适用于高斯分布信号的CIC滤波器有限字长的优化方法

摘要

本发明涉及适用于高斯分布信号的CIC滤波器有限字长的优化方法。为提供一种适用于高斯分布信号的CIC抽取滤波器的截位方法，以处理设计实现过程中的有限字长效应，使不同抽取速率下CIC滤波器的输出信噪比至最优，本发明采取的技术方案是，适用于高斯分布信号的CIC滤波器有限字长的优化方法，包括如下步骤：步骤一：由于CIC滤波器为定点数字滤波器，需将其输入的高斯分布信号定点化；步骤二：求得输出高斯分布信号的功率P

说明书

技术领域

本发明涉及适用于高斯分布信号的CIC滤波器有限字长的优化方法。具体讲，涉及一种 在有限字长情况下，高斯分布信号经不同抽取速率的CIC滤波器滤波后输出信噪比的优化方 法，主要应用于不同抽取速率的CIC滤波器的硬件设计实现中，属于信号处理技术领域。

背景技术

采样率转换是数字信号处理领域中一个重要组成部分，主要有“抽取”和“内插”两种 变换。抽取是通过抽取数据降低采样率的过程，内插是通过插入数据提高采样率的过程。在 这两个过程中都必须有多速率滤波器以满足设计的需要，CIC滤波器作为一种高效的多速率 滤波器广泛应用于抽取或内插的实现之中。

在CIC滤波器的设计与实现过程中，由于有大量的乘法及加法运算等，产生有限字长效 应，造成信噪比无法满足实际应用的需要。有限字长效应的产生主要有三方面的因素，输入 信号的AD量化误差，系统系数的量化误差以及算术运算的运算误差。

现有的CIC滤波器有限字长的处理方法是在保证没有数据溢出的前提下(避免饱和误 差)，采取截尾或舍入的方法，即舍弃低有效位(LSB)保留高有效位(MSB)。但是，对于高 斯分布信号，例如应用十分广泛的OFDM(正交频分复用)信号，采用截尾或舍入的方式很可 能会出现有效信息比特丢失严重，输出信噪比急剧恶化的现象，所以需要在饱和误差和一般 量化误差(截尾或舍入误差)之间做一个很好的折衷，以获得不同抽取速率下的CIC滤波器 的最佳输出信噪比。

为了达到较理想的阻带和通带特性，CIC滤波器通常采用级联的方式对信号进行抽取或 内插。N级级联的CIC抽取滤波器的系统结构如附图1所示(CIC内插滤波器原理相同，在此 不再赘述)。其幅频响应函数近似为

$\left|H\left(f\right)\right|={\left|\mathrm{RM}\frac{\sin \left(\mathrm{\pi Mf}\right)}{\mathrm{\pi Mf}}\right|}^{N}0\le f<<R$

其中R为整数抽取速率，M为微分延迟，N为滤波器阶数。CIC滤波器中，每一个积分器 都存在一个反馈系数，因此为了防止数据溢出，寄存器位宽要逐级增加。CIC滤波器的最后 一级的输出位宽为

B_max＝ceil(Nlog₂RM+B_in-1)

其中B_in为CIC滤波器输入信号位宽，ceil例为不小于x的最小整数。

发明内容

本发明旨在解决克服现有技术的不足，提供一种适用于高斯分布信号的CIC抽取滤波器 的截位方法，以处理设计实现过程中的有限字长效应，使不同抽取速率下CIC滤波器的输出 信噪比至最优。为达到上述目的，本发明采取的技术方案是，适用于高斯分布信号的CIC滤 波器有限字长的优化方法，包括如下步骤：

假设输入的高斯分布信号带宽为B_x，位宽为B_in＝m，且CIC滤波器参数整数 抽取速率R，微分延迟M，滤波器阶数N已知；

步骤一：根据CIC滤波器位宽公式得出特定输入高斯分布信号位宽B_in，CIC滤波器整数 抽取速率R，微分延迟M和滤波器阶数N下的滤波器最后一级输出二进制数的最大位宽B_max＝n；

步骤二：输入的高斯分布信号的方差输入的高斯分布信号的功率P_x，输入的高斯分 布信号的功率谱密度p_x和输入高斯分布信号的带宽B_x有如下关系：

$P_x={\sigma }_x^2=p_x{B}_x$

对高斯分布信号CIC滤波器抽取滤波得到的信号仍服从高斯分布，即CIC滤波器输出信 号是服从的高斯分布信号，而输入高斯分布信号的功率谱密度p_x和输出高斯分 布信号的功率谱密度p_y满足：

p_y(f)＝p_x(f)|H(f)|²

其中H(f)为CIC滤波器的幅频响应，对上式积分即可求得输出高斯分布信号的功率P_y；

$P_y={\int }_0^{\infty }{p}_x\left(f\right){\left|H\left(f\right)\right|}^2\mathrm{df}$

$=\frac{P_x}{B_x}·{\int }_0^{\infty }{\left|\mathrm{RM}\frac{\sin \left(\mathrm{\pi Mf}\right)}{\mathrm{\pi Mf}}\right|}^{2N}\mathrm{df}$

并且输出高斯分布信号的方差等于输出高斯分布信号的功率P_y；

步骤三：假设将CIC滤波器输出的高斯分布信号截断为B_out＝k位，其中舍弃的比特数包 括MSB和LSB，舍弃MSB引入饱和误差，舍弃LSB引入截尾或舍入误差，则量化级数为M＝2^k， 截断后数据的最大值和最小值分别为

y_q，max＝(2^k-1-1)Δ

y_q，min＝-2^k-1Δ

其中Δ为量化步长，且|y_q，max|≈|y_q，min|，则$\Delta \approx \frac{{2y}_{q,\max }}{M}=\frac{y_{q,\max }}{2^{k-1}};$

此时，可得到饱和误差的功率：

$N_s={\int }_{y_{q,\max }}^{\infty }{(y-y_{q,\max })}^{2}f\left(y\right)\mathrm{dy}+{\int }_{-\infty }^{y_{q,\min }}{(y-y_{q,\min })}^{2}f\left(y\right)\mathrm{dy}$

$\approx \frac{2}{\sqrt{2\pi }{\sigma }_y}{\int }_{y_{q,\max }}^{\infty }{(y-y_{q,\max })}^2{e}^{-\frac{{(y-{\mu }_y)}^2}{{2\sigma }_y^2}}\mathrm{dy}$

$=\mathrm{erfc}\left(\frac{y_{q,\max }-{\mu }_y}{\sqrt{2}{\sigma }_y}\right)[{(y_{q,\max }-{\mu }_y)}^2+{\sigma }_y^2]+\frac{{2\sigma }_y({\mu }_y-y_{q,\max })}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{{(y_{q,\max }-{\mu }_y)}^2}{{2\sigma }_y^2}}$

其中y表示未经截断的CIC滤波器输出的高斯分布信号，μ_y和分别表示CIC滤波器输 出的高斯分布信号的均值和方差，y_q，max表示将CIC滤波器输出高斯分布信号截断后的最大 值，且是互补误差函数，以及截尾/舍入误差功率为：

$N_q\approx \frac{{\Delta }^2}{12}=\frac{1}{12}·{\left(\frac{y_{q,\max }}{2^{k-1}}\right)}^2=\frac{y_{q,\max }^2}{3·2^{2k}}$

总的误差功率即为：

$N=N_q+N_s$

$=\frac{y_{q,\max }^2}{3·2^{2k}}+\mathrm{erfc}\left(\frac{y_{q,\max }-{\mu }_y}{\sqrt{2}{\sigma }_y}\right)[{(y_{q,\max }-{\mu }_y)}^2+{\sigma }_y^2]+\frac{{2\sigma }_y({\mu }_y-y_{q,\max })}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{{(y_{q,\max }-{\mu }_y)}^2}{{2\sigma }_y^2}}$

在信号功率一定的情况下，误差功率最小即信噪比最大，则对误差功率函数关于y_q，max求 导：

$\frac{\partial N}{{\partial y}_{q,\max }}=\frac{y_{q,\max }}{3·2^{2k-1}}+2(y_{q,\max }-{\mu }_y)\mathrm{erfc}\left(\frac{y_{q,\max }-{\mu }_y}{\sqrt{2}{\sigma }_y}\right)-\frac{{4\sigma }_y}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{{(y_{q,\max }-{\mu }_y)}^2}{{2\sigma }_y^2}}=0$

对上式代入输出高斯分布信号的均值μ_y、输出高斯分布信号的方差即输出的高斯分布 信号的功率P_y和输出高斯分布信号截断后的位宽B_out，即能计算得到使量化误差功率N最小 的y_q，max值；

若输入的高斯分布信号均值μ_x＝0，则输出的高斯分布信号均值μ_y＝0，并令 $z=y_{q,\max }/\sqrt{2}{\sigma }_y,$则上式可简化为

$\frac{z}{3·4^k}+z·\mathrm{erfc}\left(z\right)-\frac{1}{\sqrt{\pi }}{e}^{-z^2}=0$

不同k对应下的z值如表1所示，由此得到零均值高斯分布输入信号的y_q，max值；

表1.不同k值下的z值

  k   z   k   z   k   z   1   0.8767   11   3.3653   21   4.9105   2   1.2096   12   3.5449   22   5.0421   3   1.5214   13   3.7173   23   5.1707   4   1.8096   14   3.8834   24   5.2965   5   2.0762   15   4.0438   25   5.4196   6   2.3242   16   4.1990   26   5.5402   7   2.5563   17   4.3494   27   5.6585   8   2.7747   18   4.4954   28   5.7746   9   2.9814   19   4.6374   29   5.8886   10   3.1779   20   4.7757   30   6.0005

步骤四：根据得到的y_q，max舍掉CIC滤波器输出的高斯分布信号n位中的高d位使截位后 的数据不大于y_q，max，余下的n-d位中取高k位即可使系统信噪比达到最优。

所述步骤细化为：设CIC滤波器阶数N＝4，微分延迟M＝1，整数抽取速率为R＝25，CIC 滤波器输入输出寄存器位宽B_in＝B_out＝16，即m＝k＝16，且以高斯分布信号x(n)～(0，1)为CIC滤 波器的输入信号，即输入的高斯分布信号功率为1；

步骤一：由于CIC滤波器为定点数字滤波器，需将其输入的高斯分布信号定点化，对于 均值为0，方差为1的高斯分布信号，量化为4位整数比特，12位小数比特时的输入的高斯 分布信号信噪比为最佳；

步骤二：根据公式B_max＝ceil(Nlog₂RM+B_in-1)得到CIC滤波器最后一级的输出位宽为34， 且在全精度模式下CIC滤波器输出位宽为34+1＝35，即n＝35，其中小数位数与输入高斯分布 信号的小数位宽一致，即此输出高斯分布信号小数比特为12位，表示-2^23-1～2^23-1-1范围的数；

步骤三：对于输入为零均值的高斯分布信号，CIC抽取后仍为零均值的高斯分布信号， 且其输出高斯分布信号的方差即为输出的高斯分布信号的功率P_y，将CIC滤波器各项参数 代入到p_y(f)＝p_x(f)|H(f)|²中，并根据输出高斯分布信号功率P_y公式计算出CIC滤波器输出 高斯分布信号的功率P_y：

${\sigma }_y^2=P_y=\frac{{\left(25\right)}^8·2}{25}·{\int }_0^{\infty }{\left|\frac{\sin \left(\mathrm{\pi f}\right)}{\mathrm{\pi f}}\right|}^8\mathrm{df}=2.93\times {10}^9$

步骤四：根据表1，k＝16时，z＝4.1990，根据得到y_q，max＝3.21×10⁵，至 多需要20位二进制数表示，故取[34:0]之间的[31:16]为最终的16位CIC抽取滤波器的输出。

本发明的技术特点及效果：

通过采用最佳截位方案，高斯分布信号作为输入信号的CIC抽取滤波器的输出信噪比得 到了有效改善，且随着CIC滤波器整数抽取因子R的增大，改善效果越明显，如表2所示。

表2.CIC滤波器输出信噪比改善情况(B_in＝B_out＝16，N＝4，M＝1，)

附图说明

图1.CIC抽取滤波器结构图。

图2.传统与改进截位过程及方法示意图。

图3.不同小数比特下高斯信号量化信噪比。

具体实施方式

假设输入的高斯分布信号带宽为B_x，位宽为B_in＝m，且CIC滤波器参数整 数抽取因子R，微分延迟M，滤波器阶数N已知；

步骤一：根据CIC滤波器位宽公式得出特定输入高斯分布信号位宽B_in，CIC滤波器整数 抽取速率R，微分延迟M和滤波器阶数N下的滤波器最后一级输出二进制数的最大位宽B_max＝n；

步骤二：对于近似白噪声，功率即为方差。故输入的高斯分布信号的方差输入的高 斯分布信号的功率P_x，输入的高斯分布信号的功率谱密度p_x和输入高斯分布信号的带宽B_x有如下关系

$P_x={\sigma }_x^2=p_x{B}_x$

因此根据输入高斯分布信号的功率和输入高斯分布信号的带宽可求得输入高斯分布信号 的功率谱密度。对高斯分布信号抽取滤波得到的信号仍服从高斯分布，即输出信号是服从 的高斯分布信号。而输入高斯分布信号的功率谱密度p_x和输出高斯分布信号的 功率谱密度p_y满足：

p_y(f)＝p_x(f)|H(f)|²

其中H(f)为CIC抽取滤波器的幅频响应，对上式积分即可求得输出高斯分布信号的功率P_y；

$P_y={\int }_0^{\infty }{p}_x\left(f\right){\left|H\left(f\right)\right|}^2\mathrm{df}$

$=\frac{P_x}{B_x}·{\int }_0^{\infty }{\left|\mathrm{RM}\frac{\sin \left(\mathrm{\pi Mf}\right)}{\mathrm{\pi Mf}}\right|}^{2N}\mathrm{df}$

并且输出高斯分布信号的方差等于输出高斯分布信号的功率P_y；

步骤三：假设将CIC滤波器输出的高斯分布信号截断为B_out＝k位，其中舍弃的比特数包 括MSB和LSB，舍弃MSB引入饱和误差，舍弃LSB引入截尾或舍入误差，则量化级数为M＝2^k， 截断后数据的最大值和最小值分别为

y_q，max＝(2^k-1-1)Δ

y_q，min＝-2^k-1Δ

其中Δ为量化步长，且|y_q，max|≈|y_q，min|，则$\Delta \approx \frac{{2y}_{q,\max }}{M}=\frac{y_{q,\max }}{2^{k-1}};$

此时，可得到饱和误差的功率：

$N_s={\int }_{y_{q,\max }}^{\infty }{(y-y_{q,\max })}^{2}f\left(y\right)\mathrm{dy}+{\int }_{-\infty }^{y_{q,\min }}{(y-y_{q,\min })}^{2}f\left(y\right)\mathrm{dy}$

$\approx \frac{2}{\sqrt{2\pi }{\sigma }_y}{\int }_{y_{q,\max }}^{\infty }{(y-y_{q,\max })}^2{e}^{-\frac{{(y-{\mu }_y)}^2}{{2\sigma }_y^2}}\mathrm{dy}$

$=\mathrm{erfc}\left(\frac{y_{q,\max }-{\mu }_y}{\sqrt{2}{\sigma }_y}\right)[{(y_{q,\max }-{\mu }_y)}^2+{\sigma }_y^2]+\frac{{2\sigma }_y({\mu }_y-y_{q,\max })}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{{(y_{q,\max }-{\mu }_y)}^2}{{2\sigma }_y^2}}$

其中y表示未经截断的CIC滤波器输出的高斯分布信号，μ_y和分别表示CIC滤波器输 出的高斯分布信号的均值和方差，y_q，max表示将CIC滤波器输出高斯分布信号截断后的最大 值，且是互补误差函数，以及截尾/舍入误差功率为：

$N_q\approx \frac{{\Delta }^2}{12}=\frac{1}{12}·{\left(\frac{y_{q,\max }}{2^{k-1}}\right)}^2=\frac{y_{q,\max }^2}{3·2^{2k}}$

总的误差功率即为：

$N=N_p+N_s$

$=\frac{y_{q,\max }^2}{3·2^{2k}}+\mathrm{erfc}\left(\frac{y_{q,\max }-{\mu }_y}{\sqrt{2}{\sigma }_y}\right)[{(y_{q,\max }-{\mu }_y)}^2+{\sigma }_y^2]+\frac{{2\sigma }_y({\mu }_y-y_{q,\max })}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{{(y_{q,\max }-{\mu }_y)}^2}{{2\sigma }_y^2}}$

在信号功率一定的情况下，误差功率最小即信噪比最大，则对误差功率函数关于y_q，max求 导：

$\frac{\partial N}{{\partial y}_{q,\max }}=\frac{y_{q,\max }}{3·2^{2k-1}}+2(y_{q,\max }-{\mu }_y)\mathrm{erfc}\left(\frac{y_{q,\max }-{\mu }_y}{\sqrt{2}{\sigma }_y}\right)-\frac{{4\sigma }_y}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{{(y_{q,\max }-{\mu }_y)}^2}{{2\sigma }_y^2}}=0$

对上式代入输出高斯分布信号的均值μ_y、输出高斯分布信号的方差即输出的高斯分布 信号的功率P_y和输出高斯分布信号截断后的位宽B_out，即能计算得到使量化误差功率N最小 的y_q，max值；

若输入的高斯分布信号均值μ_x＝0，则输出的高斯分布信号均值μ_y＝0，并令 $z=y_{q,\max }/\sqrt{2}{\sigma }_y,$则上式可简化为

$\frac{z}{3·4^k}+z·\mathrm{erfc}\left(z\right)-\frac{1}{\sqrt{\pi }}{e}^{-z^2}=0$

不同k对应下的z值如表1所示，由此得到零均值高斯分布输入信号的y_q，max值；

表1.不同k值下的z值

  k   z   k   z   k   z   1   0.8767   11   3.3653   21   4.9105   2   1.2096   12   3.5449   22   5.0421   3   1.5214   13   3.7173   23   5.1707   4   1.8096   14   3.8834   24   5.2965   5   2.0762   15   4.0438   25   5.4196   6   2.3242   16   4.1990   26   5.5402   7   2.5563   17   4.3494   27   5.6585   8   2.7747   18   4.4954   28   5.7746   9   2.9814   19   4.6374   29   5.8886   10   3.1779   20   4.7757   30   6.0005

步骤四：根据得到的y_q，max舍掉CIC滤波器输出的高斯分布信号n位中的高d位使截位后 的数据不大于y_q，max，余下的n-d位中取高k位即可使系统信噪比达到最优。

所述步骤细化为：设CIC滤波器阶数N＝4，微分延迟M＝1，整数抽取速率为R＝25，CIC 滤波器输入输出寄存器位宽B_in＝B_out＝16，即m＝k＝16，且以高斯分布信号x(n)～(0，1)为CIC滤 波器的输入信号，即输入的高斯分布信号功率为1；

步骤一：由于CIC滤波器为定点数字滤波器，需将其输入的高斯分布信号定点化，对于 均值为0，方差为1的高斯分布信号，量化为4位整数比特，12位小数比特时的输入的高斯 分布信号信噪比为最佳；

步骤二：根据公式B_max＝ceil(Nlog₂RM+B_in-1)得到CIC滤波器最后一级的输出位宽为34， 且在全精度模式下CIC滤波器输出位宽为34+1＝35，即n＝35，其中小数位数与输入的高斯分 布信号的小数位宽一致，即此输出高斯分布信号小数比特为12位，表示-2^23-1～2^23-1-1范围的数；

步骤三：对于输入为零均值的高斯分布信号，CIC抽取后仍为零均值的高斯分布信号， 且其输出高斯分布信号的方差即为输出的高斯分布信号的功率P_y。因此，将CIC滤波器各 项参数代入到p_y(f)＝p_x(f)|H(f)|²中，并根据输出高斯分布信号功率P_y公式计算出CIC滤波 器输出高斯分布信号的功率P_y：

${\sigma }_y^2=P_y=\frac{{\left(25\right)}^8·2}{25}·{\int }_0^{\infty }{\left|\frac{\sin \left(\mathrm{\pi f}\right)}{\mathrm{\pi f}}\right|}^8\mathrm{df}=2.93\times {10}^9$

步骤四：根据表1，k＝16时，z＝4.1990，根据得到y_q，max＝3.21×10⁵，至 多需要20位二进制数表示，故取[34:0]之间的[31:16]为最终的16位CIC抽取滤波器的输出。