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层叠碳纤维复合材料的三层单胞结构微观力学性能计算方法

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本发明公开了一种层叠碳纤维复合材料的三层单胞结构微观力学性能计算方法：层叠碳纤维复合材料的结构由一层层碳布层叠而成，碳布层上下表面是由其它材料填充组成的两个界面层；碳布层由碳纤维平面编织而成，形成多边形的周期性微观结构的中间缝隙，由其它材料填充后使得多个碳布层相连接；不同方向的碳纤维承担不同方向的拉应力；界面层的填充材料各向同性，界面层将受到的表面压力传递给碳布层；本发明针对碳纤维复合材料叠层结构的特殊性，给出了三层单胞结构微观力学性能计算公式，可以实现精确计算层叠碳纤维复合材料微观结构的力学性能，从而推动层叠碳纤维复合材料设计与制造技术的不断发展。

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公开/公告号CN105046076A

专利类型发明专利
公开/公告日2015-11-11

原文格式PDF
申请/专利权人西安交通大学;
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申请/专利号CN201510409468.0
发明设计人要义勇;王旭;赵丽萍;
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申请日2015-07-13
分类号G06F19/00(20110101);
代理机构61200 西安通大专利代理有限责任公司;
代理人陆万寿
地址 710049 陕西省西安市咸宁西路28号
入库时间 2023-12-18 12:02:04

法律信息

法律状态公告日

法律状态信息

法律状态
2022-06-28

未缴年费专利权终止 IPC(主分类):G06F17/50 专利号:ZL2015104094680 申请日:20150713 授权公告日:20190205

专利权的终止
2019-02-05

授权

授权
2015-12-09

实质审查的生效 IPC(主分类):G06F19/00 申请日:20150713

实质审查的生效
2015-11-11

公开

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说明书

技术领域

本发明属于层叠碳纤维复合材料的力学性能分析与设计领域，涉及一种层叠碳纤维复合材料的三层单胞结构微观力学性能计算方法，针对碳纤维复合材料叠层结构的特殊性，精确计算层叠碳纤维复合材料微观结构的力学性能。

背景技术

传统碳纤维复合材料的GMC、HFGMC和VCFEM模型大多数反映了现有制造工艺造成的碳纤维复合材料结构特征，没有从碳纤维复合材料力学特征来建立其微观模型，导致仿真结果与实际的碳纤维复合材料力学性能存在较大偏差。

发明内容

本发明的目的在于提供一种层叠碳纤维复合材料的三层单胞结构微观力学性能计算方法。

为达到上述目的，本发明采用了以下技术方案：

1)建立层叠碳纤维复合材料的三层单胞结构微观单元

层叠碳纤维复合材料包括依次层叠的多个碳布层以及在每一个碳布层的上下表面设置的由填充材料组成的界面层；每一个碳布层都是由碳纤维平面编织而成，在碳布层平面内由碳纤维编织形成多边形的周期性微观结构，该多边形的边由碳纤维组成，不同方向的碳纤维编织后形成位于多边形内的中间缝隙，中间缝隙经填充材料填充后使得多个碳布层相连接；由于碳纤维的轴向拉应力强度最大，在碳布层平面内不同方向的碳纤维承担不同方向的拉应力，填充材料各向同性，并且强度远小于碳纤维强度，界面层将受到的表面压力传递给碳布层；碳布层平面内任意一个多边形对应的区域、该区域两侧界面层上对应的区域以及该多边形中间缝隙中的填充材料共同构成层叠碳纤维复合材料的三层单胞结构微观单元；

2)对于由所述层叠碳纤维复合材料构成的特定结构，计算所述特定结构中层叠碳纤维复合材料的三层单胞结构微观单元的微观力学性能。

所述在碳布层平面内不同方向的碳纤维承担不同方向的拉应力是指在碳布层平面内，碳纤维只承担沿碳纤维轴向方向的拉应力，不同方向的碳纤维承担的对应拉应力(多个拉应力)形成的拉应力合力矢量和外加负载大小相等且方向相反。

在两个层叠碳纤维复合材料的三层单胞结构微观单元之间，在碳布层平面内由组成多边形的边的碳纤维进行连接；在碳布层垂直方向由界面层进行连接；由于不同方向上的力学特征不同，这种层叠碳纤维复合材料的三层单胞结构微观单元表现为各向异性。

所述填充材料为粘接胶、任意形状的碳纤维或粘接胶与任意形状的碳纤维的混合物，填充材料一方面起到连接碳布层的作用，另一方面将界面层承担的分布载荷传递给碳布层。

所述步骤2)具体包括以下步骤：对于由所述层叠碳纤维复合材料构成的旋转结构的零件(例如外形为圆柱或圆锥)，首先，按照该零件的碳布层编织结构确定多边形的边界和角度，并进行三层单胞结构微观单元的剖分；其次，按照碳纤维和填充材料的弹性模量和体积含量比，计算三层单胞结构微观单元的当量弹性模量；再次，根据该零件负载力大小和方向，确定碳布层内碳纤维束的主要负载力方向和次要负载力方向，并建立三层单胞结构微观单元的应力应变约束方程组，根据所述约束方程组计算出三层单胞结构微观单元的各个方向的应力应变，以及三层单胞结构微观单元中碳布层和界面层对应区域的各个方向的应力应变，从而更精确地分析计算与评价该零件的最大应力和最大变形，为提高层叠复合材料的承载能力提供一种技术手段。

所述三层单胞结构微观单元的应力应变约束方程组为：

(1)三层单胞结构微观单元的方向1力学性能方程为：

$E_{b, 1}^{α, β, k} = ρ Σ_{i = 1}^{n} (E_{f, 1, i}^{α, β, k} {cosθ}_{i} + E_{f, 2, i}^{α, β, k} {sinθ}_{i}) / n + (1 - ρ) E_{m}^{α, β, k} - - - (1)$

公式中，E为弹性模量；上标α为三层单胞结构微观单元在XOY平面的投影点O₁和原点O连线OO₁与X轴的夹角，上标β为三层单胞结构微观单元在Z轴的投影点O₂和原点O连线OO₂与Z轴的夹角，上标k为碳布层的层数序号；下标f、 m和b分别为碳纤维束、界面层和三层单胞结构微观单元，m＝m1或m2，m1、 m2为碳布层上、下表面处的界面层；下标1为碳纤维束主要负载力方向；下标 2为碳纤维束次要负载力方向；ρ为碳纤维束体积含量，1-ρ为界面层填充材料体积含量；θ为碳纤维束和碳布层内负载力F方向的夹角；n为一个三层单胞结构微观单元中编织碳纤维束的数量；方向1是指所述主要负载力方向，在碳布层平面内F的方向和方向1的夹角为θ；XOY平面位于零件的端面，Z轴过原点O 且与XOY平面垂直，原点O位于所述端面的中心；

(2)三层单胞结构微观单元的方向2力学性能方程为：

$E_{b, 2}^{α, β, k} = ρ Σ_{i = 1}^{n} (E_{f, 1, i}^{α, β, k} {sinθ}_{i} + E_{f, 2, i}^{α, β, k} {cosθ}_{i}) / n + (1 - ρ) E_{m}^{α, β, k} - - - (2)$

方向2是指所述次要负载力方向；

(3)三层单胞结构微观单元的方向3力学性能方程为：

$E_{b, 3}^{α, β, k} = E_{f, 2}^{α, β, k} E_{m}^{α, β, k} / ({ρE}_{f, 2}^{α, β, k} + (1 - ρ) E_{m}^{α, β, k}) - - - (3)$

方向3是指碳纤维束垂直负载力方向；下标3为碳纤维束垂直负载力方向；

(4)三层单胞结构微观单元的外力平衡方程为：

${\vec{σ}}_{1}^{α, β, k} = \frac{(p_{i} - p_{0}) R_{β}^{2}}{ξ^{2} - 1} \frac{1}{{(R_{β} + {kt}_{k})}^{2}}, ξ = λ / R_{β}, λ = R_{β} + K_{β} t_{k} - - - (4)$

${\vec{σ}}_{b, 1}^{α, β, k} = \frac{F}{2 {πR}_{β} t_{k}} + \frac{(p_{i} - p_{0} ξ^{2})}{ξ^{2} - 1} - - - (5)$ ${\vec{σ}}_{b, 2}^{α, β, k} = {\vec{σ}}_{b, 1}^{α, β, k} + {\vec{σ}}_{1}^{α, β, k} - - - (6)$

${\vec{σ}}_{b, 3}^{α, β, k} = {\vec{σ}}_{b, 1}^{α, β, k} - {\vec{σ}}_{1}^{α, β, k} - - - (7)$

公式中，p_i和p₀为碳布层平面的相对内界面层和外界面层承受的分布载荷； R_β为层叠碳纤维复合材料和β有关的半径；t_k为层叠碳纤维复合材料中第k层三层单胞结构微观单元的厚度；K_β为层叠碳纤维复合材料中和β有关的碳布层总层数，σG为应力；

(5)三层单胞结构微观单元的应变连续方程为：

${\vec{ϵ}}_{b, 1}^{α, β, k} = {\vec{ϵ}}_{f, 1}^{α, β, k} = {\vec{ϵ}}_{m 1, 1}^{α, β, k} = {\vec{ϵ}}_{m 2, 1}^{α, β, k} = {\vec{σ}}_{b, 1}^{α, β, k} / E_{b, 1}^{α, β, k} - - - (8)$

${\vec{ϵ}}_{b, 2}^{α, β, k} = {\vec{ϵ}}_{f, 2}^{α, β, k} = {\vec{ϵ}}_{m 1, 2}^{α, β, k} = {\vec{ϵ}}_{m 2, 2}^{α, β, k} = {\vec{σ}}_{b, 2}^{α, β, k} / E_{b, 2}^{α, β, k} - - - (9)$

${\vec{ϵ}}_{b, 3}^{α, β, k} = {\vec{ϵ}}_{f, 3}^{α, β, k} + {\vec{ϵ}}_{m 1, 3}^{α, β, k} + {\vec{ϵ}}_{m 2, 3}^{α, β, k} - - - (10)$

公式中，为应变；

(6)三层单胞结构微观单元的应力连续方程为：

${\vec{σ}}_{b, 1}^{α, β, k} = {\vec{σ}}_{f, 1}^{α, β, k} + {\vec{σ}}_{m 1, 1}^{α, β, k} + {\vec{σ}}_{m 2, 1}^{α, β, k} - - - (11)$

${\vec{σ}}_{b, 2}^{α, β, k} = {\vec{σ}}_{f, 2}^{α, β, k} + {\vec{σ}}_{m 1, 2}^{α, β, k} + {\vec{σ}}_{m 2, 2}^{α, β, k} - - - (12)$

${\vec{σ}}_{b, 3}^{α, β, k} = {\vec{σ}}_{f, 3}^{α, β, k} = {\vec{σ}}_{m 1, 3}^{α, β, k} = {\vec{σ}}_{m 2, 3}^{α, β, k} - - - (13)$

(7)碳布层在三层单胞结构微观单元对应区域的应力方程为：

${\vec{σ}}_{f, 1}^{α, β, k} = E_{f, 1}^{α, β, k} \cdot {\vec{ϵ}}_{f, 1}^{α, β, k} - - - (14)$

${\vec{σ}}_{f, 2}^{α, β, k} = E_{f, 2}^{α, β, k} \cdot {\vec{ϵ}}_{f, 2}^{α, β, k} - - - (15)$

${\vec{ϵ}}_{f, 3}^{α, β, k} = {\vec{σ}}_{f, 3}^{α, β, k} / E_{f, 3}^{α, β, k} - - - (16)$

(8)界面层在三层单胞结构微观单元对应区域的应力方程为：

${\vec{σ}}_{m 1, 1}^{α, β, k} = {\vec{σ}}_{m 1, 2}^{α, β, k} = E_{m 1, 1}^{α, β, k} \cdot {\vec{ϵ}}_{m 1, 1}^{α, β, k} - - - (17)$ ${\vec{σ}}_{m 1, 2}^{α, β, k} = {\vec{σ}}_{m 2, 2}^{α, β, k} = E_{m 2, 1}^{α, β, k} \cdot {\vec{ϵ}}_{m 2, 1}^{α, β, k} - - - (18)$

${\vec{ϵ}}_{m 1, 3}^{α, β, k} = {\vec{ϵ}}_{m 2, 3}^{α, β, k} = {\vec{σ}}_{m, 3}^{α, β, k} E_{m, 3}^{α, β, k} - - - (19)$

。

本发明与现有技术相比，其优点在于：

本发明为层叠碳纤维复合材料的力学性能分析计算提供一种更加合理的微观剖分模型以及高精度力学性能分析计算方法。传统应力与应变平衡方程是按照单胞整体进行组织的，由于单胞由强度不同的碳纤维和基体组成，因此，应力在单胞传递过程中，造成单胞单元产生畸变，从而产生较大计算误差。而本发明提出了一种层叠碳纤维复合材料的三层单胞结构微观力学性能计算方法，并首次将其应用于层叠碳纤维复合材料的结构剖分和性能计算分析领域。该方法说明单胞中由碳纤维传递大部分的应力和应变，外加负载力沿着碳纤维轴向方向传播，充分利用了碳纤维高强度优点，因此，该方法能够将层叠碳纤维复合材料承载时的微观结构作为单胞剖分单元，建立各个单胞单元的力学传递方程，分析层叠碳纤维复合材料的设计结构合理性，可见，该方法能够为高精度分析与设计层叠碳纤维复合材料力学性能的计算提供一种技术途径，从而推动层叠碳纤维复合材料分析、设计与制造技术的不断发展。

附图说明

图1是三层单胞结构模型示意图；其中：(a)为层叠碳纤维复合材料零件的三维结构图，X、Y、Z、o分别为坐标系XYZO的XYZ坐标方向轴和原点；O₁为三层单胞结构微观单元在层叠碳纤维复合材料坐标系XYZO中的XOY平面的投影点、O₂为三层单胞结构微观单元在Z轴的投影点；(b)为(a)中所示三层单胞结构微观单元局部放大图，1为三层单胞结构微观单元、2为碳布层；

图2是碳布的周期编织结构和局部放大示意图；其中：(a)为碳布的周期编织结构，(b)为(a)中所示碳布的周期编织单元结构局部放大图，3为碳纤维、 4为中间缝隙、5为周期编织单元、F为外部负载力，其作用在碳布层平面内。

图3是碳布层周期编织碳布的界面和中间缝隙中的填充材料示意图；其中： 3为碳纤维、6-1为界面层中的填充材料、6-2为中间缝隙中的填充材料；

图4是碳布层受力和碳纤维剖分单元受力示意图；其中：(a)为碳布层受力图，(b)为碳纤维剖分单元受力图，3为碳纤维；

图5是界面层受力和中间缝隙受力示意图；其中：(a)为界面层填充材料受力图，(b)为中间缝隙力传递示意图，6-1为界面层中的填充材料；

图6(a)是层叠碳纤维复合材料零件三维结构图，图6(b)为在垂直碳布层的方向三层单胞结构应力分布图。

图7为计算流程框图。

具体实施方式

下面结合附图和实施例对本发明做进一步说明。

针对碳纤维复合材料叠层结构的特殊性，本发明在层叠碳纤维复合材料结构分析、设计与加工制造工艺中，重新对碳纤维复合材料层叠微观单胞进行结构设计、性能描述、评价和应用，构建面向层叠碳纤维复合材料的多边形的周期性微观单元，并据此提出层叠碳纤维复合材料结构的力学性能分析与设计的新方法，可以揭示碳纤维复合材料实际载荷传递规律和碳纤维拨出缺陷等现象，以及探索其微观单元的相互作用规律；从而弥补传统碳纤维复合材料的GMC、HFGMC 和VCFEM模型的计算精度不足，缩短目前我国层叠复合材料预制体制造工艺方法与国际先进水平之间的差距。

(一)层叠碳纤维复合材料的三层单胞结构微观单元建立

(1)层叠碳纤维复合材料的结构由一层层碳布层叠而成，每一层的碳布层上下表面具有由其它材料填充组成的两个界面层，如图1所示，该模型结构有三层，中间为碳布层，碳布层上下表面具有由其它材料填充组成的两个界面层。

(2)每一个碳布层都是由碳纤维平面编织而成，形成多边形的周期性微观结构，该多边形的边由碳纤维组成，不同方向的碳纤维编织后形成中间缝隙，如图2所示。所述多边形的周期性微观结构是由碳纤维平面编织而成，编织的多边形中间形成中间缝隙。每一层的碳布层上下表面具有由其它材料填充组成的两个界面层。在碳布层平面内不同方向的碳纤维编织后形成的中间缝隙由其它材料填充，使得碳布层和两个界面层相连接，在两个界面层和中间缝隙中由其它材料填充后使得多个碳布层相连接，如图3所示，即在界面层和中间缝隙中有填充材料，和碳布层共同构成三层单胞结构微观单元。

在力学性能方面，由于碳纤维的轴向拉应力强度最大，在碳布层平面内，不同方向的碳纤维承担不同方向的拉应力；在界面层和中间缝隙中，填充材料各向同性，其拉伸强度远小于碳纤维的拉伸强度，界面层将受到的表面分布压力传递给碳布层。

(3)在两个层叠碳纤维复合材料的三层单胞结构微观单元之间，在碳布层平面内由组成多边形的边的碳纤维进行连接，主要应力的传递方向沿着碳纤维的轴向方向，碳纤维的径向方向传递较小的应力和应变，如图4所示。由于碳纤维的轴向拉应力强度最大，在碳布层平面内，不同方向的碳纤维承担不同方向的拉应力，即碳纤维只承担沿碳纤维轴向方向的拉应力，不同方向的碳纤维承担的多个拉应力形成的拉应力合力矢量和外加负载大小相等、方向相反；在碳布层垂直方向由界面层进行连接；由于不同方向上的力学特征不同，这种层叠碳纤维复合材料的三层单胞结构微观单元表现为各向异性，如图5所示。每一个界面层中的其它材料是指粘接胶、任意形状的碳纤维等填充材料，这些填充材料一方面起到连接碳布层的作用，另一方面将界面层承担的分布载荷传递给碳布层。

(二)针对每一个三层单胞结构微观单元的力学性能分析，由于碳纤维的轴向拉应力强度最大，在碳布层平面内，不同方向的碳纤维承担不同方向的拉应力，所有应力矢量与碳纤维作用面积乘积之和与外力矢量相平衡；在垂直碳布层平面，表现为表面分布应力由碳布层平面和界面层共同地均匀承担，因此，层叠碳纤维复合材料的三层单胞结构微观单元的力学性能就是根据层叠碳纤维的特征来建立的，首先，计算层叠碳纤维复合材料的三层单胞结构微观单元的力学性能；然后，计算碳布层和界面层对应于三层单胞结构微观单元的多边形区域的力学性能，具体如下：

(1)三层单胞结构的方向1是指主要负载力方向，其力学性能方程：

$E_{b, 1}^{α, β, k} = ρ Σ_{i = 1}^{n} (E_{f, 1, i}^{α, β, k} {cosθ}_{i} + E_{f, 2, i}^{α, β, k} s i n θ_{i}) / n + (1 - ρ) E_{m}^{α, β, k} - - - (1)$

式1中，E为弹性模量；上标α为三层单胞结构微观单元在XOY平面的投影点O₁和原点O连线OO₁与X轴的夹角，上标β为三层单胞结构微观单元在Z轴的投影点O₂和原点O连线OO₂与Z轴的夹角，上标k为碳布层的层数序号；下标f、 m和b分别为碳纤维束、界面层和三层单胞结构微观单元，m＝m1或m2，m1、 m2为碳布层上、下表面处的界面层；下标1为碳纤维束主要负载力方向；下标 2为碳纤维束次要负载力方向；ρ为碳纤维束体积含量，1-ρ为界面层填充材料体积含量；θ为碳纤维束和碳布层内负载力F方向的夹角；n为一个三层单胞结构微观单元中编织碳纤维束的数量；以下相同。

式1说明碳纤维束在不同方向上表现为各向异性，不同方向分布的碳纤维束承担的负载取决于碳纤维束分布方向和负载作用方向的夹角。

(2)三层单胞结构的方向2是指次要负载力方向，其力学性能方程：

$E_{b, 2}^{α, β, k} = ρ Σ_{i = 1}^{n} (E_{f, 1, i}^{α, β, k} {sinθ}_{i} + E_{f, 2, i}^{α, β, k} {cosθ}_{i}) / n + (1 - ρ) E_{m}^{α, β, k} - - - (2)$

式2中符号同上。

式2说明碳纤维束在不同方向上表现为各向异性，不同方向分布的碳纤维束承担的负载取决于碳纤维束分布方向和负载作用方向的夹角。

(3)三层单胞结构的方向3是指碳纤维束垂直负载力方向，其力学性能方程：

$E_{b, 3}^{α, β, k} = E_{f, 2}^{α, β, k} E_{m}^{α, β, k} / ({ρE}_{f, 2}^{α, β, k} + (1 - ρ) E_{m}^{α, β, k}) - - - (3)$

式3中符号同上，下标3为碳纤维束垂直负载力方向。

式3说明在三层单胞结构微观单元中在垂直于碳布层平面方向上碳布层和两个界面层构成串联分布，均匀地分担来自于层叠碳纤维复合材料内部和外部的分布力。

(4)三层单胞结构的外力平衡方程：

${\vec{σ}}_{1}^{α, β, k} = \frac{(p_{i} - p_{0}) {R_{β}}^{2}}{ξ^{2} - 1} \frac{1}{{(R_{β} + {kt}_{k})}^{2}}, ξ = λ / R_{β}, λ = R_{β} + K_{β} t_{k} - - - (4)$

${\vec{σ}}_{b, 1}^{α, β, k} = \frac{F}{2 {πR}_{β} t_{k}} + \frac{(p_{i} - p_{0} ξ^{2})}{ξ^{2} - 1} - - - (5)$

${\vec{σ}}_{b, 2}^{α, β, k} = {\vec{σ}}_{b, 1}^{α, β, k} + {\vec{σ}}_{1}^{α, β, k} - - - (6)$

${\vec{σ}}_{b, 3}^{α, β, k} = {\vec{σ}}_{b, 1}^{α, β, k} - {\vec{σ}}_{1}^{α, β, k} - - - (7)$

式4～7中，F为碳布层平面内的负载力，在碳布层平面内其方向和三层单胞结构微观单元的方向1的夹角为θ；p_i和p₀为碳布层平面的相对内界面层和外界面层承受的分布载荷；R_β为层叠碳纤维复合材料和β有关的半径；t_k为层叠碳纤维复合材料中第k层三层单胞结构微观单元的厚度；K_β为层叠碳纤维复合材料中和β有关的碳布层总层数，其它符号同上。

(5)三层单胞结构的应变连续方程：

${\vec{ϵ}}_{b, 1}^{α, β, k} = {\vec{ϵ}}_{f, 1}^{α, β, k} = {\vec{ϵ}}_{m 1, 1}^{α, β, k} = {\vec{ϵ}}_{m 2, 1}^{α, β, k} = {\vec{σ}}_{b, 1}^{α, β, k} / E_{b, 1}^{α, β, k} - - - (8)$

${\vec{ϵ}}_{b, 2}^{α, β, k} = {\vec{ϵ}}_{f, 2}^{α, β, k} = {\vec{ϵ}}_{m 1, 2}^{α, β, k} = {\vec{ϵ}}_{m 2, 2}^{α, β, k} = {\vec{σ}}_{b, 2}^{α, β, k} / E_{b, 2}^{α, β, k} - - - (9)$

${\vec{ϵ}}_{b, 3}^{α, β, k} = {\vec{ϵ}}_{f, 3}^{α, β, k} + {\vec{ϵ}}_{m 1, 3}^{α, β, k} + {\vec{ϵ}}_{m 2, 3}^{α, β, k} - - - (10)$

式8～10中符号同上。

式8～9说明碳纤维和填充材料处于负载平面内，在负载的作用下，碳纤维和填充材料共同承受负载，从而产生相同的变形；由于碳纤维的弹性模量较大，因此，碳纤维承受的力也较大，相反填充材料承受的力较小。式10说明在负载作用下，两个界面层和碳布层都产生变形，在方向3上这些变形产生了叠加。

(6)三层单胞结构的应力连续方程：

${\vec{σ}}_{b, 1}^{α, β, k} = {\vec{σ}}_{f, 1}^{α, β, k} + {\vec{σ}}_{m 1, 1}^{α, β, k} + {\vec{σ}}_{m 2, 1}^{α, β, k} - - - (11)$

${\vec{σ}}_{b, 2}^{α, β, k} = {\vec{σ}}_{f, 2}^{α, β, k} + {\vec{σ}}_{m 1, 2}^{α, β, k} + {\vec{σ}}_{m 2, 2}^{α, β, k} - - - (12)$

${\vec{σ}}_{b, 3}^{α, β, k} = {\vec{σ}}_{f, 3}^{α, β, k} = {\vec{σ}}_{m 1, 3}^{α, β, k} = {\vec{σ}}_{m 2, 3}^{α, β, k} - - - (13)$

式11～13中的符号同上。

式11～13说明，在方向1和2上三层单胞结构微观单元在不同方向上按照当量弹性模量的大小，承受的负载产生的应力和应变之间存在着比例关系，在方向 3上这些应力大小相同。

(7)碳布层的应力方程：

由于碳纤维属于各向异性材料，因此，其碳布层的应力方程如下：

${\vec{σ}}_{f, 1}^{α, β, k} = E_{f, 1}^{α, β, k} \cdot {\vec{ϵ}}_{f, 1}^{α, β, k} - - - (14)$

${\vec{σ}}_{f, 2}^{α, β, k} = E_{f, 2}^{α, β, k} \cdot {\vec{ϵ}}_{f, 2}^{α, β, k} - - - (15)$

${\vec{ϵ}}_{f, 3}^{α, β, k} = {\vec{σ}}_{f, 3}^{α, β, k} / E_{f, 3}^{α, β, k} - - - (16)$

式14～16中，符号同上。

在碳布层平面内，式14～15说明碳纤维在负载的作用下，在碳纤维和填充材料相同变形条件下碳纤维承受的力较大。式16说明在负载作用下，碳布层产生的变形等于三层单胞结构微观单元在方向3上碳纤维的弹性模量除以这个方向的应力。

(8)界面层的应力方程：

由于填充材料属于各向同性材料，因此，其应力方程如下：

${\vec{σ}}_{m 1, 1}^{α, β, k} = {\vec{σ}}_{m 1, 2}^{α, β, k} = E_{m 1, 1}^{α, β, k} \cdot {\vec{ϵ}}_{m 1, 1}^{α, β, k} - - - (17)$

${\vec{σ}}_{m 1, 2}^{α, β, k} = {\vec{σ}}_{m 2, 2}^{α, β, k} = E_{m 2, 1}^{α, β, k} \cdot {\vec{ϵ}}_{m 2, 1}^{α, β, k} - - - (18)$

${\vec{ϵ}}_{m 1, 3}^{α, β, k} = {\vec{ϵ}}_{m 2, 3}^{α, β, k} = {\vec{σ}}_{m, 3}^{α, β, k} / E_{m, 1}^{α, β, k} - - - (19)$

公式17～19中，符号同上。

在界面层平面内，式17～18说明填充材料在负载的作用下，在碳纤维和填充材料相同变形条件下填充材料承受的力较小。式19说明两个界面层在方向3上负载作用产生的变形等于三层单胞结构微观单元在方向3上填充材料的应力除以这个方向的弹性模量。

下面给出计算流程，如图7所示。其具体计算步骤说明如下：

A.根据式1、2和3计算三层单胞结构的方向1、2和3的弹性模量和

B.根据式4、5、6和7计算三层单胞结构的方向1、2和3的应力值得注意，在层叠碳纤维复合材料的结构壁厚和直径变化的条件下，计算应力时需要根据给定的R_β和K_β；

C.根据式8和9计算三层单胞结构的方向1和2的应变和

D.根据式8和9计算碳布层在方向1和2的应变和

E.根据式14和15计算碳布层在方向1和2的应力和

F.根据式8和9计算界面层在方向1和2的应变和

G.根据式17和18计算界面层在方向1和2的应力和

H.根据式13计算碳布层在方向3的应力

I.根据式16计算碳布层在方向3的应变

J.根据式13计算界面层在方向3的应力

K.根据式19计算界面层在方向3的应变

L.根据式10计算三层单胞结构在方向3的应变

(四)应用实例

假设层叠碳纤维复合材料碳布层为10层，碳布层厚度为0.167mm(300g/m²)，界面层厚度为0.025mm，选用GB50367-2013中I-300碳布力学性能指标：碳纤维的轴向弹性模量为240GPa，泊松比为0.2，横向弹性模量为100GPa；填充材料选择环氧树脂与短碳纤维混合材料(短碳纤维体积含量占30％)，弹性模量为 10GPa；层叠碳纤维复合材料结构为一个均匀壁厚(2.17mm)的圆柱形零件，内外壁直径不变，这时，α＝0～360°，β＝0°，内壁直径3000mm，高度500mm，如图6所示。计算条件为端面拉力(即碳布层内负载力F)＝100N，内部压力p_i＝为10MPa，外部压力p₀＝0时，根据以上计算步骤可以分别计算出三层单胞结构的力学性能如表1所示。

表1三层单胞结构的力学性能单位：MPa

4)应用效果

通过以上计算与对比分析，以及从图1～5中可以得到：层叠碳纤维复合材料在承载方面θ＝45°更加合理，说明单胞中由碳纤维传递大部分的应力和应变，外加负载力沿着碳纤维轴向方向传播，充分利用了碳纤维高强度优点，因此，基于三层单胞结构微观力学性能计算方法可以为提高层叠碳纤维复合材料力学性能和结构优化提供一种技术手段，从而说明本发明提出的一种层叠碳纤维复合材料的三层单胞结构微观力学性能计算方法具有实用性和有效性。

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