一种应用于分布参数系统的三域模糊PID控制方法

摘要

本发明提供了一种应用于分布参数系统的三域模糊PID控制方法，其特征在于，误差e(z，t)及误差的导数

说明书

技术领域

本发明属于工业过程控制领域，涉及一种应用于分布参数系统的三域模糊PID控制方法。

背景技术

分布参数系统，也称时空耦合系统，其明显的特征是系统的状态、输出、参数及控制不仅随时间t变化，而且还随空间z变化。分布参数系统通常采用非线性偏微分方程表示。分布参数系统广泛应用于热工、化工、半导体制造、航天、航空等工程系统，例如：电磁场、引力场、温度场等物理场，弹性梁的运动体型，大型加热炉，水轮机和汽轮机，化学反应器中的物质分布状态，长导线中的电压和电流等控制对象。因此，对于分布参数系统的控制是一个非常重要的问题。

针对分布参数系统，传统的控制方法有两种：一种是集中参数控制系统，另一种为分布参数控制系统。集中参数控制系统仅考虑系统的状态随时间变化，不考虑空间信息，造成系统的空间信息丢失，使得控制性能变差，进而引起产品质量变差。而传统的分布参数控制系统比较复杂，需要更多的空间信息、精确的数学模型及复杂的控制理论，然而实际系统存在参数不确定性、复杂非线性等情况，很难建立精确的数学模型，即使获得也很难进行有效的控制。

近年来发展的智能控制，有传统的模糊控制和三维模糊逻辑控制。传统的模糊控制由于只包含时间信息，不考虑空间信息，在本质上不具备控制分布参数系统的能力。虽然目前的三维模糊逻辑控制是针对分布参数系统的，但目前还是处于理论研究的初级阶段，距离实际工业应用还有一定距离。

因此，针对工业中的分布参数系统，建立一个方法简便、控制性能优越、鲁棒性好的控制系统，能弥补现有控制器和控制方法的不足，提高对于分布参数系统地控制性能，并有着广阔的工业应用前景。

发明内容

为了克服传统控制器和控制方法在分布参数系统控制中的不足，并提高对于分布参数系统的控制性能，本发明提供了一种应用于分布参数系统的三域模糊PID控制方法，该控制方法不仅考虑了空间信息，而且不依赖于被控对象的数学模型、鲁棒性好、结构简单、应用方便，应用效果好。

为实现上述目的，本发明的技术方案为：

一种应用于分布参数系统的三域模糊PID控制方法，其特征在于，误差e(z，t)及误差的导数分别经输入增益K_e(z)和K_d(z)后得到量化值E(z，t)和R(z，t)，E(z，t)和R(z，t)作为三域模糊逻辑控制器的输入，E(z，t)和R(z，t)经三域模糊逻辑控制器的三域模糊化、三域模糊推理和三域解模糊化后，得到三域模糊逻辑控制器的输出u(z，t)；u(z，t)经比例-积分后得到输出U_PID(z，t)；输出U_PID(z，t)再经空间降维后，得到最终只随时间t变化的控制量U(t)给被控对象；所述的误差e(z，t)、误差的导数三域模糊逻辑控制器均包含有空间参数z。

所述的三域模糊逻辑控制器的输入变量E(z，t)和R(z，t)的语言变量都选择7个，即：负大NL、负中NM、负小NS、零ZR、正小PS、正中PM和正大PL；输出变量u(z，t)的语言变量选择13个，即：负额外-特大NXXL、负额外大NXL、负大NL、负中NM、负小NS、负额外小NXS、零ZR、正额外小PXS、正小PS、正中PM、正大PL、正额外大PXL和正额外-特大PXXL。

输入变量E(z，t)和R(z，t)的隶属度函数都选择空间三棱柱隶属度函数，隶属度函数之间的距离为A，则其模糊论域为[-3A，3A]；输出变量u(z，t)的隶属度函数选择空间模糊单点集，宽度为B，其模糊论域为[-6B，6B]。

所述的空间降维方法为：假设在空间[α，β]内的点z₁，z₂，…，z_n处依次布置n个测量传感器，则只与时间t有关的控制量U(t)的表达式为：

$U\left(t\right)=\frac{\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}\Delta z_i{U}_{\mathrm{PID}}(z_i,t)}{\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}\Delta z_i};$

式中：Δz_i为离散区间，且z₁＞α，z_n＜β，z_n+1＝β，Δz_i＝z_i+1-z_i；i＝1，2，…，n三域模糊PID控制器采用的变量为三域模糊变量，即在传统模糊变量基础上加入空间信息。所以，三域模糊变量有三个坐标：变量x(E(z，t)/R(z，t)/u(z，t))、空间域z(三域模糊PID的其中一域为空间域z，不限定为一维的，可以是多维的。只是二维及以上空间不能用图直观的描述，所以图中以一维为例子进行描述。)和隶属度函数μ(x，z)，如图1所示。

本发明的三域模糊PID控制器结构原理如图2所示。

误差e(z，t)及误差的导数分别经输入增益K_e(z)和K_d(z)后得到其量化值E(z，t)和R(z，t)。三域模糊逻辑控制器的输入为E(z，t)和R(z，t)，经三域模糊化、三域模糊推理和三域解模糊化后，得到三域模糊逻辑控制器的输出u(z，t)。u(z，t)分别经积分项及输出增益K₀(z)和输出增益K₁(z)后(即比例-积分)，得到三域模糊PID控制器的输出U_PID(z，t)。再经空间降维后，得到最终只随时间t变化的控制量U(t)。具体步骤如下：

1)三域模糊PID控制器结构的确定

A、三域模糊逻辑控制器的结构

三域模糊逻辑控制器采用两输入单输出结构，输入变量为误差e(z，t)及误差的导数的量化值E(z，t)和R(z，t)，输出为控制量u(z，t)。其中：

e(z，t)＝r(z，t)-y(z，t)

$\stackrel{·}{e}(z,t)=\frac{\mathrm{de}(z,t)}{\mathrm{dt}}$

E(z，t)＝K_e(z)e(z，t)

$R(z,t)=K_d\left(z\right)\stackrel{·}{e}(z,t)$

式中：r(z，t)为系统输入；y(z，t)为系统输出；K_e(z)和K_d(z)为输入增益。

B、三域模糊PID控制器的结构

获得三域模糊逻辑控制器的输出u(z，t)后，u(z，t)分别经积分项及输出增益K₀(z)和输出增益K₁(z)，得到三域模糊PID控制器的输出U_PID(z，t)。其中：

U_PID(z，t)＝K₀(z)∫u(z，t)dt+K₁(z)u(z，t)

式中：K₀(z)、K₁(z)为输出增益。

2)三域模糊逻辑控制器的输出u(z，t)

A、三域模糊化

输入E(z，t)和R(z，t)的语言变量都选择7个，即：负大(NL)、负中(NM)、负小(NS)、零(ZR)、正小(PS)、正中(PM)和正大(PL)。u(z，t)的语言变量选择13个，即：负额外-特大(NXXL)、负额外大(NXL)、负大(NL)、负中(NM)、负小(NS)、负额外小(NXS)、零(ZR)、正额外小(PXS)、正小(PS)、正中(PM)、正大(PL)、正额外大(PXL)和正额外-特大(PXXL)。

输入E(z，t)和R(z，t)的隶属度函数都选择空间三棱柱，隶属度函数之间的距离为A(如图3)，则其模糊论域为[-3A，3A]。输出u(z，t)的隶属度函数选择空间模糊单点集，宽度为B(如图4)，则其模糊论域为[-6B，6B]。

对于一语言变量L，如图3所示，空间域z的取值范围为：

α≤z≤β

式中：α、β分别为空间取值范围的上限和下限。

我们假定语言变量L的(除NL和PL外)左端点、顶点及右端点的值分别x₁，x₂，x₃，其具体值如表1所示。

表1语言变量与端点值

  语言变量/端点值  x₁  x₂  x₃  NM  -3A  -2A  -A  NS  -2A  -A  0  ZR  -A  0  A  PS  0  A  2A  PM  A  2A  3A

则输入E(z，t)对于语言变量L的隶属度为：

$\left(\begin{array}{cc}{\mu }_L(E(z,t),z)=0& E(z,t)\le x_1\\ {\mu }_L(E(z,t),z)=\frac{E(z,t)}{A}& x_1<E(z,t)\le x_2\\ {\mu }_L(E(z,t),z)=2-\frac{E(z,t)}{A}& x_2<E(z,t)\le x_3\\ {\mu }_L(E(z,t),z)=0& E(z,t)\ge x_3\end{array}\right)$

例如：对于正小(PS)，即L＝PS，其左端点、顶点及右端点的值分别为0，A，2A，即：x₁＝0；x₂＝A；x₃＝2A，所以

输入E(z，t)对于正小(PS)的隶属度为：

$\left(\begin{array}{cc}{\mu }_{\mathrm{PS}}(E(z,t),z)=0& E(z,t)\le 0\\ {\mu }_{\mathrm{PS}}(E(z,t),z)=\frac{E(z,t)}{A}& 0<E(z,t)\le A\\ {\mu }_{\mathrm{PS}}(E(z,t),z)=2-\frac{E(z,t)}{A}& A<E(z,t)\le 2A\\ {\mu }_{\mathrm{PS}}(E(z,t),z)=0& E(z,t)\ge 2A\end{array}\right)$

对于语言变量负大NL和正大PL，其隶属度曲线有所差异，其输入E(z，t)对于负大NL和负大PL的隶属度分别为：

$\left(\begin{array}{cc}{\mu }_{\mathrm{NL}}(E(z,t),z)=1& E(z,t)\le -3A\\ {\mu }_{\mathrm{NL}}(E(z,t),z)=2-\frac{E(z,t)}{A}& -3A<E(z,t)\le -2A\\ {\mu }_{\mathrm{NL}}(E(z,t),z)=0& E(z,t)\ge -2A\end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{cc}{\mu }_{\mathrm{PL}}(E(z,t),z)=0& E(z,t)\le 2A\\ {\mu }_{\mathrm{PL}}(E(z,t),z)=\frac{E(z,t)}{A}& 2A<E(z,t)\le 3A\\ {\mu }_{\mathrm{PL}}(E(z,t),z)=1& E(z,t)\ge 3A\end{array}\right)$

同理可以得到输入R(z，t)对于各语言变量隶属度值μ_L(z，t)，z)。

从图3可以看出输入R(z，t)和输入E(z，t)的隶属度函数相同，因此将输入E(z，t)换成R(z，t)，就可以得到输入R(z，t)对于各语言变量隶属度值μ_L(R(z，t)，z)。

输出u_i(z，t)的值与对应的模糊集之间的关系如表2所示。

表2输出u_i(z，t)的值与对应的模糊集

例如，从表2可以看出，当输出u_i(z，t)为PXS时，u_i(z，t)的值为B，即：

U_PXS(z，t)＝B。

B、三域模糊推理

在空间一点z，三域线性模糊规则库如表3所示。

表3三域线性模糊规则库

  R(z，t)/E(z，t)  NL  NM  NS  ZR  PS  PM  PL  PL  ZR  PXS  PS  PM  PL  PXL  PXXL  PM  NXS  ZR  PXS  PS  PM  PL  PXL  PS  NS  NXS  ZR  PXS  PS  PM  PL  ZR  NM  NS  NXS  ZR  PXS  PS  PM

  NS  NL  NM  NS  NXS  ZR  PXS  PS  NM  NXL  NL  NM  NS  NXS  ZR  PXS  NL  NXXL  NXL  NL  NM  NS  NXS  ZR

第k条规则为：

R_k：如果输入E(z，t)为H₁^k，且输入R(z，t)为H₂^k，则输出u_k(z，t)为I^k。其中：H₁^k、H₂^k分别为输入E(z，t)和R(z，t)的三域模糊集；

I^k为输出u(z，t)的三域模糊集；

k＝1，2，…，49。

采用最小值法，得到μ_k(z，t)的值为：

${\mu }_k(z,t)=\min \left[{\mu }_{H_1^k}(E(z,t),z)\text{,}{\mu }_{H_2^k}(R(z,t),z)\right].$

中括号中一个是输入E(z，t)对于各语言变量隶属度值μ_L(E(z，t)，z)，另一个是输入R(z，t)对于各语言变量隶属度值μ_L(R(z，t)，z)，其计算方法在前面已介绍。对于不同的空间点，其取值不同。式中：μ_k(z，t)为对应的输出u_k(z，t)的隶属度函数值。

例如，对于规则：如果E(z，t)为NM，且R(z，t)为PS，则由表可以得到输出u_k(z，t)为PXS。此时：

${\mu }_k(z,t)=\min \left[{\mu }_{H_1^k}(E(z,t),z)\text{,}{\mu }_{H_2^k}(R(z,t),z)\right]$

$=\min [{\mu }_{\mathrm{NM}}(E(z,t),z),{\mu }_{\mathrm{PS}}(R(z,t),z)]$

u_k(z，t)＝u_PXS(z，t)＝B。

C、三域解模糊化

采用集的中心法获得三域模糊逻辑控制器的精确输出u(z，t)，其表达式为：

$u(z,t)=\frac{\underset{k=1}{\overset{m}{\Sigma }}{\mu }_k(z,t)u_k(z,t)}{\underset{k=1}{\overset{m}{\Sigma }}{\mu }_k(z,t)},$

式中：m为被触发规则的条数。

3)三域模糊PID控制器的输出U_PID(z，t)

获得三域模糊逻辑控制器的输出u(z，t)后，再分别经积分项及输出增益K₀(z)和输出增益K₁(z)，得到三域模糊PID控制器的输出U_PID(z，t)。

U_PID(z，t)＝K₀(z)∫u(z，t)dt+K₁(z)u(z，t)，

式中：K₀(z)、K₁(z)为输出增益。

4)空间降维

因为实际工程中不可能控制空间的每一个点，所以用有限个传感器来获取空间信息。将空间多个点的控制量的信息压缩为一个点，然后获得控制器的控制量。假设在空间[α，β]内的点z₁，z₂，…，z_n处依次布置n个测量传感器，则得到实际工业应用中只与时间t有关的控制量U(t)的表达式为：

$U\left(t\right)=\frac{\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}\Delta z_i{U}_{\mathrm{PID}}(z_i,t)}{\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}\Delta z_i};$

式中：Δz_i为离散区间，且：z₁＞α，z_n＜β，z_n+1＝β，Δz_i＝z_i+1-z_i；i＝1，2，…，n5)

参数调节

A、三域模糊PID控制器各参数对控制性能的影响

三域模糊PID控制器中的参数为四个，即：K_e(z)、K_d(z)、K₀(z)和K₁(z)。一般地，令K_e(z)＝1，所以只要考虑三个参数K_d(z)、K₀(z)和K₁(z)对控制性能的影响。不失一般性，对于空间一点z，设K_d(z)、K₀(z)和K₁(z)的值分别为K_d、K₀和K₁。

I)K_d对控制性能的影响：当K_d选择较大时，超调量小，但上升时间过长；当K_d选择较小时，会加快系统响应，减小上升时间，但会增加系统超调量；

II)K₀对控制性能的影响：当K₀选择较大时，系统超调量较大，甚至会发生振荡；当K₀选择较小时，系统的上升时间会增大，同时可能产生稳态误差；

III)K₁对控制性能的影响：当K₁选择较大时，会导致系统产生振荡；当K₁选择较小时，系统响应减慢，上升时间增大。

B、参数调节

先令K_e(z)＝1；K₀(z)＝a；K₁(z)＝b；K_d(z)＝c，即各空间点的参数一样。采用传统PID的参数调节方法，对个参数进行参数调节，使控制性能满足用户要求。如还不满足用户要求，则对于不同的空间点z，调整K_d(z)、K₀(z)和K₁(z)的值，使系统的响应满足用户要求。

6)对被控对象进行控制

参数整定好后，就可以对被控对象进行控制。采用单位反馈闭环控制，控制系统原理如图5所示。控制量U(t)经执行机构作用于被控对象，对其进行有效的控制。反馈量由检测装置进行测量。

本发明与技术背景相比，具有的有益效果是：

1)控制器不依赖于数学模型。采用模糊逻辑控制原理，在不需要建立数学模型的情况下，可以对被控对象进行控制，且能获得良好的控制性能。

2)控制器的设计考虑了空间信息。针对分布参数系统的状态与空间信息有关的特点，在传统模糊PID控制的基础上，考虑了空间信息，使得控制器对于分布参数系统的控制性能得到了明显的改善。

3)控制系统鲁棒性好。由于模糊控制固有的鲁棒性，使得控制器的鲁棒性得到提高。

附图说明

图1是模糊变量图；(a：传统模糊变量，b：三域模糊变量)

图2是本发明三域模糊PID控制器结构原理图(a：控制器示意图，b：三域模糊控制内部结构原理图)；

图3是输入E(z，t)和R(z，t)的隶属函数图(a为包括所有语言变量的隶属的函数图，b为其中PS的隶属函数图)；

图4输出u(z，t)的隶属函数图；

图5是输出u(z，t)的隶属函数图；

图6是催化反应示意图；

图7是三域模糊PID温度控制曲面；

图8是二维模糊PID温度控制曲面。

具体实施方式

实施例1

考虑一催化反应器，如图6所示。整个催化反应发生在绝热容器内的均匀棒上，该反应是放热反应。反应物从A端进入，生成物从B端流出，均匀棒上期望的反应温度是0℃，故在棒上安装冷却装置以保证催化反应正常进行。均匀棒的温度在空间分布特性可以用如下的偏微分方程描述：

$\frac{\partial T(z,t)}{\partial t}=\frac{{\partial }^{2}T(z,t)}{{\partial z}^2}+{\beta }_T\exp (-1+T(z,t))+{\beta }_U[b\left(z\right)u\left(t\right)-T(z,t)]-{\beta }_T\exp (-\tau )$

边界条件和初始条件为：

$\left(\begin{array}{cc}T(z,t)=0,& z=0\\ T(z,t)=0,& z=0\\ T(z,t)=T_0\left(z\right),& z=0\end{array}\right)$

式中：β_T为反应热(β_T＝50)；τ为激活能(τ＝4)；β_U为传热系数(β_U＝2)；T(z，t)为温度在均匀棒上的分布(z∈[0，π])；T₀(z)为空间特性的初始温度；b(z)u(t)为空间特性的冷却源；b(z)为冷却源空间分布；u(t)为控制输入。

该反应器中均匀布置了二个冷却源，例如：b¹(z)＝0.5δ(z-0.25π)，和b²(z)＝0.5δ(z-0.75π)，其中δ(·)为狄拉克函数。在均匀棒上布置7个温度传感器来测量温度，它们的位置为：z_p＝[π/8，π/4，3π/8，π/2，5π/8，3π/4，7π/8]。因为此过程是一个不稳定过程，所以需加控制器使得棒上的温度稳定在0℃，以使反应正常进行。以采用三域模糊PID控制算法为例，具体实施步骤如下：

被控对象：均匀棒上的冷却源；控制量：温度(目标值为0℃)

1)输入和输出隶属度函数的确定：输入E(z，t)和R(z，t)的语言变量选择为7个，隶属度函数都选择空间三棱柱形(如图3所示)，隶属度函数之间的距离A为1/3，模糊论域为[-1，1]。输出u(z，t)的语言变量选择为13个，隶属度函数选择空间模糊单点集(如图4所示)，宽度B为1/3，模糊论域为[-2，2]。

2)输入值的获取：在均匀棒上布置了7个温度传感器来测量温度，它们的位置为z_p＝pπ/8，其中：p＝1，2，…，7。获得各个点的温度后，经量化后可以得到各个点的误差及误差导数的量化值E(z_p，t)和R(z_p，t)。

3)参数调节：综合考虑三个参数K_d(z)、K₀(z)和K₁(z)对控制性能的影响及参数调节的步骤，调节三域模糊PID的参数，得到各参数的值如表3所示。

表3三域模糊PID的参数值

  K_e(z)  K_d(z)  K₀(z)  K₁(z)  u¹(t)  1  0.205  3.45  5.175  u²(t)  1  0.22  4.845  7.268

因为布置了两个冷却源，所以采用两个三域模糊PID控制器进行控制。U1控制冷却源b¹(z)，U2控制冷却源b²(z)。获得各参数值后，由前面获得的输入值E(z_p，t)和R(z_p，t)经三域模糊逻辑控制器后可以获得三域模糊PID控制器的输出U_PID(z，t)。

4)对被控对象进行控制：

对三域模糊PID控制器输出U_PID(z，t)进行空间离散化，离散数n为7，离散区间为Δz＝π/8，得到U(t)的表达式为：

$U\left(t\right)=\frac{\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}\mathrm{\Delta z}{U}_{\mathrm{PID}}(z_i,t)}{\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}\mathrm{\Delta z}}=\frac{1}{8}\underset{i=1}{\overset{7}{\Sigma }}{U}_{\mathrm{PID}}(z_i,t)$

说明：给定的参数是一组为7个，反馈的温度值也为一组7个；2组值分别作差后得到1组7个误差值送入三域模糊PID控制器中，输出的结果为1组7个控制量，所述的控制量经过上式空间降维得到最终控制量U(t)到冷却棒(每一个冷却棒对应一个最终控制量，两者是相互独立的)。

U(t)作用由执行器作用到被控对象上，得到均匀棒的温度输出，如图7所示。冷却源位置相同，采用传统的二维模糊PID控制，且参数与自整定三域模糊PID控制一致时，均匀棒的温度输出和控制量如图8所示。从图7和图8可以看出，本发明控制器的上升时间t_r和最大超调量M_p比传统的二维模糊PID控制小，提高了对于分布参数系统的控制性能。