一种基于应变模态的梁结构动挠度监测方法

摘要

本发明公开了一种基于应变模态的梁结构动挠度监测方法，其特征是利用应变传感器对振动的梁结构进行应变测试获得动应变数据，由所述动应变数据的互相关函数求出应变模态振型，利用应变‐位移转换关系求出位移模态振型，然后再由动应变数据和应变模态振型计算出位移模态坐标，最后根据计算出的位移模态坐标叠加位移模态振型得到梁结构的实时挠曲线，从而实现对动挠度的监测。本发明在保证精度的前提可以以较低的成本和较简易的设备来监测梁结构的动挠度。

说明书

技术领域

本发明涉及桥梁健康监测领域，具体地说是一种基于应变模态监测桥梁动挠度的方法，监测结果用于评价桥梁的使用状态和安全性能。 

背景技术

在桥梁的健康监测中桥梁结构的变形是评价桥梁安全性的重要指标，也是桥梁监测的关键参数之一。挠度作为变形的一种描述形式，可以同桥梁的刚度建立内在联系，进而可以有效评价桥梁的使用状态和安全性能。尤其是桥梁的动挠度，更是桥梁受力变形最为实时的体现。通过对动挠度的监测，可以获得桥梁结构的动力特性和车辆荷载的冲击系数等，从而更好的评价桥梁的健康状况，对保证桥梁的安全运行具有重要意义。 

传统的桥梁挠度测量主要有经纬仪、水准仪、百分表等方法，这些方法已经广泛应用于桥梁检测与监测中，但是这些简单的测量方法只适用于桥梁短期的人工测量，存在费时费力、使用不便、实时测量困难等不足。为了实现桥梁挠度的实时监测，近年来一些较新的挠度测量方法如GPS、激光图像、连通管法、光电成像法等逐渐涌现出来，并且已应用于桥梁结构挠度的监测中。但是，这些测量方法都需要独立的测量设备，增加了数据量，同时增加了监测的成本。特别是对于特殊环境下的桥梁来说，由于复杂的操作环境，直接安装位移传感器进行挠度的直接测量往往会十分困难。同时这些方法也只能测量某个或者某有限点的变形，如果要获得整个桥梁的实时挠曲线，必须对某一时刻测量多个点的挠度值利用插值或者拟合的方法来获取桥梁的实时挠曲线。但是插值或者拟合的方法忽略了桥梁结构在车辆荷载作用下的振动影响，因而难以实现桥梁实时挠曲线的测量。 

发明内容

本发明是为避免上述现有技术所存在的不足之处，提供一种基于应变模态的梁结构动挠度监测方法，在保证精度的前提下，以较低的成本和较容易的操作方式，实现对桥梁实时挠曲线的监测。 

本发明为解决技术问题采用如下技术方案： 

本发明基于应变模态的梁结构动挠度监测方法的特点是：利用应变传感器对振动的梁结构进行应变测试获得动应变数据，由所述动应变数据的互相关函数求出应变模态振型，利用应变-位移转换关系求出位移模态振型，然后再由动应变数据和应变模态振型计算出位移模态坐标，最后根据计算出的位移模态坐标叠加位移模态振型得到梁结构的实时挠曲线，从而实现对动挠度的监测。 

本发明基于应变模态的梁结构动挠度监测方法的特点也在于：所述由动应变数据的互相 关函数求出应变模态振型是按如下步骤进行： 

假设在梁结构动挠度监测中，沿梁的纵向均匀布置M个应变传感器对应为M个应变测点，将处在正常工作状态下的梁结构视为线性结构，根据模态叠加原理，M个应变测点的应变{ε(t)}_M×1如式(1)： 

{ε(t)}_M×1＝Ψ_M×N{η(t)}_N×1      (1) 

式(1)中，Ψ_M×N和{η(t)}_N×1分别为应变模态振型矩阵和t时刻的应变模态坐标矩阵，N为模态阶数，并有式(2)： 

{η(t)}_N×1＝G_N×M{ε(t)}_M×1      (2) 

式(2)中，G_N×M是应变权重矩阵，应变权重矩阵G_N×M的秩不超过应变传感器的使用个数M，因此，N不大于M； 

应变模态坐标的零滞后互相关矩阵R定义如式(3)： 

R＝E[ηη^T]＝E[Gεε^TG^T]＝GE[εε^T]G^T      (3) 

式(3)中互相关矩阵R中的元素R_ij(i＝1,2,...,N；j＝1,2,...,N)按式(4)计算得到： 

$R_{\mathrm{ij}}=E\left[{\eta }_i\left(k\right){\eta }_j\left(k\right)\right]=\frac{1}{k}\underset{k\to \infty }{\lim }{\Sigma }_{t=1}^k{\eta }_i\left(t\right){\eta }_j\left(t\right)---\left(4\right)$

由应变模态坐标的性质可知，如果i≠j则η_i和η_j正交，R_ij＝0，互相关矩阵R是对角矩阵，E[εε^T]是可对角化矩阵，且G是E[εε^T]的特征向量矩阵；因此通过对矩阵E[εε^T]求特征向量获得应变权重矩阵G_N×M，再利用式(5)获得应变模态振型矩阵Ψ_M×N： 

${\Psi }_{M\times N}={\left(G_{N\times M}^T{G}_{N\times M}\right)}^{-1}{G}_{N\times M}^T---\left(5\right)$

本发明基于应变模态的梁结构动挠度监测方法的特点还在于：按如下步骤计算获得梁结构的实时挠曲线： 

根据模态叠加原理，梁纵坐标上x位置处在t时刻下的位移d(x,t)和应变ε(x,t)分别如式(6)和式(7)： 

$d(x,t)={\Sigma }_{i=1}^N{\Phi }_i\left(x\right){\eta }_i\left(t\right)---\left(6\right)$

$ϵ(x,t)={\Sigma }_{i=1}^N{\Psi }_i\left(x\right){\eta }_i\left(t\right)---\left(7\right)$

式(6)和式(7)中，Φ_i(x)和Ψ_i(x)分别为第i阶位移模态振型和第i阶应变模态振型在x位置处 的取值，η_i(t)为第i阶模态坐标在t时刻的取值； 

根据梁原理，应变-位移的关系表示如式(8)： 

$ϵ(x,t)=-y\left(x\right)\frac{{\partial }^{2}d(x,t)}{{\partial x}^2}=-y\left(x\right){\Sigma }_{i=1}^N{{\Phi }_i}^{\prime \prime }\left(x\right){\eta }_i\left(t\right)---\left(8\right)$

式(8)中，y(x)为x位置处在梁高方向距中性轴的距离，对于中性轴在梁截面上的位置，通过平行应变测试获得；根据式(8)和式(7)，获得第i阶应变模态振型和第i阶位移模态振型之间的关系如式(9)： 

${{\Phi }_i}^{\prime \prime }\left(x\right)=-\frac{1}{y\left(x\right)}{\Psi }_i\left(x\right)---\left(9\right)$

通过对式(9)进行积分，获得位移模态振型在梁纵坐标上x位置处的表达式如式(10)： 

${\Phi }_i\left(x\right)=\int \int -\frac{1}{y\left(x\right)}{\Psi }_i\left(x\right){\mathrm{dx}}^2+C_{1}x+C_2---\left(10\right)$

式(10)中，C₁和C₂是根据梁的边界条件所确定的积分常数，在不考虑梁支座的沉降时，C₁和C₂分别按式(11)和式(12)计算获得： 

$C_1=\frac{\int \int \frac{1}{y\left(x\right)}{\Psi }_i\left(x\right){\mathrm{dx}}^2{|}_{x=l}}{l}---\left(11\right)$

C₂＝0              (12) 

由式(13)计算获得N阶位移模态振型的矩阵形式{Φ(x)}_1×N： 

{Φ(x)}_1×N＝{Φ₁(x),Φ₂(x),...Φ,_N(x)}         (13) 

由于位移模态与应变模态有着相同的模态坐标，因此通过计算应变模态坐标获得位移模态坐标，在获得了应变权重矩阵G_N×M后，利用式(2)计算得出应变模态坐标； 

根据计算获得的位移模态坐标和位移模态振型，按式(6)计算获得梁结构的实时挠曲线d(x,t)。 

与现有技术相比，本发明有益效果体现在： 

1、本发明通过测试梁结构的动应变实现了对动挠度的间接监测。在桥梁监测技术中，桥梁应变测试成本较低，也比较容易操作，并且还具有较高的精度。 

2、本发明根据位移模态坐标叠加位移模态振型得到的是梁结构动挠曲线，而不仅是某有 限点的动挠度。 

附图说明

图1为按本发明方法进行的力锤锤击下简支梁动挠度监测实验的平面示意图； 

图1中标号：1第一应变测点，2第二应变测点，3第三应变测点，4第四应变测点，5第五应变测点，6第六应变测点，7第七应变测点，8第八应变测点，Ⅰ第一挠度实测点，Ⅱ第二挠度实测点，Ⅲ第三挠度实测点，Ⅳ第四挠度实测点，Ⅴ第五挠度实测点； 

图2为梁上第四应变测点4在力锤随机锤击下的应变响应； 

图3(a)为利用动应变数据的互相关函数求出的第一阶应变模态振型及与理论值的对比； 

图3(b)为求出的第二阶应变模态振型及与理论值的对比； 

图3(c)为求出的第三阶应变模态振型及与理论值的对比； 

图4为梁上第八应变测点8在力锤随机锤击下的应变响应； 

图5(a)为利用应变-位移转换关系求出的第一阶位移模态振型及与理论值的对比； 

图5(b)为求出的第二阶位移模态振型及与理论值的对比； 

图5(c)为求出的第三阶位移模态振型及与理论值的对比； 

图6(a)当力锤锤击梁1/4跨时，基于应变模态计算出的第一挠度实测点I处的动挠度值及与实测值的对比； 

图6(b)为当力锤锤击梁1/4跨时，基于应变模态计算出的第三挠度实测点III处的动挠度值及与实测值的对比； 

图7(a)为当力锤锤击梁1/8跨时，基于应变模态计算出的第一挠度实测点I处的动挠度值及与实测值的对比； 

图7(b)为当力锤锤击梁1/8跨时，基于应变模态计算出的第三挠度实测点III处的动挠度值及与实测值的对比； 

图8为单点锤击下基于应变模态计算出的动挠度误差； 

图9(a)为多点随机锤击下，基于应变模态计算出的第一挠度实测点I处的动挠度值及与实测值的对比； 

图9(b)为多点随机锤击下，基于应变模态计算出的第三挠度实测点III处的动挠度值及与实测值的对比； 

图10为多点随机锤击下基于应变模态计算出的动挠度误差； 

具体实施方式

本实施例中基于应变模态的梁结构动挠度监测方法是利用应变传感器对振动的梁结构进行应变测试获得动应变数据，由所述动应变数据的互相关函数求出应变模态振型，利用应变- 位移转换关系求出位移模态振型，然后再由动应变数据和应变模态振型计算出位移模态坐标，最后根据计算出的位移模态坐标叠加位移模态振型得到梁结构的实时挠曲线，从而实现对动挠度的监测。 

具体实施中，由动应变数据的互相关函数求出应变模态振型是按如下步骤进行： 

在梁结构动挠度监测中，沿梁的纵向均匀布置M个应变传感器对应为M个应变测点，将处在正常工作状态下的梁结构视为线性结构，根据模态叠加原理，M个应变测点的应变{ε(t)}_M×1如式(1)： 

{ε(t)}_M×1＝Ψ_M×N{η(t)}_N×1         (1) 

式(1)中，Ψ_M×N和{η(t)}_N×1分别为应变模态振型矩阵和t时刻的应变模态坐标矩阵，N为模态阶数，并有式(2)： 

{η(t)}_N×1＝G_N×M{ε(t)}_M×1         (2) 

式(2)中，G_N×M是应变权重矩阵，应变权重矩阵G_N×M的秩不超过应变传感器的使用个数M，因此，N不大于M。 

应变模态坐标的零滞后互相关矩阵R定义如式(3)： 

R＝E[ηη^T]＝E[Gεε^TG^T]＝GE[εε^T]G^T         (3) 

式(3)中互相关矩阵R中的元素R_ij(i＝1,2,...,N；j＝1,2,...,N)按式(4)计算得到： 

$R_{\mathrm{ij}}=E\left[{\eta }_i\left(k\right){\eta }_j\left(k\right)\right]=\frac{1}{k}\underset{k\to \infty }{\lim }{\Sigma }_{t=1}^k{\eta }_i\left(t\right){\eta }_j\left(t\right)---\left(4\right)$

由应变模态坐标的性质可知，如果i≠j则η_i和η_j正交，R_ij＝0，互相关矩阵R是对角矩阵，E[εε^T]是可对角化矩阵，且G是E[εε^T]的特征向量矩阵；因此通过对矩阵E[εε^T]求特征向量获得应变权重矩阵G_N×M，再利用式(5)获得应变模态振型矩阵Ψ_M×N： 

${\Psi }_{M\times N}={\left(G_{N\times M}^T{G}_{N\times M}\right)}^{-1}{G}_{N\times M}^T---\left(5\right)$

具体实施中，按如下步骤计算获得梁结构的实时挠曲线： 

根据模态叠加原理，梁纵坐标上x位置处在t时刻下的位移d(x,t)和应变ε(x,t)分别如式(6)和式(7)： 

$d(x,t)={\Sigma }_{i=1}^N{\Phi }_i\left(x\right){\eta }_i\left(t\right)---\left(6\right)$

$ϵ(x,t)={\Sigma }_{i=1}^N{\Psi }_i\left(x\right){\eta }_i\left(t\right)---\left(7\right)$

式(6)和式(7)中，Φ_i(x)和Ψ_i(x)分别为第i阶位移模态振型和第i阶应变模态振型在x位置处的取值，η_i(t)为第i阶模态坐标在t时刻的取值。 

根据梁原理，应变-位移的关系表示如式(8)： 

$ϵ(x,t)=-y\left(x\right)\frac{{\partial }^{2}d(x,t)}{{\partial x}^2}=-y\left(x\right){\Sigma }_{i=1}^N{{\Phi }_i}^{\prime \prime }\left(x\right){\eta }_i\left(t\right)---\left(8\right)$

式(8)中，y(x)为x位置处在梁高方向距中性轴的距离，对于中性轴在梁截面上的位置，通过平行应变测试获得；根据式(8)和式(7)，获得第i阶应变模态振型和第i阶位移模态振型之间的关系如式(9)： 

${{\Phi }_i}^{\prime \prime }\left(x\right)=-\frac{1}{y\left(x\right)}{\Psi }_i\left(x\right)---\left(9\right)$

通过对式(9)进行积分，获得位移模态振型在梁纵坐标上x位置处的表达式如式(10)： 

${\Phi }_i\left(x\right)=\int \int -\frac{1}{y\left(x\right)}{\Psi }_i\left(x\right){\mathrm{dx}}^2+C_{1}x+C_2---\left(10\right)$

式(10)中，C₁和C₂是根据梁的边界条件所确定的积分常数，在不考虑梁支座的沉降时，C₁和C₂分别按式(11)和式(12)计算获得： 

$C_1=\frac{\int \int \frac{1}{y\left(x\right)}{\Psi }_i\left(x\right){\mathrm{dx}}^2{|}_{x=l}}{l}---\left(11\right)$

C₂＝0                  (12) 

由式(13)计算获得的N阶的位移模态振型的矩阵形式{Φ(x)}_1×N： 

{Φ(x)}_1×N＝{Φ₁(x),Φ₂(x),...Φ,_N(x)}           (13) 

由于位移模态与应变模态有着相同的模态坐标，因此通过计算应变模态坐标获得位移模态坐标，在获得了应变权重矩阵G_N×M后，利用式(2)计算得出应变模态坐标。 

根据计算获得的位移模态坐标和位移模态振型，按式(6)计算获得梁结构的实时挠曲线d(x,t)。 

本次力锤锤击下简支梁动挠度监测实验中，梁结构为简支铝梁，长2.5m，宽100mm，厚20mm。参见图1，在梁的底面均匀布置七个应变计，对应图1中各应变测点从左往右分别是 第一应变测点1、第二应变测点2、第三应变测点3、第四应变测点4、第五应变测点5、第六应变测点6和第七应变测点7，为了获得梁截面上中性轴的位置，在梁跨中顶面布置一个应变计，对应测点为第八应变测点8。由于实验梁是等截面梁，因此中性轴在梁截面上的位置可通过对跨中截面进行平行应变测试获得。为了对比实验结果，梁底面还均匀布置五个位移计，用于测试梁的实际挠度，从左往右分别是第一挠度实测点Ⅰ，第二挠度实测点Ⅱ，第三挠度实测点Ⅲ，第四挠度实测点Ⅳ和第五挠度实测点Ⅴ。 

对于简支梁来说前三阶的模态振型是主要的模态振型，因此本次实验只考虑前三阶模态。为获取应变、位移模态振型，首先用力锤对梁进行多点的随机锤击并采集锤击下各应变测点的应变响应，采样时间为60秒，采样频率为200HZ。图2所示为第四应变测点4的应变响应。根据本发明所述的动应变数据的互相关函数求出应变模态振型，求出的前三阶应变模态振型及与理论值的对比分别如图3(a)、图3(b)和图3(c)所示。对于梁截面上中性轴的位置，通过计算相互平行的第四应变测点4和第八应变测点8的应变数值得到，计算公式如下： 

$e=\frac{y_1{ϵ}_1+y_2{ϵ}_2}{{ϵ}_1+{ϵ}_2}---\left(14\right)$

公式(14)中，e为中性轴距梁底的距离，ε₁和ε₂分别为第四应变测点4和第八应变测点8的应变数值，y₁和y₂分别为第四应变测点4和第八应变测点8距梁底的距离。图4所示为第八应变测点8在随机锤击下的应变响应。通过多次计算取平均值，梁截面上中性轴距梁底的距离为10.02mm。在获取了中性轴位置之后，根据公式(10)计算梁位移模态振型，计算出的前三阶位移模态振型及与理论值的对比分别如图5(a)、图5(b)和图5(c)所示。 

为了验证基于应变模态监测梁结构动挠度方法的有效性，实验中分别对梁1/2跨处、1/4跨处、1/8跨处进行锤击。由于只考虑前三阶模态，因此利用三个应变测点的动应变数据和前三阶应变模态振型即可计算出前三阶位移模态坐标。本实验利用第二应变测点2、第四应变测点4、第六应变测点6的动应变数据计算位移模态坐标，并根据计算得到的位移模态坐标叠加位移模态振型获得梁结构的实时挠曲线。将计算出的动挠度值与位移计实测动挠度值进行对比。当力锤锤击在梁1/4跨时，基于应变模态计算出的第一挠度实测点Ⅰ处动挠度值与实测值的对比如图6(a)所示，第三挠度实测点Ⅲ处动挠度计算值与实测值的对比如图6(b)所示。当力锤锤击在梁1/8跨时，基于应变模态计算出的第一挠度实测点Ⅰ处动挠度值与实测值的对比如图7(a)所示，第三挠度实测点Ⅲ处动挠度计算值与实测值的对比如图7(b)所示。误差按照下式进行计算。 

公式(15)中E为误差指标，d_实测和d_计算分别为挠度的实测值和计算值，K为时间序列的长度。本次试验中，单点锤击下基于应变模态计算出的动挠度误差在7％以内，如图8所示。 

为了进一步验证基于应变模态计算梁结构动挠度方法的有效性，对梁上多个点进行随机地锤击。同样利用第二应变测点2、第四应变测点4、第六应变测点6的动应变数据计算位移模态坐标，并根据计算得到的位移模态坐标叠加位移模态振型获得梁结构的实时挠曲线。将计算出的动挠度值与位移计实测动挠度值进行对比。多点随机锤击作用下，基于应变模态计算出的第一挠度实测点Ⅰ处动挠度值与实测值的对比如图9(a)所示，第三挠度实测点Ⅲ处动挠度计算值与实测值的对比如图9(b)所示。多点随机锤击作用下基于应变模态计算出的动挠度误差在6％以内，如图10所示。 

实验验证了在锤击激励下基于应变模态计算简支梁动挠度方法的有效性和精确性。基于应变模态，梁结构的动挠度可仅根据测试得到的应变数据计算获得，且具有较高的精度。