基于距离几何理论的高光谱遥感图像混合像元分解方法

摘要

本发明属于遥感图像处理技术领域，具体为一种基于距离几何理论的高光谱遥感图像混合像元分解方法。本发明根据高光谱图像的物理特性和数据集几何特性，将距离几何理论引入高光谱图像解混中，提出了一个计算高维数据空间中重心坐标的运算公式，并且根据距离几何约束得到一种很好地保持数据集几何结构的位置估计算法，最终得到一种新的高精度、低复杂度的丰度估计算法——基于距离几何的丰度估计算法。该算法对各种不同的高光谱数据（包括仿真数据和实际数据集）都表现出良好的适用性。在基于多光谱和高光谱遥感图像的高精度的地物分类以及地面目标的检测和识别方面具有重要的应用价值。

说明书

技术领域

本发明属于遥感图像处理技术领域，具体涉及一种基于距离几何理论的，解决高混合遥感数据混合像元分解问题的方法。

背景技术

遥感是本世纪六十年代发展起来的新兴综合技术，与空间、电子光学、计算机、地理学等科学技术紧密相关，是研究地球资源环境的最有力的技术手段之一。近年来，随着高光谱成像技术的发展，高光谱遥感已经成为遥感领域一个快速发展的分支。作为一种多维信息获取技术，它将成像技术和光谱技术相结合，在电磁波谱的数十至数百个非常窄而且连续的光谱区间内同时获取信息，从而得到高光谱分辨率的连续、窄波段的图像数据，且每一个图像像元都可以提取一条完整连续的光谱曲线，大大扩展了图像解释地物的能力。由于受地表物质的内在异质性和成像系统空间分辨率的限制，高光谱遥感图像中单个像元所对应的地表往往包含不同的覆盖类型，具有不同的光谱响应特征，这些像元被称为混合像元。混合像元广泛存在于高光谱遥感图像中，从而使得传统的像元级高光谱遥感图像的应用，如遥感分类和面积测量精度等难以达到实用的要求。近年来，以提取出基本组成成分（端元）的特征光谱和有效估计混合像元中各个端元之间混合比例为主要内容的高光谱解混已经成为高光谱遥感图像定量分析中的一个重要研究课题 [1]，[2]。

作为一种广泛应用于高光谱解混技术的光谱混合模型，线性光谱混合模型（Linear Spectral Mixture Model，LSMM）是基于这样的假设：混合像元中各端元之间的相互影响可以忽略不记，每一个观测像元矢量都可以表述为端元和它们相应的丰度的线性组合 [3]。而且，高光谱数据集在其特征空间（波段空间）内呈现单形体的结构，从而便于利用单形体几何的方法，从特征空间对混合光谱进行诠释 [4]。基于LSMM的高光谱解混算法通常由两步构成：第一步是提取基本组成成分的特征光谱，即端元提取；第二步是估计各个端元混合的比例，即丰度估计。而本发明是一种新的基于距离几何理论的高光谱遥感图像丰度估计算法。

本发明将高光谱图像数据看成端元支撑的单形体，利用距离几何的相关理论在已知端元单形体的基础上求解各个观测点对应于单形体的重心坐标 [5]，即为观测像素中各个端元对应的丰度矢量。与传统的丰度估计算法相比具有如下优势：第一，将Cayley-Menger矩阵 [6] 引入丰度估计算法。这样不仅可以利用Cayley-Menger矩阵的良好性能降低算法的复杂度，而且数据点之间的距离关系代替数据点之间的关系，将针对数据点的欧式空间的研究转换为针对距离空间的研究，在降低运算复杂度的同时，更好的利用高光谱数据集的空间几何结构得到更优的估计结果。第二，由于该算法利用数据点之间的距离关系可以很好地兼顾到数据集的几何结构，而且无需对原始数据集进行降维或者执行波段选择处理，从而可以避免因数据降维或者波段选择造成的有用信息的丢失。

下面介绍与本发明相关的一些概念：

1、线性混合模型

根据线性混合模型，高光谱图像中观测像素矢量                                                可以描述为：

                                                                                                                                   (1)

其中，，分别为观测像元矢量、端元光谱矩阵和丰度矢量，列矢量表示模型中的可能误差以及噪声，维度L和p分别代表高光谱图像中波段数和端元数。在LSMM中，我们假设误差项为零均值的高斯白噪声。大量文献表明，这一假设是合理的而且得到广泛的应用。

根据丰度的物理意义，混合像元中各端元对应的丰度应满足丰度和为一约束（Abundance Sum-to-one Constraint，ASC）和丰度非负约束（Abundance Nonnegative Constraint，ANC）：

                                                                           (2)

本发明的目标是在已知或者被提取出来的基础之上，估计各个观测像素点中每个端元的丰度。

设每个波段的高光谱图像都有个像素点，则所有这些像素点的观察值可以组成一个矩阵从而 (1) 式可表示成矩阵形式：

                                                                                                 (3)

这里，是多通道遥感图像的观测矩阵，其每一列代表单一像元的观测光谱矢量，是丰度矩阵，其每一行代表一个端元的丰度。

、距离几何概念

在线性模型下，高光谱解混可以看成一个凸面几何问题。算法中涉及到一些距离几何概念。

对于仿射独立的端元集，它所支撑的端元单形体内的点满足 [7]：

                                             (4)

而它所支撑的端元凸包内的点满足 [8]：

                                              (5)

其中，唯一的有序被称为数据点基于端元单形体的重心坐标。端元单形体和端元凸包的维度均为p-1，分别被成为p-1维单形体和p-1维凸包。

根据数据点与端元单形体的位置关系可以将上的数据点分为三类：第一类是内点，包括位于端元单形体上（包括位于单形体边界上）的数据点；第二类是外点I，包括位于端元单形体外部但位于端元凸包内部的数据点。最后一类是外点II，包括哪些不属于端元凸包的数据点。

另外一个概念就是Cayley-Menger矩阵，它是距离几何理论的基础概念。端元集 对应的p+1阶Cayley-Menger 矩阵被定义为 [6]：

                                                                                                   (6)

其中，，表示端元平方距离矩阵，表示元素全为一的列矢量，上标p+1表示方阵的阶数。

是一个实对称矩阵。它的行列式被称为Cayley-Meng行列式，是距离几何理论的基础。而且p+2阶矩阵和p+1阶矩阵存在以下分块递推关系：

                                                                                                       (7)

其中，。根据矩阵行列式的展开规则，我们可以得到

                                                               (8)

我们还知道，标量的符号为 [6]，因此恒成立。

最后介绍距离几何理论中一个重要的定理。

距离几何约束 [6]：在n维欧式空间中，k元组对应的k+1阶Cayley-Menger矩阵的秩至多为n+1，即时，k元组对应的k+1阶Cayley-Menger行列式为零。

发明内容

本发明的目的在于提出一种运算复杂度低且分解效率高的高光谱遥感图像混合像元分解方法。

本发明提出的高光谱遥感图像混合像元分解方法，是一种基于距离几何的丰度估计（Distance Geometry-based Abundance Estimation ，DGAE) 算法。该算法共包括三个部分：基于Cayley-Menger矩阵的重心坐标计算方法（Cayley-Menger Matrix-based Barycentric Coordinate Calculation Algorithm，CMBCC)、基于距离几何约束的位置估计算法（Distance Geometry Constraint-based Localization Estimation Algorithm，DGCLE) 以及基于内点的子空间确定算法（Interior-based Subspace Determination Algorithm，ISD)。与其他优秀的丰度估计算法相比，该算法具有较高的分解精度，而且当端元数目不太高（例如对于大小为256×256且端元数小于12的数据集）时具有较快的运算速度。

为便于说明，我们将端元集所支撑的非退化的单形体命名为端元单形体。相应的，端元集的子集对应的单形体被称为端元子单形体。端元集所支撑的凸包命名为端元凸包。

本发明提出的遥感图像混合像元分解方法，具体内容如下：

1、基于Cayley-Menger矩阵的重心坐标计算方法（CMBCC）

已知端元矩阵确定的单形体为，其对应点的p+1阶Cayley-Menger矩阵为。观测像素为端元凸包内的任一点，且为其规范重心坐标，为点到各个顶点的平方距离，则有以下等式成立：

                                                                                                                    (9)

其中。

式 (9) 的证明将在附录A中给出。当观测像素位于端元单形体上，即为端元单形体的内点时，利用式 (9) 得到的重心坐标矢量  满足约束条件 (2)，即为该像素的丰度矢量。而当为外点I时，规范重心坐标中将出现负值，此时就不能直接用来作为丰度矢量。还有一种情况是需要考虑的，那就是点不属于端元凸包。此时，由式 (9) 得到的结果没有意义。

实际上，由于噪声项的存在，大量的观测点“溜”出端元单形体，成为外点I或者II。为了计算这些观测像素的丰度矢量，一个可行的办法是，计算这些像素在端元单形体上的估计点，并将点的规范重心坐标作为观测点的丰度矢量的估计。据此，本发明提出一种基于距离几何约束的位置估计算法，以寻找观测点在端元单形体上的估计点。

、基于距离几何约束的位置估计算法（DGCLE）

由上节可知，丰度计算的关键是计算观测点到端元集的平方距离矢量。因此我们提出的方法的目标是，针对属于外点II的观测像素，在已知其平方距离矢量的情况下，估计其属于端元凸包的估计点对应的平方距离矢量，二者存在以下关系：

                                                                                                                 (10)

根据距离几何约束，观测点的估计点与端元集构成的Cayley-Menger矩阵的秩最大为p+1，即：

                                                        (11)

其中 ,, 以及 .

假设可以分块表述为，则可以得到：

                                      (12)

其中，， 。

据此，在距离几何约束下，观测点的最优估计问题转化为一个二次等式约束的最小化非线性问题：

           (13)

运用数值分析方法，如Lagrange乘数法，求解最优的 [9]，进而利用式 (10) 得到估计的平方距离矢量并利用式 (9) 得到估计点的重心坐标。

根据距离几何约束条件，以上方法得到的最优估计点  位于端元单形体内部时，它们在端元单形体下的重心坐标满足约束条件 (2)， 因而可以得到观测像素点的丰度矢量。然而，当估计点位于单形体外部时，该估计点便成为端元单形体的外点I，此时的重心坐标不能用来作为丰度矢量的估计，因为其中出现负值。根据高光谱单形几何理论，还将需要再次计算这些外点I（包括本来的外点I和由外点II经过基于距离几何约束的位置估计算法转化而来的外点I）的估计点。为此本发明提出一种子空间定位算法将这些点的丰度计算转化为基于端元子单形体丰度估计，这样整个算法过程成为一种递归过程。

、基于内点的单形体子空间定位算法（ISD）

单形体的内点即为属于单形体却不在单形体任何一个面上的点。它的重心坐标均为正值。我们知道p-1维端元单形体的内点可以将端元凸包划分为p个独立的子空间，其中第子空间定义为：

                                                                             (14)

其中，，.

由式 (14) 可以看到，是点关于单形体的重心坐标。我们可以得到一个简单的准则判断观测点所属于的子空间：

如果观测点对应于端元单形体的重心坐标为，则的充要条件是。

此处引入一个假设：

假设 1：对于端元集支撑的p-1维端元单形体来说，不属于任意一个面的内点将单形体所在凸包划分为式 (14) 定义的 p 个区域。观测点在端元单形体上的估计点的重心坐标为，则如果观测点，我们假设。

我们知道，当观测点时，端元对观测点的影响可以忽略不计。因此，假设1是合理的。根据假设1，观测点丰度估计问题转化为端元子单形体上的丰度求解问题。端元子单形体的获得方式是这样的：

根据假设1判断观测点所在的子空间，确定丰度为0的端元，并将其从端元集中剔除。这样，观测点便不属于它所确立的空间，于是重新估计观测点在这个空间上的估计点。

合理的内点选择，可以实现简单的子空间位置判断。本发明中我们选择单形体的重心作为内点，这样做的好处是：对于端元单形体来说，重心的规范重心坐标为，对此可以得到一个简单的准则判断观测点所在的子空间。这个判断准则可以大大降低运算的复杂度。

根据上述内容，本发明方法的具体步骤归纳如下：

已知观测矩阵，已知或提取出的端元集，其中L、N和p分别为波段数、像素数和端元个数。

步骤1、初始化

a）计算端元集对应的Cayley-Menger矩阵及其逆阵；

b）计算各个观测点到端元集的平方距离矩阵，其中第l列为。

步骤2、对每一个外点II ，执行基于距离几何约束的位置估计算法，计算其到端元凸集上的估计点  对应的平方距离矢量, 其中 ，。算法步骤为：

a) 根据计算：

                                                                      (15)

b）如果，。否则，假设存在误差矢量：

                                                                                                                    (16)

c) 计算半正定Hermition矩阵的谱分解：

                                                                                           (17)

d）求解二次等式约束的优化问题：

          (18)

得到，从而根据式 (16) 得到并更新矩阵。

步骤3、由重心坐标计算公式：

                                                                                                       (19)

在更新后的基础之上，计算各个像素点（包括内点和外点I以及外点II的估计点）对应于端元单形体的重心坐标矩阵。

步骤4、对于每一个重心坐标，如果最小值，则将最小值索引值加入到索引矢量中。如果，加入的索引值为0。

步骤5、对于端元单形体，判断外点II的估计点或者外点I所在的子空间并计算它们基于子单形体的丰度矢量。具体算法如下：

a)  如果索引矢量为空，则算法结束；

b) ；

c)  对于，将索引值为i的像素点的标号保存在中：

c.1) 如果不为空，则从中剔除第i+1行和i+1列得到，并利用一个扩展的Hermitian矩阵求逆引理 [10]，计算；

c.2) 剔除的第i+1行，得到矩阵；

c.3) 将和作为输入执行步骤2~4，递归调用整个算法，得到子端元集中端元对应的丰度。

本发明的优点

文发明是一种新的基于单形体几何的丰度估计算法。它在高光谱凸面几何理论的基础之上，根据高光谱图像本身的特点并结合单形体几何和距离几何理论实现快速而精确的丰度估计。通过引入Cayley-Menger矩阵，该算法利用点与点之间的距离关系，确定一种稳定而高效的重心坐标计算算法，同时兼顾到数据集的几何结构，进而实现较优的解混精度和较低的时间复杂度。新方法在基于多光谱和高光谱遥感图像的高精度的地物分类以及地面目标的检测和识别方面具有特别重要的应用价值。

仿真和实地数据实验表明，我们的算法与其他性能较优的算法相比具有明显更高的解混精度，而且在端元数目较少时，具有相对较快的运算速度。 此外，该发明的运算复杂度与波段无关并且对像素数不敏感。因此，该发明具有重要的实际意义。对于实际高光谱遥感数据实验，该方法也得到了理想的结果，进一步证实了方法的有效性和对于各种不同数据的适用性。

附图说明

图1 五种矿物光谱曲线：其中，a) Alunite GDS83 Na63, b )Nontronite GDS41, c) Desert Varnish GDS78A Rhy, d) Pyrope WS474, e) Buddingtonite NHB2301。

图2 不同噪声性能下的算法性能比较。（a）RMSE，（b）算法运行时间。

图3 像素个数与算法性能关系曲线。（a）RMSE，（b）算法运行时间。

图4 端元个数与算法性能关系曲线。（a）RMSE，（b）算法运行时间。

图5 DGAE算法得到的丰度结果：（a）玉米，（b）小麦，（c）植被，（d）人工建筑，（e）干草堆，（f）大豆。

图6 三种算法得到端元Alunite对应的丰度图： （a）我们提出的算法解混结果， （b）FCLS算法解混结果，（c）SPU算法解混结果，（d）地物分布彩色图。

图7 不同端元数目下，三种算法针对cuprite数据集的运行时间。

具体实施方式

下面，分别用仿真数据和实际遥感图像数据为例说明本发明的具体的实施方式:

1 、仿真数据

在本节中，我们采用仿真数据测试算法的性能。将本发明提出的算法与两种类似的算法作比较：FCLS [11]和SPU [12]，其中，前者是一种目前被广泛采用的丰度估计算法，后者则是最新提出的一种性能较优的算法。我们通过分析丰度估计的结果以及算法执行时间综合评价这三种算法的性能。

采用均方根误差（Root Mean Square Error，RMSE）来衡量丰度估计结果的优劣。它表征了丰度解混结果与真实丰度之间的近似程度。假设丰度估计算法得到的端元丰度矩阵为，真实丰度为，则RMSE被定义为 [13] 

                                          (20)

其中，、分别为矩阵、的第k行，第j列的元素。

算法运行时间可以作为一个衡量算法的复杂度的定量指标。测算了各个算法针对仿真数据集的运行时间。时间测试的硬件环境为Intel(R) Xeon(R) E5504 CPU 2.00 GHz, 24 GB, 和 Windows 7 Matlab 7.0。

仿真数据由已知特定的端元光谱及其对应的丰度分布构成。端元光谱是从USGS光谱库得到的矿物光谱数据，其中五种矿物如图1所示。丰度矩阵则是由Dirichlet分布得到，它满足丰度非负（ANC）以及和为一（ASC）的约束。端元光谱矩阵与丰度矩阵相乘并加上不同强度的高斯白噪声(以SNR衡量)，从而得到了实验用的仿真数据。仿真数据波段数为224，光谱分辨率为10nm，波长范围为~。

通过三组仿真数据实验来说明算法的性能和低复杂度。在第一组实验中，改变高光谱图像中所加的噪声强度，来研究算法的抗噪声性能。第二组实验通过改变仿真数据中像元数，来研究图像像素增加时算法的性能变化情况。第三组实验则是通过改变仿真数据的端元个数来研究波段数对算法性能的影响。

每组实验都在同等条件下（即Dirichlet分布参数和所加噪声的强度相同）运行40次，并取平均结果作为最终的结果，这样就可以避免因单次实验偏差造成的误差。

实验1 算法抗噪声性能实验  在这组实验中，不同程度的高斯白噪声添加到仿真数据中。噪声的SNR从（无噪声），50dB下降到15dB。仿真数据中端元的个数固定为5（五种矿物如图1），图像大小为256×256，波段数为224。

图2（a）和（b）分别给出了不同噪声水平下，三种算法的RMSE和运行时间。可以看出，当不存在噪声时，三种算法都可以将丰度图像完美的估计出来。而随着SNR的减小，三种算法的性能都逐渐降低。三种算法中，我们的算法具有最优的抗噪声性能，而SPU和FCLS算法则具有近似的性能。由运行时间曲线（图2（b））可知，在仿真数据的参数下，随着SNR的降低，三种算法的运行时间的变化幅度都较小。但是，由图中曲线可知，FCLS算法的耗时是最大的，而本发明算法的运行时间则是最小的。

实验2 像素数目与性能关系实验  在这组实验中，固定仿真数据集的信噪比为30dB，改变仿真数据集的像素数。图像大小由100×100，200×200增加到1000×1000。仿真数据中端元的个数仍然固定为5，波段数为224。

图3（a）和（b）分别给出了随着像素个数的增加，三种算法的RMSE和运行时间曲线。为了明确的表征运行时间和像素数的关系，图3（b）采用的半对数坐标系，其中时间轴为对数坐标。可以看出，随着像素个数的增加，三种算法的RMSE都是略有增大，这是所构造的单形体结构的影响造成的。三种算法中，本发明提出的算法的解混性能仍然是最优的。像素个数的增加对FCLS算法的运行时间影响最大，其运算时间随着像素个数的增加迅速增加。而本发明算法的运行时间仍然是最小的，这和理论分析结果一致。

实验3 端元个数与性能关系实验  在这组实验中固定图像的大小，改变图像中端元的数目，端元个数从3增加到20。其中端元光谱同样来源于USGS矿物光谱库而且光谱特性参数相同。仿真数据中信噪比噪比固定为30dB，图像大小为256×256，波段数为224。

图4（a）和（b）分别给出了三种算法的RMSE和运行时间随着端元个数的增加的变化情况。图4（b）仍然采用的半对数坐标系，其中时间轴为对数坐标。当图像大小固定时，随着端元数目的增加RMSE都逐渐增大，丰度估计的性能变差，这是由于端元个数增加，数据集单形体的形状逐渐不规则。同样，本发明算法的RMSE与另外两种方法相比较好。

随着端元数目的增加，SPU和本发明算法的运行时间迅速增加，这是因为这两种算法复杂度均和端元数有关，而且递归调用的次数大大增加。当对于256×256的仿真数据，当端元数大于12时，FCLS算法的运行时间最少。通过代码分析可以知道，端元数增加时，本发明算法中重心坐标计算部分的耗时迅速增加，而且算法的递归次数迅速增加。

由仿真实验结果可知，不同情况下，本发明算法在解混精度上始终优于FCLS和SPU算法。而且本发明算法的复杂度在前三组实验中是最低的，但是随着端元数目的增加，本发明算法的复杂度逐渐增加以至于超过FCLS算法。

2、实际数据

在本节中，我们使用实际的高光谱遥感图像数据集对所提出算法的性能进行测试。

A 实地数据

采用的实际数据是一幅Indiana地区的AVIRIS高光谱遥感数据 [14]。该数据成像于1992年7月，包含220个波段，波长范围为，光谱分辨率为10nm，空间分辨率为17m，图像大小为145×145(共21025 pixels)。该区域内主要的地物覆盖类型有：各种农作物（包括大豆、玉米、小麦等）、植被（包括树林、草地等）以及各种人工建筑（高速公路、铁塔、房屋等）。同时，美国Purdue大学研究组给出一份该地区实地勘测结果可供参考 [15]。

我们首先剔除了坏波段1~4，78-82，103-115，148-166以及211-220，这些波段都是水吸收或者低SNR波段，然后将剩下的总共169个波段数据用于算法验证工作。根据端元数目确定算法的估计结果，并结合实地勘测结果，最终确定端元数目为6。这6个端元分别对应于六种典型地物：a)人工建筑，b)小麦，c)玉米，d)大豆，e)植被，f)干草堆。采用N-FINDR [16]算法执行端元提取后，利用本发明算法得到的各端元在该区域对应的分布情况如图5所示。将图5的解混结果与实地调查的情况比较，可以看出，解混结果与实地调查结果非常吻合 [15]。

表1给出了对该数据分别使用FCLS、SPU以及我们提出的算法所需要的计算时间对比。这些运行时间是在20次测量结果基础上，剔除明显的奇异值后取均值后得到的。计算环境同实验2.1。对于该数据集，本发明算法的运行时间是FCLS算法的七分之一，而是SPU算法的六分之一。

表1 FCLS, SPU和DGAE算法运行时间

算法FCLSSPUDGAE时间(s)5.61832.09920.3268

B 实际数据

我们采用的第二个实际数据集是高光谱解混领域经常用到的AVIRIS Cuprite 数据集[17]。它是1997年6月19日，由机载可见光及红外成像光谱仪（Airborne Visible/Infrared Imaging Spectrometer，AVIRIS）拍摄的美国Nevada州南部沙漠地区。该数据共有224个波段，光谱分辨率为10nm。该区域内主要为裸露的矿物，既存在矿物地物纯像元，而且各种矿物之间的混合现象也较为普遍，很适合用来检验算法对高光谱遥感图像混合像元的分解能力。而且，Swayze和Clark等人已经给出了该地区的地物真实分布的报告，这样更易于根据地物真实分析算法的各种性能指标 [17]。

我们采用的是整幅图像，大小为614×512。首先剔除了坏波段1-3，105-115和150-170，这些波段都是水吸收或者低SNR波段，然后使用保留下来的189个波段进行分析。

首先，我们利用端元确定算法再结合Cuprite数据集所对应地区的地物真实 [18]， [19]，最后确定端元的范围为，于是就在这个范围上执行FCLS、SPU和本发明算法。同样，我们采用端元提取算法NFINDR进行端元提取，然后在此基础上执行三种丰度估计算法。由于我们不能得到像模拟数据那样的精确地端元丰度图像，因此只能定性的验证本发明算法的结果。图6（a）、（b）和（c）所示的是三种算法的分解结果中端元Alunite对应的丰度图，将这一结果同实地考察得到的矿物分布图（图6（d））作比较，可知三种算法都可以较为精确地分离出该端元。我们还比较了端元个数从8变换到20时，三种算法的运行时间曲线如图7所示。

在端元数目小于12时，本发明算法是最快的；但是当端元数大于12时，FCLS的运行时间则是最快的。正如我们在仿真实验种所说的那样，这是和递归调用次数增加以及索引操作、内存管理消耗增加有关。

参考文献

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[11]  C. Heinz and C. I. Chang, “Fully constrained least square linear spectral unmixing analysis method for material quantification in hyperspectral imagery,” IEEE Trans. Geosci. Remote Sens., vol. 39, no. 3, pp. 529–545, Mar. 2001. 

[12]  R. Heylen, D. Burazerovi′c, and P. Scheunders, “Fully Constrained Least Squares Spectral Unmixing by Simplex Projection”, IEEE Trans. Geosci. Remote Sens., vol. 49, no. 11, pp.4112-4122, 2011.

[13]  J. M. Nascimento and J.M. Bioucas-Dias, “Vertex component analysis: A fast algorithm to unmix hyperspectral data,” IEEE Trans. Geosci. Remote Sens., vol. 43, no. 4, pp. 898–910, Apr. 2005.

[14]  http://cobweb.ecn.purdue.edu/~biehl/Multispec/documentation.html

[15]  Landgrebe. Multispectral Data Analysis: A Signal Theory Perspective [R]. School of Electr. Comput. Eng., Purdue Univ., West Lafayette, IN, 1998.

[16]  M. E. Winter, “N-findr: an algorithm for fast autonomous spectral endmember determination in hyperspectral data,” in: Proc. of the SPIE conference on Imaging Spectrometry V, vol. 3753, pp. 266–275, 1999.

[17]  R. N. Clark, G. A. Swayze. Evolution in imaging spectroscopy analysis and sensor signal-to-noise: an examination of how far we have come. The 6th Annual JPL Airborne Earth Science Workshop, 1996. http://speclab.cr.usgs.gov/PAPERS.imspec.evol/aviris.evolution.html

[18]  C. I. Chang and Q. Du, “Estimation of number of spectrally distinct signal sources in hyperspectral imagery,” IEEE Trans. Geosci. Remote Sens., vol. 42, no. 3, pp. 608–619, Mar. 2004.

[19]  Swayze, R. Clark, S. Sutley, and A. Gallagher, “Ground-truthing AVIRIS mineral mapping at cuprite, Nevada,” in Proc. Summaries 3rd Annu. JPL Airborne Geosci. Workshop, 1992, pp. 47–49。

附录：式(9)的证明

证明：端元和之间的平方距离

            (21)

等式 (21) 两边依次分别乘上可得，

                  (22)

即

                                                                             (23)

将式 (23) 和联合可得到，

                                                                                                          (24)

其中。由于是非奇异的，则式 (9) 得证。