一种移动荷载下简支梁损伤和移动力同时识别方法

摘要

本发明提出了一种移动荷载下简支梁损伤和移动力同时识别方法：测量结构在损伤状态的加速度动力响应，以结构的加速度响应作为结构损伤和移动力识别的动力指标；根据结构的数值模型，将未知移动荷载采用切比雪夫多项式表示，并利用梁单元形函数概念将移动荷载等效成单元节点力，分别计算结构加速度响应对损伤和移动力参数的灵敏度矩阵；结合敏感性分析结果，以结构测量加速度响应和计算所得的有限元加速度响应的差值作为目标函数，采用一阶泰勒展开的识别方程逐步迭代同时识别出简支梁的损伤和移动力。通过本发明方法，能够仅仅通过结构所测的少数加速度响应来实现结构损伤和移动力的同时识别，具有较强的实用性。

说明书

技术领域

本发明属于结构健康监测技术领域，具体涉及一种移动荷载下简支梁损 伤和移动力同时识别方法。

背景技术

结构的损伤识别和外部荷载识别是结构健康监测体系的两个重要方面， 在结构安全维护和安全评定中具有重要作用。由于结构的振动特性(如时程 响应、频响函数、固有频率、振型等)是结构物理参数(如刚度、质量、阻 尼等)的函数，结构损伤即意味着结构参数的改变，而物理参数的改变必然 引起结构振动特性的改变。目前基于结构振动信息的损伤识别方法，主要分 为频域法和时域法。频域法是指利用实测结构的模态参数(固有频率和振型)， 通过求解结构动力特征值的反问题识别结构的物理参数的变化。时域法是指 通过安装在结构上的传感设备，对结构的振动进行实时监测，可以获得结构 不同位置的动力响应，对损伤前后结构的动力响应变化进行分析及处理，就 有可能获得结构物理参数的变化情况。

动态载荷识别一般是在预先已知结构的参数信息的情况下，利用测量结 构响应(位移、速度、加速度及频响函数等)，识别出无法测量的未知输入 力。频域法和时域法是动态荷载识别的两类经典方法。频域法利用频响函数 及模态参数在频率域中进行识别；时域法采用模态坐标变换,将运动方程转化 为非耦合的型式,并假定微小时间间隔内动态荷载为阶跃函数,对非耦合方程 进行求解,从而利用响应历程获得动态荷载。频域识别法已形成了较完善的理 论及计算方法,但是该方法要求采样信号有一定的数据长度、一般适应于平稳 振动信号，且高阶模态截断会带来模型误差，必然会影响动荷载的识别结果。 由于时域法可直接得到荷载时间历程，无需时频转化，不存在中间过程的误 差，所得结果比较直观，便于工程实际应用，且时域荷载识别法是处理非平 稳载荷的根本途径，因此荷载识别方法多数基于时域内的结构振动响应进行 识别。

在基于结构振动信息的损伤识别过程中，一般需要测量或已知结构外部 荷载的时间历程，然而在实际应用中，结构的未知荷载和未知损伤常常是共 存的，特别是在桥梁结构中，车辆的移动荷载通常难以准确测量，因此在未 知移动荷载下受损结构的损伤识别和移动力识别情况同时存在。

李杰和陈隽首次将这种在时域中识别结构参数同时反演未知激励的反问 题归结为动力复合反演问题，并提出全量补偿法、分组归一化统计平均法等 多种复合反演算法，较好地解决了部分输入未知条件下的结构参数识别及荷 载反演问题[未知输入条件下的结构物理参数识别研究,计算力学学报, 1999,16(1):32-40]。Lu等[Identification of system parameters and Input force  from output only,Mechanical Systems and Signal Processing,2007,21: 2099-2111]基于结构响应的灵敏度利用两步反演法同时识别系统参数和输入 激励，未知荷载由一系列正弦函数加一个常数逼近组成。Zhang等[A probabilistic damage identification approach for structures with uncertainties under  unknown input,Mechanical Systems and Signal Processing,2011,25:1126-1145] 利用切比雪夫多项式表示未知荷载，把识别荷载等效为识别多项式系数，识 别中能够对损伤参数和荷载参数二者同时进行迭代修正。Zhang等 [Identification of coexistent load and damage,Structural and Multidisciplinary  Optimization,2010,41(2):243-253]基于虚拟变形方法(VDM)，用虚拟变形等 效结构的损伤，继而借助未损伤结构通过实测损伤结构响应识别荷载和损伤， 包括损伤类型和大小，该方法要求传感器数目不小于未知荷载数目和虚拟变 形数目的总和。以上方法都能解决未知荷载和结构损伤的同时识别，但仅局 限于固定位置的动态荷载识别。

发明内容

针对实际桥梁结构中车辆的移动荷载难以准确测量，移动车辆荷载同时 也会对桥梁结构产生损伤影响，因此桥梁结构移动荷载和损伤的同时识别问 题尤为重要，本发明采用时域内动力响应灵敏度的模型修正方法，将未知移 动荷载采用切比雪夫多项式表示，结合梁单元形函数概念将移动荷载等效成 单元节点力，仅利用少数测量的动力响应同时识别出简支梁的损伤状况和移 动荷载的时程曲线。

本发明提供一种用于同时识别简支梁损伤和移动力的方法，解决在未知 移动荷载作用下简支梁的损伤状况以及移动力识别的快捷计算方法。

本发明提供了一种移动荷载下简支梁损伤和移动力同时识别方法，其步 骤包括：

(1)测量结构损伤状态下的加速度响应Y^M，假定结构的初始损伤值和 移动力的正交系数分别为α₀和c₀；

(2)在状态空间域内表示移动荷载下结构的运动方程，移动力采用切比 雪夫多项式表示为在移动荷载表达式Fδ(l-vt)中，F 表示以一恒定速度v运动的时变荷载，l表示结构的某一位置点，vt表示移动 荷载在t时刻的位置，δ(·)表示狄拉克函数。结合梁单元形函数概念将任一时 刻的移动力等效成单元节点力，通过离散化的运动方程计算在状态空间域内 的马尔科夫系数矩阵H_L，再计算状态空间域内的结构加速度响应Y^A：

(2.1)状态空间域内移动荷载下结构的运动方程表示为：

$\stackrel{·}{X}=K^{*}X+B^{*}\underset{k=1}{\overset{M}{\Sigma }}{c}_k{T}_k\delta \left(\text{l-vt}\right)$

$Y=\mathrm{RX}+D\underset{k=1}{\overset{M}{\Sigma }}{c}_k{T}_k\delta (l-\mathrm{vt})$

其中$X=\left(\begin{array}{c}x\\ \stackrel{·}{x}\end{array}\right),K^{*}=\left(\begin{array}{cc}0& I\\ -M^{-1}K& -M^{-1}C\end{array}\right),B^{*}=\left(\begin{array}{c}0\\ M^{-1}\end{array}\right),$R＝[R_d-R_aM^-1K  R_v-R_aM^-1C]，K^*为系统矩阵，B^*为输入矩阵，Y表示输出矩 阵，R_a，R_v和R_d分别表示测量加速度，速度和位移的映射矩阵，c_k和T_k分 别表示移动荷载的正交系数和切比雪夫正交式。

(2.2)将状态空间域内连续运动方程离散化，计算在状态空间域内的马 尔科夫系数矩阵H_L，离散化的状态空间方程可表示为下式

$X(j+1)=\mathrm{AX}\left(j\right)+B\underset{k=1}{\overset{M}{\Sigma }}{c}_k{T}_k\left(j\right)\delta (l-\mathrm{vt})$

$Y\left(j\right)=\mathrm{RX}\left(j\right)+D\underset{k=1}{\overset{M}{\Sigma }}{c}_k{T}_k\left(j\right)\delta (l-\mathrm{vt}),(j=\mathrm{1,2},...,N)$

其中A＝exp(K^*h)，B＝K^*-1(A-I)B^*.N表示采样点数量，h表示时间间 隔。结合以上两式，输出矩阵可用下式表示：

令：

其中，H_L表示状态空间域内的马尔科夫系数矩阵，H_L中各元素H_m(m＝0,1…N-1)表示在单位脉冲荷载下离散结构的响应，H_m的计算式如下：

$\left(\begin{array}{cc}{H}_0=D& (m=0)\\ H_m={\mathrm{RA}}^{(m-1)}B& (m=1,...N-1)\end{array}\right)$

(2.3)根据步骤(2.2)中计算结果H_L，结构的输出矩阵可简写为：

$Y^A=\underset{k=1}{\overset{M}{\Sigma }}{c}_k{H}_L{T}_k\delta (l-\mathrm{vt})$

其中Y^A表示在状态空间域内结构的加速度响应。

(3)利用步骤(2)中计算所得状态空间域内结构的加速度响应，进行 结构加速度响应对单元刚度损伤参数和移动力正交参数的一阶灵敏度矩阵 和

$\frac{\partial Y}{{\partial \alpha }_i}=\frac{\partial \left(\underset{k=1}{\overset{M}{\Sigma }}{c}_k{H}_L{T}_k\delta (l-\mathrm{vt})\right)}{{\partial \alpha }_i}=\frac{\partial H_L}{{\partial \alpha }_i}\underset{k=1}{\overset{M}{\Sigma }}{c}_k{T}_k\delta (l-\mathrm{vt})$

$\frac{\partial Y}{{\partial c}_k}=\frac{\partial \left(\underset{k=1}{\overset{M}{\Sigma }}{c}_k{H}_L{T}_k\delta (l-\mathrm{vt})\right)}{{\partial c}_k}=H_L{T}_k\delta (l-\mathrm{vt})$

其中，和分别表示结构加速度响应对单元刚度损伤参数和移动力 正交参数的一阶灵敏度矩阵，表示结构马尔科夫系数关于单元刚度损伤 参数的一阶偏导，具体计算如下：

$\left(\begin{array}{c}\frac{\partial H_0}{{\partial \alpha }_i}=0,(m=0)\\ \frac{{\partial H}_m}{{\partial \alpha }_i}=\frac{\partial \left({\mathrm{RA}}^{(m-1)}B\right)}{{\partial \alpha }_i}=\frac{\partial R}{{\partial \alpha }_i}{A}^{(m-1)}B+R\frac{\partial \left(A^{(m-1)}\right)}{{\partial \alpha }_i}B+{\mathrm{RA}}^{(m-1)}\frac{\partial B}{{\partial \alpha }_i},(m=\mathrm{1,2},...,N-1)\end{array}\right)$

其中和的计算如下：

$\frac{\partial R}{{\partial \alpha }_i}=\left(\begin{array}{cc}{R}_a{M}^{-1}\frac{\partial K}{{\partial \alpha }_i}& R_a{M}^{-1}\frac{\partial C}{{\partial \alpha }_i}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{R}_a{M}^{-1}\frac{\partial K}{{\partial \alpha }_i}& {\mathrm{bR}}_a{M}^{-1}\frac{\partial K}{{\partial \alpha }_i}\end{array}\right)$

$\frac{\partial \left(A^{m-1}\right)}{{\partial \alpha }_i}=\frac{\partial \left(A^{m-2}\right)}{{\partial \alpha }_i}A+A^{m-2}\frac{\partial A}{{\partial \alpha }_i}$

$\frac{\partial A}{{\partial \alpha }_i}=\mathrm{Ah}\frac{{\partial K}^{*}}{{\partial \alpha }_i}$

$\left(\begin{array}{c}\frac{\partial B}{{\partial \alpha }_i}=\frac{\partial }{{\partial \alpha }_i}\left[K^{*-1}(A-I)B^{*}\right]=\frac{{\partial K}^{*-1}}{{\partial \alpha }_i}(A-I)B^{*}+K^{*-1}\frac{\partial A}{{\partial \alpha }_i}{B}^{*}\\ =(-K^{*-1}\frac{{\partial K}^{*}}{{\partial \alpha }_i}{K}^{*-1})(A-I)B^{*}+K^{*-1}\mathrm{Ah}\frac{{\partial K}^{*}}{{\partial \alpha }_i}{B}^{*}\end{array}\right)$

$\frac{{\partial K}^{*}}{{\partial \alpha }_i}=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ -M^{-1}\frac{\partial K}{{\partial \alpha }_i}& -M^{-1}\frac{\partial C}{{\partial \alpha }_i}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ {-M}^{-1}\frac{\partial K}{{\partial \alpha }_i}& -{\mathrm{bM}}^{-1}\frac{\partial K}{{\partial \alpha }_i}\end{array}\right)$

(4)将步骤(1)中的测量加速度响应Y^M和步骤(2)中计算的结构加 速度响应值Y^A的差值作为目标函数，表示如下：

ΔY＝Y^M-Y^A

(5)根据步骤(3)计算所得的动力加速度响应灵敏度矩阵和采 用基于动力响应灵敏度模型修正的识别方程$\mathrm{\Delta Y}=\left(\begin{array}{cc}\frac{\partial Y}{\partial \alpha }& \frac{\partial Y}{\partial c}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\alpha \\ c\end{array}\right)$计算结构的损 伤α和移动力的正交系数c。

(6)重复步骤(2)-(5)，进行下一次循环的计算，可以得到修正后 的结构损伤值和移动力的正交系数，直至目标函数达到设定允许值停止计算。

与现有技术相比，本发明具有以下有益效果：传统的结构损伤识别理论 都是建立在结构输入和输出均已知的基础上的，但是对于实际桥梁结构而言， 其移动车载输入信息往往很难测得或者很难被准确地测试，本发明仅利用少 数几个测量的动力响应可同时识别出结构的损伤和移动外荷载的时程曲线， 实现未知移动荷载下结构损伤和力的同时识别。

附图说明

图1为移动荷载下简支梁的有限元模型示意图；

图2表示测量加速度AY(6)和AY(10)示意图；

图3表示测量加速度对第六个单元刚度参数α₆的一阶导数；其中：

图3(a)表示测量加速度AY(6)对第六个单元刚度参数α₆的一阶导数；

图3(b)表示测量加速度AY(10)对第六个单元刚度参数α₆的一阶导数；

图4表示测量加速度对移动力第一个正交参数c₁的一阶导数；其中：

图4(a)表示测量加速度AY(6)对移动力第一个正交参数c₁的一阶导数；

图4(b)表示测量加速度AY(10)对移动力第一个正交参数c₁的一阶导数；

图5表示测量加速度对移动力第二个正交参数c₂的一阶导数；其中：

图5(a)表示测量加速度AY(6)对移动力第二个正交参数c₂的一阶导数；

图5(b)表示测量加速度AY(10)对移动力第二个正交参数c₂的一阶导数；

图6表示简支梁的损伤识别结果图；

图7表示简支梁未知移动力的识别结果；其中：

图7(a)表示无测量噪音情况下移动力的识别结果；

图7(b)表示5％测量噪音情况下移动力的识别结果。

具体实施方式

为了使本发明的目的、技术方案及优点更加清楚明白，以下结合附图及 实施例，对本发明进行进一步详细说明。应当理解，此处所描述的具体实施 例仅仅用以解释本发明，并不用于限定本发明。此外，下面所描述的本发明 各个实施方式中所涉及到的技术特征只要彼此之间未构成冲突就可以相互组 合。

以图1中移动荷载下的简支梁为研究对象，来阐述结构损伤和移动力荷 载同时识别的过程。简支梁全长12m，弹性模量210GPa，密度为7800 kg/m³， 泊松比为0.3。梁横截面为0.5m×0.5m。瑞尼阻尼系数a和b分别为0.8180和 7.823×10^-5，假设未知移动荷载F＝-12000(sin(24t)+0.5sin(12t))N以v＝12m/s的速 度从梁左端行驶到右端。假设简支梁6m处刚度出现15％的损伤，采样频率为 120Hz，测量加速度为AY(6)和AY(10)，其中AY(6)表示测量节点6的Y方向 的加速度，移动力的切比雪夫正交多项式的阶数为15。

图2表示测量加速度AY(6)和AY(10)示意图，通过步骤(3)可计算测量 加速度响应对损伤和移动力参数的一阶灵敏度矩阵，图3(a)和(b)分别表 示测量加速度AY(6)和AY(10)对第六个单元刚度参数α₆的一阶导数，图4(a) 和(b)分别表示测量加速度AY(6)和AY(10)对移动力第一个正交参数c₁的一 阶导数，图5(a)和(b)分别表示测量加速度AY(6)和AY(10)对移动力第两 个正交参数c₂的一阶导数。为了验证所计算的动力响应灵敏度矩阵正确性， 采用Newmark法(Lu and Law,Features of dynamic response sensitivity and its  application in damage detection,Journal of Sound and Vibration,2007,303: 305-329)进行对比参考。由图3-5可以看出，采用提出方法计算的加速度响 应对损伤和移动力参数的一阶灵敏度矩阵与Newmark法计算结果保持一致， 验证了其正确性。

根据计算的测量加速度响应对损伤和移动力参数的一阶灵敏度矩阵，通 过步骤(4)-(6)同时识别出简支梁的损伤状况和移动力。图6表示简支梁 在无噪音和5％噪音下损伤结果示意图，由图6可以看出，在无噪音情况下， 简支梁的损伤位置和损伤程度都能准确识别出来，相对误差值为1.64％；在 5％噪音情况下，简支梁的损伤位置和损伤程度也能识别出来，但其相对误差 值增大，在简支梁6m位置时的刚度损伤为11.84％。当考虑测量噪音时，损 伤结果的相对误差会增大，说明损伤结果对测量噪音较为敏感。图7所示为 简支梁的移动力时程曲线识别结果，其中图7(a)和(b)分别表示简支梁在 无测量噪声和5％测量噪声情况下移动力时程曲线识别结果。从图7可以看出， 在无噪音和5％测量噪音情况下，识别出的移动力时程曲线与实际移动荷载都 很接近，其相对误差值分别为8％和10.97％。误差来源主要来自切比雪夫多 项式的阶数，采样时间以及采样频率等。

由图6和图7可以看出，采用本发明，可以在未知移动力状况下同时准 确识别简支梁的损伤状况和移动力的时程曲线。

本领域的技术人员容易理解，以上所述仅为本发明的较佳实施例而已， 并不用以限制本发明，凡在本发明的精神和原则之内所作的任何修改、等同 替换和改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。