一种基于分数阶小波变换和BP神经网络的齿轮缺陷智能分析方法

摘要

一种基于分数阶小波变换和BP神经网络的齿轮缺陷智能分析方法，基于该齿轮缺陷智能分析方法，首先以变换阶次为变量，对齿轮振动信号进行分数阶傅里叶变换确定最优阶次，在最优阶次下对齿轮振动信号进行分数阶小波变换消噪实现齿轮振动信号有用分量与背景噪声的分离；计算消噪后信号的特征参数组成一组特征向量，用于表征消噪处理后的齿轮振动的特征；将特征向量平均分为两组，分别作为训练样本和测试样本，输入BP神经网络进行学习和分类。本发明很好地抑制齿轮啮合振动信号中混杂的背景噪声，保留与缺陷有关的有用信号分量，能有效地提取齿轮缺陷特征；利用BP神经网络的自学习和分类能力，能够快速定性识别出齿轮的缺陷模式且准确率高。

说明书

技术领域

本发明涉及一种齿轮缺陷智能分析方法，特别是基于分数阶小波变换 (Fractional Wavelet Transform,FRWT)和BP(Back Propagation)神经网络的齿 轮缺陷智能分析方法，属于齿轮配对检测和故障诊断领域。

背景技术

齿轮作为现代机械结构中传递动力和运动不可或缺的机械部件，具有承载能 力大、传动精度高、传动功率恒定等优点，广泛应用于机械设备中。随着设备向 大型化、复杂化、自动化和连续化方向发展，齿轮的缺陷和故障给整个生产造成 的损失将会越来越大。因此，必须在齿轮的生产和运行等各个环节进行质量检测。 尤其是在齿轮安装之前，必须对齿轮进行配对检测，剔除有缺陷的齿轮对，也称 之为齿轮缺陷检测。目前国内大多数齿轮厂采取的方法是人工手动的方式控制齿 轮滚动机运转，听取齿轮啮合所产生的噪声来判别齿轮的状态，效率及准确度较 低。因此研究一种齿轮缺陷智能分析方法，具有十分重要的现实意义，不仅可以 提高缺陷分析的效率和精度，同时可以减轻工作人员负担。

当齿轮存在缺陷时，通常会表现在齿轮啮合传动所产生的振动信号中，其中 振动信号分析一般采用以快速傅里叶变换(Fast Fourier Transform,FFT)为核心 的经典信号处理方法，即频谱分析方法。这种方法要求信号是平稳的。而当齿轮 存在缺陷时，所测得的动态信号就包含了大量的非平稳信号成分。对非平稳信号 进行频谱分析，其频谱结果会在整个被分析时间段上被平均，不能反映信号突变 的细节。时频分析方法可以有效地应用于非平稳信号的分析，弥补了传统的基于 FFT的频谱分析方法只适用于平稳信号分析的缺陷，在缺陷分析领域中是一种迅 速发展的新方法。小波变换(Wavelet transform,WT)被认为是最为理想的时频分析 工具，在语音、图像、通信、雷达等领域得到了广泛应用。小波变换是近几年才 开始应用于振动信号处理的时频分析方法，它能同时提供振动信号的时域和频域 的局部化信息。小波分析还具有多尺度性和“数学显微”特性，这些特性使得小 波分析能够识别振动信号中的突变信号。但随着研究对象和研究范围的不断扩 展，也逐步暴露了其在研究某些问题上的局限性。这种局限性主要体现在，不同 尺度的小波变换相当于一组频域带通滤波器对信号进行处理，因此小波变换仅局 限在时、频域内分析信号。对于那些在频域能量非最佳聚集的信号如自然界和人 工场合普遍存在的chirp类信号，比如升降速阶段的齿轮振动信号就是chirp-like 信号(即线性调频类信号)，小波分析结果将不是最优的。为此，人们提出了分 数阶傅里叶变换(Fractional Fourier Transform,FRFT)、短时分数阶傅里叶变换、 Radon-Wigner变换、分数阶小波变换(Fractional Wavelet Transform,FRWT)等。分 数阶傅里叶变换虽具有许多独特性能却无法表征信号局部特征；短时分数阶傅里 叶变换存在分辨率的缺陷，即时域和分数域分辨率不能同时达到任意高；而 Radon-Wigner变换属于二次型变换，具有交叉项。分数阶小波变换最早由 Mendlovic等在1997年提出，其基本思想是首先对信号进行分数阶傅里叶得到分 数谱，然后再对分数谱作小波变换。分数阶小波变换结合了小波变换与分数阶傅 里叶变换许多优点，如没有交叉项，具有线性特性、多分辨分析和分数域表征功 能等。因此，分数阶小波变换在信号处理领域具有潜在的应用，将受到越来越多 的关注。

分数阶小波变换结合了小波变换和分数阶理论，将多分辨率小波分析理论推 广到了时域-广义频域，同时也结合了分数阶傅里叶变换的时频聚焦性，在信号 处理中将更具优势，尤其适用于处理升降速阶段的齿轮振动信号的处理中。BP 神经网络是由Rumelhart和McCelland为首的科学家小组于1986年提出，是一 种按误差逆向传播算法训练的多层前馈神经网络，它的优点是计算速度快，内存 消耗低。BP网络能学习和存贮大量的输入-输出模式映射关系，而不需要提前建 立这种映射关系的数学方程。BP神经网络应用于模式识别，是其最成功的应用 之一。

为此提出一种基于分数阶小波变换变换和BP神经网络的齿轮缺陷智能分析 方法，以期有效提取缺陷特征信息，提高缺陷识别的效率和精度。

发明内容

本发明的目的是提供一种基于分数阶小波变换和BP神经网络结合的齿轮缺 陷智能分析方法，根据齿轮啮合振动信号快速分析并且判断齿轮的工艺品质及缺 陷类型。本方法具有高效、高精度、智能、快速等特点。

为达到以上目的，本方法通过齿轮振动测试实验台完成，该实验台通过两实 验齿轮的啮合传动采集振动信号来分析齿轮缺陷，其中，主动轮由输入主轴箱驱 动，输入主轴箱由交流电动机驱动；主动轮与被动轮相啮合，被动轮与输出主轴 箱连接，输出主轴箱的主轴通过减速器与磁粉加载器连接；所述输入主轴箱的转 轴处箱体壁上安装有加速度传感器，加速度传感器与数据采集卡连接；数据采集 卡与计算机相连。

一种基于分数阶小波变换和BP神经网络的齿轮缺陷智能分析方法，包括下 述步骤：

步骤一：采用加速度传感器采集齿轮升速阶段振动信号x(t)，选定阶次p变 化范围和步长，对采集信号做分数阶傅里叶变换，

$X_p\left(u\right)=F^p\left\{x\left(t\right)\right\}={\int }_{-\infty }^{+\infty }x\left(t\right)K_{\alpha }(t,u)\mathrm{dt}---\left(1\right)$

形成信号能量在分数阶傅里叶域u上的二维分布；

其中，t为采样时间点，α为旋转角，p为分数阶傅里叶变换的阶次， α＝pπ/2，核函数K_α(t,u)为：

$K_{\alpha }(t,u)=\left(\begin{array}{cc}{A}_{\alpha }\exp \left[\mathrm{j\pi }(t^2\cot \alpha -2\mathrm{tu}\csc \alpha +u^2\cot \alpha )\right]& \alpha \ne \mathrm{n\pi }\\ \delta (u-t)& \alpha =2\mathrm{n\pi }\\ \delta (u+t)& \alpha =(2n\pm 1)\pi \end{array}\right)---\left(2\right)$

式中

$A_{\alpha }=\sqrt{(1-j\cot \alpha )}=\frac{\exp \{-j[\mathrm{\pi sgn}\left(\sin \alpha \right)/4-\alpha /2\left]\right\}}{\sqrt{\left|\sin \alpha \right|}}---\left(3\right)$

其中，A_α为核函数K_α(t,u)计算的中间变量，exp{·}表示以自然对数e为底 的指数函数，sgn(·)为符号函数，n为整数，δ(·)为冲激函数，j为虚数单位,。

步骤二：在步骤一形成的平面上进行峰值点二维搜索，将最大峰值对应的分 数阶傅里叶域作为最佳FRFT域，并计算得到p_opt作 为最优阶次。

步骤三：对振动信号x(t)的进行p_opt阶N层分数阶小波分解，得到FRWT域 内第N层低频系数caN和第1层到第N层高频系数cd1,cd2,...,cdN。分解计算如 下式：

$W^{\left(p_{\mathrm{opt}}\right)}(a,b)={\int }_{-\infty }^{+\infty }{\int }_{-\infty }^{+\infty }{B}_{p_{\mathrm{opt}}}(t,t^{\prime })x\left(t^{\prime }\right)h_{\mathrm{ab}}^{*}\left(t\right)d{t}^{\prime }\mathrm{dt}---\left(4\right)$

其中为小波基函数，a为伸缩因子，b为平移因子，B_p(t,t′)为核函数 其表示式为：

$B_p(t,t^{\prime })=\sqrt{2}\exp [-\pi (t^2-t^{\prime 2})]\times \underset{n=0}{\overset{\infty }{\Sigma }}\frac{i^{-\mathrm{pn}}}{2^{n}n!}{H}_n\left(\sqrt{2\pi }t\right)H_n\left(\sqrt{2\pi }{t}^{\prime }\right)---\left(5\right)$

其中，H_n为n阶Hermite多项式；

步骤四：对步骤三中分数阶小波变换分解后得到的第1层到第N层每层的 高频系数(即cd1,cd2,...,cdN)进行阈值量化处理，得到第1层到第N层每层高 频系数(cd1′,cd2′,...,cdN′)。

步骤五：将步骤三获得的第N层低频系数(caN)和步骤四中阈值量化后 的第1层到第N层每一层高频系数(cd1′,cd2′,...,cdN′)，进行-p_opt阶分数阶小 波重构，重构公式如公式(6)，小波基函数和分解时的采用的小波基函数相同， 重构层数为N层，重构后得到消噪后时域信号；

$x\left(t\right)=\frac{1}{C_h}{\int }_{-\infty }^{+\infty }{\int }_{-\infty }^{+\infty }{\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{1}{a^3}{W}^{\left(p\right)}(a,b)B_{-p}(t,t^{\prime })\times h\left(\frac{t^{\prime }-b}{a}\right)\mathrm{dadbd}{t}^{\prime }---\left(6\right)$

其中，变换系数$C_h={\int }_0^{+\infty }\frac{{\left|h^{*}\left(\mathrm{aw}\right)\right|}^2}{a}\mathrm{da}<\infty .$

步骤六：选取10个时域统计参数作为消噪后齿轮振动信号的特征参数，其 中包括5个有量纲参数：峰峰值、均值、均方根值、偏斜度、峭度，以及5个无 量纲参数：波形指标、峰值指标、脉冲指标、裕度指标、峭度指标。将这10个 特征参数组成一组特征向量，用于表征消噪处理后的齿轮振动的特征。

步骤七：对具有不同缺陷类型的齿轮消噪后振动信号，各自选取数目相同的 多组信号，分别计算每一组信号对应的特征向量。

步骤八：将步骤七中计算的每一种类型的齿轮振动信号的多组特征向量分为 两组，两组的数目相同，分别作为BP神经网络的训练样本和测试样本，利用 BP神经网络进行学习和分类。BP神经网络包含一层隐层，输入层节点由特征向 量包含的特征值个数决定，输出层节点为齿轮缺陷类型的个数。隐层结点个数Q 由输入层结点数M、输出层节点数L和目标分类数N决定，具体关系为 Q＝[M+(L,N)_max]/2；

进一步地BP神经网络样本训练实现步骤如下：

①初始化权值矩阵和阈值，将样本模式计数器和训练计数器均置为1，初始 化误差和学习率，及网络允许的最小精度和最大迭代次数。

②输入训练样本对，计算隐层和输出层的输出；

③计算样本输出误差，网络对于不同的样本具有不同的误差，可将全部样本 的输出误差进行累加得到系统的总误差；

④检查训练样本是否用尽，若没有则转到②，否则进行步骤⑤；

⑤调整各层权值和阈值，各层神经元连接权值和阈值变化增量来迭代更新用 于下一轮网络学习与训练的神经元连接权值及阈值。

⑥检查网络总误差是否到达精度要求，若小于网络允许的最小精度，则训练 结束，否则返回②继续执行。

⑦检查网络迭代次数是否到达最大迭代次数，若小于最大迭代次数，则训练 返回②继续执行，若等于最大迭代次数，则训练结束。

步骤九：将测试样本输入训练后的BP神经网络中进行识别，输出测试结果。 对每一种缺陷模式，采用二进制编码表示，期望的理想输出是0或1，因为仿真 结果不可能是期望的绝对0或1，所以需要对结果进行判断，即把神经网络仿真 获得的结果通过判断处理，整定到0或1，认为在0.75以上表示为1，0.25以下 表示为0，最终由输出结果确定对应的齿轮模式。

本发明的有益效果为：分数阶小波变换利用小波变换中的多分辨分析理论和 分数阶傅里叶变换的时频聚焦性相结合，对含有背景噪声的齿轮振动信号进行去 噪，克服了单一变换的不足，从而保证时频分辨率的一致性和有效性，可以很好 地抑制多分量信号时频分布的交叉项及背景噪声，保留与缺陷有关的有用信号分 量，有效地提取齿轮缺陷特征。BP神经网络具有良好的自学习和分类能力，能 够对滤波后的信号特征值进行训练，快速识别缺陷种类。结合分数阶小波变换和 BP神经网络的齿轮缺陷智能分析方法不需要人为过多参与，保证了分析的准确 性，对齿轮传动性能的识别准确度高且快速，可以显著提高配对检测和故障诊断 的效率和精度。

附图说明

图1是齿轮振动测试实验台。

图2是齿轮缺陷智能分析流程图。

图3a是实验所测正常啮合齿轮振动信号的时域图。

图3b是实验所测正常啮合齿轮振动信号的频域图。

图3c是实验所测啮合间隙偏大齿轮振动信号的时域图。

图3d是实验所测啮合间隙偏大齿轮振动信号的频域图。

图3e是实验所测啮合间隙偏小齿轮振动信号的时域图。

图3f是实验所测啮合间隙偏小齿轮振动信号的频域图。

图4是分数阶小波消噪流程图。

图5是BP神经网络结构图。

图6是BP神经网络学习流程图。

具体实施方式

下面结合附图对本发明做进一步的详细说明，以令本领域技术人员参照说明 书文字能够据以实施。

实验中采用如附图1所示的实验台来进行升速阶段齿轮振动信号采集，因为 升速阶段齿轮振动信号类似于线性调频(chirp)信号，有利于进行分数阶小波消 噪，其中振动信号的采集采用加速度传感器。附图2是齿轮缺陷智能分析流程图。 正常啮合齿轮、啮合间隙偏大齿轮和啮合间隙偏小齿轮的时域图和频域图如附图 3a-3f所示，图示表明通过观测振动信号波形或者谱线的方式不能够区分三种不 同模式的齿轮，因此通过技术的如下步骤进行分析：

步骤一：对加速度传感器采集得到的啮合间隙偏小的混合振动信号s(t)，进 行分数阶傅里叶变换(正常啮合齿轮和啮合间隙偏大齿轮的振动信号处理方法与 之相同，如下述)，其中s(t)＝x(t)+w(t)，即信号s(t)包含齿轮振动信号的有用分 量x(t)和背景噪声信号w(t)，t为采样时间。具体方法是以变换阶次p对混合振 动信号s(t)进行分数阶傅里叶变换，其中p从0到2，以0.001为步长进行变换， 形成信号能量在参数p-u平面上的二维分布。对信号进行FRFT处理，必须采 用离散形式的FRFT。H.M.Ozaktas等人提出并实现的DFRFT数值计算方法，是 一种计算量与FFT相当的快速分数阶傅里叶变换算法，计算公式如下：

$X_p\left(\frac{m}{2\mathrm{\Delta x}}\right)=A_{\alpha }{e}^{j\frac{1}{2}{\left(\frac{m}{2\mathrm{\Delta x}}\right)}^2(\cot \alpha -\csc )}\underset{n=-N}{\overset{N}{\Sigma }}\left[x\left(\frac{n}{2\mathrm{\Delta x}}\right)e^{j\frac{1}{2}{\left(\frac{m}{2\mathrm{\Delta x}}\right)}^2(\cot \alpha -\csc \alpha )}\right]e^{j\frac{1}{2}{\left(\frac{m-n}{2\mathrm{\Delta x}}\right)}^2\csc \alpha }---\left(7\right)$

上式(7)中，α为旋转角度，α＝pπ/2，p为变换 阶次p∈[0,2]，Δx为信号带宽，N为样本长度，N＝(Δx)²。

步骤二：在步骤一形成的平面(p,u)上进行峰值点二维搜索，通过计算 计算使X_p(u)的模的平方|X_p(u)|²最大的p作为p_opt，对于实验 所测的啮合间隙偏小的齿轮振动信号，计算得到最优阶次p_opt＝1.103。

步骤三：对振动信号s(t)的进行p_opt＝1.103阶的3层分数阶小波分解，选择 Daubechies系列的‘db6’小波作为小波基函数，因为相较于其它小波基函数， ‘db6’小波更适于非平稳信号的噪声滤除，得到分数阶小波域内第3层低频系 数ca3和第1层到第3层高频系数cd1,cd2,cd3。分解计算如下式：

$W^{\left(p_{\mathrm{opt}}\right)}(a,b)={\int }_{-\infty }^{+\infty }{\int }_{-\infty }^{+\infty }{B}_{p_{\mathrm{opt}}}(t,t^{\prime })x\left(t^{\prime }\right)h_{\mathrm{ab}}^{*}\left(t\right)d{t}^{\prime }\mathrm{dt}---\left(8\right)$

其中为小波基函数，a为伸缩因子，b为平移因子，B_p(t,t′)为核函数， 其表示式为：

$B_p(t,t^{\prime })=\sqrt{2}\exp [-\pi (t^2-t^{\prime 2})]\times \underset{n=0}{\overset{\infty }{\Sigma }}\frac{i^{-\mathrm{pn}}}{2^{n}n!}{H}_n\left(\sqrt{2\pi }t\right)H_n\left(\sqrt{2\pi }{t}^{\prime }\right)---\left(9\right)$

其中，H_n为n阶Hermite多项式；

目前离散分数阶小波主要离散算法是基于小波变换和分数阶傅里叶变换的 实现算法，即信号分解时，对待分析的信号，先作p阶分数阶傅里叶变换(FRFT 的离散算法如步骤一)，然后作小波变换；信号重构时，先作小波逆变换，然后 作-p阶分数阶傅里叶变换。其具体分解和重构过程如附图4所示；

步骤四：对步骤三中分数阶小波变换分解后得到的第1层到第3层每层的高 频系数(即cd1,cd2,...,cd3)进行阈值量化处理。阈值函数采用Donoho软阈值 函数，阈值选用η＝sqrt(2*log(n*(n)/log(2)))，其中n为采样点数；

软阈值函数为：

${\tilde{\omega }}_{i,j}=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{sgn}\left({\omega }_{i,j}\right)\left(\right|{\omega }_{i,j}|-\eta )& \left|{\omega }_{i,j}\right|\ge \eta \\ 0& \left|{\omega }_{i,j}\right|<\eta \end{array}\right)---\left(10\right)$

其中，η为阈值系数，ω为小波分解系数，小波系数大于η部分用阈值进行 缩减，小于部分归零。阈值量化处理后得到第1层到第3层每层的高频系数为 cd1′,cd2′,...,cd3′。

步骤五：将步骤三获得的第N层低频系数(caN)和步骤四中阈值量化后 的第1层到第N层每一层高频系数(cd1′,cd2′,...,cdN′)，做-p_opt＝-1.103阶的 分数阶小波重构，即将信号旋转回到时域得到抑制了背景噪声的有用齿轮振动信 号分量S(t)，实现了齿轮振动信号与背景噪声的分离，重构公式如下：

$S\left(t\right)=\frac{1}{C_h}{\int }_{-\infty }^{+\infty }{\int }_{-\infty }^{+\infty }{\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{1}{a^3}{W}^{\left(p_{\mathrm{opt}}\right)}(a,b)B_{-p_{\mathrm{opt}}}(t,t^{\prime })\times h[(t^{\prime }-b)/a]\mathrm{dadbd}{t}^{\prime }---\left(11\right)$

其中，变换系数$C_h={\int }_0^{+\infty }\frac{{\left|h^{*}\left(\mathrm{aw}\right)\right|}^2}{a}\mathrm{da}<\infty .$

步骤六：选取10个时域统计参数作为消噪后齿轮振动信号的特征参数，其 中包括5个有量纲参数：峰峰值、均值、均方根值、偏斜度、峭度，以及5个无 量纲参数：波形指标、峰值指标、脉冲指标、裕度指标、峭度指标。将这10个 特征参数组成一组特征向量，用于表征消噪处理后的齿轮振动的特征。

这些参数的共同特点是：对齿轮缺陷足够敏感，对信号的幅值和频率不敏感， 即与机器的运行工况无关，只依赖于信号的幅值概率密度函数。这些特征参数的 变化，能很好地反应出齿轮缺陷的存在。计算公式如表1所示：

表1.信号的时域统计参数及其计算公式

步骤七：齿轮样本总共由60组，其中包括20组正常啮合齿轮、20组啮合 间隙偏大的齿轮和20组啮合间隙偏小的齿轮，计算这三种模式的齿轮经上述步 骤一至五消噪处理后的共60组的振动信号，分别计算每一组信号对应的特征向 量，由于计算数目太大，表2只针对每一种模式的齿轮选取了两组信号列出了其 特征向量中每一个特征参数的计算结果(包括两组正常啮合齿轮、两组啮合间隙 偏大的齿轮和两组啮合间隙偏小的齿轮消噪处理后振动信号的特征向量)。

表2.三种不同模式齿轮的特征参数值

其中，①峰峰值；②均值；③均方根值；④偏斜度；⑤峭度；⑥波形指标；⑦峰值指标； ⑧脉冲指标；⑨裕度指标；⑩峭度指标。

步骤八：采用BP神经网络对60组齿轮消噪后振动信号的特征向量进行学 习和分类。将步骤七中计算得到的60组齿轮特征向量平均分成两组：30组训练 样本和30测试样本。30组训练样本为包括10组正常啮合齿轮、10组啮合间隙 偏大齿轮以及10组啮合间隙偏小齿轮，30组训练样本用于训练BP神经网络。 30组测试样本为：10组正常啮合齿轮，样本编号为1-10；10组啮合间隙偏大齿 轮，样本编号11-20；10组啮合间隙偏小齿轮，样本编号21-30，这30组测试样 本输入BP神经网络中进行分类。BP神经网络包含一层输入层、一层隐含层和 一层输出层，三层BP神经网络结构如附图5所示。其中BP网络的输入层、隐 含层和输出层三层的节点个数分别记为：M、Q、L，每个神经元节点(单元) 的均使用Sigmoid型函数作为激励函数，Sigmoid函数表达式为f(x)＝1/(1+e^-x)。 x_j表示输入层第j个节点的输入，j＝1,2...,M。v_ij表示隐含层第i个节点到输入 层第j个节点之间的权值，θ_i表示隐含层第i个节点的阈值；φ(x)表示隐含层的 激励函数；..表示输出层第k个节点到隐含层第i个节点之间的权值i＝1,2,...,Q。 a_k表示输出层第k个节点的阈值,k＝1,2,...,L。ψ(x)表示输出层的激励函数；o_k表示输出层第k个节点的输出。

输入层节点为特征向量包含的特征参数的个数，步骤六中特征向量包含10 个特征参数，所以输入层节点数为10，输出层节点为齿轮缺陷类型的个数，对 三种模式的齿轮进行识别，输出层节点数为3。隐层结点个数Q由输入层结点数 M、输出层节点数L和目标分类数N决定，由公式Q＝[M+(L,N)_max]/2计算得 6.5，节点为整数，所以隐层的节点取为7。BP神经网络的输入是10维向量，输 出是3维向量，输出向量为(y₁,y₂,y₃)。即齿轮模式一：正常啮合齿轮的期望输 出为[100]，则y₁＝1,y₂＝0,y₂＝0；齿轮模式二：啮合间隙偏大的齿轮的期望输 出为[010]，则y₁＝0,y₂＝1,y₂＝0；齿轮模式三：啮合间隙偏小齿轮的期望输出 为[001]，则y₁＝0,y₂＝0,y₂＝1。

进一步地BP神经网络样本训练实现步骤如下：

①初始化权值矩阵和阈值，将其赋值为接近于零的随机数，将样本模式计数 器p和训练计数器均t设置为1，初始化误差E为0，学习率η取值范围0.01～0.8， 训练后网络达到的最小精度ε设为0.0001，网络最大迭代次数T为20000次。

②总共有30组训练样本，输入每一组训练样本对，计算隐层和输出层输出；

$y_i=\phi \left({\mathrm{net}}_i\right)=\phi \left(\underset{j=1}{\overset{M}{\Sigma }}{v}_{\mathrm{ij}}{x}_j\text{+}{\theta }_i\right)---\left(12\right)$

$o_k=\psi \left({\mathrm{net}}_k\right)=\psi (\underset{i=1}{\overset{Q}{\Sigma }}{w}_{\mathrm{ki}}{y}_i+a_k)=\psi (\underset{i=1}{\overset{Q}{\Sigma }}{w}_{\mathrm{ki}}\phi (\underset{j=1}{\overset{M}{\Sigma }}{v}_{\mathrm{ij}}{x}_j+{\theta }_i)+a_k)---\left(13\right)$

③计算样本输出误差E_p，网络对于不同的样本具有不同的误差，可将全部 样本的输出误差进行累加得到系统的总误差E；

$E_p=\frac{1}{2}\underset{k=1}{\overset{L}{\Sigma }}{(t_k-o_k)}^2---\left(14\right)$

$E=\frac{1}{2}\underset{p=1}{\overset{P}{\Sigma }}\underset{k=1}{\overset{L}{\Sigma }}{(t_k^p-o_k^p)}^2---\left(15\right)$

④检查训练样本是否用尽，训练样本总数为30，若p＜30，若没有则计数 器p增加1则转到②，否则进行步骤⑤；

⑤根据公式(16)～(19)调整各层权值和阈值，各层神经元连接权值和阈 值变化增量来迭代更新用于下一轮网络学习与训练的神经元连接权值及阈值，网 络的权值及阈值更新公式为公式(20)；

$\Delta w_{\mathrm{ki}}=\eta \underset{p=1}{\overset{P}{\Sigma }}\underset{k=1}{\overset{L}{\Sigma }}(t_k^p-o_k^p)·{\psi }^{\prime }\left({\mathrm{net}}_k\right)·y_i---\left(16\right)$

$\Delta a_k=\eta \underset{p=1}{\overset{P}{\Sigma }}\underset{k=1}{\overset{L}{\Sigma }}(t_k^p-o_k^p)·{\psi }^{\prime }\left({\mathrm{net}}_k\right)---\left(17\right)$

$\Delta v_{\mathrm{ij}}=\eta \underset{p=1}{\overset{P}{\Sigma }}\underset{k=1}{\overset{L}{\Sigma }}(t_k^p-o_k^p)·w_{\mathrm{ki}}·{\phi }^{\prime }\left({\mathrm{net}}_k\right)·x_j---\left(18\right)$

$\Delta {\theta }_i=\eta \underset{p=1}{\overset{P}{\Sigma }}\underset{k=1}{\overset{L}{\Sigma }}(t_k^p-o_k^p)·w_{\mathrm{ki}}·{\phi }^{\prime }\left({\mathrm{net}}_k\right)---\left(19\right)$

w_ki(n+1)＝w_ki(n)+Δw_ki v_ij(n+1)＝v_ij(n)+Δv_ij          (20)

⑥检查网络总误差是否到达精度要求，若小于网络允许的最小精度E＜ε， 则训练结束，否则迭代次数增加l否则返回②继续执行。

⑦检查网络迭代次数是否到达最大迭代次数，若小于最大迭代次数t＜T， 则训练返回②继续执行，若等于最大迭代次数t＝T，则训练结束。

步骤九：将测试样本30组齿轮振动信号的特征向量(其中1-10号为正常啮 合齿轮振动信号的特征向量，11-20号为啮合间隙偏大的齿轮振动信号的特征向 量，21-30号为啮合间隙偏小的齿轮振动信号的特征向量)输入BP神经网络进 行识别。若正常啮合齿轮识别结果为[100]，啮合间隙偏大识别结果为[010]， 啮合间隙偏大识别结果为[001]，则识别结果全部正确，采用二进制编码表示缺 陷模式，期望的理想输出是0或1，因为仿真结果不可能是期望的绝对0或1， 所以需要对结果进行判断，即把神经网络仿真获得的结果通过判断处理，整定到 0或1，为在0.75以上表示为1，0.25以下表示为0。结果如表3所示，通过表3 可以很直观地看到应用BP神经网络对三种模式齿轮数据的分类结果，其中29 组样本的识别结果正确(样本13啮合间隙偏大齿轮误判为正常啮合齿轮)，分 类准确率达到96.7％，分类效果非常明显。

表3.三种不同模式齿轮BP神经网络识别结果