一种深水顶张式立管大变形弯曲振动的分析方法

摘要

本发明涉及海洋深水立管的研究方法，具体涉及一种深水顶张式立管大变形弯曲振动的分析方法。该方法对现有深水顶张式立管大变形弯曲振动的分析技术进行了改进，虑了深水顶张式立管弯曲振动的大变形问题，提出了深水顶张式立管大变形弯曲振动方程，并基于该方程建立了深水顶张式立管的大变形弯曲振动分析方法。该方法考虑了大变形对深水顶张式立管弯曲振动的影响，使深水顶张式立管的弯曲振动分析更符合立管的实际受力和变形状态。

说明书

技术领域

本发明涉及海洋深水立管的研究方法，具体涉及一种深水顶张式立管大 变形弯曲振动的分析方法。

背景技术

深水顶张式立管是深海油气开发的重要装备，由于立管长度(1000～3000m) 远远大于其截面尺寸(0.3～0.5m)，因此，其弯曲刚度较小，属于大柔性结构。 特别是新型的顺应式立管，其柔性更是远远超出传统梁结构的范围，属于超大 柔性结构。目前，深水顶张式立管的弯曲振动分析主要采用传统欧拉梁的复杂 弯曲(考虑轴向力的弯曲)理论，该理论基于小变形假定，忽略由于弯曲变形 引起的重力势能变化和曲率对深水顶张式立管几何刚度和惯性力的影响。该方 案基于图1所示的力学模型来建立顶张式立管弯曲振动方程。图1中，微元段 的重力包括在张力T内。

基于该模型，现有技术采用公式(1)的立管弯曲振动方程：

$m\frac{{\partial }^{2}y}{\partial t^2}+c\frac{\partial y}{\partial t}+\mathrm{EI}\frac{{\partial }^{4}y}{{\partial x}^4}-\frac{\partial }{\partial x}\left(T\frac{\partial y}{\partial x}\right)=q---\left(1\right)$

式中：m--立管单位长度的质量；

      EI--立管截面弯曲刚度；

      c--立管单位长度的结构阻尼系数；

      y--立管弯曲挠度；

      T--立管张力；

      t--时间；

      x--立管的轴向坐标；

      q--作用在立管上的流体荷载。

现有技术的主要缺点如下：

1、没有考虑立管大变形引起弯曲振动加速度的垂直分量

小变形时，立管弯曲振动的加速度垂直分量较小，因此，被忽略。而大变 形时，立管弯曲振动加速度的垂直分量较大，不应被忽略。

2、没有考虑立管大变形引起的重力对弯曲振动的影响

小变形时，由于假设立管的变形仅发生在横向，因此，重力势能不发生变 化。但大变形时，由于弯曲变形引起的截面转动，导致重力对弯曲变形起到了 约束作用。因此，大变形时应考虑重力对弯曲变形的影响。

发明内容

本发明的目的在于针对现有技术的缺陷，考虑深水顶张式立管大变形引起 的垂直方向的弯曲振动加速度和大变形引起的重力势能变化对弯曲振动的影 响，建立大柔性深水立管弯曲振动大变形分析方法。

本发明的技术方案如下：一种深水顶张式立管大变形弯曲振动的分析方法， 建立的深水顶张式立管弯曲振动分析模型如下：

$\mathrm{EI}\frac{{\partial }^{4}v}{\partial x^4}+\mathrm{EI}{\kappa }^2\frac{{\partial }^{2}v}{\partial x^2}-\frac{\partial }{\partial x}\left(T\frac{\partial v}{\partial x}\right)-\mathrm{mg}\frac{\partial v}{\partial x}+m\frac{{\partial }^{2}v}{\partial t^2}+c\frac{\partial v}{\partial t}=q$

$\mathrm{EI}\frac{{\partial }^{4}u}{\partial x^4}+(\mathrm{EI}{\kappa }^2-T)\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}-\frac{\partial T}{\partial x}\frac{\partial u}{\partial x}-m\frac{\kappa }{\left|\kappa \right|}\frac{{\partial }^{2}u}{{\partial t}^2}+c\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{\partial T}{\partial x}-\mathrm{mg}$

式中：v--立管水平方向弯曲振动位移；

      u--立管垂直方向弯曲振动位移；

      m--立管单位长度的质量；

      EI--立管截面弯曲刚度；

      c--立管单位长度的结构阻尼系数；

      T--立管张力；

      x--立管轴向坐标；

      t-时间；

      κ--立管的曲率；

      g-重力加速度；

      q--作用在立管上的流体荷载；

基于上述深水顶张式立管弯曲振动分析模型，按如下步骤计算深水顶张式 立管的大变形弯曲振动响应：

1)设定笛卡儿坐标系，设深水顶张式立管的顶点为坐标原点，x轴为垂直 方向坐标轴，y轴为水平方向坐标轴；

2)用有限元方法将上述深水顶张式立管弯曲振动分析模型的方程离散后即 可得到深水顶张式立管大变形弯曲振动的有限元方程：

$\left[M_y\right]\left\{\stackrel{..}{v}\right\}+\left[C_y\right]\left\{\stackrel{.}{v}\right\}+\left[K_y\right]\left\{v\right\}=\left\{F_y\right\}$

$\left[M_x\right]\left\{\stackrel{..}{u}\right\}+\left[C_x\right]\left\{\stackrel{.}{u}\right\}+\left[K_x\right]\left\{u\right\}=\left\{F_x\right\}$

其中，[M_y]--立管的横向质量矩阵；

$\left[M_y\right]=\underset{e=1}{\overset{n}{\Sigma }}m{\int }_0^l{\left[N\right]}^T\left[N\right]\mathrm{dx}$

[M_x]--立管的竖向惯性系数矩阵；

$\left[M_x\right]=-\underset{e=1}{\overset{n}{\Sigma }}m\frac{\kappa }{\left|\kappa \right|}{\int }_0^l{\left[N\right]}^T\left[N\right]\mathrm{dx}=-\frac{\kappa }{\left|\kappa \right|}\left[M_y\right]$

[K_y]--立管的横向刚度矩阵；

$\left[K_y\right]=\underset{e=1}{\overset{n}{\Sigma }}\left\{\mathrm{EI}{\int }_0^l{\left[N^{\prime \prime }\right]}^T\right[N^{\prime \prime }]\mathrm{dx}+(\mathrm{EI}{\kappa }^2-T){\int }_0^l{\left[N^{\prime }\right]}^T[N^{\prime }]\mathrm{dx}$

$+(\frac{\partial T}{\partial x}+\mathrm{mg}){\int }_0^l{\left[N^{\prime }\right]}^T\left[N\right]\mathrm{dx}\}$

[K_x]--立管的竖向刚度矩阵；

$\left[K_x\right]=\underset{e=1}{\overset{n}{\Sigma }}\left\{\mathrm{EI}{\int }_0^l{\left[N^{\prime \prime }\right]}^T\right[N^{\prime \prime }]\mathrm{dx}+(\mathrm{EI}{\kappa }^2-T){\int }_0^l{\left[N^{\prime }\right]}^T[N^{\prime }]\mathrm{dx}$

$+\frac{\partial T}{\partial x}{\int }_0^l{\left[N^{\prime }\right]}^T\left[N\right]\mathrm{dx}\}$

[C_y]--立管横向阻尼矩阵；

[C_y]＝α[M_y]+β[K_y]

[C_x]--立管竖向阻尼矩阵；

[C_x]＝α[M_x]-β[K_x]

--立管横向加速度向量；

--立管横向速度向量；

{v}--立管横向位移向量；

{F_y}--立管横向荷载向量：

$\left\{F_y\right\}=\underset{e=1}{\overset{n}{\Sigma }}{\int }_0^l{\left[N\right]}_e^T\{q_y{\}}_e\mathrm{dx}$

{ü}--立管竖向加速度向量；

--立管竖向速度向量；

{u}--立管竖向位移向量；

{F_x}--立管竖向荷载向量：

$\left\{F_x\right\}=\underset{e=1}{\overset{n}{\Sigma }}{\int }_0^l{\left[N\right]}_e^T\{q_x{\}}_e\mathrm{dx}$

[N]--立管单元插值函数矩阵；

[N′]--立管单元插值函数矩阵对x的一阶导数；

[N＂]--立管单元插值函数矩阵对x的二阶导数；

{q_y}--立管横向荷载向量；

{q_x}--立管竖向荷载向量：

$\left\{q_x\right\}=\{\frac{\partial T}{\partial x}-\mathrm{mg}\}$

α，β--瑞雷祖尼系数：

x-立管轴向坐标；

κ--立管的曲率；

m-立管单位长度的质量；

g-重力加速度；

l--单元长度；

n--单元数量：

e--作累加运算的单元；

3)对立管进行单元划分；

4)将划分后各单元的参数代入步骤2)中的各矩阵和向量的公式计算所有 单元的矩阵和向量；

5)采用时程积分法求解步骤2)中的深水顶张式立管大变形弯曲振动的有 限元方程，即可得到深水顶张式立管的大变形弯曲振动响应，振动响应包括位 移、速度、加速度。

本发明的有益效果如下：本发明对现有深水顶张式立管大变形弯曲振动的 分析方法进行了改进，考虑了深水顶张式立管弯曲振动的大变形问题，提出了 深水顶张式立管大变形弯曲振动方程，并基于该方程建立了深水顶张式立管的 大变形弯曲振动分析方法。该方法考虑了大变形对深水顶张式立管弯曲振动的 影响，使深水顶张式立管的弯曲振动分析更符合立管的实际受力和变形状态。

附图说明

图1为现有技术中立管微元段的小变形力学模型示意图；

图2为本发明深水顶张式立管大变形力学模型示意图；

图3为顶张式立管的坐标系统示意图；

图4为本发明的方法流程图。

具体实施方式

下面结合附图和具体实施方式对本发明进行详细描述。

深水顶张式立管是一个大长细比的圆柱体，其长细比可达5000～6000。因此， 其弯曲刚度较小，是一个具有大柔性的结构。在海洋环境作用下，其弯曲振动 的位移较大，属于大变形结构。如果采用现有技术的小变形假设，则计算结果 与深水顶张式立管的实际受力和变形状态将有较大的误差。为此，本发明提出 了考虑大变形的深水顶张式立管弯曲振动分析方法，旨在解决深水顶张式立管 大变形的弯曲振动分析。

本发明考虑深水顶张式立管大变形对弯曲振动加速度的影响和大变形引起 的重力势能变化对弯曲振动的影响，提出了考虑大变形的深水顶张式立管弯曲 振动分析模型，并基于该模型建立了深水顶张式立管大变形弯曲振动的分析方 法。

图2是本发明采用的深水顶张式立管微元段力学模型，基于图2的动力分 析可以得到考虑大变形的深水顶张式立管弯曲振动微分方程：

$\mathrm{EI}\frac{{\partial }^{4}v}{\partial x^4}+\mathrm{EI}{\kappa }^2\frac{{\partial }^{2}v}{\partial x^2}-\frac{\partial }{\partial x}\left(T\frac{\partial v}{\partial x}\right)-\mathrm{mg}\frac{\partial v}{\partial x}+m\frac{{\partial }^{2}v}{\partial t^2}+c\frac{\partial v}{\partial t}=q---\left(2\right)$

$\mathrm{EI}\frac{{\partial }^{4}u}{\partial x^4}+(\mathrm{EI}{\kappa }^2-T)\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}-\frac{\partial T}{\partial x}\frac{\partial u}{\partial x}-m\frac{\kappa }{\left|\kappa \right|}\frac{{\partial }^{2}u}{{\partial t}^2}+c\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{\partial T}{\partial x}-\mathrm{mg}---\left(3\right)$

式中：v--立管水平方向弯曲振动位移；

      u--立管垂直方向弯曲振动位移；

      m--立管单位长度的质量；

      EI--立管截面弯曲刚度；

      c--立管单位长度的结构阻尼系数；

      T--立管张力；

      x-立管轴向坐标；

      t-时间；

      κ--立管的曲率；

      g-重力加速度；

      q--作用在立管上的流体荷载；

基于上述深水顶张式立管弯曲振动分析模型，按如下步骤计算深水顶张式 立管的大变形弯曲振动响应，如图4所示：

1)设定笛卡儿坐标系，设深水顶张式立管的顶点为坐标原点，x轴为垂直 方向坐标轴，y轴为水平方向坐标轴，如图3所示；

2)用有限元方法(公知技术)将上述深水顶张式立管弯曲振动分析模型的 方程离散后即可得到深水顶张式立管大变形弯曲振动的有限元方程：

$\left[M_y\right]\left\{\stackrel{..}{v}\right\}+\left[C_y\right]\left\{\stackrel{.}{v}\right\}+\left[K_y\right]\left\{v\right\}=\left\{F_y\right\}---\left(4\right)$

$\left[M_x\right]\left\{\stackrel{..}{u}\right\}+\left[C_x\right]\left\{\stackrel{.}{u}\right\}+\left[K_x\right]\left\{u\right\}=\left\{F_x\right\}---\left(5\right)$

其中，[M_y]--立管的横向质量矩阵；

$\left[M_y\right]=\underset{e=1}{\overset{n}{\Sigma }}m{\int }_0^l{\left[N\right]}^T\left[N\right]\mathrm{dx}---\left(6\right)$

[M_x]--立管的竖向惯性系数矩阵；

$\left[M_x\right]=-\underset{e=1}{\overset{n}{\Sigma }}m\frac{\kappa }{\left|\kappa \right|}{\int }_0^l{\left[N\right]}^T\left[N\right]\mathrm{dx}=-\frac{\kappa }{\left|\kappa \right|}\left[M_y\right]---\left(7\right)$

[K_y]--立管的横向刚度矩阵；

$\left[K_y\right]=\underset{e=1}{\overset{n}{\Sigma }}\left\{\mathrm{EI}{\int }_0^l{\left[N^{\prime \prime }\right]}^T\right[N^{\prime \prime }]\mathrm{dx}+(\mathrm{EI}{\kappa }^2-T){\int }_0^l{\left[N^{\prime }\right]}^T[N^{\prime }]\mathrm{dx}$(8)

$+(\frac{\partial T}{\partial x}+\mathrm{mg}){\int }_0^l{\left[N^{\prime }\right]}^T\left[N\right]\mathrm{dx}\}$

[K_x]--立管的竖向刚度矩阵；

$\left[K_y\right]=\underset{e=1}{\overset{n}{\Sigma }}\left\{\mathrm{EI}{\int }_0^l{\left[N^{\prime \prime }\right]}^T\right[N^{\prime \prime }]\mathrm{dx}+(\mathrm{EI}{\kappa }^2-T){\int }_0^l{\left[N^{\prime }\right]}^T[N^{\prime }]\mathrm{dx}$(9)

$+\frac{\partial T}{\partial x}-{\int }_0^l{\left[N^{\prime }\right]}^T\left[N\right]\mathrm{dx}\}$

[C_y]--立管横向阻尼矩阵；

[C_y]＝α[M_y]+β[K_y]             (10)

[C_x]--立管竖向阻尼矩阵；

[C_x]＝α[M_x]+β[K_x]             (11)

--立管横向加速度向量；

--立管横向速度向量；

{v}--立管横向位移向量；

{F_y}--立管横向荷载向量：

$\left\{F_y\right\}=\underset{e=1}{\overset{n}{\Sigma }}{\int }_0^l{\left[N\right]}_e^T\{q_y{\}}_e\mathrm{dx}---\left(12\right)$

{ü}--立管竖向加速度向量；

--立管竖向速度向量；

{u}--立管竖向位移向量；

{F_x}--立管竖向荷载向量：

$\left\{F_x\right\}=\underset{e=1}{\overset{n}{\Sigma }}{\int }_0^l{\left[N\right]}_e^T\{q_x{\}}_e\mathrm{dx}---\left(13\right)$

[N]--立管单元插值函数矩阵；

[N′]--立管单元插值函数矩阵对x的一阶导数；

[N＂]--立管单元插值函数矩阵对x的二阶导数；

{q_y}--立管横向荷载向量；

{q_x}--立管竖向荷载向量：

$\left\{q_x\right\}=\{\frac{\partial T}{\partial x}-\mathrm{mg}\}$

α，β--瑞雷祖尼系数；

x-立管轴向坐标；

κ--立管的曲率；

m-立管单位长度的质量；

g-重力加速度；

l--单元长度；

n--单元数量；

e--作累加运算的单元；

3)对立管进行单元划分(公知技术)；

单元划分可根据API RP 2RD规范推荐的方法划分，也可根据计算机的能力 和立管的长度进行偏于保守的划分，如1m长。

4)将划分后各单元的参数(包括单元长度和截面模量EI、EA)代入公式(6) ～(13)中的各矩阵和向量的公式计算所有单元的矩阵和向量；

5)采用时程积分法(公知技术)，如Newmark-β法或Wilson-θ法，求解 步骤2)中的方程(4)和(5)，即可得到深水顶张式立管的大变形弯曲振动响 应。

立管的质量矩阵和刚度矩阵是采用有限元方法计算得到的，其中的竖向惯 性力系数矩阵和两个方向的刚度矩阵与现有技术是不同的，是本发明提出的内 容，而阻尼矩阵则采用瑞雷阻尼矩阵(公知技术)，立管的横向荷载向量也是根 据流体动力学和波浪理论计算的，这些计算对于本领域的技术人员来说都属于 公知技术。

显然，本领域的技术人员可以对本发明进行各种改动和变型而不脱离本 发明的精神和范围。这样，倘若对本发明的这些修改和变型属于本发明权利 要求及其同等技术的范围之内，则本发明也意图包含这些改动和变型在内。