高阶变性傅里叶非圆齿轮副的设计方法

摘要

本发明公开了一种高阶变性傅里叶非圆齿轮副的设计方法。傅里叶节曲线非圆齿轮的节曲线形状容易调整，在许多领域得到广泛应用，然而傅里叶节曲线非圆齿轮的研究仅局限于传动比周期对称变化的情况，没有系统地包括所有傅里叶节曲线非圆齿轮副的设计方法。本发明的具体步骤如下：首先建立高阶变性傅里叶节曲线非圆齿轮副的节曲线方程，利用数值方法计算中心距；然后校验节曲线凹凸性，计算压力角变化范围，校验最大压力角值，求解插齿法加工齿轮不根切的最大模数，计算高阶变性傅里叶节曲线非圆齿轮副啮合时的重合度。本发明为高阶变性傅里叶非圆齿轮在实际应用中提供了一整套完善的设计理论基础，促进了高阶变性傅里叶非圆齿轮的推广使用。

说明书

技术领域

本发明涉及一种非圆齿轮副设计方法，具体涉及一种高阶变性傅里叶非圆齿轮副的设计方法。

背景技术

在很多领域，为实现周期性非匀速传动通常使用偏心圆齿轮、椭圆齿轮等非圆齿轮，但这些非圆齿轮节曲线都是典型的数学模型，曲线变化的灵活性较差，有时调整的参数难以满足运动轨迹的要求。而傅里叶节曲线非圆齿轮的节曲线形状具有变化灵活、容易调整等优势，故傅里叶节曲线非圆齿轮已经在许多领域得到广泛应用。

然而目前应用中的傅里叶节曲线非圆齿轮以及对傅里叶节曲线非圆齿轮的研究都仅局限于传动比对称周期变化的情况，没有系统地包括所有傅里叶节曲线非圆齿轮及其共轭的非圆齿轮的设计方法。

发明内容

本发明的目的是针对现有技术的不足，提供一种高阶变性傅里叶非圆齿轮副的设计方法，为高阶变性傅里叶非圆齿轮在实际应用中提供了一整套完善的设计理论基础，能够应用于所有傅里叶节曲线非圆齿轮传动机构，促进了高阶变性傅里叶非圆齿轮的推广使用。该设计方法首先建立高阶变性傅里叶节曲线非圆齿轮副的节曲线方程，并利用数值方法计算中心距；然后校验节曲线凹凸性，计算压力角变化范围，校验最大压力角值，求解插齿法加工高阶变性傅里叶非圆齿轮副不根切情况下的最大模数，计算高阶变性傅里叶节曲线非圆齿轮副啮合时的重合度。

为解决上述技术问题，本发明的技术方案是：

本发明的具体步骤如下：

步骤一、建立高阶变性傅里叶非圆齿轮副中主动轮的节曲线方程。主动轮的节曲线由周期变化的n₁条节曲线线段组成，每条节曲线线段包括非对称的第一变性曲线段r₁₁和第二变性曲线段r₁₂；主动轮的角位移在第一个变化周期内对应的向径为：

式(1)中，a₀、a₁、b₁、a₂和b₂均为傅里叶节曲线函数的系数；n₁为主动轮的阶数；m₁为主动轮在第一变性曲线段r₁₁的变性系数；mx为主动轮在第二变性曲线段r₁₂的变性系数，且

步骤二：高阶变性傅里叶非圆齿轮副中心距的数值计算，即先用进退法搜索单峰区间，然后用黄金分割法计算得到中心距的精确值。具体如下：

根据非圆齿轮节曲线的封闭性条件得到如下关系式：

式(2)中，n₂为从动轮的阶数，i₁₂为主动轮与从动轮的传动比，

构建函数：

采用进退法搜索中心距的单峰区间[x₁,x₂]：给定中心距的初始值a₀，令x₀＝a₀，并取x₁＝x₀、x₂＝x₁+h计算F₁＝F(x₁)和F₂＝F(x₂)，其中h为步长；如果F₁＜F₂则执行前行搜索，反之，则执行后退搜索,得出单峰区间[x₁,x₂]。

采用黄金分割法计算中心距的精确值：在单峰区间[x₁,x₂]内取点x₃＝x₁+0.382(x₂-x₁)、x₄＝x₁+0.618(x₂-x₁)，如果F(x₃)＞F(x₄)则令x₁＝x₃；如果F(x₃)≤F(x₄)则令x₂＝x₄重新开始搜索，直到|F(x₁)-F(x₂)|≤ε，确定中心距a＝(x₁+x₂)/2；其中，ε为精度。

步骤三、建立从动轮的节曲线方程。由公式(1)得到的主动轮节曲线方程和由公式(2)得到的中心距a，得出从动轮的节曲线方程如下：

式中，r₂为从动轮的角位移对应的向径。

步骤四、高阶变性傅里叶非圆齿轮副的凹凸性判断。

主动轮对应的曲率半径计算公式如下：

从动轮对应的曲率半径计算公式如下：

主动轮和从动轮的节曲线均无内凹的条件为：

步骤五、求解高阶变性傅里叶非圆齿轮副传动时的压力角变化范围，并校验最大压力角。

当主动轮的左侧齿廓为工作侧时，压力角α₁₂计算公式如下：

当主动轮的右侧齿廓为工作侧时，压力角α₁₂计算公式如下：

公式(7)和(8)中，μ₁为节曲线在切线正方向与向径间的夹角；α₀为标准压力角。

步骤六、求解插齿法加工高阶变性傅里叶非圆齿轮副不根切情况下的最大模数，计算公式如下：

$>m_{\max }\le \frac{{\rho }_{\min }{\sin }^2{\alpha }_0}{h_a^{*}}---\left(9\right)$>

将公式(4)和(5)求得的曲率半径，取最小值ρ_min，代入公式(9)，计算得到齿轮不根切情况下的最大模数m_max；其中，为插齿刀的齿顶高系数。

步骤七、计算高阶变性傅里叶节曲线非圆齿轮副啮合时的重合度，并校验最小重合度。重合度计算式：

$>{ϵ}_{\alpha }=\frac{u_1+u_2}{\pi m\cos {\alpha }_0}---\left(10\right)$>

式中，$>u_1=\sqrt{{({\rho }_1+h_{{\alpha }_1})}^2-{\left({\rho }_1\cos {\alpha }_0\right)}^2}-{\rho }_1\sin {\alpha }_0,u_2=\sqrt{{({\rho }_2+h_{{\alpha }_2})}^2-{\left({\rho }_2\cos {\alpha }_0\right)}^2}-{\rho }_2\sin {\alpha }_0;$>为主动轮的齿顶高系数，为从动轮的齿顶高系数；m为主动轮的模数。

本发明具有的有益效果：

1、本发明为高阶变性傅里叶非圆齿轮在实际应用中提供了一整套完善的设计理论基础，能够应用于所有傅里叶节曲线非圆齿轮传动机构，促进了高阶变性傅里叶非圆齿轮的推广使用。

2、本发明可得到周期性变化的传动比，且每个周期内传动比变化非对称，因此可应用于有特殊传动比变化要求的场合。

3、本发明采用进退法和黄金分割法求解中心距的精确值，易于编程实现，求解精度高，方便快捷。

附图说明

图1-1为三阶变性傅里叶非圆主动轮与五阶变性傅里叶非圆从动轮的节曲线啮合初始位置示意图；

图1-2为三阶变性傅里叶非圆主动轮与五阶变性傅里叶非圆从动轮的节曲线啮合传动原理图；

图2为八叶片差速泵中第一叶轮四阶变性傅里叶节曲线驱动轮副及第二叶轮四阶变性傅里叶节曲线驱动轮副的节曲线啮合示意图；

图3为八叶片差速泵中第一叶轮四阶变性傅里叶节曲线驱动轮副和第二叶轮四阶变性傅里叶节曲线驱动轮副的传动比曲线图；

图4为八叶片差速泵的排液口开度变大开始排液的示意图；

图5为八叶片差速泵的排液口开度开始变小的示意图；

图6为八叶片差速泵的排液口开度即将关闭的示意图。

具体实施方式

下面结合附图及实施例对本发明作进一步说明。

高阶变性傅里叶非圆齿轮副的设计方法，具体步骤如下：

步骤一、如图1-1和1-2所示，建立高阶变性傅里叶非圆齿轮副中主动轮1的节曲线方程。主动轮的节曲线由周期变化的n₁条节曲线线段组成，每条节曲线线段包括非对称的第一变性曲线段r₁₁和第二变性曲线段r₁₂；主动轮1的角位移在第一个变化周期内对应的向径为(在其余变化周期内对应的向径表达式与第一个变化周期的一致)：

式(1)中，a₀、a₁、b₁、a₂和b₂均为傅里叶节曲线函数的系数；n₁为主动轮1的阶数；m₁为主动轮1在第一变性曲线段r₁₁的变性系数；m₂为主动轮1在第二变性曲线段r₁₂的变性系数，且

步骤二：高阶变性傅里叶非圆齿轮副中心距的数值计算，即先用进退法搜索单峰区间，然后用黄金分割法计算得到中心距的精确值。

根据非圆齿轮节曲线的封闭性条件得到如下关系式：

式(2)中，n₂为从动轮2的阶数，i₁₂为主动轮1与从动轮2的传动比，

构建函数：

采用进退法搜索中心距的单峰区间[x₁,x₂]：给定中心距的初始值a₀，令x₀＝a₀，并取x₁＝x₀、x₂＝x₁+h计算F₁＝F(x₁)和F₂＝F(x₂)，其中h为步长；如果F₁＜F₂则执行前行搜索，反之，则执行后退搜索,得出单峰区间[x₁,x₂]。

采用黄金分割法计算中心距的精确值：黄金分割法要求确定精度ε和插入点x₃、x₄的位置相对于区间[x₁,x₂]两端点具有对称性，即在单峰区间[x₁,x₂]内取点x₃＝x₁+0.382(x₂-x₁)、x₄＝x₁+0.618(x₂-x₁)，如果F(x₃)＞F(x₄)则令x₁＝x₃；如果F(x₃)≤F(x₄)则令x₂＝x₄重新开始搜索，直到|F(x₁)-F(x₂)|≤ε，确定中心距a＝(x₁+x₂)/2。

步骤三、建立从动轮的节曲线方程。由公式(1)得到的主动轮节曲线方程和由公式(2)得到的中心距a，得出从动轮2的节曲线方程如下：

式中，r₂为从动轮的角位移对应的向径。

步骤四、高阶变性傅里叶非圆齿轮副的凹凸性判断。

根据微分几何，曲线上各点曲率半径的计算公式为：

式中，r为曲线的角位移对应的向径。

主动轮对应的曲率半径计算公式如下：

从动轮对应的曲率半径计算公式如下：

主动轮和从动轮的节曲线均无内凹的条件为：

步骤五、求解高阶变性傅里叶非圆齿轮副传动时的压力角变化范围，并校验最大压力角。

当主动轮的左侧齿廓为工作侧时，压力角α₁₂计算公式如下：

当主动轮的右侧齿廓为工作侧时，压力角α₁₂计算公式如下：

公式(8)和(9)中，μ₁为节曲线在切线正方向与向径间的夹角；α₀为标准压力角。根据公式(8)和(9)，求出主动轮传动时压力角α₁₂的最大值，要求α₁₂的最大值不超过65°。

步骤六、求解插齿法加工高阶变性傅里叶非圆齿轮副不根切情况下的最大模数，计算公式如下：

$>m_{\max }\le \frac{{\rho }_{\min }{\sin }^2{\alpha }_0}{h_a^{*}}---\left(10\right)$>

将公式(5)和(6)求得的曲率半径，取最小值ρ_min，代入公式(10)，计算得到齿轮不根切情况下的最大模数m_max；其中，为插齿刀的齿顶高系数。

步骤七、计算高阶变性傅里叶节曲线非圆齿轮副啮合时的重合度，并校验最小重合度。非圆齿轮啮合时的重合度是有效啮合长度与齿轮基圆齿距之比，重合度ε_α为：

$>{ϵ}_{\alpha }=\frac{u_1+u_2}{\pi m\cos {\alpha }_0}---\left(11\right)$>

式中，$>u_1=\sqrt{{({\rho }_1+h_{{\alpha }_1})}^2-{\left({\rho }_1\cos {\alpha }_0\right)}^2}-{\rho }_1\sin {\alpha }_0,u_2=\sqrt{{({\rho }_2+h_{{\alpha }_2})}^2-{\left({\rho }_2\cos {\alpha }_0\right)}^2}-{\rho }_2\sin {\alpha }_0;$>为主动轮的齿顶高系数，为从动轮的齿顶高系数；m为主动轮的模数。

该高阶变性傅里叶非圆齿轮副的设计方法，为高阶变性傅里叶非圆齿轮在实际应用中提供了一整套完善的设计理论基础，促进了高阶变性傅里叶非圆齿轮的推广使用。下面就以八叶片差速泵的四阶变性傅里叶非圆齿轮驱动机构为例，具体说明根据工程实际要求来设计高阶变性傅里叶非圆齿轮。

八叶片差速泵需要在2π周期内完成四次相同运动规律，因此可用四阶变性傅里叶节曲线非圆齿轮驱动，为得到更好的性能，根据八叶片差速泵的结构和运动规律，需要在相邻两片叶片开口小的时候(如图4和6所示)使得相邻两叶片的差速运动和每片叶片的绝对运动增速，有利于打开腔室及减少液阻；如图5所示，相邻两片叶片开口最大的时候，相邻两叶片的差速最大，需要使每片叶片的绝对运动变慢，提高流量。在高阶基础上，引入变性系数，可以实现该设计要求，因此采用四阶变性傅里叶节曲线非圆齿轮驱动。如图2所示，第一叶轮四阶变性傅里叶节曲线主动驱动轮3与第二叶轮四阶变性傅里叶节曲线主动驱动轮5的节曲线参数相同，且安装相位相差45°，第一叶轮四阶变性傅里叶节曲线从动驱动轮4与第二叶轮四阶变性傅里叶节曲线从动驱动轮6的节曲线参数相同。

第一叶轮四阶变性傅里叶节曲线主动驱动轮3、第一叶轮四阶变性傅里叶节曲线从动驱动轮4、第二叶轮四阶变性傅里叶节曲线主动驱动轮5和第二叶轮四阶变性傅里叶节曲线从动驱动轮6的设计参数中，傅里叶节曲线函数的系数a₀＝30，a₁＝2，b₁＝a₂＝b₂＝0；第一叶轮四阶变性傅里叶节曲线主动驱动轮3和第二叶轮四阶变性傅里叶节曲线主动驱动轮5在第一变性曲线段r₁₁的变性系数m₁＝0.95。

1、第一叶轮四阶变性傅里叶节曲线主动驱动轮3和第二叶轮四阶变性傅里叶节曲线主动驱动轮5在的第一个变化周期内对应的向径均为：

2、根据公式(3)可得到第一叶轮四阶变性傅里叶节曲线从动驱动轮4和第二叶轮四阶变性傅里叶节曲线从动驱动轮6的节曲线。第一叶轮四阶变性傅里叶节曲线主动驱动轮3与第一叶轮四阶变性傅里叶节曲线从动驱动轮4的传动比i₃₄、第二叶轮四阶变性傅里叶节曲线主动驱动轮5与第二叶轮四阶变性傅里叶节曲线从动驱动轮6的传动比i₅₆以及i₃₄-i₅₆的曲线如图3所示。

3、第一叶轮四阶变性傅里叶节曲线驱动轮副和第二叶轮四阶变性傅里叶节曲线驱动轮副的中心距初值均为a₀＝60mm，采用数值计算方式，通过进退法确定中心距a的单峰区间，再利用黄金分割法算出精确的中心距a＝60.1750mm。

4、实际加工方便与否决定非圆齿轮的实用性，因此要求节曲线是凸的。按照凹凸性判断式(5)和(6)，可以得出第一叶轮四阶变性傅里叶节曲线主动驱动轮3、第一叶轮四阶变性傅里叶节曲线从动驱动轮4、第二叶轮四阶变性傅里叶节曲线主动驱动轮5和第二叶轮四阶变性傅里叶节曲线从动驱动轮6的节曲线均是凸的。

5、最大压力角计算：

取α₀＝20°，分别由公式(8)、(9)计算第一叶轮四阶变性傅里叶节曲线主动驱动轮3与第一叶轮四阶变性傅里叶节曲线从动驱动轮4啮合时的压力角，以及第二叶轮四阶变性傅里叶节曲线主动驱动轮5与第二叶轮四阶变性傅里叶节曲线从动驱动轮6啮合时的压力角，从而求得第一叶轮四阶变性傅里叶节曲线驱动轮副及第二叶轮四阶变性傅里叶节曲线驱动轮副啮合时的最大压力角均为35.75°。

6、不根切最大模数计算：

取得第一叶轮四阶变性傅里叶节曲线主动驱动轮3、第一叶轮四阶变性傅里叶节曲线从动驱动轮4、第二叶轮四阶变性傅里叶节曲线主动驱动轮5及第二叶轮四阶变性傅里叶节曲线从动驱动轮6的m_max＝1.72mm

7、最小重合度计算：

取m＝1.5mm，得

可得，第一叶轮四阶变性傅里叶节曲线驱动轮副及第二叶轮四阶变性傅里叶节曲线驱动轮副啮合时的最小重合度