迭代次数为t时，用Ψ(t)表示当前更新的对偶因子，基于当前对偶因子Ψ(t)，将式 (8)中的拉格朗日函数分别对τ_l和p_l求偏导并代入以下三种Karush-Kuhn-Tucker(KKT) 条件，可求得迭代次数为t时对应的最优次要用户发射端工作时段τ_l(Ψ(t))、发射功率p_l(Ψ(t)) 以及物理层可支持的平均服务速率三种KKT条件分别如下表示：

$\frac{\partial L(X,\Psi )}{\partial {\bar{E}}_l}\left(\begin{array}{c}=0,{\bar{E}}_l>0\\ <0,{\bar{E}}_l=0\end{array}\right),\forall l,---\left(11\right)$

$\frac{\partial L(X,\Psi )}{\partial p_l}\left(\begin{array}{c}=0,p_l>0\\ <0,p_l=0\end{array}\right),\forall l,---\left(12\right)$

$\frac{\partial L(X,\Psi )}{\partial {\tau }_l}\left(\begin{array}{c}<0,{\tau }_l=0\\ =0,0<{\tau }_l<1\\ >0,{\tau }_l=1\end{array}\right),\forall l,---\left(13\right)$

符号表示对于所有的l都要满足条件；

c)采用如下各式分别更新对偶变量：

${\lambda }_l(t+1)={[{\lambda }_l\left(t\right)-\lambda \_s_l\left(t\right)\left(E\right[p\left(\Psi \right(t\left)\right)]-{\bar{p}}_l\left)\right]}^{+},\forall l,---\left(14\right)$

${\beta }_l(t+1)={[{\beta }_l\left(t\right)-\beta \_s_l\left(t\right)\left(E\right[g_{l}p\left(\Psi \right(t\left)\right)]-{\bar{Q}}_l\left)\right]}^{+},\forall l,---\left(15\right)$

${\mu }_l(t+1)={[{\mu }_l\left(t\right)-\mu \_s_l\left(t\right)\left(E_{\Lambda }\right[e^{-{\theta }_l{r}_{\sec }({\tau }_l,p_l)}]-1+{\theta }_l{\bar{E}}_l)]}^{+},\forall l,---\left(16\right)$

$\eta (t+1)={[\eta \left(t\right)-\eta \_s\left(t\right)(\underset{l=1}{\overset{L}{\Sigma }}{\tau }_l-1)]}^{+},---\left(17\right)$

其中符号[]⁺表示对[]中的部分取非负值，λ_s_l(t)，β_s_l(t)，μ_s_l(t)及η_s(t)分别表示相 应对偶因子λ_l(t)，β_l(t)，μ_l(t)及η(t)对应的迭代步长；

d)令Ψ^*＝{λ₁(t+1),…λ_L(t+1),β₁(t+1)，…β_L(t+1),μ₁(t+1),…μ_L(t+1),η(t+1)}，若Ψ^*满足预 定义的数据精度，则输出最优对偶因子Ψ^*；否则，令t＝t+1，跳转至步骤b)，继续迭代，直 到满足预定义的数据精度；

6)不同效用参数α下物理层在各个次要用户工作时段可支持的平均服务速率比较

变化不同的效用参数α值，分别在不同α值情况下，按照步骤5)求取安全认知无线电网 络中物理层在次要用户发射端l工作时段可支持的平均服务速率比较值的差异， 验证随着α的增加，不同次要用户工作时物理层可支持的平均服务速率差距会减小，即次要用 户之间的资源分配会变得越来越公平。