一种基于实测沉降数据计算预压土高度的方法

摘要

本发明公开了一种基于实测沉降数据计算预压土高度的方法，该方法建立于高木俊介方法计算地基平均固结度之上，各参数均通过实测沉降数据计算得到。计算时首先通过实测沉降数据来计算瞬时加荷条件下的地基固结度，然后通过瞬时加荷条件下的地基固结度运用最小二乘法来计算固结系数，最后根据高木俊介方法计算地基平均固结度的方法来进行预压高度的计算。本发明与现有确定预压高度的方法相比具有如下优点：各计算参数均通过实测沉降数据得到，更加接近工程实际；能根据各观测断面沉降数据进行该段落预压土高度计算，针对性强；同时可以通过MATLAB等软件编程计算，数据处理简便，便于推广应用。

说明书

技术领域

本发明涉及一种基于实测沉降数据计算预压土高度的方法。

背景技术

目前，对于预压高度以及预压时间的确定大多建立在室内试验的基础之上。由于试 验得出的土体参数跟实际差别较大，从而使计算结果与工程实际有比较大的偏差。因此， 充分利用现场实测数据，确定合理的软土地基路堤预压高度计算方法，对于合理安排工 期，保证工程质量具有重要意义。

发明内容

本发明所要解决的技术问题是提供一种基于实测沉降数据计算预压土高度的方 法，该基于实测沉降数据计算预压土高度的方法接近工程实际，针对性强。

为解决上述技术问题，本发明所采用的技术方案为：

一种基于实测沉降数据计算预压土高度的方法，包括以下步骤：

步骤1：计算固结系数；

步骤2：计算预压高度。

所述的步骤1包括以下步骤：

(1)：基于实测地基沉降数据，采用现有的沉降预测方法预测等载下的最终沉降量 S_∞等；

(2)：根据计算为对应于累计填土荷载的固结度；S_t为t时刻的 实测地基沉降数据；

(3)：按下式计算瞬时加荷条件下的固结度并绘制曲线：

当$t<T_2^0$时，$\bar{U}=\overline{U^{\prime }}\frac{{\Sigma }_{S_i}}{S_1};$

当$t>T_2^0$时，$\bar{U}=[\overline{U^{\prime }}-\underset{2}{\overset{n}{\Sigma }}{\bar{U}}_{(t-\frac{T_i^0+T_i^f}{2})}\frac{S_i}{{\mathrm{\Sigma S}}_i}]\frac{{\mathrm{\Sigma S}}_i}{S_1};$

式中，S_i为第i级荷载作用下相应的沉降量，∑S_i为第i级荷载作用之后的总沉降， 其中i为现场路基填筑级数；(当时，∑S_i即等于S₁；当时，∑S_i为各级 荷载下的沉降量之和，即代表所有荷载之下的总沉降。)计算加荷期间的固结度时，S_i改为ΔS_i，ΔS_i为对应于t的荷载ΔP_i作用下的相应沉降量；S₁为第1级荷载下的最终 沉降量；为第i级加荷的起始时间，为第i级加荷的终止时间；计算加荷期间的固 结度时，改为t；

(4)由曲线，并根据固结度理论公式计算固结系数C_V，式中H为 排水距离。

所述的步骤2包括以下步骤：

(1)用高木俊介方法计算地基的平均固结度

$\overline{U_t}=\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}\frac{q_n}{\mathrm{\Sigma \Delta }{p}_i}[(T_i^f-T_i^0)-\frac{\alpha }{\beta }{e}^{-\mathrm{\beta t}}(e^{\beta T_i^f}-e^{\beta T_i^0})]$式2.1；

式中H为排水距离，q_n为加荷速率，∑Δp_i为各级荷载累加值， ∑Δp_i＝ρg(∑h₁+Δh)，为第i级加荷的起始时间，为第i级加荷的终止时间，t为 时间，它指的是从路堤填筑开始至预压土卸载为止的整个时间段；

(2)再通过下式计算等载预压卸载后的沉降量S′_t：

式2.2

(3)计算预压土高度Δh：

填土荷载∑h_i+Δh对应的总沉降为

S_∞＝S_∞等·(∑h_i+Δh)/(∑h_i+0.95)             式2.3

其中0.95m为路面结构层等效为填土时的厚度，∑h_i+0.95为实际路面施工完后地基上 的荷载，即对应于S_∞等的荷载；

赋予Δh一个初值，将Δh代入式2.1计算并根据式2.2求S′_t，再根据式2.3 求出S_∞，S_∞-S′_t即为工后沉降；反复调整预压土高度Δh，直至工后沉降S_∞-S′_t在控制 标准范围或设计要求内(规范要求：对于高速公路，一般路段工后沉降不大于30cm， 涵洞、通道处不大于20cm，桥头不大于10cm。)，则此时的预压高度满足要求(取最接 近规范要求或设计要求的值)。

在实际施工时，以荷载等效为原则，将计算得到的预压土高度根据现场预压土压实 度进行换算。

采用直线拟合方法作为沉降预测方法。

通过最小二乘法计算固结系数C_V

本发明的有益效果：

本发明的基于实测沉降数据计算预压土高度的方法，建立于高木俊介方法计算地基 平均固结度之上，各参数均通过实测沉降数据计算得到。计算时首先通过实测沉降数据 来计算瞬时加荷条件下的地基固结度，然后通过瞬时加荷条件下的地基固结度运用最小 二乘法来计算固结系数，最后根据高木俊介方法计算地基平均固结度的方法来进行预压 高度的计算。本发明与现有确定预压高度的方法相比具有如下优点：各计算参数均通过 实测沉降数据得到，更加接近工程实际；能根据各观测断面沉降数据进行该段落预压土 高度计算，针对性强；同时可以通过MATLAB等软件编程计算，数据处理简便，便于推 广应用。

附图说明

图1为分级加荷下荷载P与实测沉降S过程线；

图2为分级加荷下平均固结度与时间t过程线；

图3为瞬时加荷下平均固结度与时间t过程线。

具体实施方式

以下结合附图对本发明作进一步说明。

1、固结系数计算

用高木俊介方法计算地基土平均固结度，首先必须计算出土体的固结系数。固结系 数我们根据实测沉降数据运用最小二乘法来计算，其基本步骤如下：

(1)通过实测沉降数据采用常用的沉降预测方法预测等载下的最终沉降量_S∞等

(2)按式(1.1)将实测的地基沉降与时间的关系曲线S_t-t化为曲线

式中，为对应于累计填土荷载∑P的固结度；S_t为对应于任一时刻t的地基沉降。

(3)按式(1.2)和式(1.3)将化为瞬时加荷条件下的固结度并绘曲线

当$t<T_2^0$时，$\bar{U}=\overline{U^{\prime }}\frac{{\Sigma }_{S_i}}{S_1}---\left(1.2\right)$

当$t>T_2^0$时，$\bar{U}=[\overline{U^{\prime }}-\underset{2}{\overset{n}{\Sigma }}{\bar{U}}_{(t-\frac{T_i^0+T_i^f}{2})}\frac{S_i}{{\mathrm{\Sigma S}}_i}]\frac{{\mathrm{\Sigma S}}_i}{S_1}---\left(1.3\right)$

式中，S_i为第i级荷载作用下的最终沉降量(cm)，计算加荷期间的固结度时，S_i变改 为ΔS_i，ΔS_i为对应于t时的荷载ΔP_i作用下的最终沉降量；S₁为第1级荷载下的最终 沉降量；为第i级加荷的起始时间；为第i级加荷的终止时间，计算加荷期间的固 结度时，应改为t。

(4)由曲线，并根据固结度理论公式通过最小二乘法运用MATLAB 编程计算固结系数C_V，式中H为排水距离。

最小二乘法计算固结系数C_V的具体算法如下：

计算：

$U_i=1-\frac{8}{{\pi }^2}{e}^{-\frac{\pi }{4}\frac{C}{H^2}{t}_i}---\left(1.4\right)$

令$E\left(C\right)={(U_1-U_1^0)}^2+{(U_2-U_2^0)}^2+···+{(U_n-U_n^0)}^2---\left(1.5\right)$

先根据室内试验得到土的固结系数作为初始估计C₀，然后采用迭代方法解决问题。 在循环计算中，所取固结系数C的每一步增量为δCⁱ(δCⁱ可试取C的十分之一)， E(Cⁱ+δCⁱ)值随之而逐渐变小，其中Cⁱ和δCⁱ分别表示C的第i步近似值和第i步增加 值。当E(C)值不断减小并稳定在一个给定的正常数时，迭代过程终止。

令$f_i\left(C\right)=C_i-C_i^0,$F(C)＝E(C)，则

$f_i\left(C\right)=U_i-U_i^0=1-\frac{8}{{\pi }^2}{e}^{-\frac{\pi }{4}\frac{C}{H^2}{t}_i}-U_i^0---(1.6)$

则上式可转化为

$F\left(C\right)=\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}{f}_i^2\left(C\right)---\left(1.7\right)$

由于f_i(C)是非线性函数，式(1.6)为非线性最小二乘法问题，解决该问题的基本 思想是，通过解一系列线性最小二乘法问题，推算出非线性最小二乘法问题的解。设C(k) 是解的第k次近似，在该点将函数f_i(C)线性化，如此可将原来的非线性问题转化为线 性最小二乘法问题来计算。并以此求出该函数极小值的所在点C_(k+1)，然后可将它作为 非线性最小二乘法问题的第k+1次近似。继而从C_(k+1)出发，迭代以上过程。

以下为迭代公式推导：

令

等式右侧是函数f_i(C)在点C_(k)展开的一阶泰勒多项式。

用φ(C)近似代替F(C)，即以φ(C)的极小值点作为目标函数F(C)的极小值估 计。下面求解线性最小二乘法问题：

minφ(C)

令$A=\left(\begin{array}{c}▿f_1{\left(C_{\left(k\right)}\right)}^T\\ .\\ .\\ .\\ ▿f_n{\left(C_{\left(k\right)}\right)}^T\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\frac{\partial f_1\left(C_{\left(k\right)}\right)}{\partial C}\\ .\\ .\\ .\\ \frac{{\partial f}_n\left(C_{\left(k\right)}\right)}{\partial C}\end{array}\right)---\left(1.10\right)$

$B=\left(\begin{array}{c}{▿f}_1{\left(C_{\left(k\right)}\right)}^T{C}_{\left(k\right)}-f_1\left(C_{\left(k\right)}\right)\\ .\\ .\\ .\\ {▿f}_n{\left(C_{\left(k\right)}\right)}^T{C}_{\left(k\right)}-f_n\left(C_{\left(k\right)}\right)\end{array}\right)={\mathrm{AC}}_{\left(k\right)}-f_{\left(k\right)}---\left(1.11\right)$

其中

$f_{\left(k\right)}=\left(\begin{array}{c}{f}_1\left(C_{\left(k\right)}\right)\\ f_2\left(C_{\left(k\right)}\right)\\ .\\ .\\ .\\ f_n\left(C_{\left(k\right)}\right)\end{array}\right)---\left(1.12\right)$

$\frac{{\partial f}_i\left(C_{\left(k\right)}\right)}{\partial C}=\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}\frac{{2t}_i}{{\mathrm{\pi H}}^2}\exp (-\frac{\pi {\mathrm{Ct}}_i}{{4H}^2})---\left(1.13\right)$

因此，式(1.9)可以表示为：

φ(C)＝(AC-B)^T(AC-B)

＝CA^TAC-2B^TAC+B^TB                     (1.14)

求φ(C)的稳定值所在点：

令$▿F\left(C\right)={2A}^T\mathrm{AC}-{2A}^{T}B=0---\left(1.15\right)$

将A和B代入式(1.15)，得到A^TAC＝A^T(AC_(k)-f_(k))

将等式右侧的A^TAC_(k)移项，得到

A^TA(C-C_(k))＝-A^Tf_(k)                       (1.16)

易知，上式为一个线性方程组，其中的常数项包含在点C_(k)处的函数值f_i(C_(k))及其 一阶偏导数中。如果矩阵A列满秩，则A^TA代表一个对称正定矩阵，从而存在逆矩阵 (A^TA)^-1，此时，根据方程(1.16)能够得到φ(C)的稳定值所在点：

C_(k+1)＝C_(k)-(A^TA)^-1A^Tf_(k)                   (1.17)

将D_(k+1)作为F(D)极小值点的第k+1次近似。

①给定初点C₍₁₎，t₁，C₁，U₁，允许误差ε＞0，令k＝1；

②将C₍₁₎代入式(1.4)，计算U₂；

③依据式(1.6)，计算依次循环，直到求出f_e(C₍₁₎)，进而得到 向量

$f_{\left(k\right)}=\left(\begin{array}{c}{f}_1\left(C_{\left(k\right)}\right)\\ f_2\left(C_{\left(k\right)}\right)\\ .\\ .\\ .\\ f_n\left(C_{\left(k\right)}\right)\end{array}\right),$

然后根据式(1.16)计算一阶偏导数i＝1，2，…，e，j＝1，2，得到e×1 矩阵A_k＝(a_ij)_e×1；

④解方程组(1.17)，即A^TA(C-C_(k))＝-A^Tf_(k)，求得C_(k+1)＝C_(k)-(A^TA_k)^-1A^Tf_(k)；

⑤若‖C_(k+1)-C_(k)||≤ε，则停止计算，得到解C*＝C_(k+1)，即获得最佳系数C_V；否则， 令k＝k+1，返回步骤②。

2预压高度计算

(1)用高木俊介方法计算地基的平均固结度。高木俊介方法计算平均固结度的公

式如下：

$\overline{U_t}=\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}\frac{q_n}{{\mathrm{\Sigma \Delta p}}_i}[(T_i^f-T_i^0)-\frac{\alpha }{\beta }{e}^{-\mathrm{\beta t}}(e^{\beta T_i^f}-e^{\beta T_i^0})]---\left(2.1\right)$

式中H为排水距离，q_n为加荷速率，∑Δp_i为各级荷载累加值， 为第i级加荷的起始时间，为第i级加荷的终止时间，t为时间，它指的是从路堤 填筑开始至预压土卸载为止的整个时间段。公式中各变量单位前后统一即可。

(2)算出以后，通过下式计算等载预压卸载后的沉降量S′_t：

(3)预压土高度计算。

取预压土高度为Δh，并假设填高与对应的总沉降成线性关系，则填土荷载 (∑h_i+Δh)对应的总沉降为

S_∞＝S_∞等·(∑h_i+Δh)/(∑h_i+0.95)        (2.3)

其中0.95m为路面结构层等效为填土时的厚度，(∑h_i+0.95)为实际路面施工完后地基 上的荷载，即对应于S_∞等的荷载。

将Δh代入式(2.1)计算并根据式(2.2)求S′_t，S_∞-S′_t即为工后沉降。反复 调整预压土高度Δh，直至工后沉降S_∞-S′_t在控制标准范围内(规范要求：对于高速公 路，一般路段工后沉降不大于30cm，涵洞、通道处不大于20cm，桥头不大于10cm。)， 并且与控制标准比较接近，则此时的预压高度满足要求。由于现场施工时的预压土压实 度标准低于正常路基压实度，因此，采用该方法计算得到的预压土高度在实际施工时还 应根据现场预压土压实度进行换算。

一个具体计算实例如下：

以某高速公路的一个断面现场实测数据为例说明预压土高度计算方法。该断面沉降 实测数据如下表所示。该断面处于路基地段，为塑料排水板处理，填土高度h＝4.771m， 软基深度H＝19m，预压时间为1年。

某高速公路K101+180填高-观测时间-沉降表

  填高(m)   0.378   0.768   0.784   0.784   1.363   1.363   1.363   1.946   天数(d)   3   9   11   14   44   79   98   117   沉降量(mm)   0   70   75   75   120   150   163   255   填高(m)   2.544   2.544   2.544   2.544   3.253   3.897   4.464   4.464   天数(d)   137   139   159   199   212   229   243   256   沉降量(mm)   308   310   326   354   435   518   592   621

(1)推算等载下最终沉降S_∞等

选择直线拟合方法，计算等载下最终沉降量为S_∞等＝k*(h+0.95)＝0.793m

(2)反算固结系数C_V

将表1中的填高-沉降-时间曲线按填土重度1.9kN/m³换算成荷载-沉降-时间关系， 并绘制曲线，如图1所示；按式(1.1)将实测的地基沉降与时间的关系曲线S_t-t化为 曲线，如下图2；并按式(1.2)和式(1.3)将化为瞬时加荷条件下的固结度并绘曲线，如图3。然后，根据固结度理论公式通过前文所述最 小二乘法运用MATLAB编程计算固结系数C_V  经循环反算，得固结系数为 C_v＝0.0511cm²/s。

(3)用高木俊介公式计算预压高度Δh

将固结系数C_V、排水深度H、预压天数t、每层填土高度h_i以及每层填土的加载 时间(T_i-T_i-1)代入公式(2.1)得：

$\overline{U_t}·{\mathrm{\Sigma \Delta p}}_i=\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}{q}_n[(T_i^f-T_i^0)-\frac{\alpha }{\beta }{e}^{-\mathrm{\beta t}}(e^{\beta T_i^f}-e^{\beta T_i^0})]=101.5---\left(2.4\right)$

若选择预压高度Δh(可先选1m)，则∑Δp_i＝ρg(∑h_i+Δh)，将其代入式(2.4)中， 可得固结度，

$\overline{U_t}=101.5/{\mathrm{\Sigma \Delta p}}_i---\left(2.5\right)$

为避免误差因素的影响，确保后期安全施工，选取工后沉降在0.08m以内，则应由

初选预压高度，代入式(2.3)中求S_∞，并与(2.5)一起代入式(2.6)中，反 复试算直至找到满足式(2.6)且最为接近0.08m对应的预压土高度，即为所求的预压 土高度Δh。采用此方法，求得K101+180预压高度值Δh＝1.9m。该预压土高度对应的路 基压实度为93％，由于预压土方的压实度一般控制在85％即为合格，因此，实际施工时 的预压土高度应对根据Δh进行压实度换算，则实际施工时的预压土高度为 Δh×0.93/0.85＝2.1m。