基于Fisher判别零空间的高光谱遥感图像混合像元分解方法

摘要

本发明属于遥感图像处理技术领域，具体为一种基于Fisher判别零空间的高光谱遥感图像混合像元分解方法。Fisher判别零空间法是针对混合像元分解中普遍存在的同物异谱现象引起的分解精度降低的问题而提出的。该方法通过对端元纯像元光谱组成的训练样本进行分析，构造训练样本的类内散布矩阵零空间，使端元内的光谱差异变为零，再在此零空间内寻找令类间散布矩阵离散度最大的判别矢量，使不同类的端元光谱分离度最大，从而最大程度上减少了由于同物异谱而导致的分解误差。本发明方法在高光谱遥感图像的高精度的地物分解以及地面目标的检测和识别方面具有特别重要的应用价值。

说明书

技术领域

本发明属于遥感图像处理技术领域，具体涉及基于Fisher判别零空间的高光谱遥感图像混合像元分解方法。

背景技术

遥感是上世纪六十年代发展起来的新兴综合技术，与空间、电子光学、计算机、地理学等科学技术紧密相关，是研究地球资源环境的最有力的技术手段之一。近年来，随着成像技术的进步，多波段遥感图像在越来越多的领域得到了广泛应用。由于高光谱遥感传感器空间分辨率的限制，高光谱遥感图像中的一个像元范围内经常覆盖了多种地物，其像元的光谱值实际上是几种纯净地物光谱值的混合，这种像元被称为混合像元，混合像元内的这些纯净地物被称为端元(endmember)。混合像元在遥感影像中普遍存在，不仅会影响地物识别和分类的精度，而且是遥感科学向定量化发展的主要障碍。为解决该问题而发展起来的光谱混合分析技术可用于计算各种地物在混合像元中的组成比例，并把混合像元的光谱分解成多种地物光谱的组合。

光谱混合分析模型按参量之间的关系可以归结为线性模型和非线性模型两类。由于非线性光谱混合模型的形式一般都比较复杂，并且其中很多参数难以精确测量，甚至无法获取，所以在实际应用中，多使用线性光谱混合模型来展开研究。在线性模型中，混合光谱等于端元光谱与端元面积比例的线性组合。传统的混合像元分解方法都假设：在一个高光谱图像中，地表由一定数目的地物种类(端元)组成，每个端元的光谱特性是稳定的。实际上，同类地物端元的光谱并不是完全一致的，即同物异谱现象是普遍存在的。因此，混合像元分解问题中，对同一类地物采用相同的端元光谱进行解混，必然导致分解结果精度不高。

目前，已经有一些研究针对同物异谱问题提出一定的解决方法。1998年Roberts等提出多个端元混合光谱分析方法，每类地物选取多个光谱，并生成大量的端元组合，再对每个像元寻找最佳的端元组合进行分解，从而求出每类地物的百分比，这种方法求解过程复杂，耗时很长[1]。2000年Bateson等提出了一种端元束的方法，一个端元束由许多同类地物的光谱组成，将所有端元束的光谱作为端元进行像元分解，由于端元数目超过光谱波段数，只能求出每一类地物比例的最小值和最大值[2]。2000年Asner等将光谱作微分处理以减小端元的光谱差异[3]，2004年Wu等通过将光谱除以各个波段的光谱均值即作光谱归一化处理后再作混合像元分解[4]，但这类方法存在着光谱处理方式物理意义不明确的问题。

针对上述问题，本文提出一种基于Fisher判别零空间的高光谱遥感图像混合像元分解算法。基本思路是通过寻找一个由各波段的线性组合而成的特征空间中的方向，使得在这样一个方向上，端元内的光谱差异尽可能小而端元间的光谱差异尽可能大，在这个方向上对混合像元进行分解可以显著地减少端元内光谱差异对分解结果的影响。由于像元纯度指数(Pixel Purity Index，PPI)可以用来表征像元的纯度，计算像元纯度指数能够在高光谱数据中寻找出纯度较高的那些像元[5，6]。通过PPI计算对每个端元选取一定数目纯像元作为训练样本，构造训练样本的类内散布矩阵零空间，在此零空间内找到类间离散度最大的投影方向，往此方向投影得到端元样本的最优分类特征矢量，再用全约束的最小二乘法(FullyConstrained Least Squares，FCLS)解混得到每种地物的比例[7]。

下面介绍与本发明相关的一些概念：

1.线性光谱混合模型

近年的研究中，线性光谱混合模型被广泛的应用于遥感图像中的混合像元分解问题，该模型假设图像中的每个像元都为各个端元像元通过线性混合得到。在线性模型中，混合光谱等于端元光谱与端元面积比例的线性组合。该模型的数学表达式如下：

$x_b=\underset{i=1}{\overset{p}{\Sigma }}{s}_i{a}_{i,b}+e_b.---\left(1\right)$

式中x_b是高光谱图像某像元第b波段的反射率，p是端元的数目，s_i是第i个端元的权重，它由第i个端元占像元的比例来决定，a_i，b是第i个端元在第b波段的反射率，e_b是残差。

同时，基于混合像元分解问题的实际物理意义，(1)式还必须满足如下两个约束条件：

1)混合像元中各成分的比例s_i之和应该等于1，即

${\Sigma }_{i=1}^p{s}_i=1.---\left(2\right)$

2)分解所得各成分的比例s_i应该在[0，1]的范围内，即

0≤s_i≤1，(i＝1，2，...，p).                     (3)

发明内容

本发明的目的在于提出基于Fisher判别零空间的高光谱遥感图像混合像元分解方法，以便在同物异谱现象普遍存在的混合像元分解的实际问题中，最大程度的减小端元内的光谱差异，提高混合像元分解的精度。

本发明提出的遥感图像混合像元分解方法，通过寻找一个由各波段的线性组合而成的特征空间中的方向，使得在这样一个方向上，端元内的光谱差异尽可能小而端元间的光谱差异尽可能大；在这个方向上对混合像元进行分解可以显著地减少端元内光谱差异对分解结果的影响；首先通过像元纯度指数(Pixel Purity Index，PPI)计算，对每个端元选取一定数目纯像元作为训练样本；然后应用Fisher判别零空间方法，构造训练样本的类内散布矩阵零空间，称为Fisher判别零空间，使端元内的光谱差异尽可能的减小，在此零空间内找到类间离散度最大的投影方向，再往此方向投影得到端元样本的最优分类特征矢量，最后用全约束的最小二乘法(Fully Constrained Least Squares，FCLS)解混，得到每种地物的比例，即得到各端元对应的丰度。具体步骤如下：

1.计算像元纯度指数(PPI)

PPI是用来表征像元纯度的指标，计算PPI是为了在高光谱数据中寻找最纯的光谱端元。计算原理是把端元中每个像元看成一个n维的向量，所有像元组成一个向量空间，在这个向量空间中，必然存在一组全部由位于边界位置的向量组成的基。这些边界位置的向量投影到大量随机产生的单位向量上时，出现在边缘位置的概率最大，这种概率用纯度指数来表示。具体计算步骤如下：

1)初始化：随机产生k个n维的单位向量skewer，k值越小，计算量越少，一般取k不小于10000。

2)计算PPI：对每个像元向量pixel，设定一个计数器N_PPI，赋初值0，作投影运算：

$\mathrm{dp}=\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}\mathrm{pixel}\left[i\right]·\mathrm{skewer}\left[i\right].---\left(4\right)$

对于每个单位向量skewer，投影值dp的极大值所对应像元的计数器N_PPI加1。

3)提取高纯度像元：上一步骤的计算结果N_PPI的大小代表像元的纯度。设定阈值ε，计数器N_PPI≥ε对应的像元被视为纯度较高的像元而保留，其余的像元被屏蔽，得到高纯度像元。

可以根据具体的高光谱数据设置阈值ε，提取出一定数量的纯度较高的像元，并按各类地物进行分类，作为各类地物同物异谱的端元样本。阈值ε可根据图像大小和实际经验具体选取，一般ε取值为8000～20000的整数。

2.Fisher判别零空间算法

Fisher判别准则的主要思想是将多维训练样本进行线性组合来建立新的判别量，使得不同类样本之间距离尽可能大，同一类样本内的距离最小[8]。

假设端元样本维数为n，共有c个类别的训练样本C₁，C₂，...，C_c。C_i为n×N_i的矩阵，表示了第i组有N_i个训练样本构成C_i。样本的类间散布矩阵S_b和类内散布矩阵S_w定义如下：

$S_b=\frac{1}{N}\underset{i=1}{\overset{c}{\Sigma }}{N}_i(m_i-m){(m_i-m)}^T.---\left(5\right)$

$S_w=\frac{1}{N}\underset{i=1}{\overset{c}{\Sigma }}\underset{x\in C_i}{\Sigma }(x-m_i){(x-m_i)}^T.---\left(6\right)$

其中N是样本总数，m_i是C_i的样本均值，m是总样本均值。样本的总散布矩阵即混合散布矩阵S_t＝S_b+S_w。T表示转置。

Fisher判别的目标是找到一个最优的投影矩阵W：

$W=\arg \underset{W}{\max }\frac{\left|W^T{S}_{b}W\right|}{\left|W^T{S}_{w}W\right|}.---\left(7\right)$

在实际问题中，容易得到S_b，S_w和S_t的秩的最大值分别为c-1，N-c和N-1，都远远小于样本维度n，即一般情况下S_b，S_w和S_t都是奇异的。

这里引入矩阵零空间的概念。矩阵A的零空间(Null space)定义为：{x|Ax＝0，x∈Rⁿ}。零空间向量数目为：n-rank(A)。rank(.)表示为矩阵.的秩。

Fisher判别零空间算法的目标为寻找属于S_w零空间的判别矢量q，满足q^TS_wq＝0，且q^TS_bq≠0，并使尽可能的大，即|q^TS_bq|尽可能的大[9]。

可以证明，S_t的零空间为S_b和S_w共同的零空间。因此可以通过特征分解先除去S_t的零空间，该过程并不会丢失有用的判别信息。然后在维度降低了的投影空间寻找S_w的零空间[10]。具体算法流程如下：

(1)除去S_t的零空间

对S_t作特征分解，得到S_w′＝U^TS_wU，S_b′＝U^TS_bU，其中U为所有非零的特征值对应的特征向量组成的矩阵。

(2)计算S_w′的零空间

由于rank(S_t)≤N-1，所以U的维数最多为N-1，S_w′的维数最多也为N-1。对S_w′作特征分解来计算S_w′的零空间Q，通常rank(S_w′)＝rank(S_w)≤N-c，故S_w′零空间的维数一般为c-1。得到S_w″＝Q^TS_w′Q＝(UQ)^TS_w(UQ)，S_b″＝Q^TS_b′Q＝(UQ)^TS_b(UQ)。

(3)如果S_b″存在零空间，则将之除去，并选择最优判别量。

对S_b″作特征分解，V为最大的c-1个特征值对应的特征向量组成的矩阵，即判别矢量。得到总的变换矩阵W＝UQV。

第3步是可以不要的，因为通常情况下S_b″是满秩的，所以判别量的个数为c-1，这与理想的c类分类问题需要c-1个特征向量是吻合的[11]。

3.丰度计算

将混合光谱投影到最佳判别矢量空间上，再用FCLS解混，求出各端元对应的丰度。

本发明的优点

本发明为基于Fisher判别零空间的高光谱遥感图像混合像元分解方法。其优点在于：利用训练样本进行线性组合来建立新的判别量，使得新判别量的组间方差与组内方差的比值达到最大，减小了端元内光谱差异的影响，从而大大提高了混合像元分解的精度。本发明在基于高光谱遥感图像的高精度的地物分解以及地面目标的检测和识别方面具有特别重要的意义。

附图说明

图1为Indiana地区的AVIRIS数据中提取同种地物类型9条不同的纯像元光谱图，(a)为干草，(b)为人工建筑，(c)为玉米，(d)为大豆。

图2为模拟4种端元丰度图，(a)为干草，(b)为人工建筑，(c)为玉米，(d)为大豆。

图3为特征空间的光谱分布图，(a)为MNF前三个主成分空间，(b)为Fisher判别零空间。

图4为PPI方法提取端元并解混得到的4种端元丰度图，(a)为干草，(b)为人工建筑，(c)为玉米，(d)为大豆。

图5为样本光谱取平均作为端元解混得到的4种端元丰度图，(a)为干草，(b)为人工建筑，(c)为玉米，(d)为大豆。

图6为Fisher判别零空间法解混得到的4种端元丰度图，(a)为干草，(b)为人工建筑，(c)为玉米，(d)为大豆。

图7为不同噪声情况下三种方法解混的RMSE曲线图，(a)为干草，(b)为人工建筑，(c)为玉米，(d)为大豆。

图8为Indiana地区AVIRIS遥感图像。

图9为Fisher判别零空间法解混结果示意图，(a)为玉米，(b)为小麦，(c)为植被，(d)为人工建筑，(e)为干草，(f)为大豆。

图10为两种方法人工建筑分解结果示意图，(a)为PPI方法分解结果，(b)为Fisher判别零空间方法分解结果。

图11为Cuprite地区AVIRIS遥感图像。

图12为Fisher判别零空间方法解混得到的12个端元的丰度图，(a)为Muscovite，(b)为Desert varnish，(c)为Alunite，(d)为Kaolinite#1，(e)为Montmorillonite，(f)为Dumortierite，(g)为Buddingtonite，(h)为Kaolinite#2，(i)为Nortronite，(j)为Andradite，(k)为Pyrope，(1)为Sphene。

具体实施方式

由于Fisher判别零空间变换是线性的，变换后线性混合像元模型依然成立。设端元个数为p，则Fisher判别零空间法可提取p-1个判别量W₁，W₂，…，W_p-1，组成变换矩阵W。

由于Fisher判别零空间端元内的光谱差异为零，因此各类端元可选任意端元样本光谱投影到变换矩阵上，得到Fisher判别零空间变换后的端元光谱：

a′_i＝Wa_i.                                      (8)

对混合光谱作同样的变换

x′＝Wx.                                        (9)

线性变换后的光谱仍然满足线性混合模型，有

$\mathrm{Wx}=W\underset{i=1}{\overset{p}{\Sigma }}{s}_i{a}_i+\mathrm{We}.---\left(10\right)$

即

$x^{\prime }=\underset{i=1}{\overset{p}{\Sigma }}{s}_i{a^{\prime }}_i+e^{\prime }.---\left(11\right)$

其中x′＝(x′₁，x′₂，...，x′_p-1)^T表示变换后的混合像元光谱，a′_i＝(a′_i1，a′_i2，...，a′_i(p-1))^T，i＝1，2，…，p表示变换后的端元光谱，e′＝We表示变换后的残差。加上约束条件和s_i≥0，即可用FCLS求解式(11)。

混合像元光谱经Fisher判别零空间变换后，同类地物光谱间的差异大大减小了，从而使像元分解精度得到了提高。基于Fisher判别零空间的混合像元分解方法的具体步骤如下：

1)根据PPI结果，设定阈值ε，自动选取符合要求的各类地物的纯像元光谱作为训练样本。

2)利用Fisher判别零空间方法获得前c-1个最佳判别矢量对应的变换矩阵W。

3)将混合光谱投影到最佳判别矢量空间，再用FCLS解混，求出各端元对应的丰度。

下面，分别以模拟和实际遥感图像数据为例说明具体的实施方式：

1.模拟遥感图像数据

为了检验Fisher判别零空间算法的结果和精度，本文设计了模拟高光谱图像数据实验。从Indiana地区的AVIRIS数据中提取4种地物类型(干草、人工建筑、玉米、大豆)纯像元光谱各9条作为实验的样本，来模拟同物异谱现象，如图1所示。去除水吸收波段及噪声波段(第1-4，78-82，103-115，148-166以及211-220波段)，剩下的169个有效波段数据被用来模拟高光谱遥感数据。

图2为实验所用的模拟4种端元丰度图像的示意图，其大小为101×101像素。在丰度图中亮度最大的顶点处6×6像素区域为该地物9个纯像元样本，每个样本占4个像素。随机产生样本光谱的混合序列，并加入SNR＝20dB的白噪声，得到169通道的模拟图像。

将模拟图像数据作最小噪声分量(Minimum Noise Fraction，MNF)变换[12]，使信噪比最大的数据集中于前几个主成分，同时降低波段间的相关性，以提高光谱分解精度。取MNF变换的前三个主成分作PPI运算，分别选择PPI值最大的即纯度最高的20个像元作为4种端元的样本，对这80个训练样本作Fisher判别零空间分析，并利用前3个判别量组成的变换矩阵对混合光谱作变换。图3(a)显示了MNF前三个主成分构成的特征空间中端元光谱与混合光谱的分布，可以明显看出在主成分空间中，端元内光谱差异十分明显，同类地物的光谱比较分散。而在Fisher零空间判别量构成的特征空间中(如图3(b)所示)，同类端元的光谱集中到一点，端元间的距离也尽可能的拉到最大。

为了定量的衡量子空间上样本的区分程度，我们采用子空间上样本的类间和类内散布矩阵的行列式的比值来反映子空间上样本的可分性。结果如表1所示，可以看出Fisher零空间判别的方法可以把类内距离减小为零，而类间距离拉到最大。Fisher判别零空间法类间方差与类内方差的比值远远大于变化之前的比值。

表1特征空间上样本类内和类间距离比较

  |S_B|(类间)  |S_W|(类内)  |S_B|/|S_W|  MNF Components  2.08×10¹⁴  6.64×10⁵  3.13×10⁸  Fisher Null Space  1.13×10⁵  9.04×10^-53  1.24×10⁵⁷

本文分别利用PPI提取端元和将各类端元样本光谱取平均作为端元光谱，再用FCLS对混合光谱进行分解，两种方法与Fisher判别零空间方法的解混结果进行了比较。图4为通过PPI计算，选取各类地物PPI值最大的即纯度最高的像元作为端元光谱，再用FCLS对混合光谱进行分解得到的四种端元的丰度图像。图5为将各类地物样本光谱取算术平均作为端元并丰度解混结果。图6为Fisher判别零空间法的解混结果。比较可以看出，在20dB噪声情况下Fisher判别零空间方法解出的丰度图最接近真实值(图2)。

表2添加20dB噪声情况下三种方法对模拟像元的分解误差比较

  RMSE  干草  人工建筑  玉米  大豆  四种地物平  均  像元纯度指数  0.0277  0.0266  0.0258  0.0408  0.0302  样本光谱算术平  均  0.0241  0.0223  0.0237  0.0320  0.0255  Fisher判别零空间  0.0146  0.0142  0.0169  0.0221  0.0169

评价解混结果精度的指标采用均方根误差(RMSE)，表达式如式(12)所示：

${\mathrm{RMSE}}_k={\left(\frac{1}{l\times m}\underset{i=1}{\overset{l}{\Sigma }}\underset{j=1}{\overset{m}{\Sigma }}{({\hat{s}}_k(i,j)-s_k(i,j))}^2\right)}^{\frac{1}{2}}.---\left(12\right)$

其中表示端元k在空间坐标(i，j)为像元的比例估计，s_k(i，j)表示真实的端元比例，l为列数，m为行数。所有端元丰度估计的均方根误差平均值计算如下：

$\mathrm{RMSE}=\frac{1}{p}\underset{k=1}{\overset{p}{\Sigma }}{\mathrm{RMSE}}_k.---\left(13\right)$

在添加20dB噪声情况下，三种方法的求解精度如表2所示。图7表示添加噪声后SNR分别为60dB、40dB、20dB、10dB和5dB以及不添加噪声的情况下三种方法分解结果的对比。可以看出，基于Fisher判别零空间的分解算法相比PPI的方法具有明显的优势，并且比将各类样本光谱取平均作为端元的方法精度高。尽管FCLS能够求得同时满足两个约束条件的最优解，但是稳定的端元光谱依然是其重要前提。因此在同物异谱现象存在的情况下，仅仅选择相同的光谱作为端元，用FCLS分解并不能达到理想的分解精度。

2.真实遥感数据实验

该部分实验中，我们将Fisher判别零空间算法用于实际遥感图像的混合像元分解。分别选用Indiana地区的AVIRIS数据和Cuprite地区的AVIRIS数据进行实验。由于实际遥感图像数据缺少标准的地物分解图，因此可参考实地勘测的地面真实分布图来评价分解精度。

1)Indiana地区的AVIRIS数据

实验使用成像于1992年7月的一幅AVIRIS高光谱遥感数据。该数据包含0.4～2.5μm共224个波段的数据，光谱分辨率为10nm，空间分辨率为17m，大小为145×145(共21025pixels)。该地区地表的主要覆盖类型有：各种农作物(包括玉米、大豆、小麦等)、植被(包括草地、树林等)、以及各种人工建筑(高速公路、铁塔、房屋等)。取第70、86、136波段分别作为R、G、B分量合成伪彩色图如图8所示。该数据由美国Purdue大学提供网上下载1，同时，该研究组也给出一份该地区实地勘测结果可供参考[13]，它在将不同土壤开垦情况下的同一作物看成不同类型，在忽视土壤、部分植被等背景以及一些小目标的情况下将该成像区域划分为16类。将同类地物合并，我们可以得到6种典型的地物，分别为(a)玉米，(b)小麦，(c)植被，(d)人工建筑，(e)干草，(f)大豆。在我们的实验分析前，该数据的第1-4，78-82，103-115，148-166以及211-220波段由于水吸收波段或很低的信噪比而被舍弃，因此，剩下的总共169个波段数据被用于混合像元解混实验。

图9为Fisher判别零空间法解混得到6个典型端元的丰度图。在PPI算法过程中设置阈值ε＝1000，得到不同数目的6种地物的纯像元作为样本，样本数目分别为：玉米-5，小麦-13，植被-16，人工建筑-13，干草-15，大豆-13，共取了75个样本。将图9的解混结果与实地调查的情况比较，可以看出，解混结果与实地调查结果非常吻合。特别是，其中

                          

¹Http://cobweb.ecn.purdue.edu/～biehl/Multispec/documentation.html

人工建筑(高速公路、铁塔、房屋等)的丰度估计结果明显比PPI方法的解混结果更为准确(如图10所示)。这是由于人工建筑的光谱差异较大，Fisher判别零空间算法过程中，减小了端元光谱内的差异，因此可以得到较好的解混结果。

2)Cuprite地区的AVIRIS数据

实验使用成像于1997年6月19日的Cuprite地区的AVIRIS数据(如图11所示)，图像大小为250×190，波长范围是0.37～2.48μm，光谱分辨率为10nm，共有224个波段数据。该地区位于美国内华达州的南部，其地表基本无植物覆盖，多为裸露矿物，网上提供了该地区的实地勘测的地物分布图²。这一数据已被广泛的应用于遥感图像混合像元分解算法的研究中。在算法运行前，该数据中的一些低信噪比波段，水吸收波段和很低的信噪比波段(包括第1，2，104-113，148-167，221-224波段)已经被预先去除，剩下总共188个波段数据被用于混合像元解混实验。

通过网上提供的该地区的实地勘测地物分布图可知该数据中典型端元数目为12个[14]。在PPI算法过程中仍设置阈值ε＝1000，得到12种地物的纯像元样本共92个。用Fisher判别零空间算法计算出的12个端元丰度分布(如图12所示)，与实地勘测地物分布图进行目视判别可知，所提取的12个端元分别对应下列矿物：(a)白云母Muscovite，(b)沙漠地表Desert varnish，(c)明矾石Alunite，(d)高岭石1 Kaolinite#1，(e)蒙脱石Montmorillonite，(f)铝硼硅酸盐Dumortierite，(g)铵长石Buddingtonite，(h)高岭石2Kaolinite#2，(i)皂石Nortronite，(j)钙铁硅酸盐Andradite，(k)石榴石Pyrope，(1)钙钛硅酸盐Sphene。

参考文献

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²Http://speclab.cr.usgs.gov/cuprite.html

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