利用空间四阶累积量矩阵束的盲源分离

摘要

窄带假设条件下低信号与噪声干扰比的统计独立信号的盲源分离(BSS)技术利用累积量和信号子空间的谱估计进行盲分离。该BSS技术利用高阶统计方法，特别是四阶累积量，以及矩阵束的广义本征分析对未知的、统计独立的、平稳的低信号与噪声干扰比窄带信号进行盲分离，能够在空间和/或时间相关高斯噪声中分离信号。该BSS技术提供了当没有一种二阶技术能够执行盲分离的情况下进行盲分离的一种方法，例如在低信噪比，当源数目等于传感器数目或噪声是空间和时间有色噪声的情况下。

说明书

本发明要求于2002年4月22日提交的美国临时申请第60/374,149号、标题是“Blind Source Separation Using A SpatialFourth Order Cumulant Matrix Pencil”的优先权，该文献在此被全文引用作为参考。

本发明一般涉及从混合源信号中分离出单独的源信号，特别涉及盲源分离。

盲源分离(BSS)通常是指从混合若干单独信号的复合信号中恢复出这些单独的源信号，是信号处理的一个典型问题。熟悉的“鸡尾酒会”效应就是一个例子，聚会的参加者能够从房间中所有人的混合声音中分离出一个单独的声音。这种分离之所以称为“盲”分离，是因为该分离通常是对信号和信号源的信息有限的情形下进行的。

盲源分离(BSS)在蜂窝移动和个人无线通讯技术领域特别有用，其中许多频带通过众多的电磁发射源聚集在一起，通常在相同的频谱上共存。仅仅在近几年内，伴随着如蓝牙(Bluetooth^)和其它个人区域网络等低功率、不需注册的无线技术的发展，共信道发射源的问题将会更加恶化。这些发展导致采用多传感器和阵列信号处理技术执行频谱监测。这种技术能利用空间信息分离共信道发射源，从而实现检测、分类和识别。此外作为一种隐蔽的方法，为低概率检测(LPD)或者低概率截取(LPI)设计的许多信号都会使用周围背景中的电磁辐射和已知的共信道发射源。通常不允许按照这些发射源所需要的灵敏度构造单传感器接收系统。这样，许多应用都使用了BSS和传感器阵列。

解决BSS问题的技术有几种，这些技术可以分为两个主要的类别。第一种基于二阶统计；第二种基于高阶统计，如基于独立分量分析(ICA)和其他高阶谱估计与空间滤波技术。

一种二阶盲源分离技术是谱估计方法，它利用信号子空间的旋转不变性估计到达的方向。这种技术称为利用旋转不变性的信号参数估计法(ESPRIT)，它利用了校准元素对和由空间相关与互相关矩阵构造的矩阵束。例如参见R.Roy，A.Paulraj和T.Kailath的文献“Direction-of-Arrival Estimation by Subspace Rotation Methods”，Proc.ICASSP86，pp.2495-2498以及R.Roy和T.Kailath的文献“ESPRIT-Estimation of Signal Parameters via RotationalInvariance Techniques”，IEEE Trans.On ASSP，vol.37，No.7，Jul.1989，pp.984-995，每篇都在此被全文引用作为参考。但ESPRIT有一个缺点，当信噪比很低时，信号加噪声的子空间和噪声的子空间不可分，这使得空间相关矩阵噪声子空间的变换不能实现。部分原因是因为ESPRIT将噪声子空间转换到空间相关矩阵的零子空间时需要估计噪声方差，并假设噪声是空间白噪声。

另一种二阶盲源分离技术是众所周知的常数模算法(CMA)，又称之为Goddard算法。CMA是一种自适应空间滤波技术，通过确定一组空间滤波器抽头的权值，强制输出信号的模值尽可能地接近单位值，从而进行源分离。典型的是，CMA是按次序执行以分离所有的源信号。CMA算法可以用于盲均衡技术以减少在电话信道中常数模信号的符号间干扰，如FSK，PSK和FM调制信号(例如参见D.N.Goddard的文献“Self-recovering Equalization and Carrier Trackingin Two-dimensional Data Communication Systems”，IEEE Trans.Commun.，Vol.COMM-28，Nov.1980，pp.1867-1875，该文献在此被全文引用作为参考)；还可以进行盲均衡以防止多通道衰落和抑制同信道干扰信号(例如参见B.G.Agee的博士论文，“The PropertyRestoral Approach to Blind Adaptive Signal Extraction”，加利福尼亚大学电子工程与计算机科学系，Davis，1989，该文献在此被全文引用作为参考)。但是，CMA技术仅适用于常数模信号，而对于大多数应用都不适用。在实际应用中，因为将信号滤波以限制信号在发射机端的频谱占用率，限制接收机端的噪声带宽，真正的常数模信号是很少见的。此外，在很低的信噪比情况下噪声在输入信号中占主导地位，这就使得空间滤波器输出信号的模发生畸变，从而使自适应过程中误差信号产生巨大的波动。

还有一种二阶盲源分离技术是假设源信号都是循环平稳信号时，利用二阶循环平稳统计的空间滤波技术。该技术被开发作为用于盲均衡的盲单输入单输出(SISO)信道识别技术(例如参见L.Tong，G.Xu，T.Kailath等人的文献“Blind Identification and Equalization Basedon Second-Order Statistics：A Time-domain Approach”，IEEE Trans.Information Theory，Vol.40，No.2，Mar.1994，pp.340-349，该文献在此被全文引用作为参考)，而后经修改用于循环平稳信号的盲分离(例如参见L.Castedo和A.R.Figueiras-Vidal等人的文献，“An AdaptiveBeamforming Technique Based on Cyclostationary Signal Properties”，IEEE Trans.Signal Processing，Vol.43，No.8，Jul.1995，pp.1637-1650，该文献在此被全文引用作为参考)。循环平稳方法的一个缺点是分离多个叠加信号时需要不同的符号率和/或不同的载波频率。另一个缺点是具有随机初始相位的剩余载波偏置能使信号变得平稳，从而使得循环平稳的假设无效。还有一个缺点是，这种方法事实上不能可分离采用非线性或非数字调制的源，而且假设噪声矢量在时域和空间上都是白噪声。

再有一种基于二阶统计的盲源分离技术是指二阶盲识别(SOBI)。该技术的描述例如参见A.Belouchrani，K.Abed-Meraim，J.F.Cardoso和E.Moulines等人的文献，“Blind Source SeparationUsing Second-Order Statistics”，IEEE Trans.Signal Processing，Vol.45，No.2，Feb.1997，pp.434-444，该文献在此被全文引用作为参考。SOBI技术利用源信号的时间相干性并依赖于一系列协方差矩阵的连接对角化。该技术的缺点之一是它要求加性噪声是时域白噪声，并用零滞后矩阵的本征值估计噪声方差和将传感器的输出矢量空间白化。缺点之二是在低信噪比情况下，噪声方差的估计极其困难，在多数情况下是不可能的。缺点之三是源的数目必须是已知的或可以估计。缺点之四是SOBI技术仅对空间相关噪声有效。甚至在高信噪比的条件下噪声协方差的估计也是极其困难的，这使得该技术不实用。

另一种二阶盲源分离技术是基于空间协方差矩阵束的广义特征分解。该技术涉及到ESPRIT算法，但不需要2N个传感器分离多至N-1个信号，这是因为空间协方差矩阵对的估计利用了时间和/或极化分集。该技术使用双极化阵列并在两个正交极化方向上估计空间协方差矩阵以构造矩阵束。例如参见A.Belouchrani，K.Abed-Meraim，J.F.Cardoso和E.Moulines等人的文献，“Blind Source SeparationUsing Second-Order Statistics”，IEEE Trans.Signal Processing，Vol.45，No.2，Feb.1997，pp.434-444，该文献在此被全文引用作为参考。后者进一步发展，可以用一个零时滞和一个非零时滞的空间协方差矩阵构造矩阵束。该技术的一个缺点是限于用N个传感器最多能分离N-1个源。部分原因是因为需要估计噪声方差，这与ESPRIT算法相同，并假设噪声是空间和时间白噪声。

最后，另一种二阶盲源分离技术在估计空间协方差矩阵时用到两个非零时滞。例如参见C.Chang，Z.Ding，S.F.Yau和F.H.Y.Chan等人的文献”，A Matrix-Pencil Approach to Blind Separation ofNon-White Sources in White Noise”，Proc.ICASSP98，Vol.IV，pp.2485-2488，以及C.Chang，Z.Ding，F.H.Y.Chan和S.F.Yau等人的文献，“A Matrix-Pencil Approach to Blind Separation of ColoredNon-Stationary Signals”，IEEE Trans.Signal Processing，Vol.48，No.3，Mar.2000，pp.900-907，两篇文献每篇都在此被全文引用作为参考。非零时滞结合假设噪声矢量是时域白噪声使得不需要为了去除噪声子空间而估计噪声方差，这使得该技术能够用N个传感器分离最多N个源。但这种二阶矩阵束技术的缺点是它要求噪声矢量是时域白噪声，而且实际上分离矩阵的估计在有零时滞的空间协方差矩阵之一时没有完成，当信号自相关达到其最大值是这样。实际上，噪声带宽在许多实际应用中被限制在信号带宽的量级上以使噪声和信号的解相关时间近似相等，从而进一步恶化了这些不利因素。

高阶盲源分离技术包括使用超过二阶统计的所有方法。这包括独立分量分析(ICA)方法，空间滤波方法和基于谱估计的方法，以及能够利用三阶或更高阶累积量或矩。

独立分量分析(ICA)方法寻找一个分离矩阵，使分离处理的输出量之间的统计独立性最大化。例如参见A.K.Nandi的著作《BlindEstimation Using Higher-Order Statistics》(Kluwer Academic，Dordecht，the Netherlands：1999)；A.Hyvrinen的文献，”Survey onIndependent Component Analysis”，Neural Computing Surveys，Vol.2，No.1，1999，pp.94-128；和J.F.Cardoso的文献，“Blind SignalSeparation：Statistical Principles”，Proc.Of the IEEE，Vol.9，No.20，Oct.1998，pp.2009-2025，这些文献在此被全文引用作为参考。已知的ICA方法有许多种，主要用衡量统计独立性的目标/对比函数进行区分。基于ICA的盲源分离算法的实例包括Jütten-Herault算法(例如参见C.Jütten和J.Herault的文献，“Blind Separation of Sources，Part I：An Adaptive Algorithm Based on NeuromimeticArchitectures”，Signal Processing，Vol.24，1991，pp.1-10，该文献在此被全文引用作为参考)，该算法试图用一个神经网络消除非线性相关从而完成分离；高阶本征值分解或HOEVD方法(例如参见P.Comon的文献，“Independent Component Analysis，a New Concept？”，Signal Processing，Vol.36，No.3，Apr.1994，pp.287-314，该文献在此被全文引用作为参考)；特征矩阵连接近似对角化(JADE)算法(例如参见J.F.Cardoso和A.Suoloumiac等人的文献，“BlindBeamforming for Non-Gaussian Signals”，IEE Proceedings F，Vol.140，No.6，Dec.1993，pp.362-370，该文献在此被全文引用作为参考)，该算法利用了四阶累积量张量的本征结构；信息最大化或Infomax技术(例如参见A.J.Bell和T.J.Sejnowski文献，“AnInformation-Maximization Approach to Blind Source Separation andBlind Deconvolution”，Neural Computing，Vol.7，1995，pp.1129-1159，该文献在此被全文引用作为参考)，该技术寻找使输出熵最大化的分离矩阵；等变化自适应源分离或EASI算法(例如参见J.F.Cardoso和B.Hvam Laheld的文献，“Equivariance Adaptive Source Separation”，IEEE Trans.On Signal Processing，Vol.44，No.12，Dec.1996，pp.3017-3030，该文献在此被全文引用作为参考)，其中选择混合矩阵的估计值，以使传感器输出数据中的变换在估计的混合矩阵中产生相同的变换。这些ICA技术的缺点包括以下几点：(1)需要预白化的步骤，(2)这些技术需要针对应用调整参数，(3)基于ICA的技术有收敛慢的趋势。

另一种高阶盲源分离技术，即所谓的峰度最大化算法(KMA)，利用峰度作为分离的度量(例如参见Z.Ding的文献，“A New Algorithmfor Automatic Beamforming”，Proc.25^th，Asilomar Conf.Signals，Syst.Comput.Vol.2，1991，pp.689-693，和Z.Ding，T.Nguyen的文献，”Stationary Points of Kurtosis Maximization Algorithm for BlindSignal Separation and Antenna Beamforming”，IEEE Trans.SignalProcessing，Vol.48，No.6，Jun.2000，pp.1587-1596，这两篇文献都在此被全文引用作为参考)。KMA算法是一种具有非确定收敛时间的自适应空间滤波技术。KMA的一个缺点是不能同时分离源信号，它要求从具有最大峰度的信号开始，按次序一次一个地分离源。因此，该技术不能提供信号数目的信息。KMA的其它缺点是要求噪声是空间白噪声，以及仅在无噪声的情形下证明了其多信号的收敛性。

最后，另一种高阶盲源分离技术是ESPRIT算法的高阶版本。顾名思义，高阶ESPRIT算法用空间四阶累积量矩阵代替了空间相关或协方差矩阵。各种类型的高阶ESPRIT技术的描述参见H.H.Chiang和C.L.Nikias的文献，“The ESPRIT Algorithm with High-OrderStatistics”，Proc.Workshop on High-Order Spectral Analysis，Vail，CO.，Jun.1989，pp.163-168；C.L.Nikias与A.P.Petropulu的文献，“Higher-Order Spectra Analysis：A Nom-Linear Signal ProcessingFramework”(PTR Prentice-Hall，Upper Saddle River，NJ：1993)以及M.C.Dogan与J.M.Mendel的文献，“Applications of Cumulants toArray Processing-Part I：Aperture Extension and ArrayCalibration”，IEEE Trans.Signal Processing，Vol.43，No.5，May 1995，pp.1200-1216，所有这些文献均在此被全文引用作为参考。这些高阶ESPRIT技术具有一些缺点。因为不再需要估计噪声的方差，一些高阶ESPRIT技术需要校准N对传感器而最多能分离N个源。其他高阶ESPRIT技术则要求校准阵列以保证传感器对具有相同的簇(与标准的ESPRIT技术相同)。当传感器对的簇之间相互偏离时这些技术的性能明显降低。

上面提及的每一种盲源分离技术都有明显的缺点。此外，在低信号与噪声干扰比的情况下，上面提及的盲源分离技术都不能令人满意地工作。因此，需要一种改进的盲源分离技术。

在本发明的一个实施例中，分离多个信号的方法包括生成一个分离矩阵作为用多个单元接收多个信号的时差和一个空间四阶累积量矩阵束的函数，待分离的多个信号是由多个源分别提供并由一个包含多个单元的阵列接收。该方法还包括用分离矩阵乘以多个信号的矩阵表示。

在本发明的另一个实施例中，提供一个用于分离由多个源分别提供的多个信号的系统，该系统包括一个接收多个信号和提供接收信号的接收机。该系统还包括一个信号处理器，用于接收信号，生成分离矩阵，用分离矩阵乘以接收信号的矩阵表示。分离矩阵是接收机接收多信号的时差的函数，也是一个空间四阶累积量矩阵束的函数。

附图简述

图1是根据本发明的一个实施例，利用空间四阶累积量矩阵束进行盲源分离的系统功能框图；

图2示出了根据本发明的一个实施例的信号源，阵列单元，以及进行阵列信号处理和BSS处理的处理器；

图3示出了一个包含具有相异辐射模式的5个未知源和具有相异接收模式的5个传感器的MIMO盲信道估计情形；

图4是传感器和源之间时延的图示；

图5示出了盲源分离(BSS)，其中提供给分离处理一个混入噪声的输入信号；

图6示出了针对单个重复本征值重复分离的过程；

图7是根据本发明一个实施例，使用空间四阶累积量矩阵束执行盲源分离过程的流程图；

图8是图7流程图的继续。

详述

根据本发明，盲源分离(BSS)技术利用累积量和信号子空间的谱估计在窄带假设条件下对低信噪比的统计独立信号进行盲分离。该BSS技术利用矩阵束的广义本征分析，该矩阵束定义在两个相似的空间四阶累积量矩阵上。这里描述的BSS技术利用高阶统计方法，特别是四阶累积量，以及矩阵束的广义本征分析对未知的、统计独立的、平稳的低信噪比窄带信号的线性混合进行盲分离，能够在空间和/或时间相关高斯噪声中分离信号。该BSS技术提供了当没有一种二阶技术能够执行盲分离的情况下进行盲分离的一种方法，例如当源数目等于传感器数目时信噪比低的情况。

为了描述该BSS技术，本文提出了适合于用不等增益和/或定向传感器进行盲源分离的空间四阶累积量矩阵的一个定义，和利用时间信息的空间四阶累积量矩阵束的一个定义。这里的描述还使用了分离功率效率(SPE)的概念作为BSS技术性能的度量，将矩阵束之间广义等价性的概念应用于矩阵代数范畴。

总的来说，这里描述的BSS技术利用累积量和信号子空间的谱估计，在空间和/或时间相关的低信噪比噪声条件下进行盲分离。在推导基于累积量的分离算法之前，本文先提出一种窄带阵列模型，陈述所有假设，定义四种性能度量，并提出允许从空间累积量矩阵提取空间混合矩阵信息的相关累积量特性。接着提出空间累积量矩阵的新颖定义并推导出其相关矩阵特性，以决定哪一种数学方法能有效提取混合矩阵的空间信息。此外，本文给出空间四阶累积量矩阵两个可选择的定义并推导相关的特性，并探索矩阵束广义本征分析的定义、特性和使用及其解决盲源分离问题的适用性，该矩阵束定义在两个相似的空间四阶累积量矩阵上。本文描述使用矩阵束在信号子空间技术基础上进行盲源分离的过程。在该过程中提出矩阵束之间广义等价性的概念，并用来揭示在两个相似空间四阶累积量矩阵上定义的矩阵束的广义本征值等于每个源在时滞(0，0，0)的四阶累积量与时滞(τ₁，τ₂，τ₃)的四阶累积量的比值。此后介绍规格化自累积量函数的概念。为了进一步帮助理解该BSS技术，本文用到的符号如下。

M≡源的数目。

N≡传感器的数目。

P_j≡第j个源信号的规格化功率。

m_j(t)≡第j个源的连续时间单位功率调制信号。

s_j(t)≡第j个源的连续时间信号，等于

r_j(t)≡信号s_j(t)的延迟。

x_j(t)≡来自第i个传感器的连续时间信号。

x(t)≡传感器输出矢量。

h_ij(t)≡第j个源与第i个传感器之间信道的连续时间脉冲响应。

n_i(t)≡第i个传感器的加性噪声过程。

σ_i²≡第i个传感器噪声过程的方差。

τ_ij≡从第j个源到第i个传感器的传播延迟。

Δτ_l，k，j≡“差分时延”。第j个源输出到第k个传感器输出的传播延迟与第j个源输出到第l个传感器输出的传播延迟的差。

     ＝τ_lj-τ_kj

τ_j≡从第j个源到阵列的邻域内某个任意的阵列参考点的“参考时延”。标称可以是第j个源到所有N个传感器的平均传播延迟。

Δτ_ij≡“相对时延”。从第j个源到第i个传感器和到阵列参考点的传播时间的差。

τ≡平稳过程相关性中的时差。

v_ij≡窄带模型第j个源对于第i个传感器的复权值。

“混合矩阵”的ij元素，表示第j个方向矢量的第i个元素。

v_j≡窄带模型第j个方向矢量。

V≡窄带模型“混合矩阵”。

w_ij≡窄带情形第j个源对于第i个传感器的复权值。

“分离矩阵”的ij元素，表示第j个传感器权值矢量的第i个元素。

W≡“分离矩阵”。

α_ij≡从第i个源输出到第j个传感器输出的信道实数增益(衰减)。

BW_NEq[]≡噪声等价带宽。

BW_ij^COH≡第j个源和第i个传感器之间的相干带宽。

y_j(t)≡分离处理的第j个输出。它是第j个延迟源信号r_j(t)的噪声估计。

y(t)≡分离处理的输出信号矢量。

ρ_j≡第j个信号损耗项。“损耗”矩阵的元素。

S_j≡第j个源信号的分离处理输出信号功率。

I_j≡第j个分离处理输出的残余干扰功率。

N_j≡第j个分离处理输出的噪声功率。

ζ_j≡第j个分离处理输出的“干扰与信号比”。

ISR_avg≡“平均干扰与信号比”。

ISR_max≡“最大干扰与信号比”。

ξ_j≡盲源分离算法对于第j个源的“功率效率”。

ξ_avg≡盲源分离算法的“平均功率效率”。

ξ_min≡盲源分离算法的“最小功率效率”。

C_x⁴(τ₁，τ₂，τ₃)≡延迟(τ₁，τ₂，τ₃)时的N×N“空间四阶累积量矩阵1”。

C_x^4′(τ₁，τ₂，τ₃)≡延迟(τ₁，τ₂，τ₃)时的N×N“空间四阶累积量矩阵2”。

C_x^4″(τ₁，τ₂，τ₃)≡延迟(τ₁，τ₂，τ₃)时的N×N“空间四阶累积量矩阵3”。

Cum[]≡累积操作符。

c_rj⁴(τ₁，τ₂，τ₃)≡第j个源信号延迟(τ₁，τ₂，τ₃)时的四阶累积量。也指四阶自累积量。

≡“修正混合矩阵”，定义为阿达马(Hadamard)积V⊙V⊙V。

c_rj⁴(τ₁，τ₂，τ₃)≡第j个源信号延迟(τ₁，τ₂，τ₃)时的规格化四阶累积量。也指规格化四阶自累积量。

C_r⁴(τ₁，τ₂，τ₃)≡延迟(τ₁，τ₂，τ₃)时的M×M对角“四阶信号累积量矩阵”。

C( )≡矩阵的“列空间”。

N_r( )≡矩阵的“右零空间”。

N_l( )≡矩阵的“左零空间”。

I_N≡N×N单位阵。

tr( )≡矩阵的“迹”。

sp( )≡子空间的“距”。

ρ( )≡矩阵的“秩”。

≡时延{τ₁，τ₂，τ₃}的矢量符号。

≡使用一对空间四阶累积量矩阵1的“空间四阶累积量矩阵束”。

≡使用一对空间四阶累积量矩阵2的“空间四阶累积量矩阵束”。

≡使用一对空间四阶累积量矩阵3的“空间四阶累积量矩阵束”。

≡使用一对四阶信号累积量对角矩阵的“四阶信号累积量矩阵束”。

λ(A，B)≡定义在矩阵A和B上的束的“谱”，广义本征值的集合。

≡定义在矩阵A和B上的束的“有限谱”，非零有限广义本征值的集合。

λ_j≡定义在一对空间四阶累积量矩阵上的束的“第j个本征值”。有M个这样的本征值(计算重复度)。λ_j取K个μ_k值中的一个。

μ_k≡定义在一对空间四阶累积量矩阵上的束的“第k个相异本征值”，有K个这样的值，即λ_j所取的值。

g_k≡索引的集合，{j}，其中λ_j＝μ_k。

≡与本征值λ_j相联系的、定义在一对空间四阶累积量矩阵上的束的N×1“第j个本征矢量”

$>>>ϵ>j>>\equiv >>>>e>^>>j>>H>>>v>j>>.>>>$

γ_j≡第j个本征矢量的“规格化因子”。 $>>>\gamma >j>>=>>1>>|>>ϵ>j>>|>>>.>>>$

η_k^geom≡本征值的“几何”重复度。

η_k^alg≡本征值的“代数”重复度。

η_k≡当 $>sup>>\eta >k>geomsup>>=sup>>\eta >k>algsup>>>>时，本征值的“重复度”。$

图1是根据本发明的一个实施例，利用空间四阶累积量矩阵束进行盲源分离的系统100的功能框图。系统100包含一个接收机11和一个信号处理器12。接收机11接收可以表示为由多个源分别提供的多个信号s(t)，并给信号处理器12提供信号x(t)。接收机可以是为接收信号s(t)配置的任何接收设备。例如，信号s(t)可以是声学信号，光学信号，地震信号，电磁信号或其组合，接收机11可以配置以接收相应类型的信号。在一个实施例中，接收机配置为一个具有多个单元的阵列。接收信号s(t)后经过适当的处理(例如时延和复用)，以信号x(t)的形式提供给信号处理器12。

信号处理器12可以是适合处理信号x(t)的任何配置，例如一般用途的计算机，膝上型电脑，专用计算机，硬件实现的处理器及其组合。信号x(t)可以是任意适当的格式，如光学信号，电磁信号，数字信号，模拟信号及其组合。下面将作更详细的说明，信号处理器12包含矩阵束估计部分13，非零本征值求解部分14，相异本征值数目计算部分15，重复度求解部分16，线性无关本征矢量计算部分17，规格化因子计算部分18，分离矢量生成部分19，以分离矩阵生成部分20，以及一个可选的分离功率效率计算部分21。矩阵束估计部分13用来估计空间四阶累积量矩阵束，该矩阵束是到达接收机11各单元的信号s(t)时差的函数。非零本征值求解部分14用来确定空间四阶累积量矩阵束的非零本征值。相异本征值数目计算部分15用于确定相异本征值的数目。重复度求解部分16用于确定每个有限相异本征值的重复度。线性无关本征矢量计算部分17用于计算每个有限相异本征值的线性无关本征矢量。规格化因子计算部分18用于计算规格化因子以使每个本征值的重复度等于，并生成相应的作为规格化因子函数的分离矢量和对应于重复度为1的本征值的本征矢量。分离矢量生成部分19用于为每个重复的本征值生成一个分离矢量，该矢量是对应于重复本征值的本征矢量的函数。分离矩阵生成部分20用于生成作为分离矢量函数的分离矩阵。可选的分离功率效率计算部分21根据公式ξ_j≡S_j/P_j计算分离处理的效率，其中ξ_j表示多个源中第j个源的分离功率效率，S_j表示第j个源的分离信号功率，P_j表示第j个源的规格化功率。

图2根据本发明的一个实施例示出了信号源24，阵列单元26，以及进行阵列信号处理和BSS处理的处理器22。阵列信号处理是信号处理的一个特殊分支，它涉及处理分布在特殊空间位置的传感器阵列对传播波场进行采样生成的一系列信号，例如电磁的，地震的，声学的，光学的，机械的，热学的等等及其组合。如图2所示，阵列用一组传感器26_i对由第j个源24_j在位置(图2仅示出了一个位置z_j)生成的第j个波场r_j(t，)采样，产生代表波场在每个位置z_j的信号x_i(t)。信号x_i(t)可以是能够被处理器22处理的任何适当类型的信号。信号x_i(t)的适当类型的示例包括电子信号，声学信号，光学信号，机械信号，热学信号及其组合。第i个传感器26_i提供的信号x_i(t)包含所有源24在每个传感器位置波场的和，每个都用传感器在信号到达方向r_j(t，)的响应加权，并加上一个加性噪声项n_i(t)。更详细的描述是，根据本发明处理器22用盲源分离(BSS)技术处理信号x(t)时，在不知道源信号特征，源与阵列单元之间的信道，源的位置或者阵列的几何形状的情况下，在不同的空间位置压缩干扰源信号以增强多个源信号各自的信号与干扰噪声比。

根据本发明，本文给出盲源分离技术关于源信号和噪声源基本假设的定义，并通过描述不同的多输入多输出(MIMO)阵列通道模型，根据本发明导出在BSS技术中应用的窄带模型。

盲源分离(BSS)可以应用于需要增强和表征多个未知信号的阵列信号处理的许多方面，这些信号由多个传感器产生且每一个都是原始信号的线性组合。例如，它们包括信号智能，谱监视，干扰压缩，干扰消除、定位及识别等等。特别是混合变换，源信号特征和传感器阵列簇都不知道的情况下。这样，盲源分离可以看作是一个多输入多输出(MIMO)盲信道估计问题。

图3示出了一个包含具有不同辐射模式的5个未知源，s₁，s₂，s₃，s₄，s₅，和具有不同接收模式的5个传感器，x₁，x₂，x₃，x₄，x₅，的MIMO盲信道估计情形。源，s₁，s₂，s₃，s₄，s₅，能提供，相应地传感器，x₁，x₂，x₃，x₄，x₅，可以接收声学能量，电磁能量，光学能量，机械能量，热学能量及其组合。如图3所示，具有不同辐射模式的5个未知源，s₁，s₂，s₃，s₄，s₅，产生的多个波场施加在5个传感器，x₁，x₂，x₃，x₄，x₅，组成的具有未知阵列簇的阵列上，每个源，s₁，s₂，s₃，s₄，s₅，提供各自的源信号。根据本发明BSS分离技术就是在不知道信号特征或不知道阵列灵敏度与到达或几何方向的函数关系的情况下，将阵列传感器(例如，x₁，x₂，x₃，x₄，x₅)从不同的空间位置，对源信号传播波场的集合体(组合)采样得到的这组源信号一起提取出来。

为了阐明给定多个分布于相对较小空间区域的传感器阵列的输出，一种适合于分离窄带信号的盲源分离技术并评估它的性能，逐步提出阵列的多输出多输出(MIMO)窄带信道模型，陈述所作的假设，从数学上陈述问题，并且提出评估该技术的度量都是有益的。

这样，窄带MIMO信道模型的提出就从最通用的常规MIMO信道模型开始，然后限制其信号的带宽和阵列的尺寸以简化问题，从而推导出本文应用的窄带模型。然后提出信号与噪声的设定并根据本发明从数学上和图形上详细描述盲源分离技术。接着阐述用于性能评估的两个性能度量以及分离功率效率(SPE)的新颖概念。

在此描述可以用于盲源分离问题的四个多输入多输出(MIMO)信道模型。这些模型是通用通道模型，非扩散方向路径唯一通道模型，通用有限脉冲响应通道模型以及窄带通道模型。根据本发明，下面将描述的BSS技术采用的是窄带通道模型。

通用通道模型：在最一般的情况下，每个单元的输出模型是M个源信号和源输出与传感器输出之间信道的脉冲响应卷积后求和，再加上相应于传感器输入的加性高斯噪声。即

$>>>x>i>>>(>t>)>>=>>\Sigma >>j>=>1>>M>>>v>ij>>>(>t>)>>*>>s>j>>>(>t>)>>+>>n>i>>>(>t>)>>->->->>(>1>)>>>>$

其中，*表示卷积。第j个源输出和第i个传感器输出之间信道的脉冲响应，v_ij(t)，可以是时变的，这是因为多路径传播，扩散，传感器时变响应，源移动，传感器移动等现象的存在。通用多输入多输出(MIMO)信道模型的矩阵形式如下：

$>>x>>(>t>)>>=>\left(\begin{array}{}>>>>x>1>>>(>t>)>>>>>x>2>>>(>t>)>>>>.>.>.>>>>x>N>>>(>t>)>>>>>>T>>>>\end{array}\right)$

$>>=>v>>(>t>)>>*>s>>(>t>)>>+>n>>(>t>)>>>>$

其中[]^T表示转置。

非扩散直接路径唯一通道模型：如果没有多路径，移动或扩散，那么通道脉冲响应可以用一个延迟和衰减来建模。即

v_ij(t)＝α_ijδ(t-τ_ij)                       (3)

其中，α_ij是从第j个源输出到第i个传感器输出的级联衰减/增益，τ_ij是从第j个源输出到第i个传感器输出的传输延迟。在这个模型下，如果应用δ函数的筛选特性，第i个传感器的输出(忽略噪声)变为

$>>>x>i>>>(>t>)>>=>>\Sigma >>j>=>1>>M>>>v>ij>>>(>t>)>>*>>s>j>>>(>t>)>>>>$

$>>=>>\Sigma >>j>=>1>>M>>>\alpha >ij>>\delta >>(>t>->>\tau >ij>>)>>*>>s>j>>>(>t>)>>->->->>(>4>)>>>>$

$>>=>>\Sigma >>j>=>1>>M>>>\alpha >ij>>s>>(>t>->>\tau >ij>>)>>>>$

从这个角度来看“差分”延迟的定义是从第j个源的输出到第k个传感器输出和到第l个传感器输出的传播时间的差。

Δτ_l，k，j≡τ_lj-τ_kj                     (5)

该差分时延定义了对于一给定信号，两个传感器之间到达时间的差，是传感器阵列所占空间的一个度量。此外，当从第j个源到传感器的最小传播延迟远大于最大差分传播延迟，即 $>>>min>i>>>(>>\tau >ij>>)>>>>>>>max>>l>,>k>>>|>\Delta >>\tau >>l>,>k>,>j>>>|>>>时，为了便于定位，传输时间\tau$_ij分解为两个部分，一个是“参考”延迟，其定义是从源输出到传感器输出的平均传播时间，表示为τ_j，另一个是“相对”延迟，其定义为参考时延和实际传播时间之间的传播时差，表示为Δτ_ij。从第j个源到第i个传感器装传播时间可以表示为

τ_ij＝τ_j+Δτ_ij                           (6)

图4是传感器和源之间时延的图示。图4所示传播时间的分解包含5个，标记为s₁，s₂，s₃，s₄，s₅，分别对应于参考延迟τ₁，τ₂，...，τ₅，它们产生多个波场辐射在一组5个传感器上，标记为x₁，x₂，x₃，x₄，x₅，相对时延Δτ₃₁对应于第一个源s₁和第三个传感器x₃。应用上面的定义，差分时延可以重写为：

Δτ_l，k，j≡τ_lj-τ_kj

＝(τ_j+Δτ_lj)-(τ_j+Δτ_kj)                (7)

＝Δτ_lj-Δτ_kj

差分和相对时延都应用于窄带和通用有限脉冲响应模型的公式中。

通用有限脉冲响应(GFIR)通道模型：该通用模型通常将第j个源输出与第i个传感器输出之间通道的模型，v_ij(t)，简化为一个FIR滤波器或带抽头的延迟线。既然是通用模型，GFIR模型可以是时变的，能够解释多路径传播，扩散，传感器时变响应，系统移动等等现象。v_ij(t)的模型FIR滤波器必须足够长以解决信道的多路径延迟分布和相对时延Δτ_ij，并通过定义一个源输入信号的延迟版本解释“参考”延迟τ_j。也就是说第j个源输出与传感器阵列之间的通道建模所用的到FIR滤波器组的输入为：

r_j(t)＝s_j(t-τ_j)  (8)

当衰减信道的相干带宽小于源信号的噪声等价带宽，即 _NEq[s_j(t)]延迟分离的多路径项可以分解，而衰减现象是“频率选择”的。这样通道脉冲响应可以表示为：

$>>>v>ij>>>(>t>)>>=>>\Sigma >>i>=>0>>>>L>ij>>->1>>sup>>v>ij>>(>l>)>sup>>>(>t>)>>\delta >>(>t>->2>\pi l>/>B>>W>NEq>>[>>s>j>>>(>t>)>>]>)>>->->->>(>9>)>>>>$

其中第l项的时变复值通道增益可以表示为： 

$>>>>v>ij>>>(>l>)>>>>(>t>)>>=sup>>\alpha >ij>>(>l>)>sup>>>(>t>)>>>e>>jsup>>\phi >ij>>(>i>)>sup>>>(>t>)>>>>->->->>(>10>)>>>>$

模型的长度L_ij是可分解多路径项的数目，即

其中表示上限函数。对于GFIR通道模型，FIR滤波器的长度不仅要适合于多路径延迟分布而且要适合于相对时延Δτ_ij。也就是说等式(11)变为：

在实践中，所有FIR滤波器的长度都设定为一个通用值L，其定义是

$>>L>=>>max>>i>,>j>>>>(>>L>ij>>)>>->->->>(>13>)>>>>$

当相干带宽大于源信号的噪声等价带宽，即 _ij＝1，因此

$>>>v>>ij>>>>>(>t>)>>=sup>>v>ij>>(>0>)>sup>>>(>t>)>>>>$

$>>=sup>>\alpha >ij>>(>0>)>sup>>>(>t>)>>>e>>jsup>>\phi >ij>>(>0>)>sup>>>(>t>)>>>>->->->>(>14>)>>>>$

$>>>>=>\alpha >>ij>>>(>t>)>>>e>>j>>\phi >ij>>>(>t>)>>>>>>$

这看着有点象时变的窄带模型了。但是，对于前面在阵列信号处理中简化并保持单一的时变复权值，源信号的噪声等价带宽必须远小于中心频率，且传感器阵列必须占有相对小的空间，即

BW_NEq[s_j(t)]＜＜ω_j                  (15)

窄带通道模型：信号频谱域的一个度量是噪声等价带宽，表示为BW_NEq[ ]。根据时间和频率的对偶性原则，逆噪声等价带宽可以用于信号时域的度量，换句话说它可以用作信号去相关时间的指示。当信号噪声等价带宽远小于中心频率时，即

BW_NEq[s_j(t)]＜＜ω_j                  (17)

其中，ω_j是第j个源的中心频率，那么传播延迟或相对传播延迟的模型可以是一个相移。在这种情况下，当没有扩散或多路径时，通道模型就可以称之为窄带模型。

但是，对于中心频率来说相移的模是2π，所以带宽远小于中心频率的要求本身对于建模为相移且保留波形的时延是不充分的，也就是说在数字通信信号中引入了可以忽略的符号间干扰。因此，为了满足窄带模型，阵列传感器还必须占有相对小的空间。即

因为Δτ_l，k，j＝Δτ_lj-Δτ_kj，通过三角不等式，要求

对于保证满足(18)式是充分条件。当满足(17)和(18)式定义的窄带条件时，与信号的去相关时间相比相对时延是可以忽略的，这样

$>>>s>j>>>(>t>->>>\tau >‾>>j>>->\Delta >>\tau >ij>>)>>\cong >>s>j>>>(>t>->>>\tau >‾>>j>>)>>->->->>(>20>)>>>>$

这就是说波形被保留下来(在相移内)。因此相对时延的模型可以是一个相移。

$>>>v>ij>>>(>t>)>>*>>s>j>>>(>t>)>>=>>\alpha >ij>>\delta >>(>t>->>\tau >ij>>)>>*>>s>j>>>(>t>)>>>>$

$>>=>>\alpha >ij>>>s>j>>>(>t>->>\tau >ij>>)>>>>$

$>>=>>\alpha >ij>>>s>j>>>(>t>->>>\tau >‾>>j>>->\Delta >>\tau >ij>>)>>->->->>(>21>)>>>>$

$>>=>>\alpha >ij>>>e>>->j>>\omega >j>>\Delta >>\tau >ij>>>>>s>j>>>(>t>->>>\tau >‾>>j>>)>>>>$

$>>>>=>\alpha >>ij>>>e>>->j>>\phi >ij>>>>>s>j>>>(>t>->>>\tau >‾>>j>>)>>\cong >>v>ij>>>r>j>>>(>t>)>>>>$

其中r_j(t)＝s_j(t-τ_j)，φ_ij＝ω_jΔτ_ij，复权值v_ij定义为

$>>>v>ij>>=>>\alpha >ij>>>e>>->j>>\phi >ij>>>>->->->>(>22>)>>>>$

该复权值和与第j个信号相关的另外N-1个权值一起构成了方向矢量。

v_j＝[v_1j v_2j…v_Nj]^T                  (23)

那么第i个传感器的输出为

$>>>x>i>>>(>t>)>>=>>\Sigma >>j>=>1>>M>>>v>ij>>>r>j>>>(>t>)>>+>>n>i>>>(>t>)>>->->->>(>24>)>>>>$

如同对通用模型的操作，对于传感器输出矢量，窄带模型的矩阵形式可以重写如下：

$>>x>>(>t>)>>=>\left(\begin{array}{}>>>>x>1>>>(>t>)>>>>>x>2>>>(>t>)>>>>.>.>.>>>>x>N>>>(>t>)>>>>>>T>>>>\end{array}\right)$

$>>>=\left(\begin{array}{}>>>>v>1>>>>.>.>.>>>>v>M>>>>>>\left(\begin{array}{}>>>>r>1>>>(>t>)>>>>>>·>>>>>·>>>>>·>>>>>>r>M>>>(>t>)>>>>>>+\left(\begin{array}{}>>>>n>1>>>(>t>)>>>>>>·>>>>>·>>>>>·>>>>>>n>N>>>(>t>)>>>>>>>>\end{array}\right)\end{array}\right)\end{array}\right)$

$>>=>Vr>>(>t>)>>+>n>>(>t>)>>>>$

根据能量守恒，第j个源辐射在阵列上的总平均信号功率不能超过P_j。因为信噪比是在传感器的输入端建立的，所以可以将整个阵列的增益看作是规格化的。这样对于窄带模型，混合矩阵第j列的内积为：

$>sup>>v>j>Hsup>>>v>j>>=>>\Sigma >>i>=>1>>N>sup>>v>ij>*sup>>>v>ij>>>>$

$>>=>>\Sigma >>i>=>1>>N>sup>>\alpha >ij>2sup>>>e>>+>j>>\phi >ij>>>>>e>>->j>>\phi >ij>>>>->->->>(>26>)>>>>$

$>>=>>\Sigma >>i>=>1>>N>sup>>\alpha >ij>2sup>>>>$

$>>=>1>>>$

其中，[]^H表示哈密特(Hermitian)转置。

信号与噪声假设：下面是关于源信号和噪声矢量的假设。这些假设允许使用四阶累积量且保证使用分离技术时有足够的自由度。假设A1和A2保证源信号四阶累积量的存在。对于累积量的使用零均值的假设并不是必须的，但因为实际传播的电磁信号具有零均值，故作此假设。假设A3和A4对BSS问题中使用累积量特别有用。没有它们就必须将噪声源当作信号源，从而增加了阵列中自由度的要求。与其它二阶技术的假设相对照，注意噪声源并没有假设为时域或频域白噪声。最后一个噪声源数目的假设帮助确保使用矩阵束方法进行分离时有足够的自由度。

假设一(A1)：辐射到阵列的M个源信号是统计独立非高斯平稳随机过程。假设A1的数学表达形式如下：

$>>>f>>>r>1>>,>>r>2>>,>.>.>.>,>>r>M>>>>>(>>r>1>>,>>r>2>>,>.>.>.>,>>r>M>>)>>=>>\Pi >>j>=>1>>M>>>f>>r>j>>>>(>>r>j>>)>>->->->>(>27>)>>>>$

源信号的平稳性假设至四阶以覆盖空间四阶累积量矩阵的估计周期。

假设二(A2)：辐射到阵列的M个源信号是功率为P_j的零均值信号，且具有非零四阶矩。假设A2的数学表达形式如下：

E[m_j(t)]＝0                     (28)

$>>E>[>>r>j>>>(>t>)>>]>=>E>[>>>P>j>>>>m>j>>>(>t>)>>]>=>>>P>j>>>E>[>>m>j>>>(>t>)>>]>=>0>->->->>(>29>)>>>>$

$>>E>[>>m>j>>>(>t>)>sup>>m>j>*sup>>>(>t>)>>]>=>1>->->->>(>30>)>>>>$

$>>E>[>>r>j>>>(>t>)>sup>>r>j>>*>>sup>>>(>t>)>>]>=>E>[>>>P>j>>>>m>j>>>(>t>)>>>>P>j>>sup>>m>j>>*>>sup>>>(>t>)>>]>=>>P>j>>E>[>>m>j>>>(>t>)>sup>>m>j>*sup>>>(>t>)>>]>=>>P>j>>->->->>(>31>)>>>>$

$>>E>[>>r>j>>>(>t>)>sup>>r>j>>*>>sup>>>(>t>)>>>r>j>>>(>t>)>sup>>r>j>>*>>sup>>>(>t>)>>]>=sup>>P>j>2sup>>E>[>>m>j>>>(>t>)>sup>>m>j>>*>>sup>>>(>t>)>>>m>j>>>(>t>)>sup>>m>j>*sup>>>(>t>)>>]>->->->>(>32>)>>>>$

$>>E>[>>m>j>>>(>t>)>sup>>m>j>*sup>>>m>j>>>(>t>)>sup>>m>j>>*>>sup>>>(>t>)>>]>\ne >0>·>->->->>(>33>)>>>>$

假设三(A3)：该组源信号(过程)和该组噪声过程是统计独立的。假设A3的数学表达形式如下：

$>>>f>>>r>1>>,>>r>2>>,>.>.>.>,>>r>M>>,>>n>1>>,>>n>2>>,>.>.>.>>,>>n>N>>>>>(>>r>1>>,>>r>2>>,>.>.>.>,>>r>M>>,>>n>1>>,>>n>2>>,>>>.>.>.>,>n>>N>>)>>=>>f>>>n>1>>,>>n>2>>,>.>.>.>,>>n>N>>>>>(>>n>1>>,>>n>2>>,>.>.>.>,>>n>N>>)>>>\Pi >>j>=>1>>M>>>f>>r>j>>>>(>>r>j>>)>>->->->>(>34>)>>>>$

假设四(A4)：噪声过程是平稳零均值高斯随机过程。并没有假设它们是空间或时间独立的。假设A4的数学表达形式如下：

n(t)≡[n₁(t)，n₂(t)，....，n_N(t)]^T□N(0，K_n)       (36)

$>>>f>>>n>1>>,>>n>2>>,>>>.>.>.>,>n>>N>>>>>(>>n>1>>,>>n>2>>,>.>.>.>,>>n>N>>)>>=>>1>>>>(>2>\pi >)>>>1>/>2>>>>>|>det>>K>n>>|>>>1>/>2>>>>>>e>>>>->n>>T>>>>K>n>>>->1>>>n>>>->->->>(>37>)>>>>$

假设五(A5)：源的数目小于等于传感器的数目，即M≤N。

图5是根据本发明的一个实施例在给定多个传感器阵列的输出时，对M个统计独立窄带源信号执行盲源分离(BSS)的装置的功能方框图，其传感器阵列占有相对小的空间并具有任意或未知阵列几何形状。在此描述的BSS技术要确定用于对角化混合矩阵V的分离矩阵W。这包括找到一个包含复数元素w_ij的N×M分离矩阵W，

对角化混合矩阵V。也就是说，分离矩阵W的要求是使得W^HV的乘积是一个M×M的对角“损耗”矩阵，其元素为ρ_j。

当分离矩阵W应用于传感器输出矢量时，结果为

$>>y>>(>t>)>>=>>W>H>>x>>(>t>)>>=>>W>H>>\{>Vr>>(>t>)>>+>n>>(>t>)>>\}>>>$

$>>=>>W>H>>Vr>>(>t>)>>+>>W>H>>n>>(>t>)>>>>$

$>>=\left(\begin{array}{}>>>>\rho >1>>>r>1>>>(>t>)>>>>>>·>>>>>·>>>>>·>>>>>>\rho >M>>>r>M>>>(>t>)>>>>>>+>>W>H>>n>>(>t>)>>>>\end{array}\right)$

源信号就被分离了。为了数学的完备性，要注意矢量r(t)∈C^M，矢量x(t)，n(t)∈C^N，矩阵V，W∈C^N×M。如果损耗矩阵式单位阵，那么分离过程就捕获了辐射到阵列的所有信号能量，因而保证分离的输出信号获得了所能达到的最大信号与干扰噪声比。

如前面窄带信号模型中所阐述的，每个传感器的输出是独立源信号的线性加权组合加上噪声。

$>>>x>i>>>(>t>)>>=>>\Sigma >>l>=>1>>M>>>v>il>>>r>l>>>(>t>)>>+>>n>i>>>(>t>)>>->->->>(>41>)>>>>$

对传感器输出矢量应用分离矩阵以分离源可得

y(t)＝W^Hx(t)

＝W^H{Vr(t)+n(t)}                     (42)

＝W^HVr(t)+W^Hn(t)

分离处理输出矢量的第j个元素y_j(t)是第j个源信号r_j(t)的估计值，是传感器输出矢量和分离矩阵第j列的内积。

$>>>y>j>>>(>t>)>>=>>>w>j>>H>>x>>(>t>)>>>>$

$>>=>>\Sigma >>i>=>1>>N>sup>>w>ij>*sup>>>x>i>>>(>t>)>>->->->>(>43>)>>>>$

将(41)式代入(43)式可得

$>>>y>j>>>(>t>)>>=>>\Sigma >>i>=>1>>N>sup>>w>ij>*sup>>\{>>\Sigma >>l>=>1>>M>>>v>il>>>r>l>>>(>t>)>>+>>n>i>>>(>t>)>>\}>>>$

$>>=>>\Sigma >>i>=>1>>N>sup>>w>ij>*sup>>>\Sigma >>l>=>1>>M>>>v>il>>>r>l>>>(>t>)>>+>>\Sigma >>i>=>1>>N>sup>>w>ij>*sup>>>n>i>>>(>t>)>>->->->>(>44>)>>>>$

$>>=>>\Sigma >>i>=>1>>N>sup>>w>ij>*sup>>>v>ij>>>r>j>>>(>t>)>>+>>\Sigma >>i>=>1>>N>>>>\Sigma >>l>=>1>>M>>>l>=>j>>>sup>>w>ij>*sup>>>v>il>>>r>l>>>(>t>)>>+>>\Sigma >>i>=>1>>N>sup>>w>ij>*sup>>>n>i>>>(>t>)>>>>$

其中三个不同的项很明显对应于期望信号，残余干扰和输出噪声。这些项各自的二阶矩对于通信性能评价和信号智能系统特别有用。第一项的二阶矩是期望信号输出功率，其定义为

$>>>S>j>>\equiv >E>[>>>|>>\Sigma >>i>=>1>>N>sup>>w>ij>*sup>>>v>ij>>>r>j>>>(>t>)>>|>>2>>]>>>$

$>>=>E>[>\{>>\Sigma >>i>=>1>>N>sup>>w>ij>*sup>>>v>ij>>>r>j>>>(>t>)>>\}>>>\{>>\Sigma >>k>=>1>>N>sup>>w>kj>*sup>>>v>kj>>>r>j>>>(>t>)>>\}>>*>>]>->->->>(>45>)>>>>$

$>>=>>\Sigma >>i>=>1>>N>>>\Sigma >>k>=>1>>N>sup>>w>ij>*sup>>>v>ij>sup>>v>kj>*sup>>>w>kj>>E>[>>r>j>>>(>t>)>sup>>r>j>*sup>>>(>t>)>>]>>>$

应用假设A1和A2，

$>>E>[>>r>j>>>(>t>)>sup>>r>j>*sup>>>(>t>)>>]>=>>P>j>>->->->>(>46>)>>>>$

因此等式(45)变为

$>>>S>j>>=>>P>j>>>\Sigma >>i>=>1>>N>>>\Sigma >>k>=>1>>N>sup>>w>ij>*sup>>>v>ij>sup>>v>kj>*sup>>>w>kj>>->->->>(>47>)>>>>$

可以用矢量形式表示为

$>>>S>j>>=>>P>j>sup>>w>j>Hsup>>>v>j>sup>>v>j>Hsup>>>w>j>>->->->>(>48>)>>>>$

式(44)中第二项的二阶矩是残余干扰功率，其定义是

$>>>I>j>>\equiv >E>[>>>|>>\Sigma >>i>=>1>>N>>>>\Sigma >>l>=>1>>M>>>l>\ne >j>>sup>>w>ij>*sup>>>v>il>>>r>l>>>(>t>)>>|>>2>>]>>>$

$>>=>E>[>\{>>\Sigma >>i>=>1>>N>>>>\Sigma >>l>=>1>>M>>>l>\ne >j>>sup>>w>ij>*sup>>>v>il>>>r>l>>>(>t>)>>\}>>>\{>>\Sigma >>k>=>1>>N>>>>>\Sigma >>m>=>1>>M>>>m>\ne >j>>>sup>>w>kj>*sup>>>v>km>>>r>m>>>(>t>)>>\}>>>*>>]>->->->>(>49>)>>>>$

$>>=>>>\Sigma >>l>=>1>>M>>>l>\ne >j>>>>>\Sigma >>m>=>1>>M>>>m>\ne >j>>>E>[>>r>l>>>(>t>)>sup>>r>m>*sup>>>(>t>)>>]>>\Sigma >>i>=>1>>N>>>\Sigma >>k>=>1>>N>sup>>w>ij>*sup>>>v>il>sup>>v>km>*sup>>>w>kj>>>>$

但是，通过假设A1信号是统计独立的，所以

$>>E>[>>r>l>>>(>t>)>sup>>r>m>*sup>>>(>t>)>>]>=>0>,>>>对于m\ne l (50)$

此外，应用假设A1和假设A2的平稳性，

$>>E>[>>r>l>>>(>t>)>sup>>r>1>*sup>>>(>t>)>>]>=>>P>l>>->->->>(>51>)>>>>$

利用式(50)并且将(51)式代入(49)式，残余干扰功率简化为

$>>>I>j>>=>>>\Sigma >>l>=>1>>M>>>l>\ne >j>>>>P>i>>>\Sigma >>i>=>1>>N>>>\Sigma >>k>=>1>>N>sup>>w>ij>*sup>>>v>il>sup>>v>kl>*sup>>>w>kj>>->->->>(>52>)>>>>$

可以用矢量形式表示为

$>>>I>j>>=>>>\Sigma >>l>=>1>>M>>>l>\ne >j>>>>P>l>sup>>w>j>Hsup>>>v>l>sup>>v>l>Hsup>>>w>j>>->->->>(>53>)>>>>$

式(44)中第三项的二阶矩是输出噪声功率，其定义是

$>>>N>j>>\equiv >E>[>>>|>>\Sigma >>i>=>1>>N>sup>>w>ij>*sup>>>n>i>>>(>t>)>>|>>2>>]>>>$

$>>=>E>[>\{>>\Sigma >>i>=>1>>N>sup>>w>ij>*sup>>>n>i>>>(>t>)>>>>\{>>\Sigma >>k>=>1>>N>sup>>w>kj>*sup>>>n>k>>>(>t>)>>\}>>*>>]>->->->>(>54>)>>>>$

$>>=>>\Sigma >>i>=>1>>N>>>\Sigma >>k>=>1>>N>sup>>w>ij>*sup>>E>[>>n>i>>>(>t>)>sup>>n>k>*sup>>>(>t>)>>]>>w>kj>>>>$

可以用矢量形式表示为

$>>>N>j>>=sup>>w>j>Hsup>>E>[>n>>(>t>)>>>n>H>>>(>t>)>>]>>w>j>>->->->>(>55>)>>>>$

利用定义和假设A4，噪声矢量外积的期望是噪声的协方差矩阵，

E[n(t)n^H(t)]＝K_n              (56)

因此输出噪声功率为

$>>>N>j>>=sup>>w>j>Hsup>>>K>n>>>w>j>>->->->>(>57>)>>>>$

为了评价盲源分离技术的有效性，本文采用一种分离质量的度量。如前所述，在此阐述的BSS技术要确定用于对角化混合矩阵V的分离矩阵W。在此详述评价盲源分离算法质量的两种方法。BSS技术的性能可以从残余干扰的角度和从“捕获”辐射在传感器阵列上所有可靠信号功率的算法效率的角度进行度量。

分离质量的一种度量是应用分离矩阵后，在信号输出中发现残余干扰的量。特别地，为了从压缩共信道干扰的角度评估分离技术，在对所有源求平均的期望源和峰值或最大残余干扰与信号比的估计中，本发明提出相对于期望信号的残余信号功率作为应用。如果分离矩阵没有彻底对角化混合矩阵，结果矩阵的非对角项将会允许信号输出中包含残余干扰，因此这种度量是很有意义的。

在大多数通信应用中，干扰量的常用度量是信号与干扰比，即期望信号功率与所有干扰信号联合功率的比值。但是，盲源分离的目的是完全消除所有干扰，这使得比值会变得非常巨大。因此，本发明提出干扰与信号比(ISR)以度量相对于功率，盲源分离算法或技术未压缩干扰的残余功率。算法越好该比值就变得越小。

某一期望信号的ISR的定义为

$>>>\zeta >j>>\equiv >>>I>j>>>S>j>>>->->->>(>58>)>>>>$

将式(53)和式(48)代入式(58)，某一期望信号的ISR是

$>>>\zeta >j>>\equiv >>>>>\Sigma >>l>=>1>>M>>>l>\ne >j>>>>P>l>sup>>w>j>Hsup>>>v>l>sup>>v>l>Hsup>>>w>j>>>>>P>j>sup>>w>j>Hsup>>>v>j>sup>>v>j>Hsup>>>w>j>>>>->->->>(>59>)>>>>$

该值也称之为拒绝率。

度量盲源分离技术总的分离质量可以看单个源信号的ISR，ζ_j对于所有j的均值。因此，从残余干扰的角度，第一个用来评估盲源分离技术性能的度量就是平均ISR，即

$>>>ISR>avg>>=>>1>M>>>\Sigma >>j>=>1>>M>>>\zeta >j>>->->->>(>60>)>>>>$

从残余干扰的角度，第二个度量就是峰值或最大ISR，其定义是

$>>>ISR>max>>\equiv >>max>j>>[>>\zeta >j>>]>->->->>(>61>)>>>>$

第二个度量保证以不比ISR_max更差的ISR有效地分离所有的源。

分离质量的第二个度量用于在源分离矩阵利用可靠信号功率的能力方面确定源分离矩阵的有效性。与一个没有最大化信号与噪声干扰比输出的BSS技术相比，如果最大化输出信号与噪声干扰比，那么可以认为一BSS技术更有效，因此从能捕获更小信号的角度来看具有更高的灵敏度，

利用源辐射到传感器阵列的所有信号功率确定一盲源分离技术的有效性是该分离质量的另一个度量。该度量确定来自某个源有多少可靠信号功率在分离过程中浪费或损耗了。这种损耗导致信号与噪声干扰比更低，另一方面它从理论上可以得到且作为系统灵敏度的损耗。对于期望源信号的可靠规格化功率，某一分离处理输出的分离功率效率(SPE)定义如下：

$>>>\xi >j>>\equiv >>>S>j>>>P>j>>>->->->>(>62>)>>>>$

其中ξ_j是指该组源中第j个源的分离功率效率，S_j是指第j个源的分离信号功率，P_j是指第j个源的信号规格化功率。

将式(48)代入分离处理的输出功率，可以发现特定SPE

$>>>\xi >j>>=>>>>P>j>sup>>w>j>Hsup>>>v>j>sup>>v>j>Hsup>>>w>j>>>>P>j>>>->->->>(>63>)>>>>$

$>>=sup>>w>j>Hsup>>>v>j>sup>>v>j>Hsup>>>w>j>>>>$

仅仅依赖第j个源的方向矢量和分离矩阵的第j列。如同ISR，平均SPE和最小SPE的定义分别如下

$>>>\xi >avg>>=>>1>M>>>\Sigma >>j>=>1>>M>>>\xi >j>>->->->>(>64>)>>>>$

$>>>>\xi >min>>\equiv >>min>j>>[>>\xi >j>>]>>->->->>(>65>)>>>>$

并用于评价分离功率效率。

注意通过辐射源信号功率P_j的定义，SPE所能达到的最大值是1。因此能达到的最大平均SPE也是1。能使SPE值为1的分离算法保证其相应的分离处理输出具有最大化的源信号功率。最小SPE提供了一个度量以确保用最小的分离功率效率成功分离所有的源。

根据本发明的一个实施例BSS技术利用了累积量，特别是空间四阶累积量。为了更好的理解执行盲源分离时累积量的应用，下面阐述累积量的定义及其相关性质。

一组随机变量{S₁，S₂，...，S_N}的N阶累积量，也就是通常所说的不完全不变量的定义是第二特征函数原点处泰勒量级展开的第N阶系数。例如参见C.L.Nikias与A.P.Petropulu的著作Higher-OrderSpectra Analysis：A Non-linear Signal Processing Framework(PTRPrentice-Hall，Upper Saddle River，NJ：1993)，和M.Rosenblatt的著作Stationary Sequences and Random Fields(BirkHauser，Boston，MA：1985)，这两篇文献都在此被全文引用作为参考。第二特征函数的定义为特征函数的自然对数，

Ψ_s(ω₁，ω₂，...，ω_N)≡ln[Ф_s(ω₁，ω₂，...，ω_N)]      (66)

其中特征函数的定义是

$>>>>\Phi >s>>>(>>\omega >1>>,>>\omega >2>>,>.>.>.>,>>\omega >N>>)>>\equiv >E>[>>e>>j>>(>>\omega >1>>>s>1>>+>>\omega >2>>>s>2>>+>·>·>·>+>>\omega >N>>>s>N>>)>>>>]>>->->->>(>67>)>>>>$

那么联合N阶累积量是

$>>Cum>[>>s>1>>,>>s>2>>,>·>·>·>,>>s>N>>]>=>>>(>->j>)>>N>>>>>\partial >N>>>\Psi >s>>>(>>\omega >1>>,>>\omega >2>>,>.>.>.>,>>\omega >N>>)>>>>\partial >>\omega >1>>\partial >>\omega >2>>·>·>·>\partial >>\omega >N>>>>>|>>>\omega >1>>=>>\omega >2>>=>·>·>·>=>>\omega >N>>=>0>>>->->->>(>68>)>>>>$

累积量不象矩，不能由数据直接估计出来。例如参见A.K.Nandi的著作Blind Estimation Using Higher-Order Statistics(KluwerAcademic，Dordecht，The Netherlands：1999)，该文献在此被全文引用作为参考。但是，可以通过累积量与矩的关系得到累积量，从而可以先估计需要的矩再间接估计出累积量。累积量与矩的关系参见Stationary Sequences and Random Fields(Brikhauser，Boston，MA：1985)，随机变量{s₁，s₂，...，s_N}的N阶联合累积量是

$>>Cum>[>>s>1>>,>>s>2>>,>·>·>·>,>>s>N>>]>=>>\Sigma >>p>=>1>>N>>>>(>->1>)>>>p>->1>>>>(>p>->1>)>>!>\{>>\Sigma >>n>=>1>>>N>>(>p>)>>>>>\Pi >>l>=>1>>P>>E>[>>\Pi >>i>\in >>g>>l>,>p>,>n>>>>>>s>i>>]>\}>->->->>(>69>)>>>>$

其中将整数集合{1，2，...，N}分成p个集合的方法有N(p)种，每一种表示为g_l，p，n，以使

$>>>>>\cup >>>l>=>1>>p>>>g>>l>,>p>,>n>>>=>\{>1,2>,>·>·>·>,>N>\}>>>$

作为N＝4时的一个例子，在整数集合{1，2，3，4}上进行划分，其划分的结果如下面的表1.0所示。

表1.0：N＝4时的所有可能划分

  p  N(p)  g_{l＝1:p，p，n＝1:N(p)}  1  1  {1，2，3，4}  2  7  {1}{2，3，4}；{2}{1，3，4}；{3}{1，2，4}；{4}{1，2，3}；  {1，2}{3，4}；{1，3}{2，4}；{1，4}{2，3}  3  6  {1}{2}{3，4}；{1}{3}{2，4}；{1}{4}{2，3}；  {2}{3}{1，4}；{2}{4}{1，3}；{3}{4}{1，2}  4  1  {1}{2}{3}{4}

因此，作为矩函数的四阶联合累积量就是

Cum[s₁，s₂，s₃，s₄]＝E[s₁s₂s₃s₄]-E[s₁]·E[s₂s₃s₄]-E[s₂]·E[s₁s₃s₄]

                     -E[s₃]·E[s₁s₂s₄]-E[s₄]·E[s₁s₂s₃]-E[s₁s₂]·E[s₃s₄]

                     -E[s₁s₃]·E[s₂s₄]-E[s₁s₄]·E[s₂s₃]+2E[s₁s₂]·E[s₃]·E[s₄]       (71)

                     +2E[s₁s₃]·E[s₂]·E[s₄]+2E[s₁s₄]·E[s₂]·E[s₃]

                     +2E[s₂s₃]·E[s₁]·E[s₄]+2E[s₂s₄]·E[s₁]·E[s₃]

                     +2E[s₃s₄]·E[s₁]·E[s₂]-6E[s₁]·E[s₂]·E[s₃]·E[s₄]

注意式(71)表明N阶联合累积量的计算需要所有直到N阶矩的信息。

对在空间和/或时间相关的高斯噪声中未知统计独立信号的线性混合进行盲分离的应用中，累积量的几个性质很有吸引力，特别是在低信噪比的情况下。

使得累积量对于盲源分离应用有吸引力的一个性质是，如果随机变量{s₁，s₂，...，s_N}能够分成两个或更多统计独立的集合，那么其N阶联合累积量为零。这样，统计独立源盲分离中的累积量操作可以压缩所有交叉源信号的累积量项。一般说来，对于高阶矩就不是这种情形。

使得累积量对于BSS应用有吸引力的另一个性质是，Cum[s₁+n₁，s₂+n₂，...，s_N+n_N]＝Cum[s₁，s₂，...，s_N]+Cum[n₁，n₂，...，n_N]。因为一般来说信号项{s₁，s₂，...，s_N}的集合与噪声项{n₁，n₂，...，n_N}的集合相互之间统计独立，所以其矢量和项[s₁+n₁，s₂+n₂，...，s_N+n_N}的N阶联合累积量就是它们各自联合累积量的和。因此，噪声项和信号项之间的互累积量就是零。对于保证空间四阶累积量矩阵能够被分解为两个矩阵的和，一个对应于信号另一个对应于噪声矢量，该性质具有重要的意义。

使得累积量对于BSS应用有吸引力的另一个性质是，高斯随机变量的N(＞2)阶联合累积量为零。因为噪声矢量是一个多变量的高斯随机过程，n＝[n₁，n₂，....，n_N]^T～N(μ_n，K_n)，其三阶或更高阶的联合累积量为零，即Cum[n₁，n₂，...，n_N]＝0。最后这个性质使得空间四阶累积量矩阵没有噪声子空间，且矩阵仅有的非零元素仅与源信号相关。甚至当噪声矢量空间或时间相关时该结果也是正确的。

最后，高于二阶的累积量保留了采用二阶统计量，如相关时损耗的相位信息。例如，自相关破坏了辨别最小相位和非最小相位信号所必需的信息。这样，两个信号可能具有相同的二阶统计量却具有不同的高阶统计量。这个性质对处理具有相同自相关函数的信号特别有益，它为找到多个源信号具有不同高阶累积量时的时滞增加了附加的自由度。根据本发明，该性质对于BSS技术特别有利的原因是本发明BSS技术的一个可识别条件就是所有信号都具有一个唯一的规格化四阶自累积量。

根据本发明BSS技术中应用的四个累积量性质阐述如下。这些累积量性质的证明可以参见C.L.Nikias与A.P.Petropulu的著作Higher-Order Spectra Analysis：A Non-Linear Signal ProcessingFramework(PTR Prentice-Hall，Upper Saddle River，NJ：1993)，和M.Rosenblatt的著作Stationary Sequences and Random Fields(Birkhauser，Boston，MA：1985)。

累积量性质1：

随机变量{a₁s₁，a₂s₂，...，a_Ns_N}的N阶联合累积量是 $>>Cum>[>>a>1>>>s>1>>,>>a>2>>>s>2>>,>·>·>·>>>,>a>>N>>>s>N>>]>=>\{>>\Pi >>i>=>1>>N>>>a>i>>\}>Cum>[>>s>1>>,>>s>2>>,>.>.>.>,>>s>N>>]>,>>>其中\{a$₁，a₂，...，a_N}是常数。

累积量性质2：

如果随机变量{s₁，s₂，...，s_N}能够分成两个或更多统计独立的集合，那么其N阶联合累积量为零。

累积量性质3：

如果随机变量{s₁，s₂，...，s_N}和{n₁，n₂，...，n_N}是统计独立的，即f_s，n(s₁，s₂，...，s_N，n₁，n₂，...，n_N)＝f_s(s₁，s₂，...，s_N)·f_n(n₁，n₂，...，n_N)，那么成对相加和的N阶联合累积量是

Cum[s₁+n₁，s₂+n₂，...，s_N+n_N]＝Cum[s₁，s₂，...，s_N]+Cum[n₁，n₂，...，n_N]。

累积量性质4：

若随机变量{n₁，n₂，...，n_N}是联合高斯分布，则其N(＞2)阶联合累积量同样为零。也就是说，如果n＝[n₁，n₂，...，n_N]^T～N(μ_n，K_n)，那么Cum[n₁，n₂，...，n_N]＝0。

根据本发明BSS技术使用四阶空间累积量矩阵。空间四阶累积量矩阵的三个定义及其相关性质如下。

空间四阶累积量矩阵是用作在低信噪比且存在空间和时间相关噪声时，估计分离矩阵的基础，因为即使噪声是相关的，该矩阵在理论上也没有噪声子空间。这使得不需要使用其它自由度和/或第二个传感器数据估计噪声子空间，而噪声子空间的消除是为了构造矩阵束。如下所述，使用高阶(即大于二阶)累积量的一个直接效果就是消除噪声子空间，这对根据本发明的盲源分离技术是非常有利的。

在此提出空间四阶累积量矩阵的三个定义及其相关性质，并考虑实际上传感器在现实中没有全向的且没有相同的簇，而且需要不同的时滞估计空间四阶累积量矩阵以构造矩阵束。这些考虑是与以前空间四阶累积量矩阵的处理方式截然不同之处。例如参见H.H.Chiang和C.L.Nikias的文献，“The ESPRIT Algorithm with High-OrderStatistics”，Proc.Workshop on High-Order spectral Analysis，Vail，CO.，Jun.1989，pp.163-168；C.L.Nikias与A.P.Petropulu的文献，Higher-Order Spectra Analysis：A Nom-Linear Signal ProcessingFramework(PTR Prentice-Hall，Upper Saddle River，NJ：1993)；M.C.Dogan与J.M.Mendel的文献，“Applications of Cumulants to ArrayProcessing-Part I：Aperture Extension and Array Calibration”，IEEE Trans.Signal Processing，Vol.43，No.5，May 1995，pp.1200-1216，以及N.Yuen和B.Friedlander的文献“AsymptoticPerformance Analysis of ESPRIT，Higher-order ESPRIT，andVirtual ESPRIT Algorithms”，IEEE Trans.Signal Processing，Vol.44，No.10，Oct.1996，pp.2537-2550。理解四阶累积量矩阵的性质，如其秩，非零空间等等，及其与混合矩阵的关系对于阐明根据本发明使用四阶累积量和矩阵束的信号子空间盲分离技术是有益的。

下面简要回顾空间相关矩阵及其性质以帮助理解它在根据本发明的BSS技术中的应用。传感器阵列输出的空间相关矩阵的定义参见D.H.Johnson和D.E.Dudgeon的著作，Array Signal Processing：Concepts and Techniques(PTR Prentice-Hall，Englewood Cliffs，NJ：1993)，该文献在此被全文引用作为参考，即

R_x(τ)＝E[x(t)x^H(t-τ)]                         (72)

将式(25)中的x(t)代入式(72)并应用假设A1和A3，空间相关矩阵变为

R_a(τ)＝E[{Vr(t)+n(t)}{Vr(t-τ)+n(t-τ)}^H]

      ＝E[Vr(t)r^H(t-τ)V^H]+E[Vr(t)n^H(t-τ)]

        +E[n(t)r^H(t-τ)V^H]+E[n(t)n^H(t-τ)]      (73)

      ＝VE[r(t)r^H(t-τ)]V^H+E[n(t)n^H(t-τ)]

      ＝VR_r(τ)V^H+R_n(τ)

该矩阵的元素是

$>>>>[>>R>x>>>(>\tau >)>>]>>rc>>=>>\Sigma >>j>=>1>>M>>>v>rj>sup>>v>cj>*sup>>E>[>>r>j>>>(>t>)>sup>>r>j>*sup>>>(>t>->\tau >)>>]>+>E>[>>n>r>>>(>t>)>sup>>n>c>*sup>>>(>t>->\tau >)>>]>->->->>(>74>)>>>>$

其中下标rc表示元素位于第r行第c列。既然信号和噪声过程都假设为零均值，假设A1和A4，那么式(72)定义的空间相关矩阵就等价于空间协方差矩阵，因此使用的项可以相互交换。

一般来说，大多数二阶技术都仅在零延迟{τ＝0}时应用空间相关或协方差矩阵。在这种情况下空间相关矩阵是非负定的哈密特矩阵，例如参见D.H.Johnson和D.E.Dudgeon的著作，Array SignalProcessing：Concepts and Techniques(PTR Prentice-Hall，EnglewoodCliffs，NJ：1993)；C.L.Nikias与A.P.Petropulu的著作Higher-OrderSpectra Analysis：A Non-linear signal Processing Framework(PTRPrentice-Hall，Upper Saddle River，NJ：1993)；以及A.Papoulis的著作Probability，Random Variables，and Stochastic Processes(WCB/McGraw-Hill，Boston，MA：1991)。而且如果传感器的输出是线性无关的，即对于所有a＝[a₁，a₂，...，a_N]^T≠0都存在E[{a^Tx(t)}{a^Tx(t)}^*]＞0，那么空间相关矩阵是正定的。空间相关矩阵在τ＝0时为非负定的一个结果就是其行列式的值是非负实数，当且仅当传感器输出线性无关时其行列式的值是严格的正数。但是如果τ≠0，则空间相关矩阵是不确定的非哈密特矩阵。

空间四阶累积量矩阵定义1

空间四阶累积量矩阵的第一个定义利用了范数为一的方向矢量。其数学上的表达见式(26)。如同后面将要说明的，当传感器不是全向的，不具有相同的簇时，方向矢量用于给空间四阶累积量矩阵乘以一个因子以使其变成哈密特的形式。在时滞(τ₁，τ₂，τ₃)时定义第一个空间四阶累积量矩阵

$>sup>>C>x>4sup>>>(>>\tau >1>>,>>\tau >2>>,>>\tau >3>>)>>\equiv >>\Sigma >>i>=>1>>N>>Cum>[sup>>x>i>*sup>>>(>t>->>\tau >1>>)>>>x>i>>>(>t>->>\tau >2>>)>>x>>(>t>)>>>x>H>>>x>i>>>(>t>->>\tau >3>>)>>]>->->->>(>75>)>>>>$

并称之为空间四阶累积量矩阵1。

式(75)定义的空间四阶累积量矩阵1一般是复数N×N矩阵，其第r行第c列的元素由下式给出

$>>>>[sup>>C>x>4sup>>>(>>\tau >1>>,>>\tau >2>>,>>\tau >3>>)>>]>>rc>>=>>\Sigma >>i>=>1>>N>>Cum>[sup>>x>i>*sup>>>(>t>->>\tau >1>>)>>>x>i>>>(>t>->>\tau >2>>)>>>x>r>>>(>t>)>sup>>x>c>*sup>>>(>t>->>\tau >3>>)>>]>->->->>(>76>)>>>>$

其中{}^*表示复共轭。将式(24)代入式(76)，元素rc变为

$>>>>[sup>>C>x>4sup>>>(>>\tau >1>>,>>\tau >2>>,>>\tau >3>>)>>]>>rc>>=>>\Sigma >>i>=>1>>N>>Cum>[>>(>>\Sigma >>j>=>1>>M>>>v>rj>>>r>j>>>(>t>)>>+>>n>r>>>(>t>)>>)>>>(>>\Sigma >>m>=>1>>M>>>v>cm>>>r>m>>>(>t>->>\tau >3>>)>>+>>n>c>>>(>t>->>\tau >3>>)>>)>>->->->>(>77>)>>>>$

$>>·>>>(>>\Sigma >>k>=>1>>M>>>v>ik>>>r>k>>>(>t>->>\tau >1>>)>>+>>n>i>>>(>t>->>\tau >1>>)>>)>>*>>>(>>\Sigma >>l>=>1>>M>>>v>il>>>r>l>>>(>t>->>\tau >2>>)>>+>>n>i>>>(>t>->>\tau >2>>)>>)>>]>>>$

然后，应用累积量性质3和假设A3，(77)式变为

$>>>>[sup>>C>x>4sup>>>(>>\tau >1>>,>>\tau >2>>,>>\tau >3>>)>>]>>rc>>=>>\Sigma >>i>=>1>>N>>Cum>[>>\Sigma >>j>=>1>>M>>>v>rj>>>r>j>>>(>t>)>>>\Sigma >>k>=>1>>M>sup>>v>ik>*sup>sup>>r>k>*sup>>>(>t>->>\tau >1>>)>>>\Sigma >>l>=>1>>M>>>v>il>>>r>l>>>(>t>->>\tau >2>>)>>>>$

$>>>·>>\Sigma >>m>=>1>>M>sup>>v>cm>*sup>sup>>r>m>*sup>>>(>t>->>\tau >3>>)>>]>>->->->>(>78>)>>>>$

$>>+>>\Sigma >>i>=>1>>N>>Cum>[>>n>r>>>(>t>)>sup>>n>i>*sup>>>(>t>->>\tau >1>>)>>>n>i>>>(>t>->>\tau >2>>)>sup>>n>c>*sup>>>(>t>->>\tau >3>>)>>]>>>$

其中各项进行了重新排序。但是，由假设A4和累积量性质4可得

$>>>\Sigma >>i>=>1>>N>>Cum>[>>n>r>>>(>t>)>sup>>n>i>*sup>>>(>t>->>\tau >1>>)>>>n>i>>>(>t>->>\tau >2>>)>sup>>n>c>*sup>>>(>t>->>\tau >3>>)>>]>=>0>->->->>(>79>)>>>>$

因此(78)式变为

$>>>>[sup>>C>x>4sup>>>(>>\tau >1>>,>>\tau >2>>,>>\tau >3>>)>>]>>rc>>=>>\Sigma >>i>=>1>>N>>Cum>[>>\Sigma >>j>=>1>>M>>>v>rj>>>r>j>>>(>t>)>>>\Sigma >>k>=>1>>M>sup>>v>ik>*sup>sup>>r>k>*sup>>>(>t>->>\tau >1>>)>>>\Sigma >>l>=>1>>M>>>v>il>>>r>l>>>(>t>->>\tau >2>>)>>->->->>(>80>)>>>>$

$>>·>>\Sigma >>m>=>->1>>M>sup>>v>cm>*sup>sup>>r>m>*sup>>>(>t>->>\tau >3>>)>>]>>>$

然后由源信号假设A1的统计独立性和重复应用累积量性质3，式(80)简化为

$>>>>[sup>>C>x>4sup>>>(>>\tau >1>>,>>\tau >2>>,>>\tau >3>>)>>]>>rc>>=>>\Sigma >>i>=>1>>N>>>\Sigma >>j>=>1>>M>>Cum>[>>v>rj>>>r>j>>>(>t>)>sup>>v>ij>*sup>sup>>r>j>*sup>>>(>t>->>\tau >1>>)>>>v>ij>>>r>j>>>(>t>->>\tau >2>>)>sup>>v>cj>*sup>>>>>>r>j>>*>>>(>t>->>\tau >3>>)>>>*>>]>->->->>(>81>)>>>>$

应用累积量性质1，式(81)中复权值可以提出放在累加的前面，即

$>>>>[sup>>C>x>4sup>>>(>>\tau >1>>,>>\tau >2>>,>>\tau >3>>)>>]>>rc>>=>>\Sigma >>i>=>1>>N>>>\Sigma >>j>=>1>>M>>>v>rj>sup>>v>ij>*sup>>>v>ij>sup>>v>cj>*sup>>Cum>[>>r>j>>>(>t>)>sup>>r>j>*sup>>>(>t>->>\tau >1>>)>>>r>j>>>(>t>->>\tau >2>>)>sup>>r>j>*sup>>>>(>t>->>\tau >3>>)>>*>>]>->->->>(>82>)>>>>$

重新调整累加的次序可得

$>>>>[sup>>C>x>4sup>>>(>>\tau >1>>,>>\tau >2>>,>>\tau >3>>)>>]>>rc>>=>>\Sigma >>j>=>1>>M>>>v>rj>sup>>v>cj>*sup>>>\Sigma >>i>=>1>>N>sup>>v>ij>*sup>>>v>ij>>Cum>[>>r>j>>>(>t>)>sup>>r>j>*sup>>>(>t>->>\tau >1>>)>>>r>j>>>(>t>->>\tau >2>>)>>>>r>j>>*>>>>(>t>->>\tau >3>>)>>*>>]>->->->>(>83>)>>>>$

然而，因为方向矢量的范数为1，即 $>>>\Sigma >>i>=>1>>N>sup>>v>ij>*sup>>>v>ij>>=>>\Sigma >>i>=>1>>N>sup>>\alpha >ij>2sup>>=>1>,>>>公式(83)$

简化为

$>>>>[sup>>C>x>4sup>>>(>>\tau >1>>,>>\tau >2>>,>>\tau >3>>)>>]>>rc>>=>>\Sigma >>j>=>1>>M>>>v>rj>sup>>v>cj>*sup>>Cum>[>>r>j>>>(>t>)>sup>>r>j>*sup>>>(>t>->>\tau >1>>)>>>r>j>>>(>t>->>\tau >2>>)>>>>r>j>>*>>>>(>t>->>\tau >3>>)>>*>>]>->->->>(>84>)>>>>$

从(84)式可以看出空间四阶累积量矩阵1乘以因子可以变成哈密特矩阵的形式，就象空间相关矩阵的情形

$>sup>>C>x>4sup>>>(>>\tau >1>>,>>\tau >2>>,>>\tau >3>>)>>=>Vsup>>C>r>4sup>>>(>>\tau >1>>,>>\tau >2>>,>>\tau >3>>)>>>V>H>>->->->>(>85>)>>>>$

其中C_r⁴(τ₁，τ₂，τ₃)是M×M对角阵，其元素为

$>>>>[sup>>C>r>4sup>>>(>>\tau >1>>,>>\tau >2>>,>>\tau >3>>)>>]>>jj>>=>Cum>[>>r>j>>>(>t>)>sup>>r>j>*sup>>>(>t>->>\tau >1>>)>>>r>j>>>(>t>->>\tau >2>>)>>>>r>j>>*>>>>(>t>->>\tau >3>>)>>*>>]>->->->>(>86>)>>>>$

$>>\equiv sup>>c>>r>j>>4sup>>>(>>\tau >1>>,>>\tau >2>>,>>\tau >3>>)>>>>$

展开式(84)可得，空间四阶累积量矩阵1可以写成方向矢量的外积与各自的源信号四阶累积量相乘的累加和。

$>sup>>C>x>4sup>>>(>>\tau >1>>,>>\tau >2>>,>>\tau >3>>)>>=>>\Sigma >>j>=>1>>M>sup>>c>>r>j>>4sup>>>(>>\tau >1>>,>>\tau >2>>,>>\tau >3>>)>>>v>j>sup>>v>j>Hsup>>->->->>(>87>)>>>>$

其中C_x⁴(τ₁，τ₂，τ₃)是含有第一个时滞τ₁，第二个时滞τ₂，和第三个时滞τ₃的空间累积量矩阵，每一个时滞是指从其中一个源到其中一个阵列单元的时延；M是指一组源中源的数目；c_rj⁴(τ₁，τ₂，τ₃)是指第j个源信号的四阶累积量，它来自一组源中含有时滞τ₁，τ₂，和τ₃的一个源；v_jv_j^H是指方向矢量的外积。由式(87)可以明白空间四阶累积量矩阵1存在于方向矢量生成的信号子空间中。要注意的是空间四阶累积量矩阵不含有在空间相关矩阵中存在的噪声子空间。空间相关矩阵中的噪声子空间就是这里空间四阶累积量矩阵中的零空间。对于下面将要提出的空间四阶累积量矩阵的其它定义将阐明该性质的正确性。

空间四阶累积量矩阵1性质

空间四阶累积量矩阵1，C_x⁴(τ₁，τ₂，τ₃)有若干性质，对它们的理解有助于说明估计分离矩阵W的方法。建立空间四阶累积量矩阵1的性质是使用矩阵束通用本征分解的第一步，该矩阵束由构建于两组时滞的一对空间四阶累积量矩阵1构成。混合矩阵子空间，诸如其秩和子空间的关系之类的性质有利于阐明信号子空间分离算法。特别需要注意的是实际上对于每一个源信号波场传感器没有全向的而且没有相同的簇。

性质1：当且仅当τ₁＝τ₂＝τ且τ₃＝0，即C_x⁴(τ，τ，0)时空间四阶累积量矩阵1是哈密特矩阵。

性质2：空间四阶累积量矩阵1的迹等于信号四阶累积量的和，即对角阵C_r⁴(τ₁，τ₂，τ₃)的迹。

$>>tr>>(sup>>C>x>4sup>>>(>>\tau >1>>,>>\tau >2>>,>>\tau >3>>)>>)>>=>>\Sigma >>j>=>1>>M>sup>>c>>r>j>>4sup>>>(>>\tau >1>>,>>\tau >2>>,>>\tau >3>>)>>->->->>(>88>)>>>>$

$>>\equiv >tr>>(sup>>C>r>4sup>>>(>>\tau >1>>,>>\tau >2>>,>>\tau >3>>)>>)>>>>$

性质3：空间四阶累积量矩阵1的列空间，表示为C(C_x⁴(τ₁，τ₂，τ₃))，由一组方向矢量生成。

$>>sp>>(>C>>(sup>>C>x>4sup>>>(>>\tau >1>>,>>\tau >2>>,>>\tau >3>>)>>)>>)>>=>\{>>v>1>>,>>v>2>>,>.>.>.>,>>v>M>>\}>->->->>(>89>)>>>>$

此外，如果混合矩阵是列满秩的，那么方向矢量是线性无关的，它们构成了空间四阶累积量矩阵1列向量的基。

性质4：如果V是列满秩的，那么空间四阶累积量矩阵1的秩等于混合矩阵的秩。即如果ρ(V)＝M，则

$>>\rho >>(sup>>C>x>4sup>>>(>>\tau >1>>,>>\tau >2>>,>>\tau >3>>)>>)>>=>\rho >>(>V>)>>->->->>(>90>)>>>>$

其中ρ( )表示秩。

性质5：如果混合矩阵是列满秩的，则空间四阶累积量矩阵1的“右”零空间与混合矩阵的“左”零空间是相等的。

$>>>N>r>>>(sup>>C>x>4sup>>>(>>\tau >1>>,>>\tau >2>>,>>\tau >3>>)>>)>>=>>N>l>>>(>V>)>>->->->>(>91>)>>>>$

空间四阶累积量矩阵定义2

空间四阶累积量矩阵的第二个定义修改自H.H.Chiang和C.L.Nikias的文献，“The ESPRIT Algorithm with High-Order statistics”，Proc.Workshop on High-Order spectral Analysis，Vail，CO.，Jun.1989，pp.163-168，和C.L.Nikias与A.P.Petropulu的文献，Higher-Order Spectra Analysis：A Nom-Linear Signal Processingframework(PTR Prentice-Hall，Upper Saddle River，NJ：1993)中描述的定义。使用这些定义结合时滞(τ₁，τ₂，τ₃)可得空间四阶累积量矩阵2。

$>sup>>C>x>>4>\prime >sup>>>(>>\tau >1>>,>>\tau >2>>,>>\tau >3>>)>>\equiv >Cum>[>\{>x>>(>t>)>>>x>*>>>(>t>->>\tau >1>>)>>x>>(>t>->>\tau >2>>)>>\}>>x>H>>>(>t>->>\tau >3>>)>>]>->->->>(>92>)>>>>$

空间四阶累积量矩阵2是N×N矩阵，其第r行第c列的元素由下式给出

$>>>>[sup>>C>x>>4>\prime >sup>>>(>>\tau >1>>,>>\tau >2>>,>>\tau >3>>)>>]>>rc>>=>Cum>[>>x>r>>>(>t>)>sup>>x>r>*sup>>>(>t>->>\tau >1>>)>>>x>r>>>(>t>->>\tau >2>>)>>>>x>c>>*>>>(>t>->>\tau >3>>)>>]>->->->>(>93>)>>>>$

将式(24)的x_i(t)代入式(76)，元素rc变为

$>>>>[sup>>C>x>>4>\prime >sup>>>(>>\tau >1>>,>>\tau >2>>,>>\tau >3>>)>>]>>rc>>=>Cum>[>>(>>\Sigma >>j>=>1>>M>>>v>rj>>>r>j>>>(>t>)>>+>>n>r>>>(>t>)>>)>>>>(>>\Sigma >>k>=>1>>M>>>v>rk>>>r>k>>>(>t>->>\tau >1>>)>>+>>n>r>>>(>t>->>\tau >1>>)>>)>>*>>->->->>(>94>)>>>>$

$>>·>>(>>\Sigma >>l>=>1>>M>>>v>rl>>>r>l>>>(>t>->>\tau >2>>)>>+>>n>r>>>(>t>->>\tau >2>>)>>)>>>>(>>\Sigma >>m>=>1>>M>>>v>cm>>>r>m>>>(>t>->>\tau >3>>)>>+>>n>c>>>(>t>->>\tau >3>>)>>)>>*>>]>>>$

按照空间四阶累积量矩阵1的简化过程，应用累积量性质3和假设A3，(93)式变为

$>>>>[sup>>C>x>>4>\prime >sup>>>(>>\tau >1>>,>>\tau >2>>,>>\tau >3>>)>>]>>rc>>=>Cum>[>>\Sigma >>j>=>1>>M>>>v>rj>>>r>j>>>(>t>)>>>\Sigma >>k>=>1>>M>sup>>v>rk>*sup>sup>>r>k>*sup>>>(>t>->>\tau >1>>)>>>\Sigma >>l>=>1>>M>>>v>rl>>>r>l>>>(>t>->>\tau >2>>)>>>>$

$>>·>>\Sigma >>m>=>1>>M>sup>>v>cm>*sup>sup>>r>m>*sup>>>(>t>->>\tau >3>>)>>]>->->->>(>95>)>>>>$

$>>+>Cum>[>>n>r>>>(>t>)>sup>>n>r>*sup>>>(>t>->>\tau >1>>)>>>n>r>>>(>t>->>\tau >2>>)>sup>>n>c>*sup>>>(>t>->>\tau >3>>)>>]>>>$

但是，由假设A4和累积量性质4可得

$>>Cum>[>>n>r>>>(>t>)>sup>>n>r>*sup>>>(>t>->>\tau >1>>)>>>n>r>>>(>t>->>\tau >2>>)>sup>>n>c>*sup>>>(>t>->>\tau >3>>)>>]>=>0>->->->>(>96>)>>>>$

因此(95)式简化为

$>>>>[sup>>C>x>>4>\prime >sup>>>(>>\tau >1>>,>>\tau >2>>,>>\tau >3>>)>>]>>rc>>=>Cum>[>>\Sigma >>j>=>1>>M>>>v>rj>>>r>j>>>(>t>)>>>\Sigma >>k>=>1>>M>sup>>v>rk>*sup>sup>>r>k>*sup>>>(>t>->>\tau >1>>)>>>\Sigma >>l>=>1>>M>>>v>rl>>>r>l>>>(>t>->>\tau >2>>)>>->->->>(>97>)>>>>$

$>>·>>\Sigma >>m>=>1>>M>sup>>v>cm>*sup>sup>>r>m>*sup>>>(>t>->>\tau >3>>)>>]>>>$

然后由源信号假设A1的统计独立性和重复应用累积量性质3，式(97)简化为

$>>>>[sup>>C>x>>4>\prime >sup>>>(>>\tau >1>>,>>\tau >2>>,>>\tau >3>>)>>]>>rc>>=>>\Sigma >>j>=>1>>M>>Cum>[>>v>rj>>>r>j>>>(>t>)>sup>>v>rj>*sup>sup>>r>j>*sup>>>(>t>->>\tau >1>>)>>>v>rj>>>r>j>>>(>t>->>\tau >2>>)>sup>>v>cj>*sup>sup>>r>j>*sup>>>>(>t>->>\tau >3>>)>>*>>]>->->->>(>98>)>>>>$

应用累积量性质1，式(98)中复权值可以提出放在累加的前面，即

$>>>>[sup>>C>x>>4>\prime >sup>>>(>>\tau >1>>,>>\tau >2>>,>>\tau >3>>)>>]>>rc>>=>>\Sigma >>j>=>1>>M>>>v>rj>sup>>v>rj>*sup>>>v>rj>sup>>v>cj>*sup>>Cum>[>>r>j>>>(>t>)>sup>>r>j>*sup>>>(>t>->>\tau >1>>)>>>r>j>>>(>t>->>\tau >2>>)>>>>r>j>>*>>>>(>t>->>\tau >3>>)>>*>>]>->->->>(>99>)>>>>$

然而，因为 $>sup>>v>rj>*sup>>>v>rj>>=sup>>\alpha >rj>2sup>>,>>>公式(99)简化为$

$>>>>[sup>>C>x>>4>\prime >sup>>>(>>\tau >1>>,>>\tau >2>>,>>\tau >3>>)>>]>>rc>>=>>\Sigma >>j>=>1>>M>sup>>\alpha >rj>2sup>>>v>rj>sup>>v>cj>*sup>>Cum>[>>r>j>>>(>t>)>sup>>r>j>*sup>>>(>t>->>\tau >1>>)>>>r>j>>>(>t>->>\tau >2>>)>>>>r>j>>*>>>>(>t>->>\tau >3>>)>>*>>]>->->->>(>100>)>>>>$

从(100)式可以看出空间四阶累积量矩阵2一般不能象空间四阶累积量矩阵1和空间相关矩阵那样乘以因子变成哈密特矩阵的形式。但是如果定义了

$>>>>v>~>>rj>>\equiv sup>>\alpha >rj>2sup>>>v>rj>>->->->>(>101>)>>>>$

它可以乘以因子变成双线性的形式。

$>sup>>C>x>>4>\prime >sup>>>(>>\tau >1>>,>>\tau >2>>,>>\tau >3>>)>>=>>V>~>sup>>C>r>4sup>>>(>>\tau >1>>,>>\tau >2>>,>>\tau >3>>)>>>V>H>>->->->>(>102>)>>>>$

其中N×M “修正”混合矩阵的第r行第c列的元素由下式给出

$>>>>[>>V>~>>]>>rc>>=>>>v>~>>rc>>->->->>(>103>)>>>>$

展开式(102)可得，空间四阶累积量矩阵2可以写成“修正”方向矢量与方向矢量的外积与各自的源信号四阶累积量相乘的累加和。

$>sup>>C>x>>4>\prime >sup>>>(>>\tau >1>>,>>\tau >2>>,>>\tau >3>>)>>=>>\Sigma >>j>=>1>>M>sup>>c>>r>j>>4sup>>>(>>\tau >1>>,>>\tau >2>>,>>\tau >3>>)>>>>v>~>>j>sup>>v>j>Hsup>>->->->>(>104>)>>>>$

注意“修正”方向矢量是矩阵的第j列。

与空间四阶累积量矩阵2相关的一个问题是其秩是否是不足。按照空间四阶累积量矩阵1秩的推导过程，如果“修正”混合矩阵和混合矩阵都是列满秩的，则空间四阶累积量矩阵2的秩等于混合矩阵的秩。可以假设混合矩阵V是列满秩的，因为这可以由阵列的设计来保证。但是不能通过设计来保证混合矩阵的秩，而且到目前为止还不清楚如果保证混合矩阵是列满秩的，是否能充分保证“修正”混合矩阵也是列满秩的。虽然“修正”混合矩阵是阿达马(Hadamard)积

但不一定保持混合矩阵的秩。例如参见J.R.Schott的著作，Matrix Analysis for Statistics(John Wiley and Sons，New York，NY：1997)。在这一点上应该假设阿达马(Hadamard)积保持了混合矩阵的秩，因此保证混合矩阵是列满秩充分保证“修正”混合矩阵也是列满秩的。“修正”混合矩阵不是列满秩的含义将在后续的部分阐明。

如果“修正”混合矩阵是列满秩的，通过观察式(104)可以清楚看到空间四阶累积量矩阵2存在于由“修正”方向矢量生成的信号子空间中。同样，空间相关矩阵中的噪声子空间就是这里空间四阶累积量矩阵2的零空间。注意在H.H.Chiang和C.L.Nikias的文献，TheESPRIT Algorithm with High-Order statistics，Proc.Workshop onHigh-Order spectral Analysis，Vail，CO.，Jun.1989，pp.163-168，和C.L.Nikias与A.P.Petropulu的文献，Higher-Order Spectra Analysis：A Nom-Linear Signal Processing framework(PTR Prentice-Hall，Upper Saddle River，NJ：1993)中，单元/传感器是全向的且具有单位增益即 $>sup>>\alpha >ij>2sup>>=>1>,>>>因此空间四阶累积量矩阵2和空间四阶累积量矩阵1相等而且“修正”混合矩阵是列满秩的。但是因为在实际应用中不存在全向的传感器，这种假设是不现实的。$

空间四阶累积量矩阵2性质

如果“修正”混合矩阵是列满秩的，那么空间四阶累积量矩阵2拥有许多与空间四阶累积量矩阵1相同的性质。随后的部分将在“修正”混合矩阵是列满秩的假设前提下，推导与矩阵束信号子空间分离技术相联系的重要性质。

性质1

空间四阶累积量矩阵2一般是非哈密特矩阵。当且仅当τ₁＝τ₂＝τ且τ₃＝0，即C_x^4′(τ，τ，0)，且所有传感器对于一给定信号具有相同增益时空间四阶累积量矩阵2是哈密特矩阵。

性质2

空间四阶累积量矩阵2的迹等于信号四阶累积量的和乘以传感器幅值四次方的和。

$>>tr>>(sup>>C>x>>4>\prime >sup>>>(>>\tau >1>>,>>\tau >2>>,>>\tau >3>>)>>)>>=>>\Sigma >>j>=>1>>M>>>\Sigma >>r>=>1>>N>sup>>\alpha >>r>j>>4sup>sup>>c>>r>j>>4sup>>>(>>\tau >1>>,>>\tau >2>>,>>\tau >3>>)>>->->->>(>106>)>>>>$

性质3

空间四阶累积量矩阵2的列空间，表示为C(C_x^4′(τ₁，τ₂，τ₃))，由一组“修正”方向矢量生成。

$>>sp>>(>C>>(sup>>C>x>>4>\prime >sup>>>(>>\tau >1>>,>>\tau >2>>,>>\tau >3>>)>>)>>)>>=>\{>>>v>~>>1>>,>>>v>~>>2>>,>>.>.>.>,>>>v>~>>M>>\}>->->->>(>107>)>>>>$

此外，如果“修正”混合矩阵是列满秩的，那么该组“修正”方向矢量是线性无关的，它们构成了空间四阶累积量矩阵2列向量的基。

性质4

如果V和是列满秩的，那么空间四阶累积量矩阵2的秩等于混合矩阵的秩。即如果 $>>\rho >>(>V>)>>=>\rho >>(>>V>~>>)>>=>M>,>>>则$

$>>\rho >>(sup>>C>x>>4>\prime >sup>>>(>>\tau >1>>,>>\tau >2>>,>>\tau >3>>)>>)>>=>\rho >>(>V>)>>->->->>(>108>)>>>>$

其中ρ( )表示秩。

性质5

如果混合矩阵和“修正”混合矩阵是列满秩的，那么空间四阶累积量矩阵2的“右”零空间与混合矩阵的“左”零空间是相等的。

$>>>N>r>>>(sup>>C>x>>4>\prime >sup>>>(>>\tau >1>>,>>\tau >2>>,>>\tau >3>>)>>)>>=>>N>l>>>(>V>)>>->->->>(>109>)>>>>$

空间四阶累积量矩阵定义3

空间四阶累积量矩阵的第三个即最后一个定义结合了时滞(τ₁，τ₂，τ₃)，可以导出下面的等式。

$>sup>>C>x>>4>>\prime >\prime >\prime >>sup>>>(>>\tau >1>>,>>\tau >2>>,>>\tau >3>>)>>\equiv >Cum>[>\{>x>>(>t>)>>>x>*>>>(>t>->>\tau >1>>)>>>x>*>>>(>t>->>\tau >2>>)>>\}>>x>T>>>(>t>->>\tau >3>>)>>]>->->->>(>110>)>>>>$

空间四阶累积量矩阵3也是N×N矩阵，其第r行第c列的元素由下式给出

$>>>>[sup>>C>x>>4>>\prime >\prime >\prime >>sup>>>(>>\tau >1>>,>>\tau >2>>,>>\tau >3>>)>>]>>rc>>=>Cum>[>>x>r>>>(>t>)>sup>>x>r>*sup>>>(>t>->>\tau >1>>)>sup>>x>r>*sup>>>(>t>->>\tau >2>>)>>>x>c>>>(>t>->>\tau >3>>)>>]>->->->>(>111>)>>>>$

将式(24)的x_i(t)代入式(111)，元素rc变为

$>>>>[sup>>C>x>>4>>\prime >\prime >>>sup>>>(>>\tau >1>>,>>\tau >2>>,>>\tau >3>>)>>]>>rc>>=>Cum>[>>(>>\Sigma >>j>=>1>>M>>>v>rj>>>r>j>>>(>t>)>>+>>n>r>>>(>t>)>>)>>>>(>>\Sigma >>k>=>1>>M>>>v>rk>>>r>k>>>(>t>->>\tau >1>>)>>+>>n>r>>>(>t>->>\tau >1>>)>>)>>*>>->->->>(>112>)>>>>$

$>>·>>>(>>\Sigma >>l>=>1>>M>>>v>rl>>>r>l>>>(>t>->>\tau >2>>)>>+>>n>r>>>(>t>->>\tau >2>>)>>)>>*>>>(>>\Sigma >>m>=>1>>M>>>v>cm>>>r>m>>>(>t>->>\tau >3>>)>>+>>n>c>>>(>t>->>\tau >3>>)>>)>>]>>>$

按照空间四阶累积量矩阵2的简化过程，应用累积量性质3和假设A3，(112)式变为

$>>>>[sup>>C>x>>4>>\prime >\prime >>sup>>>(>>\tau >1>>,>>\tau >2>>,>>\tau >3>>)>>]>>rc>>=>Cum>[>>\Sigma >>j>=>1>>M>>>v>rj>>>r>j>>>(>t>)>>>\Sigma >>k>=>1>>M>sup>>v>rk>*sup>sup>>r>k>*sup>>>(>t>->>\tau >1>>)>>>\Sigma >>l>=>1>>M>sup>>v>rl>*sup>sup>>r>l>*sup>>>(>t>->>\tau >2>>)>>>>$

$>>·>>\Sigma >>m>=>1>>M>>>v>cm>>>r>m>>>(>t>->>\tau >3>>)>>]>->->->>(>113>)>>>>$

$>>+>Cum>[>>n>r>>>(>t>)>sup>>n>r>*sup>>>(>t>->>\tau >1>>)>sup>>n>r>*sup>>>(>t>->>\tau >2>>)>>>n>c>>>(>t>->>\tau >3>>)>>]>>>$

但是，由假设A4和累积量性质4可得

$>>Cum>[>>n>r>>>(>t>)>sup>>n>r>*sup>>>(>t>->>\tau >1>>)>sup>>n>r>*sup>>>(>t>->>\tau >2>>)>>>n>c>>>(>t>->>\tau >3>>)>>]>=>0>->->->>(>1.1>)>>>>$

因此(113)式简化为

$>>>>[sup>>C>x>>4>>\prime >\prime >>sup>>>(>>\tau >1>>,>>\tau >2>>,>>\tau >3>>)>>]>>rc>>=>Cum>[>>\Sigma >>j>=>1>>M>>>v>rj>>>r>j>>>(>t>)>>>\Sigma >>k>=>1>>M>sup>>v>rk>*sup>sup>>r>k>*sup>>>(>t>->>\tau >1>>)>>>\Sigma >>l>=>1>>M>sup>>v>rl>*sup>sup>>r>l>*sup>>>(>t>->>\tau >2>>)>>->->->>(>114>)>>>>$

$>>·>>\Sigma >>m>=>1>>M>>>v>cm>>>r>m>>>(>t>->>\tau >3>>)>>]>>>$

然后由源信号假设A1的统计独立性和重复应用累积量性质3，式(114)简化为

$>>>>[sup>>C>x>>4>>\prime >\prime >\prime >>sup>>>(>>\tau >1>>,>>\tau >2>>,>>\tau >3>>)>>]>>rc>>=>>\Sigma >>j>=>1>>M>>Cum>[>>v>rj>>>r>j>>>(>t>)>sup>>v>rj>*sup>sup>>r>j>*sup>>>(>t>->>\tau >1>>)>sup>>v>rj>*sup>>>r>j>>>(>t>->>\tau >2>>)>>>v>cj>>>r>j>>>>(>t>->>\tau >3>>)>>*>>]>->->->>(>115>)>>>>$

应用累积量性质1，式(115)中复权值可以提出放在累加的前面，即

$>>>>[sup>>C>x>>4>>\prime >\prime >\prime >>sup>>>(>>\tau >1>>,>>\tau >2>>,>>\tau >3>>)>>]>>rc>>=>>\Sigma >>j>=>1>>M>>>v>rj>sup>>v>rj>*sup>sup>>v>rj>*sup>>>v>cj>>Cum>[>>r>j>>>(>t>)>sup>>r>j>*sup>>>(>t>->>\tau >1>>)>sup>>r>r>*sup>>>(>t>->>\tau >2>>)>>>r>j>>>(>t>->>\tau >3>>)>>]>->->->>(>116>)>>>>$

然而，因为 $>sup>>v>rj>*sup>>>v>rj>>=sup>>\alpha >rj>2sup>>,>>>公式(116)简化为$

$>>>>[sup>>C>x>>4>>\prime >\prime >\prime >>sup>>>(>>\tau >1>>,>>\tau >2>>,>>\tau >3>>)>>]>>rc>>=>>\Sigma >>j>=>1>>M>sup>>\alpha >rj>2sup>sup>>v>rj>*sup>>>v>cj>>Cum>[>>r>j>>>(>t>)>sup>>r>j>*sup>>>(>t>->>\tau >1>>)>sup>>r>j>*sup>>>(>t>->>\tau >2>>)>>>r>j>>>(>t>->>\tau >3>>)>>]>->->->>(>117>)>>>>$

从(117)式可以看出空间四阶累积量矩阵3一般不能象空间四阶累积量矩阵1和空间相关矩阵那样乘以因子变成哈密特矩阵的形式。但是如果“修正”方向矢量的元素仍然定义为

$>>>>v>~>>rj>>\equiv sup>>\alpha >rj>2sup>>>v>rj>>->->->>(>118>)>>>>$

它可以乘以因子变成双线性的形式。

$>sup>>C>x>>4>>\prime >\prime >\prime >>sup>>>(>>\tau >1>>,>>\tau >2>>,>>\tau >3>>)>>=>>>V>~>>*>sup>>C>x>4sup>>>(>>\tau >1>>,>>\tau >2>>,>>\tau >3>>)>>>V>T>>->->->>(>119>)>>>>$

其中N×M “修正”混合矩阵的第r行第c列的元素由下式给出

$>>>>[>>V>~>>]>>rc>>=>>>v>~>>rc>>->->->>(>1.2>)>>>>$

展开式(119)可得，空间四阶累积量矩阵3可以写成“修正”方向矢量与方向矢量的外积与各自的源信号四阶累积量相乘的累加和。

$>sup>>C>x>>4>>\prime >\prime >\prime >>sup>>>(>>\tau >1>>,>>\tau >2>>,>>\tau >3>>)>>=>>\Sigma >>j>=>1>>M>sup>>c>>r>j>>4sup>>>(>>\tau >1>>,>>\tau >2>>,>>\tau >3>>)>sup>>>v>~>>j>*sup>sup>>v>j>Tsup>>->->->>(>120>)>>>>$

如同前面，仍要证明混合矩阵V是列满秩是否能充分保证“修正”混合矩阵也是列满秩的。但是，应该假设阿达马积保留了混合矩阵的秩，因此混合矩阵是列满秩充分保证“修正”混合矩阵是列满秩的。

如果“修正”混合矩阵是列满秩的，通过观察式(104)可以清楚看到空间四阶累积量矩阵3存在于由“修正”方向矢量生成的信号子空间中。同样，象空间四阶累积量矩阵2一样，空间四阶累积量矩阵3没有空噪声子空间就是这里的零空间。注意在N.Yuen和B.Friedlander的文献，“Asymptotic Performance Analysis of ESPRIT，Higher-order ESPRIT，and Virtual ESPRIT Algorithms”，IEEETrans.Signal Processing，Vol.44，No.10，Oct.1996，pp.2537-2550；H.H.Chiang和C.L.Nikias的文献，“The ESPRIT Algorithm withHigh-Order Statistics”，Proc.Workshop on High-Order spectralAnalysis，Vail，CO.，Jun.1989，pp.163-168；以及C.L.Nikias与A.P.Petropulu的文献，Higher-Order Spectra Analysis：A Nom-LinearSignal Processing framework(PTR Prentice-Hall，Upper Saddle River，NJ：1993)中，单元/传感器是全向的且具有单位增益即 $>sup>>\alpha >ij>2sup>>=>1>.>>>$

空间四阶累积量矩阵3性质

如同空间四阶累积量矩阵2，如果“修正”混合矩阵是列满秩的，那么空间四阶累积量矩阵3拥有许多与空间四阶累积量矩阵1相同的性质。在“修正”混合矩阵是列满秩的假设前提下，下面将推导与矩阵束设计和分离技术相联系的重要性质。

性质1

空间四阶累积量矩阵3一般是非哈密特矩阵。当且仅当τ₁＝τ₃＝τ且τ₃＝0，即C_x^4(τ，0，τ)，且所有传感器对于一给定信号具有相同增益时空间四阶累积量矩阵3是哈密特矩阵。

性质2

空间四阶累积量矩阵3的迹等于信号四阶累积量的和乘以传感器幅值四次方的和。

$>>tr>>(sup>>C>x>>4>>\prime >\prime >\prime >>sup>>>(>>\tau >1>>,>>\tau >2>>,>>\tau >3>>)>>)>>=>>\Sigma >>j>=>1>>M>>>\Sigma >>r>=>1>>N>sup>>\alpha >>r>j>>4sup>sup>>c>>r>j>>4sup>>>(>>\tau >1>>,>>\tau >2>>,>>\tau >3>>)>>->->->>(>121>)>>>>$

性质3

空间四阶累积量矩阵3的列空间，表示为C(C_x^4(τ₁，τ₂，τ₃))，由一组共轭“修正”方向矢量生成。

$>>sp>>(>C>>(sup>>C>x>>4>>\prime >\prime >\prime >>sup>>>(>>\tau >1>>,>>\tau >2>>,>>\tau >3>>)>>)>>)>>=>\{sup>>>v>~>>1>*sup>>,sup>>>v>~>>2>*sup>>,>.>.>.>,sup>>>v>~>>M>*sup>>\}>->->->>(>122>)>>>>$

此外，如果“修正”混合矩阵是列满秩的，那么该组共轭“修正”方向矢量是线性无关的，它们构成了空间四阶累积量矩阵3列向量的基。

性质4

如果V和是列满秩的，那么空间四阶累积量矩阵3的秩等于混合矩阵的秩。即如果 $>>\rho >>(>V>)>>=>\rho >>(>>V>~>>)>>=>M>,>>>则$

$>>\rho >>(sup>>C>x>>4>>\prime >\prime >\prime >>sup>>>(>>\tau >1>>,>>\tau >2>>,>>\tau >3>>)>>)>>=>\rho >>(>V>)>>->->->>(>123>)>>>>$

其中ρ( )表示秩。

性质5

如果混合矩阵和“修正”混合矩阵是列满秩的，那么空间四阶累积量矩阵3的“右”零空间与混合矩阵的“左”零空间是相等的。

$>>>N>r>>>(sup>>C>x>>4>>\prime >\prime >\prime >>sup>>>(>>\tau >1>>,>>\tau >2>>,>>\tau >3>>)>>)>>=sup>>N>l>*sup>>>(>V>)>>->->->>(>124>)>>>>$

本发明提出的空间四阶累积量矩阵的三个定义都有一个重要的性质是没有噪声子空间。这个特性让我们既避免了利用阵列的自由度以估计噪声子空间，也避免了时域白噪声的假设以使噪声子空间在非零时间之后时会消失。但是，定义1与定义2和定义3之间有两个主要的区别。

首先，定义2和定义3比定义1更利于计算。这通过比较式(76)与式(93)和(111)可以看出，定义2和定义3需要估计N²次累积量而定义1需要估计N³次累积量。其次，如果混合矩阵是列满秩的，仍然要严格证明空间四阶累积量矩阵1的秩等于信号的数目；而如果混合矩阵是列满秩的，还没有证明空间四阶累积量矩阵2和3的秩等于信号的数目。之所以存在这第二个区别因为事实上还没有证据证明阿达马积能保留秩。因此，需要假设这是针对“修正”混合矩阵的特殊情况，从而使空间四阶累积量矩阵2和3拥有了执行盲源分离所需要的一系列导出性质。但是如果证明假设不成立，那么若阵列传感器不具有相同的簇，则空间四阶累积量矩阵2和3就不会拥有充分的自由度以执行盲源分离。

当阵列传感器具有相同的簇，传感器响应的幅值，|v_ij|＝α_ij对每个信号是个常数，即

|v_ij|＝α_ij＝a_j(125)

由式(26)可得

$>>>\Sigma >>i>=>1>>N>sup>>\alpha >ij>2sup>>=>1>->->->>(>126>)>>>>$

这就是说当所有传感器具有相同的簇时，可以将式(125)代入式(126)得到

$>>>\Sigma >>i>=>1>>N>sup>>a>j>2sup>>=>Nsup>>a>j>2sup>>=>1>->->->>(>127>)>>>>$

于是

$>>>a>j>>=>>1>>N>>>->->->>(>128>)>>>>$

此外，若所有簇都相同，则对于所有的j都有

$>>>a>j>>=>>1>>N>>>->->->>(>129>)>>>>$

这样，可以发现对于空间四阶累积量矩阵2，当传感器具有相同的簇时，将式(129)代入式(100)并乘以因子变成双线性的形式

$>sup>>C>x>>4>\text{'}>sup>>>(>>\tau >1>>,>>\tau >2>>,>>\tau >3>>)>>=>>1>N>>Vsup>>C>r>4sup>>>(>>\tau >1>>,>>\tau >2>>,>>\tau >3>>)>>>V>H>>>>$

$>>=>>1>N>sup>>C>x>4sup>>>(>>\tau >1>>,>>\tau >2>>,>>\tau >3>>)>>->->->>(>130>)>>>>$

因此空间四阶累积量矩阵2和空间四阶累积量矩阵1仅相差一个实数的比例因子。对于空间四阶累积量矩阵3经过同样的过程可以得到

$>sup>>C>x>>4>>\prime >\prime >\prime >>sup>>>(>>\tau >1>>,>>\tau >2>>,>>\tau >3>>)>>=>>1>N>>>V>*>sup>>C>r>4sup>>>(>>\tau >1>>,>>\tau >2>>,>>\tau >3>>)>>>V>T>>>>$

$>>=>>1>N>sup>>C>x>>4>*>sup>>>(>>\tau >1>>,>>\tau >2>>,>>\tau >3>>)>>->->->>(>131>)>>>>$

因此当传感器具有相同的簇时，空间四阶累积量矩阵3等于空间四阶累积量矩阵1的共轭乘以一个实数的比例因子。不幸的是，假设所有传感器具有相同的空间响应从物理上来说是不可实现的，并且经证实是ESPTIT算法及其高阶版本失败的原因。

最后，N.Yuen和B.Friedlander的文献，“AsymptoticPerformance Analysis of ESPRIT，Higher-order ESPRIT，andVirtual ESPRIT Algorithms”，IEEE Trans.Signal Processing，Vol.44，No.10，Oct.1996，pp.2537-2550，断言当用于估计空间四阶累积量矩阵的数据长度有限时，定义3优于定义2，空间四阶累积量矩阵3会保持哈密特矩阵对称性，满足性质1叙述的条件。该性质对于本发明提出的矩阵束方法的价值是未知的，因而没有评估它的有效性。

下面给出空间四阶累积量矩阵束的定义及其性质。空间四阶累积量矩阵的标准本征分析具有不确定性，这是本发明使用空间四阶累积量矩阵束的目的。矩阵述的定义，性质和谱理论包括奇异束的处理和广义等价性新概念的说明。本发明针对所有三个空间四阶累积量矩阵的定义给出其空间四阶累积矩阵束的定义及其性质。最后可以看出空间四阶累积矩阵束的谱分析提供了一组本征矢量可以用作盲分离单独源信号的基。

执行盲源分离的系统描述包括找到一组矢量，它们每一个都与除了1以外所有方向矢量独立正交。该矢量集合，可能乘以一个规格化因子，构成了使混合矩阵V对角化的分离矩阵W。前面说明了盲源分离的概念，下面说明利用空间四阶累积量矩阵得到分离矩阵的技术。

基于空间四阶累积矩阵信号子空间的谱估计技术用于执行盲分离。在矩阵子空间的概念中谱估计意味着本征分析，因而术语谱和本征的使用可以互换。在数学上，本征值通常也指特征值。例如参见P.R.Halmos的文献，Finite-Dimensional Vector Spaces(Spring-Verlag，New York，NY：1987)，该文献在此被全文引用作为参考。不幸的是，空间四阶累积矩阵的标准谱分解一般不能直接提供一组使混合矩阵对角化的本征矢量。使混合矩阵对角化的空间四阶累积矩阵本征矢量确实存在，但必须搜索整个信号子空间以获得这组唯一的本征矢量。所以空间四阶累积矩阵标准本征分解所具有的不确定性使其不合乎要求。标准本征分析的不确定性将在下面详细讨论。

使用空间四阶累积矩阵束的广义本征分析可以克服标准本征分解的不确定性。因此，用两组时滞(0，0，0)和(τ₁，τ₂，τ₃)定义两个空间四阶累积矩阵构成的空间四阶累积矩阵束。

标准本征分析的不确定性：基于谱估计方法对统计独立源信号进行盲分离，其信号子空间的系统描述首先要检查使用空间四阶累积矩阵1，C_x⁴(τ₁，τ₂，τ₃)的标准本征矢量以执行盲源分离时所存在的不确定性。一般来说，空间四阶累积矩阵1的结果可以直接用于空间四阶累积矩阵2和3，所以仅提供空间四阶累积矩阵1的结果。但是，任何对于空间四阶累积矩阵2和3可能存在的区别或例外都会适时注释出来。

空间四阶累积矩阵1标准本征值问题的定义是

$>sup>>C>x>4sup>>>(>>\tau >1>>,>>\tau >2>>,>>\tau >3>>)>>e>=>\lambda e>->->->>(>132>)>>>>$

如果一非零本征矢量e使式(132)中的等号成立，则标量λ就称之为空间四阶累积矩阵1的本征值，e就是对应于本征值λ的本征矢量。重写式(132)可得空间四阶累积矩阵1的本征矢量存在于矩阵束的“右”零空间，即

$>>>(sup>>C>x>4sup>>>(>>\tau >1>>,>>\tau >2>>,>>\tau >3>>)>>->\lambda >>I>N>>)>>e>=>0>->->->>(>133>)>>>>$

因此

$>>e>\in >>N>r>>>(sup>>C>x>4sup>>>(>>\tau >1>>,>>\tau >2>>,>>\tau >3>>)>>->\lambda >>I>N>>)>>->->->>(>134>)>>>>$

当λ不是本征值时，即使C_x⁴(τ₁，τ₂，τ₃)的秩为M，矩阵束

$>>\{sup>>C>x>4sup>>>(>>\tau >1>>,>>\tau >2>>,>>\tau >3>>)>>,>I>\}>\equiv sup>>C>x>4sup>>>(>>\tau >1>>,>>\tau >2>>,>>\tau >3>>)>>->\lambda >>I>N>>->->->>(>135>)>>>>$

仍然是非奇异的，其秩为N。这样，本征值λ以η_k^geom减少了矩阵束的秩，该值是指本征值λ的“几何重复度”，其定义为

$>sup>>\eta >k>geomsup>>=>N>->\rho >>(sup>>C>x>4sup>>>(>>\tau >1>>,>>\tau >2>>,>>\tau >3>>)>>->\lambda >>I>N>>)>>->->->>(>136>)>>>>$

既然当且仅当矩阵束的秩减少了λ才是本征值，那么可以通过搜索特征式的根获得本征值。也就是使矩阵束的行列式为零的值，

$>>det>>(sup>>C>x>4sup>>>(>>\tau >1>>,>>\tau >2>>,>>\tau >3>>)>>->\lambda >>I>N>>)>>=>0>->->->>(>137>)>>>>$

就是本征值。

式(137)中行列式的定义为积的和

$>>det>>(sup>>C>x>4sup>>>(>>\tau >1>>,>>\tau >2>>,>>\tau >3>>)>>->\lambda >>I>N>>)>>=>>\Sigma >l>>>>(>->1>)>>>>\phi >l>>>(>>c>1>>,>>c>2>>,>·>·>·>>c>M>>)>>>>>(>>>[sup>>C>x>4sup>>>(>>\tau >1>>,>>\tau >2>>,>>\tau >3>>)>>]>>>l>>c>1>>>>->>\delta >>l>>c>1>>>>\lambda >)>>·>·>·>->->->>(>138>)>>>>$

$>>(>>>[sup>>C>x>4sup>>>(>>\tau >1>>,>>\tau >2>>,>>\tau >3>>)>>]>>>N>>c>N>>>>->>\delta >>N>>c>N>>>>\lambda >)>>>$

其中集合{c₁，c₂，...，c_N}是前N个正整数的第l个排列，求和包括所有L＝N！个这样的排列，标量δ_rc表示单位矩阵I_N的第r行第c列的元素。(138)式中的指数是一个定义为集合{c₁，c₂，...，c_N}函数的标量，即

$>>>\phi >l>>>(>>c>1>>,>>c>2>>,>>.>.>.>,>>c>N>>)>>\equiv >>\Sigma >>n>=>1>>>N>->1>>>>\xi >n>>->->->>(>139>)>>>>$

其中ξ_n是序列c_n+1，....，c_N中小于c_n的整数数目。将式(84)代入(138)式可得

$>>det>>(sup>>C>x>4sup>>>(>>\tau >1>>,>>\tau >2>>,>>\tau >3>>)>>->\lambda >>I>N>>)>>=>>\Sigma >l>>>>(>->1>)>>>>\phi >l>>>(>>c>1>>,>>c>2>>,>.>.>.>,>>c>N>>)>>>>>(>>\Sigma >>j>=>1>>M>>>v>>1>j>>sup>>v>>>c>1>>j>>*sup>sup>>c>>r>j>>4sup>>>(>>\tau >1>>,>>\tau >2>>,>>\tau >3>>)>>->>\delta >>1>>c>1>>>>\lambda >)>>·>·>·>->->->>(>140>)>>>>$

$>>(>>\Sigma >>j>=>1>>M>>>v>Nj>sup>>sup>>v>>>c>N>>j>>*sup>>v>>>r>j>>4sup>>>(>>\tau >1>>,>>\tau >2>>,>>\tau >3>>)>>->>\delta >>N>>c>N>>>>\lambda >)>>>$

可以清楚地看到，每一个使(140)式中行列式等于零的非零λ值都是单独源信号四阶累积量的一个线性组合。所以，既然每个本征值都是单独源信号四阶累积量的一个线性组合，那就有理由希望本征矢量是与其相联系的方向矢量的线性组合。将式(87)的空间四阶累积量矩阵代入式(132)可得

$>>>\Sigma >>j>=>1>>M>sup>>c>>r>j>>4sup>>>(>>\tau >1>>,>>\tau >2>>,>>\tau >3>>)>>>v>j>sup>>v>j>Hsup>>e>=>\lambda e>->->->>(>141>)>>>>$

矢量内积v_j^He等于一个标量，其定义为

$>>>ϵ>j>>\equiv sup>>v>j>Hsup>>e>->->->>(>142>)>>>>$

式(141)则变为

$>>e>=>>\Sigma >>j>=>1>>M>>>>ϵ>j>>\lambda >sup>>c>>r>j>>4sup>>>(>>\tau >1>>,>>\tau >2>>,>>\tau >3>>)>>>v>j>>->->->>(>143>)>>>>$

另一方面，可以看出每一个本征矢量是源信号四阶累积量乘以本征矢量的哈密特变换(式141)，再除以内积e^He后的线性组合。既然使等式(141)成立的某一本征矢量仅对应于一个本征值(例如参见D.A.Harville的文献，Matrix Algebra from a Statistician’s Perspective，Springer-Verlag，New York，NY：1999，该文献在此被全文引用作为参考)，因此每个本征值可以表示为

$>>\lambda >=>>\Sigma >>j>=>1>>M>sup>>c>>r>j>>4sup>>>(>>\tau >1>>,>>\tau >2>>,>>\tau >3>>)>>>>>e>H>>>v>j>sup>>v>j>Hsup>>e>>>>e>H>>e>>>->->->>(>144>)>>>>$

显然是单独源信号四阶累积量的一个线性组合。

如果假设混合矩阵V是列满秩的，由性质4可得空间四阶累积量矩阵1的秩为M。因此存在M个非零本征值，其和等于空间四阶累积量矩阵的迹。即应用空间四阶累积矩阵1的性质2可得

$>>>\Sigma >>k>=>1>>M>>>\lambda >k>>=>tr>[sup>>C>x>4sup>>>(>>\tau >1>>,>>\tau >2>>,>>\tau >3>>)>>]>=>>\Sigma >>j>=>1>>M>sup>>c>>r>j>>4sup>>>(>>\tau >1>>,>>\tau >2>>,>>\tau >3>>)>>->->->>(>145>)>>>>$

将(144)式代入式(145)可得

$>>>\Sigma >>j>=>1>>M>sup>>c>>r>j>>4sup>>>(>>\tau >1>>,>>\tau >2>>,>>\tau >3>>)>>>\Sigma >>k>=>1>>M>>>sup>>e>k>Hsup>>>v>j>sup>>v>j>Hsup>>>e>k>>>sup>>e>k>Hsup>>>e>k>>>>=>>\Sigma >>j>=>1>>M>sup>>c>>r>j>>4sup>>>(>>\tau >1>>,>>\tau >2>>,>>\tau >3>>)>>->->->>(>146>)>>>>$

显然空间四阶累积量矩阵1的标准本征分析存在不确定性。该不确定性同样存在于定义2和3中，这是因为单位矩阵一般与空间四阶累积量矩阵1不“相似”。所以必须找到一个与空间四阶累积量矩阵“相似”的新矩阵，在这里称之为新矩阵B，以代替矩阵束中的单位矩阵，从而用新矩阵B可以进行空间四阶累积量矩阵1的广义本征分析。这里“相似”的意思是矩阵B可以如同空间四阶累积量矩阵1一样，用混合矩阵作为三个因子中的两个，对于定义2和3是修正混合矩阵，用某个对角阵作为第三个，从而分解为双线性的形式，即

B＝VDV^H                          (147)

其中，D是对角阵。

矩阵束的定义，性质和谱理论

矩阵束是数学上所谓的多项式运算束的一个特例。多项式运算束及其相关的谱问题自然存在于诸多领域如差分方程，边界值问题，控制理论，谐波系统分析，波传播，弹性理论，电路模拟和建模以及流体力学等。例如参见A.S.Markus的著作，Introduction to the SpectralTheory of Polynomial Operator Pencils，Translation of MathematicalMonographs，Vol.71(美国数学协会，普罗维登斯，RI：1988)，该文献在此被全文引用作为参考。一般来说，n阶多项式运算束采用下面的形式

A(λ)＝A₀+λA₁+…+λⁿA_n      (148)

其中λ是谱参数，A_i是希尔伯特空间的线性算子。矩阵束P(λ)是第一阶所项式运算束，其形式为

P(λ)≡A-λB  (149)

矩阵束一般分为规则的或奇异的。例如参见A.S.Markus的著作，Introduction to the Spectral Theory of Polynomial Operator Pencils，Translation of Mathematical Monographs，Vol.71(美国数学协会，普罗维登斯，RI：1988)；Z.Bai，J.Dongarra，A.Ruhe和H.van der Vorst的著作，Templates for the Solution Algebraic Eigenvalue Problems：Apractical Guide(SIAM，Philadelphia，PA：2000)；K.Kanatani的著作，Statistical Optimization for Geometric Computation：Theory andPractice(Elsevier Science B.V.，Amsterdam，The Netherlands：1996)；G.H.Golub和C.F.Van Loan的著作，Matrix Computations(TheJohns Hopkins University Press，Baltimore，MD：1996)；F.R.Gantmacher的著作，The Theory of Matrices，Vol.I(AMS ChelseaPublishing，Providence，RI，1977)；以及F.R.Gantmacher的著作，TheTheory of Matrices，Vol.I(AMS Chelsea Publishing，Providence，RI，1989)，这六篇文献每一篇都在此被全文引用作为参考。如果两个矩阵A和B成直角且矩阵束的行列式对所有的λ值不同时为零，即

det(P(λ))＝det(A-λB)≠0  对于任意λ  (150) 

那么束就是规则的，否则就是奇异的。规则束有效地定义了本征值，它是矩阵A和B的连续函数。另一方面，奇异束的本征值是矩阵A和B的非连续函数。在实践中产生的两种类型的束都可以应用于根据本发明的BSS技术。注意标准本征问题是B＝I_N时的规则矩阵束。

规则矩阵束的性质和谱理论

规则矩阵束可以进一步分为哈密特型或非哈密特型。非哈密特型矩阵束及其通用非哈密特本征问题是在矩阵A或B是非哈密特型的或者B不是正定的情况下生成的。由空间四阶累积量矩阵的性质1可知，空间四阶累积量矩阵束一般是非哈密特型的，这对三个定义都成立。因此，问题仅仅集中在非哈密规则矩阵束上而此后当使用术语规则矩阵束时，就意味着非哈密特型矩阵束。举例说明请参见Z.Bai，J.Dongarra，A.Ruhe和H.van der Vorst的著作，Templates for theSolution Algebraic Eigenvalue Problems：A practical Guide(SIAM，Philadelphia，PA：2000)；K.Kanatani的著作，Statistical Optimizationfor Geometric Computation：Theory and Practice(Elsevier ScienceB.V.，Amsterdam，The Netherlands：1996)；G.H.Golub和C.F.VanLoan的著作，Matrix Computations(The Johns Hopkins UniversityPress，Baltimore，MD：1996)；以及F.R.Gantmacher的著作，TheTheory of Matrices，Vol.I(AMS Chelsea Publishing，Providence，RI，1977)，以上文献都是关于哈密特束的讨论，在此被全文引用作为参考。

N×N规则矩阵束的的特征多项式，

p(λ)≡det(P(λ))＝det(A-λB)    (151)

按定义是对所有的λ值不同时为零。p(λ)的度最多是N。这意味着有N个本征值可能是有限的或无限的，而p(λ)＝0的根是矩阵束的有限本征值。矩阵束P(λ)的本征值集合更一般的名称是矩阵A对于B矩阵的“广义”本征值，其定义为

λ(A，B)＝{z∈C：det(A-zB)＝0}       (152)

规则束的本征值是矩阵A和B的连续函数，所以A和B的微小变化引起本征值的微小变化。如果特征多项式的度小于N，那么束可以说有N-M个无限本征值，其中M是特征多项式p(λ)的度。矩阵束所有本征值的集合λ(A，B)称之为它的谱。例如参见F.R.Gantmacher的著作，The Theory of Matrices，Vol.I(AMS Chelsea Publishing，Providence，RI，1989)，该文献在此被全文引用作为参考；还有A.S.Markus的著作，Introduction to the Spectral Theory of PolynomialOperator Pencils，Translation of Mathematical Monographs，Vol.71(美国数学协会，普罗维登斯，RI：1988)；Z.Bai，J.Dongarra，A.Ruhe和H.van der Vorst的著作，Templates for the Solution AlgebraicEigenvalue Problems：A practical Guide(SIAM，Philadelphia，PA：2000)；K.Kanatani的著作，Statistical Optimization for GeometricComputation：Theory and Practice(Elsevier Science B.V.，Amsterdam，The Netherlands：1996)；G.H.Golub和C.F.Van Loan的著作，Matrix Computations(The Johns Hopkins University Press，Baltimore，MD：1996)；以及F.R.Gantmacher的著作，The Theory ofMatrices，Vol.I(AMS Chelsea Publishing，Providence，RI，1977)。注意如同标准本征值，本征值λ以η_k^geom少了矩阵束的秩，该值是指本征值λ的“几何重复度”。

对于每个有限本征值，任何一个在该本征值估计的，存在于矩阵束右零空间的非零矢量被定义为该本征值的“右”本征矢量。

e∈N_r(A-λB)(153)

即对于λ∈λ(A，B)，所有满足

(A-λB)e＝0，e≠0(154)

的矢量e是对应于该本征值的一个本征矢量。如同矩阵束的本征值，本征矢量通常称之为“广义”本征矢量。对于一无限的本征值，任何一个存在于矩阵B右零空间的非零矢量是一个本征矢量。即任何满足

Be＝0  (155)

非零矢量对应于本征值λ＝∞。一N×N规则矩阵束可以没有N个线性无关的本征矢量。但是，对于每个不同的本征值都存在至少一个独立的本征矢量。如同标准本征矢量，当本征矢量集合不唯一时广义本征值集合λ(A，B)是唯一的。

每个规则矩阵束有两个相关的子空间，表示为X和Y，它们具有相同的维数且满足

Ax∈Y，Bx∈Y    x∈X      (156)

这些子空间分别称为右和左收缩子空间。而且

span_x∈X{Ax，Bx}＝Y    (157)

因此

AX+BX＝Y    (158)

收缩子空间对于解决规则广义本征问题的技术详述非常重要(例如参见P.Van Dooren的文献，Reducing Subspaces：Definitions，Properties，and Algorithms，Matrix Pencils，Proc.Pite Havsbad，Lecture Notes in Mathematics 973，Springer-Verlah，New York，NY，1982，pp.58-73，该文献在此被全文引用作为参考)，如QZ算法，该算法目前被认为是解决密集非哈密特规则广义本征问题最有效的技术。

最后，令X和Y是非奇异矩阵，其中

$>>>A>^>>=>>Y>H>>AX>->->->>B>^>>=>>Y>H>>BX>->->->>(>159>)>>>>$

那么矩阵束

$>>>P>^>>>(>\lambda >)>>=>>A>^>>->\lambda >>B>^>>->->->>(>160>)>>>>$

“等价于”矩阵束P(λ)，X和Y称之为“等价变换”。矩阵束具有和P(λ)一样的本征值，其右本征矢量表示为并通过变换

$>>>e>^>>=>>X>>->1>>>e>->->->>(>161>)>>>>$

与矩阵束P(λ)的右本征矢量相对应。

奇异矩阵束的性质和谱理论

如果矩阵束呈矩形或呈方形且

det(P(λ))＝det(A-λB)≡0  对于任意λ(162)

则矩阵束是奇异的。对于奇异的直角矩阵束，其矩阵A和B都必须是奇异的且具有共同的零空间。即

         det(A)＝det(B)＝0

         N_r(A)＝N_r(B)           (163)

是矩阵束P(λ)为奇异的充分必要条件。这两种都在实践中出现的情况比处理规则束要困难得多。既然有定义可知空间四阶累积量矩阵呈直角，那么只考虑直角奇异束。

N×N奇异矩阵束的特征多项式对于所有λ的函数都等于零，所以奇异束的本征矢量是矩阵A和B的非连续函数且必须注意奇异束本征值的定义。显然，不能再通过求特征多项式的根来获得本征值，而代之以利用简化子空间的概念定义奇异束的本征值和本征矢量。

矩阵束P(λ)的一对左和右简化子空间分别表示为X和Y，满足

Ax∈Y，Bx∈Y    x∈X    (164)

且

span_x∈x{Ax，Bx}＝Y  (165)

其中右简化子空间X的维数大于左简化子空间Y的维数，它们的差为右零空间对λ所有有理函数右零空间的维数。即

dim(X)＝dim(Y)+dim(N_r(A-λB))(166)

简化子空间起的作用相当于规则束的收缩子空间。

矩阵束的秩一般对于大多数的λ值是一个常数M。

ρ(P(λ))＝M(167)

但是，对于该值的某个集合矩阵束是简化的，这也是简化子空间概念的出处。这个集合表示为λ(A，B)，它包含引起奇异束的秩“减少”的λ值，是奇异束的本征值或谱。

λ(A，B)＝{z∈C：ρ(A-zB)＜M}             (168)

对于某一本征值矩阵束的秩减少的数量是几何重复度η_k^geom。

$>sup>>\eta >k>geomsup>>=>M>->\rho >>(>P>>(>\lambda >)>>)>>->->->\lambda >\in >\lambda >>(>A>,>B>)>>->->->>(>169>)>>>>$

注意奇异束的本征值可能是有限的，无限的或不确定。

对于每个有限本征值，任何一个在该本征值估计的，存在于矩阵束右零空间的非零矢量被定义为该本征值的“右”本征矢量。

e∈N_r(A-λB)(170)

即对于λ∈λ(A，B)，所有满足

(A-λB)e＝0，e≠0                (171)

的矢量e是对应于该本征值的一个本征矢量。对于不确定的本征值，任何一个存在于矩阵B右零空间，因而也位于矩阵A右零空间的非零矢量是对应于该不确定本征值的一个本征矢量。换句话说，任何存在于矩阵A(或B)右零空间的非零矢量都是对应于该不确定本征值的本征矢量。重写式(171)解出λ可得

$>>\lambda >=>>>>e>H>>Ae>>>>e>H>>Be>>>->->->>(>172>)>>>>$

很明显，如果e位于矩阵A和B共同的右零空间，即λ＝0/0，那么本征值是不确定的。

如同规则束定义“严格的”等价概念。令X和Y是非奇异矩阵且不依赖于λ，其中

$>>>A>^>>=>>Y>H>>AX>->->->>B>^>>=>>Y>H>>BX>->->->>(>173>)>>>>$

那么矩阵束

$>>>P>^>>>(>\lambda >)>>=>>A>^>>->\lambda >>B>^>>->->->>(>174>)>>>>$

“严格等价于”矩阵束P(λ)，X和Y称之为“严格等价变换”。矩阵束具有和P(λ)一样的本征值。矩阵束的左右简化子空间和也对应于矩阵束P(λ)的简化子空间

$>>>X>^>>=>>X>>->1>>>X>->->->>Y>^>>=>>Y>H>>Y>->->->>(>175>)>>>>$

在简化子空间等价变换作用的结果是矩阵束的右本征矢量，表示为并通过变换

$>>>e>^>>=>>X>>->1>>>e>->->->>(>176>)>>>>$

与矩阵束P(λ)的右本征矢量相对应。

矩阵束的广义等价性

前面强调的术语“严格”等价性是要与在此定义的“广义”等价性相区分。给定独立于λ的M×N行满秩矩阵X和Y，其中

$>>>A>^>>\equiv >>Y>H>>AX>->->->>B>^>>\equiv >>Y>H>>BX>->->->>(>177>)>>>>$

那么N×N奇异矩阵束可以说与M×M非奇异矩阵束P(λ)是广义等价的。其中

$>>>P>^>>>(>\lambda >)>>=>>A>^>>->\lambda >>B>^>>->->->>(>178>)>>>>$

注意具有呈矩形的X或Y是保证奇异的充分条件。

现在要确定广义等价变换是否保留了P(λ)的谱，以及的本征矢量通过某等价变换是否对应于非奇异矩阵束P(λ)的本征矢量。为阐明其正确性，令 $>>>\lambda >^>>\in >>\lambda >^>>>(>>A>^>>,>>B>^>>)>>,>>>$ >>>\lambda >^>>>(>>A>^>>,>>B>^>>)>>⋐>\lambda >>(>>A>^>>,>>B>^>>)>>,>>>是有限或无限的广义本征值以及奇异束的相关本征矢量。既然M\times N矩阵X是行满秩的，那么它有“右”逆。即存在N\times M矩阵X-1r$$

XX^-1r＝I_M              (179)

而且，既然矩阵Y是行满秩的，那么Y^H是列满秩的，因此它有“左”逆。即存在N×M矩阵(Y^H)^-1l

(Y^H)^-1lY^H＝I_M  (180)

显然

$>>>>(>>Y>H>>)>>>->1>l>>>>P>^>>>(>\lambda >)>>>X>>->1>r>>>=>>>(>>Y>H>>)>>>->1>l>>>>Y>H>>>(>A>->\lambda B>)>>X>>X>>->1>r>>>=>P>>(>\lambda >)>>->->->>(>181>)>>>>$

该广义本征值问题可以公式化为

$>>>A>^>>>e>^>>=>>\lambda >^>>>B>^>>>e>^>>->->->>(>182>)>>>>$

定义N×1矢量y

y≡[(Y^H)^-1l]^He          (183)

其中e是矩阵束P(λ)的本征矢量。乘积和是标量，

因此

$>>>\lambda >^>>=>>>>y>H>>>A>^>>>e>^>>>>>y>H>>>B>^>>>e>^>>>>.>->->->>(>184>)>>>>$

同理，非奇异束P(λ)的本征值是

$>>\lambda >=>>>>e>H>>Ae>>>>e>H>>Be>>>->->->>(>185>)>>>>$

将式(177)代入式(184)可得

$>>>\lambda >^>>=>>>>y>H>>>(>>Y>H>>AX>)>>>e>^>>>>>y>H>>>(>>Y>H>>BX>)>>>e>^>>>>.>->->->>(>186>)>>>>$

然后应用式(183)，(186)变成

$>>>\lambda >^>>=>>>>e>H>>>>(>>Y>H>>)>>>->1>l>>>>(>>Y>H>>AX>)>>>e>^>>>>>e>H>>>>(>>Y>H>>)>>>->1>l>>>>(>>Y>H>>BX>)>>>e>^>>>>=>>>>e>H>>AX>>e>^>>>>>e>H>>BX>>e>^>>>>.>->->->>(>187>)>>>>$

显然，每个有限或无限的 $>>>\lambda >^>>\in >\lambda >>(>>A>^>>,>>B>^>>)>>>>都是束P(\lambda )对应于$

$>>>e>^>>=>>X>>->1>r>>>e>->->->>(>188>)>>>>$

的一个本征值。

因此可以得出结论，的有限和无限本征值集合等于非奇异束的本征值集合。即

$>>>\lambda >^>>>(>>A>^>>,>>B>^>>)>>=>\lambda >>(>A>,>B>)>>->->->>(>189>)>>>>$

的本征值通过等价变换

$>>>e>^>>=>>X>>->1>r>>>e>->->->>(>190>)>>>>$

对应于P(λ)的本征值。

空间四阶累积量矩阵束：定义和性质

空间四阶累积量矩阵束定义在一对构建于时滞(0，0，0)和(τ₁，τ₂，τ₃)的空间四阶累积量矩阵，即

$>>>P>x>>>(>\lambda >,>>\tau >\to >>)>>\equiv sup>>C>x>4sup>>>(>0,0,0>)>>->\lambda sup>>C>x>4sup>>>(>>\tau >1>>,>>\tau >2>>,>>\tau >3>>)>>->->->>(>191>)>>>>$

其中非零延迟滞后表示为矢量的形式 $>>>\tau >\to >>\equiv >[>>\tau >1>>,>>\tau >2>>,>>\tau >3>>]>.>>>如同空间四阶累积量矩阵，空间四阶累积量矩阵束有三个定义，每个对应于空间四阶累积量矩阵对中矩阵的定义。空间四阶累积量矩阵束1使用一对空间四阶累积量矩阵1，并由上面的式(191)给出。空间四阶累积量矩阵束2定义在使用定义2的一对空间四阶累积量矩阵上，即$

$>>>>P>\prime >>x>>>(>\lambda >,>>\tau >\to >>)>>\equiv sup>>C>x>>4>\prime >sup>>>(>0,0,0>)>>->\lambda sup>>C>x>>4>\prime >sup>>>(>>\tau >1>>,>>\tau >2>>,>>\tau >3>>)>>->->->>(>192>)>>>>$

最后，空间四阶累积量矩阵束3定义在使用定义3的一对空间四阶累积量矩阵上，即

$>>>>P>>\prime >\prime >>>x>>>(>\lambda >,>>\tau >\to >>)>>\equiv sup>>C>x>>4>>\prime >\prime >>sup>>>(>0,0,0>)>>->\lambda sup>>C>x>>4>>\prime >\prime >>sup>>>(>>\tau >1>>,>>\tau >2>>,>>\tau >3>>)>>->->->>(>193>)>>>>$

因为如前所示，如果阿达马积保留了矩阵的秩，所有三个定义具有相同的矩阵性质，所以下面推导空间四阶累积量矩阵束1的性质，而与空间四阶累积量矩阵束2和3的不同之处将会注释出来。

空间四阶累积量矩阵束性质1

空间四阶累积量矩阵束1可以乘以因子变成哈密特的形式，即

$>>>P>x>>>(>\lambda >,>>\tau >\to >>)>>\equiv >V>>P>r>>>(>\lambda >,>>\tau >\to >>)>>>V>H>>->->->>(>194>)>>>>$

其中V是混合矩阵，是在一对信号累积量对角阵上的M×M矩阵束。

$>>>P>r>>>(>\lambda >,>>\tau >\to >>)>>\equiv sup>>C>r>4sup>>>(>0,0,0>)>>->\lambda sup>>C>r>4sup>>>(>>\tau >1>>,>>\tau >2>>,>>\tau >3>>)>>->->->>(>195>)>>>>$

空间四阶累积量矩阵束2和3可以乘以因子分别变成双线性的形式

$>>>>P>\prime >>x>>>(>\lambda >,>>\tau >\to >>)>>\equiv >>v>^>>>P>r>>>(>\lambda >,>>\tau >\to >>)>>>V>H>>->->->>(>196>)>>>>$

和

$>>>>P>>\prime >\prime >>>x>>>(>\lambda >,>>\tau >\to >>)>>\equiv >>V>^>>>P>r>>>(>\lambda >,>>\tau >\to >>)>>>V>T>>->->->>(>197>)>>>>$

空间四阶累积量矩阵束性质2

如果V是列满秩的，那么对于“大多数”λ值空间四阶累积量矩阵束1的秩等于信号的数目M。即对于 $>>\lambda >\notin >>(sup>>C>r>4sup>>>(>0,0,0>)>>,>>>>C$_r⁴(τ₁，τ₂，τ₃))和ρ(V)＝M，

$>>\rho >>(>>P>x>>>(>\lambda >,>>\tau >\to >>)>>)>>=>M>->->->>(>198>)>>>>$

如果阿达马积(式196)保留了秩，那么空间四阶累积量矩阵束2和3具有相同的性质。

空间四阶累积量矩阵束性质3

空间四阶累积量矩阵束一般是非哈密特的。若M＝N且V是列满秩的，则它是规则束，否则，当M＜N或V不是列满秩的，则它是奇异束。对于奇异束空间四阶累积量矩阵束2和3还要求阿达马积(式196)保留V的秩。

空间四阶累积量矩阵束性质4

若是规则束，则空间四阶累积量矩阵束严格等价于规则束否则，若混合矩阵是列满秩的，则空间四阶累积量矩阵束广义等价于规则束空间四阶累积量矩阵束和还要求阿达马积(式196)保留V的秩。

空间四阶累积量矩阵束的谱分析

空间四阶累积量矩阵束谱理论的系统研究有两种方式。一种是研究等价性，严格或广义，从而得出束的有限谱与信号四阶累积量集合一一对应，因此每个广义本征值对应一个源而与其相联系的本征矢量与信号的方向矢量相对应。同样的关系也可以通过本征值问题的外积展开以及方向矢量的线性无关性得到。在两种情形下，都要假设V是列满秩的而问题的核心在于有限广义本征值及其相应的本征矢量，这是因为重要的仅仅是信号子空间。如同前文，下面提出空间四阶累积量矩阵束1的谱理论，而与空间四阶累积量矩阵束2和3的不同之处将会注释出来。

由空间四阶累积量矩阵束的性质4，严格或广义等价于M×M规则束通过等价性的定义，的有限或无限谱本征值(C_x⁴(0，0，0)，C_x⁴(τ₁，τ₂，τ₃))等于束的谱λ(C_r⁴(0，0，0)，C_r⁴(τ₁，τ₂，τ₃))。

$>>>\lambda >^>>>(sup>>C>x>4sup>>>(>0,0,0>)>>,sup>>C>x>4sup>>>(>>\tau >1>>,>>\tau >2>>,>>\tau >3>>)>>)>>=>\lambda >>(sup>>C>r>4sup>>>(>0,0,0>)>>,sup>>C>r>4sup>>>(>>\tau >1>>,>>\tau >2>>,>>\tau >3>>)>>)>>->->->>(>199>)>>>>$

显然若是规则的，则

$>>>>\lambda >^>>>(sup>>C>x>4sup>>>(>0,0,0>)>>,sup>>C>x>4sup>>>(>>\tau >1>>,>>\tau >2>>,>>\tau >3>>)>>)>>>=>\lambda >>(sup>>C>x>4sup>>>(>0,0,0>)>>,sup>>C>x>4sup>>>(>>\tau >1>>,>>\tau >2>>,>>\tau >3>>)>>)>>->->->>(>200>)>>>>$

既然束是规则的，那么束的谱可以通过求解其行列式等于零时的根来获得。因为由定义可知是对角阵，所以其行列式是其对角线元素的乘积，即

$>>det>>(>>P>r>>>(>\lambda >,>>\tau >\to >>)>>)>>=>>\Pi >>j>=>1>>M>>>(sup>>c>>r>j>>4sup>>>(>0,0,0>)>>->\lambda sup>>c>>r>j>>4sup>>>(>>\tau >1>>,>>\tau >2>>,>>\tau >3>>)>>)>>->->->>(>201>)>>>>$

由式(201)可得的谱为

$>>\lambda >>(sup>>C>r>4sup>>>(>0,0,0>)>>,sup>>C>r>4sup>>>(>>\tau >1>>,>>\tau >2>>,>>\tau >3>>)>>)>>=>:>\{>z>\in >C>:>z>=>>sup>>c>>r>j>>4sup>>>(>0,0,0>)>>>sup>>c>>r>j>>4sup>>>(>>\tau >1>>,>>\tau >2>>,>>\tau >3>>)>>>>,>j>\in >\{>1>,>.>.>.>,>M>\}>\}>.>->->->>(>202>)>>>>$

由假设A2可知信号累积量是严格非零的，因而谱包含M个有限的非零本征值和计算重复度，每个重复度都对应于某一信号在零滞后和非零滞后累积量的比值。因为本征值可能是复数，所以没有固定的方法排序。但是为方便起见，用与其相联系的第j个信号排序，如λ_j，即

$>>>\lambda >j>>=>>sup>>c>>r>j>>4sup>>>(>0,0,0>)>>>sup>>c>>r>j>>4sup>>>(>>\tau >1>>,>>\tau >2>>,>>\tau >3>>)>>>>->->->>(>203>)>>>>$

M个本征值中，可能仅有K个奇异的值，表示为μ_k，并假设它们每个值的重复度为η_k。因此本征值划分为K个集合，表示为λ_k(C_r⁴(0，0，0)，C_r⁴(τ₁，τ₂，τ₃))，它包含等于μ_k的本征值

$>>>\lambda >k>>>(sup>>C>r>4sup>>>(>0,0,0>)>>,sup>>C>r>4sup>>>(>>\tau >1>>,>>\tau >2>>,>>\tau >3>>)>>)>>>\Delta >=>>\{>>\lambda >j>>\in >C>:>>\lambda >j>>=>>\mu >k>>\}>->->->>(>204>)>>>>$

注意对于对角规则束， $>sup>>\eta >k>geomsup>>=sup>>\eta >k>algsup>>=>>\eta >k>>,>>>显然$

$>>\lambda >>(sup>>C>r>4sup>>>(>0,0,0>)>>,sup>>C>r>4sup>>>(>>\tau >1>>,>>\tau >2>>,>>\tau >3>>)>>)>>=>>\lambda >1>>>(sup>>C>r>4sup>>>(>0,0,0>)>>,sup>>C>r>4sup>>>(>>\tau >1>>,>>\tau >2>>,>>\tau >3>>)>>)>>\cup >·>·>·>->->->>(>205>)>>>>$

$>>\cup >>\lambda >k>>>(sup>>C>r>4sup>>>(>0,0,0>)>>,sup>>C>r>4sup>>>(>>\tau >1>>,>>\tau >2>>,>>\tau >3>>)>>)>>>>$

对于每个μ_k都有η_k个信号，其零滞后和非零滞后累积量的比值是相同的，该比值是下面将要定义的规格化四阶累积量的倒数。

对应于规则束某一本征值的“右”本征矢量是指存在于在该本征值处估计的束右零空间的非零矢量。

$>>>P>r>>>(>\lambda >=>>\lambda >j>>,>>\tau >\to >>)>>>e>j>>=>0>->->->>(>206>)>>>>$

本征矢量e_j是M×1矢量，当估计一奇异的本征值λ＝λ_j＝μ_k时，它具有M-个零点，其位置标记对应于包含非零元素的对角束的列。在此用一个例子详细说明。

例如，M×M对角束(M＞3)具有形式

$>>>P>r>>>(>\lambda >,>>\tau >\to >>)>>=>>>$

如果

$>>>sup>>c>>r>1>>4sup>>>(>0,0,0>)>>>sup>>c>>r>1>>4sup>>>(>>\tau >1>>,>>\tau >2>>,>>\tau >3>>)>>>>=>>sup>>c>>r>3>>4sup>>>(>0,0,0>)>>>sup>>c>>r>3>>4sup>>>(>>\tau >1>>,>>\tau >2>>,>>\tau >3>>)>>>>>>$

那么

$>>>\lambda >1>>=>>sup>>c>>r>1>>4sup>>>(>0,0,0>)>>>sup>>c>>r>1>>4sup>>>(>>\tau >1>>,>>\tau >2>>,>>\tau >3>>)>>>>=>>sup>>c>>r>3>>4sup>>>(>0,0,0>)>>>sup>>c>>r>3>>4sup>>>(>>\tau >1>>,>>\tau >2>>,>>\tau >3>>)>>>>=>>\lambda >3>>=>>\mu >1>>>>$

且相异本征值μ₁的重复度是2。对应于本征值λ₁和λ₃的本征矢量具有下面的形式

e_j＝[e_1j 0 e_3j 0 0 … 0]^T      j∈{1，3}

其中e_1j和e_3j是任意不等于零的标量。显然特征矢量不唯一，但是与信号相联系的非零元素的位置和本征矢量是唯一的。

需要一组M个本征矢量，但是当仅有K个不重复的本征值时，针对一个重复的特征值就必须慎重选择本征矢量，以使后续的分离过程能够分离与一个重复的本征值相联的信号。下面将讨论获得对应于重复本征值的本征矢量的约束。

考虑空间四阶累积量矩阵束如果假设混合矩阵V是列满秩的，则由空间四阶累积量矩阵束性质4可知等价于一严格或广义的束所以束拥有与相同的有限和无限本征值，且对应于有限本征值的本征矢量，设为与的本征矢量存在下面的关系

$>>>>e>^>>j>>=>>>(>>V>H>>)>>>->1>r>>>>e>j>>->->->>(>207>)>>>>$

因为由定义可知V^H的行是共轭信号方向矢量，即

V^H(V^H)^-1r＝I_M                 (208)

除了等于自己列指数的行指数所对应的行以外，(V^H)^-1r的列必须与所有的方向矢量是正交的。因此，(V^H)^-1r的该列仅与一个信号方向矢量相联系。于是可以看出

$>sup>>>e>^>>j>Hsup>>V>=>\{>>V>H>>>>e>^>>j>>>\}>H>>=>\{>>V>H>>>>(>>V>H>>)>>>->1>r>>>>e>j>>>\}>H>>=>>>e>j>>H>>.>->->->>(>209>)>>>>$

这样本征矢量可以用于信号的盲分离。如同前面提及的，针对一个重复的特征值必须慎重选择本征矢量。显然的输出是混合矩阵各行的线性组合，从而导出一个矢量，它是与本征矢量相联系的信号方向矢量各行的线性组合，该本征矢量是V中对应于e_j的非零元素的行矢量。

需要一组M个本征矢量，但是当仅有K个不重复的本征值时，就，以使后续的分离过程能够分离与一个重复的本征值相联的信号。下面将讨论获得对应于重复本征值的本征矢量的约束。如果阿达马积保留V的秩，通过在束的“左”本征矢量和之间采用相应的等价变换，那么对于空间四阶累积量矩阵束2和3可以得到相似的结果。注意相似的结果是通过左本征矢量得到的，即那些存在于在本征值处估计的束左零空间的1×N矢量

前面的空间四阶累积量矩阵束谱分析可以用另一种方式进行，即把束展开为外积的和并利用方向矢量的线性无关性。矩阵束广义(右)本征值问题的定义是

$>sup>>C>x>4sup>>>(>0,0,0>)>>>>e>^>>k>>=>>\mu >k>sup>>C>x>4sup>>>(>>\tau >1>>,>>\tau >2>>,>>\tau >3>>)>>>>e>^>>k>>->->->>(>210>)>>>>$

将式(87)的空间四阶累积量矩阵代入式(210)并整理可得

$>>>\Sigma >>j>=>1>>M>>>v>j>>[sup>>c>>r>j>>4sup>>>(>0,0,0>)>>->>\mu >k>sup>>c>>r>j>>4sup>>>(>>\tau >1>>,>>\tau >2>>,>>\tau >3>>)>>]sup>>v>j>Hsup>>>>e>^>>k>>=>0>->->->>(>211>)>>>>$

若假设混合矩阵是列满秩的则其列式线性无关的，所以对于所有的j下面的邓是都成立

$>>[sup>>c>>r>j>>4sup>>>(>0,0,0>)>>->>\mu >k>sup>>c>>r>j>>4sup>>>(>>\tau >1>>,>>\tau >2>>,>>\tau >3>>)>>]sup>>v>j>Hsup>>>>e>^>>k>>=>0>->->->>(>212>)>>>>$

从而可以导出当 $>sup>>v>j>Hsup>>>>e>^>>k>>\ne >0>>>时，$

$>>>\mu >k>>=>>sup>>c>>r>j>>4sup>>>(>0,0,0>)>>>sup>>c>>r>j>>4sup>>>(>>\tau >1>>,>>\tau >2>>,>>\tau >3>>)>>>sup>>v>j>Hsup>>>>e>^>>k>>=>0>->->->>(>213>)>>>>$

对于所有j都成立。由性质5可知V^H和C_x⁴(τ₁，τ₂，τ₃)具有相同的右零空间，位于V^H右零空间的本征矢量对应于一个不确定的本征值，因而如果束是奇异的则仅能位于V^H的零空间。因此，如同前面提出的等价方法，本征值及其对应的本征矢量仅以比值

$>>>sup>>c>>r>j>>4sup>>>(>0,0,0>)>>>sup>>c>>r>j>>4sup>>>(>>\tau >1>>,>>\tau >2>>,>>\tau >3>>)>>>>->->->>(>214>)>>>>$

与源信号相联系，该比值如同一个判别式。如果修正混合矩阵是列满秩的，那么对于空间四阶累积量矩阵束2和3可以得到相似的结果。

下面说明根据本发明利用所有三种空间四阶累积量矩阵定义的盲源分离技术，讨论其条件和识别能力，并提出一种规格化的方法以使分离算法能最大化分离功率效率(SPE)。本发明提出规格化四阶自累积量的概念和针对重复本征值选择本征矢量以利于后续的处理。

图5是根据本发明一个实施例的盲源分离技术和处理器的功能框图。在窄带假设条件下盲分离M个统计独立源信号需要得到一个能对角化混合矩阵V的N×M分离矩阵W。也就是说，由式(39)可知，分离矩阵如下所示

计算该分离矩阵是盲源分离技术的一个功能。

如前所述在两组时滞的累积量的比值基础上，空间四阶累积量矩阵束的广义本征矢量可以分离信号。这些结果在技术定型中用于计算分离。在理论上该技术使残余干扰与信号比(ISR)最小化，并用特征规格化使分离功率效率(SPE)最大化。

仍然如前所述，在求取空间四阶累积量矩阵本征矢量时的一个因子是指规格化四阶自累积量。它来自于空间四阶累积量矩阵束等于单独源信号规格化四阶自累积量时的有限本征值；上述两组不同时滞的累积量的比值与分子累积量中的那组时滞等于零。特别地，既然可以看出如果信号拥有唯一的规格化四阶自累积量，其相关联的本征矢量对所有其它信号的方向矢量是正交的，那么就可以将规格化四阶自累积量看作是信号的判别式函数。下面将给出规格化四阶自累积量定义及其用作判别式函数的一些意见。

当多个信号在所用的时滞拥有相同的规格化四阶自累积量，则会出现重复的本征值。为了便于在一组新的时滞重复该分离技术，而此时信号在理想情况下不再有相等的规格化四阶自累积量，就必须慎重选择重复本征值的本征矢量以保证导出的方向矢量保持线性无关。下面提出选择与重复本征值相联系的本征矢量的准则。将会看到导出的新方向矢量保持线性无关。

分离功率效率(SPE)是评估盲源分离算法性能的一个度量。为了获得值为1的SPE，分离矢量的内积极其相关的方向矢量的模必须为1。为此，虽然构成分离矢量基的本征矢量与方向矢量是共线性，但是它并不一定具有适当的模以保证SPE的值为1，因此本征矢量必须规格化。所以本发明提出规格化算法以保证SPE最大化。因为空间四阶累积量矩阵的定义有三个，所以每个定义需要不同的规格化算法。

下面将提出允许分离瞬时线性混合的信号可识别的条件。这包括方向矢量的线性无关性，源信号的统计独立性和非高斯本质，以及一组时滞的存在性其中每个信号具有奇异的规格化四阶自累积量，仅命名一部分。

最后，按照流程图一步步提出基于空间四阶累积量矩阵束的算法。本发明将论述每一步，若有重要问题则提出来，并强调使用算法中不同空间四阶累积量矩阵定义可能存在的差异。

作为信号鉴别的规格化四阶自累积量

如前所述，空间四阶累积量矩阵束的广义本征值是

$>>>\lambda >j>>=>>sup>>c>>r>j>>4sup>>>(>0,0,0>)>>>sup>>c>>r>j>>4sup>>>(>>\tau >1>>,>>\tau >2>>,>>\tau >3>>)>>>>,>j>\in >1,2>,>·>·>·>,>M>->->->>(>216>)>>>>$

为了分离，每个信号需要奇异的本征值λ_j。因此，λ_j用作“信号判别式”。为了研究判别式及其性质，第j个信号的规格化四阶自累积量定义为

$>sup>>>c>‾>>>r>j>>4sup>>>(>>\tau >1>>,>>\tau >2>>,>>\tau >3>>)>>\equiv >>sup>>c>>r>j>>4sup>>>(>>\tau >1>>,>>\tau >2>>,>>\tau >3>>)>>>sup>>c>>r>j>>4sup>>>(>0,0,0>)>>>>->->->>(>217>)>>>>$

显然，信号的广义本征值是其规格化四阶自累积量的倒数

$>>>\lambda >j>>=>>1>sup>>>c>‾>>>r>j>>4sup>>>(>>\tau >1>>,>>\tau >2>>,>>\tau >3>>)>>>>->->->>(>218>)>>>>$

由假设A1可知，信号r_j(t)是平稳非高斯随机过程。而且由假设A2，信号是功率为P_j的零均值信号，且具有非零四阶矩。这些假设保证了信号四阶累积量的存在且非零。这些假设的一个必要扩展是时滞(τ₁，τ₂，τ₃)的选择必须使四阶累积量的存在且非零。这样就可以假设规格化四阶自累积量存在且有限。

既然假设信号是平稳非高斯随机过程，那么它的矩仅仅依赖于时滞(τ₁，τ₂，τ₃)，所以规格化四阶自累积量是一个三维函数。这样，与二阶技术仅存在一个独立变量相比，该技术对于信号分离可以操作三个独立的变量以保证信号具有唯一的规格化四阶自累积量。这是四阶累积量技术与二阶空间相关技术相比的另一个优越性。

规格化四阶自累积量一般是复数。虽然信号在时滞(0，0，0)的累积量是一个实数，但是在时滞(τ₁，τ₂，τ₃)的累积量是一个复数，所以规格化四阶自累积量包含作为(τ₁，τ₂，τ₃)函数的相位信息。源信号发射机的属性，如相位噪声，载波频率，发射滤波器响应，发射机时钟颤动，传播信道传输函数等等，都会对源信号的规格化四阶自累积量有所贡献。由接收源信号的定义可知

$>>>r>j>>>(>t>)>>=>>>P>j>>>>m>j>>>(>t>)>>->->->>(>219>)>>>>$

利用累积量性质1，规格化四阶自累积量显然不是信号功率的函数。

$>sup>>>c>‾>>>r>j>>4sup>>>(>>\tau >1>>,>>\tau >2>>,>>\tau >3>>)>>=>>sup>>c>>r>j>>4sup>>>(>>\tau >1>>,>>\tau >2>>,>>\tau >3>>)>>>sup>>c>>r>j>>4sup>>>(>0,0,0>)>>>>>>$

$>>=>>>Cum>[>>r>j>>>(>t>)>sup>>r>j>*sup>>>(>t>->>\tau >1>>)>>>r>j>>>(>t>->>\tau >2>>)>sup>>r>j>*sup>>>(>t>->>t>3>>)>>]>>>Cum>[>>r>j>>>(>t>)>sup>>r>j>*sup>>>(>t>)>>>r>j>>>(>t>)>sup>>r>j>*sup>>>(>t>)>>]>>>->->->>(>220>)>>>>$

$>>=>>sup>>P>j>2sup>>Cum>[>>m>j>>>(>t>)>sup>>m>j>*sup>>>(>t>->>\tau >1>>)>>>m>j>>>(>t>->>\tau >2>>)>sup>>m>j>*sup>>>(>t>->>\tau >3>>)>>]>>sup>>P>j>2sup>>Cum>[>>m>j>>>(>t>)>sup>>m>j>*sup>>>(>t>)>>>m>j>>>(>t>)>sup>>m>j>*sup>>>(>t>)>>]>>>>>$

$>>=>>>Cum>[>>m>j>>>(>t>)>sup>>m>j>*sup>>>(>t>->>\tau >1>>)>>>m>j>>>(>t>->>\tau >2>>)>sup>>m>j>*sup>>>(>t>->>\tau >3>>)>>]>>>Cum>[>>m>j>>>(>t>)>sup>>m>j>*sup>>>(>t>)>>>m>j>>>(>t>)>sup>>m>j>*sup>>>(>t>)>>]>>>>>$

这样通过信号含有的基本波形而不是不同信号功率将信号辨别出来，该波形具有唯一的规格化四阶自累积量。

如前所述，来自第j个发射器的单位功率调制信号受到发射器唯一性质的影响。既然在实践中几乎没有两个发射器会产生相同的信号，那么源信号最大的可能是具有一个唯一的规格化四阶自累积量。因此，可以认为存在一组时滞使得一组信号具有唯一的规格化四阶自累积量从而能分离开来。

为重复本征值选择本征矢量

当多个信号的规格化四阶自累积量函数在所选的时滞具有相同的值，就产生了重复本征值问题。在这种情况下必须慎重选择相关本征矢量，以保证由这些本征矢量构造的分离矢量可以将混合矩阵变换成新的列满秩的收缩维混合矩阵。这确保了分离算法能够重复分离具有重复本征值的信号，该本征值混合在新的收缩维混合矩阵中。

图6示出了针对一个单独重复本征值重复分离的算法。在图6中，将分离步骤一的M×1矢量输出y(t)分成两个矢量，一个对应于唯一本征矢量，包含y(t)的M-η_k个元素，表示为y_S(t)；另一个对应于重复度为η_k的重复本征矢量μ_k，包含y(t)的η_k个元素，表示为x_RK(t)。在分离步骤一中，求得能够分离与重复本征值相联系的信号的η_k×η_k新分离矩阵W_RK。这个新分离矩阵是通过在不同的时滞重复空间四阶矩阵束算法得到的。但是，第二次运用该算法时必须满足下面将讨论的可识别条件。其中之一是混合矩阵必须是列满秩的，以使新的η_k×η_k收缩维混合矩阵V_RK也是列满秩的。每个重复本征值都有一个相似的新混合矩阵并重复该分离算法。

为保证新混合矩阵是列满秩的，选择重复本征值的本征矢量的要求将在下面导出。代表与某一本征值相关的信号的整数集合定义如下

g_k≡{j∈{1，2，...，M}：λ_j＝μ_k}                 (221)

如前所述，本征值λ_j等于第j个信号规格化自累积量的倒数

$>>>\lambda >j>>=>>sup>>c>>r>j>>4sup>>>(>0,0,0>)>>>sup>>c>>r>j>>4sup>>>(>>\tau >1>>,>>\tau >2>>,>>\tau >3>>)>>>>->->->>(>222>)>>>>$

因为存在M个信号所以有M个包括重复的本征值，其中仅有K个是奇异的。奇异的本征值表示为μ_k，k∈1，2，...，K。成比例或规格化的M个N×1本征矢量是分离矩阵V的列。

$>>>w>j>>=>>\gamma >j>>>>e>^>>j>>->->->>(>223>)>>>>$

由式(215)可以看出如果分离矩阵分离所有信号，那么结果矩阵积W^HV是对角的。仅当存在M个相异本征值时会出现这种情况。如前所述，对于重复本征值，本征矢量将与某个相异本征值相联系的信号从那些没有联系的信号中分离出来。因此矩阵积W^HV有η_k行，用集合g_k索引，每列有η_k个非零元素也用集合g_k索引，其中k＝1，2，...，K。这对M个相异本征值仍然成立，在这种情况下K＝M且对于任意k＝j，η_k＝1，每个g_k仅包含一个元素，即k＝j，所以是W^HV对角阵。

新混合矩阵V_RK由W^HV的η_k列组成，其索引是集合g_k，并去除由不属于集合g_k的整数索引的行，即这些行是全零。这样V_RK是一个线性混合了与重复本征值相关的η_k个信号的η_k×η_k维矩阵，以构造矢量x_RK(t)的η_k个元素。因此如同V是针对于分离处理的初始阶段，V_RK针对于分离处理的第二阶段且必须具有与V相同的性质，首先它必须是列满秩的。

ρ(V_RK)＝η_k                     (224)

为保证V_RK是列满秩的，下面确定选择w_j(j∈g_k)的条件。

因为w_j是本征矢量成比例的版本，所以对w_j的约束就是对选择的约束。可以看出本征矢量线性无关的要求充分保证了如果V是列满秩的，则V_RK是列满秩的。

分离矢量构成：规格化本征矢量

除了那些规格化自累积量等于其相关本征值的信号，本征矢量与所有的信号都正交，但是内积

$>sup>>>e>^>>j>Hsup>>>V>j>>=>>ϵ>j>>->->->>(>225>)>>>>$

并不能保证最大的SPE能够为1。所以，将每个本征矢量乘以一个实数规格化因子γ_j构造分离矢量以保证最大的SPE为1。

$>>>w>j>>=>>\gamma >j>>>>e>^>>j>>->->->>(>226>)>>>>$

对于重复本征值规格化因子起的作用不同，在第一个分离阶段规格化与重复本征值相关的本征矢量并没有明显的好处。在可获得的SPE基础上重复执行分离算法的效果有待进一步的研究

由式(39)可以看出内积

$>sup>>w>j>Hsup>>>v>j>>=>>\rho >j>>->->->>(>227>)>>>>$

导出的“损耗”项ρ_j一般是复数。由式(63)可以看出SPE是

$>>>\xi >j>>=sup>>w>j>Hsup>>>V>j>sup>>v>j>Hsup>>>W>j>>->->->>(>228>)>>>>$

将时(227)代入式(228)可得

ξ_j＝ρ_jρ^*_j＝|ρ_j|²       (229)

为了使SPE等于1要求

|ρ_j|＝1                   (230)

因此需要一个规格化因子，γ_j使得

$>>|sup>>w>j>Hsup>>>v>j>>|>=>|>>\gamma >j>sup>>>e>^>>j>Hsup>>>v>j>>|>=>>\gamma >j>>|>>ϵ>j>>|>=>1>->->->>(>231>)>>>>$

所以

$>>>\gamma >j>>=>>1>>ϵ>j>>>->->->>(>232>)>>>>$

对于与相异本征值相关的本征矢量，该比例因子的计算因为可靠变量的不同依赖于使用哪个空间四阶累积量矩阵的定义。为保证最大的SPE能够为1，下面将推导对于空间四阶累积量矩阵1的规格化因子。但可以看出，对于空间四阶累积量矩阵2和3，其双线性型形式中修正混合矩阵的存在使得可用于求解规格化因子的方程式组具有专门的条件，因此采用定义2和3会引起功率损耗从而分离不能达到SPE为1。

空间四阶累积量矩阵1的规格化

规格化本征矢量时唯一可靠的数据是空间四阶累积量矩阵，本征值，及其相关本征矢量。由式(225)

$>>>ϵ>j>>=sup>>>e>^>>j>Hsup>>>V>j>>->->->>(>233>)>>>>$

且如前所述，假设与一相异本征值相关，即

$>>>V>H>>>>e>^>>j>>=>\left(\begin{array}{}>>>0>>>.>.>.>>>0>>>>>ϵ>*>>j>>>>0>>>.>.>.>>>0>>>>>T>>->->->>(>234>)>>>>\end{array}\right)$

在第j个位置处是非零的。既然空间四阶累积量矩阵1可以乘以因子变成哈密特的形式，即

$>sup>>C>x>4sup>>>(>0,0,0>)>>=>Vsup>>C>r>4sup>>>(>0,0,0>)>>>V>H>>->->->>(>235>)>>>>$

其中C_r⁴(0，0，0)是M×M对角阵，积

$>sup>>C>x>4sup>>>(>0,0,0>)>>>>e>^>>j>>=>Vsup>>C>r>4sup>>>(>0,0,0>)>>>V>H>>>>e>^>>j>>>>$

$>>=>Vsup>>C>r>4sup>>>(>0,0,0>)>>\{>\left(\begin{array}{}>>>0>>>.>.>.>>>0>>sup>>ϵ>j>*sup>>>>0>>>.>.>.>>>0>>>>>T>>\}>->->->>(>236>)>>>>\end{array}\right)$

$>>>=>V>>\{>\left(\begin{array}{}>>>0>>>.>.>.>>>0>>sup>>ϵ>j>*sup>sup>>c>>r>j>>4sup>>>(>0,0,0>)>>>>0>>>.>.>.>>>0>>>>>T>>\}>>>\end{array}\right)$

$>>=sup>>ϵ>j>*sup>sup>>c>>r>j>>4sup>>>(>0,0,0>)>>>v>j>>.>>>$

则(236)式的欧几里得或l₂范数是

$>>>>|>|sup>>C>x>4sup>>>(>0,0,0>)>>>>e>^>>j>>|>|>>2>>=>>>|>|sup>>ϵ>j>*sup>sup>>c>>r>j>>4sup>>>(>0,0,0>)>>>v>j>>|>|>>2>>->->->>(>237>)>>>>$

$>>=>|>>ϵ>j>>|>|sup>>c>>r>j>>4sup>>>(>0,0,0>)>>|>>>|>|>>v>j>>|>|>>2>>.>>>$

但因为

$>>>>|>|>>v>j>>|>|>>2>>=>sup>>v>j>Hsup>>>v>j>>>>>$

$>>=>>1>>->->->>(>238>)>>>>$

$>>=>1>>>$

则

$>>>>|>|sup>>C>x>4sup>>>(>0,0,0>)>>>>e>^>>j>>|>|>>2>>=>|>>ϵ>j>>|>|sup>>C>r>4sup>>>(>0,0,0>)>>|>->->->>(>239>)>>>>$

此外，预先用第j个本征矢量的哈密特变换乘以式(236)的积可以得到标量

$>sup>>>e>^>>j>Hsup>sup>>C>x>4sup>>>(>0,0,0>)>>>>e>^>>j>>=sup>>ϵ>j>*sup>sup>>c>>r>j>>4sup>>>(>0,0,0>)>sup>>>e>^>>j>Hsup>>>v>j>>>>$

$>>=sup>>ϵ>j>*sup>>>ϵ>j>sup>>c>>r>j>>4sup>>>(>0,0,0>)>>->->->>(>240>)>>>>$

$>>=>>>|>>ϵ>j>>|>>2>sup>>c>>r>j>>4sup>>>(>0,0,0>)>>.>>>$

求式(240)和(239)绝对值的比值可以得到标量

$>>>>|sup>>>e>^>>j>Hsup>sup>>C>x>4sup>>>(>0,0,0>)>>>>e>^>>j>>|>>>>|>|sup>>C>x>4sup>>>(>0,0,0>)>>>>e>^>>j>>|>|>>2>>>=>>>>>|>>ϵ>j>>|>>2>>|sup>>c>>r>j>>4sup>>>(>0,0,0>)>>|>>>|>>ϵ>j>>|>|sup>>c>>r>j>>4sup>>>(>0,0,0>)>>|>>>=>|>>ϵ>j>>|>.>->->->>(>241>)>>>>$

这样求得了(232)式中的未知分子，所以当使用空间四阶累积量矩阵1时，规格化因子为

$>>>\gamma >j>>=>>1>>|>>ϵ>j>>|>>>=>>>>|>|sup>>C>x>4sup>>>(>0,0,0>)>>>>e>^>>j>>|>|>>2>>>|sup>>>e>^>>j>Hsup>sup>>C>x>4sup>>>(>0,0,0>)>>>>e>^>>j>>|>>>.>->->->>(>242>)>>>>$

空间四阶累积量矩阵2和3的规格化

空间四阶累积量矩阵2和3不能因子化为哈密特的形式，而可以因子化为双线性的形式，如前所示

$>sup>>C>x>>4>\prime >sup>>>(>>\tau >1>>,>>\tau >2>>,>>\tau >3>>)>>=>>V>~>sup>>C>r>4sup>>>(>>\tau >1>>,>>\tau >2>>,>>\tau >3>>)>>>V>H>>->->->>(>243>)>>>>$

和

$>sup>>C>x>>4>>\prime >\prime >\prime >>sup>>>(>>\tau >1>>,>>\tau >2>>,>>\tau >3>>)>>=>>>V>~>>*>sup>>C>r>4sup>>>(>>\tau >1>>,>>\tau >2>>,>>\tau >3>>)>>>V>T>>->->->>(>244>)>>>>$

从前的结果可以知道使用空间四阶累积量矩阵2和3构造的束具有相同的本征值，而空间四阶累积量矩阵束3的相关本征矢量等于空间四阶累积量矩阵束2的本征矢量的共轭。这样，因为规格化因子是实数，所以若存在规格化因子则对于两种定义是相同的。

因为空间四阶累积量矩阵2和3不能因子化为哈密特的形式，那就必须对修正混合矩阵进行处理以估计式(232)中的规格化因子。不幸的是，一般

$>sup>>>e>^>>j>Hsup>>>>v>~>>j>>\ne >>ϵ>j>>->->->>(>245>)>>>>$

此外，甚至对于相异本征值，本征矢量，特别是右本征矢量一般不再与除以外的所有修正方向矢量都正交，这就不能保证修正方向矢量的欧几里得范数为1，即一般来说

$>sup>>>v>~>>j>Hsup>>>>v>~>>j>>\ne >1>->->->>(>246>)>>>>$

因此，空间四阶累积量矩阵1所具有的，能够估计|ε_j|的性质不能与空间四阶累积量矩阵2和3分享。

仅仅已知空间四阶累积量矩阵2和3，下面说明求解|ε_j|时的广义本征值及其相关的束，相关的左，右本征矢量和因为空间四阶累积量矩阵1可以乘以因子变成哈密特的形式，空间四阶累积量矩阵束1的左右本征矢量与一哈密特变换相联系，也就是说若是空间四阶累积量矩阵束的右本征矢量，则是左本征矢量。所以积只有两个未知量，|ε_j|是其中之一。同理，有两个相同的未知量，因为  ||v_j||₂＝1，所以|ε_j|可以解出来。但对于空间四阶累积量矩阵2，对3也相同，

$>>>>|>|sup>>C>x>>4>\prime >sup>>>(>0,0,0>)>>>>e>^>>j>>|>|>>2>>=>>>|>|sup>>ϵ>j>*sup>sup>>c>>r>j>>4sup>>>(>0,0,0>)>>>>v>~>>j>>|>|>>2>>->->->>(>247>)>>>>$

$>>=>|>>ϵ>j>>|>|sup>>c>>r>j>>4sup>>>(>0,0,0>)>>|>>>|>|>>>v>~>>j>>|>|>>2>>>>$

和

$>>>>d>^>>j>sup>>C>x>>4>\prime >sup>>>(>0,0,0>)>>>>e>^>>j>>=sup>>ϵ>j>*sup>sup>>c>>r>j>>4sup>>>(>0,0,0>)>>>>d>^>>j>>>>v>^>>j>>->->->>(>248>)>>>>$

$>>=sup>>ϵ>j>*sup>>>\delta >j>sup>>c>>r>j>>4sup>>>(>0,0,0>)>>>>$

其中是第j个信号的1×N维左本征矢量并且

$>>>\delta >j>>\equiv >>>d>^>>j>>>>v>~>>j>>->->->>(>249>)>>>>$

这样有两个方程式和四个未知量。试图用延迟滞后(τ₁，τ₂，τ₃)的空间四阶累积量矩阵2建立四个方程式，其结果是有四个方程式和五个未知量。所以对空间四阶累积量矩阵2，对3也相同，求解规格化因子导致一个特有的不能解决的问题。在保证SPE最大为1的前提下能够求解规格化因子，所以这也是空间四阶累积量矩阵定义1的另一个优势。

可识别条件

可识别性涉及盲源分离算法将一个到达源信号分配给唯一的一个分离矢量，并通过压缩其它信号将其从线性混合中分离出来的能力。为了使提出的盲源分离算法执行分离必须满足一定的条件。前面作为信号和噪声假设已经提出一些，在此重申它们是为了使基于空间四阶累积量矩阵束的盲源分离算法成功分离源信号的强制条件。所需可识别性的条件越少，该算法在处理更广泛的盲源分离问题的意义上就越有效。下面给出可识别性的条件，CI1到CI5，

CI1：混合矩阵V是列满秩的，这要求源的数目小于等于传感器的数目，即M≤N，并且信号的方向矢量是线性无关的。

CI2：规格化四阶自累积量c_rj⁴(τ₁，τ₂，τ₃)对每个信号都不同。对于不同的时滞(τ₁，τ₂，τ₃)可以在分离的第二阶段重复该算法，该操作仅仅在第一阶段的信号上进行且具有相同的规格化四阶自累积量。

CI3：辐射在阵列上的M个源信号是统计独立的平稳随机过程，其平稳性在空间四阶累积量矩阵的估计期间都达到四阶。

CI4：噪声过程是平稳的高斯随机过程。它们不需要是空间或时间白噪声，仅在空间四阶累积量矩阵的估计期间要求其平稳性。

CI5：对于空间四阶累积量矩阵2和3，阿达马积

保留混合矩阵V的秩，也就是修正混合矩阵是列满秩的。当使用空间四阶累积量矩阵定义1时不需要该条件。

分离矩阵构成算法

图7和图8是根据本发明使用空间四阶累积量矩阵束执行盲源分离过程的流程图。该算法需要输入时滞(τ₁，τ₂，τ₃)，而(τ₁，τ₂，τ₃)≠(0，0，0)。步骤61提供延迟滞后值τ₁，τ₂，τ₃，步骤63提供传感器数据x(t)。我们建议为保留相位信息，τ₁≠τ₂或τ₃≠0。这可以减少重复本征值的出现从而减少分离算法重复的次数。

在步骤60，以滞后(0，0，0)和(τ₁，τ₂，τ₃)的空间四阶累积量矩阵估计是一个矩阵元素一个矩阵元素地进行。因为累积量不能直接由数据估计，所以必须估计直到四阶的所有矩。既可以在阵列对传播的波场采样生成传感器输出数据x(t)时以实时的方式进行估计，也可以在所需的整个数据都被捕捉下来以后估计累积量的值。

在估计出空间四阶累积量矩阵C_x⁴(0，0，0)和C_x⁴(τ₁，τ₂，τ₃)之后，步骤62执行矩阵束的广义本征分析以确定其有限谱C_x⁴(τ₁，τ₂，τ₃))。在步骤64，确定相异有限本征值的数目K和每个相异本征值的重复度。谱包含M个有限值和重复度，每个对应于一个信号的规格化四阶自累积量。M个本征值中含有K个相异本征值μ_k，k∈1，2，...，K，每个的重复度为η_k。计算每个相异本征值的η_k个线性相异本征矢量。k作为索引在步骤66设为零，它保证能够访问到每个相异本征值。在步骤68，相异本征矢量索引k与相异本征值的数目K进行比较。假设至少存在一个相异本征值，K不会为零。这样在第一步迭代，k小于K，转到下一步骤72，在图7和图8中用一个带圆圈的字母“A”表示。在步骤72，判断重复度η_k是否大于1。若重复度η_k不大于1，转到步骤74。在步骤74，对第k个相异本征值(λ_j＝μ_k)计算本征矢量在步骤76对每个重复度为1的λ_j＝μ_k，计算规格化因子γ_j。在步骤78按 $>>>w>j>>=>>\gamma >j>>>>e>^>>j>>>>构造分离矢量。在步骤80，利用(或添加)分离矢量w$_j以构造分离矩阵W，其中(按照定义)分离矢量是作为分离矩阵W的列。将分离矢量w_j添加至分离矩阵W后，在步骤82递增索引k。然后转到步骤68，在图7和图8中用一个带圆圈的字母“B”表示。在步骤68中，将k与K进行比较。如果k大于K，则在步骤70分离矩阵被提供并可用于后续的处理。若k不大于K(步骤68)则转向步骤72，在图7和图8中用一个带圆圈的字母“A”表示。在步骤72判断重复度η_k是否大于1。若重复度η_k大于1，则转向步骤84。在步骤84，计算相异本征值(λ_j＝μ_k)的η_k个线性无关本征矢量在步骤86，对每个重复本征值，设置η_k个分离矢量等于其相关的本征矢量 $>>>w>j>>=>>>e>^>>j>>.>>>在步骤80，添加分离矢量w$_j以构造分离矩阵W。在步骤82递增索引k，重复该过程直至访问了所有相异本征值(在步骤68，k大于K)。在步骤68，若k大于K，如果k大于K，则分离矩阵构造完毕并用于后续步骤70的处理。在步骤71，用输入信号x(t)乘以分离矩阵W执行分离。更明确的是，根据下面的公式用分离矩阵的哈密特变换W^H乘以输入信号x(t)的矩阵表达式。

y(t)＝W^Hx(t)  (251)

在此描述的BSS技术可以以计算机实现的过程和系统的形式实例化，以实施这些处理。在此描述的BSS技术也可以以包含在有形介质中计算机程序代码的形式实例化，如软盘，只读存储器(ROM)，CD-ROM，硬盘，高密度磁盘或其它任何计算机可读存储介质，当计算机载入并执行该计算机程序代码时，该计算机就成为实施本发明的一个系统。在此描述的BSS技术还可以以计算机程序代码的形式实例化，例如，不管是存储在存储介质，由计算机载入和/或执行，还是在一些传输介质中传输，如通过电线或电缆，通过光纤或通过电磁辐射，当计算机程序代码载入并通过计算机执行时，该计算机就成为实施本发明的一个系统。当在通用处理器上实现时，计算机程序代码段设置处理器以创建专门的逻辑电路。

根据本发明的盲源分离(BSS)技术提供一种基于高阶累积量的原理要素盲源分离技术，该技术能良好地运行于低信噪比条件下，并有潜力良好地运行于时间和空间相关噪声存在的场合。此外提供适合于用不等增益方向性传感器进行盲源分离的空间四阶累积量矩阵的新定义，还提供使用时间信息的空间四阶累积量矩阵束的定义。本发明提出作为算法性能度量的分离功率效率的概念和矩阵束之间广义等价性的概念。

根据本发明BSS的应用包括谱监视，信号智能或其它应用如射电天文，其阵列接受的信号中高斯随机噪声过程占统治地位。根据本发明，该四阶阵列信号处理BSS技术能够利用空间信息检测，分类和识别分离共信道发射机。这特别适用于为低概率检测(LPD)或者低概率截取(LPI)设计的信号，作为一种隐蔽的方法，这些信号会使用周围背景中的电磁辐射和所谓的共信道发射源。根据本发明，基于空间四阶累积量矩阵束的盲源分离技术提供了盲分离未知共信道发射机的能力，该发射机可以是接近或低于噪声下限的传感器。

虽然在此说明和描述的是根据某个特殊的实施例，但是在此描述的BSS技术并不局限于说明的细节。相反，在权力要求等价的范围和范畴内，在不背离本发明的宗旨下可以在细节上做各种修改。