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有限PMU下基于最小二乘法估计的电网故障在线检测方法

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本发明公开了有限PMU下基于最小二乘法估计的电网故障在线检测方法，该方法采用区域分散决策结构，由RDS收集本站和相邻变电站的广域保护信息。当发现某线路有保护动作时，启动该线路及其相邻线路的在线检测过程。采集相关PMU的电流电压测量值，计算出各节点的电流电压估计值，得到每条线路的电流残差值，通过排序搜索得到两条疑似线路。针对两条疑似线路，根据其拓扑连接关系，构造单个线路故障、相邻两条线路复故障等判据，利用三组PMU测量值，计算各疑似线路的三组故障点位置，构造故障判据判断与检测出故障元件。本发明能够区分出单一线路故障、相邻线路复故障、非相邻线路双重故障三种故障情况，且不会对广域通信网络SDH增加过大的通信负荷。

著录项

公开/公告号CN104297632A

专利类型发明专利
公开/公告日2015-01-21

原文格式PDF
申请/专利权人西南交通大学;
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申请/专利号CN201410515303.7
发明设计人童晓阳;王晨;
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申请日2014-09-29
分类号G01R31/08(20060101);G06F19/00(20110101);
代理机构51200 成都信博专利代理有限责任公司;
代理人卓仲阳
地址 610031 四川省成都市二环路北一段111号
入库时间 2023-12-17 03:57:53

法律信息

法律状态公告日

法律状态信息

法律状态
2017-02-15

授权

授权
2015-02-18

实质审查的生效 IPC(主分类):G01R31/08 申请日:20140929

实质审查的生效
2015-01-21

公开

公开

说明书

技术领域

本发明涉及电力系统继电保护领域，特别涉及一种有限PMU下基于最小二乘法估计的电网故障在线检测方法。

背景技术

随着电力系统不断发展，电网结构越来越复杂，基于本地信息的传统后备保护的配置和整定越来越困难^[1]。同步向量测量单元(Phasor Measurement Unit，PMU)的发展为广域后备保护的研究提供了重要信号来源，PMU实时测量布点处的母线电压和进出电流向量，并打上时标^[2]。PMU量测量的远程传输借助于我国目前较广泛运用的广域通信网络的同步数字体系 (Synchronous Digital Hierarchy，SDH)，其更新速度为几十毫秒，完全能够满足电力系统广域后备保护的数据要求^[3][4]。但是由于PMU的造价与维护费用很高，目前在我国电网的所有节点上都配置PMU是很不现实的，所以在实际应用中尤其是广域后备保护的在线故障检测，必须考虑在有限PMU配置下的处理方法。

文献[5]在分区内部故障发生后，对各子站的母线正序电压进行比幅排序，搜索电压幅值最小的母线，进而确定故障所在的线路或母线元件，但是它的前提是各个子站都布置了PMU，才能获得同步的各子站母线正序电压。文献[6]提出了一种广域继电保护的故障区域自适应识别原则及实现方法。结合电力系统故障时序电压的分布特点，讨论了序电压分布受短线路、复故障和高阻接地等因素的影响。实时监视电网广域范围内各母线的序电压，由专家系统根据排序结果进行疑似故障区域的分析，实现自适应识别故障区域。但文献[5][6]均未考虑PMU 的有限布局。文献[7]提出一种利用同步电压相量进行输电网络故障定位的方法，首先运用对称分量法和线性叠加原理建立故障后的附加正序网络，定义了故障点的匹配指标，基于该指标运用遍历搜索方法寻找故障点位置。此方法只需要故障线路两侧的远端各布置有一个 PMU，但是在故障后需要实时计算并修改系统的阻抗矩阵，计算量较大。文献[8]采用了分布参数建模，提出一种基于广域信息多端高压输电区域后备保护原理。在有限PMU条件下，推算出参考节点的电流差动量，电流差动量反应的是故障时故障点电流值，根据这一特征进行故障线路的判断。文献[9]提出了一种基于有限PMU测量故障分量信息的故障定位新算法，运用叠加原理获得系统的纯故障等值模型，对纯故障等值模型进行等价变换，获得故障线路两端的系统阻抗等值模型和故障点注入电流源的转移等值模型，由两种等值模型计算与实现对故障点的精确定位。

但是已有文献并没有对有限PMU布局下的相邻线路复故障进行研究、没有给出相应的电网故障元件在线检测方法。

参考文献：

[1]袁季修.防御大停电的广域保护和紧急控制[M].北京：中国电力出版社，2007.

[2]鞠平.电力系统广域测量技术[M].北京:机械工业出版社，2008.

[3]王英涛，印永华，蒋宜国，等.我国实时动态监测系统的发展现状及实施策略研究[J].电网技术，2005，29(1l)：44-48.

[4]毛安家，郭志忠.与SCADA互补的WAMS中PMU的配置及数据处理方法[J].电网技术，2005，29(8)：71-74.

[5]曾飞，苗世洪，林湘宁，等.基于序分量的电网广域后备保护算法[J].电力系统自动化， 2010，34(23)：57-63.

[6]李振兴，尹项根，张哲，等.广域继电保护故障区域的自适应识别方法[J].电力系统自动化，2011，35(16)：15-20.

[7]王波，江全元，陈晓刚，等.基于同步电压相量的故障定位新方法[J].电力系统自动化， 2009，33(11)：33-37.

[8]马静，曾惠敏，林小华.基于广域信息多端高压输电区域后备保护[J].电力系统保护与控制，2012，40(11)：61-69.

[9]徐浩，苗世洪，姜臻.基于有限相量测量单元测量故障分量信息的故障定位算法[J].电力系统自动化，2013，37(2)：43-48.

发明内容

本发明提供了一种有限PMU下基于最小二乘法估计的电网故障在线检测方法，该方法能够对单个线路故障、相邻两条线路复故障、非相邻线路双重故障进行判断和检测。

本发明的具体方案是：

有限PMU下基于最小二乘法估计的电网故障在线检测方法，所述方法采用区域分散决策结构，每个变电站的监控层都配置一台主机，在主机中运行一个区域分散决策子系统RDS；在本方法中，PMU采用间隔母线布置方式。在启动在线检测后，收集有限PMU的电流电压测量值，采用最小二乘法估计出各监控线路的电流电压值，通过从大到小的排序搜索出疑似线路，再计算某线路的三组故障点位置，以多个判据来判断出故障元件。具体检测过程如下：

步骤1：根据RDS对所监控线路收集到的广域保护信号进行处理和判断，当发现某线路两侧的主保护至少有一侧未动作、而其两侧保护装置中其它保护有启动信号时，就将该线路、其相邻线路列为监控线路，启动对它们的故障检测。

步骤2：收集监控线路所在变电站及其相邻变电站中较近PMU的电流电压测量值，采用最小二乘法，计算出该线路、其相邻各线路的电流电压估计值。

步骤3：由步骤2所得到布有PMU侧线路的电流估计值、采集的电流测量值，计算出每条监控线路的电流残差值。

步骤4：如果没有一条线路的电流残差值大于0，则认为没有故障线路，结束检测。如果至少有一条线路的电流残差值大于0，则对每条监控线路的电流残差值进行从大到小的排序，把排序中，电流残差值最大的两条线路列为疑似线路，即搜索到疑似线路1、疑似线路2。

步骤5：在步骤4中有线路的电流残差值大于0的情况下，针对每条疑似线路，收集与利用相关最近的三组PMU数据，计算出每条疑似线路各自的三组故障点位置(α1，β1)、(α2， β2)、(α3，β3)。

步骤6：将计算出的每条疑似线路各自的故障点位置结合线路故障判据进行判断，确定线路属于何种故障。

具体的，步骤6包括：

如果疑似线路1满足单个线路故障判据、但疑似线路2不满足单个线路故障判据，则判定疑似线路1为故障线路，结束检测。

如果疑似线路2满足单个线路故障判据、但疑似线路1不满足单个线路故障判据，则判定疑似线路2为故障线路，结束检测。

如果两条疑似线路在拓扑上相邻，它们的三组故障点位置(α1，β1)、(α2，β2)、(α3，β3) 满足相邻两条线路复故障判据，则判定它们为相邻两条线路复故障，结束检测。

如果两个疑似线路在拓扑上不相邻，且均满足单个线路故障判据，则判定两条疑似线路均是故障线路，即为非相邻线路双重故障，结束检测。

更具体的，步骤6中的故障判据包括单个线路故障判据和相邻两条线路复故障判据。如下所示；

单个线路故障判据为：

若求出某线路的3个故障点位置如α1、α2、α3三个数都在[0，1]之间，且在误差允许范围内相近，而其相邻各线路的3个故障点位置如β1、β2、β3都不在[0，1]之间，则判定该线路为单个故障线路。

对于拓扑上相邻的两条线路，相邻两条线路复故障判据为：

(1)若求出某线路的3个故障点位置α1、α2、α3不同时在[0，1]之间，且其另一个相邻线路的3个故障点位置β1、β2、β3也不同时在[0，1]之间，则判定α和β所在线路都为故障线路；

(2)若求出某线路的3个故障点位置α1、α2、α3三个数都在[0，1]之间，但在误差允许的范围内不接近，而且其另一个相邻线路的3个故障点位置β1、β2、β3都不在[0，1]之间，则判定α和β所在线路都为故障线路；

(3)若求出其相邻线路的3个故障点位置β1、β2、β3三个数都在[0，1]之间，但在误差允许的范围内不接近，而且某线路的3个故障点位置α1、α2、α3都不在[0，1]之间，则判定α和β所在线路都为故障线路。

本发明的有益效果是：

(1)针对PMU间隔母线布点策略，给出了一种基于最小二乘法估计的疑似线路搜索方法，通过计算一个区域内各监控线路的电流残差值，确定疑似线路，缩小了对故障线路的搜索范围。

(2)针对各疑似线路，通过收集来自多点PMU的电气量，为某个疑似线路计算出其三组故障点位置，进而确认出故障元件，并能区分出故障元件是单一线路故障、相邻两条线路复故障、非相邻线路双重故障三种情况。

(3)本发明进行故障元件的在线检测只收集有限PMU的电气量，不会给广域通信网络 SDH带来过大的通信负荷。

(4)本发明除了能够对单一线路故障进行准确的在线检测，还适用于相邻两条线路复故障、非相邻线路双重故障的情况。

附图说明

图1为本发明有限PMU下基于最小二乘法估计的电网故障在线检测方法的流程图。

图2为本发明运行所在的各区域分散决策系统的结构。

图3为基于最小二乘法估计的疑似线路搜索方法的线路PMU配置示意图。

图4为线路L₂₃故障下节点1、3的测量向量与估计向量之间的关系图。

图5为本发明所用到的故障点位置计算方法的纯故障等值模型等效电路示意图。

图6为具体实施例的IEEE14节点测试系统示意图。

具体实施方式

本发明采用区域分散决策结构进行故障元件的在线检测。在该结构下，每个变电站的监控层都配置一台主机，每台主机中运行一个区域分散决策子系统(Regional Decision-making Subsystem，RDS)，它负责收集本站与相邻变电站的相关广域保护信号，从而得到基于最小二乘法估计的故障元件在线检测方法启动所需的原始保护信号。如附图2所示。

每个变电站中的RDS，通过本站的局域网收集来自本站各个智能电子设备(Intelligent Electronic Devices,IED)的后备保护动作信息，通过广域通信网络SDH收集来自相邻变电站的广域后备保护信息、收集来自布置有PMU的相关变电站的电气量。

在收集全了本站、相邻变电站各保护设备的后备保护信息、相关变电站的电气量之后，针对与本站相连的各线路，每个RDS对各线路所收集到的原始数据进行处理和判断，从而检测出元件是否故障。若检测出元件有故障，则向故障线路所在变电站下达跳闸命令。

电网故障元件在线检测的步骤如下：

步骤1：根据RDS对所监控线路收集到的信息进行处理和判断，决定是否对该线路进行故障检测。当某个变电站的RDS收集到本站各设备的后备保护信号后，发现某线路的主保护至少有一侧未动作、而其两侧保护装置中其它保护有启动信号时，就将该线路、其相邻各线路列为监控线路，启动对它们的故障检测。通过广域通信网络搜集该线路两端、其两侧相邻各线路上布置有PMU的电流电压测量值。

步骤2：利用该线路、其两侧相邻各线路上的电流电压测量值，采用最小二乘法，计算出该线路、其两侧相邻各线路的电流电压估计值。如附图3所示，各PMU采用间隔母线布置方式，节点1和3布置有PMU，是节点1上的电压与电流测量值，是节点 3上的电压与电流测量值。

建立无故障情况下布置有PMU的节点1、节点3的电流电压状态方程：

$(\begin{matrix} {\overset{\cdot}{V}}_{1}^{(1)} = {\overset{\cdot}{V}}_{1} \\ {\overset{\cdot}{V}}_{3}^{(1)} = {\overset{\cdot}{V}}_{3} \\ {\overset{\cdot}{I}}_{12}^{(1)} = {\overset{\cdot}{y}}_{12} ({\overset{\cdot}{V}}_{1} - {\overset{\cdot}{V}}_{3}) \\ {\overset{\cdot}{I}}_{32}^{(1)} = {\overset{\cdot}{y}}_{32} ({\overset{\cdot}{V}}_{3} - {\overset{\cdot}{V}}_{2}) \end{matrix}) - - - (1)$

式(1)中为真实值，为PMU测量值，y₁₂、y₃₂分别为线路L₁₂和线路L₂₃的导纳值。

把式(1)写成矩阵形式，得到式(2)：

$(\begin{matrix} {\overset{\cdot}{V}}_{1}^{(1)} \\ {\overset{\cdot}{V}}_{3}^{(1)} \\ {\overset{\cdot}{I}}_{12}^{(1)} \\ {\overset{\cdot}{I}}_{32}^{(1)} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ y_{12} & {- y}_{12} & 0 \\ 0 & {- y}_{32} & y_{32} \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} {\overset{\cdot}{V}}_{1} \\ {\overset{\cdot}{V}}_{2} \\ {\overset{\cdot}{V}}_{3} \end{matrix}) - - - (2)$

令测量值列向量 $\overset{\cdot}{A} = {(\begin{matrix} {\overset{\cdot}{V}}_{1}^{(1)} & {\overset{\cdot}{V}}_{3}^{(1)} & {\overset{\cdot}{I}}_{12}^{(1)} & {\overset{\cdot}{I}}_{32}^{(1)} \end{matrix})}^{T},$ 真实值列向量 $\overset{\cdot}{C} = {(\begin{matrix} {\overset{\cdot}{V}}_{1} & {\overset{\cdot}{V}}_{2} & {\overset{\cdot}{V}}_{3} \end{matrix})}^{T},$ 电压电流的关系矩阵 $\overset{\cdot}{B} = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ y_{12} & - y_{12} & 0 \\ 0 & {- y}_{32} & y_{32} \end{matrix}),$ 得

对式(2)做最小二乘法估计，设为由最小二乘法得到的电流电压估计值，令其中电压估计值列向量为 ${\overset{\cdot}{C}}^{'} = {(\begin{matrix} {\overset{\cdot}{V}}_{1}^{(2)} & {\overset{\cdot}{V}}_{2}^{(2)} & {\overset{\cdot}{V}}_{3}^{(2)} \end{matrix})}^{T},$ 则

${\overset{\cdot}{C}}^{'} = {[{\overset{\cdot}{B}}^{T} \overset{\cdot}{B}]}^{- 1} {\overset{\cdot}{B}}^{T} \overset{\cdot}{A} - - - (3)$

由式(3)得到电压与电流估计值列向量 ${\overset{\cdot}{A}}^{'} = {(\begin{matrix} {\overset{\cdot}{V}}_{1}^{(2)} & {\overset{\cdot}{V}}_{3}^{(2)} & {\overset{\cdot}{I}}_{12}^{(2)} & {\overset{\cdot}{I}}_{32}^{(2)} \end{matrix})}^{T},$ 即

${\overset{\cdot}{A}}^{'} = \overset{\cdot}{B} {\overset{\cdot}{C}}^{'} - - - (4)$

步骤3：由该线路两端、其两侧相邻各线路布置有PMU侧的电流估计值、电流测量值，计算出各线路的电流残差值。

定义每条线路的残差值ε为该线路的电流测量值模值与电流估计值模值的差值，即：

$ϵ_{I_{ij}} = | {\overset{\cdot}{I}}_{ij}^{(1)} | - | {\overset{\cdot}{I}}_{ij}^{(2)} | - - - (5)$

对线路电流残差值的具体计算如下：

当线路L₂₃发生故障，而保护还没有使其两侧断路器断开时，采用最小二乘法估计公式(3)，得到节点2的电压估计量它介于由节点3推算到节点2的电压和由节点1推算到节点2的电压之间，即满足线路L₂₃故障下节点1、3的测量向量与估计向量之间的关系如附图4所示。

由公式(4)计算获得节点1、节点3的电流估计值即：

${\overset{\cdot}{I}}_{32}^{(2)} = ({\overset{\cdot}{V}}_{3}^{(1)} - {\overset{\cdot}{V}}_{2}^{(2)}) y_{23} - - - (6)$

${\overset{\cdot}{I}}_{12}^{(2)} = ({\overset{\cdot}{V}}_{1}^{(1)} - {\overset{\cdot}{V}}_{2}^{(2)}) y_{12} - - - (7)$

当线路L₂₃发生故障时，对于正常线路L₁₂，由附图4可得节点1处的电流测量值模值小于电流估计值模值，即得到该线路的电流残差值

对于故障线路L₂₃，由附图4可得节点3处的电流测量值模值大于电流估计值模值，即得到故障线路电流残差值它大于0，可根据此点来判断故障线路。

由一个实际算例计算得到通过理论计算与仿真实验可得，故障线路L₂₃的电流残差值大于非故障线路L₁₂的电流残差值，即

以上是针对只有两条线路相连的情况，若线路有分支时，需要列出区域内所有布置有 PMU点的电压电流方程进行最小二乘法估计，计算每条线路的电流残差值，得到的电流残差值各不相同，此时需要对这些电流残差值从大到小进行排序。

由于故障线路的电流残差值总是大于非故障线路的，考虑到可能会发生相邻线路同时发生复故障的情况(三条及以上线路同时发生故障的概率很小，不予考虑)，因此对各线路的电流残差值进行从大到小排序后，只考虑电流残差值前两名的两条线路，把它们列为疑似线路。

步骤6：将计算出的每条疑似线路各自的故障点位置结合线路故障判据进行判断，确定线路属于何种故障。包括：

如果疑似线路1满足单个线路故障判据、但疑似线路2不满足单个线路故障判据，则判定疑似线路1为故障线路，结束检测。

如果疑似线路2满足单个线路故障判据、但疑似线路1不满足单个线路故障判据，则判定疑似线路2为故障线路，结束检测。

如果两个疑似线路在拓扑上不相邻，且均满足单个线路故障判据，则判定两条疑似线路均是故障线路，即为非相邻线路双重故障，结束检测。

单个线路故障点位置的计算方法：

如附图5所示，本发明采用纯故障等值模型等效电路，其中线路jk故障，电压故障分量为故障后的与故障前的节点k电压差，电流故障分量为故障后的与故障前的线路电流的差值，为故障点的注入电流，α为线路jk上的故障点距离母线k的距离占线路jk长度的百分比。节点k、j等值地加的注入电流分项分别为和

纯故障等值模型等效电路的节点电压方程为为电压故障分量列向量，为节点注入电流列向量，Z为系统阻抗矩阵，故障分量的求取方法为故障后的电压电流向量减去故障前的电压电流向量。附图5的纯故障等值模型中只有节点j和k有注入电流，所以中除了第j行和第k行，其它值都为0，可表示为式(8)：

$\overset{\cdot}{I} = {[0 . . . α {\overset{\cdot}{I}}_{f} . . . (1 - α) {\overset{\cdot}{I}}_{f} . . . 0]}^{T} - - - (8)$

已知i点和k点的PMU电压值，由节点电压方程可得：

$(\begin{matrix} Δ {\overset{\cdot}{V}}_{i} = Z_{ij} α {\overset{\cdot}{I}}_{f} + Z_{ik} (1 - α) {\overset{\cdot}{I}}_{f} \\ Δ {\overset{\cdot}{V}}_{k} = Z_{kj} α {\overset{\cdot}{I}}_{f} + Z_{kk} (1 - α) {\overset{\cdot}{I}}_{f} \end{matrix}) - - - (9)$

由式(9)可得：

$(\begin{matrix} Δ {\overset{\cdot}{V}}_{i} \\ Δ {\overset{\cdot}{V}}_{k} \end{matrix}) = (\begin{matrix} Z_{ij} - Z_{ik} & Z_{ik} \\ Z_{kj} - Z_{kk} & Z_{kk} \end{matrix}) (\begin{matrix} α {\overset{\cdot}{I}}_{f} \\ {\overset{\cdot}{I}}_{f} \end{matrix}) - - - (10)$

由式(10)可得：

$(\begin{matrix} α {\overset{\cdot}{I}}_{f} \\ {\overset{\cdot}{I}}_{f} \end{matrix}) = {(\begin{matrix} Z_{ij} - Z_{ik} & Z_{ik} \\ Z_{kj} - Z_{kk} & Z_{kk} \end{matrix})}^{- 1} (\begin{matrix} Δ {\overset{\cdot}{V}}_{i} \\ Δ {\overset{\cdot}{V}}_{k} \end{matrix}) - - - (11)$

进而可求出该线路的故障点位置α：

$α = (α {\overset{\cdot}{I}}_{f}) / {\overset{\cdot}{I}}_{f} - - - (12)$

对单个线路故障和相邻两条线路复故障的区分判断：由于只考虑最多两条线路同时故障，由疑似线路的搜索算法可得到两条线路jk、ij，此时会出现两种情况，即系统发生单个线路故障或相邻两条线路复故障。由于并不知道是哪种情况，可先假设电流残差值最大的线路为故障线路(其故障点位置为α)、另一条线路正常，建立纯故障等值模型，可求出线路故障点位置α。再假设电流残差值次大的线路为故障线路(其故障点位置为β)、另一条线路正常，建立纯故障等值模型，可求出线路故障点位置β。

相邻线路复故障的情况：对故障线路求得的故障点位置可能不都在[0，1]之间，所以通过两点PMU数据求出的α和β并不能直接判断两条线路的故障情况。需要增加额外的PMU 点及其数据。

取离节点j最近的另外一个PMU点数据辅助计算，假设取布置有PMU的最近节点为p 点。然后任取i、j、p中两个PMU组合，可得三种组合(i，k)、(p，k)、(p，i)。分别对这三种组合计算，可得三组故障点位置(α₁，β₁)、(α₂，β₂)、(α₃，β₃)。如果是单个线路故障，求得的α₁、α₂、α₃或β₁、β₂、β₃三个故障点位置会非常接近。为了验证它们的接近程度，定义三个数的方差S²，当满足式(13)时，则判定这三个数在误差允许的范围内接近。

$S^{2} = \frac{{| α_{1} - α_{2} |}^{2} + {| α_{1} - α_{3} |}^{2} + {| α_{3} - α_{2} |}^{2}}{3} < 0.02 - - - (13)$

单个线路故障判据如下：

另外，在单个线路故障情况下，为减小误差，若线路jk故障，则选取k点和离j点最近的PMU数据计算的值为故障点位置。若线路ij故障，则选取i点和离j点最近的PMU数据计算的值为故障点位置。

对于拓扑上相邻的两条线路，相邻两条线路复故障判据如下：

(1)若求出的α₁、α₂、α₃不同时在[0，1]之间，且β₁、β₂、β₃也不同时在[0，1]之间，则判定α和β所在线路都为故障线路。

(2)若求出的α₁、α₂、α₃三个数都在[0，1]之间，但在误差允许的范围内不接近，且β₁、 β₂、β₃都不在[0，1]之间，则判定α和β所在线路都为故障线路。

(3)同理，若求出的β₁、β₂、β₃三个数都在[0，1]之间，但在误差允许的范围内不接近，且α₁、α₂、α₃都不在[0，1]之间，则判定α和β所在线路都为故障线路。

根据式(12)对三组PMU组合分别求出故障点位置的三组数，若满足单个线路故障判据，则判定为单个线路故障，若满足相邻两条线路复故障判据，则判定为相邻两条线路复故障。

如果两个疑似线路在拓扑上不相邻，且均满足单个线路故障判据，则判定两条疑似线路均是故障线路，即为非相邻线路双重故障，结束检测。

非相邻线路双重故障的故障点位置计算方法如下：

设任意两条不相邻线路jk和mn同时故障，此时，可由前述的线路电流残差值的疑似线路搜索算法，搜索到线路jk和mn为疑似线路。

令α和β分别是其故障点位置，对两条线路分别建立纯故障等值模型，将线路jk和mn 的故障电流和分配到线路两端，可得到四个节点注入电流，分别为节点电压方程为中只有j、k、m、n四行不为0，可表示为下式：

$\overset{\cdot}{I} = {[0 . . . α {\overset{\cdot}{I}}_{f_{1}} . . . (1 - α) {\overset{\cdot}{I}}_{f_{1}} . . . β {\overset{\cdot}{I}}_{f_{2}} . . . (1 - β) {\overset{\cdot}{I}}_{f_{2}} . . . 0]}^{T} - - - (14)$

设n和k点布有PMU，m和j点的电压故障分量可由相连的非故障线路的PMU数据推算得来，由节点电压方程可得j点、k点、m点和n点的电压，可得下列方程组：

$(\begin{matrix} Δ {\overset{\cdot}{V}}_{j} = Z_{jj} α {\overset{\cdot}{I}}_{f_{1}} + Z_{jk} (1 - α) {\overset{\cdot}{I}}_{f_{1}} + Z_{jm} β {\overset{\cdot}{I}}_{f_{2}} + Z_{jn} (1 - β) {\overset{\cdot}{I}}_{f_{2}} \\ Δ {\overset{\cdot}{V}}_{k} = Z_{kj} α {\overset{\cdot}{I}}_{f_{1}} + Z_{kk} (1 - α) {\overset{\cdot}{I}}_{f_{1}} + Z_{km} β {\overset{\cdot}{I}}_{f_{2}} + Z_{kn} (1 - β) {\overset{\cdot}{I}}_{f_{2}} \\ Δ {\overset{\cdot}{V}}_{m} = Z_{mj} α {\overset{\cdot}{I}}_{f_{1}} + Z_{mk} (1 - α) {\overset{\cdot}{I}}_{f_{1}} + Z_{mm} β {\overset{\cdot}{I}}_{f_{2}} + Z_{mn} (1 - β) {\overset{\cdot}{I}}_{f_{2}} \\ Δ {\overset{\cdot}{V}}_{n} = Z_{nj} α {\overset{\cdot}{I}}_{f_{1}} + Z_{nk} (1 - α) {\overset{\cdot}{I}}_{f_{1}} + Z_{nm} β {\overset{\cdot}{I}}_{f_{2}} + Z_{nn} (1 - β) {\overset{\cdot}{I}}_{f_{2}} \end{matrix}) - - - (15)$

由式(15)可得：

$(\begin{matrix} Δ {\overset{\cdot}{V}}_{j} \\ Δ {\overset{\cdot}{V}}_{k} \\ Δ {\overset{\cdot}{V}}_{m} \\ Δ {\overset{\cdot}{V}}_{n} \end{matrix}) = (\begin{matrix} Z_{jj} - Z_{jk} & Z_{jk} & Z_{jm} - Z_{jn} & Z_{jn} \\ Z_{kj} - Z_{kk} & Z_{kk} & Z_{km} - Z_{kn} & Z_{kn} \\ Z_{mj} - Z_{mk} & Z_{mk} & Z_{mm} - Z_{mn} & Z_{mn} \\ Z_{nj} - Z_{nk} & Z_{nk} & Z_{nm} - Z_{nn} & Z_{nn} \end{matrix}) (\begin{matrix} α {\overset{\cdot}{I}}_{f_{1}} \\ {\overset{\cdot}{I}}_{f_{1}} \\ β {\overset{\cdot}{I}}_{f_{2}} \\ {\overset{\cdot}{I}}_{f_{2}} \end{matrix}) - - - (16)$

由式(16)可得：

$(\begin{matrix} {α \overset{\cdot}{I}}_{f_{1}} \\ {\overset{\cdot}{I}}_{f_{1}} \\ β {\overset{\cdot}{I}}_{f_{2}} \\ {\overset{\cdot}{I}}_{f_{2}} \end{matrix}) = {(\begin{matrix} Z_{jj} - Z_{jk} & Z_{jk} & Z_{jm} - Z_{jn} & Z_{jn} \\ Z_{kj} - Z_{kk} & Z_{kk} & Z_{km} - Z_{kn} & Z_{kn} \\ Z_{mj} - Z_{mk} & Z_{mk} & Z_{mm} - Z_{mn} & Z_{mn} \\ Z_{nj} - Z_{nk} & Z_{nk} & Z_{nm} - Z_{nn} & Z_{nn} \end{matrix})}^{- 1} (\begin{matrix} Δ {\overset{\cdot}{V}}_{j} \\ Δ {\overset{\cdot}{V}}_{k} \\ Δ {\overset{\cdot}{V}}_{m} \\ Δ {\overset{\cdot}{V}}_{n} \end{matrix}) - - - (17)$

由式(17)计算求得最后获得两条疑似线路的故障点位置α和β，如下：

$(\begin{matrix} α = (α I_{f_{1}}) / I_{f_{1}} \\ β = (β I_{f_{2}}) / I_{f_{2}} \end{matrix}) - - - (18)$

通过式(18)计算两条疑似故障线路的故障点位置，若求出的两条线路故障点位置都在[0， 1]之间，则判定两条线路发生双重故障。

用本发明方法在IEEE14节点测试系统上进行实验验证，如附图6所示。

(1)对单个线路故障进行判断

线路L₁₅距离变电站10的30％、80％处分别发生不同故障类型的故障，其仿真实验结果见表1，其中I_5.9、I_8.9、I_10.9分别表示线路L₁₂在变电站5侧的电流、线路L₁₄在变电站8侧的电流、线路L₁₅在变电站10侧的电流。每种故障情形的故障类型表示为：AG表示A相短路故障、AB表示A相与B相短路、ABG表示A相与B相短路接地、ABCG表示A相B相C 相三相短路接地。

对于每种故障情形，先求出每条线路的电流残差值，然后做从大到小的排序。

对于第1种故障情形，线路L₁₅的30％处发生A相接地故障(AG)时电流残差值分别为 I_5.9＝-0.0604、I_8.9＝-0.0359、I_10.9＝0.1272，把电流残差值最大的(I_10.9、I_8.9)所在的两条线路 L₁₅、L₁₄列为疑似线路，所以搜索到的疑似线路为L₁₅、L₁₄。

对三种PMU组合(8，10)、(8，5)、(10，5)，分别求取线路L₁₅的故障点位置α和L₁₄的故障点位置β的三组故障点位置，求出线路L₁₅的各故障点位置都在[0，1]间，则求取它们的方差。可计算得到线路L₁₅的故障点位置α的方差值为0.004，小于0.02。

对于疑似线路L₁₄，它的三组故障点位置都不在[0，1]之间。

依据单个线路故障判据，可判定为线路L₁₅故障、L₁₄是正常线路。

为了减小误差，取线路L₁₅靠近变电站10一侧PMU和离此PMU最近点变电站5的PMU 组成的组合(10，5)，求出的值为最终的故障点位置。于是得到线路L₁₅发生A相接地故障 (AG)时故障点位置为0.2985，真实故障点位置为0.3，故障点位置的求解误差为0.15％。

由实验结果可知，本方法通过故障点求解能够帮助准确判断出真实的单个故障线路。

表1 单个线路故障的判断结果

(2)对相邻线路复故障进行判断

当L₁₅和L₁₂同时发生故障时，设L₁₅的故障点位置α为故障点到变电站10的距离与线路 L₁₅的距离之比，L₁₂的故障点位置β为故障点到变电站9的距离与线路L₁₂的距离之比。实验结果见表2。

表2 相邻两条线路复故障两种情况的判断结果

表2是相邻线路复故障的两种情形。先求出每条线路的电流残差值，然后进行从大到小的排序。

对于第一种相邻线路复故障情形，计算得到的各线路电流残差值分别为I_5.9＝-0.0156、 I_8.9＝-0.0455、I_10.9＝0.1192，取电流残差值最大的(I_10.9、I_5.9)所在两条线路L₁₅、L₁₂作为疑似线路，因此搜索到的疑似故障线路为L₁₅、L₁₂。

对于第二种相邻线路复故障情形，做法类似，由实验结果可知，两种故障情形下得出的疑似线路集合均包含了实际的故障线路。

对于每种故障情形，分别对三种PMU组合(8，10)、(8，5)、(10，5)，求取线路L₁₅故障点位置α和L₁₂故障点位置β。

对于第一种故障情形，求出的L₁₅的三组故障点位置α都在[0，1]之间，对应的故障点位置α的方差为因为所以三个α值在误差允许的范围内不相近。L₁₂故障点位置β不同时在[0，1]之间。根据相邻两条线路复故障的判据(2)，可判断出线路L₁₅和 L₁₂都是故障线路。

对于第二种故障情形，求出线路L₁₅的故障点位置α不同时在[0，1]之间，且线路L₁₂的故障点位置β不同时在[0，1]之间，不能计算出α或β的方差或因此在表2中没有给出相应的方差值。根据相邻两条线路复故障判据(1)，可判断出线路L₁₅和L₁₂都是故障线路。

在相邻两条线路同时发生故障的情况下，搜索算法找到的疑似故障线路包含了故障线路。由于有限PMU布局，当相邻两条线路同时发生故障时，中间节点没有布置PMU，中间节点的电压电流测量量未知，不能计算出两条线路的故障点，需要使用三组PMU分别求解某条线路的三组故障点位置及其分布特性，再依照相邻两条线路复故障判据来确定相邻两条线路复故障。

(3)对非相邻线路双重故障进行判断

当非相邻的两条线路L₁₅和L₁₁同时发生故障时，设L₁₅故障点位置α为故障点到变电站 10的距离与线路L₁₅的距离之比，L₁₁故障点位置β为故障点到变电站8的距离与线路L₁₁的距离之比。实验结果见表3。其中I_5.8、I_5.9、I_8.9、I_10.9分别为线路L₁₁、L₁₂、L₁₄、L₁₅上的电流值。

表3 非相邻两条线路双重故障的判断结果

表3有两种非相邻线路双重故障情形。对于每种非相邻线路双重故障情形，先求出每条线路的电流残差值，然后进行从大到小的排序。

对于第一种非相邻线路双重故障情形，电流残差值分别为I_5.8＝0.0677、I_5.9＝-0.0429、I_8.9＝ 0.0218、I_10.9＝0.1368，取最大的两个电流残差值，即为I_10.9和I_5.8，则搜索到疑似线路为L₁₅、 L₁₁。

计算出L₁₅故障点位置为0.3525，真实故障点位置为0.3，计算误差为5.25％，它满足单个线路故障判据，所以判断L₁₅为故障线路。

计算出L₁₁故障点位置为0.17，真实故障点位置为0.2，误差为3％，它满足单个线路故障判据，判断L₁₁为故障线路。因此正确地判断出非相邻两条故障线路为L₁₅、L₁₁。

对于第二种非相邻线路双重故障，计算出L₁₅故障点位置为0.7239，真实故障点位置为 0.7，误差为2.39％，它满足单个线路故障判据，判断L₁₅为故障线路。

计算出L₁₁的故障点位置为0.7982，真实故障点位置为0.8，误差为0.18％，它满足单个线路故障判据，判断L₁₁为故障线路。

由实验结果可知，得出的疑似线路集合包含了真实的故障线路。运用双重故障故障点位置的求取方法，计算出两条疑似线路的故障点位置，从而判断出非相邻故障线路为L₁₅、L₁₁。判断正确。

实验结果表明，求出的L₁₅、L₁₁的故障点位置都在[0，1]之间，与真实值的误差满足要求，能够准确判断出故障线路为L₁₅、L₁₁。

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