一种基于数学模型预测锚杆极限承载力的计算方法

摘要

本发明涉及锚杆锚固中对锚杆承载力进行检测的方法技术领域，具体涉及一种基于数学模型预测锚杆极限承载力的计算方法，包括以下步骤：步骤一：建立锚固界面剪切滑移模型；步骤二：确定锚杆的极限抗拔荷载；步骤三：确定锚固长度对粘结强度的影响系数ψ，确定岩体的裂隙间距对粘结强度的影响系数K1、确定岩体的裂隙张开度与充填物对粘结强度的影响系数K2；步骤四：确定预测锚杆极限承载力的数学模型。本发明通过对实际工程锚杆承载力影响因素的分析与探讨，对锚杆承载力计算公式进行修正，得到综合条件下锚杆承载力计算模型。可准确预测出锚杆极限承载力，且精准度和稳定度较高，可广泛应用于实际工程中。

说明书

技术领域

本发明涉及锚杆锚固中对锚杆承载力进行检测的方法技术领域，具体涉及一种基于数学 模型预测锚杆极限承载力的计算方法。

背景技术

锚杆锚固技术具有成本低廉、加工简便、安装方便、施工速度快等优点，其在岩土工程 中发挥着越来越重要的作用，但其极限承载力的精准确定一直是一大难题。我国锚杆的实际 抗拔力大多是通过现场拉拔实验得出来的，而拉拔实验常常是带有破坏性的,而且拉拔的数 量也有限定，需要寻找合理的模型计算并预测其极限抗拔力。有许多学者提出了锚杆承载力 的计算理论，但这些理论方法还是存在一定的局限性：难以满足在复杂环境下围岩支护技术 的要求；极限承载力预测建立在弹塑性锚杆剪应力与位移的线性关系上；不能精确地预测出 实际工程锚杆极限承载力。

针对锚杆承载力计算模型，浆体与岩土体界面是锚固系统的薄弱面，在弹性状态下，全 长粘结式锚杆所受的剪应力范围较小，而最大剪应力数值较大，锚杆的剪应力与锚杆运动位 移成线性关系。大量工程实践表明，周围环境的综合性与复杂性使得锚杆剪应力—位移关系 趋于曲线，该曲线基本包括3个特征段：第I阶段为弹性变形阶段；第II阶段为弹塑性混 合变形阶段，随着荷载的增大，锚固段部分区域内剪应力达到极限值而开始产生塑性变形， 形成局部塑性区且塑性区随着荷载的增大而逐步扩展，第III阶段为塑性变形段或破坏阶段， 塑性变形贯通锚固界面，锚杆的抗拔荷载主要由锚固界面的残余剪切强度提供，此时即使增 加较小的轴向荷载也会产生很大位移。为了确定锚杆的极限抗拔荷载，在实际应用中，通常 采用合理的数学模型对实测荷载位移数据进行拟合以预测锚杆的极限抗拔荷载值，根据弹性 力学中的物理关系知锚杆的抗拔荷载与锚杆的剪应力成正相关，二者的变化趋势基本相同。

现有技术中也出现了一些采用针对数学模型锚杆承载力的预测方法，例如专利号为 201410391795.3的发明专利，公开了一种基于三次多项式模型的锚杆承载力预测方法，其步 骤主要包括：(1)建立一个三次多项式模型，用线性回归法求解所述三次多项式模型参数；(2) 使用该模型预测锚杆极限位移值SU和锚杆极限静荷载值PU；(3)将所得极限位移值SU与 已知的所有实测位移值进行对比，重新确定三次多项式模型；(4)根据所建立的三次多项式模 型，已知位移S_i对锚杆承载力进行预测。该发明建立的三次多项式模型模拟精确度和稳定度 较高，而且受锚杆P-S曲线的不光滑度影响较小一些，使用范围更广。但发明的锚杆承载力 预测方法并没有综合考虑影响锚杆承载力的关键因素，不能较好的反映出锚固界面荷载传递 的非线性特性，预测的结果往往与工程实际还是存在一定的偏差。

由此可见，能否发明出一种新的理论体系来建立锚杆极限承载力数学计算模型，该数学 计算模型考虑到锚杆的锚固段荷载传递涉及到注浆体和岩土材料的物理非线性、几何非线性、 非均质性和非连续性以及锚固交界面的接触非线性等力学特性，可实现准确预测锚杆极限承 载力的计算方法成为本领域技术人员亟待解决的技术问题。

发明内容

本发明的目的之一是为解决锚杆极限承载力的预测结果往往与工程实际还是存在一定的 偏差的问题，提供一种基于数学模型预测锚杆极限承载力的计算方法。本发明修正了锚杆剪 应力与位移的关系，建立全长粘结式锚杆剪应力与锚杆位移关系的指数模型。另外，在工程 实际中，锚杆的承载力计算公式不能准确地预算出极限承载力，究其原因在于计算模型没能 综合考虑影响锚杆承载力的关键因素，造成计算结果与实际值相差很大。本发明通过对实际 工程锚杆承载力影响因素的分析与探讨，对锚杆承载力计算公式进行修正，得到综合条件下 锚杆承载力计算模型。

为了达到上述技术效果，本发明的技术方案包括：

一种基于数学模型预测锚杆极限承载力的计算方法，所述构建方法包括以下步骤：

步骤一：建立锚固界面剪切滑移模型：建立全长粘结式锚杆剪应力与锚杆位移关系的指 数模型，确定剪应力表达式；

步骤二：确定锚杆的极限抗拔荷载：建立数学模型对实测荷载位移数据进行拟合以预测 锚杆的极限抗拔荷载值，对锚杆锚固段荷载传递特征进行有效分析；计算锚固体的轴力，基 于静力平衡条件和变形协调条件，结合步骤一所得到的剪应力表达式，确定锚固体的轴力公 式，进一步根据边界条件确定锚杆的最大抗拔力计算公式；

步骤三：确定锚固长度对粘结强度的影响系数ψ，确定岩体的裂隙间距对粘结强度的影 响系数K₁、确定岩体的裂隙张开度与充填物对粘结强度的影响系数K₂；

步骤四：确定预测锚杆极限承载力的数学模型：结合步骤三确定的所述锚固长度对粘结 强度的影响系数ψ、岩体的裂隙间距对粘结强度的影响系数K₁、岩体的裂隙张开度与充填物 对粘结强度的影响系数K₂，确定预测锚杆极限承载力的计算公式。

所述步骤一中的确定剪应力表达式包括：假定τ₍₀₎＝m₍₀₎且满足m_(+∞)＝τ_(max)得剪应 力-位移关系曲线为指数函数，现将锚杆抗拔作用下的剪应力－位移曲线简化，得出剪应力的 表达式：τ_x＝τ_p(m_x>m_p)，式中：a为衰减因子，反映图 形形状，一般根据剪应力和位移的边界值，利用最优化技术分析确定；τ_p为剪应力峰值岩层 和砂浆之间的抗剪强度，τ_p＝0.1min(f_g，f₀)，f_g，f₀分别为砂浆和岩体的抗压强度， 土层与砂浆之间的抗剪强度应取决于土层的抗剪强度c为砂浆与土层之间的 粘聚力，σ为剪切滑移面上法向总应力，为土体的内摩擦角，m_t为剪应力达到峰值时所需 最小的锚杆位移；m_x为x断面处锚杆的位移；

所述步骤二确定锚杆的极限抗拔荷载具体包括：设杆端受力为F，锚杆的长度为L，以 锚杆的尾端为坐标原点，锚杆轴线为坐标轴建立坐标系，沿坐标方向，在距离坐标原点x处 取一长度为dx的单元体进行分析，根据单元平衡条件：T_x+dT_x-(T_x+πDτdx)＝0，化简 可得：其中T_x为锚固体的轴力，在x断面处，有物理条件：其 中，S_x为断面处锚杆的变形位移，E为锚固体弹性模量，E_g,E_b分别 为浆体和杆体的弹性模量；A_g,A_b分别为浆体和杆体的截面积，且A＝A_g+A_b，由静力平衡 条件：即：由变形协调条件：m_x＝m_g+s_x对x 求一阶导数得：取力绝对值的大小，进行联立式得： $\frac{{\mathrm{dm}}^2}{{\mathrm{dx}}^2}=\frac{\mathrm{\pi D}}{\mathrm{EA}}(1-e^{-{\mathrm{am}}_x}){\tau }_p,m_x\le m_p---\left(1\right)$和$\frac{{\mathrm{dm}}^2}{{\mathrm{dx}}^2}=\frac{\mathrm{\pi D}}{\mathrm{EA}}{\tau }_p,m_x>m_p---\left(2\right),$求得联立式(1)的通 解得到$m_x=C_1{e}^{\sqrt{\mathrm{ak}}x}+C_2{e}^{-\sqrt{\mathrm{ak}}x},$求得联立式(2)的通解为：$m_x=\frac{\mathrm{\pi D}}{\mathrm{EA}}(\frac{{\tau }_p}{2}{x}^2+C_{3}x)+C_4,$式中，C₁,C₂,C₃,C₄为待求的数学参数，将所述的联立式(1)和联立式(2)的通 解分别代入步骤一所述的剪应力的表达式中，得到u_x≤u_p和τ_x＝τ_p，u_x>u_p，将得到个该方程式代入所述的式中得锚固 体的轴力公式：$T_x=F-\frac{\mathrm{a\pi D}{\tau }_p}{\gamma }\{C_1(e^{\mathrm{\gamma l}}-e^{\mathrm{\gamma x}})-C_2(e^{-\mathrm{\gamma l}}-e^{\mathrm{\gamma x}})\},$其中$\gamma =\sqrt{\mathrm{ak}},$$k=\frac{\mathrm{\pi D}}{\mathrm{EA}}{\tau }_p,$由$\frac{d{\tau }_x}{\mathrm{dx}}=0$得到：$x=\frac{1}{2\sqrt{a}k}\ln \frac{C_1}{C_2},$代入方程式 ${\tau }_x=(1-e^{-a(C_1{e}^{\sqrt{\mathrm{ak}}x}+C_2{e}^{-\sqrt{\mathrm{ak}}x})}){\tau }_p$中可得：${\tau }_{\max }=2a{\tau }_p\sqrt{C_1{C}_2},$由边界条件 T_x|_x＝l＝F,T_x|_x＝0＝0,τ'_x|_x＝l＝0，得：

$\left(\begin{array}{c}{C}_1=\frac{F\sqrt{k}}{\sqrt{a}\mathrm{\pi D}{\tau }_P}\frac{1}{e^{2\sqrt{\mathrm{ak}}l}-1}\\ C_2=\frac{F\sqrt{k}}{\sqrt{a}\mathrm{\pi D}{\tau }_p}\frac{e^{2\sqrt{\mathrm{ak}}l}}{e^{2\sqrt{\mathrm{ak}}l}-1}\end{array}\right)$

取τ_max为粘结材料与岩土体的极限粘结应力τ_p，可得锚杆的最大抗拔力为：

$F_{\max }={\tau }_p\frac{\mathrm{\pi D}}{2\gamma }\frac{e^{2\sqrt{\mathrm{ak}}l}-1}{e^{\sqrt{\mathrm{ak}}l}},$式中：$k=\frac{\mathrm{\pi D}}{\mathrm{EA}}{\tau }_p,\gamma =\sqrt{\mathrm{ak}};$

所述步骤四确定预测锚杆极限承载力的数学模型为：式 中：$k=\frac{\mathrm{\pi D}}{\mathrm{EA}}{\tau }_p,\gamma =\sqrt{\mathrm{ak}}.$

本发明的有益效果包括：本发明提供一种基于数学模型预测锚杆极限承载力的计算方法， 修正了锚杆剪应力与位移的关系，建立全长粘结式锚杆剪应力与锚杆位移关系的指数模型， 综合考虑影响锚杆承载力的关键因素，对锚杆承载力计算公式进行修正，得到综合条件下锚 杆承载力计算模型，考虑到锚杆的锚固段荷载传递涉及到注浆体和岩土材料的物理非线性、 几何非线性、非均质性和非连续性以及锚固交界面的接触非线性等力学特性，可准确预测出 锚杆极限承载力，且精准度和稳定度较高，可广泛应用于实际工程中。

附图说明

图1所示为本发明一种基于数学模型预测锚杆极限承载力的计算方法流程图。

图2所示为本发明的剪应力－位移曲线图。

图3所示为本发明锚杆轴线为坐标轴的坐标系图。

图4所示为本发明锚杆拉拔试验计算简图。

图5所示为本发明锚杆变形后拉拔试验计算简图。

具体实施方式

下文将结合具体详细描述本发明具体实施例。应当注意的是，下述实施例中描述的技术 特征或者技术特征的组合不应当被认为是孤立的，它们可以被相互组合从而达到更好的技术 效果。

实施例1：

一种基于数学模型预测锚杆极限承载力的计算方法，如图1可知，所述构建方法包括以 下步骤：

步骤一：建立锚固界面剪切滑移模型：建立全长粘结式锚杆剪应力与锚杆位移关系的指 数模型，确定剪应力表达式；

假定：τ₍₀₎＝m₍₀₎且满足m_(+∞)＝τ_(max)得剪应力-位移关系曲线为指数函数，现将锚杆 抗拔作用下的剪应力－位移曲线简化如图2所示本发明的剪应力－位移曲线图：

由图2可得出下面的表达式：

${\tau }_x={\tau }_p(1-e^{-{\mathrm{am}}_x})(m_x\le m_p)---\left(1\right)$

τ_x＝τ_p (m_x>m_p)  (2)

式中:a为衰减因子，反映图形形状，一般根据剪应力和位移的边界值，利用最优化技术 分析确定；τ_p为剪应力峰值岩层和砂浆之间的抗剪强度，τ_p＝0.1min(f_g,f₀),f_g,f₀分别 为砂浆和岩体的抗压强度,土层与砂浆之间的抗剪强度应取决于土层的抗剪强度 τ_p＝c+σtanφ,c为砂浆与土层之间的粘聚力，σ为剪切滑移面上法向总应力，m_t为剪应力达到 峰值时所需最小的锚杆位移；m_x为x断面处锚杆的位移。

步骤二：确定锚杆的极限抗拔荷载：建立数学模型对实测荷载位移数据进行拟合以预测 锚杆的极限抗拔荷载值，对锚杆锚固段荷载传递特征进行有效分析；计算锚固体的轴力，基 于静力平衡条件和变形协调条件，结合步骤一所得到的剪应力表达式，确定锚固体的轴力公 式，进一步根据边界条件确定锚杆的最大抗拔力计算公式；

设杆端受力为F，锚杆的长度为L，以锚杆的尾端为坐标原点，锚杆轴线为坐标轴建立 如图3所示的本发明锚杆轴线为坐标轴的坐标系图。沿坐标方向，在距离坐标原点x处取一 长度为dx的单元体进行分析。如图4所示为本发明锚杆拉拔试验计算简图、图5所示为本发 明锚杆变形后拉拔试验计算简图。

根据单元平衡条件:

T_x+dT_x-(T_x+πDτdx)＝0  (3)

化简可得：

${\tau }_x=\frac{{\mathrm{dT}}_x}{\mathrm{\pi Ddx}}---\left(4\right)$

在x断面处,有物理条件:

${\mathrm{dS}}_x=\frac{T_x}{\mathrm{EA}}\mathrm{dx}---\left(5\right)$

其中,S_x为断面处锚杆的变形位移，E为锚固体弹性模量,E_g,E_b分别 为浆体和杆体的弹性模量；A_g,A_b分别为浆体和杆体的截面积,且A＝A_g+A_b。

由静力平衡条件:

$F-T_x-\mathrm{\pi D}{\int }_x^l{\tau }_x\mathrm{dx}=0$

即：

$T_x=F-\mathrm{\pi D}{\int }_x^l{\tau }_x\mathrm{dx}---\left(6\right)$

由变形协调条件：

m_x＝m_g+s_x

对x求一阶导数得:

$\frac{{\mathrm{dm}}_x}{\mathrm{dx}}=\frac{{\mathrm{ds}}_x}{\mathrm{dx}}=\frac{T_x}{\mathrm{EA}}---\left(7\right)$

取力绝对值的大小，联立式(5)～式(7)得:

$\frac{{\mathrm{dm}}^2}{{\mathrm{dx}}^2}=\frac{\mathrm{\pi D}}{\mathrm{EA}}(1-e^{-{\mathrm{am}}_x}){\tau }_p,m_x\le m_p---\left(8\right)$

$\frac{{\mathrm{dm}}^2}{{\mathrm{dx}}^2}=\frac{\mathrm{\pi D}}{\mathrm{EA}}{\tau }_p,m_x>m_p---\left(9\right)$

方程(8)的通解为:

$m_x=C_1{e}^{\sqrt{\mathrm{ak}}x}+C_2{e}^{-\sqrt{\mathrm{ak}}x}---\left(10\right)$

方程(9)的通解为:

$m_x=\frac{\mathrm{\pi D}}{\mathrm{EA}}(\frac{{\tau }_p}{2}{x}^2+C_{3}x)+C_4---\left(11\right)$

式中，C₁,C₂,C₃,C₄为待求的数学参数，

将式(10)，(11)分别代入式(1)，(2)中，可得到：

${\tau }_x=(1-e^{-a(C_1{e}^{\sqrt{\mathrm{ak}}x}+C_2{e}^{-\sqrt{\mathrm{ak}}x})}){\tau }_p,u_x\le u_p---\left(12\right)$

τ_x＝τ_p,u_x>u_p  (13)

将(12)式代入(6)式得锚固体的轴力公式：

$T_x=F-\frac{\mathrm{a\pi D}{\tau }_p}{\gamma }\{C_1(e^{\mathrm{\gamma l}}-e^{\mathrm{\gamma x}})-C_2(e^{-\mathrm{\gamma l}}-e^{\mathrm{\gamma x}})\}---\left(14\right)$

式中：

$\gamma =\sqrt{\mathrm{ak}}$

由$\frac{d{\tau }_x}{\mathrm{dx}}=0,$得：

$x=\frac{1}{2\sqrt{a}k}\ln \frac{C_1}{C_2}---\left(15\right)$

代入式(12)可得：

${\tau }_{\max }=2a{\tau }_p\sqrt{C_1{C}_2}---\left(16\right)$

由边界条件T_x|_x＝l＝F,T_x|_x＝0＝0,τ'_x|_x＝l＝0，得：

$\left(\begin{array}{c}{C}_1=\frac{F\sqrt{k}}{\sqrt{a}\mathrm{\pi D}{\tau }_P}\frac{1}{e^{2\sqrt{\mathrm{ak}}l}-1}\\ C_2=\frac{F\sqrt{k}}{\sqrt{a}\mathrm{\pi D}{\tau }_p}\frac{e^{2\sqrt{\mathrm{ak}}l}}{e^{2\sqrt{\mathrm{ak}}l}-1}\end{array}\right)$

取τ_max为粘结材料与岩土体的极限粘结应力τ_p,由式(16)可得锚杆的最大抗拔力为：

$F_{\max }={\tau }_p\frac{\mathrm{\pi D}}{2\gamma }\frac{e^{2\sqrt{\mathrm{ak}}l}-1}{e^{\sqrt{\mathrm{ak}}l}}---\left(17\right)$

式中：$k=\frac{\mathrm{\pi D}}{\mathrm{EA}}{\tau }_p,\gamma =\sqrt{\mathrm{ak}}$

步骤三：确定锚固长度对粘结强度的影响系数ψ，确定岩体的裂隙间距对粘结强度的影 响系数K₁、确定岩体的裂隙张开度与充填物对粘结强度的影响系数K₂；

在实际工程中裂缝的分布对锚杆的承载力有较大的影响，用锚杆加固风化岩体时，岩体 的裂隙发育情况和裂隙的杂物对锚固体界面的粘结强度也有影响。表1与表2分别列出了裂 隙间距、裂隙张开度对粘结强度的影响。

表1裂缝间距对粘结强度的影响系数K₁

表2裂隙张开度与充填物对粘结强度的影响系数K₂

又因锚杆在外部荷载作用下，锚固段界面的粘结应力沿锚固长度方向的分布极不均匀， 因此它对粘结强度的影响也不可忽略，我们得出了锚固长度对粘结强度的影响系数ψ如表3：

表3锚杆长度对粘结强度的影响

步骤四：确定预测锚杆极限承载力的数学模型：结合步骤三确定的所述锚固长度对粘结 强度的影响系数、岩体的裂隙间距对粘结强度的影响系数K₁、岩体的裂隙张开度与充填物 对粘结强度的影响系数K₂，确定预测锚杆极限承载力的计算公式。

综上得出锚杆在实际工程中承载力的预测模型：

$F_{\max }=\psi k_1{k}_2{\tau }_p\frac{\mathrm{\pi D}}{2\gamma }\frac{e^{2\sqrt{\mathrm{ak}}l}-1}{e^{\sqrt{\mathrm{ak}}l}}$

式中：$k=\frac{\mathrm{\pi D}}{\mathrm{EA}}{\tau }_p,\gamma =\sqrt{\mathrm{ak}}.$

本发明提供一种基于数学模型预测锚杆极限承载力的计算方法，修正了锚杆剪应力与位 移的关系，建立全长粘结式锚杆剪应力与锚杆位移关系的指数模型，综合考虑影响锚杆承载 力的关键因素，对锚杆承载力计算公式进行修正，得到综合条件下锚杆承载力计算模型，考 虑到锚杆的锚固段荷载传递涉及到注浆体和岩土材料的物理非线性、几何非线性、非均质性 和非连续性以及锚固交界面的接触非线性等力学特性，可准确预测出锚杆极限承载力，且精 准度和稳定度较高，可广泛应用于实际工程中。

实施例2利用本发明数学模型预测锚杆极限承载力

本发明对工程实例进行检验，计算误差范围小，预算结果准确性高，从而说明了本发明 应用于实际工程的可靠性高；本发明将在未来广泛应用于实际工程中，用于更加准确的预测 出锚杆在实际工程中的承载力，提高工程的安全性与可靠性，促进工程的技术进步。

上述详细说明是针对发明的可行实施例的具体说明，该实施例并非用以限制本发明的专 利范围，凡未脱离本发明的等效实施或变更，均应当包含于本发明的专利范围内。

另外，本领域技术人员还可在本发明权利要求公开的范围和精神内做其它形式和细节上 的各种修改、添加和替换。当然，这些依据本发明精神所做的各种修改、添加和替换等变化， 都应包含在本发明所要求保护的范围之内。