一种斜圈弹簧刚度的测量装置及测量方法

摘要

本发明提供一种斜圈弹簧刚度的测量装置，包括固定支座、活动支座和测量锥体；固定支座由底座及两根平行竖杆A组成，一根竖杆A上设置有光栅尺A，另一根竖杆A上固定有弹簧座，弹簧座内设置有斜圈弹簧；活动支座由呈“工”字型的两根横杆和一根竖杆B组成，测量锥体通过弹簧与两根横杆连接，斜圈弹簧的轴心位于测量锥体的中轴线上。活动支座向下移动，测量锥体接触斜圈弹簧前，测量锥体相对于活动支座无位移，测量锥体接触斜圈弹簧后，测量锥体相对于斜圈弹簧产生相对位移，再求出斜圈弹簧的径向位移，又由上下弹簧的变形量、刚度，根据力的平衡关系即可计算出斜圈弹簧的刚度。本发明不仅结构紧凑、操作方便、计算简单而且具有较高的检测精度。

说明书

技术领域

本发明属于测量工具设备领域，具体涉及一种斜圈弹簧刚度的测量装置及 测量方法。

背景技术

斜圈弹簧由于其独特的结构广泛应用于航空航天、电力系统、密封系统等 众多领域。其材料、参数设计、生产制造均系国外的专利技术，通过调研发现， 国内目前尚无成熟的生产制造工艺。由于其独特的机械性能和物理性能，相当 一部分企业应用的斜圈弹簧完全依靠进口，其进口价格相当昂贵。因此，对于 斜圈弹簧的研究，具有很强的理论价值及实用价值。斜圈弹簧性能的优劣，会 对其应用效果产生至关重要的影响，精确的测量方法及装置是保证产品质量的 重要条件。目前，对弹簧刚度的检测一般是采用杠杆式弹簧拉压载荷试验机或 者采用电容式压力传感器，配合适当的放大显示电子仪器进行载荷测量，再在 载荷测量的基础上测出弹簧的特性线，然后进行分析。这些检测方法中普遍存 在测量精度低、操作麻烦、计算繁琐等弊端，而且更是不适用于斜圈弹簧等一 些特殊形状弹簧的检测。

发明内容

本发明的目的是提供一种斜圈弹簧刚度的测量装置及测量方法，以克服现 有的方法测量斜圈弹簧的刚度存在测量精度低、操作麻烦、计算繁琐的问题。

本发明所采用的一种技术方案是，一种斜圈弹簧刚度的测量装置，包括固 定支座、活动支座和测量锥体；固定支座由底座及固定在底座上的两根平行竖 杆A组成，其中一根竖杆A上设置有光栅尺A，另一根竖杆A上固定有弹簧座， 弹簧座内设置有斜圈弹簧；活动支座由呈“工”字型的两根横杆和一根竖杆B 组成，竖杆B与两根竖杆A平行，竖杆B上设置有光栅尺B，两根横杆通过轮 子设置在带有光栅尺A的竖杆A上；测量锥体位于两根横杆之间，测量锥体的 上端通过上弹簧与一根横杆连接，下端通过下弹簧与另一根横杆连接；斜圈弹 簧的轴心位于测量锥体的中轴线上，测量锥体为圆台或圆锥形状，斜圈弹簧的 内孔直径值在测量锥体两个端面直径值之间。

本发明所采用的第二种技术方案是，

利用上述测量装置对斜圈弹簧刚度进行测量的方法，包括以下操作步骤：

步骤1，

测量时，活动支座带动测量锥体向斜圈弹簧方向运动，测量锥体的小端面 朝向斜圈弹簧，在测量锥体接触斜圈弹簧前，测量锥体相对于活动支座无位移， 测量锥体接触斜圈弹簧后，测量锥体进入斜圈弹簧的位移x为：

x＝x₁-x₂        (1)

其中，x₁为活动支座滑动的距离，x₂为上弹簧和下弹簧的变形距离；

则斜圈弹簧在径向的位移量为：

$y=x\tan \alpha =\frac{x_1-x_2}{\lambda }---\left(2\right)$

其中，α为测量锥体的母线与高之间的夹角，λ是测量锥体的锥度，也就 是1/tanα；

步骤2，

若忽略测量锥体与斜圈弹簧之间的摩擦力，则上弹簧和下弹簧作用于测量 锥体的力为：

F＝F₁+F₂＝k₁x₂+k₂x₂＝(k₁+k₂)x₂    (3)

其中，F₁、F₂分别为上弹簧和下弹簧相对于活动支座的位移作用于测量锥 体的弹性力；k₁、k₂分别为上弹簧和下弹簧的刚度；

步骤3，

设斜圈弹簧作用于测量锥体的力为N，作用力N的方向垂直测量锥体的侧 面，N在垂直方向上的分力为Nsinα；根据力的平衡关系有：

F＝Nsinα                         (4)

故

$N=\frac{F}{\sin \alpha }=\frac{(k_1+k_2)x_2}{\sin \alpha }---\left(5\right)$

测量锥体压紧斜圈弹簧的力为力N在水平方向的分力，即为：

$P=N\cos \alpha =\frac{(k_1+k_2)x_2}{\sin \alpha }\cos \alpha =\frac{(k_1+k_2)x_2}{\tan \alpha }=\lambda (k_1+k_2)x_2---\left(6\right)$

步骤4，

由式(2)和式(6)，得到斜圈弹簧的刚度为：

$k=\frac{P}{y}=\frac{{\lambda }^2{x}_2}{x_1-x_2}(k_1+k_2)---\left(7\right).$

本发明所采用的第三种技术方案是，

利用上述的测量装置对斜圈弹簧刚度进行测量的方法，包括以下操作步骤：

步骤1，

测量时，活动支座带动测量锥体向斜圈弹簧方向运动，测量锥体的小端面 朝向斜圈弹簧，在测量锥体接触斜圈弹簧前，测量锥体相对于活动支座无位移， 测量锥体接触斜圈弹簧后，测量锥体进入斜圈弹簧的位移x为：

x＝x₁-x₂                               (8)

其中，x₁为活动支座滑动的距离，x₂为上弹簧和下弹簧的变形距离；

则斜圈弹簧在径向的位移量为

$y=x\tan \alpha =\frac{x_1-x_2}{\lambda }---\left(9\right)$

其中，α为圆台形测量锥体的母线与高之间的夹角，λ是测量锥体的锥度， 也就是1/tanα；

步骤2，

若考虑测量锥体与斜圈弹簧之间的摩擦力，则上弹簧和下弹簧作用于测量 锥体的力为：

F＝F₁+F₂＝k₁x₂+k₂x₂＝(k₁+k₂)x₂         (10)

其中，F₁、F₂分别为上弹簧和下弹簧相对于活动支座的位移作用于测量锥 体的弹性力；k₁、k₂分别为上弹簧和下弹簧的刚度；

步骤3，

设斜圈弹簧作用于测量锥体的力为N，作用力N的方向垂直测量锥体的侧 面，N在垂直方向上的分力为Nsinα；根据力的平衡关系有：

F＝Nsinα+f₁                           (11)

其中，斜圈弹簧与测量锥体之间的摩擦力大小为μN，μ为二者之间的摩擦 系数，f₁是斜圈弹簧与测量锥体之间摩擦力在垂直方向的分力；

f₁＝μNcosα                           (12)

根据力的平衡关系有：

F＝Nsinα+μNcosα＝N(sinα+μcosα)   (13)

故

$N=\frac{F}{\sin \alpha +\mu \cos \alpha }=\frac{(k_1+k_2)x_2}{\sin \alpha +\mu \cos \alpha }---\left(14\right)$

测量锥体压紧斜圈弹簧的力为力N在水平方向的分力，即为：

$P=N\cos \alpha =\frac{(k_1+k_2)x_2}{\tan \alpha +\mu }=\frac{\lambda (k_1+k_2)x_2}{1+\mathrm{\lambda \mu }}---\left(15\right)$

步骤4，

由式(9)和式(15)，得到斜圈弹簧的刚度为：

$k^{\prime }=\frac{P}{y}=\frac{{\lambda }^2{x}_2}{(1+\mathrm{\lambda \mu })(x_1-x_2)}(k_1+k_2)---\left(16\right).$

本发明所采用的第四种技术方案是，

利用上述的测量装置对斜圈弹簧刚度进行测量的方法，包括以下操作步骤：

步骤1，

测量时，活动支座带动测量锥体向斜圈弹簧方向运动，测量锥体的小端面 朝向斜圈弹簧，在测量锥体接触斜圈弹簧前，测量锥体相对于活动支座无位移， 测量锥体接触斜圈弹簧后，测量锥体进入斜圈弹簧的位移x为：

x＝x₁-x₂                (19)

其中，x₁为活动支座滑动的距离，x₂为上弹簧和下弹簧的变形距离；

则斜圈弹簧(8)在径向的位移量为：

$y=x\tan \alpha =\frac{x_1-x_2}{\lambda }---\left(20\right)$

其中，α为圆台形测量锥体的母线与高之间的夹角，λ是测量锥体(6)的 锥度，也就是1/tanα；

步骤2，

若考虑测量锥体与斜圈弹簧之间的摩擦力，则上弹簧和下弹簧作用于测量 锥体的力为：

F＝F₁+F₂＝k₁x₂+k₂x₂＝(k₁+k₂)x₂        (21)

其中，F₁、F₂分别为上弹簧和下弹簧相对于活动支座的位移作用于测量锥 体的弹性力；k₁、k₂分别为上弹簧和下弹簧的刚度；

步骤3，

设斜圈弹簧作用于测量锥体的力为N，作用力N的方向垂直测量锥体的侧 面，N在垂直方向上的分力为Nsinα；根据力的平衡关系有：

F＝Nsinα+f₁                          (22)

其中，斜圈弹簧与测量锥体之间的摩擦力大小为μN，μ为二者之间的摩擦 系数，f₁是斜圈弹簧与测量锥体之间摩擦力在垂直方向的分力；

f₁＝μNcosα                          (23)

根据力的平衡关系有：

F＝Nsinα+μNcosα＝N(sinα+μcosα)  (24)

故

$N=\frac{F}{\sin \alpha +\mu \cos \alpha }=\frac{(k_1+k_2)x_2}{\sin \alpha +\mu \cos \alpha }---\left(25\right)$

测量锥体压紧斜圈弹簧的力为力N在水平方向的分力，即为：

$P=N\cos \alpha =\frac{(k_1+k_2)x_2}{\tan \alpha +\mu }=\frac{\lambda (k_1+k_2)x_2}{1+\mathrm{\lambda \mu }}---\left(26\right)$

步骤4，

由式(20)和式(26)，得到斜圈弹簧的刚度为：

$k^{\prime }=\frac{P}{y}=\frac{{\lambda }^2{x}_2}{(1+\mathrm{\lambda \mu })(x_1-x_2)}(k_1+k_2)---\left(27\right);$

步骤5，

再将活动支座向相反的方向移动，恢复到活动支座的初始位置；

步骤6，

那么，F＝Nsinα-μNcosα＝N(sinα-μcosα)    (30)

$N=\frac{F}{\sin \alpha -\mu \cos \alpha }=\frac{(k_1+k_2)x_2}{\sin \alpha -\mu \cos \alpha }---\left(31\right)$

测量锥体压紧斜圈弹簧的力为力N在水平方向的分力，即为：

$P=N\cos \alpha =\frac{(k_1+k_2)x_2}{\tan \alpha -\mu }=\frac{\lambda (k_1+k_2)x_2}{1-\mathrm{\lambda \mu }}---\left(32\right)$

由式(20)和式(32)，斜圈弹簧的刚度应为：

$k^{\prime \prime }=\frac{P}{y}=\frac{{\lambda }^2{x}_2}{(1-\mathrm{\lambda \mu })(x_1-x_2)}(k_1+k_2)---\left(33\right)$

得到斜圈弹簧的刚度k′和k″后，取二者的平均值作为最终测量结果。

本发明的有益效果是，通过固定支座和活动支座上的两个光栅尺独特的组 合方式，可以有效地计算出斜圈弹簧的位移变化值，而根据这个变化值以及装 置的独特设置可以容易计算出斜圈弹簧的刚度。这种装置不仅结构紧凑、操作 方便、计算简单而且具有较高的检测精度。对于了解和评价斜圈弹簧机械性能 具有重要意义。

附图说明

图1是本发明测量锥体刚接触到斜圈弹簧时的结构示意图；

图2是本发明测量锥体刚压在斜圈弹簧上，并使斜圈弹簧产生变形时的结 构示意图；

图3是本发明实施例1中测量锥体的受力图；

图4是本发明实施例2和3中测量锥体向下运动的受力图；

图5是本发明实施例3中测量锥体向上运动的受力图。

图中，1-1.底座，1-2.竖杆A，2-1.横杆，2-2.竖杆B，3.光栅尺A，4.光栅 尺B，5-1.上弹簧，5-2.下弹簧，6.测量锥体，7.弹簧座，8.斜圈弹簧。

具体实施方式

如图1所示，本发明提供一种斜圈弹簧刚度的测量装置，包括固定支座、 活动支座和测量锥体6；固定支座由底座1-1及固定在底座1-1上的两根平行竖 杆A1-2组成，其中一根竖杆A1-2上设置有光栅尺A3，另一根竖杆A1-2上固 定有弹簧座7，弹簧座7内设置有斜圈弹簧8；活动支座由呈“工”字型设置的 两根横杆2-1和一根竖杆B2-2组成，竖杆B2-2与两根竖杆A1-2平行，竖杆B2-2 上设置有光栅尺B4，两根横杆2-1通过轮子9设置在带有光栅尺A3的竖杆A1-2 上；测量锥体6位于两根横杆2-1之间，测量锥体6的上端通过上弹簧5-1与一 根横杆2-1连接，下端通过下弹簧5-2与另一根横杆2-1连接；斜圈弹簧8的轴 心位于测量锥体6的中轴线上。

测量锥体6为上大下小的圆台，当然也可以是圆锥，斜圈弹簧8的内孔直 径值在测量锥体6两个端面直径值之间，测量锥体6位于斜圈弹簧8的上方。

实施例1

测量锥体6为上大下小的圆台，测量锥体6位于斜圈弹簧8的上方。

利用本发明提供的测量装置对斜圈弹簧刚度进行测量的方法，包括以下操 作步骤：

步骤1，

测量时，活动支座带动测量锥体6向下运动，在测量锥体6接触斜圈弹簧 8前，测量锥体6相对于活动支座无位移，测量锥体6接触斜圈弹簧8后，测量 锥体6进入斜圈弹簧8的位移x为：

x＝x₁-x₂        (1)

其中，x₁为活动支座滑动的距离，由光栅尺A3记录，x₂为上弹簧5-1或下 弹簧5-2的变形距离，由光栅尺B4记录；

如图1所示，活动支座带动测量锥体6向下运动，测量锥体6刚接触到斜 圈弹簧8时，测量锥体6的上端面对应到光栅尺A3和光栅尺B4分别为a点和 b点；如图2所示，当活动支座继续带动测量锥体6向下运动，测量锥体6的侧 面挤压斜圈弹簧8，使斜圈弹簧8变形，测量锥体6的上端面对应到光栅尺B4 成为c点；光栅尺A3上的a点对应到光栅尺B4上的点成为b₁点，光栅尺B4 上的b点随着活动支座的下滑，已经移到a点的下方；那么，如图2所示，活 动支座滑动的距离x₁为ab，上弹簧5-1或下弹簧5-2的变形距离x₂为bc，则测 量锥体6进入斜圈弹簧8的位移x为b₁c；

斜圈弹簧8在径向(水平方向)的位移量为：

$y=x\tan \alpha =\frac{x_1-x_2}{\lambda }---\left(2\right)$

其中，α为测量锥体6的母线与高之间的夹角(如图3所示)，λ是测量锥 体6的锥度，也就是1/tanα；

步骤2，

若忽略测量锥体6与斜圈弹簧8之间的摩擦力，测量锥体6的受力如图3 所示(由于测量锥体6自身的重力已与上弹簧5-1和下弹簧5-2的弹簧力平衡， 对测量结果无影响，故图3中未画出测量锥体6自身的重力)，则上弹簧5-1和 下弹簧5-2作用于测量锥体6的力为：

F＝F₁+F₂＝k₁x₂+k₂x₂＝(k₁+k₂)x₂        (3)

其中，F₁、F₂分别为上弹簧5-1和下弹簧5-2相对于活动支座的位移作用于 测量锥体6的弹性力(力方向朝下)；k₁、k₂分别为上弹簧5-1和下弹簧5-2的 刚度；

步骤3，

设斜圈弹簧8作用于测量锥体6的力为N，则每圈弹簧作用于测量锥体6 上的力为N/n，n是斜圈弹簧8的圈数；如图3所示，作用力N的方向垂直测量 锥体6的侧面，N在垂直方向上的分力为Nsinα(力方向朝上)；根据力的平衡 关系有：

F＝Nsinα                             (4)

故

$N=\frac{F}{\sin \alpha }=\frac{(k_1+k_2)x_2}{\sin \alpha }---\left(5\right)$

测量锥体6压紧斜圈弹簧8的力为力N在水平方向的分力，即为：

$P=N\cos \alpha =\frac{(k_1+k_2)x_2}{\sin \alpha }\cos \alpha =\frac{(k_1+k_2)x_2}{\tan \alpha }=\lambda (k_1+k_2)x_2---\left(6\right)$

步骤4，

由式(2)和式(6)，得到斜圈弹簧8的刚度为：

$k=\frac{P}{y}=\frac{{\lambda }^2{x}_2}{x_1-x_2}(k_1+k_2)---\left(7\right).$

实施例2

测量锥体6为上大下小的圆台，测量锥体6位于斜圈弹簧8的上方。

利用本发明提供的测量装置对斜圈弹簧刚度进行测量的方法，包括以下操 作步骤：

步骤1，

测量时，活动支座带动测量锥体6向下运动，在测量锥体6接触斜圈弹簧8 前，测量锥体6相对于活动支座无位移，测量锥体6接触斜圈弹簧8后，测量 锥体6进入斜圈弹簧8的位移x为：

x＝x₁-x₂        (8)

其中，x₁为活动支座滑动的距离，由光栅尺A3记录，x₂为上弹簧5-1和下 弹簧5-2的变形距离，由光栅尺B4记录；

如图1所示，活动支座带动测量锥体6向下运动，测量锥体6刚接触到斜 圈弹簧8时，测量锥体6的上端面对应到光栅尺A3和光栅尺B4分别为a点和 b点；如图2所示，当活动支座继续带动测量锥体6向下运动，测量锥体6的侧 面挤压斜圈弹簧8，使斜圈弹簧8变形，测量锥体6的上端面对应的光栅尺B4 成为c点；光栅尺A3上的a点对应到光栅尺B4上的点成为b₁点，光栅尺B4 上的b点随着活动支座的下滑，已经移到a点的下方；那么，如图2所示，活 动支座滑动的距离x₁为ab，上弹簧5-1或下弹簧5-2的变形距离x₂为bc，则测 量锥体6进入斜圈弹簧8的位移x为b₁c；

斜圈弹簧8在径向(水平方向)的位移量为：

$y=x\tan \alpha =\frac{x_1-x_2}{\lambda }---\left(9\right)$

其中，α为圆台形测量锥体6的母线与高之间的夹角(如图4所示)，λ是 测量锥体6的锥度，也就是1/tanα；

步骤2，

若考虑测量锥体6与斜圈弹簧8之间的摩擦力，测量锥体6的受力如图4 所示(由于测量锥体6自身的重力已与上弹簧5-1和下弹簧5-2的弹簧力平衡， 对测量结果无影响，故图4中未画出测量锥体6自身的重力)，则上弹簧5-1和 下弹簧5-2作用于测量锥体6的力为：

F＝F₁+F₂＝k₁x₂+k₂x₂＝(k₁+k₂)x₂        (10)

其中，F₁、F₂分别为上弹簧5-1和下弹簧5-2相对于活动支座的位移作用于 测量锥体6的弹性力(力方向朝下)；k₁、k₂分别为上弹簧5-1和下弹簧5-2的 刚度；

步骤3，

设斜圈弹簧8作用于测量锥体6的力为N，则每圈弹簧作用于测量锥体6 上的力为N/n，n是斜圈弹簧8的圈数；如图4所示，作用力N的方向垂直测量 锥体6的侧面，N在垂直方向上的分力为Nsinα(力方向朝上)；根据力的平衡 关系有：

F＝Nsinα+f₁                          (11)

其中，斜圈弹簧8与测量锥体6之间的摩擦力大小为μN，μ为二者之间的 摩擦系数，f₁是斜圈弹簧8与测量锥体6之间摩擦力在垂直方向的分力(力方 向朝上)；

f₁＝μNcosα                          (12)

根据力的平衡关系有：

F＝Nsinα+μNcosα＝N(sinα+μcosα)  (13)

故

$N=\frac{F}{\sin \alpha +\mu \cos \alpha }=\frac{(k_1+k_2)x_2}{\sin \alpha +\mu \cos \alpha }---\left(14\right)$

测量锥体6压紧斜圈弹簧8的力为力N在水平方向的分力，即为：

$P=N\cos \alpha =\frac{(k_1+k_2)x_2}{\tan \alpha +\mu }=\frac{\lambda (k_1+k_2)x_2}{1+\mathrm{\lambda \mu }}---\left(15\right)$

步骤4，

由式(9)和式(15)，得到斜圈弹簧8的刚度为：

$k^{\prime }=\frac{P}{y}=\frac{{\lambda }^2{x}_2}{(1+\mathrm{\lambda \mu })(x_1-x_2)}(k_1+k_2)---\left(16\right).$

比较实施例1中得到斜圈弹簧8的刚度k(式7)和实施例2中得到斜圈弹 簧8的刚度k′(式16)，不考虑摩擦力时引入的绝对误差为：

$\delta =k-k^{\prime }=(k_1+k_2)\frac{{\lambda }^2{x}_2}{x_1-x_2}\frac{\mathrm{\lambda \mu }}{1+\mathrm{\lambda \mu }}---\left(17\right)$

相对误差为

$e=\frac{k-k^{\prime }}{k^{\prime }}=\mathrm{\lambda \mu }---\left(18\right).$

实施例3

测量锥体6为上大下小的圆台，测量锥体6位于斜圈弹簧8的上方。

利用本发明提供的测量装置对斜圈弹簧刚度进行测量的方法，包括以下操 作步骤：

步骤1，

测量时，活动支座带动测量锥体6向下运动，在测量锥体6接触斜圈弹簧8 前，测量锥体6相对于活动支座无位移，测量锥体6接触斜圈弹簧8后，测量 锥体6进入斜圈弹簧8的位移x为：

x＝x₁-x₂    (19)

其中，x₁为活动支座滑动的距离，由光栅尺A3记录，x₂为上弹簧5-1和下 弹簧5-2的变形距离，由光栅尺B4记录；

如图1所示，活动支座带动测量锥体6向下运动，测量锥体6刚接触到斜 圈弹簧8时，测量锥体6的上端面对应到光栅尺A3和光栅尺B4分别为a点和 b点；如图2所示，当活动支座继续带动测量锥体6向下运动，测量锥体6的侧 面挤压斜圈弹簧8，使斜圈弹簧8变形，测量锥体6的上端面对应的光栅尺B4 成为c点；光栅尺A3上的a点对应到光栅尺B4上的点成为b₁点，光栅尺B4 上的b点随着活动支座的下滑，已经移到a点的下方；那么，如图2所示，活 动支座滑动的距离x₁为ab，上弹簧5-1或下弹簧5-2的变形距离x₂为bc，则测 量锥体6进入斜圈弹簧8的位移x为b₁c；

斜圈弹簧8在径向(水平方向)的位移量为：

$y=x\tan \alpha =\frac{x_1-x_2}{\lambda }---\left(20\right)$

其中，α为圆台形测量锥体6的母线与高之间的夹角(如图4所示)，λ是 测量锥体6的锥度，也就是1/tanα；

步骤2，

若考虑测量锥体6与斜圈弹簧8之间的摩擦力，测量锥体6的受力如图4 所示(由于测量锥体6自身的重力已与上弹簧5-1和下弹簧5-2的弹簧力平衡， 对测量结果无影响，故图4中未画出测量锥体6自身的重力)，则上弹簧5-1和 下弹簧5-2作用于测量锥体6的力为：

F＝F₁+F₂＝k₁x₂+k₂x₂＝(k₁+k₂)x₂    (21)

其中，F₁、F₂分别为上弹簧5-1和下弹簧5-2相对于活动支座的位移作用于 测量锥体6的弹性力(力方向朝下)；k₁、k₂分别为上弹簧5-1和下弹簧5-2的 刚度；

步骤3，

设斜圈弹簧8作用于测量锥体6的力为N，则每圈弹簧作用于测量锥体6 上的力为N/n，n是斜圈弹簧8的圈数；如图4所示，作用力N的方向垂直测量 锥体6的侧面，N在垂直方向上的分力为Nsinα(力方向朝上)；根据力的平衡 关系有：

F＝Nsinα+f₁                            (22)

其中，斜圈弹簧8与测量锥体6之间的摩擦力大小为μN，μ为二者之间的 摩擦系数，f₁是斜圈弹簧8与测量锥体6之间摩擦力在垂直方向的分力(力方 向朝上)；

f₁＝μNcosα                            (23)

根据力的平衡关系有：

F＝Nsinα+μNcosα＝N(sinα+μcosα)    (24)

故

$N=\frac{F}{\sin \alpha +\mu \cos \alpha }=\frac{(k_1+k_2)x_2}{\sin \alpha +\mu \cos \alpha }---\left(25\right)$

测量锥体6压紧斜圈弹簧8的力为力N在水平方向的分力，即为：

$P=N\cos \alpha =\frac{(k_1+k_2)x_2}{\tan \alpha +\mu }=\frac{\lambda (k_1+k_2)x_2}{1+\mathrm{\lambda \mu }}---\left(26\right)$

步骤4，

由式(20)和式(26)，得到斜圈弹簧8的刚度为：

$k^{\prime }=\frac{P}{y}=\frac{{\lambda }^2{x}_2}{(1+\mathrm{\lambda \mu })(x_1-x_2)}(k_1+k_2)---\left(27\right);$

比较实施例1中得到斜圈弹簧8的刚度k(式7)和实施例3中得到斜圈弹 簧8的刚度k′(式27)，不考虑摩擦力时引入的绝对误差为：

${\delta }_1=k-k^{\prime }=(k_1+k_2)\frac{{\lambda }^2{x}_2}{x_1-x_2}\frac{\mathrm{\lambda \mu }}{1+\mathrm{\lambda \mu }}---\left(28\right)$

相对误差为

$e_1=\frac{k-k^{\prime }}{k^{\prime }}=\mathrm{\lambda \mu }---\left(29\right);$

步骤5，

再将活动支座向上移动，活动支座也就带动测量锥体6向上运动，使图2 中光栅尺B4上的b点与光栅尺A3上的a点平齐，也就是活动支座和测量锥体 6恢复到图1所示的位置；

步骤6，

当测量锥体6向上移动时，如图5所示，弹簧的弹性力F₁、F₂方向都朝下， 斜圈弹簧8作用于测量锥体6的力N方向不变，斜圈弹簧8与测量锥体6之间 的摩擦力大小为-μN，摩擦力在垂直方向的分力为f₁＝-μNcosα(力方向朝下)； 那么，

F＝Nsinα-μNcosα＝N(sinα-μcosα)    (30)

$N=\frac{F}{\sin \alpha -\mu \cos \alpha }=\frac{(k_1+k_2)x_2}{\sin \alpha -\mu \cos \alpha }---\left(31\right)$

测量锥体6压紧斜圈弹簧8的力为力N在水平方向的分力，即为：

$P=N\cos \alpha =\frac{(k_1+k_2)x_2}{\tan \alpha -\mu }=\frac{\lambda (k_1+k_2)x_2}{1-\mathrm{\lambda \mu }}---\left(32\right)$

由式(20)和式(32)，斜圈弹簧8的刚度应为：

$k^{\prime \prime }=\frac{P}{y}=\frac{{\lambda }^2{x}_2}{(1-\mathrm{\lambda \mu })(x_1-x_2)}(k_1+k_2)---\left(33\right).$

比较实施例1中得到斜圈弹簧8的刚度k(式7)和实施例3中得到斜圈弹 簧8的刚度k″(式33)，不考虑摩擦力而引入的绝对误差为：

${\delta }_2=k-k^{\prime \prime }=(k_1+k_2)\frac{{\lambda }^2{x}_2}{x_1-x_2}\frac{-\mathrm{\lambda \mu }}{1-\mathrm{\lambda \mu }}---\left(34\right)$

相对误差为

$e_2=\frac{k-k^{\prime \prime }}{k^{\prime \prime }}=-\mathrm{\lambda \mu }---\left(35\right).$

比较式(29)和式(35)可以发现，测量锥体分别向下移动和向上移动时，测量 相对误差大小相等而符号相异。为了尽可能消除摩擦力对测量精度的影响，本 实施例将测量锥体6分别向上和向下各移一次，分别测得的斜圈弹簧8的刚度 为k′(式27)和k″(式33)，取二者的平均值作为最终测量结果。

通过必要的手段减小摩擦系数μ并取较小的λ值，可以有效降低误差，但λ 也不能太小，否则斜圈弹簧的受力状况与实际不符，因此建议取λ＝3～10，这样 在测量锥体表面光滑且润滑良好的情况下，可以保证测量误差＜3％～10％。