用于表征电气部件的线性特性的频率相关性的迭代方法

摘要

本申请引入一种在任意端子条件下保证高准确度的多端口装置的有理宏模拟的新方法。通过以下来实现该方法：重新用公式表示向量拟合技术以拟合特征对而非拟合矩阵元素，并且选择等于特征值幅值的倒数的权重，以便实现对于特征值拟合的相对准确度标准。该过程对于具有大特征值扩展的情况给出了准确度上的大改善。还示出了如何利用相邻网络的阻抗特性来降低拟合的复杂性并进一步改善其准确度。

说明书

技术领域

本发明涉及一种用于表征电气部件的线性特性的频率相关性的方法及包括用于执行该方法的部件的装置。

背景技术

根据测量出的数据对线性电气部件(诸如装置和系统等)的宽带模拟对于电气系统的设计和验证具有日益增长的重要性。该模拟通常基于通过改变诸如频域或时域中的导纳(y)、阻抗(z)和散射(s)参数等的表征模型行为的一组参数而对线性模型的“拟合”。该模型通常基于多项式[1]、[2]或者正交多项式函数[3]的比。近来，极点重配向量拟合技术[4]已经得到广泛应用，并且已经提出了多种改进方式[5]、[6]。当已经找到以给定的准确度等级描述制表数据的参数时完成该模拟。在文献中说明的拟合是基于对导纳矩阵的各元素的拟合。这意味着如果所施加的电压是给定的，则由此得到的模型非常适于计算电流。然而，不保证模型在不同端子条件下都表现满意。例如，对于给定电流并且必须确定电压的情况，拟合可能非常差。这种效果通常出现在导纳矩阵包含大特征值扩展的情况中，这意味着最大的特征值和最小的特征值之间的比很大。

发明内容

本发明要解决的问题是提供一种具有增大的准确度的频域响应的近似的方法(尤其针对具有大特征值扩展的情况)。

通过权利要求1所述的方法解决该问题。

因此，通过重新用公式表示传统的向量拟合技术(参见以下说明)来拟合模态响应而非拟合矩阵元素来解决该问题，并且选择等于相应的特征值幅值的倒数的权重，以便实现特征值拟合的相对准确度标准。该过程对于具有大特征值扩展的情况给出了准确度的改善。

本发明还涉及包括用于执行本方法的步骤的部件的装置。这种装置通常会包括运行在计算机上的合适的软件部件，但是该装置还可以采用专用专门硬件。

附图说明

本发明的另外的实施例、优点及应用在从属权利要求以及对于附图的下述说明中给出，在附图中：

图1是具有所应用的外部装置的电气装置(部件)的示例，

图2示出单个导体架空线路(overhead line)，

图3示出图2的情况的Y的特征值，

图4示出图2的情况的Y的元素，

图5示出图2的情况的Z＝Y^-1的元素的特征值，

图6示出连接到外部网络的电气部件(T型线路)，

图7示出图6的情况的Y_device的特征值，

图8示出图6的情况的Y_device的元素，以及

图9示出图6的情况的Z＝(Y_device+Y_ext)^-1的元素的特征值。

具体实施方式

定义：

在本申请中，大写黑体字母(诸如Y)表示矩阵，并且小写黑体字母(诸如v)表示向量。

术语“电气部件”应被广义理解，并且可以涉及诸如变压器等的单独装置，或者涉及诸如由电力线相互连接的变压器、马达等的系统等的多个装置的集合。然而，限于由它们的频率相关导纳矩阵完全描述的线性电气系统。

介绍：

作为示例，我们考虑了具有n＞1个端口的电气部件。通过该电气部件的导纳矩阵Y来描述其线性电气特性，由此定义了当向所述端口施加电压v时通过这些端口的电流响应i：

i(s)＝Y(s)v(s)    (1)

其中，s表示电流和电压的复角频率iω。

如果将电流源施加到多个端子，则任意频率处的电压响应为：

$v=\mathrm{Zi}=Y^{-1}i={\left(T_Y\Lambda T_Y^{-1}\right)}^{-1}i=T_Y{\Lambda }_Y^{-1}{T}_Y^{-1}i---\left(2\right)$

其中，T或T_Y是(频率相关)变换矩阵，并且Λ或Λ_Y是保持Y的特征值的对角矩阵。

根据(2)，Y的小特征值对应于Z中的大特征值。如果Y包含大特征值和小特征值这两者，则Y的元素的拟合可能会导致小特征值的很差的表示。因此，如果给定电压则拟合Y的元素导致最适合再现端子电流的模型。然而，模型并不很适于利用给定的电流再现电压。类似地，如果要拟合阻抗矩阵，则很适于针对给定的电流再现电压，但是针对施加电压而要确定电流的情况，将产生差的结果。

对于拟合同样很适于所有可能的施加的模型，必须确定以类似的准确度表示导纳(或阻抗)矩阵的所有本征向量。

因此，期望以相对于特征值λ_i的模型的误差与特征值幅值相关的方式来拟合模型，从而导致相对标准，

$\left|\frac{{\lambda }_i^{\mathrm{mode}l}\left(s\right)-{\lambda }_i^{\mathrm{data}}\left(s\right)}{{\lambda }_i^{\mathrm{data}}\left(s\right)}\right|<ϵ,$i＝1...n    (3)

其中，上标“model”是指(通过执行对角化)从模型计算出的特征值，而上标“data”是指从矩阵Y直接获得的特征值。

等式(3)的类型的相对标准的使用将“均衡”分别针对电压施加和电流施加以及相对于任意其它(混合)端子条件的模型的准确度，从而使得相对模型误差针对所有的施加会具有相同的幅值级。

本申请中所考虑的一般问题在于以通过标准(3)在相对意义上保持Y的特征值的准确度的方式根据D和E可能为0的下面的等式(4)来识别极点留数模型。可以将极点留数模型表示为：

$Y_{\mathrm{rat}}\left(s\right)=\underset{m}{\Sigma }\frac{R_m}{s-a_m}+D+\mathrm{sE}---\left(4\right)$

其中m＝1～N的R_m是与频率无关的矩阵(其中N为被考虑进去的极点或共振数)，D和E是与频率无关的矩阵或0，并且m＝1～N的a_m是极点或共振的复角频率。

本发明假定一组离散频率s处的矩阵Y(s)的元素是已知的，例如根据在这些频率处针对给定电压v的电流i的直接测量以及根据使用传统技术从等式(1)获得Y而知道。现在将通过改变a之前的未知参数R_m、a_m以及(如果假定为非0的)D和E来将根据等式(4)的近似值Y_rat拟合为Y(s)的已知值。

向量拟合(现有技术)：

可以将等式(4)写为针对其矩阵的所有矩阵元素i、j的一组n²个等式，其中i＝1～n且j＝1～n。这些等式与共极点组a_m相耦合。

下面，我们说明标量频率响应y(s)的传统有理拟合。

利用传统向量拟和(VF)[4]的频率响应y(s)的有理拟合是迭代过程。这相当于利用第一组极点频率{a_m}解出线性问题(5)：

其中是与频率无关的标量，其中m＝1～N，y是矩阵Y中的索引i，j的任意元素，r_m是矩阵R_m中的相应元素，d是矩阵D中的相应元素，e是矩阵E中的相应元素。

在解出(5)之后，将改善的第二组极点频率计算为σ(s)的零点，其通过解出特征值问题(6)而被计算出：

{a_m}＝eig(A-b·c^T)    (6)

其中A是保持第一组极点a_m作为对角元素的对角矩阵，b是一个向量，c是保持通过在前面的步骤中拟合等式(5)而获得的m＝1～N的的向量。eig是返回保持其矩阵值变元的特征值的向量的算子。

此时在迭代过程中，在(5)中重新使用通过(6)获得的新的第二组(重配)极点频率。该极点重配过程通常在多次迭代中收敛。

当将该过程应用到具有多于一个元素的导纳矩阵时，必须改变第二步骤(极点重配)。这通过将Y的矩阵元素堆叠成单个向量来实现，这意味着(5)中的y(s)变为列向量。同样，(5)的右侧也变为列向量。由于(5)中的σ(s)仍为标量，因此向量y中的所有元素(并且从而Y的元素)变得与共极点组相拟合。

继续该迭代，直到满足停止条件为止，例如直到第一和第二组极点频率相差小于给定量为止，或者直到对于给定极限ε满足等式(3)的条件为止。利用原始VF，在预定次数的迭代之后，或者当拟合误差(例如，均方根误差)的范数在两次迭代之间没有改变太多时，通常终止迭代。可以使用多种可选标准，并且这明显是取决于应用的。

在最后的步骤中，通过以σ(s)＝1解出(5)来计算留数R_m。

模态向量拟合：

可以通过(频率相关)变换矩阵T来对角化矩阵Y：

$Y=T·\Lambda ·T^{-1}\cong Y_{\mathrm{rat}}---\left(7\right)$

针对每一特征对(λ_i，t_i)给出利用T右乘等式(7)：

$Y_{\mathrm{rat}}·t_i\cong {\lambda }_i·t_i---\left(8\right)$

通过利用特征值的幅值的倒数缩放等式，将特征值λi的相对准确度保持在最小平方问题中，即：

$\frac{1}{\left|{\lambda }_i\right|}(Y_{\mathrm{rat}}·t_i-{\lambda }_i·t_i)\cong 0,i=1,..,n---\left(9\right)$

值得注意的是该缩放比例是频率相关的量。

结合(9)和VF得到我们随后称为模态向量拟合(MVF)的方法。

MVF基本上恰如传统的VF处理那样进行，但是与传统的VF处理不同的是将等式(5)代替为

为所有的模式i＝1..n建立等式(10)，并且将等式(10)堆叠成通用等式。如原始VF那样，通过(6)从(10)中的σ(s)获得新的第二组(重配)极点。最后，如传统VF那样，通过以σ(s)＝1解出(10)来计算留数。

利用外部电路特性：

在一些情况下，参见图1，要将所考虑的装置连接到具有已知阻抗特性的外部网络。如果从装置的端子看的导纳是Y_ext，则总导纳是：

Y_tot＝Y_device+Y_ext    (11)

现在端子行为由Y_tot主导而不是由Y_device主导。这可以被用在通过从Y_tot计算特征对的MVF拟合处理中。此时等式(10)变为：

$\cong \frac{1}{\left|{\lambda }_i\right|}((Y_{\mathrm{ext}}+\underset{m=1}{\overset{N}{\Sigma }}\frac{R_m}{s-a_m}+D+\mathrm{sE})·t_i)---\left(12\right)$

留数(具有已知极点)的最后计算利用(12)中的等于一的σ(s)来进行。

示例：

作为示例，参见图2，我们考虑在5km长的有损土地上的有损导体。这给出一个2×2矩阵Y。

使用VF和MVF在1Hz～100kHz的频率范围内计算Y的极点留数模型。在两种情况下，拟合处理使用具有14个极点和非零D的五次迭代。

图3示出Y的特征值。观察得到，当特征值扩展大(低频)时，当通过VF拟合Y时小特征值变得不能准确地被表示。利用MVF，由于相对标准(3)，因而所有的特征值在所有频率处都被准确地表示。

图4(实线轨迹)示出Y的元素。相同的绘图示出有理模型和正确解之间的偏差。观察得到，在MVF的情况下，偏差曲线与元素幅值密切相关，从而导致接近恒定的相对准确度，而VF则显示出很强的偏差。

图5示出Z＝Y^-1的结果，该结果与在将电流施加到线路端时的电压响应相对应。可以看出，通过MVF得到的结果保持准确而通过VF得到的结果则很差。如图3所示，后一结果是由于VF不能准确地表示小特征值而导致的。由于Y的小特征值变为Z的大特征值，因而发生了灾难性的误差放大。利用MVF，保持了特征值的相对准确度，并且因此对于Z也保证了准确的结果。

包括外部网络的结果：

我们继续同一示例，但是参见图6，假定线路端接在具有1kΩ的电阻的两个末端处。此时使用等式(12)进行利用MVF的Y_device的拟合。

Y_device+Y_ext的特征值在图7中示出。由于通过1kΩ电阻接地，因而特征值扩展比图3中的特征值扩展小得多。VF和MVF的使用看起来像是给出了相似的结果。然而，参见图8和9，偏差曲线的检查示出了通过MVF得到的结果对于小特征值更加准确。

如前面的示例中那样，VF和MVF方法两者均为Y_device的拟合后的元素给出满意的结果(图8)。但是对于Z＝(Y_device+Y_ext)^-1的元素(图9)，由于对小特征值的更好的表示，因而MVF给出了更准确的结果。

讨论：

在一些情况下，例如当Y是平衡矩阵(作为针对本说明书中的示例的情况)时，可以假定恒定实变换矩阵T_Y。这允许对角化Y且直接拟合特征值。然后，倒数幅值加权的使用给出类似于MVF的结果。然而，在许多情况下，没有应用恒定矩阵TY的假设，因此必须使用MVF。

在向矩阵元素直接应用VF时，可以增大拟合级，同时监视Y_model对比Y_device的特征值，以便实现如MVF的潜在等同的良好的结果(其代价为更高的拟合级)，但是这种方法可能更易受噪声的影响，可能产生假象并使被动执行复杂化。

当根据噪声测量进行模拟时出现不同的情况。建议测量与系统特征对相对应的一组电压/电流向量对。与有理拟合和被动执行相结合，这导致了SoFT工具[7]的发展。由于对于与小特征值相对应的特征对来说噪声水平通常低得多，因而此处MVF的使用是有好处的。向矩阵元素直接应用VF可以容易地导致最小特征值在噪声中丢失。在实际应用中，测量的电气元件可能具有大的特征值扩展，而相邻网络和组合的对象的特征值具有显著较小的扩展。如果没有利用该知识，则将会不必要地限制拟合。如上所示，可以通过在计算特征对时明确地将外部网络考虑进去来容易地避免该问题。

结论：

已经开发了在任意端子条件下保证所获得的模型的高准确度的重新用公式表示的向量拟合(MVF)过程。这通过将特征对明确地引入模拟中来实现，从而使得能够保证对所有特征值的高相对准确度。向具有大特征值扩展的示例的应用证明了相对于拟合矩阵元素的传统方法的更高的准确度。MVF方法还允许将相邻网络的阻抗特性考虑进去。

所述方法允许表征具有n＞1个端口的电气部件的线性特性的频率相关性，其中，在将施加到端口的电压与通过端口的电流相关的矩阵Y中描述该线性特性。典型地，Y是导纳矩阵，然而也可以使用诸如阻抗矩阵的其它矩阵。通过等式(4)来近似Y的频率相关性。

该方法包括以下步骤：

a)在离散频率s处获得Y的一组值Y(s)，并且对于每个值Y(s)，获得特征值λ_i和本征向量t_i，其中i＝1～n。典型地，Y(s)的值可以通过在期望的频率处对电气部件的测量结果来获得。

b)通过使用第一组极点频率a_m并且通过改变以下值：R_m以及D和E(如果不为零的话)，来拟合等式(10)的一组n个向量等式。

c)从等式(6)计算第二组极点频率。

d)通过使用在步骤c)中获得的第二组极点频率a_m作为后面的步骤b)中的第一组极点频率来重复步骤b)和c)，直到满足适当的停止条件为止。

在大多数情况下，期望知道R_m以及可选的D和E。可以通过在等式(10)中设置σ(s)＝1并解出该等式而在下一个步骤c)中求出这些值。

当将电气部件连接到外部装置时，可以用等式(12)代替步骤b)中的等式(10)。

必须注意的是，可以用线性地依赖于一组(未知的但是与频率无关的)参数{b_i}的任意频率相关矩阵值函数F({b_i}，s)来代替等式(4)、(10)和(12)中的项D+sE。如果充足数量的Y的测量值是可用的，则可以在MVF过程的最后的步骤d)中确定参数。

参考文献：

[1]E.C.Levy，“Complex curve fitting”，IRE Trans.Automatic Control，vol.4，pp.37-44，May 1959.

[2]C.K.Sanathanan and J.Koemer，“Transfer function synthesis as a ratio oftwo complex polynomials”，IEEE Trans.Automatic Control，vol.8，pp.56-58，1963.

[3]C.P.Coelho，J.R.Phillips，and L.M.Silveira，“Generating high-accuracysimulation models using problem-tailored orthogonal polynomials basis”，IEEE Trans.Circuits and Systems-I，vol.53，no.12，pp.2705-2714，Dec.2006.

[4]B.Gustavsen，and A.Semlyen，“Rational approximation of frequencydomain responses by vector fitting”，IEEE Trans.Power Delivery，vol.14，no.3，pp.1052-1061，July 1999.

[5]S.Grivet-Talocia，“Package macromodeling via timedomain vector fitting”，IEEE Microwave and Wireless Components Letters，vol.13，no.11，pp.472-474，Nov.2003.

[6]B.Gustavsen，“Improving the pole relocating properties of vector fitting”，IEEE Trans.Power Delivery，vol.21，no.3，pp.1587-1592，July 2006.

[7]M.Tiberg，O.Hoenecke，C.Heitz，and B.Gustavsen，“New simulationmethodology for power  systems-assumption free  analysis  entirelybased on measurement”，EMTP-RV Newsletter，vol.1，no 3，Dec.2006，pp.20-26.