用于MCZ单晶炉的非对称勾形磁场的三维优化设计方法

摘要

本发明公开了一种用于MCZ单晶炉的非对称勾形磁场的三维优化设计方法，磁场结构参数优化设计首先利用ansys数值分析软件建立磁场的立体三维模型；改变模型参数，根据设定的磁场磁感应强度确定上部下部两组线圈之间的间距、线圈横向匝数及屏蔽体厚度；确定磁场上部线圈的纵向层数和下部线圈的纵向层数；线圈规格参数优化设计首先确立线圈的发热与线圈规格参数之间的关系，确立线圈铜壁传热与线圈的规格参数的关系，分析冷却水吸收的热量，建立系统的优化模型，用ansys软件对磁场线圈规格参数进行优化。本发明方法，从立体角度全方位直观刻画了磁场结构变化对磁场分布及强度变化的影响，减少了勾形磁场开发周期和实验成本，提高了磁场产生磁感应强度的效率。

说明书

技术领域

本发明属于单晶炉晶体生长技术领域，具体涉及一种用于MCZ单晶炉的非对称勾形磁场的三维优化设计方法。

背景技术

直拉(CZ)法是工业生产单晶硅的重要方法。一方面，随着晶体直径的增大，坩埚直径相应增大，加热功率也随之升高。大石英坩埚要比小石英坩埚承受更高的温度，熔体内的热对流加剧，石英坩埚和熔体硅的反应加剧，产生更多的SiO。而氧的浓度是决定硅片质量的重要因素之一，在晶体生长中过多的氧会引起位错环、氧沉淀等热诱生缺陷。另一方面，超大规模集成电路的发展对晶体质量提出了更严格的要求，如：减少单晶材料的缺陷和杂质含量，提高氧、碳等杂质以及掺杂剂在晶体中分布的均匀性。晶体中氧的浓度及均匀性与熔体的流动状态密切相关，在晶体生长设备中施加磁场是减少大直径单晶硅生长中熔体内强烈对流的有效方法。研究发现，纵向式磁场破坏了直拉生长系统原有的横向热对流的对称性，而横向式磁场却又破坏了直拉生长系统原有的轴向热对流的对称性，使单晶棒生长条纹变得严重，因此具有非均匀磁力线分布的勾形磁场是解决上述问题的有效方案。

一方面随着晶体生长的大尺寸化(直径Φ≥300mm)，导致炉体直径加大，磁场线圈距坩埚壁较远，在电流和磁场线圈结构一定的情况下，坩埚内壁磁场强度变小；另一方面，为了能够达到极大规模集成电路对晶体质量的要求，有效抑制熔体的对流，要求坩埚内壁的磁感应强度的径向分量应达到BrminGs以上，同时坩埚中满足径向分量Br≥BrminGs和轴向分量Bz≤BzmaxGs的区域越宽抑制熔体流动效果越好。增加线圈总匝数或增加流过线圈的电流都能在一定程度上增强磁感应强度。但增加线圈总匝数会受到单晶炉炉体高度的限制，增加线圈电流会导致磁场功耗的快速增加(磁场功耗与线圈总匝数呈一次线性增大关系，磁场功耗与线圈电流平方呈线性增大关系)，带来磁场冷却的困难。因此研究如何优化磁场结构以获得最佳的抑制对流效果、如何优化线圈规格参数以获得最小的磁场功率消耗是非常必要的。

由于单晶炉的加热器、熔体等不会影响磁力线的分布，对勾形磁场建模时通常仅考虑线圈、屏蔽体。同时勾形磁场以单晶炉的轴心为轴对称，目前主要采用有限元二维(2D)建模的方法对其进行优化设计，由于该方法是将平面某一点的磁场强度求出，并推广认为其它与该点处于同一高度且半径相同的点的磁场强度及方向均相同，不考虑磁场冷却水出口处屏蔽体开口对磁力线分布的影响，以简化约束条件。而实际上对于磁场强度较小且上下两组线圈对称的勾形磁场来说，屏蔽体开口对磁力线分布(特别是零高斯面以下熔体内磁力线的分布)的影响较小，二维建模方法是可行的。但对于高强度大直径上下两组线圈非对称(上组线圈匝数少、下组线圈匝数多)的勾形磁场，屏蔽体开口对磁力线分布(特别是零高斯面以下熔体内)的影响较大，开口一边的磁场泄漏比它的对边要大得多，因此该边的磁场强度径向分量Br和轴向分量Bz需要得到进一步的刻画，采用平面二维建模方法无法反映屏蔽体开口对磁力线分布的影响，因此不能判断开口一边的磁场分布是否能满足晶体生长需要。采用有限元三维(3D)建模方法能够对磁场的每个点进行分析，考虑了屏蔽体开口，可以直观分析勾形磁场结构变化对磁力线的分布及磁场强度的影响，使设计的勾形磁场更加符合大尺寸晶体生长的需要。

发明内容

本发明的目的是提供一种用于MCZ单晶炉的非对称勾形磁场的三维优化设计方法，考虑冷却水出口引起的屏蔽体开口，使模型能够与实际磁场更接近，从而优化磁场结构以获得高磁感应强度和满足大尺寸晶体生长需要的勾形磁场，同时优化线圈规格参数以降低磁场功率，解决了现有采用平面二维建模方法无法反映屏蔽体开口对磁力线分布的影响，因此不能判断开口一边的磁场分布是否能满足晶体生长需要的问题。

本发明所采用的技术方案是，一种用于MCZ单晶炉的非对称勾形磁场的三维优化设计方法，包括磁场结构参数优化设计和线圈规格参数优化设计，

磁场结构参数优化设计具体按照以下步骤实施：

步骤1：利用ansys数值分析软件建立磁场三维立体模型；

步骤2：改变步骤1得到的磁场三维立体模型参数，分析磁场磁感应强度随上部线圈和下部线圈之间的间距、线圈横向匝数及屏蔽体厚度变化的关系，根据设定的磁场磁感应强度确定上部线圈和下部线圈之间的间距、线圈横向匝数及屏蔽体厚度；同时在磁场功率一定的条件下，以磁感应强度在固液交接面处径向分量Br≥Brmin、轴向分量Bz≤Bzmax的公共区域最宽为优化目标，确定磁场上部线圈的纵向层数和下部线圈的纵向层数；

线圈规格参数优化设计具体按照以下步骤实施：

步骤1：

确立线圈发热w1与线圈截面积s的数学关系表达式：

$>w1=\frac{I^{2}l}{s}{\rho }_0(1+\mathrm{at}),$>

式中，I为通电电流，l为线圈的总长度，s为线圈截面积，ρ₀为0℃时的电阻率，a为电阻率温度系数，t为铜壁的实际温度；

确立线圈铜壁传热w2与特征尺寸de、流体的平均流速V、铜管壁与冷却水的温度差Δt的数学关系表达式：

$>w2=0.023\frac{\mathrm{\lambda A}}{\mathrm{de}}{\left(\frac{\mathrm{Vde}}{v}\right)}^{0.8}{\mathrm{Pr}}^{0.4}\mathrm{\Delta t},$>

式中，λ为水的热导率，de为特征尺寸，A为铜壁总的传热面积，V为流体的平均流速，v为流体的运动粘度，Pr为普朗特数，Δt为铜管壁与冷却水的温度差；

确立冷却水吸收的热量w3与冷却水路支路数n、冷却水流量q_m、水的比热容c、出口水的水温t2、进口水的水温t1之间的数学关系表达式：

w3＝q_mc(t2-t1)·n，

式中，q_m为冷却水流量，c为水的比热容，t2为出口水温，t1为进口水温，n为冷却水路支路数；

步骤2：由w1＝w2＝w3建立系统的优化模型，

目标函数为：$>\min \left(w1\right)=\frac{I^{2}l}{s}{\rho }_0(1+\mathrm{at}),$>

约束条件为：Δt+t2＜40，

hf＜20，

其中Δt+t2为铜管壁温度，hf为线圈沿程损失，用ansys软件对磁场线圈规格参数进行优化，得到线圈截面积s、特征尺寸de、流体的平均流速V、铜管壁与冷却水的温度差Δt、冷却水路支路数n、冷却水流量q_m、水的比热容c、出口水温t2、进口水温t1。

本发明的特点还在于，

其中的磁场结构参数优化设计步骤1中利用ansys数值分析软件建立磁场三维立体模型，具体按照以下步骤实施：首先定义磁场的相关参数；接着分配模型的单元属性和材料属性，磁场内部的薄层空气和磁场屏蔽体采用实体单元SOLID98划分，磁场外部的远场空气用INFIN47划分，而线圈则用微单元SOURCE36进行建模；然后对各区域划分网格，采用屏蔽体-空气层-远场的顺序进行网格划分，屏蔽体、远场采用映射网格划分，空气层采用自由映射网格划分；最后对模型加边界条件，采用标量势法中的微分标量势法进行求解分析。

其中的磁场结构参数优化设计步骤2中根据设定的磁场磁感应强度确定上部线圈和下部线圈之间的间距，依据磁感强度随线圈间距增加也不断增加，其增长率却随线圈间距增加而不断减小的原则选取上部线圈和下部线圈之间的间距。

其中的磁场结构参数优化设计步骤2中根据设定的磁场磁感应强度确定线圈横向匝数，具体按照以下步骤实施：在电流大小一定、磁场其它结构参数不变的情况下，改变磁场线圈横向匝数，计算单位安匝效率，依据效率越高越好的原则选取横向匝数，横向匝数为三或四的倍数。

其中的磁场结构参数优化设计步骤2中根据设定的磁场磁感应强度确定屏蔽体厚度，具体按照以下步骤实施：对模型仿真进行计算，取磁感应强度增加率由大变小的屏蔽体厚度作为优化值。

其中的磁场结构参数优化设计步骤2中确定磁场上部线圈的纵向层数和下部线圈的纵向层数，具体按照以下步骤实施：在功率一定的情况下，分别改变上部线圈纵向层数N₁、下部线圈纵向层数N₂及线圈电流I，计算各种情况下磁感应强度在固液交接面处径向分量Br≥Brmin同时轴向分量Bz≤Bzmax的公共区域宽度，选择公共区域最宽情况下的参数N₁、N₂和I，从而确定线圈的纵向层数为N₁*N₂。

本发明优化设计方法的有益效果是，根据大直径单晶炉的主炉室外径来确定磁场内径，在计算机上利用ansys数值分析工具软件对勾形磁场结构参数进行优化，以获得在坩埚内壁磁感应强度的径向分量应达到BrminGs以上，在坩埚内固液两相交界面下方径向分量Br≥BrminGs和轴向分量Bz≤BzmaxGs的区域尽量宽，且磁场功耗最小。利用该三维优化方法，从立体角度全方位直观刻画了磁场结构变化对磁场分布及强度变化的影响，考虑了屏蔽体开口对磁场强度及磁力线分布的影响，使设计的磁场更符合大尺寸晶体生长对磁力线分布的要求，减少了勾形磁场开发周期和实验成本，提高了磁场产生磁感应强度的效率。

附图说明

图1是本发明勾形磁场的三维立体模型图；

图2是本发明磁感应强度径向分量随屏蔽体厚度变化关系图；

图3是本发明磁感应强度径向分量随线圈间距变化关系图；

图4是本发明实施例中上下部线圈的层数为20*30，电流为1000A下磁场径向分量沿坩埚壁分布图；

图5是本发明实施例中上下部线圈的层数为20*30，电流为1000A下磁场轴向分量沿坩埚壁分布图；

图6是本发明实施例中上下部线圈的层数为20*32，电流为980A下磁场径向分量沿坩埚壁分布图；

图7是本发明实施例中上下部线圈的层数为20*32，电流为980A下磁场轴向分量沿坩埚壁分布图；

图8是本发明实施例中上下部线圈的层数为22*32，电流为960A下磁场径向分量沿坩埚壁分布图；

图9是本发明实施例中上下部线圈的层数为22*32，电流为960A下磁场轴向分量沿坩埚壁分布图；

图10是本发明实施例中上下部线圈的层数为20*34，电流为960A下磁场径向分量沿坩埚壁分布图；

图11是本发明实施例中上下部线圈的层数为20*34，电流为960A下磁场轴向分量沿坩埚壁分布图；

图12是本发明实施例中勾形磁场线圈载流通水截面示意图；

图13是本发明勾形磁场线圈载流通水接法示意图。

图中，1.磁场三维立体模型，2.绝缘层，3.通水层，4.载流层，5.进水口a，6.进水口b，7.进水口c，8.出水口a，9.出水口b，10.出水口c。

具体实施方式

下面结合附图和具体实施方式对本发明进行详细说明。

本发明用于MCZ单晶炉的非对称勾形磁场的三维优化设计方法，包括磁场结构参数优化设计和线圈规格参数优化设计两部分。

磁场结构参数优化设计主要是分析上下部线圈的层数不同时对磁感应强度的影响，以确定非对称勾形磁场的具体结构。优化的目标为：分析磁场沿坩埚内壁的轴向分量和径向分量分布，使得在固液交接面处径向分量Br≥BrminGs且轴向分量Bz≤BzmaxGs的区域最宽。

磁场结构参数优化设计具体按照以下步骤实施：

步骤1：利用ansys数值分析软件建立磁场三维立体模型1，如图1所示，具体按照以下步骤实施：首先定义磁场的相关参数；接着分配模型的单元属性和材料属性，磁场内部的薄层空气和磁场屏蔽体采用实体单元SOLID98划分，磁场外部的远场空气用INFIN47划分，而线圈则用微单元SOURCE36进行建模；尽管勾形磁场是以晶体生长轴为轴对称的结构，但在单晶炉体后立柱侧对圆柱屏蔽体进行了开口用于接线圈冷却水，因此需对整个磁场进行建模分析，而不能只对部分磁场进行三维建模分析来减少计算量，否则无法真实反映磁场分布；然后对各区域划分网格，采用屏蔽体-空气层-远场的顺序进行网格划分，屏蔽体、远场采用映射网格划分，空气层采用自由映射网格划分；最后对模型加边界条件，采用标量势法中的微分标量势法(DSP)进行求解分析。包括给远场外边界节点上施加磁标志，给模型边缘施加磁力线平行边界条件。电流载荷的加入用电流密度的形式表示，即单位面积流过的电流。

步骤2：改变模型参数，分析勾形磁场磁感应强度随上部下部两组线圈之间的间距、线圈横向匝数及屏蔽体厚度变化的关系。通过对模型仿真计算，发现磁感应强度随屏蔽体厚度增加而增大，但是其增长率随屏蔽体厚度增加而不断减小，通常取磁感应强度增加率由大变小的厚度值作为优化值，同时要考虑到单晶炉炉体高度限制和磁场自身重量限制等因素，磁感应强度径向分量随屏蔽体厚度变化关系如图2所示。磁感强度随线圈间距增加也不断增加，但是其增长率却随线圈间距增加而不断减小，同样受限于单晶炉炉体高度限制和磁场自身重量，取线圈间距为某一合理数值，磁感应强度径向分量随线圈间距变化关系如图3所示。磁场横向层数的优化选取需考虑综合磁场效率、磁场冷却水路的连接等问题。首先在电流大小一定、磁场其它结构参数不变的情况下，改变磁场线圈横向匝数，计算单位安匝效率，通常效率越高越好，但在线圈总匝数一定的情况下，横向层数越少，则纵向层数会越多，导致单晶炉的炉体高度增加，同时由于每组磁场线圈的冷却水路通常为三路或四路，故从生产工艺的角度考虑应选择横向匝数为三或四的倍数，冷却水接线示意图如图13所示。

分析在磁场功率(表示为w＝I²R(I为通电磁场线圈的电流，R为磁场线圈的电阻))一定的情况下，以磁感应强度在固液两相交接面处径向分量Br≥BrminGs同时轴向分量Bz≤BzmaxGs的公共区域最宽为优化目标，确定磁场上部和下部线圈的纵向层数。在功率一定的情况下，分别改变上下部线圈纵向层数N₁和N₂(匝数决定了磁场线圈的电阻R)及线圈电流I，计算各种情况下磁感应强度在固液交接面处径向分量Br≥BrminGs同时轴向分量Bz≤BzmaxGs的公共区域宽度，选择公共区域最宽情况下的参数N₁、N₂和I，从而确定线圈的纵向层数为N₁*N₂。

线圈规格参数优化设计具体按照以下步骤实施：

步骤1：

a.确立线圈的发热与线圈规格参数之间的关系，得到线圈发热w1与线圈截面积s(即载流面积)的数学表达式；

$>w1=\frac{I^{2}l}{s}{\rho }_0(1+\mathrm{at})---\left(1\right)$>

式中，I为通电电流，l为线圈的总长度，s为线圈截面积，ρ₀为0℃时的电阻率，a为电阻率温度系数，t为铜壁的实际温度(由于勾形磁场线圈进出口铜壁的温度是不等的，可以取进出口温度的均值，若进口水温为20℃，出口水温为40℃，则t可取为30℃)；l可由线圈的纵横向层数计算得到，故为已知量；线圈总匝数确定后，达到所要求磁感应强度的电流I也已知，而ρ₀，a为常数是已知的，所以w1仅与载流面积s相关。

b.确立线圈铜壁传热与线圈的规格参数的关系，得到铜壁传热w2与线圈冷却水管道截面面积的数学表达式：

$>w2=0.023\frac{\mathrm{\lambda A}}{\mathrm{de}}{\left(\frac{\mathrm{Vde}}{v}\right)}^{0.8}{\mathrm{Pr}}^{0.4}\mathrm{\Delta t}---\left(2\right)$>

式中，λ为水的热导率，de为特征尺寸，A为铜壁总的传热面积，V为流体的平均流速，v为流体的运动粘度，Pr为普朗特数，Δt为铜管壁与冷却水的温度差。其中，λ，v，Pr可通过查表而得到。而A又为de的函数，所以w2仅与de，V，和Δt相关。

c.确立冷却水吸收的热量w3与冷却水路支路数n、冷却水流量q_m、水的比热容c、出口水温t2、进口水温t1之间的数学关系表达式：

w3＝q_mc(t2-t1)·n    (3)

式中，q_m为冷却水流量，c为水的比热容，t2为出口水的水温，t1为进口水的水温，n为冷却水路支路数；

步骤2：由w1＝w2＝w3建立系统的优化模型，优化目标为：

$>\min \left(w1\right)=\frac{I^{2}l}{s}{\rho }_0(1+\mathrm{at})---\left(4\right)$>

约束条件为：Δt+t2＜40

hf＜20

其中Δt+t2为铜管壁温度，hf为线圈沿程损失。

借助于ansys软件实现步骤1中a-c步的优化算法，对磁场线圈规格参数进行优化。

实施例

以TDR-120单晶炉(主炉室外径为1320mm，28英寸坩埚内壁)为对象，设计一台在计算机上利用Ansys数值分析工具软件对勾形磁场结构和线圈规格参数进行优化，以获得在坩埚内壁(直径680mm)固液两相交界面以下磁感应强度的径向分量Brmin＝1200Gs，轴向分量Bzmax＝200Gs，且径向分量Br≥BrminGs和轴向分量Bz≤BzmaxGs的区域尽量宽，且磁场功耗最小。利用优化方法得到的参数制造了一台内径为1370mm，外径为1880mm，高度为1200mm的上下两组线圈非对称的勾形磁场。

非对称磁场结构参数优化设计分为以下几个步骤：

步骤1：根据主炉室外径1320mm确定勾形磁场内径为1370mm，先设定磁场上部线圈为20层，下部线圈为30层，线圈间距为220mm，屏蔽体为65mm，线圈为14*14mm，通水6*6mm，横向层数为12匝，利用ansys数值分析软件建立勾形磁场三维立体模型，如图1所示；

步骤2：分析磁场各结构参数变化对磁感应强度的影响。

(1)在电流大小一定、磁场其它结构参数不变的情况下，改变磁场线圈横向匝数，分析其对磁感应强度的影响，表1为不同横向匝数对磁感应强度的影响。从工艺以及磁场效率角度考虑可以选择横向匝数为12。

表1不同横向层数对磁场的影响

  横向层数  8  9  12  15  坩埚壁磁感强度(Gs)  1037.8  1123.9  1324.9  1478.8

  单位安匝效率  0.0025945  0.0024975  0.002206  0.00197

(2)在电流大小一定、磁场其它结构参数不变的情况下，改变磁场上下部线圈的间距，分析其对磁感应强度的影响，图2为线圈间距对磁感应强度的影响曲线。从曲线中可以看出上下部线圈间距的变化对坩埚壁径向磁感强度的影响较小，所以可以将线圈间距取的小一些，取为220mm。

(3)在电流大小一定、磁场线圈结构参数不变的情况下，改变磁场屏蔽体厚度，分析其对磁感应强度的影响，图3为屏蔽体厚度对磁感应强度的影响曲线。从曲线中可以看出，屏蔽体厚度在60～70mm时坩埚壁径向磁感强度增加40Gs为最大，所以选择磁屏蔽体厚度为65mm。

磁场的功率可以表示为w＝I²R(I为通电磁场线圈的电流，R为磁场线圈的电阻)，经仿真分析，当上下部线圈纵向层数为20*30时，坩埚壁处磁场径向分量达到1200Gs所需电流约为1000A。在功率相同的条件下，改变磁场上下部两组线圈的层数，分析当上下部线圈分别为20*30(电流1000)，20*32(电流980A)，22*32(电流960A)，20*34(电流960A)时坩埚壁处磁场径向分量大于1200Gs，径向分量小于200Gs的宽度范围。图4为上下部线圈为20*30，电流1000A下磁场径向分量沿坩埚壁分布图，横轴为磁场径向分量，纵轴为坩埚壁位置。图5为磁场轴向分量沿坩埚壁分布图。图6、图7分别为上下部线圈为20*32，电流980A下磁场径向分量和轴向分量沿坩埚壁分布图。图8、图9分别为上下部线圈为22*32，电流960A下磁场径向分量和轴向分量沿坩埚壁分布图。图10、图11分别为上下部线圈为20*34，电流960A下磁场径向分量和轴向分量沿坩埚壁分布图。表2为功率一定，磁场其它结构参数不变，改变磁场上下部线圈层数不同情况下的仿真结果。

表2不同纵向层数对磁场分布的影响

  电流  1000A  980A  960A  960A  上线圈  20  20  22  20 下线圈  30  32  32  34 Br≥1200Gs区域(m)  -0.112～0.064  -0.128～0.068  -0.138～0.087  -0.141～0.071 Bz≤200Gs区域(m)  0.032～0.076  0.04～0.084  0.024～0.068  0.045～0.092 公共区域(m)  0.032～0.064  0.04～0.068  0.024～0.068  0.045～0.071 公共区域宽度(mm)  32  28  44  26

可以看出当线圈的上下部层数取22*32时线圈，坩埚壁处磁场径向分量Br≥1200Gs和轴向分量Bz≤200Gs共有区域最大为44mm。所以可以确定磁场上下部线圈为22*32。

线圈规格参数优化设计步骤如下：

步骤1：

a.确立线圈的发热与线圈规格参数之间的关系。线圈截面如图12所示，在相同的激励电流和铜管一定的情况下，线圈的载流面积越大线圈的电阻就越小，线圈的发热就会越少，但是线圈的通水面积就减少，给线圈的散热带来问题。假定线圈产生的热量用W1表示，由电学基本定律可以得到：

$>w1=\frac{I^{2}l}{s}{\rho }_0(1+\mathrm{at})---\left(5\right)$>

式中，I为通电电流，l为线圈的总长度，s为载流部分的截面积，ρ₀是0℃时的电阻率，a是电阻率温度系数，t为铜壁的实际温度(由于勾形磁场线圈进出口铜壁的温度是不等的，可以取进出口温度的均值，若进口水温为20℃，出口水温为40℃，则t可取为30℃)；l可由线圈的纵横向层数计算得到，故为已知量；线圈总匝数确定后，达到所要求磁感应强度的电流I也已知(上下部线圈为20*30时取1000A)，而ρ₀，a为常数是已知的，所以w1仅与载流面积s相关。

b.确立线圈铜壁传热与线圈的规格参数的关系。根据热力学相关定律可以得到线圈铜壁传热w2与线圈规格参数之间的关系。其中怒赛尔数可以利用迪图斯-贝尔特(Dittus-Boelter)公式得到，从而推导出传热系数。则w2可以表示为：

$>w2=0.023\frac{\mathrm{\lambda A}}{\mathrm{de}}{\left(\frac{\mathrm{Vde}}{v}\right)}^{0.8}{\mathrm{Pr}}^{0.4}\mathrm{\Delta t}---\left(6\right)$>

式中，λ为水的热导率，de为特征尺寸，A为铜壁总的传热面积，V为流体的平均流速，v为流体的运动粘度，Pr为普朗特数，Δt为铜管壁与冷却水的温度差。其中，λ，v，Pr可通过查表而得到。而A又为de的函数，所以w2仅与de，V，和Δt相关。

c.分析冷却水吸收的热量，既冷却水带走的热量W3。

w3＝q_mc(t2-t1)·n    (7)

其中，q_m为冷却水的质量流量，c为水的比热容，t2为出口水温，t1为进口水温。其中n为线圈并联的冷却水路数。如图13为单个线圈载流和水路解法示意图，其中n为3。在这里n的取值问题要根据横向层数来确定，当Cusp线圈横向层数为12时，可以选择冷却水路为3路或者是4路，尽量将水路数取的少些，这样就会给线圈的安装减少难度。在这里可先取n为3。

d.建立系统的优化模型并考虑约束条件。铜管的传热为恒热流传热方式，在恒热流传热方式下，铜管的温度可以表示为Δt+t2，假设铜管可以承受的最大温度为40℃，同时忽略冷却水路的局部损失，沿程阻力系数λ用勃拉修斯公式进行计算，则沿程损失表示为：

$>h_f=\lambda \frac{l}{d}\frac{v^2}{2g}---\left(8\right)$>

步骤2：设计时取冷却水管道的水头损失小于20m，由(6)-(9)式，以及平衡关系式w1＝w2＝w3可建立如下模型：

目标函数为：$>\min \left(w1\right)=\frac{I^{2}l}{s}{\rho }_0(1+\mathrm{at})---\left(9\right)$>

约束条件为：Δt+t2＜40，

hf＜20

借助于ansys软件，编写优化算法，以w1作为目标函数，冷却水管道截面的边长为设计变量，将铜管壁温度做为状态变量，使得其小于40即可，同时限定水管压强在0.2Mpa(此时对应水头损失为20m)以内。经过优化分析，线圈截面为14mm*14mm，冷却水路为3路时，铜壁温度为44℃，偏高。把水路改为4路，经过优化分析最优的通水截面边长为5.13mm，此时铜壁的温度为38℃，冷却水流速为1.45m/s，水头损失为19.5m满足约束条件。最后选定线圈铜管为边长14mm方管，铜管中心通水方管边长为5mm，单个线圈的功率可以降至13.2kw，提高冷却水流速，降低铜管温度，可进一步降低功率。以此得到最优的线圈规格参数。