巴特沃斯数字滤波器及利用其实现频率自适应的滤波方法

摘要

本发明公开的巴特沃斯数字滤波器，由相互串联的两个二阶带通滤波器组成，本发明公开的利用巴特沃斯数字滤波器实现频率自适应的滤波方法，其采用两个双二阶巴特沃斯带通滤波器，电网电压信号通过第一个双二阶巴特沃斯带通滤波器得到电网电压基波信号，再通过三点计算方法和均值滤波得到该信号的实时频率，该实时频率作为第二个双二阶巴特沃斯带通滤波器的中心频率，使该滤波器能够实时跟踪电网频率。本发明的巴特沃斯数字滤波器及利用其实现频率自适应的滤波方法能够实时跟踪电网的相位和频率，并能有效消除因电网频率变化而导致的相位和频率检测误差，从而使滤波效果最佳，且最终输出的电网电压基波信号幅值无衰减、相位无偏差。

说明书

技术领域

本发明属于电能质量监测与控制技术领域，具体涉及一种巴特沃斯数字 滤波器，还涉及一种利用巴特沃斯数字滤波器实现频率自适应的滤波方法。

背景技术

我们正处于数字化时代，数字信号处理技术受到了人们的关注，其理论 及算法随着计算机技术和微电子技术的发展得到了飞速地发展，并被广泛应 用于语音和图象处理、数字通信、谱分析、模式识别和自动控制等领域。在 数字信号处理中，数字滤波技术占有重要的地位，几乎出现在所有的数字信 号处理系统中。相对于模拟滤波器来说，数字滤波器稳定、没有漂移、精度 高、参数容易控制等，这些优势决定了数字滤波器的应用越来越广泛。

随着电力电子技术的飞速发展，越来越多的电力电子装置被广泛应用到 各个领域。近年来，配电网中整流器、变频调速装置、电弧炉等非线性负荷 不断增加，这些负荷的非线性、冲击性和不平衡的用电特性，使电网中频率 波动、暂态冲击、无功功率、谐波污染及三相不平衡问题日趋严重。这些问 题的出现导致装置的频率和相位检测存在稳态误差，从而使得装置的性能变 差。因此，频率自适应滤波器设计是近年来的一个热点研究方向。

发明内容

本发明的目的在于提供一种巴特沃斯数字滤波器，其在中心频率处增益 为0dB，相移几乎为零，具有十分理想的幅频特性和相频特性。

本发的目的还在于提供一种利用该巴特沃斯数字滤波器实现频率自适 应的滤波方法，可以在频率变化、谐波未知的畸变电网中，准确快速的检测 电网电压基波信号的频率和相位，可应用于电压锁相环和特定次谐波检测中。

本发明所采用的一种技术方案是：巴特沃斯数字滤波器，由相互串联的 两个二阶带通滤波器组成，两个二阶带通滤波器的传递函数分别为：

$H_1\left(s\right)=\frac{(K_1{\omega }_0\sqrt{C}/Q)s}{s^2+({\mathrm{D\omega }}_0/E)s+D^2{\omega }_0^2}---\left(2\right),$

$H_2\left(s\right)=\frac{(K_2{\omega }_0\sqrt{C}/Q)s}{s^2+({\omega }_0/DE)s+{\omega }_0^2/D^2}---\left(3\right),$

公式(2)和(3)中，

$E=\frac{1}{B}\sqrt{\frac{C+4Q^2+\sqrt{{(C+4Q^2)}^2-{\left(2BQ\right)}^2}}{2}}---\left(4\right),$

$D=\frac{1}{2}[\frac{BE}{Q}+\sqrt{{\left(\frac{BE}{Q}\right)}^2-4}]---\left(5\right),$

其中，Q为品质因数，ω₀为滤波器的角频率，B和C为低通系数，K₁和K₂为对应两个二阶带通滤波器的增益。

本发明的特点还在于，

Q＝5，K₁＝K₂＝1，B＝1.4142，C＝1，中心频率f₀＝50Hz，则两个二 阶带通滤波器的传递函数为：

$H_1\left(s\right)=\frac{62.82s}{s^2+47.57s+113720}---\left(7\right),$

$H_2\left(s\right)=\frac{62.82s}{s^2+41.29s+85660}---\left(8\right)$

本发明所采用的另一种技术方案为：利用巴特沃斯数字滤波器实现频率 自适应的滤波方法，包括如下步骤：

步骤一，将电网电压U_in经过零阶保持器离散化处理后依次通过前置的 巴特沃斯数字滤波器中串联的两个二阶带通滤波器，得到电网电压的基波信 号U_f0＝50Hz，此信号幅值有衰减，相位有偏差，并通过采样得到U_f0＝50Hz最近 的三个采样点的瞬时值，记为U₁，U₂，U₃；

步骤二，利用U₁，U₂，U₃通过三点计算方法得到所述电网电压基波信 号U_f0＝50Hz的频率f，幅值U和相位角α，三点计算方法的公式如下：

$cos\omega T=\frac{U_1+U_3}{2U_2}---\left(9\right),$

$tan\alpha =\frac{U_{3}sin\omega T}{U_{3}cos\omega T-U_2}---\left(10\right),$

$U=\frac{\sqrt{U_2^2+U_3^2-2U_1{U}_{3}cos\omega T}}{\sqrt{2}\sin \omega T}---\left(11\right),$

其中，ω是电网电压基波信号的角频率，T为三点计算方法的采样时间；

步骤三，将电网电压基波信号U_f0＝50Hz的频率f经过均值滤波后得到电网 电压基波信号U_f0＝50Hz的实时频率f_av；

步骤四，将电网电压基波信号U_f0＝50Hz的实时频率f_av作为后置的巴特沃 斯数字滤波器的中心频率，将步骤一中的电网电压U_in经过零阶保持器离散 化处理后的信号和将电网电压基波信号U_f0＝50Hz的实时频率f_av同时通过后置 的巴特沃斯数字滤波器中串联的两个二阶带通滤波器，得到幅值无衰减，相 位无偏差的电网电压基波信号，实现对电网电压U_in频率自适应的滤波处理。

本发明的特点还在于，

前置的巴特沃斯数字滤波器和后置的巴特沃斯数字滤波器的品质因数 均为5，前置的巴特沃斯数字滤波器和后置的巴特沃斯数字滤波器中二阶带 通滤波器的函数Z变换公式为：

$Z[\frac{b_{s1}s+b_{s0}}{a_{s2}{s}^2+a_{s1}s+a_{s0}}·\frac{1-e^{-T_{s}s}}{S}]=\frac{b_{z1}z+b_{z0}}{a_{z2}{z}^2-a_{z1}z+a_{z0}}---\left(12\right),$

公式(12)中，系数b_z1、b_z0、a_z2、a_z1、a_z0为：

$b_{z1}={\mathrm{ae}}^{c_1{T}_s}+{\mathrm{be}}^{c_2{T}_s}+c---\left(13\right),$

$b_{z0}={\mathrm{ae}}^{c_2{T}_s}+{\mathrm{be}}^{c_1{T}_s}+{\mathrm{ce}}^{(c_1+c_2)T_s}---\left(14\right),$

a_z2＝1(15)，

$a_{z1}=e^{c_1{T}_s}+e^{c_2{T}_s}---\left(16\right),$

$a_{z0}=e^{(c_1+c_2)T_s}---\left(17\right),$

公式(13)-(17)中的系数a、b、c、c₁、c₂为：

$a=\frac{b_{s0}+b_{s1}{c}_{s1}}{c_{s1}(c_{s1}-c_{s2})}---\left(18\right),$

$b=\frac{-b_{s0}-b_{s1}{c}_{s2}}{c_{s2}(c_{s1}-c_{s2})}---\left(19\right),$

$c=\frac{b_{s0}}{c_{s1}{c}_{s2}}---\left(20\right),$

$c_1=\frac{-a_{s1}+\sqrt{a_{s1}^2-4a_{s0}{a}_{s2}}}{2a_{s2}}---\left(21\right),$

$c_2=\frac{-a_{s1}-\sqrt{a_{s1}^2-4a_{s0}{a}_{s2}}}{2a_{s2}}---\left(22\right),$

其中，T_s为采样周期。

本发明的有益效果是：本发明的巴特沃斯数字滤波器及利用其实现频率 自适应的滤波方法针对电网频率波动导致相位和频率检测存在误差从而滤 波效果变差的缺点，采用两个双二阶的巴特沃斯带通滤波器，电网电压信号 通过第一个双二阶巴特沃斯带通滤波器得到幅值有衰减，相位有偏差的电网 电压基波信号，再通过三点计算方法和均值滤波得到该信号的实时频率，该 实时频率作为第二个双二阶巴特沃斯带通滤波器的中心频率，得到幅值无衰 减，相位无偏差的电网电压基波信号。使该滤波器能够实时跟踪电网的相位 和频率，并能有效消除因电网频率变化而导致的相位和频率检测误差，从而 使滤波效果最佳，且最终输出的电网电压基波信号幅值无衰减、相位无偏差， 尤其在频率变化、谐波未知的畸变电网中，能够实时精确检测电网电压基波 信号的频率和相位，达到频率自适应的目的。并具有以下有益效果：

1、参数的整定简洁方便，特别是在频率变化、谐波未知的畸变电网中， 可准确快速的检测电网电压基波信号的频率和相位；

2、具有稳态精度高，动态响应较快的优点；

3、操作灵活，可应用于电压锁相环和特定次谐波检测；

4、可适用于单相或三相电网系统。

附图说明

图1是本发明的利用巴特沃斯数字滤波器实现频率自适应的滤波方法的 结构框图；

图2是二阶带通滤波器在不同品质因数时的幅频和相频特性曲线图；

图3是本发明的巴特沃斯数字滤波器的幅频和相频特性曲线图；

图4是电压锁相环的结构框图；

图5是特定次谐波检测框图；

图6a是本发明的利用巴特沃斯数字滤波器实现频率自适应的滤波方法 中电网频率由50Hz跃变到45Hz的仿真波形图；

图6b是本发明的利用巴特沃斯数字滤波器实现频率自适应的滤波方法 中电网频率由50Hz跃变到55Hz的仿真波形图；

图7是本发明的利用巴特沃斯数字滤波器实现频率自适应的滤波方法中 电网电压畸变仿真波形图；

图8a是本发明的利用巴特沃斯数字滤波器实现频率自适应的滤波方法 中电网频率由50Hz跃变到45Hz的实验波形图；

图8b是本发明的利用巴特沃斯数字滤波器实现频率自适应的滤波方法 中电网频率由50Hz跃变到55Hz的实验波形图；

图9a是本发明的利用巴特沃斯数字滤波器实现频率自适应的滤波方法 中电网频率由50Hz跃变到45Hz且电压畸变的实验波形图；

图9b是本发明的利用巴特沃斯数字滤波器实现频率自适应的滤波方法 中电网频率由50Hz跃变到55Hz且电压畸变的实验波形图；

图10a是本发明的利用巴特沃斯数字滤波器实现频率自适应的滤波方法 中相位检测实验波形图；

图10b是本发明的利用巴特沃斯数字滤波器实现频率自适应的滤波方法 中频率检测实验波形图。

具体实施方式

下面结合附图和具体实施方式对本发明进行详细说明。

带通滤波器采用以中心频率f₀＝ω₀/2πHz为几何中心，且通带宽度为BW 的频带信号。通带宽度BW＝ω_U-ω_L，其中ω_L和ω_U分别为低端和高端的截止 频率；Q为滤波器的品质因素，Q＝ω₀/BW，它用来衡量滤波器的选择性。当 分别选取品质因数Q为1、2、3、4、5时，二阶带通滤波器的幅频和相频特 性曲线如图2所示：Q值越高，通带宽度越窄，滤波效果越好，但响应速度 越慢，Q值越低，通带宽度越宽，响应速度越快，但滤波效果越差，综合考 虑，本发明的巴特沃斯数字滤波器选择Q＝5。

在计算机上实现巴特沃斯带通滤波器时，有限字长可能引起滤波器数值 不稳，从而降低滤波器的带宽，为了避免上述问题，本发明将选择的四阶巴 特沃斯数字滤波器分解成相互串联的两个二阶带通滤波器，即双二阶巴特沃 斯带通滤波器，四阶巴特沃斯数字滤波器的传递函数为：

$H\left(s\right)=\frac{({{\mathrm{KC\omega }}_0}^2/Q^2)s^2}{s^4+({\mathrm{B\omega }}_0/Q)s^3+(2+C/Q^2){\omega }_0^2{s}^2+({\mathrm{B\omega }}_0^3/Q)s+{\omega }_0^4}---\left(1\right),$

其中B和C是低通系数，可查阅相关手册获得，K是电路增益。

公式(1)的传递函数可以分解为两个二阶带通滤波器的传递函数，分 别为：

$H_1\left(s\right)=\frac{\left(K_1{\omega }_0\sqrt{C}/Q\right)s}{s^2+\left({\mathrm{D\omega }}_0/E\right)s+D^2{\omega }_0^2}---\left(2\right),$

$H_2\left(s\right)=\frac{\left(K_2{\omega }_0\sqrt{C}/Q\right)s}{s^2+\left({\omega }_0/DE\right)s+{\omega }_0^2/D^2}---\left(3\right),$

在公式(2)和(3)中，

$E=\frac{1}{B}\sqrt{\frac{C+4Q^2+\sqrt{{\left(C+4Q^2\right)}^2-{\left(2BQ\right)}^2}}{2}}---\left(4\right),$

$D=\frac{1}{2}[\frac{BE}{Q}+\sqrt{{\left(\frac{BE}{Q}\right)}^2-4}]---\left(5\right),$

其中，Q为品质因数，ω₀为滤波器的角频率，B和C为低通系数，K₁和K₂为对应两个二阶带通滤波器的增益，且K₁K₂＝K。

带通滤波器，不但要能滤除常见的高次谐波，还要能滤除某些特殊负载 产生的次谐波(低于基波频率的分量)。所以，品质因素Q的选取，要足够 大，以保证对高次谐波和次谐波的衰减；但是如果Q太大，响应速度非常慢。

因此，本发明的巴特沃斯数字滤波器取值Q＝5，K₁＝K₂＝1，查阅滤波 器设计手册取B＝1.4142，C＝1，中心频率f₀＝50Hz，将以上参数分别代入 公式(1)、(2)和(3)中，得到四阶巴特沃斯数字滤波器的传递函数为：

$H\left(s\right)=\frac{3948s^2}{s^4+88.86s^3+2.013\times {10}^5{s}^2+8.77\times {10}^{6}s+9.741\times {10}^9}---\left(6\right),$

两个二阶带通滤波器的传递函数为：

$H_1\left(s\right)=\frac{62.82s}{s^2+47.57s+113720}---\left(7\right),$

$H_2\left(s\right)=\frac{62.82s}{s^2+41.29s+85660}---\left(8\right).$

用Matlab仿真，其幅频和相频特性曲线如图3所示。可以看出，其幅频 特性和相频特性均十分理想，50Hz中心频率处的增益为0dB，相移几乎为 零，完全符合设计需要。

当电网频率发生波动，偏离图3所示滤波器的中心频率时，电压增益小 于0dB，同时输出电压会产生一定的相移，即电网频率波动导致相位和频率 检测存在误差。针对电网频率波动的问题，本发明还提供了一种利用巴特沃 斯数字滤波器实现频率自适应的滤波方法，其结构框图如图1所示，具体包 括如下步骤：

步骤一，将电网电压U_in经过零阶保持器离散化处理后依次通过前置的 巴特沃斯数字滤波器中串联的两个二阶带通滤波器，得到电网电压的基波信 号U_f0＝50Hz，此信号幅值有衰减，相位有偏差，并通过采样得到U_f0＝50Hz最近 的三个采样点的瞬时值，记为U₁，U₂，U₃；

步骤二，利用U₁，U₂，U₃通过三点计算方法得到所述电网电压基波信 号U_f0＝50Hz的频率f，幅值U和相位角α，三点计算方法的公式如下：

$cos\omega T=\frac{U_1+U_3}{2U_2}---\left(9\right),$

$tan\alpha =\frac{U_{3}sin\omega T}{U_{3}cos\omega T-U_2}---\left(10\right),$

$U=\frac{\sqrt{U_2^2+U_3^2-2U_1{U}_{3}cos\omega T}}{\sqrt{2}\sin \omega T}---\left(11\right),$

其中，ω是电网电压基波信号的角频率，T为三点计算方法的采样时间。

步骤三，将所述电网电压基波信号U_f0＝50Hz的频率f经过均值滤波后得到 所述电网电压基波信号U_f0＝50Hz的实时频率f_av；

步骤四，将所述电网电压基波信号U_f0＝50Hz的实时频率f_av作为后置的巴 特沃斯数字滤波器的中心频率，将所述步骤一中的电网电压U_in经过零阶保 持器离散化处理后的信号和将所述电网电压基波信号U_f0＝50Hz的实时频率f_av同时通过后置的巴特沃斯数字滤波器中串联的两个二阶带通滤波器，得到幅 值无衰减，相位无偏差的电网电压基波信号，实现对电网电压U_in频率自适 应的滤波处理。

要实现双二阶巴特沃斯带通滤波器进行滤波操作，就必须对其离散化， 将连续的时域处理转变为离散的频域处理，本发明将前置的巴特沃斯数字滤 波器和后置的巴特沃斯数字滤波器的品质因数均设为5，以其中任意一个二 阶带通滤波器函数为例，对其进行Z变换，Z变换的结果为：

$Z[\frac{b_{s1}s+b_{s0}}{a_{s2}{s}^2+a_{s1}s+a_{s0}}·\frac{1-e^{-T_{s}s}}{s}]=\frac{b_{z1}z+b_{z0}}{a_{z2}{z}^2-a_{z1}z+a_{z0}}---\left(12\right),$

公式(12)中，系数b_z1、b_z0、a_z2、a_z1、a_z0为：

$b_{z1}={\mathrm{ae}}^{c_1{T}_s}+{\mathrm{be}}^{c_2{T}_s}+c---\left(13\right),$

$b_{z0}={\mathrm{ae}}^{c_2{T}_s}+{\mathrm{be}}^{c_1{T}_s}+{\mathrm{ce}}^{(c_1+c_2)T_s}---\left(14\right),$

a_z2＝1(15)，

$a_{z1}=e^{c_1{T}_s}+e^{c_2{T}_s}---\left(16\right),$

$a_{z0}=e^{(c_1+c_2)T_s}---\left(17\right),$

公式(13)-(17)中的系数a、b、c、c₁、c₂为：

$a=\frac{b_{s0}+b_{s1}{c}_{s1}}{c_{s1}(c_{s1}-c_{s2})}---\left(18\right),$

$b=\frac{-b_{s0}-b_{s1}{c}_{s2}}{c_{s2}(c_{s1}-c_{s2})}---\left(19\right),$

$c=\frac{b_{s0}}{c_{s1}{c}_{s2}}---\left(20\right),$

$c_1=\frac{-a_{s1}+\sqrt{a_{s1}^2-4a_{s0}{a}_{s2}}}{2a_{s2}}---\left(21\right),$

$c_2=\frac{-a_{s1}-\sqrt{a_{s1}^2-4a_{s0}{a}_{s2}}}{2a_{s2}}---\left(22\right),$

其中，T_s为采样周期。

按照上式，即可编程实现数字滤波器离散化的过程。

本发明利用巴特沃斯数字滤波器实现频率自适应的滤波方法应用于电压 锁相环、特定次谐波检测，可消除频率波动、谐波未知的畸变电网对检测算 法的影响，提高检测精度。

电压锁相环框图如图4所示，U_in通过频率自适应滤波算法得到实时的 电网电压基波信号U_f0＝fav，再通过三点计算方法中的公式(9)计算出该电网 电压基波信号的相位ωt，提取出的ωt经过正、余弦信号发生电路得到与电网 电压U_in同相位的正弦信号sinωt和对应的余弦信号-cosωt。

特定次谐波检测框图如图5所示，U_in通过频率自适应滤波算法得到实时 的电网频率信号f_av，将该电网频率信号乘以需检测谐波的谐波次数，与输入 电流I_in共同通过一个双二阶巴特沃斯滤波器就可以得到需要检测的谐波电 流I_f0＝nfav。

为了验证在频率变化、谐波未知的畸变电网中，基于频率自适应的双二 阶巴特沃斯数字滤波器设计的检测效果，在MATLAB/Simulink上进行仿真， 电网电压仿真参数为220V/50Hz，采样频率为5kHz，仿真时长0.7s。

图6a为电网频率由50Hz跃变到45Hz工况下的仿真波形。仿真启动后，当 t＝0.2s时，电网频率出现-5Hz跃变，经过大约0.1s的调节，频率稳定在45Hz， t＝0.5s时，电网频率恢复50Hz，经过大约0.07s的调节，频率稳定在50Hz。整 个过程中，除调节时间外，滤波器的输出波形与输入波形保持同频同相

图6b为电网频率由50Hz跃变到55Hz工况下的仿真波形。仿真启动后， 当t＝0.2s时，电网频率出现+5Hz跃变，经过大约0.1s的调节，频率稳定在55Hz， t＝0.5s时，电网频率恢复50Hz，经过大约0.07s的调节，频率稳定在50Hz。整 个过程中，除调节时间外，滤波器的输出波形与输入波形保持同频同相。

图6a和图6b说明本发明的利用巴特沃斯数字滤波器实现频率自适应的 滤波方法基本无稳态误差，还具有较快的动态响应和较小的动态误差。

图7为电网电压畸变工况下的仿真波形。仿真启动后，在t＝0.25s时，电 网电压加5次谐波和7次谐波，t＝0.4s，谐波消失。可以看出，频率始终稳定 在50Hz，整个过程中，滤波器的输出波形与输入波形保持同频同相，滤波效 果很好。

为验证本发明的利用巴特沃斯数字滤波器实现频率自适应的滤波方法 的可行性及有效性，基于TI公司的DSPTMS320F28335设计控制系统进行实 物实验，实验中采用可编程交流源(Chroma61511)来模拟频率变化的畸变电 网。

示波器通道：通道1为测得的电网电压信号，通道2为28335检测生成的 电网电压基波频率信号，算法中设定示波器通道2的参照基准线为40Hz，每 格(2V)代表5Hz，通道3为28335生成的电网电压基波信号。

图8a为电网频率由50Hz跃变到45Hz工况下的实验波形。除调节时间外， 通道1和通道3的信号参考过零点位置基本保持不变，通道2的频率信号相应 由50Hz跃变到45Hz。

图8b为电网频率由50Hz跃变到55Hz工况下的实验波形。除调节时间外， 通道1和通道3的信号参考过零点位置基本保持不变，通道2的频率信号相应 由50Hz跃变到55Hz。

图9a为电网频率由50Hz跃变到45Hz且电压畸变的实验波形。通道1含有5 次和7次谐波，波形畸变严重。通道3为滤波后的电网电压基波信号，通道2 的频率信号相应由50Hz跃变45Hz。

图9b为电网频率由50Hz跃变到55Hz且电压畸变的实验波形。通道1含有 5次和7次谐波，波形畸变严重。通道3为滤波后的电网电压基波信号，通道2 的频率信号相应由50Hz跃变55Hz。

实验验证了在频率波动的畸变电网中，该设计基本无稳态误差，还具有 较快的动态响应和较小的动态误差。

图10中的通道1为方波信号叠加了5次谐波信号，信号含有5、7、11、 13、17、19次谐波，波形畸变严重。通道3为滤波后的电压基波信号，图 10a中的通道2为检测出的相位信号，图10b中的通道2为检测出的频率信 号。通道1和通道3的信号始终保持同频同相，滤波效果很好。说明本发明 的利用巴特沃斯数字滤波器实现频率自适应的滤波方法具有较高的相角和 频率检测精度。