一种永磁偏置混合磁轴承电流刚度和位移刚度确定方法

摘要

一种永磁偏置混合磁轴承电流刚度和位移刚度确定方法，根据磁悬浮转子的简谐运动动力学方程，建立电流刚度和位移刚度、控制器比例增益、磁悬浮转子简谐运动振荡频率之间的关系，通过调节控制器比例增益，得到关于控制器增益与磁悬浮转子简谐运动振荡频率的相关数据，通过拟合一元线性回归方程的系数，确定磁悬浮转子的电流刚度和位移刚度。本发明简单实用，可应用于磁悬浮转子控制系统的分析设计。

说明书

技术领域

本发明涉及一种永磁偏置混合磁轴承电流刚度和位移刚度确定方法，可以用于磁悬浮转子控制系统的分析与设计。

背景技术

磁轴承是继滑动轴承、滚动轴承和静压轴承之后发展起来的一种理想的新型轴承，具有无接触、无磨损、高速等优点。磁轴承按照磁力提供方式，可分为永磁磁轴承、主动磁轴承和永磁偏置混合磁轴承。永磁磁轴承的主要缺点是刚度低、不可控，主动磁轴承的主要缺点是体积、功耗大，而永磁偏置混合磁轴承利用永磁体取代主动磁轴承中由励磁电流产生的静态偏置磁场，具有降低功率放大器的损耗，减少电磁铁的安匝数，缩小磁轴承的体积和重量，提高轴承承载能力等优点，应用领域日益广泛，如航天器姿态控制执行机构、高速机床、汽轮发动机、空气压缩机等领域。

由于永磁偏置混合磁轴承系统本质是一个开环不稳定系统，所以需要设计闭环控制器对系统进行调节。控制器设计过程中一个重要的环节就是需要确定系统模型。为了确保系统稳定运行，必然要考虑轴承的力一电流特性和力一位移特性，以便对其承载能力的动态性能进行预测，进而使控制器能精确地反馈信号，维持磁轴承系统的正常工作。

在永磁偏置混合磁轴承控制系统的设计计算中，线性控制理论是一种成熟的设计方法，目前常用的线性化方法是在磁悬浮转子的平衡点附近对系统的力学方程进行线性简化，从而进行控制系统设计。其中，电流刚度和位移刚度是线性模型中的两个参数，也是永磁偏置混合磁轴承控制过程中的两个重要参数。因此电流刚度和位移刚度的参数准确性直接影响到所设计的控制器的性能。

目前有关电流刚度和位移刚度的确定方法主要有两类，一是理论计算法，如在中国专利“ZL200710120705.7”公开的“一种基于涡流效应的磁轴承动态电流刚度确定方法”，这种方法通过利用磁轴承设计参数对电流刚度和位移刚度进行计算，并考虑了涡流效应的影响，但忽视了磁轴承之间磁路耦合、漏磁等影响，不能反映磁轴承控制系统正常工作时的系统特性；二是试验法，通过在磁轴承内安装测力传感器，改变电流大小和转子的在间隙中的位置，测量电磁力的大小，获得电流刚度和位移刚度参数值，这种方法虽然具有物理意义简单明确、精度较高等优点，但受限于机械尺寸大小、安装困难等因素的影响，无法在现有的磁轴承中安装。

发明内容

本发明解决的技术问题是：克服现有磁轴承电流刚度和位移刚度确定方法的不足，提出一种面向控制的永磁偏置混合磁轴承电流刚度和位移刚度确定方法，可简便、有效地用于控制系统的分析与设计。

本发明的技术解决方案是：一种永磁偏置混合磁轴承电流刚度和位移刚度确定方法，包括以下步骤：

(1)建立磁悬浮转子的简谐运动动力学方程，进行相似变换，得到简化的简谐运动动力学方程；

(2)进行拉普拉斯变化，得到磁悬浮转子简谐运动的振荡频率的平方项与控制器比例增益的关系表达式；

(3)进行悬浮实验，采用比例微分控制，单自由度稳定悬浮磁悬浮转子，逐渐减少控制器的微分系数，直至磁悬浮转子出现持续、稳定的振荡，记录控制器比例增益和简谐运动振荡频率；

(4)改变控制器比例增益，重复步骤(3)，测量多组数据，通过拟合，得到以控制器比例增益为自变量，振荡频率的平方项为因变量的一元线性回归方程为，根据步骤(2)中磁悬浮转子简谐运动的振荡频率的平方项与控制器比例增益的关系表达式，得到永磁偏置混合磁轴承的位移刚度和电流刚度。

本发明的原理是：首先建立磁悬浮转子的简谐运动动力学方程：

$(J_{\mathrm{rr}}+m{l}_p)\stackrel{..}{\alpha }+k_h{(l_p+l_m)}^2\sin \alpha +k_p{k}_i{k}_s(l_p+l_s)\sin \alpha -\mathrm{mg}{l}_p\sin \alpha =0---\left(1\right)$

其中J_rr是磁悬浮转子的径向的转动惯量，m为磁悬浮转子质量，g为重力加速度常数，α为磁悬浮转子径向转动角位移，l_p为保护轴承中心到磁悬浮转子中心的垂直距离，l_m为永磁偏置混合磁轴承中心到磁悬浮转子中心的垂直距离，l_s为位移传感器中心到磁悬浮转子中心的垂直距离，k_s为位移传感器增益，k_i永磁偏置混合磁轴承电流刚度，k_h为永磁偏置混合磁轴承位移刚度，k_p为控制器比例增益；由于保护间隙小，最大径向角位移α不超过3″，可令sinα等于α，将式(1)中sinα用α代替，可得到简化的简谐运动动力学方程：

$(J_{\mathrm{rr}}+m{l}_p^2)\stackrel{..}{\alpha }+k_h{(l_p+l_m)}^2\alpha +k_p{k}_i{k}_s(l_p+l_s)\alpha -\mathrm{mg}{l}_p\alpha =0---\left(2\right)$

对(2)式进行拉普拉斯变化，可得

$(J_{\mathrm{rr}}+m{l}_p^2)s^2+k_h{(l_p+l_m)}^2+k_p{k}_i{k}_s(l_p+l_s)-\mathrm{mg}{l}_p=0---\left(3\right)$

其中s为拉普拉斯算子，令s＝jw，可得到磁悬浮转子简谐运动的振荡频率w的平方项w²与控制器比例增益k_p的关系表达式为

$w^2=k_p\frac{k_i·k_s(l_p+l_s)}{(J_{\mathrm{rr}}+m{l}_p^2)}+\frac{k_h{(l_p+l_m)}^2-\mathrm{mg}{l}_p}{(J_{\mathrm{rr}}+m{l}_p^2)}---\left(4\right)$

进行简谐运动实验，采用比例微分控制，单自由度稳定悬浮磁悬浮转子，逐渐减少控制器的微分系数，直至磁悬浮转子出现持续、稳定的振荡，记录此时的控制器比例增益和简谐运动振荡频率；改变控制器比例增益，重复以上步骤，测量多组数据，利用最小二乘法，得到以k_p为自变量，w²为因变量的一元线性回归方程为：

w²＝K·k_p+C                     (5)

其中K为一元线性回归方程的斜率，C为一元线性回归方程的截距。

利用最小二乘法，求取K和C的过程如下，记二元函数

$Q(a,b)=\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}{[w_{\left(i\right)}^2-(K·k_{p\left(i\right)}+C)]}^2---\left(6\right)$

其中n表示测量次数，k_p(i)，分别表示第i次测量所得的控制器比例增益和简谐运动振荡频率，则求解K和C的问题可转换为求Q(a，b)的最小值点，即满足Q(a，b)的梯度的点，据此，(K，C)应满足下面的方程组

$\left(\begin{array}{c}\frac{\partial Q}{\partial K}=0\\ \frac{\partial Q}{\partial C}=0\end{array}\right)\Rightarrow \left(\begin{array}{c}\left(\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}{k}_{p\left(i\right)}^0\right)C+\left(\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}{k}_{p\left(i\right)}\right)K=\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}{w}_{\left(i\right)}^2\\ \left(\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}{k}_{p\left(i\right)}\right)C+\left(\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}{k}_{p\left(i\right)}^2\right)K=\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}{k}_{p\left(i\right)}{w}_{\left(i\right)}^2\end{array}\right)---\left(7\right)$

记n维向量上式可表示为正则方程组的形式

求解这个方程，即可得到K值和C值。

根据式(4)和式(5)所列的w²与k_p的关系表达式，代入K值和C值，可得永磁偏置混合磁轴承的电流刚度k_i和位移刚度k_h为：

$\left(\begin{array}{c}{k}_i=\frac{K(J_{\mathrm{rr}}+m{l}_p^2)}{k_s(l_p+l_s)}\\ k_h=\frac{C(J_{\mathrm{rr}}+m{l}_p^2)-\mathrm{mg}{l}_p}{{(l_p+l_m)}^2}\end{array}\right)---\left(8\right)$

本发明与现有技术的优点在于：

(1)相比理论计算法，本发明是在磁轴承控制系统正常工作状态下进行的，磁悬浮转子在间隙中的位置、磁轴承线圈电流都是动态变化的，所以得到电流刚度和位移刚度的参数值可更有效地用于控制系统的分析与设计。

(2)相比试验法，本发明所采用的方法不受磁轴承机械尺寸、安装位置影响，不需要其它辅助设备，利用已有的磁轴承硬件及其控制系统，就可完成电流刚度和位移刚度参数的确定。

附图说明

图1为本发明采用的磁悬浮转子及控制系统示意图；

图2为本发明的实现流程图；

图3为本发明中磁悬浮转子简谐运动时Ax方向上位移振荡的示波器采集图；

图4为本发明中的控制器比例增益k_p和振荡频率的平方项w²的测量值及其一元线性回归拟合曲线。

具体实施方案

如图1所示，永磁偏置混合磁轴承控制系统由永磁偏置混合磁轴承、功放、磁悬浮转子、位移传感器和控制器组成。位移传感器检测出电磁铁转子偏离参考点的位移，控制器根据此位移偏差计算出控制信号，然后功放将控制信号转换为控制电流，驱动电磁铁产生适当的电磁力，使磁悬浮转子悬浮在给定位置上。由于保护轴承与永磁偏置混合磁轴承相比，位置更靠近磁悬浮转子，所以在未悬浮时，磁悬浮转子支承在保护轴承之上，防止永磁偏置混合磁轴承与磁悬浮转子接触而受到损伤。

本实例中永磁偏置混合磁轴承及磁悬浮转子的参数如下，转子极转动惯量J_rr为0.0159kgm²，转子质量m为4.74kg，磁轴承中心到转子质心的距离l_m为48.92mm，保护轴承到转子质心的距离l_p为79.54mm，位移传感器到转子质心的距离l_s为77.61mm，重力加速度常数g为9.8m/s²，保护轴承的保护间隙s_p为0.22mm。

本发明的流程图如图2所示，一种面向控制的永磁偏置混合磁轴承电流刚度和位移刚度确定方法，首先根据磁悬浮转子的简谐振动动力学方程，得到振荡频率的平方项w²与控制器比例增益k_p的关系式；再对磁悬浮转子稳定悬浮，逐减微分系数，直至产生简谐振动，记录k_p和w，改变控制器的比例增益k_p，测量相应的振荡频率w，通过拟合，得到以k_p为自变量，w²为因变量的一元线性回归方程；最后根据线性回归方程系数，获得永磁偏置混合磁轴承的位移刚度和电流刚度。

实验过程如下：

(1)上端A端磁悬浮转子工作，B端电磁铁不工作而落在保护轴承上，磁悬浮转子方向垂直于地面。利用磁轴承控制系统，采用比例微分控制，单自由度稳定悬浮磁悬浮转子。

(2)固定控制器的比例增益k_p＝2.5，然后逐渐减少控制器的微分系数，直至磁悬浮转子出现持续、稳定的振荡，形成简谐运动，磁悬浮转子在Ax方向上的位移振荡的示波器采集图如图3所示。

(3)利用示波器的Math功能，对磁悬浮转子的位移信号进行快速傅里叶变换(FFT)，读取频谱信号的XatMax(M)值，即得到简谐运动振荡频率w，进而得到其平方项w²；然后，递加控制器比例增益，按照上述方法，分别测量k_p为3.5，3.6，3.7，3.8，3.9，4，4.1，4.2，4.3，4.4，4.5，4.6，4.7，4.8，4.9，5时简谐运动振荡频率w及其平方项w²，上述数据经整理列表如下：

  测量次数  k_p  w  w²  1  3.5  30.2  912.04  2  3.7  33.9  1149.21  3  3.9  35.6  1267.36

  4  4.1  37.7  1421.29  5  4.3  40.5  1640.25  6  4.5  43.1  1857.61  7  4.7  45.0  2025  8  4.9  47.9  2294.41

(4)根据这8组测量数据，利用最小二乘法，得到以k_p为自变量，w²为因变量一元线性回归拟合曲线

w²＝K·k_p+C

求取上式的一元线性回归方程的斜率K和截距C的过程如下，记二元函数

$Q(a,b)=\underset{i=1}{\overset{8}{\Sigma }}{[w_{\left(i\right)}^2-(K·k_{p\left(i\right)}+C)]}^2$

其中n表示测量次数，k_p(i)，分别表示第i次测量所得的控制器比例增益和简谐运动振荡频率，则求解K和C的问题可转换为求Q(a，b)的最小值点，即满足Q(a，b)的梯度的点，据此，(K，C)应满足下面的方程组

$\left(\begin{array}{c}\frac{\partial Q}{\partial K}=0\\ \frac{\partial Q}{\partial C}=0\end{array}\right)\Rightarrow \left(\begin{array}{c}\left(\underset{i=1}{\overset{8}{\Sigma }}{k}_{p\left(i\right)}^0\right)C+\left(\underset{i=1}{\overset{8}{\Sigma }}{k}_{p\left(i\right)}\right)K=\underset{i=1}{\overset{8}{\Sigma }}{w}_{\left(i\right)}^2\\ \left(\underset{i=1}{\overset{8}{\Sigma }}{k}_{p\left(i\right)}\right)C+\left(\underset{i=1}{\overset{8}{\Sigma }}{k}_{p\left(i\right)}^2\right)K=\underset{i=1}{\overset{8}{\Sigma }}{k}_{p\left(i\right)}{w}_{\left(i\right)}^2\end{array}\right)$

记8维向量上式可表示为正则方程组的形式

根据上式，可得一元线性回归方程的斜率K为955.1，截距C为-2440.4。本实例中k_p和w²的测量值及其一元线性回归拟合曲线如图4所示。

(5)将得到的K值和C值以及已知的永磁偏置混合磁轴承及磁悬浮转子的参数代入下式

$\left(\begin{array}{c}{k}_i=\frac{K(J_{\mathrm{rr}}+m{l}_p^2)}{k_s(l_p+l_s)}\\ k_h=\frac{C(J_{\mathrm{rr}}+m{l}_p^2)-\mathrm{mg}{l}_p}{{(l_p+l_m)}^2}\end{array}\right)$

因而可得本实例中永磁偏置混合磁轴承电流刚度k_i和位移刚度k_h为

$\left(\begin{array}{c}{k}_i=247N/A\\ k_h=-5.932\times {10}^{5}N/m\end{array}\right)$

本发明说明书中未作详细描述的内容属于本领域专业技术人员公知的现有技术。