一种七阶广义Van der Pol振子非线性电路

摘要

本发明公开了一种七阶广义Van der Pol振子非线性电路，包括运算放大器、模拟乘法器和多个电阻及电容；运算放大器U1、U2构成线性反相积分器，输出信号V1、V2，运算放大器U3、U4、U5、U6构成线性反向放大器；U2的输出端与U1的反向输入端相连接，U2和U4的输出端与模拟乘法器M2相连，M2的输出端和U1的输出端与U3相连，U3的输出端与U2相连，U1的输出端与模拟乘法器M1相连，M1的输出端与U5相连，U5的输出端与模拟乘法器M3相连。该电路实现简便而且成本低廉，只需改变电路中电阻和电容的大小就可以演示出不同的分岔现象；不仅适用实验演示，还可验证广义Hopf分岔理论，验证两个吸引子共存的现象，并可以研究非线性电路中存在的其它非线性现象。

说明书

技术领域

本发明属于非线性动力学和模拟电子技术领域，特别涉及七阶广义Van der Pol振子非 线性电路的构建。

背景技术

分岔是非线性动力系统的重要特性，是指非线性动力系统的行为随着系统参数的改变 而产生本质的变化。Hopf分岔是最简单的动态分岔形式，在系统的平衡状态稳定性改变同 时产生极限环振荡，广泛存在于各类现实系统。在强非线性作用下这类系统可能产生平衡 点与极限环共存的多稳态现象。如何通过实验认识这类现象的共性机理是解决此类工程问 题面临的理论课题。

Van der Pol振子系统作为典型的非线性动力系统，是能反映Hopf分岔现象的最简单的 系统，对于人们认识自激振动等非线性动力学现象发挥了重要作用。目前针对高阶Van der  Pol振子系统设计的非线性电路少之又少，已经设计出来的非线性电路对应的系统方程最高 次项也仅为五次，甚至更低，难以演示平衡点与极限环共存的多稳态现象。因此开发高阶 Van der Pol电路有重要的理论意义和潜在工程价值。

发明内容

针对现有技术中存在的技术问题，本发明提供一种七阶广义Van der Pol振子非线性电 路，该电路不仅适用于大学非线性科学教育、实验教学与演示、科学普及实验演示，而且 可以验证广义Hopf分岔理论，验证两个吸引子共存的现象，并研究非线性电路中存在的其 它非线性现象。

为了解决上述技术问题，本发明提出的一种七阶广义Van der Pol振子非线性电路，该 电路包括的电子元器件有6个运算放大器、4个模拟乘法器、15个电阻和2个电容，6个运 算放大器分别为运算放大器U1、运算放大器U2、运算放大器U3、运算放大器U4、运算放 大器U5和运算放大器U6，4个模拟乘法器分别为模拟乘法器M1、模拟乘法器M2、模拟 乘法器M3和模拟乘法器M4；15个电阻分别为电阻R1、电阻R2、电阻R3、电阻R4、电 阻R5、电阻R6、电阻R7、电阻R8、电阻R9、电阻R10、电阻R11、电阻R12、电阻R13、 电阻R14和可变电阻R15；2个电容分别为电容C1和电容C2；其特征在于，电路中所有电 子元器件的连接关系如下：

所述运算放大器U2反相输入端与电阻R2的一端连接，同相输入端接地，反相输入端 与输出端之间连接并联的电容C2，输出端与电阻R1的一端相连；

所述运算放大器U1反相输入端与电阻R1的另一端连接，同相输入端接地，反相输入 端与输出端之间连接并联的电容C1，输出端同时与模拟乘法器M1的第一反相输入端X2 与第二同相输入端Y1连接；

所述模拟乘法器M1的第一同相输入端X1、第二反相输入端Y2与第三输入端Z均接 地，输出端W分别与电阻R7的一端和电阻R10的一端相连；

所述运算放大器U5反相输入端与电阻R10的另一端连接，同相输入端接地，反相输入 端与输出端之间连接并联的电阻R11，输出端同时与模拟乘法器M3的第一同相输入端X1 与第二同相输入端Y1连接，与模拟乘法器M4的第二同相输入端Y1连接；

所述模拟乘法器M3的第一反相输入端X2、第二反相输入端Y2与第三输入端Z均接 地，输出端W分别与电阻R9的一端和电阻R13的一端相连；

所述运算放大器U6反相输入端与电阻R13的另一端连接，同相输入端接地，反相输入 端与输出端之间连接并联的电阻R12，输出端与模拟乘法器M4的第一同相输入端X1连接；

所述模拟乘法器M4的第二同相输入端Y1与运算放大器U5的输出端连接，第一反相 输入端X2、第二反相输入端Y2与第三输入端Z均接地，输出端W与电阻R14的一端相连；

所述运算放大器U4反相输入端分别与电阻R8的一端、电阻R7的另一端、电阻R9的 另一端、电阻R14的另一端连接，同相输入端接地，反相输入端与输出端之间连接并联的 电阻R6，输出端与模拟乘法器M2的第一同相输入端X1连接；

所述电阻R8的另一端与可变电阻R15中间端子相连接；

所述可变电阻R15的另外两个端子分别连接至直流电源V4的阳极和直流电源V5的阴 极；

所述直流电源V4的阴极与所述直流电源V5的阳极相连接，并同时接地；

所述模拟乘法器M2的第二反相输入端Y2与运算放大器U2的输出端连接，第一反相 输入端X2、第二同相输入端Y1与第三输入端Z均接地，输出端W与电阻R4相连；

所述电阻R4与电阻R5并联后再与所述运算放大器U3反相输入端相连，所述运算放 大器U3的同相输入端接地、反相输入端与输出端之间连接并联的电阻R3，输出端与电阻 R2的另一端相连，所述电阻R5的另一端连接至所述运算放大器U1与电容C1的并联节点。

与现有技术相比，本发明的有益效果是：

本发明的电路结构简单，实现简便而且成本低廉，只需改变电路中电阻和电容的大小 就可以演示出不同的分岔现象。

附图说明

图1为本发明七阶广义Van der Pol方程理论分岔图；

图2为本发明七阶广义Van der Pol振子非线性电路原理图；

图3为七阶广义Van der Pol振子系统电路在双稳态区间内，给定初始条件较小时，输 出响应电压V1的波形图；

图4为七阶广义Van der Pol振子系统电路在双稳态区间内，给定初始条件较小时，输 出响应电压V1-V2的相图；

图5为七阶广义Van der Pol振子系统电路在双稳态区间内，给定初始条件较大时，输 出响应电压V1的波形图；

图6为七阶广义Van der Pol振子系统电路在双稳态区间内，给定初始条件较大时，输 出响应电压V1-V2的相图；

图7为七阶广义Van der Pol振子系统电路在电压V3由小到大变化时，输出响应电压 V1随V3变化的波形图；

图8为七阶广义Van der Pol振子系统电路在电压V3由大到小变化时，输出响应电压 V1随V3变化的波形图。

具体实施方式

下面结合附图和具体实施例对本发明技术方案作进一步详细描述，所描述的具体实施 例仅仅对本发明进行解释说明，并不用以限制本发明。

如图2所示，本发明一种七阶广义Van der Pol振子非线性电路，该电路包括的电子元 器件有6个运算放大器、4个模拟乘法器、15个电阻和2个电容，6个运算放大器分别为运 算放大器U1、运算放大器U2、运算放大器U3、运算放大器U4、运算放大器U5和运算放 大器U6，4个模拟乘法器分别为模拟乘法器M1、模拟乘法器M2、模拟乘法器M3和模拟 乘法器M4；15个电阻分别为电阻R1、电阻R2、电阻R3、电阻R4、电阻R5、电阻R6、 电阻R7、电阻R8、电阻R9、电阻R10、电阻R11、电阻R12、电阻R13、电阻R14和可 变电阻R15；2个电容分别为电容C1和电容C2；电路中所有电子元器件的连接关系如下：

所述运算放大器U2反相输入端与电阻R2连接，同相输入端接地，反相输入端与输出 端之间连接并联的电容C2，输出端与电阻R1相连；

所述运算放大器U1反相输入端与电阻R1连接，同相输入端接地，反相输入端与输出 端之间连接并联的电容C1，输出端同时与模拟乘法器M1的第一反相输入端X2与第二同 相输入端Y1连接；

所述模拟乘法器M1的第一同相输入端X1、第二反相输入端Y2与第三输入端Z均接 地，输出端W分别与电阻R7和电阻R10相连；

所述运算放大器U5反相输入端与电阻R10连接，同相输入端接地，反相输入端与输出 端之间连接并联的电阻R11，输出端同时与模拟乘法器M3的第一同相输入端X1与第二同 相输入端Y1连接，与模拟乘法器M4的第二同相输入端Y1连接；

所述模拟乘法器M3的第一反相输入端X2、第二反相输入端Y2与第三输入端Z均接 地，输出端W分别与电阻R9和电阻R13相连；

所述运算放大器U6反相输入端与电阻R13连接，同相输入端接地，反相输入端与输出 端之间连接并联的电阻R12，输出端与模拟乘法器M4的第一同相输入端X1连接；

所述模拟乘法器M4的第二同相输入端Y1与运算放大器U5的输出端连接，第一反相 输入端X2、第二反相输入端Y2与第三输入端Z均接地，输出端W与电阻R14相连；

所述运算放大器U4反相输入端分别与电阻R8、电阻R7、电阻R9、电阻R14连接， 同相输入端接地，反相输入端与输出端之间连接并联的电阻R6，输出端与模拟乘法器M2 的第一同相输入端X1连接；

所述电阻R8的另一端与可变电阻R15中间端子相连接；

所述可变电阻R15的另外两个端子分别连接至直流电源V4的阳极和直流电源V5的阴 极；

所述直流电源V4的阴极与所述直流电源V5的阳极相连接，并同时接地；

所述模拟乘法器M2的第二反相输入端Y2与运算放大器U2的输出端连接，第一反相 输入端X2、第二同相输入端Y1与第三输入端Z均接地，输出端W与电阻R4相连；

所述电阻R4与电阻R5并联后再与所述运算放大器U3反相输入端相连，所述运算放 大器U3的同相输入端接地、反相输入端与输出端之间连接并联的电阻R3，输出端与电阻 R2相连，所述电阻R5的另一端连接至所述运算放大器U1与电容C1的并联节点。

本发明七阶广义Van der Pol振子非线性电路，其具有七阶非线性项的广义Van der Pol 振子确定性系统的理论模型为

$\stackrel{··}{x}-(ϵ-{\alpha }_1·x^2+{\alpha }_2·x^4-{\alpha }_3·x^6)\stackrel{·}{x}+x=0---\left(1\right)$

方程(1)是在标准Van der Pol方程基础上，阻尼项中 添加了高次项x⁴，x⁶，并且使各项系数变为ε，α₁，α₂，α₃。

如图2所示的电路原理图，根据电路基本理论可得该七阶广义Van der Pol振子非线性 电路系统的数学方程为：

$\frac{d^2{V}_1}{d{t}^2}-\frac{R_3{R}_6}{10R_2{R}_4{C}_2}(\frac{V_3}{R_8}-\frac{V_1^2}{10R_7}+\frac{{R_{11}}^2{V}_1^4}{{10}^3{R}_9{R_{10}}^2}-\frac{R_{12}{R}_{11}{V}_1^6}{{10}^5{R}_{14}{R}_{13}{R_{10}}^3})\frac{d{V}_1}{\mathrm{dt}}+\frac{R_3}{R_1{R}_2{R}_5{C}_1{C}_2}{V}_1=0---\left(2\right)$

式(2)中V₁为反相积分器U1输出的电压信号，单位为伏特(V)；V₃为可变电阻R15 中间端子输出的电压值，单位为伏特(V)；R₁，R₂，R₃，R₄，R₅，R₆，R₇，R₈，R₉，R₁₀， R₁₁，R₁₂，R₁₃，R₁₄分别为电阻R1、电阻R2、电阻R3、电阻R4、电阻R5、电阻R6、电 阻R7、电阻R8、电阻R9、电阻R10、电阻R11、电阻R12、电阻R13、电阻R14的阻值， 单位为欧姆(Ω)；C₁，C₂分别为电容C1和电容C2的容值，单位为法拉(F)。

式(2)中，令${\omega }^2=\frac{R_3}{R_1{R}_2{R}_5{C}_1{C}_2},$则$\omega =\sqrt{\frac{R_3}{R_1{R}_2{R}_5{C}_1{C}_2}};$

令τ＝ωt，代入式(2)中，得

$\frac{d^2{V}_1}{d{\tau }^2}-\frac{R_3{R}_6}{10R_2{R}_4{C}_2·\omega }(\frac{V_3}{R_8}-\frac{V_1^2}{10R_7}+\frac{{R_{11}}^2{V}_1^4}{{10}^3{R}_9{R_{10}}^2}-\frac{R_{12}{R_{11}}^3{V}_1^6}{{10}^5{R}_{14}{R}_{13}{R_{10}}^3})\frac{d{V}_1}{\mathrm{d\tau }}+{\omega }^2{V}_1=0---\left(3\right)$

令ω²＝1，v₁＝x，代入式(3)，得

$\stackrel{··}{x}-\frac{R_3{R}_6}{10R_2{R}_4{C}_2}(\frac{V_3}{R_8}-\frac{x^2}{10R_7}+\frac{{R_{11}}^2{x}^4}{{10}^3{R}_9{R_{10}}^2}-\frac{R_{12}{R_{11}}^3{x}^6}{{10}^5{R}_{14}{R}_{13}{R_{10}}^3})\stackrel{·}{x}+x=0---\left(4\right)$

比较式(1)和式(4)，可得：

$\left(\begin{array}{c}{V}_3=ϵ\\ \frac{R_3{R}_6}{10R_2{R}_4{C}_2·R_8}=1\\ \frac{R_3{R}_6}{10R_2{R}_4{C}_2·10R_7}={\alpha }_1\\ \frac{R_3{R}_6}{10R_2{R}_4{C}_2}·\frac{{R_{11}}^2}{{10}^3{R}_9{R_{10}}^2}={\alpha }_2\\ \frac{R_3{R}_6}{10R_2{R}_4{C}_2}·\frac{R_{12}{R_{11}}^3}{{10}^5{R}_{13}{R}_{14}{R_{10}}^3}={\alpha }_3\end{array}\right)---\left(5\right)$

根据分岔理论，由奇异性分析可以得出，以ε作为分岔参数，式(5)中，取系数α₁＝2.5， α₂＝4.545，α₃＝1.786时，分岔图如图1所示。图1给出了七阶非线性系统极限环的幅值 随分岔参数ε变化的曲线，图中实线表示稳定解、点划线表示不稳定解。在一定的区间内， 该七阶非线性系统有一个平衡点和三个同心极限环，从原点由内向外分别是不稳定、稳定、 不稳定、稳定，即有两个吸引子共存，故方程(1)属于双稳态系统。

实施例：

如图2所示，本发明实施例中各电子元器件的参数如下：6个运算放大器U1、U2、U3、 U4、U5、U6的型号均为LF412CN，4个模拟乘法器M1、M2、M3、M4的型号均为AD633JN， C₁＝C₂＝10nF，R₂＝R₃＝R₄＝R₁₀＝R₁₃＝1kΩ，R₁＝R₅＝R₁₁＝R₁₂＝10kΩ，R₆＝R₈＝100kΩ， R₇＝4kΩ，R₉＝2.2kΩ，R₁₄＝5.6kΩ，可变电阻R₁₅＝20kΩ。

用PSpice模拟仿真软件对该电路方程即式(2)进行仿真实验，改变可变电阻R₁₅的阻 值大小，相当于给定不同的电压值V₃。当调节电压值V₃的大小位于双稳态区间内，其双稳 态区间为-0.13V到-0.16V，本实施例取-0.15V，给定初始条件V₁的值较小时，其范围为0.001V 到0.2V，本实施例取0.15V，输出响应V₁最终稳定在较小的幅值，其值为0.5V左右，仿真 结果如图3所示，并形成一个幅值较小的稳定极限环，仿真结果如图4所示；给定初始条 件V₁的值较大时，其范围为0.3V到1.5V，本实施例取0.5V，输出响应V₁最终稳定在较大 的幅值，该值为1.4V左右，仿真结果如图5所示，并形成一个幅值较大的稳定极限环，仿 真结果如图6所示。当连续由小到大改变电压值V₃时，输出响应电压V1随V3变化的波形 图(由于波形过于密集，所以呈现一片黑色)，如图7所示；当连续由大到小改变电压值V₃时，输出响应电压V1随V3变化的波形图(由于波形过于密集，所以呈现一片黑色)如图 8所示。图3图4和图5图6表明，在同一分岔参数ε的条件下，给定不同的初值，系统的 响应会稳定在两个不同的吸引子上；图7和图8进一步表明，该系统存在双稳态区间。由 图3到图8，证明了本发明的有效性。电路仿真结果表明此七阶Van der Pol振子系统在物理 上是可以实现的，而且可以用于验证两个吸引子共存的现象。

尽管上面结合附图对本发明进行了描述，但是本发明并不局限于上述的具体实施方式， 上述的具体实施方式仅仅是示意性的，而不是限制性的，本领域的普通技术人员在本发明 的启示下，在不脱离本发明宗旨的情况下，还可以做出很多变形，这些均属于本发明的保 护之内。