考虑作用点位置的基坑柔性支护主动土压力计算方法

摘要

本发明涉及一种考虑作用点位置的基坑柔性支护主动土压力计算方法，该方法主要是针对库仑土压力和朗肯土压力计算方法的不足，提供了一种考虑作用点位置的主动土压力精确求解方法，包括以下步骤：确定精度控制量eps、基坑几何要素和土体物理力学参数；确定主动土压力合力作用点位置系数n

说明书

技术领域

本发明属于岩土工程技术领域，涉及一种基坑支护结构主动土压力的计算方法，特别涉及一种考虑作用点位置的基坑柔性支护结构主动土压力计算方法。

背景技术

支护结构在基坑开挖和使用过程中的受力变形是一个极为复杂的问题，影响因素很多，正确计算基坑工程中侧向土压力的分布和大小是合理设计基坑工程的前提。从广义上讲，土压力是土作用在工程结构上的或作用在被土体所包围的结构物表面上的压力或那些压力的合力。在基坑工程的设计与施工中，土压力是作用在支护结构上的主要荷载，在进行支护结构强度计算和土体整体稳定性验算以及变形量计算时，首先要确定的是作用在结构体上的总土压力分布，土压力是土与挡土结构之间相互作用的结果，它主要取决于支护桩(墙)体的变位方式、方向、大小。基坑工程往往处于城市密集区，周围环境要求极高，如果不能正确计算土压力，就很难较精确地预测墙土体的变形，从而无法进行环境变形控制设计。合理地进行基坑工程设计，首先必须提出简单实用而尽可能合理的土压力计算模式。目前仍然广泛沿用极限平衡理论为基础的土压力理论，如朗肯土压力理论和库仑土压力理论。在无超载情况下，上述两种理论沿墙背的土压力分布自上至下由数值零开始线性分布，合力作用点位于墙体的下三分点处。考虑到柔性支护结构和土体接触面的共同协调变形，导致土压力的分布不一定是三角形分布，甚至由于支护结构刚度的不均匀导致土压力的非线性分布。比如当柔性支护结构顶部的位移较大时，导土压力的分布图形大致为矩形，因而，土压力的作用点大致在中点，与其相对应的墙后的不稳定土体的滑裂面也不是直线。因此，上述的主动土压力理论并不适用于柔性支护结构领域。在基坑工程中，柔性支护结构可以通过调节支护方式、构件位置来调整土压力作用位置，也可能因为施工方法、步骤和施工位置的不同，也会使作用点位置发生变化。因此，研究一种符合实际的基坑柔性支护结构的主动土压力计算方法,是基坑工程合理设计并科学管理的基础。

发明内容

有鉴于此，本发明的目的在于提供考虑作用点位置的基坑柔性支护主动土压力计算方法，该计算方法是考虑作用点位置的主动土压力精确求解方法，适用于交通、水利、市政、建筑等部门中基坑支护方案的设计。

为达到上述目的，本发明提供如下技术方案：

考虑作用点位置的基坑柔性支护主动土压力计算方法，该方法包括以下步骤：

S1：确定精度控制量eps、基坑几何要素和土体物理力学参数；

所述eps是一个接近于0的数值；所述基坑几何要素包括基坑深度H；所述土体物理力学参数包括基坑土体的重度γ，内摩擦角φ，内聚力c，通过取样和实验手段确定它们的数值；

S2：确定主动土压力合力作用点位置系数n_a；

所述n_a是作用点位置至坑底的距离与基坑深度的比值，通过进行调查研究，根据柔性支护形式和实际工程工况来合理确定n_a；

S3：初定滑裂面中心坐标(x₀,s₀)，由此土体滑裂面可用对数螺旋线y＝s(x)表示，P_a为作用在支护结构的主动土压力，σ(x)、τ(x)分别为作用在滑动面上的法向、切向应力；

S4：求出函数Φ(x₀,s₀)的表达式，搜索滑裂面真实的中心坐标(x₀,s₀)，寻找函数Φ(x₀,s₀)的最小值Φ_min，若Φ_min≤eps,则跳转至S5，否则终止计算，表明在此作用点处，支护结构达不到平衡；

S5：确定滑裂面方程；

根据S4搜索的滑裂面真实中心坐标(x₀,s₀)，即可得到滑裂面方程：

$>\left(\begin{array}{c}x=r_0{e}^{n_1({\theta }_0-\theta )}\cos \theta +x_0\\ s=r_0{e}^{n_1({\theta }_0-\theta )}\sin \theta +s_0\end{array}\right),({\theta }_0\le \theta \le {\theta }_A)$>

S6：计算主动土压力合力；主动土压力合力P_a的计算公式如下；

$>P_a={\int }_{{\theta }_0}^{{\theta }_A}(n_1\sigma -s^{\prime }\sigma +c)\mathrm{dx}$>

进一步，步骤S4中所述函数Φ(x₀,s₀)值的求解步骤如下：

S41：根据初定的滑裂面中心坐标(x₀,s₀)，计算滑裂面O点处角坐标θ₀：

$>\left(\begin{array}{cc}{\theta }_0=\arctan (s_0/x_0)& x_0\le 0\\ {\theta }_0=-\pi -\arctan (s_0/x_0)& x_0>0\end{array}\right)$>

S42：求解以下方程，计算滑裂面A点处角坐标θ_A

$>H-s_0-r_0{e}^{n_1({\theta }_0-\theta )}\sin \theta =0,$>

其中，n₁＝tanφ；

S43：计算滑裂面处的正应力

$>\sigma =z{e}^{2n_1\theta }-\frac{\gamma r_0{e}^{n_1({\theta }_0-\theta )}(\sin \theta -3n_1\cos \theta )}{1+{9n}_1^2}-\frac{c}{n_1}$>

其中：$>z=[\frac{c\sin {\theta }_A}{\cos {\theta }_A-n_1\sin {\theta }_A}+\frac{\gamma r_0{e}^{n_1({\theta }_0-{\theta }_A)}(\sin {\theta }_A-{3n}_1\cos {\theta }_A)}{1+{9n}_1^2}+\frac{c}{n_1}]e^{-2n_1{\theta }_A}$>

S44：求函数Φ(x₀,s₀)；

$>\Phi (x_0,s_0)={\left({\int }_{{\theta }_o}^{{\theta }_A}(\frac{F_0}{n_{a}H}+F_1)\mathrm{dx}\right)}^2+{\left({\int }_{{\theta }_o}^{{\theta }_A}{F}_2\mathrm{dx}\right)}^2$>

其中，F₀＝(n₁s′x+x+ss′-n₁s)σ-(H-s)γx+s′xc-sc；

F₁＝(n₁-s′)σ+c；F₂＝(n₁s′+1)σ+cs′+γs-γH；

$>x=r_0{e}^{n_1({\theta }_0-\theta )}\cos \theta +x_0;s=r_0{e}^{n_1({\theta }_0-\theta )}\sin \theta +s_0;$>

$>s^{\prime }=-\cot (\theta +\phi );\mathrm{dx}=r_0{e}^{n_1({\theta }_0-\theta )}(n_1\cos \theta +\sin \theta )\mathrm{d\theta };$>

$>r_0=\sqrt{x_0^2+s_0^2};$>

由此Φ(x₀,s₀)的值可以通过数值积分的方法求得；

S45：搜索滑裂面真实中心坐标，寻找函数Φ(x₀,s₀)的最小值Φ_min。

进一步，所述eps取值为1×10^-5。

进一步，所述初定滑裂面中心坐标(x₀,s₀)，x₀＝-2H，s₀＝2H。

进一步，所述Φ(x₀,s₀)的最小值Φ_min通过非线性函数优化方法求解，采用matlab软件中的fminsearch来进行搜索求解。

本发明的有益效果在于：本发明所提供的考虑作用点位置的基坑柔性支护主动土压力计算方法，可适用于柔性支护结构领域，在基坑工程中，柔性支护结构可以通过调节支护方式、构件位置来调整土压力作用位置，也可能因为施工方法、步骤和施工位置的不同，也会使作用点位置发生变化。因此，本发明提供的一种考虑作用点位置的基坑柔性支护结构主动土压力计算方法，该方法可靠性高，有利于基坑工程的合理设计和科学管理。

附图说明

为了使本发明的目的、技术方案和优点更加清楚，下面将结合附图对本发明作进一步的详细描述，其中：

图1为本发明所述方法的流程图；

图2为基坑柔性支护主动土压力计算模型；

图3为实施例1中函数Φ随作用点位置系数n_a的变化曲线；

图4为实施例1中主动土压力随作用点位置系数n_a的变化曲线；

图5为实施例1中滑裂面曲线随作用点位置系数n_a的变化。

具体实施方式

下面将结合附图，对本发明的优选实施例进行详细的描述。

本发明所提供的考虑作用点位置的基坑柔性支护主动土压力计算方法，该方法主要是针对库仑土压力和朗肯土压力计算方法的不足，设计的一种考虑作用点位置的主动土压力精确求解方法，包括以下步骤：

(1)确定精度控制量eps，基坑几何要素和土体物理力学参数。

(2)确定主动土压力合力作用点位置系数n_a。

(3)初定滑裂面中心坐标(x₀,s₀)，土体滑裂面用对数螺旋线y＝s(x)表示，P_a为作用在支护结构的主动土压力，σ(x)、τ(x)分别为作用在滑动面上的法向、切向应力。

(4)求出函数Φ(x₀,s₀)的表达式，搜索滑裂面真实的中心坐标，寻找函数Φ(x₀,s₀)的最小值Φ_min，若Φ_min≤eps,则跳转至S5，否则终止计算，表明在此作用点处，支护结构达不到平衡；

(5)确定滑裂面方程。

(6)计算主动土压力合力。

步骤(1)中eps是一个接近于0的数值，可取1×10^-5；基坑几何要素包括基坑深度H，通过取样和实验手段确定基坑土体的重度γ，内摩擦角，内聚力c。

步骤(2)中主动土压力合力作用点位置系数n_a的值是作用点位置至坑底的距离与基坑深度的比值。应进行调查研究，根据柔性支护形式和实际工程工况来合理确定。

步骤(3)中极限平衡状态下土体滑裂面为对数螺旋线，用曲线y＝s(x)表示，P_a为作用在支护结构的主动土压力，σ(x)、τ(x)分别为作用在滑动面上的法向、切向应力，见图2。

步骤(4)中通过非线性函数优化方法求解函数Φ(x₀,s₀)最小值Φ_min，这里采用matlab软件中的fminsearch来进行搜索求解。

函数Φ(x₀,s₀)值的求解步骤如下：

1)初定滑裂面中心坐标(x₀,s₀)，如x₀＝-2H，s₀＝2H；

2)计算滑裂面O点处角坐标θ₀：

$>\left(\begin{array}{cc}{\theta }_0=\arctan (s_0/x_0)& x_0\le 0\\ {\theta }_0=-\pi -\arctan (s_0/x_0)& x_0>0\end{array}\right)$>

3)求解以下方程，计算滑裂面A点处角坐标θ_A

$>H-s_0-r_0{e}^{n_1({\theta }_0-\theta )}\sin \theta =0,(n_1=\tan \phi )$>

4)计算滑裂面处的正应力

$>\sigma =z{e}^{2n_1\theta }-\frac{\gamma r_0{e}^{({\theta }_0-\theta )}(\sin \theta -3n_1\cos \theta )}{1+{9n}_1^2}-\frac{c}{n_1}$>

其中：$>z=[\frac{c\sin {\theta }_A}{\cos {\theta }_A-n_1\sin {\theta }_A}+\frac{\gamma r_0{e}^{n_1({\theta }_0-{\theta }_A)}(\sin {\theta }_A-{3n}_1\cos {\theta }_A)}{1+{9n}_1^2}+\frac{c}{n_1}]e^{-2n_1{\theta }_A}$>

5)求函数Φ(x₀,s₀)的值；

$>\Phi (x_0,s_0)={\left({\int }_{{\theta }_o}^{{\theta }_A}(\frac{F_0}{n_{a}H}+F_1)\mathrm{dx}\right)}^2+{\left({\int }_{{\theta }_o}^{{\theta }_A}{F}_2\mathrm{dx}\right)}^2$>

其中F₀＝(n₁s′x+x+ss′-n₁s)σ-(H-s)γx+s′xc-sc；

F₁＝(n₁-s′)σ+c；F₂＝(n₁s′+1)σ+cs′+γs-γH

$>x=r_0{e}^{n_1({\theta }_0-\theta )}\cos \theta +x_0;s=r_0{e}^{n_1({\theta }_0-\theta )}\sin \theta +s_0$>

$>s^{\prime }=-\cot (\theta +\phi );\mathrm{dx}=r_0{e}^{n_1({\theta }_0-\theta )}(n_1\cos \theta +\sin \theta )\mathrm{d\theta }$>

$>r_0=\sqrt{x_0^2+s_0^2}$>

由此Φ(x₀,s₀)的值可以通过数值积分的方法求得。

步骤(5)中根据步骤(4)得到的滑裂面中心坐标(x₀,s₀)，可以得到滑裂面方程：

$>\left(\begin{array}{c}x=r_0{e}^{n_1({\theta }_0-\theta )}\cos \theta +x_0\\ s=r_0{e}^{n_1({\theta }_0-\theta )}\sin \theta +s_0\end{array}\right),({\theta }_0\le \theta \le {\theta }_A)$>

步骤(6)中主动土压力合力P_a的计算公式如下；

$>P_a={\int }_{{\theta }_0}^{{\theta }_A}(n_1\sigma -s^{\prime }\sigma +c)\mathrm{dx}$>

步骤(4)、(5)、(6)的理论推导如下：

取支护结构后处于极限平衡状态的滑楔体OAB作为研究对象，根据力的平衡方程，由∑X＝0得：

$>p_a+{\int }_0^{x_A}(\tau -\sigma s^{\prime })\mathrm{dx}=0---\left(1\right)$>

由∑Y＝0得：

$>{\int }_0^{x_A}(\tau s^{\prime }+\mathrm{\sigma dx}-\mathrm{\gamma H}+\mathrm{\gamma s})\mathrm{dx}=0---\left(2\right)$>

由∑M_O＝0得：

$>n_{a}H{P}_a+{\int }_0^{x_A}[(s-x{s}^{\prime })\tau -(x+s{s}^{\prime })\sigma +(H-s)\mathrm{\gamma x}]\mathrm{dx}=0---\left(3\right)$>

上三式中s′＝ds/dx，x_A为点A的X坐标，n_a为主动土压力作用点位置系数，其值为作用点位置至坑底的距离与基坑深度的比值。设在滑面上法向应力σ(x)和切向应力τ(x)服从Mohr-Coulomb破坏准则，即：

τ＝n₁σ+c    (4)

其中，n₁＝tanφ。

考察(1)～(4)式，主动土压力P_a为自变量函数σ(x)和滑面s(x)的泛函极值问题。具体如下：

由式(3)得泛函：

$>J=n_{a}H{P}_a={\int }_0^{x_A}{F}_0\mathrm{dx}---\left(5\right)$>

其中F₀＝(n₁s′x+x+ss′-n₁s)σ-(H-s)γx+s′xc-sc

由式(1)得约束条件：

$>{\int }_0^{x_A}\frac{F_0}{n_{a}H}+F_1\mathrm{dx}=0---\left(6\right)$>

其中F₁＝(n₁-s′)σ+c

由式(2)得约束条件：

$>{\int }_0^{x_A}{F}_2\mathrm{dx}=0---\left(7\right)$>

其中F₂＝(n₁s′+1)σ+cs′+γs-γH

上述为边界待定的条件变分极值中的等周问题。滑裂面曲线的起始点为O点，坐标为x_o＝0,y_o＝0，终点为土体表面上A点坐标(x_A,H)待定。

在约束条件下的变分法，用拉格朗日乘子法构造如下的泛函J^*，使上述条件极值问题转化为无约束的泛函极值问题：

$>J^{*}={\int }_0^{x_A}\mathrm{Fdx}---\left(8\right)$>

其中F＝F₀+λ₁F₁+λ₂F₂

F为辅助函数，λ₁、λ₂为拉格朗日乘子。依据等周问题极值存在的必要条件，滑面方程y＝s(x)及沿滑面分布的法向应力σ(x)必须满足欧拉微分方程、边界条件及可动边界处的横截条件：

助函数F的Euler微分方程：

$>\frac{\partial F}{\partial \sigma }-\frac{d}{\mathrm{dx}}\left(\frac{\partial F}{\partial {\sigma }^{\prime }}\right)=0---\left(9\right)$>

$>\frac{\partial F}{\partial s}-\frac{d}{\mathrm{dx}}\left(\frac{\partial F}{\partial s^{\prime }}\right)=0---\left(10\right)$>

(1)积分约束方程：同式(6)、式(7)

(2)边界条件：

固定边界条件：s(0)＝0    (11)

可动边界条件：s(x_A)＝H    (12)

(3)可动边界处的横截条件：

$>{(F-s^{\prime }\frac{\partial F}{\partial s^{\prime }}-{\sigma }^{\prime }\frac{\partial F}{\partial {\sigma }^{\prime }})|}_{x=x_A}=0---\left(13\right)$>

由式(9)，可以得到：

$>\frac{\mathrm{ds}}{\mathrm{dx}}=\frac{x-n_{1}s+{\lambda }_1{n}_1+{\lambda }_2}{-n_{1}x-s+{\lambda }_1-{\lambda }_2{n}_1}---\left(14\right)$>

引入坐标变换：

u＝x+λ₂，v＝s-λ₁(15)

设新坐标原点在原坐标中为(x₀,s₀)。则

x₀＝-λ₂，s₀＝λ₁.

令w＝v/u

则微分方程式(14)可化为齐次方程：

$>w+u\frac{\mathrm{dw}}{\mathrm{du}}=\frac{n_{1}w-1}{n_1+w}---\left(16\right)$>

分离变量得通解为：

ln[u²(1+w²)]＝-2n₁arctanw+c₀    (17)

对变换后的坐标换成极坐标：

u＝rcosθ，v＝rsinθ    (18)

式(17)变为：

$>r=c_1{e}^{-n_1\theta }---\left(19\right)$>

c₀、c₁为任意积分常数。

由固定边界条件：s(0)＝0，原坐标原点O在新坐标中为u₀＝x₀，v₀＝-s₀，O点在新坐标的极坐标为(r_o,θ_o)，则滑裂面方程为：

$>r=r_0{e}^{n_1({\theta }_0-\theta )}---\left(20\right)$>

其中，$>r_0=\sqrt{x_0^2+s_0^2}$>

$>\left(\begin{array}{cc}{\theta }_0=\arctan (s_0/x_0)& x_0\le 0\\ {\theta }_0=-\pi -\arctan (s_0/x_0)& x_0>0\end{array}\right)$>

滑裂面为对数螺旋面。

由式(10)得：

2n₁σ+(n₁x+s-λ₁+n₁λ₂)σ′-γx-λ₂γ+2c＝0    (21)

将上式写成新坐标下的极坐标形式：

$>\frac{\mathrm{d\sigma }}{\mathrm{d\theta }}-{2n}_1\sigma =2c-\gamma r_0{e}^{n_1({\theta }_0-\theta )}\cos \theta ---\left(22\right)$>

上式微分方程通解为:

$>\sigma =e^{{\int }_{{\theta }_1}^{\theta }2n_1\mathrm{d\theta }}(z+{\int }_{{\theta }_1}^{\theta }(2c-\gamma r_0{e}^{n_1({\theta }_0-\theta )}\cos \theta )e^{{\int }_{{\theta }_1}^{\theta }-2n_1\mathrm{d\theta }}\mathrm{d\theta })$>

z为积分常数，θ₁为任意角度，可取θ₁＝0

$>\sigma =z{e}^{2n_1\theta }-\frac{\gamma r_0{e}^{({\theta }_0-\theta )}(\sin \theta -3n_1\cos \theta )}{1+{9n}_1^2}-\frac{c}{n_1}---\left(23\right)$>

由可动边界处的横截条件式可得滑面A点处正应力：

$>\sigma \left(x_A\right)=\sigma \left({\theta }_A\right)=\frac{c\sin {\theta }_A}{\cos {\theta }_A-n_1\sin {\theta }_A}---\left(24\right)$>

代入(23)

$>z=[\frac{c\sin {\theta }_A}{\cos {\theta }_A-n_1\sin {\theta }_A}+\frac{\gamma r_0{e}^{n_1({\theta }_0-{\theta }_A)}(\sin {\theta }_A-{3n}_1\cos {\theta }_A)}{1+{9n}_1^2}+\frac{c}{n_1}]e^{-2n_1{\theta }_A}$>

上述变分问题只包含两个未知常数x₀,s₀，可以由两个约束条件方程式(6)和式(7)来求出，等同于求下式函数Φ的零值问题：

$>\Phi (x_0,s_0)={\left({\int }_{{\theta }_o}^{{\theta }_A}(\frac{F_0}{n_{a}H}+F_1)\mathrm{dx}\right)}^2+{\left({\int }_{{\theta }_o}^{{\theta }_A}{F}_2\mathrm{dx}\right)}^2=0---\left(25\right)$>

上式的解可通过求解函数Φ的极小值且极小值为0得到，而当Φ的极小值不为零时，说明所给定的土压力作用点不能使土体平衡，是不合适的。

实施例1：

设一垂直基坑深10米，基坑周围土γ＝18kN/m³,内聚力c＝10kPa,内摩擦角φ＝20°，图3为函数Φ随作用点位置系数n_a的变化曲线。计算表明，当作用点位置系数存在上下界限值(下限值n_ad＝0.2677，上限值n_au＝0.4906)，在此范围内，Φ＝0值，也即是说当支护结构所提供的支护反力的合力作用点位于离坑底2.677～4.906范围内时，基坑可以达到平衡稳定，否则无论提供多大的支护反力，当土体处于主动状态时，基坑必定失稳。主动土压力及滑裂面随作用点位置系数n_a的变化曲线见图4、图5所示，在作用点位置系数下限处，主动土压力最小。滑裂面为平面；随着作用点位置的上移，主动土压力呈非线性增长，相应滑裂面为对数螺旋面。表1为不同作用点位置的各主动压力值。

表1 不同作用点位置下的主动土压力值

实施例2：

采用一砂土垂直基坑作为算例，基坑深10米，基坑周围土γ＝18kN/m³,内聚力c＝0,内摩擦角φ＝20°，表2为砂土内摩擦角不同情况下，作用点位置系数上下限处的计算结果。从表中可以看出，对于砂土，在不同内摩擦角下，作用点位置系数下限系数均为n_ad＝1/3，所计算压力与按库仑理论计算的结果完全一致。表2中△为作用点位置系数上限值处土压力比下限值处的增大比例，可见作用点位置系数上限值随内摩擦角的增大而增大，其相应的土压力值也随之增加，且摩擦角越大，上限处压力增大比例也越大。

表2 砂土基坑主动土压力算例

最后说明的是，以上优选实施例仅用以说明本发明的技术方案而非限制，尽管通过上述优选实施例已经对本发明进行了详细的描述，但本领域技术人员应当理解，可以在形式上和细节上对其作出各种各样的改变，而不偏离本发明权利要求书所限定的范围。