一种基于球面规划的永磁球形电动机定子绕组通电方法

摘要

本发明属于永磁球形电动机电流控制的技术领域，涉及一种基于球面规划的永磁球形电动机定子绕组通电方法，首先提出了针对3层54个定子绕组的永磁球形电动机的静态转矩模型，然后，根据定子绕组的分布对球面区域进行了规划，划分出72个球面子区域，用以对检测出来的转子位置状态进行归类。对各个子区域中的定子绕组进行标号，设计出了不同状态下定子绕组的通电规则，在各种状态下，54个定子绕组都有18个同时通电。根据永磁球形电动机动力学控制中的期望转矩和永磁球形电动机的静态转矩模型，求解出了18个定子绕组所通的电流值。应用本发明的通电策略，便于对永磁球形电动机进行分辨率较高的连续控制，能够实现各种复杂的连续轨迹跟踪。

说明书

技术领域：

本发明属于永磁球形电动机电流控制的技术领域，涉及一种基于静态转矩模型和球面子区域划分的通电策略。

背景技术

在现代航天、军事、化工、工业自动化和智能机器人等的研究和应用领域，都越来越多地需要实现多自由度运动。永磁球形电动机具有体积小，重量轻，力能指标高等的突出优点，能够实现三自由度的运动，可以应用于机器人关节等做空间多自由度运动的精密装置中。

其转子能够实现自转、俯仰和偏航三个自由度的运动，控制定子绕组的通电顺序和通电大小，即通过一定的通电策略，就可以使永磁球形电动机实现三自由度运动的合成。然而，由于永磁球形电动机的绕组分布和运动控制较传统的单自由度电动机复杂，其通电策略也十分复杂。定子绕组通电策略的研究成为永磁球形电动机控制问题研究中的难点和关键。

目前，有几种永磁球形电动机的实现方案，其中，美国霍普金斯大学提出了一种定子绕组位于定子球面下半球的永磁球形电动机结构，共有16个定子绕组。本发明是针对一种3层定子绕组结构的永磁球形电动机，该电动机定子的3层绕组每层分别沿定子球面上北纬22.5°纬线圈、赤道和南纬22.5°纬线圈分布，每层18个绕组，每层相邻绕组之间相隔20°经度，于是，本发明所涉及的永磁球形电动机共有54个定子绕组。本发明中的永磁球形电动机转子球上嵌有6个永磁体，沿转子赤道呈N、S极交替分布；转子磁极采用平行充磁的方法进行充磁。通电方法的研究是永磁球形电动机控制问题研究的难点和关键。合肥工业大学王群京等人提出了一种基于美国霍普金斯大学提出的永磁球形电动机结构的通电方法。

发明内容

本发明的目的在于提供一种定子绕组通电策略，能够使得永磁球形电动机转子在可控范围内实现各种指定的三自由度运动。

为此，本发明采用如下技术方案：

一种基于球面规划的永磁球形电动机定子绕组通电方法，适用于下述类型的电动机：定子的3层绕组每层分别沿定子球面上北纬22.5°纬线圈、赤道和南纬22.5°纬线圈分布，每层18个绕组，每层相邻绕组之间相隔20°经度，定子线圈没有安装铁心，按照如下步骤实现定子绕组通电：

第一步：根据永磁球形电动机动力学模型，设计永磁球形电动机的动力学控制方案，得到动力学控制系统中的期望转矩表达式，继而得到在控制过程中每个时刻的期望转矩值；

第二步：用有限元方法或解析法得到永磁球形电动机的静态转矩模型；

第三步：定子绕组的编号和四类子区域的划分：设定子球面和转子球面均为单位球面，定义附着在定子和转子上的球坐标系分别为定球坐标系和动球坐标系，把某点在上述两个坐标系中的球面坐标值记为转子表面上经纬度均为零的点设为点S，根据点S位置的不同，确定相应的通电绕组及其所通的电流，对于定子球面上北纬22.5°和南纬22.5°纬线圈之间的环形球面区域进行球面规划，划分为I、II、III、IV四类共72个子区域，每个子区域都是每个子区域都是类似于球面三角形的区域，且在平面展开图中，各个子区域都是相似三角形，每个子区域的三个角上分别有一个定子绕组，称子区域三个角上的三个定子绕组位于该子区域内，每类子区域沿转子经度角编号，每类各有18个子区域，每个子区域的解析表达式如下，

定子球面上I类子区域内的点满足如下关系：

定子球面上II类子区域内的点满足如下关系：

定子球面上III类子区域内的点满足如下关系：

定子球面上IV类子区域内的点满足如下关系：

第四步：对各个子区域内的定子绕组进行标号。将球面子区域的平面展开图看作相似三角形，则每个相似三角形的相似角处的定子绕组具有相同的区域内标号(1，2，3)，定义在定子球面上，经度角相差180度，纬度角为相反数的一对绕组成为球面对角绕组，成球面对角的一对绕组具有同样的区域内标号。

第五步：对转子的位置进行实时检测，根据点S的实时位置确定通电绕组所在子区域，确定该子区域和与该子区域在定子球面上分别沿正经度方向相距60度和120度的3个子区域内的9个绕组，以及这9个绕组的球面对角绕组，共18个绕组为此时刻拟通电的定子绕组。

第六步：根据已确定的通电定子绕组中特定的9个绕组与点S的相对位置，以及由第二步得到的静态转矩模型，得出3×9的静态转矩矩阵，点S对应静态转矩模型中的原点，在静态转矩模型中，经度角的取值范围为[0，360)；取上述9个绕组和点S在定球坐标系中的经纬度作差，经度角之差如果小于零，则使经度角之差加上360，然后，将上述9个经纬度差作为静态转矩模型中的坐标位置点调用其中的静态转矩值，上述9个绕组对应在静态转矩模型的9个位置点处的三个自由度的静态转矩值可以组成静态转矩矩阵T_n∈R^3×9，静态转矩矩阵中的9个列向量是按照上述9个绕组所在子区域及其在子区域中的标号顺序进行排列的；

第七步：将第六步得到的静态转矩矩阵T_n∈R^3×9左乘初定电流向量I∈R^9×1等于第一步得到的期望转矩向量T∈R^3×1，通过求解静态转矩矩阵的伪逆矩阵T_n⁺∈R^9×3，求得初定电流向量I∈R^9×1；

第八步：对由第七步求得的初定电流向量I进行分配：将I/2中的9个分量分别分配给第六步中确定的9个绕组，将-I/2中的9个分量分别分配给前述与9个绕组分别相对应的球面对角绕组。

本发明的有益效果在于：

1.本发明采用球面规划的思想划分子区域，划分方法比较简单，划分的子区域容易解析表达和归类，且直观性好，易于实现。

2.本发明基于永磁球形电动机的静态转矩模型，此静态转矩模型由大量的数据点组成，具有较高的分辨率，当点S位于前述球面环形区域内相同分辨率的任意点处时都有对应的静态转矩值。因此，应用本发明涉及的通电策略，便于对永磁球形电动机进行分辨率较高的连续控制，能够使其在通电策略适用范围内实现各种复杂的连续轨迹跟踪。

3.根据本发明所涉及的通电策略对永磁球形电动机定子绕组通电时，通电定子绕组的分布较为均匀，有利于形成平稳的力矩，对于永磁球形电动机的稳定控制具有重要意义。

4.本发明所涉及的通电策略在已有的3层定子绕组和3对转子磁极结构下最大限度地提高了定子绕组的利用率，每时刻均有18个定子绕组同时通电。这样，每个定子绕组不用通太大的电流就能够保证总转矩达到期望转矩的要求，以完成永磁球形电动机的运行要求。仿真表明，在进行复杂的三自由度运动时，采用此通电策略时的定子电流适中，易于在硬件上得以实现。

附图说明：

图1转子的三自由度运动示意图，(a)、(b)、(c)分别示意自转、俯仰和偏航三个自由度。

图2计算力矩法控制框图。

图3永磁球形电动机有限元模型和转子磁场分布。

图4气隙长度为2mm时静态转矩空间分布图。

图5固定纬度角θ时静态转矩沿经度角的分布图。

图6转矩值与安匝数的关系。

图7定子绕组编号及球面子区域示意图。

图8球面子区域平面展开图。

图9子区域绕组标号图。

图10通电区域沿θ方向分布示意图。

图11章动运动中各个轴的轨迹跟踪情况。

图12章动运动中点S在定球坐标系中经纬度的变化。

图13章动运动中定子绕组通电情况。

图14点S在不同频率的章动运动中的空间轨迹跟踪。

图15各轴的阶跃响应。

图16阶跃响应时点S在定球坐标系中的经纬度变化情况。

图17给定为阶跃信号时定子绕组通电情况。

图18给定为阶跃信号时所有定子绕组的通电情况。

具体实施方式

下面首先介绍一种永磁球形电动机定子绕组通电策略的实现步骤：

第一步：根据永磁球形电动机动力学模型，设计永磁球形电动机的动力学控制方案。由此可以得到动力学控制系统中的期望转矩表达式。根据这个表达式，能够得到在控制过程中每个时刻的期望转矩值。某时刻的三个自由度的期望转矩值可以组成维数为3×1的期望转矩向量T。

第二步：用有限元方法得到永磁球形电动机的静态转矩模型，包括自转、俯仰和偏航三个自由度。在该有限元模型中，转子磁极采用6个永磁体，呈N、S极交替排列的方式沿转子球面的赤道排列。定子绕组和转子磁极之间的气隙长度定位2mm。定子绕组没有安装铁心，因此，磁饱和效应可以忽略，电流安匝数和转矩大小成正比。这是本发明中对电流向量进行线性方程组求解的前提。此静态转矩模型的数据精度即分辨率在精度和纬度方向上都是1度，此数据精度决定了永磁球形电动机通电策略的精度。如果要提高通电策略的精度，可以按照需要的精度对本静态转矩模型进行插值，得到新的静态转矩模型，以满足精度要求。

第三步：定子绕组的编号和四类子区域的划分。要研究3层共54个定子绕组的实时通电情况，必然要对定子绕组进行编号。要实现永磁球形电动机的控制，就要首先对转子的位置进行实时检测。设定子球面和转子球面的半径都是单位1，即忽略气隙长度。定义附着在定子和转子上的球坐标系分别为定球坐标系和动球坐标系。转子表面上经纬度均为零的点设为点S，本发明根据点S位置的不同，确定相应的通电绕组及其所通的电流。定子绕组位置点分布在定子球面上北纬22.5°和南纬22.5°纬线圈之间的环形球面区域内，对这个环形球面区域进行球面规划，划分为I、II、III、IV四类共72个子区域，并给出每个子区域的解析表达式。每个子区域都是一个类似球面三角形的区域，三个角上分别有一个定子绕组，称子区域三个角上的三个定子绕组位于该子区域内。每类子区域沿转子经度角编号，每类各有18个子区域。在本发明所涉及的通电策略中，点S位于定子球面北纬22.5°和南纬22.5°纬线圈之间的环形球面区域内时，也即点S位于上述72个子区域中的一个子区域内时，通电策略有效。

第四步：对各个子区域内的定子绕组进行标号。球面子区域的平面展开图可看作是相似三角形，则这些相似三角形的相似角处的定子绕组具有相同的区域内标号(如1，2，3)。给出了球面对角绕组的概念，即在定子球面上，经度角相差180度，纬度角为相反数的一对绕组成为球面对角绕组。根据这个概念，成球面对角的一对绕组具有同样的区域内标号，且给呈球面对角的两个绕组通等大向反的电流时，这两个绕组能对转子球产生等大的力矩。

第五步：根据点S的实时位置确定通电绕组所在子区域。某时刻点S所在的子区域和与该子区域在定子球面上分别沿正经度方向相距60度和120度的同类子区域等3个子区域内的9个绕组，以及这9个绕组的球面对角绕组，共18个绕组为此时刻拟通电的定子绕组。

第六步：根据已确定的通电定子绕组中特定的9个绕组与点S的相对位置，以及由第二步得到的静态转矩模型，得出3×9的静态转矩矩阵。点S位于转子球面上经纬度均为零的点，对应静态转矩模型中的原点。在静态转矩模型中，经度角的取值范围为[0，360)。对上述9个绕组和点S在定球坐标系中的经纬度作差。其中，经度角之差如果小于零，则加上360；纬度角之差如果是负数的话不用调整。这样能使这9个经纬度差的取值范围与静态转矩模型中的经纬度的取值范围相符。然后，将上述9个经纬度差作为静态转矩模型中的坐标位置点调用其中的静态转矩值。上述9个绕组对应在静态转矩模型的9个位置点处的三个自由度的静态转矩值可以组成静态转矩矩阵T_n∈R^3×9。静态转矩矩阵中的9个列向量是按照上述9个绕组所在子区域及其在子区域中的标号顺序进行排列的。

第七步：第六步得到的静态转矩矩阵T_n∈R^3×9左乘初定电流向量I∈R^9×1等于第一步得到的期望转矩向量T∈R^3×1。于是，通过求解静态转矩矩阵的伪逆矩阵T_n⁺∈R^9×3，可以求得初定电流向量I∈R^9×1。初定电流向量等于静态转矩矩阵的伪逆矩阵左乘期望转矩向量。

第八步：将由第七步求得的初定电流向量I进行分配。将I/2中的9个分量分别分配给第六步中确定的9个绕组，将-I/2中的9个分量分别分配给前述9个绕组的球面对角绕组。至此，18个拟通电定子绕组的通电电流全部确定。

本发明所涉及的永磁球形电动机转子三自由度运动示意图如图1所示。

设永磁球形电动机的定子和转子上分别附着定笛卡尔坐标系xyz和动笛卡尔坐标系dqp，则两个坐标系之间的相对位置以及永磁球形电动机的三自由度运动可以用广义欧拉角定义。根据牛顿-拉格朗日能量法，可得其动力学方程如下^[6]：

$M\left(\theta \right)\stackrel{..}{\theta }+C(\theta ,\stackrel{.}{\theta })\stackrel{.}{\theta }+{\tau }_f=\tau ---\left(1\right)$

其中，M(θ)∈R^3×3为惯性矩阵；$C(\theta ,\stackrel{.}{\theta })\in R^{3\times 3}$为离心力和哥氏力矩阵；θ＝(α，β，γ)^T为角位置向量；和分别为角速度向量和角加速度向量；τ_f＝(τ_fα，τ_fβ，τ_fγ)^T为负载和摩擦力矩，可被看作是非结构化不确定性；τ＝(τ_α，τ_β，τ_γ)^T是控制力矩向量。

计算力矩法是一种基于模型的控制算法，已被广泛应用于机器人动力学控制中。将计算力矩法的结构应用于永磁球形电动机的动力学解耦控制，通过估计值构建的模型对永磁球形电动机进行了非线性补偿。计算力矩法控制率如下：

$\tau =\tilde{M}\left(\theta \right)u+\tilde{C}(\theta ,\stackrel{.}{\theta })\stackrel{.}{\theta }---\left(2\right)$

式中，是根据估计值构建的惯性矩阵，是根据估计值构建的离心力和哥氏力矩阵。u为伺服部分，表示如下：

$u={\stackrel{..}{\theta }}_d+K_d\stackrel{.}{e}+K_{p}e---\left(3\right)$

其中，θ_d为给定的角位置向量，K_p为比例系数矩阵，K_d为微分系数矩阵，它们都是对角矩阵；e＝θ_d-θ为误差向量；$\stackrel{.}{e}={\stackrel{.}{\theta }}_d-\stackrel{.}{\theta }$为误差变化率向量。计算力矩法的控制框图如图2所示。

静态转矩模型描述在通单位正电流时，定子绕组在各个位置点与转子相互作用产生的转矩值。静态转矩模型对球形电动机控制的研究起着十分重要的作用。求解静态转矩模型可以有限元法(例如可以采用本发明给出的有限元法，或者采用文献^[1]给出的有限元法，或者是其他的有限元法)，也可以采用解析法^[2]。本发明的发明点不在于静态转矩模型本身，现有技术中的各种静态转矩模型，无论是用解析法还是有限元法建立的模型，都可以用在本发明中，而且，在随后的通过求解静态转矩矩阵的伪逆矩阵，求得初定电流向量以及通电电流的分配等步骤所采用的方法都是相同的。

本发明用有限元方法对永磁球形电动机的静态转矩进行分析。图3(a)是永磁球形电动机的有限元模型。模型中共有54个定子绕组，共分3层，每层18个。转子有六个永磁体磁极，成N、S极交替分布。永磁体采用平行充磁方式进行充磁。图3(b)为转子磁极磁场强度矢量分布图。由图3(b)可以看出，在单个永磁体磁块中磁化方向平行，且相邻永磁体的磁化方向相反。

单个定子绕组的内径、外径和高度分别设为R_I、R_o和H，相邻两层定子线圈之间的纬度角设为φ_L，定子绕组和转子磁极之间的气隙长度设为δ。在本发明的有限元模型中，上述定子绕组参数的数值表如表1所示。

表1定子绕组参数

  R_I/mm  R_o/mm  H/mm φ_L/deg  δ/mm  5  10  15 22.5  2

转子磁极的外表面为球面的一部分，内表面为柱面的一部分。设单个转子磁极的外径和内径分别为R_{PM_I}和R_{PM_o}，转子磁极的高度为H，剩余磁感应强度为B_r，相对磁导率为μ_r，转子磁极参数如表2所示。

表2转子磁极参数

  R_{PM_I}/mm  R_{PM_o}/mm  H_PM/mm  B_r/T  μ_r  55  80  45  1  1.02

设θ为转子球面的经度角，为转子球面的纬度角，图4给出了采用有限元法得到的气隙长度为2mm时的单个定子绕组所受到的静态转矩空间分布图，其中，图4(a)为静态自转转矩，图4(b)为静态俯仰转矩。图5给出了纬度角θ固定时的静态转矩分布曲线。其中，图5(a)表示θ＝15°时的静态自转转矩分布曲线，图5(b)表示θ＝10°时的静态俯仰转矩分布曲线。

从图5可以看出，经度角θ的变化范围为[0，360)，单位为度。自转和俯仰转矩值沿角方向(即经度方向)呈周期变化，周期为180°。事实上，静态偏航转矩值沿经纬度方向的分布形状与静态俯仰转矩类似，只是前者比后者在经度角方向上滞后90°。

定子线圈没有安装铁心，因此，磁饱和效应可以忽略，电流安匝数和转矩大小基本上成正比。图6验证了不同气隙时电流安匝数和转矩大小的正比关系。俯仰和偏转转矩也具有同样规律。

此静态转矩模型的数据精度即分辨率在精度和纬度方向上都是1度，此数据精度决定了永磁球形电动机通电策略的精度。如果要提高通电策略的精度，可以按照要求的精度对本静态转矩模型进行插值，得到新的静态转矩模型，以满足精度要求。

永磁球形电动机转子位置检测是对其进行控制的前提，位置检测的精度和速度直接影响控制的精度和实时性。在上位机的每个采样时刻对永磁球形电动机的实际位置进行检测，然后根据此位置确定此时刻拟通电的定子绕组及其电流值。佐治亚理工学院的Kok-Meng Lee等人提出了一种非接触式的光电传感器。这种光电传感器可以在不对球形电动机进行机械限制的前提下实现精确的位置检测，得出其各个自由度的角度值，且实时性较好。

两个球面坐标系，定球坐标系和动球坐标系，分别附着在定子和转子上。设定子球壳上沿赤道的绕组编号依次为i-0，沿北纬22.5°的绕组编号依次为i-1，沿南纬22.5°的绕组编号依次为i-2，其中，i＝1，...，18。表4为定子绕组在定球面坐标系中的值。

表4定子绕组在定坐标系中的值

设定子和转子球面的直径都为单位1，即忽略气隙长度。这样，与转子附着的动球坐标系和与定子附着的定球坐标系均为单位球坐标系，即恒满足R＝1。按照一般的球坐标定义，球面某点在球坐标系中的坐标值为为方便起见，以下把某点在上述两个坐标系中的球面坐标值记为

设永磁球形电动机在初始位置时定笛卡尔坐标系和动笛卡尔坐标系重合，在此初始位置时，定笛卡尔坐标系中坐标值为(1，0，0)的点设为点S。在永磁球形电动机转子旋转运动过程中，点S的位置可以通过检测装置测出。

图7为线圈编号及球面子区域示意图。图7(a)和图7(b)表示定子线圈编号规则。对定子球面上北纬22.5°和南纬22.5°纬线圈之间的环形球面区域进行球面规划。将这个区域划分为72个3顶点球面子区域，并将其归类为I类，II类，III类和IV类子区域，每类子区域有18个。这些子区域都是由经线、纬线和过两个定子绕组位置点的大圆劣弧三条球面弧线段围成的球面子区域，如图7(c)所示。图7(c)中，点S位于II类子区域中。图7(d)中的球面部分为一个I类子区域，O点为转子球心，弧线段UV为一段经线，VW为一段赤道纬线，WU为过点W和点U的一段大圆劣弧。子区域的三个顶点(如图7(d)中的U、V、W)位置处各有一个定子绕组，在本发明的讨论中，称子区域顶点处的定子绕组在这个子区域内。这样，一个定子绕组就处于不同的几个相邻的子区域内。

图8为子区域的球面展开图，图中的各个子区域和定子绕组沿θ和方向分布。各子区域的编号如图所示。图中第2个II类子区域表示为II 2，第7个IV类子区域表示为IV 7，其他子区域类似。图8中，子区域顶点处的圆圈表示定子绕组，按照图7中的规律编号。

对球面区域进行规划的思想类似于平面规划。根据图8中的-θ坐标系可以得出各个子区域的解析表达式。其中，定子球面上I类子区域内的点满足如下关系：

定子球面上II类子区域内的点满足如下关系：

定子球面上III类子区域内的点满足如下关系：

定子球面上IV类子区域内的点满足如下关系：

在本发明的研究中，只有当点S处于定子球面的北纬22.5°和南纬22.5°两个纬线圈之间，即点S处于上述四类共72个子区域中的一个子区域时，定子绕组的通电策略才有效；如超过上述区域，此通电策略失效。由于点S位于转子球面的赤道上，本发明所提出的通电策略的适用范围也可以认为是转子的俯仰和偏航角不大于22.5°的范围。

为了对子区域中各定子绕组进行区分和归类，以方便通电策略的研究，进一步给各个子区域中的定子绕组进行标号。图9表示部分定子绕组在平面展开的子区域中的标号。子区域I1、II1、III1和IV1在平面展开图中为相似三角形，这四个相似三角形对应的相似角处的绕组的标号(如图中的1，2，3)相同。子区域中标号为i(i＝1，2，3)的绕组记为Ci。

按照上述子区域绕组标号方法，定子绕组I1 C1和III10 C1就正好处于通过转子球心的一条直径线段的两端。我们称上述两个绕组为球面对角绕组。事实上，上述两个绕组分别是定子绕组1-0和10-0，从表4可以看出，两绕组显然满足球面对角关系。由上述分析可知，球面对角绕组是在定子球面上的经度相差180度，纬度为相反数的一对绕组。一般地，与绕组Ii Cj(i＝1，...，18；j＝1，2，3)成球面对角的绕组为：

$\left(\begin{array}{c}\mathrm{III}(i+9)\mathrm{Cj},i\le 9\\ \mathrm{III}(i+9-18)\mathrm{Cj},9<i\le 18\end{array}\right)---\left(8\right)$

与绕组IIiCj(i＝1，...，18；j＝1，2，3)成球面对角的绕组为：

$\left(\begin{array}{c}\mathrm{IV}(i+9)\mathrm{Cj},i\le 9\\ \mathrm{IV}(i+9-18)\mathrm{Cj},9<i\le 18\end{array}\right)---\left(9\right)$

与绕组IIIiCj(i＝1，...，18；j＝1，2，3)成球面对角的绕组为：

$\left(\begin{array}{c}I(i+9)\mathrm{Cj},i\le 9\\ I(i+9-18)\mathrm{Cj},9<i\le 18\end{array}\right)---\left(10\right)$

与绕组IViCj(i＝1，...，18；j＝1，2，3)成球面对角的绕组为：

$\left(\begin{array}{c}\mathrm{II}(i+9)\mathrm{Cj},i\le 9\\ \mathrm{II}(i+9-18)\mathrm{Cj},9<i\le 18\end{array}\right)---\left(11\right)$

对于本发明所涉及的永磁球形电动机来说，呈球面对角关系的两个定子绕组通等值反向的电流时，这两个绕组可以产生等大的转矩值。

根据前面的分析，点S在动球坐标系中的坐标值为(0，0)。事实上，由于静态转矩曲线上的坐标轴与转子球面上的θ坐标轴重合，点S正好位于静态转矩曲线的原点位置上。设t₀时刻点S所对应的定笛卡尔坐标系xyz中的坐标值为(x₀，y₀，z₀)，则根据球面坐标系和笛卡尔坐标系的变换关系可以求得此坐标值对应的定球坐标系中的坐标值由于定转子球面为单位球面，此变换关系如(12)式所示：

根据(4)-(7)式可判断出t₀时刻点S处于哪个子区域中。设该子区域为∏i(∏＝I，II，III，IV；i＝1，...，18)，该子区域内的三个定子绕组C1，C2，C3对应的定球坐标系中的坐标值分别为设这三个坐标值和的差值分别为按照如下规则计算：

当时，

当时，

(13)式和(14)式保证了Δθ_i∈[0，360)(i＝1，2，3)。由于点S在动球坐标系中的坐标值始终为(0，0)，根据球坐标系及相对坐标系的基本性质，在t₀时刻，定子绕组C1，C2，C3在动球坐标系中的坐标值分别为由于点S始终处于静态转矩曲线的原点位置，于是根据t₀时刻定子绕组C1，C2，C3在动球坐标系中的坐标值可以得出上述定子绕组对应的静态转矩曲线中的位置点，然后用访问数组的方式调用静态转矩曲线中的静态转矩值。

每个位置点对应一组静态转矩值(包括俯仰、偏航、自转三个自由度)，分别设为

τ₁＝(τ_pit1，τ_yaw1，τ_spi1)^T    (15)

τ₂＝(τ_pit2，τ_yaw2，τ_spi2)^T    (16)

τ₃＝(τ_pit3，τ_yaw3，τ_spi3)^T    (17)

与子区域∏i(∏＝I，II，III，IV；i＝1，...，18)同属于一类的子区域

$\left(\begin{array}{c}\Pi (i+3),1\le i\le 15\\ \Pi (i+3-18),15<i\le 18\end{array}\right)---\left(18\right)$

内的三个定子绕组为C1，C2，C3，设其对应的动球坐标系中的坐标值分别为按照前面类似的方法可以得出其分别对应的静态转矩值：

τ₄＝(τ_pit4，τ_yaw4，τ_spi4)^T    (19)

τ₅＝(τ_pit5，τ_yaw5，τ_spi5)^T    (20)

τ₆＝(τ_pit6，τ_yaw6，τ_spi6)^T    (21)

与子区域∏i(∏＝I，II，III，IV；i＝1，...，18)同属于一类的另一个子区域

$\left(\begin{array}{c}\Pi (i+6),1\le i\le 12\\ \Pi (i+6-18),12<i\le 18\end{array}\right)---\left(22\right)$

内的三个定子绕组C1，C2，C3对应的动球坐标系中的坐标值分别设为同理可以求出其对应的静态转矩值：

τ₇＝(τ_pit7，τ_yaw7，τ_spi7)^T    (23)

τ₈＝(τ_pit8，τ_yaw8，τ_spi8)^T    (24)

τ₉＝(τ_pit9，τ_yaw9，τ_spi9)^T    (25)

于是得到了由静态转矩值组成的3×9的定子绕组静态转矩矩阵：

T_n＝[τ₁，τ₂，τ₃，τ₄，τ₅，τ₆，τ₇，τ₈，τ₉]  (26)

期望转矩T∈R^3×1可由(2)式给出。由前面的分析可知，对于没有定子铁心的绕组来说，绕组产生的转矩值跟电流安匝数成正比。于是，期望转矩可以表示为下式：

T＝T_nI                                           (27)

其中，I∈R^9×1为前述3个∏(i＝I，II，III，IV)类子区域中9个定子绕组的初定电流值。此电流值可以通过求定子绕组静态转矩矩阵T_n的广义逆求得：

I＝T_n⁺T                          (28)

其中，T_n⁺∈R^9×3为T_n的广义逆矩阵。

然后，将前面涉及到的9个绕组所通的电流减半，即I/2。根据(8)-(11)式可以确定这9个绕组的球面对角绕组。让这9个绕组的球面对角绕组分别通其减半后的反向电流，这些反向电流组成的矩阵即为-I/2。这样，在t₀时刻通电绕组总数为18个。根据前面的分析，这18个绕组产生的转矩值就等于期望转矩值。

图10表示通电定子绕组所在子区域(以下简称为通电子区域)沿经度方向分布的示意图，其中，图10(a)表示点S处于经度角[0，20)范围内的情况(此时点S位于子区域I1、II1、III1或IV1当中一个子区域)，图10(b)表示点S处于经度角[40，60)范围内的情况(此时点S位于子区域I3、II3、III3或IV3当中一个子区域)，图10(c)表示点S处于经度角[100，120)范围内的情况(此时点S位于子区域I6、II6、III6或IV6当中一个子区域)，图10(d)表示点S处于经度角[120，140)范围内的情况(此时点S位于子区域I7、II7、III7或IV7当中一个子区域)。

本发明对永磁球形电动机的通电方法进行仿真验证。在转子输出轴做章动运动情况下，实际轨迹对于期望轨迹的跟踪情况如图11所示。其中，图11(a)、图11(b)和图11(c)分别表示α、β和γ轴的情况。

根据前面的分析，本通电策略适用于点S处于定球坐标系中北纬22.5°和南纬22.5°两个纬线圈之间的所有情况。由欧拉角空间和笛卡尔空间坐标之间的对应关系以及(4)式，可以得到在上述章动运动中点S在定球坐标系中的经纬度角变化，如图12所示。

由图12可以看出，在上述章动运动中，S点的运动范围在本发明提出的通电策略的适用范围内。

图13表示在上述章动运动中，永磁球形电动机的定子绕组所通的电流大小。其中，图13(a)表示定子绕组1-0，图13(b)表示定子绕组5-1，图13(c)表示定子绕组9-2，图13(d)表示定子绕组14-2，图13(e)表示定子绕组15-2，图13(f)表示定子绕组16-0。

根据前面的分析，定子绕组5-1和14-2分别为I5 C2绕组和III14 C2绕组，是呈球面对角关系的一对绕组，在通电过程中，其电流大小始终等值反向。图13(b)和图13(d)正好验证了这个特性。图13中的各个定子绕组电流经过一段时间以后，开始呈现较为规律的周期变化。这个周期与图11中正余弦给定信号的周期一致。为了便于理解章动运动，图14给出了点S在不同频率的章动运动中的轨迹跟踪情况，其中，图14(a)表示α、β轴的给定信号的频率为2rad/s时的情况，图14(b)表示α、β轴的给定信号的频率为1rad/s时的情况。事实上，章动运动中α、β轴给定信号的频率决定了转子输出轴的摆动频率，而其γ轴的给定信号的斜率决定了转子输出轴自转的转速。在章动运动中，点S也呈现周期摆动旋转的规律，从图14(a)和图14(b)中可以看出两种情况下摆动频率的区别。在稳定运行阶段，由于γ轴的给定信号为斜率一定的斜坡信号，故电动机自转转速基本保持不变。由图14可以看出，经过2π秒的时间后，γ轴给定信号的数值增加了2π弧度，即永磁球形电动机转子自转一周。在这2π秒当中，α、β轴的给定信号也完成了一个周期的变化。于是，2π秒后，点S在定球坐标系中的坐标值跟2π秒前相等，所以根据点S的位置确定的定子绕组通电电流也与2π秒前相等。

现讨论三个欧拉角轴的给定信号均为阶跃信号的工况。永磁球形电动机对α、β和γ轴阶跃信号的响应如图15所示。在上述阶跃响应中转子表面点S在定球坐标系中的经纬度变化情况，如图16所示。

从图16可以看出，点S在定球坐标系中的经纬度变化始终处于本发明提出的通电策略的适用范围内。图17为上述阶跃响应中定子绕组的电流情况。图17(a)表示定子绕组1-1，图17(b)表示定子绕组4-0，图17(c)表示定子绕组7-0，图17(d)表示定子绕组12-2，图17(e)表示定子绕组13-0，图17(f)表示绕组16-0。

从上图可以看出，定子绕组7-0和16-0，4-0和13-0中的电流值等大向反。这是因为上述两对绕组分别是呈球面对角关系的绕组对。图18表示在给定为阶跃信号时所有定子绕组的电流。其中，图18(b)为图18(a)的局部放大。

从图18可以看出，在开始阶段，阶跃响应处于上升阶段，转子输出轴在向指定的位置运动，需要的电流较大。当转子输出轴逐渐稳定在指定位置附近时，需要的电流值较小。这也可以通过(4)式看出。由于含有大量的欧拉角导数项，期望转矩在阶跃响应中的上升阶段较大，因此其对应的定子电流也较大；当上升阶段结束时，转子稳定在一个位置附近，期望转矩变得很小，对应的定子电流也较小。

参考文献：

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[2]吴立建，王群京，杜世俊，倪有源.磁场积分法在永磁步进球形电动机场分析中的应用[J].中国电机工程学报，2004，24(9)：192-197.