一种二阶系统有限时间滑模控制器的通用设计方法

摘要

本发明公开了一种二阶系统有限时间滑模控制器的通用设计方法，包括：设计二阶系统设计有限时间滑模变量形式；确定函数和ψ(x2)的设计条件；如果函数和ψ(x2)满足步骤二中的设计条件，则根据设计二阶系统有限时间滑模控制器，从而实现二阶系统的有限时间控制。考虑到已有的滑模控制中，终端滑模面和相应的有限时间控制器形式过于具体，无通用设计准则，本发明提出有限时间滑模变量的通用设计准则，获得通用形式的有限时间滑模面和相应的有限时间滑模控制器。在线性滑模控制器作用下，系统状态于无限时间内渐近收敛到平衡点。本发明提出的二阶系统有限时间滑模控制器的通用设计方法，相比于线性滑模控制器，有效提高了控制系统的响应速度。

说明书

技术领域

本发明属于滑模控制技术领域，更具体地，提出一种二阶系统有限时间滑模面的通用 设计方法，基于滑模控制的原理，设计出相应的有限时间滑模控制器，实现对二阶系统有 限时间控制的方法。

背景技术

滑模控制方法,作为一种系统综合的方法,具有相当大的灵活度。因为在滑模面上,系统 的动态由滑模面来决定,而滑模面是预先设计的。滑模面设计的好坏,直接关系到系统的动 态性能。只要能够使滑模面是可到达的,并保证滑动模态的稳定性,滑模面的形式可以不拘 一格。因而,对滑动模态的设计研究也成为滑模控制中的一个热点问题,从中也衍生出很多 新的滑模控制方法。

对不同的滑模面，利用滑模控制器存在的充要条件，可以获得系统的滑模控制器。因 此，滑模控制的品质与滑模面的形式紧密相关。以往文献中设计的滑模变量的形式有：

(1)线性函数：即滑模面设计为误差和误差导数的线性函数。线性滑模面可以满足线性 系统的控制性能要求,其稳定性分析简单。但是,在线性滑模面,系统最好的收敛是渐近收敛, 当控制对象具有复杂非线性时,线性滑模面往往不能得到较好的控制性能甚至无法使系统 稳定。

(2)特殊二次型函数：l(x)＝cx^Tx,其中x是系统的状态，l(x)是滑模变量，c为常量。 由于采用二次型滑模面的控制系统，参数设计复杂，稳定性分析困难，现在已经少有研究。

(3)分段函数：文献(Man Z.H.,Palaniswami M.Decentralised three-segment  nonlinear sliding mode control for robotic manipulators[J].IEEE International  Workshop on Emerging Technologies and Factory Automation,1992,607-612.)中提出 了一种分段滑模面,它将滑动模态运动分为加速段、恒速段、减速段,分别对每一阶段设计 滑模面。这种设计方法,滑动模态整体是不连续的,每一个分段函数是连续的,具有更加迅速 的暂态响应。但是,由于滑模面是分段不连续的,稳定性分析会变得困难,控制器在滑模面切 换时也有可能出现奇异的情况。

(4)终端滑模面：文献(Man Z.,Yu X.Terminal sliding mode control of MIMO systems [J].IEEE Transactions on Systems I:Fundamental Theory and Applications,1997, 44(11),1065-1070.)中提出了终端滑模面。通过将滑模面设计为非线性函数,系统的状态 可以在有限时间内收敛到平衡点。这种滑模面称为终端滑模面。终端滑模面方法,为系统带 来了比渐近收敛更好的收敛性能,稳定性分析采用Lyapunov方法即可，控制律设计简单,并 且在机器人、电机等复杂非线性系统中得到了成功的应用,因而逐渐形成了滑模控制的一个 新的分支-终端滑模控制。为了进一步提高终端滑模的控制品质,在终端滑模面的基础上,又 提出了快速终端滑模面,加快了到达阶段的趋近速度。之后,为了消除终端滑模控制的奇异 性问题,先后提出了非奇异终端滑模面和快速非奇异终端滑模面。

传统滑模面通常设计为线性函数。线性滑模面可以满足系统的控制性能要求。但是， 在线性滑模面上，系统最好的收敛是渐近收敛，即当控制对象具有较高的控制精度要求时， 渐近收敛往往不能满足系统控制精度的要求。终端滑模面，通过将滑模面设计为非线性函 数，系统的状态可以在有限时间内收敛到平衡点，相应的控制律的设计方法和线性滑模面 相同。目前，有限时间滑模面的设计方法过于具体，目前尚无通用的有限时间滑模面的设 计准则。

发明内容

针对现有技术中存在的上述问题，本发明提出一种二阶系统有限时间滑模控制器的设 计方法，通过设计通用的有限时间滑模面，解决无通用有限时间滑模面设计准则的问题， 并基于有限时间滑模面的通用设计准则，给出有限时间滑模控制器的通用设计形式，符合 非线性系统滑模控制技术的应用需求和发展趋势。

为了解决上述技术问题，本发明提出的一种二阶系统有限时间滑模控制器的通用设计 方法，包括如下步骤：

步骤一、根据二阶系统设计有限时间滑膜变量形式：

所述二阶系统的形式为

$\left(\begin{array}{c}{\stackrel{·}{x}}_1=x_2\\ {\stackrel{·}{x}}_2=f\left(x\right)+b\left(x\right)u+d\left(t\right)\end{array}\right)$

其中，x＝[x₁,x₂]^T是系统状态，和分别表示状态x₁和x₂的导数，f(x)、b(x)是标 量函数，且分别光滑可导，且|b(x)|≠0，u为二阶系统的控制输入，u是标量函数，d(t)为 有界干扰，d(t)为标量函数且满足|d(t)|<L_d，L_d为正常数；

有限时间滑模变量的形式为：

其中，s(x)是有限时间滑模变量，是x₁的函数，ψ(x₂)是x₂的函数；

步骤二、函数和ψ(x₂)的设计条件,包括：

条件(1)：当x₁＝0时，当x₂＝0时，ψ(x₂)＝0；当x₁≠0时，的导数满足当x₂≠0时，的导数满足ψ′(x₂)>0；则函数和ψ(x₂)是过 零点严格单调递增的函数，和ψ(x₂)存在逆函数；

条件(2)：当有限时间滑模变量s(x)等于0时，x₁与x₂一一映射，二阶系统的动态 在x₁→0时是齐次的，记ψ^-1(·)表示ψ(·)的逆函数；

条件(3)：根据计算使对任意x₁、x₂有意义；

步骤三、如果函数和ψ(x₂)满足步骤二中的设计条件，令就得到通用有限时间滑模面的表达式，执行步骤四；否则，返回步骤一重新设计有限时间 滑模变量

步骤四、根据设计二阶系统有限时间滑模控制器的表达式为：

其中，η>L_d是二阶系统有限时间滑模控制器增益参数，sgn(s(x))是s(x)的符号函数， $\mathrm{sgn}\left(s\left(x\right)\right)=\left(\begin{array}{c}1,s\left(x\right)>0\\ 0,s\left(x\right)=0\\ -1,s\left(x\right)<0\end{array}\right);$

步骤五：采用步骤四获得的二阶系统有限时间滑模控制器，实现步骤一中所述二阶系 统的有限时间控制。

与现有技术相比，本发明的有益效果是：

本发明提出一种二阶系统有限时间滑模控制器的通用设计方法，其中，步骤一和步骤 二完成二阶系统通用的有限时间滑模变量的设计，主要是通过设计有限时间滑模变量中两 个独立的函数和ψ(x₂)，给出其应该满足的充要条件，获得通用有限时间滑模变量 令从而在步骤三中就得到通用有限时间滑模 面的表达式；继续通过步骤四，在二阶系统通用的有限时间滑模变量设计基础上，完成二 阶系统通用有限时间滑模控制器的设计，该控制器能够使二阶系统有限时间内收敛到原点。

通过使用本发明提供的二阶系统有限时间滑模面和有限时间滑模控制器的设计方法， 能够得到多种有限时间滑模面和对应的有限时间滑模控制器的形式，以往研究的终端滑模 面和终端滑模控制器仅是本发明中通用滑模面和通用有限时间滑模控制器的一个具体表现 形式。

附图说明

图1是二阶系统有限时间滑模控制器的通用设计方法的流程图；

图2是二阶系统从任意初始位置x₀＝(x₁(0),x₂(0))出发，在到达滑模面 进而到达原点的状态轨迹示意图；

图3是x₁∈[-5,5]时终端滑模面和快速终端滑模面的仿真图；

图4是二阶系统在u_FNTSM和u_NTSM作用下，从初始位置(2,1)到达(0,0)的相轨迹图；

图5是x₁∈[-1.2,1.2]时双曲线型非奇异终端滑模面、快速终端滑模面和终端滑模面的仿 真图；

图6是二阶系统在u_NTSM、u_FNTSM、u_HNTSM作用下，从初始位置(1,3)到达(0,0)的相轨迹 图；

图7是二阶系统状态在u_NTSM、u_FNTSM、u_HNTSM作用下随时间收敛曲线；

图8是有限时间控制器u_NTSM、u_FNTSM、u_HNTSM的仿真图；

图9是有限时间滑模变量s_NTSM，s_FNTSM，s_HNTSM在u_NTSM、u_FNTSM、u_HNTSM作用下从初值 随时间收敛到0的曲线。

具体实施方式

本发明一种二阶系统有限时间滑模控制器的通用设计方法的思路是：基于终端滑模面 的齐次性性质，提出有限时间滑模面的设计准则，获得通用形式的有限时间滑模面；依据 李雅普诺夫稳定性理论，设计通用的有限时间滑模控制器。有限时间滑模控制器能够使二 阶系统有限时间到达平衡点，相比于线性滑模控制器，提高了控制系统的响应速度。

为了使本发明的目的、技术方案及优点更加清楚明白，以下结合附图及实施例，对本 发明进行进一步详细说明。应当理解，此处所描述的具体实施例仅仅用以解释本发明，并 不用于限定本发明。此外，下面所描述的本发明各个实施方式中所涉及到的技术特征只要 彼此之间未构成冲突就可以相互组合。

如图1所示，本发明提供了二阶系统有限时间滑模控制器的通用设计方法，具体步骤如 下：

步骤一、考虑二阶系统的形式为

$\left(\begin{array}{c}{\stackrel{·}{x}}_1=x_2\\ {\stackrel{·}{x}}_2=f\left(x\right)+b\left(x\right)u+d\left(t\right)\end{array}\right)$

其中x＝[x₁,x₂]^T是系统状态，和分别表示状态x₁和x₂的导数，f(x)、b(x)是标量 函数，且光滑可导，且|b(x)|≠0，u为二阶系统的控制输入，u是标量函数，d(t)为有界干 扰，即|d(t)|<L_d，L_d为常数。设计有限时间滑模变量的通用形式为其 中s(x)是有限时间滑模变量，仅是x₁的函数，ψ(x₂)仅是x₂的函数；

步骤二、设计函数和ψ(x₂)的具体形式，有以下条件：

条件(1)：使得当x₁＝0，x₂＝0时，有和ψ(x₂)＝0；对任何x₁≠0，都有对任何x₂≠0，都有ψ′(x₂)>0；函数和ψ(x₂)是过零点严格单调递增的函数，和 ψ(x₂)存在逆函数；

条件(2)：使得在有限时间滑模变量s(x)等于0时，，x₁与x₂是一一映射，二阶系统的 动态在x₁→0时是齐次的；

条件(3)：根据计算使得对任意x₁、x₂有意义；

步骤三、判断：如果满足上述条件(1)、条件(2)和条件(3)，令 得到通用有限时间滑模面的表达式，则进入步骤四；否则，返回步 骤一重新设计有限时间滑模变量

步骤四：根据满足步骤一及步骤二中的设计条件的设计二阶系统 有限时间滑模控制器的通用形式为其中η>L_d是 控制器增益参数，sgn(s(x))是s(x)的符号函数，$\mathrm{sgn}\left(s\left(x\right)\right)=\left(\begin{array}{c}1,s\left(x\right)>0\\ 0,s\left(x\right)=0\\ -1,s\left(x\right)<0\end{array}\right);$

步骤五：采用步骤四获得的二阶系统有限时间滑模控制器，实现步骤一中所述二阶系 统的有限时间控制。

具体实施过程中，各步骤的详细内容如下。

步骤一中是本发明通用有限时间滑模面和有限时间控制器的适用对象，具体形式如下：

$\left(\begin{array}{c}{\stackrel{·}{x}}_1=x_2\\ {\stackrel{·}{x}}_2=f\left(x\right)+b\left(x\right)u+d\left(t\right)\end{array}\right)---\left(1\right)$

其中，x＝[x₁,x₂]^T是系统状态，和分别表示状态x₁和x₂的导数，f(x)、b(x)是标 量函数，且分别光滑可导，且|b(x)|≠0，u为二阶系统的控制输入，u是标量函数，d(t)为 有界干扰，d(t)为标量函数且满足|d(t)|<L_d，L_d为正常数；有限时间滑模变量函数s(x)的 通用形式设计为其中s(x)是有限时间滑模变量函数，仅是x₁的函 数，表示的导数，ψ(x₂)仅是x₂的函数，ψ′(x₂)表示ψ(x₂)的导数， ${\psi }^{\prime }\left(x_2\right)=\frac{\mathrm{d\psi }\left(x_2\right)}{x_2}.$

步骤二的条件(1)中，当x₁＝0，x₂＝0时，有和ψ(x₂)＝0；对任何x₁≠0， 都有对任何x₂≠0，都有ψ′(x₂)>0；表明函数ψ(x₂)是过零点严格单调 递增的函数，因此和ψ(x₂)存在逆函数。

步骤二的条件(2)中，使得在有限时间滑模面s(x)＝0上，x₁与x₂是一一映射。这一 点可以用检验函数的界和ψ(x₂)的极限来保证，即计算的上确界和下 确界计算ψ(x₂)在x₂→+∞和x₂→-∞的极限和通过界 和极限的关系来保证一一映射成立。特别 的，当和的上确界和下确界应该满足 和

步骤二的条件(2)中，使得在有限时间滑模面s(x)＝0上，二阶系统的动态 在x₁→0时是齐次的。具体包括：

一阶系统的齐次性定义是：如果标量函数f(x₁)是齐次的，则系统是齐次的， x₁是系统状态。

标量函数f(x₁)的齐次性定义是：连续标量函数f(x₁)是齐次的，如果它满足 其中ρ>0为辅助变量，r>0,r₁>0为选取的幂指数，m是齐次性系 数。

由于在有限时间滑模面s(x)＝0上，系统的动态被描述为在x₁→0时， 检验微分方程的齐次性，实际上是检验函数的齐次性。令 g(x₁)＝-γsig^α(x₁)，γ为正的常系数。依据：g(ρx₁)＝-γρ^αsig^α(x₁)＝ρ^r+mh(x)＝ρ^1+(α-1)h(x)， ρ>0，r＝r₁＝1，m＝α-1(2)

根据标量函数齐次性定义，故函数g(x₁)＝-γsig^α(x₁)是齐次性函数。因此，在x₁→0时， 若等价于-γsig^α(x₁)，则系统也是齐次的，满足了使得在有限时 间滑模面s(x)＝0上，二阶系统的动态在x₁→0时是齐次的条件。

由于在通用的二阶系统有限时间控制器设计中存在除式，步骤二中的条件(3)中，需 要计算对任意x₁、x₂有意义，即不会无穷大。

步骤二给出了有限时间滑模变量函数s(x)的通用设计准则。满足步骤二中的有限时间 滑模变量函数s(x)，可以作为有限时间滑模面s(x)＝0。这是因为s(x)＝0意味着 故

因为函数ψ(·)是一个单调增函数，且为奇函数，因而必存在逆函数ψ^-1(·)。根据公式(3)， 可以得到

记由于函数ψ^-1(·)均为严格单调增函数，故函数也为严格单调增函数，且在x＝0处满足即

也就是说，当x₁≠0时，x₁h(x₁)<0总是成立，当x₁＝0时，x₁h(x₁)＝0。

对于有限时间滑模面s(x)＝0上任意一点它有限时间内收敛到平衡点(0,0)，收 敛时间T_x的表达式为

由于故是奇异的。公式(6)是一个广义积分，利用柯西收敛准 则说明公式(6)的收敛性。公式(6)是有限的，说明有限时间滑模面s(x)＝0上任意一点在有限时间T_x内收敛到平衡点(0,0)。因此考虑函数sig^α(x₁)，根据步骤二给出的： 使得在有限时间滑模面s(x)＝0上，二阶系统的动态在x₁→0时是齐 次的条件，要求在x₁→0时，与sig^α(x₁)等价，表示为：

由于求导公式$\frac{d{\left|x_1\right|}^{1-\alpha }}{x_1}=(1-\alpha ){\sin }^{-\alpha }\left(x_1\right)$成立，故

$T_x={\int }_{\overline{x_1}}^0\frac{{\mathrm{dx}}_1}{{\sin }^{-\alpha }\left(x_1\right)}=\frac{{\left|\overline{x_1}\right|}^{1-\alpha }}{(1-\alpha )}<\infty ---\left(8\right)$

因此满足步骤二中条件(1)，(2)，(3)的有限时间滑模面s(x)＝0上任意一点在 有限时间T_x内收敛到平衡点(0,0)，s(x)是有限时间滑模变量，s(x)＝0是有限时间滑模面。

步骤三进行判断，如果有限时间滑模变量满足步骤二中的各条件， 令就得到通用有限时间滑模面的表达式，可以进入步骤四；否则， 从步骤一开始重新设计有限时间滑模变量

步骤四中给出了通用有限时间滑模变量对应的二阶系统有限时间滑 模控制器，表达式为其中η>L_d>0是控制器增益 参数，sgn(s(x))是s(x)的符号函数。由于在步骤二中检验了分式有意义，故二阶系统 通用的有限时间滑模控制器是非奇异的，即有界的。

步骤五是将由步骤四获得的二阶系统有限时间滑模控制器代入步骤一中，实现二阶系 统的有限时间控制。加入二阶系统通用的有限时间滑模控制器后，闭环系统的方程为:

其中η>L_d>0为控制器增益。令两个正的系数η′和η″为η′>η-L_d，η″>η+L_d。明显 η′,η″>0。由此，可以得到有限时间滑模变量s(x)的导数s(x)为

如果s(x)>0，$\stackrel{·}{s}\left(x\right)\le -{\psi }^{\prime }\left(x_2\right){\eta }^{·}\mathrm{sgn}\left(s\left(x\right)\right);$

如果s(x)<0，$\stackrel{·}{s}\left(x\right)\le {\psi }^{\prime }\left(x_2\right)(2\eta -{\eta }^{\prime })=-{\psi }^{\prime }\left(x_2\right){\eta }^{\prime \prime }\mathrm{sgn}\left(s\left(x\right)\right);$

总结起来，可以有如下不等式成立：

$\stackrel{·}{s}\left(x\right)\le {-\psi }^{\prime }\left(x_2\right)\tilde{\eta }\mathrm{sgn}\left(s\left(x\right)\right),\tilde{\eta }=\left(\begin{array}{c}\eta -L_d,s>0;\\ \eta +L_d,s<0.\end{array}\right)---\left(11\right)$

因此，滑模控制理论提出的滑模面存在的充要条件，可以获得如下：

$s\left(x\right)\stackrel{·}{s}\left(x\right)\le -{\psi }^{\prime }\left(x_2\right)\tilde{\eta }\mathrm{sgn}\left(s\left(x\right)\right)---\left(12\right)$

也就是说，如果ψ′(x₂)≠0，公式(1)所示的二阶系统可以有限时间内到达滑模面。

如果ψ′(x₂)＝0，定义x₂＝0附近一个无限小的ε区间P_ε，P_ε＝{x:-ε<x₂<+ε},ε>0。 既然在开区间P_ε外，对于任意x，都有ψ′(x₂)>0成立。R²表示直角坐标系中横纵坐标均为 实数组成的平面，故x∈R²\{P_ε}表示在平面R²除去开区间P_ε的平面。令ψ′(x₂)在平面 x∈R²\{P_ε}上的下限为ε^*，即有下式成立

${ϵ}^{*}=\underset{x\in R^2\backslash \left\{P_{ϵ}\right\}}{\inf }{\psi }^{\prime }\left(x_2\right)---\left(13\right)$

因此，根据公式(12)，可以得到如下的不等式

$s\left(x\right)\stackrel{·}{s}\left(x\right)\le -{ϵ}^{*}\tilde{\eta }\mathrm{sgn}\left(s\left(x\right)\right),x\in R^2\backslash \left\{P_{ϵ}\right\}---\left(14\right)$

根据滑模控制理论提出的滑模面存在的充要条件，由公式(14)可以获得，在除去开 区间P_ε的平面x∈R²\{P_ε}上，公式(1)所示的二阶系统在有限时间滑模控制器 作用下，系统状态可以有限时间内到达滑模面。

如果ψ′(x₂)＝0，即x₂＝0，由于步骤二中设计对任意x₁、x₂有意义，因此 成立。考虑公式(1)所示系统的在有限时间滑模控制器 作用下的闭环系统，对于s(x)>0，有

故$-{\eta }^{\prime \prime }\le {\stackrel{·}{x}}_2\le {-\eta }^{\prime }$且${\stackrel{·}{x}}_2<0.$如果s(x)<0，有

故且由于ε是一个无限小的正数，当x₂＝0时因此x₂能够跨 越包含x₂＝0的无限小区间P_ε，到达平面x∈R²\{P_ε}上。因此，无论x₂＝0或者x₂≠0，公 式(1)所示的二阶系统在有限时间滑模控制器作用 下，系统状态可以有限时间内到达滑模面。

当系统状态有限时间到达滑模面后，系统的运行动态由滑模面的形式决定。本发明中 设计的通用有限时间滑模面的形式为故公式(1)所示的二阶系统在滑模 面上的动态方程为：

选择李雅普诺夫函数可以得到它的导数为：

因此，根据李雅普诺夫稳定性方法，系统状态x₁渐近收敛到原点。

根据步骤二给出的条件，当x₁＝0，x₂＝0时，有和对任何x₁≠0， 都有对任何x₂≠0，都有因此，对系统状态运行于滑模面上，且尚 未到达原点时，满足：

依据公式(9)，二阶系统在通用的有限时间滑模控制器作用下，系统状态x₂的动态为 在滑模面上s(x)＝0，由于系统动态对于匹配性干扰具有不 变性，故系统状态x₂的动态为当系统状态运行于滑模面上，且尚未到达原点 时，x₂≠0总成立。故选取李雅普诺夫函数V₂>0，其导数为:

结合公式(19)，显然因此，根据李雅普诺夫稳定性方法，系统状态x₂渐近收 敛到原点。

x₀＝(x₁(0),x₂(0))表示二阶系统的状态任意初始位置。系统状态从x₀＝(x₁(0),x₂(0))出 发，经过有限时间t₁后到达滑模面是表示二阶系统状态 在有限时间滑模面上的初始位置。设系统状态从有限时间滑模面 上的初始位置出发，到达原点所用的时间为T_x，则对公式 (17)积分可以得到T_x的表达式为：

依据公式(6)，T_x<∞。因此，结合系统状态x₁，x₂渐近收敛到原点的结论，可以得到， 在本发明所设计的通用有限时间滑模面和相应的有限时间滑模控制器下，如公式(1)所示 的二阶系统能够实现有限时间控制，系统状态x₁，x₂有限时间到达滑模面并有限时间收敛到原点。图2是二阶系统从任意初始位置x₀＝(x₁(0),x₂(0))出发，在 到达滑模面进而到达原点的状态轨迹示意图。

为使本领域技术人员更好地理解本发明，下面结合具体实施例，对本发明的二阶系统 有限时间滑模控制器的通用设计方法进行详细说明。

(1)快速非奇异终端滑模变量(s_FNTSM)和相应有限时间控制器(u_FNTSM)

快速非奇异终端滑模变量s_FNTSM的形式设计如下：

$s_{\mathrm{FNTSM}}=x_1+\frac{1}{k_1}{\mathrm{sig}}^{\frac{1}{{\alpha }_1}}\left(x_1\right)+\frac{1}{k}{\mathrm{sig}}^{\frac{1}{\alpha }}\left(x_2\right)---\left(22\right)$

其中k，k₁，α，α₁是快速非奇异终端滑模变量的参数，满足k>0，k₁>0，α>0，α₁>0， $1<\frac{1}{\alpha }<2,\frac{1}{{\alpha }_1}>\frac{1}{\alpha },$$\psi \left(x_2\right)=\frac{1}{k}{\mathrm{sig}}^{\frac{1}{\alpha }}\left(x_2\right).$令s_FNTSM＝0就可以得到快速 非奇异终端滑模面的表达式。s_FNTSM是按照步骤一至步骤三设计获得，这里检验公式(22) 所示的快速非奇异终端滑模变量s_FNTSM是否符合步骤二中所列条件。

①：步骤二中的设计条件(1)，函数和满足 x₁＝0，x₂＝0时，和ψ(x₂)＝0的条件；对任何x₁≠0，都有对任何x₂≠0， 都有ψ′(x₂)>0成立。

②：步骤二中的设计条件(2)，要求在快速非奇异终端滑模面s_FNTSM＝0上，x₁与x₂是 一一映射。这一点可以用检验函数的界和ψ(x₂)的极限来保证。计算的上确界 和下确界

计算ψ(x₂)在x₂→+∞和x₂→-∞的极限

$\underset{x_2\to +\infty }{\lim }\psi \left(x_2\right)=+\infty ,\underset{x_2\to -\infty }{\lim }\psi \left(x_2\right)=-\infty ,$

因此的界和ψ(x₂)的极限存在关系：

因此，在快速非奇异终端滑模面s_FNTSM＝0上，x₁与x₂是一一映射。

③：步骤二中的设计条件(2)，由于在快速非奇异终端滑模面s_FNTSM＝0上，系统的动 态被描述为${\stackrel{·}{x}}_1=-{({\mathrm{kx}}_1+\frac{k}{k_1}{\mathrm{sig}}^{\frac{1}{{\alpha }_1}}\left(x_1\right))}^{\alpha }.$在x₁→0时，检验微分方程${\stackrel{·}{x}}_1=-{({\mathrm{kx}}_1+\frac{k}{k_1}{\mathrm{sig}}^{\frac{1}{{\alpha }_1}}\left(x_1\right))}^{\alpha }$的 齐次性，考虑到α和α₁的取值，实际上是检验方程的齐次性。方程的齐次性取 决于函数-(kx₁)^α的齐次性。-(kx₁)^α可以表示为-γsig^α(x₁)的形式，γ＝k^α，

由于函数g(x₁)＝-γsig^α(x₁)是齐次性函数，即-(kx₁)^α是齐次性函数。因此，在x₁→0时， 系统${\stackrel{·}{x}}_1=-{({\mathrm{kx}}_1+\frac{k}{k_1}{\mathrm{sig}}^{\frac{1}{{\alpha }_1}}\left(x_1\right))}^{\alpha }$是齐次的，满足了二阶系统的动态在 x₁→0时是齐次的条件。

④：步骤二中的设计条件(3)，计算

考虑α和α₁的取值，可以得到对任意x₁、x₂有意义。因此，快速非奇异终端滑 模变量$s_{\mathrm{FNTSM}}=x_1+\frac{1}{k_1}{\mathrm{sig}}^{\frac{1}{{\alpha }_1}}\left(x_1\right)+\frac{1}{k}{\mathrm{sig}}^{\frac{1}{\alpha }}\left(x_2\right)$是符合条件的。

根据步骤四，可以得到快速非奇异终端滑模面s_FNTSM相 应的有限时间控制器u_FNTSM，表达为：

$u_{\mathrm{FNTSM}}={-b}^{-1}\left(x\right)(f\left(x\right)+{\mathrm{k\alpha sig}}^{2-\frac{1}{\alpha }}\left(x_2\right)(1+\frac{1}{k_1{\alpha }_1}{\mathrm{sig}}^{(\frac{1}{{\alpha }_1}-1)}\left(x_1\right))+\mathrm{\eta sgn}\left(s_{\mathrm{FNTSM}}\right))$

该有限时间控制器能够让公式(1)所示的二阶系统有限时间到达原点。

仿真中，将设计的快速非奇异终端滑模面和已有的 终端滑模面进行比较。采用的参数为k＝1，k₁＝1。

图3是在x₁∈[-5,5]非奇异终端滑模面和快速非奇异终端滑模面的仿真图，其中虚线是 非奇异终端滑模面s_NTSM＝0，实线是快速非奇异终端滑模面s_FNTSM＝0。图4是二阶系统在 有限时间控制器作用下，从初始位置(2,1)到达(0,0)的相轨迹图，其中虚线是在非奇异终端 滑模变量相应的有限时间控制器作用下，二阶系统从初 始位置(2,1)到达(0,0)的相轨迹图，实线是在快速非奇异终端滑模变量相应的有限时间控制 器$u_{\mathrm{FNTSM}}=-({\mathrm{k\alpha sig}}^{2-\frac{1}{\alpha }}\left(x_2\right)(1+\frac{1}{k_1{\alpha }_1}{\mathrm{sig}}^{(\frac{1}{{\alpha }_1}-1)}\left(x_1\right))+\mathrm{\eta sgn}\left(s_{\mathrm{FNTSM}}\right))$作用下，二阶系统从初始位置 (2,1)到达(0,0)的相轨迹图。

(2)双曲线型非奇异终端滑模变量(s_HNTSM)和相应有限时间控制器(u_HNTSM)

双曲线型非奇异终端滑模变量s_HNTSM设计为

$s_{\mathrm{HNTSM}}=x_1+\frac{1}{k_2}{\mathrm{sig}}^{\frac{1}{{\alpha }_2}}\left(x_1\right)+\frac{1}{k}{\sinh }^{-1}\left({\mathrm{sig}}^{\frac{1}{\alpha }}\left(x_2\right)\right)---\left(23\right)$

其中k，k₁，α，α₂是快速非奇异终端滑模变量的参数，满足k>0，k₂>0，$\frac{1}{{\alpha }_2}>1,$$\psi \left(x_2\right)=\frac{1}{k}{\sinh }^{-1}\left({\mathrm{sig}}^{\frac{1}{\alpha }}\left(x_2\right)\right).$令s_HNTSM＝0就可以得到双曲线型 非奇异终端滑模面的表达式。s_HNTSM是按照步骤一至步骤三设计获得。对s_HNTSM是否符合设 计条件进行检验。

①：步骤二中条件(1)，在x₁＝0时，在x₂＝0， 且对于任意x₁≠0，x₂≠0，都有ψ′(x₂)>0成立。

②：步骤二中条件(2)，计算的上确界和下确界

计算在x₂→+∞和x₂→-∞的极限

$\underset{x_2\to +\infty }{\lim }\psi \left(x_2\right)=+\infty ,\underset{x_2\to -\infty }{\lim }\psi \left(x_2\right)=-\infty ,$

因此的界和ψ(x₂)的极限存在关系：

因此，在双曲线型非奇异终端滑模面s_HNTSM＝0上，x₁与x₂是一一映射。

③：步骤二中条件(2)，由于在双曲线型非奇异终端滑模面s_HNTSM＝0上，系统的动态 被描述为${\stackrel{·}{x}}_1=-{\mathrm{sig}}^{\alpha }\left(\sinh ({\mathrm{kx}}_1+\frac{k}{k_2}(x_1^{\frac{1}{{\alpha }_2}})\right).$在x₁→0时，微分方程${\stackrel{·}{x}}_1=-{\mathrm{sig}}^{\alpha }\left(\sinh ({\mathrm{kx}}_1+\frac{k}{k_2}(x_1^{\frac{1}{{\alpha }_2}})\right)$与 微分方程等价。由于函数g(x₁)＝-γsig^β(x₁)是齐次性函数，故在 x₁→0时，系统是齐次的，满足步骤二中的二阶系统的动态 在x₁→0时是齐次的条件。

④：步骤二中条件(3)，计算

考虑可以得到对任意x₁、x₂有意义。因此，双曲线型非奇异 终端滑模变量$s_{\mathrm{HNTSM}}=x_1+\frac{1}{k_2}{\mathrm{sig}}^{\frac{1}{{\alpha }_2}}\left(x_1\right)+\frac{1}{k}{\sinh }^{-1}\left({\mathrm{sig}}^{\frac{1}{\alpha }}\left(x_2\right)\right)$是符合条件的。

步骤四给出了由有限时间滑模变量获得相应的有限时间器是方法。依据双曲线型非奇 异终端滑模变量的形式，可以得到相应的有限时间控制器u_HNTSM，表达如下：

$u_{\mathrm{HNTSM}}={-b}^{-1}\left(x\right)(f\left(x\right)+\mathrm{k\alpha }(1+\frac{1}{k_2{\alpha }_2}{\mathrm{sig}}^{(\frac{1}{\alpha 2}-1)}\left(x_1\right)){(1+x_2^{\frac{2}{\alpha }})}^{\frac{1}{2}}{\mathrm{sig}}^{2-\frac{1}{\alpha }}\left(x_2\right)+\mathrm{\eta sgn}\left(s_{\mathrm{HNTSM}}\right))$

在u_HNTSM作用下，公式(1)所示的二阶系统能够有限时间到达原点。

将双曲线型非奇异终端滑模面$s_{\mathrm{HNTSM}}=x_1+\frac{1}{k_2}{\mathrm{sig}}^{\frac{1}{{\alpha }_2}}\left(x_1\right)+\frac{1}{k}{\sinh }^{-1}\left({\mathrm{sig}}^{\frac{1}{\alpha }}\left(x_2\right)\right)=0,$快速非奇 异终端滑模面$s_{\mathrm{FNTSM}}=x_1+\frac{1}{k_1}{\mathrm{sig}}^{\frac{1}{{\alpha }_1}}\left(x_1\right)+\frac{1}{k}{\mathrm{sig}}^{\frac{1}{\alpha }}\left(x_2\right)=0$和终端滑模面$s_{\mathrm{NTSM}}=x_1+\frac{1}{k}{\mathrm{sig}}^{\frac{1}{\alpha }}\left(x_2\right)=0$一起仿真比较。仿真中采用的参数为k＝1，k₁＝1。

图5是在x₁∈[-1.2,1.2]时，双曲线型非奇异终端滑模面、快速非奇异终端滑模面和非奇 异终端滑模面的仿真图，其中虚线是非奇异终端滑模面s_NTSM＝0，点虚线是快速非奇异终端 滑模面s_FNTSM＝0，实线是双曲线型非奇异终端滑模面s_HNTSM＝0。图6是二阶系统在有限时 间控制器u_NTSM、u_FNTSM、u_HNTSM作用下，从初始位置(1,3)到达(0,0)的相轨迹图，其中虚线 是二阶系统在有限时间控制器u_NTSM作用下，从初始位置(1,3)到达(0,0)的相轨迹图，点虚线 表示二阶系统在有限时间控制器u_FNTSM作用下，从初始位置(1,3)到达(0,0)的相轨迹图，实 线是在u_HNTSM作用下，二阶系统从初始位置(1,3)到达(0,0)的相轨迹图。图7给出了二阶系 统状态x₁，x₂在有限时间控制器u_NTSM、u_FNTSM、u_HNTSM作用下随时间收敛曲线，显示了从 初始位置(1,3)出发，在三种有限时间控制器作用下，二阶系统的状态都是有限时间收敛到 原点的。图8给出了有限时间控制器u_NTSM、u_FNTSM、u_HNTSM的值。图9描述了三种滑模变 量从初始值s_NTSM(x₀)＝7.2403，s_FNTSM(x₀)＝8.2403，s_HNTSM(x₀)＝4.5305在有限时间控制器 u_NTSM、u_FNTSM、u_HNTSM作用下随时间收敛到0的曲线。

尽管上面结合附图对本发明进行了描述，但是本发明并不局限于上述的具体实施方式， 上述的具体实施方式仅仅是示意性的，而不是限制性的，本领域的普通技术人员在本发明 的启示下，在不脱离本发明宗旨的情况下，还可以做出很多变形，这些均属于本发明的保 护之内。