一种利用加速度计组合输出离散度进行精度评估的方法

摘要

一种利用加速度计组合输出离散度进行精度评估的方法，在选取惯性组合一次通电的测试位置后进行多组测试，并在建立误差模型后计算各误差系数和拟合残差，并统计出均值和无偏方差，之后，利用这些值计算出误差系数和各位置拟合残差的协方差矩阵。最后，利用协方差矩阵和加速度值可以得到加速度计组合输出离散度。本发明首次提出惯性仪表输出离散度与各项系数离散度的内在关系，从而能够准确评定惯性仪表的输出精度。

说明书

技术领域

本发明涉及一种利用加速度计组合输出离散度进行精度评估的方法，可 用于惯性测量系统精度评定和惯性导航系统落点精度评估中。

背景技术

捷联惯性测量组合的测量误差是捷联导航系统的主要误差源之一，对系 统的导航精度有很大影响，在导航解算前必须对惯组输出的原始数据进行误 差补偿。

误差参数主要包括陀螺仪和加速度计的标度因数、零位偏差、安装误差 角以及标度因数不对称性误差等，这些参数需要在使用前进行标定，到目前 为止已经提出了许多种标定方法。因为多种误差的影响，在运用这些标定方 法后，也无法测出误差系数的精确值，而这也导致了导航误差，但是，因为 标定值是在精确值的一定范围内上下波动，所以通过计算多组标定值的统计 特性就可以估计出导航系统的导航误差。

在实际应用中，对惯性导航的估计具有重要意义，包括落点精度(CEP) 分析。但是，经常发现在地面标定的数据与真实落点精度有所偏差。所以， 为了分析输出测量值和误差参数统计特性之间的关系，需要针对惯性仪表开 展误差系数和仪表输出离散度一致性的研究。在目前的研究中，认为各误差 系数相互独立，即两个系数之间的协方差为零，而且在计算仪表输出离散度 时并不考虑拟合残差的影响，这导致了在计算输出离散度时的误差的增大。

发明内容

本发明的技术解决问题：克服现有技术的不足，提供了一种利用加速度 计组合输出离散度进行精度评估的方法，通过对加速度计在若干个位置的输 出进行多次测量和统计计算，获得了加速度计组合的输出离散度。应用本发 明计算输出离散度具有计算快捷、准确度高的优点，可以在惯性测量系统精 度评定和落点精度估计中进行应用。

本发明的技术解决方案：提供一种利用加速度计组合输出离散度进行 精度评估的方法，步骤如下：

(1)在一次通电过程中，测量加速度计组合在m个位置点经过Δt秒后 的输出脉冲个数，所述加速度计组合包括X轴加速度计、Y轴加速度计和Z轴 加速度计，X轴、Y轴和Z轴符合右手规则，X轴加速度计、Y轴加速度计和Z 轴加速度计在第i个位置点输出的脉冲个数分别为A_xi、A_yi和A_zi；其中i∈[1，m]； 所述Δt大于等于10s；

(2)对步骤(1)的每个位置点进行N组测量，分别建立X轴加速度计、 Y轴加速度计和Z轴加速度计的误差模型，利用预设的三个加速度计的标度 因数计算三个加速度计误差模型中的误差系数和拟合残差，并统计每个误差 系数和拟合残差在N组测量中的平均值和无偏方差，所述误差系数包括加速 度计零偏、标度因数相对误差、安装误差角和标度因数不对称相对误差；

(3)计算步骤(2)中得到的加速度计零偏、标度因数相对误差、安装 误差角和标度因数不对称相对误差与每个位置的拟合残差之间的协方差矩 阵；

(4)根据步骤(1)各位置中重力加速度在X轴、Y轴和Z轴方向上的分 量和步骤(3)中计算得到的协方差矩阵，计算各位置加速度计组合输出脉 冲个数的无偏方差估计值，即加速度计组合输出离散度；

(5)利用步骤(4)中计算得到的输出离散度进行待检测系统的精度评 估。

所述步骤(2)中分别建立X轴加速度计、Y轴加速度计和Z轴加速度计的误 差模型，具体为：

加速度计组合X轴误差模型为：

$\left(\begin{array}{c}{\mathrm{\Delta a}}_x=\frac{A_{\mathrm{xp}}-K_{\mathrm{ax}}{a}_x}{K_{\mathrm{ax}}}\\ =\left(\begin{array}{cccccc}1& a_x& a_y& a_z& a_x\mathrm{sign}\left(a_x\right)& 1\end{array}\right){\left(\begin{array}{cccccc}{k}_{0x}& {\mathrm{\delta k}}_{\mathrm{ax}}& k_{\mathrm{yx}}& k_{\mathrm{zx}}& \delta K_{\mathrm{ax}}& {ϵ}_x\end{array}\right)}^T\end{array}\right)$

其中，A_xp为X轴加速度计输出脉冲频率；K_ax为X轴加速度计标度因数； k_0x为X轴加速度计零偏；δk_ax为X轴加速度计标度因数相对误差；k_yx、k_zx分 别为Y轴和Z轴相对于X轴的安装误差角；δK_ax为X轴加速度计标度因数不对 称相对误差；a_x、a_y、a_z为加速度计组合X轴、Y轴和Z轴的惯性加速度分量； Δa_x为X轴加速度计测量误差；ε_x为X轴拟合残差；

加速度计组合Y轴误差模型为：

$\left(\begin{array}{c}{\mathrm{\Delta a}}_y=\frac{A_{\mathrm{yp}}-K_{\mathrm{ay}}{a}_y}{K_{\mathrm{ay}}}\\ =\left(\begin{array}{cccccc}1& a_x& a_y& a_z& a_y\mathrm{sign}\left(a_y\right)& 1\end{array}\right){\left(\begin{array}{cccccc}{k}_{0y}& k_{\mathrm{xy}}& {\mathrm{\delta k}}_{\mathrm{ay}}& k_{\mathrm{zy}}& \delta K_{\mathrm{ay}}& {ϵ}_y\end{array}\right)}^T\end{array}\right)$

其中，A_yp为Y轴加速度计输出脉冲频率；K_ay为Y轴加速度计标度因数； k_0y为Y轴加速度计零偏；δk_ay为Y轴加速度计标度因数相对误差；k_xy、k_zy分 别为X轴和Z轴相对于Y轴的安装误差角；δK_ay为Y轴加速度计标度因数不对 称相对误差；Δa_y为Y轴加速度计测量误差；ε_y为Y轴拟合残差；

加速度计组合Z轴误差模型为：

$\left(\begin{array}{c}{\mathrm{\Delta a}}_z=\frac{A_{\mathrm{zp}}-K_{\mathrm{az}}{a}_z}{K_{\mathrm{az}}}\\ =\left(\begin{array}{cccccc}1& a_x& a_y& a_z& a_z\mathrm{sign}\left(a_z\right)& 1\end{array}\right){\left(\begin{array}{cccccc}{k}_{0z}& k_{\mathrm{xz}}& k_{\mathrm{yz}}& \delta k_{\mathrm{az}}& \delta K_{\mathrm{az}}& {ϵ}_z\end{array}\right)}^T\end{array}\right)$

其中，A_zp为Z轴加速度计输出脉冲频率；K_az为Z轴加速度计标度因数； k_0z为Z轴加速度计零偏；δk_az为Z轴加速度计标度因数相对误差；k_xz、k_yz分 别为X轴和Y轴相对于Z轴的安装误差角；δK_az为Z轴加速度计标度因数不对 称相对误差；Δa_z为Z轴加速度计测量误差；ε_z为Z轴拟合残差。

所述步骤(2)中利用预先获得的三个加速度计的标度因数计算三个角速度 计误差模型中的误差系数和拟合残差，具体为：

每组测量中加速度计组合X轴误差模型中各误差系数数值的计算公式为：

[k_0x δk_ax k_yx k_zx δK_ax]^T＝(P_x^TP_x)^-1 P_x^TY_x

其中，X轴系统矩阵P_x为

$P_x=\left(\begin{array}{ccccc}1& a_{x1}& a_{y1}& a_{z1}& a_{x1}\mathrm{sign}\left(a_{x1}\right)\\ 1& a_{x2}& a_{y2}& a_{z2}& a_{x2}\mathrm{sign}\left(a_{x2}\right)\\ ·& ·& ·& ·& ·\\ ·& ·& ·& ·& ·\\ ·& ·& ·& ·& ·\\ 1& a_{\mathrm{xm}}& a_{\mathrm{ym}}& a_{\mathrm{zm}}& a_{\mathrm{xm}}\mathrm{sign}\left(a_{\mathrm{xm}}\right)\end{array}\right)$

a_xi、a_yi、a_zi分别为第i个位置重力加速度在加速度计组合X轴、Y轴、Z 轴的分量；加速度计组合在m个位置的X轴测量输出误差Y_x为

Y_x＝[Δa_x1 Δa_x2 … Δa_xm]^Ｔ

Δa_xi为在第i个位置的X轴输出误差，

第i个位置的X轴拟合残差为

ε_xi＝Δa_xi-[1 a_xi a_yi a_zi a_xisign(a_xi)][k_0x δk_ax k_yx k_zx δK_ax]^Ｔ

每组测量中加速度计组合Y轴误差模型中各误差系数数值的计算公式为：

[k_0y k_xy δk_ay k_zy δK_ay]^Ｔ＝(P_y^TP_y)^-1P_y^ＴY_y

其中，Y轴系统矩阵P_y为

$P_y=\left(\begin{array}{ccccc}1& a_{x1}& a_{y1}& a_{z1}& a_{y1}\mathrm{sign}\left(a_{y1}\right)\\ 1& a_{x2}& a_{y2}& a_{z2}& a_{y2}\mathrm{sign}\left(a_{y2}\right)\\ ·& ·& ·& ·& ·\\ ·& ·& ·& ·& ·\\ ·& ·& ·& ·& ·\\ 1& a_{\mathrm{xm}}& a_{\mathrm{ym}}& a_{\mathrm{zm}}& a_{\mathrm{ym}}\mathrm{sign}\left(a_{\mathrm{ym}}\right)\end{array}\right)$

加速度计组合在m个位置的Y轴测量输出误差Y_y为

Y_y＝[Δa_y1 Δa_y2 … Δa_ym]^Ｔ

Δa_yi为在第i个位置的Y轴输出误差，

第i个位置的Y轴拟合残差为

ε_yi＝Δa_yi-[１ a_xi a_yi a_zi a_yisign(a_yi)][k_0y k_xy δk_ay k_zy δK_ay]^T

每组测量中加速度计组合Z轴误差模型中各误差系数数值的计算公式为：

[k_0z k_xz k_yz δk_az δK_az]^Ｔ＝(P_z^ＴP_z)^-1P_z^ＴY_z

其中，Z轴系统矩阵P_z为

$P_z=\left(\begin{array}{ccccc}1& a_{x1}& a_{y1}& a_{z1}& a_{z1}\mathrm{sign}\left(a_{z1}\right)\\ 1& a_{x2}& a_{y2}& a_{z2}& a_{z2}\mathrm{sign}\left(a_{z2}\right)\\ ·& ·& ·& ·& ·\\ ·& ·& ·& ·& ·\\ ·& ·& ·& ·& ·\\ 1& a_{\mathrm{xm}}& a_{\mathrm{ym}}& a_{\mathrm{zm}}& a_{\mathrm{zm}}\mathrm{sign}\left(a_{\mathrm{zm}}\right)\end{array}\right)$

加速度计组合在m个位置的Z轴测量输出误差Y_z为

Y_z＝[Δa_z1 Δa_z2 …Δa_zm]^Ｔ

Δa_zi为在第i个位置的Z轴输出误差，

第i个位置的Z轴拟合残差为

ε_zi＝Δa_zi-[1 a_xi a_yi a_zi a_zisign(a_zi)][k_0z k_xz k_yz δk_azδK_az]^Ｔ。

所述步骤(2)中统计每个误差系数和拟合残差在N组测量中的平均值和无 偏方差，具体为：

N组测量后X轴各误差系数的平均值为

${\left(\begin{array}{ccccc}{\bar{k}}_{0x}& \delta {\bar{k}}_{\mathrm{ax}}& {\bar{k}}_{\mathrm{yx}}& {\bar{k}}_{\mathrm{zx}}& \delta {\bar{K}}_{\mathrm{ax}}\end{array}\right)}^T=\frac{1}{N}{\left(\begin{array}{ccccc}\underset{j=1}{\overset{N}{\Sigma }}{k}_{0\mathrm{xj}}& \underset{j=1}{\overset{N}{\Sigma }}\delta k_{\mathrm{axj}}& \underset{j=1}{\overset{N}{\Sigma }}{k}_{\mathrm{yxj}}& \underset{j=1}{\overset{N}{\Sigma }}{k}_{\mathrm{zxj}}& \underset{j=1}{\overset{N}{\Sigma }}\delta K_{\mathrm{axj}}\end{array}\right)}^T$

其中，k_0xj、δk_axj、k_yxj、k_zxj、δK_axj分别为第j组测量后计算得到的k_0x、δk_ax、 k_yx、k_zx、δK_ax数值；

X轴各误差系数的无偏方差为

$\left(\begin{array}{c}{\left(\begin{array}{ccccc}{\sigma }^2\left(k_{0x}\right)& {\sigma }^2\left(\delta k_{\mathrm{ax}}\right)& {\sigma }^2\left(k_{\mathrm{yx}}\right)& {\sigma }^2\left(k_{\mathrm{zx}}\right)& {\sigma }^2\left(\delta K_{\mathrm{ax}}\right)\end{array}\right)}^T\\ =\frac{1}{N-1}{\left(\begin{array}{ccccc}\underset{j=1}{\overset{N}{\Sigma }}{(k_{0\mathrm{xj}}-{\bar{k}}_{0x})}^2& \underset{j=1}{\overset{N}{\Sigma }}{(\delta k_{\mathrm{axj}}-\delta {\bar{k}}_{\mathrm{ax}})}^2& \underset{j=1}{\overset{N}{\Sigma }}{(k_{\mathrm{yxj}}-{\bar{k}}_{\mathrm{yx}})}^2& \underset{j=1}{\overset{N}{\Sigma }}{(k_{\mathrm{zxj}}-{\bar{k}}_{\mathrm{zx}})}^2& \underset{j=1}{\overset{N}{\Sigma }}{(\delta K_{\mathrm{axj}}-\delta {\bar{K}}_{\mathrm{ax}})}^2\end{array}\right)}^T\end{array}\right)$

X轴第i个位置拟合残差的平均值为

${\overline{ϵ}}_{\mathrm{xi}}=\frac{1}{N}\underset{j=1}{\overset{N}{\Sigma }}{ϵ}_{\mathrm{xij}}$

其中，ε_xij为第j组测量中第i个位置的拟合残差；

X轴第i个位置拟合残差的无偏方差为

${\sigma }^2\left({ϵ}_{\mathrm{xi}}\right)=\frac{1}{N-1}\underset{j=1}{\overset{N}{\Sigma }}{({ϵ}_{\mathrm{xij}}-{\overline{ϵ}}_{\mathrm{xi}})}^2$

N组测量后Y轴各误差系数的平均值为

${\left(\begin{array}{ccccc}{\bar{k}}_{0y}& {\bar{k}}_{\mathrm{xy}}& {\delta \bar{k}}_{\mathrm{ay}}& {\bar{k}}_{\mathrm{zy}}& \delta {\bar{K}}_{\mathrm{ay}}\end{array}\right)}^T=\frac{1}{N}{\left(\begin{array}{ccccc}\underset{j=1}{\overset{N}{\Sigma }}{k}_{0\mathrm{yj}}& \underset{j=1}{\overset{N}{\Sigma }}{k}_{\mathrm{xyj}}& \underset{j=1}{\overset{N}{\Sigma }}{\mathrm{\delta k}}_{\mathrm{ayj}}& \underset{j=1}{\overset{N}{\Sigma }}{k}_{\mathrm{zyj}}& \underset{j=1}{\overset{N}{\Sigma }}\delta K_{\mathrm{ayj}}\end{array}\right)}^T$

其中，k_0yj、k_xyj、δk_ayj、k_zyj、δK_ayj分别为第j组测量后计算得到的k_0y、k_xy、 δk_ay、k_zy、δK_ay数值；

Y轴各误差系数的无偏方差为

$\left(\begin{array}{c}{\left(\begin{array}{ccccc}{\sigma }^2\left(k_{0y}\right)& {\sigma }^2\left(k_{\mathrm{xy}}\right)& {\sigma }^2\left(\delta k_{\mathrm{ay}}\right)& {\sigma }^2\left(k_{\mathrm{zy}}\right)& {\sigma }^2\left(\delta K_{\mathrm{ay}}\right)\end{array}\right)}^T\\ =\frac{1}{N-1}{\left(\begin{array}{ccccc}\underset{j=1}{\overset{N}{\Sigma }}{(k_{0\mathrm{yj}}-{\bar{k}}_{0y})}^2& \underset{j=1}{\overset{N}{\Sigma }}{(k_{\mathrm{xyj}}-{\bar{k}}_{\mathrm{xy}})}^2& \underset{j=1}{\overset{N}{\Sigma }}{(\delta k_{\mathrm{ayj}}-{\delta \bar{k}}_{\mathrm{ay}})}^2& \underset{j=1}{\overset{N}{\Sigma }}{(k_{\mathrm{zyj}}-{\bar{k}}_{\mathrm{zy}})}^2& \underset{j=1}{\overset{N}{\Sigma }}{(\delta K_{\mathrm{ayj}}-\delta {\bar{K}}_{\mathrm{ay}})}^2\end{array}\right)}^T\end{array}\right)$

Y轴第i个位置拟合残差的平均值为

${\overline{ϵ}}_{\mathrm{yi}}=\frac{1}{N}\underset{j=1}{\overset{N}{\Sigma }}{ϵ}_{\mathrm{yij}}$

其中，ε_yij为第j组测量中第i个位置的拟合残差；

Y轴第i个位置拟合残差的无偏方差为

${\sigma }^2\left({ϵ}_{\mathrm{yi}}\right)=\frac{1}{N-1}\underset{j=1}{\overset{N}{\Sigma }}{({ϵ}_{\mathrm{yij}}-{\overline{ϵ}}_{\mathrm{yi}})}^2$

Z轴各误差系数的平均值为

${\left(\begin{array}{ccccc}{\bar{k}}_{0z}& {\bar{k}}_{\mathrm{xz}}& {\bar{k}}_{\mathrm{yz}}& \delta {\bar{k}}_{\mathrm{az}}& \delta {\bar{K}}_{\mathrm{az}}\end{array}\right)}^T=\frac{1}{N}{\left(\begin{array}{ccccc}\underset{j=1}{\overset{N}{\Sigma }}{k}_{0\mathrm{zj}}& \underset{j=1}{\overset{N}{\Sigma }}{k}_{\mathrm{xzj}}& \underset{j=1}{\overset{N}{\Sigma }}{k}_{\mathrm{yzj}}& \underset{j=1}{\overset{N}{\Sigma }}\delta k_{\mathrm{azj}}& \underset{j=1}{\overset{N}{\Sigma }}\delta K_{\mathrm{azj}}\end{array}\right)}^T$

其中，k_0zj、k_xzj、k_yzj、δk_azj、δK_azj分别为第j组测量后计算得到的k_0z、k_xz、 k_yz、δk_az、δK_az数值；

Z轴各误差系数的无偏方差为

$\left(\begin{array}{c}{\left(\begin{array}{ccccc}{\sigma }^2\left(k_{0z}\right)& {\sigma }^2\left(k_{\mathrm{xz}}\right)& {\sigma }^2\left(k_{\mathrm{yz}}\right)& {\sigma }^2\left(\delta k_{\mathrm{az}}\right)& {\sigma }^2\left(\delta K_{\mathrm{az}}\right)\end{array}\right)}^T\\ =\frac{1}{N-1}{\left(\begin{array}{ccccc}\underset{j=1}{\overset{N}{\Sigma }}{(k_{0\mathrm{zj}}-{\bar{k}}_{0z})}^2& \underset{j=1}{\overset{N}{\Sigma }}{(k_{\mathrm{xzj}}-{\bar{k}}_{\mathrm{xz}})}^2& \underset{j=1}{\overset{N}{\Sigma }}{(k_{\mathrm{yzj}}-{\bar{k}}_{\mathrm{yz}})}^2& \underset{j=1}{\overset{N}{\Sigma }}{(\delta k_{\mathrm{azj}}-\delta {\bar{k}}_{\mathrm{az}})}^2& \underset{j=1}{\overset{N}{\Sigma }}{(\delta K_{\mathrm{azj}}-\delta {\bar{K}}_{\mathrm{az}})}^2\end{array}\right)}^T\end{array}\right)$

Z轴第i个位置拟合残差的平均值为

${\overline{ϵ}}_{\mathrm{zi}}=\frac{1}{N}\underset{j=1}{\overset{N}{\Sigma }}{ϵ}_{\mathrm{zij}}$

其中，ε_zij为第j组测量中第i个位置的拟合残差；

Z轴第i个位置拟合残差的无偏方差为

${\sigma }^2\left({ϵ}_{\mathrm{zi}}\right)=\frac{1}{N-1}\underset{j=1}{\overset{N}{\Sigma }}{({ϵ}_{\mathrm{zij}}-{\overline{ϵ}}_{\mathrm{zi}})}^2$

所述步骤(3)中计算步骤(2)中得到的加速度计零偏、标度因数相对误 差、安装误差角和标度因数不对称相对误差和每个位置的拟合残差之间的协方 差矩阵；具体为：

X轴第i个位置的协方差矩阵为

${\Sigma }_{\mathrm{xi}}=\left(\begin{array}{cccccc}{\sigma }^2\left(k_{0x}\right)& {\sigma }^2(\delta k_{\mathrm{ax}},k_{0x})& {\sigma }^2(k_{\mathrm{yx}},k_{0x})& {\sigma }^2(k_{\mathrm{zx}},k_{0x})& {\sigma }^2(\delta K_{\mathrm{ax}},k_{0x})& {\sigma }^2({ϵ}_{\mathrm{xi}},k_{0x})\\ {\sigma }^2(k_{0x},\delta k_{\mathrm{ax}})& {\sigma }^2\left(\delta k_{\mathrm{ax}}\right)& {\sigma }^2(k_{\mathrm{yx}},\delta k_{\mathrm{ax}})& {\sigma }^2(k_{\mathrm{zx}},\delta k_{\mathrm{ax}})& {\sigma }^2(\delta K_{\mathrm{ax}},\delta k_{\mathrm{ax}})& {\sigma }^2({ϵ}_{\mathrm{xi}},\delta k_{\mathrm{ax}})\\ {\sigma }^2(k_{0x},k_{\mathrm{yx}})& {\sigma }^2(\delta k_{\mathrm{ax}},k_{\mathrm{yx}})& {\sigma }^2\left(k_{\mathrm{yx}}\right)& {\sigma }^2(k_{\mathrm{zx}},k_{\mathrm{yx}})& {\sigma }^2(\delta K_{\mathrm{ax}},k_{\mathrm{yx}})& {\sigma }^2({ϵ}_{\mathrm{xi}},k_{\mathrm{yx}})\\ {\sigma }^2(k_{0x},k_{\mathrm{zx}})& {\sigma }^2(\delta k_{\mathrm{ax}},k_{\mathrm{zx}})& {\sigma }^2(k_{\mathrm{yx}},k_{\mathrm{zx}})& {\sigma }^2\left(k_{\mathrm{zx}}\right)& {\sigma }^2(\delta K_{\mathrm{ax}},k_{\mathrm{zx}})& {\sigma }^2({ϵ}_{\mathrm{xi}},k_{\mathrm{zx}})\\ {\sigma }^2(k_{0x},\delta K_{\mathrm{ax}})& {\sigma }^2(\delta k_{\mathrm{ax}},\delta K_{\mathrm{ax}})& {\sigma }^2(k_{\mathrm{yx}},\delta K_{\mathrm{ax}})& {\sigma }^2(k_{\mathrm{zx}},\delta K_{\mathrm{ax}})& {\sigma }^2\left(\delta K_{\mathrm{ax}}\right)& {\sigma }^2({ϵ}_{\mathrm{xi}},\delta K_{\mathrm{ax}})\\ {\sigma }^2(k_{0x},{ϵ}_{\mathrm{xi}})& {\sigma }^2(\delta k_{\mathrm{ax}},{ϵ}_{\mathrm{xi}})& {\sigma }^2(k_{\mathrm{yx}},{ϵ}_{\mathrm{xi}})& {\sigma }^2(k_{\mathrm{zx}},{ϵ}_{\mathrm{xi}})& {\sigma }^2(\delta K_{\mathrm{ax}},{ϵ}_{\mathrm{xi}})& {\sigma }^2\left({ϵ}_{\mathrm{xi}}\right)\end{array}\right)$

协方差计算公式为：

${\sigma }^2(P,Q)=\frac{1}{N-1}\underset{j=1}{\overset{N}{\Sigma }}(P_j-\bar{P})(Q_j-\bar{Q})$

其中，P，Q为协方差矩阵涉及到的变量中的任意两个，为变量P和 Q对应的均值，P_j，Q_j分别为第j组测量中变量P和Q的估计值；

Y轴第i个位置的协方差矩阵为

${\Sigma }_{\mathrm{yi}}=\left(\begin{array}{cccccc}{\sigma }^2\left(k_{0y}\right)& {\sigma }^2(k_{\mathrm{xy}},k_{0y})& {\sigma }^2({\mathrm{\delta k}}_{\mathrm{ay}},k_{0y})& {\sigma }^2(k_{\mathrm{zy}},k_{0y})& {\sigma }^2(\delta K_{\mathrm{ay}},k_{0y})& {\sigma }^2({ϵ}_{\mathrm{yi}},k_{0y})\\ {\sigma }^2(k_{0y},k_{\mathrm{xy}})& {\sigma }^2\left(k_{\mathrm{xy}}\right)& {\sigma }^2({\mathrm{\delta k}}_{\mathrm{ay}},k_{\mathrm{xy}})& {\sigma }^2(k_{\mathrm{zy}},k_{\mathrm{xy}})& {\sigma }^2(\delta K_{\mathrm{ay}},k_{\mathrm{xy}})& {\sigma }^2({ϵ}_{\mathrm{yi}},k_{\mathrm{xy}})\\ {\sigma }^2(k_{0y},{\mathrm{\delta k}}_{\mathrm{ay}})& {\sigma }^2(k_{\mathrm{xy}},{\mathrm{\delta k}}_{\mathrm{ay}})& {\sigma }^2\left({\mathrm{\delta k}}_{\mathrm{ay}}\right)& {\sigma }^2(k_{\mathrm{zy}},{\mathrm{\delta k}}_{\mathrm{ay}})& {\sigma }^2(\delta K_{\mathrm{ay}},{\mathrm{\delta k}}_{\mathrm{ay}})& {\sigma }^2({ϵ}_{\mathrm{yi}},{\mathrm{\delta k}}_{\mathrm{ay}})\\ {\sigma }^2(k_{0y},k_{\mathrm{zy}})& {\sigma }^2(k_{\mathrm{xy}},k_{\mathrm{zy}})& {\sigma }^2({\mathrm{\delta k}}_{\mathrm{ay}},k_{\mathrm{zy}})& {\sigma }^2\left(k_{\mathrm{zy}}\right)& {\sigma }^2(\delta K_{\mathrm{ay}},k_{\mathrm{zy}})& {\sigma }^2({ϵ}_{\mathrm{yi}},k_{\mathrm{zy}})\\ {\sigma }^2(k_{0y},\delta K_{\mathrm{ay}})& {\sigma }^2(k_{\mathrm{xy}},\delta K_{\mathrm{ay}})& {\sigma }^2({\mathrm{\delta k}}_{\mathrm{ay}},\delta K_{\mathrm{ay}})& {\sigma }^2(k_{\mathrm{zy}},\delta K_{\mathrm{ay}})& {\sigma }^2\left(\delta K_{\mathrm{ay}}\right)& {\sigma }^2({ϵ}_{\mathrm{yi}},\delta K_{\mathrm{ay}})\\ {\sigma }^2(k_{0y},{ϵ}_{\mathrm{yi}})& {\sigma }^2(k_{\mathrm{xy}},{ϵ}_{\mathrm{yi}})& {\sigma }^2({\mathrm{\delta k}}_{\mathrm{ay}},{ϵ}_{\mathrm{yi}})& {\sigma }^2(k_{\mathrm{zy}},{ϵ}_{\mathrm{yi}})& {\sigma }^2(\delta K_{\mathrm{ay}},{ϵ}_{\mathrm{yi}})& {\sigma }^2\left({ϵ}_{\mathrm{yi}}\right)\end{array}\right)$

Z轴第i个位置的协方差矩阵为

${\Sigma }_{\mathrm{zi}}=\left(\begin{array}{cccccc}{\sigma }^2\left(k_{0z}\right)& {\sigma }^2(k_{\mathrm{xz}},k_{0z})& {\sigma }^2(k_{\mathrm{yz}},k_{0z})& {\sigma }^2({\mathrm{\delta k}}_{\mathrm{az}},k_{0z})& {\sigma }^2(\delta K_{\mathrm{az}},k_{0z})& {\sigma }^2({ϵ}_{\mathrm{zi}},k_{0z})\\ {\sigma }^2(k_{0z},k_{\mathrm{xz}})& {\sigma }^2\left(k_{\mathrm{xz}}\right)& {\sigma }^2(k_{\mathrm{yz}},k_{\mathrm{xz}})& {\sigma }^2({\mathrm{\delta k}}_{\mathrm{az}},k_{\mathrm{xz}})& {\sigma }^2(\delta K_{\mathrm{az}},k_{\mathrm{xz}})& {\sigma }^2({ϵ}_{\mathrm{zi}},k_{\mathrm{xz}})\\ {\sigma }^2(k_{0z},k_{\mathrm{yz}})& {\sigma }^2(k_{\mathrm{xz}},k_{\mathrm{yz}})& {\sigma }^2\left(k_{\mathrm{yz}}\right)& {\sigma }^2({\mathrm{\delta k}}_{\mathrm{az}},k_{\mathrm{yz}})& {\sigma }^2(\delta K_{\mathrm{az}},k_{\mathrm{yz}})& {\sigma }^2({ϵ}_{\mathrm{zi}},k_{\mathrm{yz}})\\ {\sigma }^2(k_{0z},{\mathrm{\delta k}}_{\mathrm{az}})& {\sigma }^2(k_{\mathrm{xz}},{\mathrm{\delta k}}_{\mathrm{az}})& {\sigma }^2(k_{\mathrm{yz}},{\mathrm{\delta k}}_{\mathrm{az}})& {\sigma }^2\left({\mathrm{\delta k}}_{\mathrm{az}}\right)& {\sigma }^2(\delta K_{\mathrm{az}},{\mathrm{\delta k}}_{\mathrm{az}})& {\sigma }^2({ϵ}_{\mathrm{zi}},{\mathrm{\delta k}}_{\mathrm{az}})\\ {\sigma }^2(k_{0z},\delta K_{\mathrm{az}})& {\sigma }^2(k_{\mathrm{xz}},\delta K_{\mathrm{az}})& {\sigma }^2(k_{\mathrm{yz}},\delta K_{\mathrm{az}})& {\sigma }^2({\mathrm{\delta k}}_{\mathrm{az}},\delta K_{\mathrm{az}})& {\sigma }^2\left(\delta K_{\mathrm{az}}\right)& {\sigma }^2({ϵ}_{\mathrm{zi}},\delta K_{\mathrm{az}})\\ {\sigma }^2(k_{0z},{ϵ}_{\mathrm{zi}})& {\sigma }^2(k_{\mathrm{xz}},{ϵ}_{\mathrm{zi}})& {\sigma }^2(k_{\mathrm{yz}},{ϵ}_{\mathrm{zi}})& {\sigma }^2({\mathrm{\delta k}}_{\mathrm{az}},{ϵ}_{\mathrm{zi}})& {\sigma }^2(\delta K_{\mathrm{az}},{ϵ}_{\mathrm{zi}})& {\sigma }^2\left({ϵ}_{\mathrm{zi}}\right)\end{array}\right)$

所述步骤(4)中根据步骤(1)各位置中重力加速度在X轴、Y轴和Z轴方 向上的分量和步骤(3)中计算得到的协方差矩阵，计算各位置加速度计组合输 出脉冲个数的无偏方差估计值，具体为：

加速度计X轴加速度计在第i个位置的输出量离散度无偏方差估计值为

σ²(A_xi)＝K_ax²σ²(Δa_xi)

其中，σ²(Δa_xi)＝B_xi∑_xiB_xi^T，且B_xi＝[1 a_xi a_yi a_zi a_xisign(a_xi) 1]；

加速度计Y轴加速度计在第i个位置的输出量离散度无偏方差估计值为

σ²(A_yi)＝K_ay²σ²(Δa_yi)

其中，σ²(Δa_yi)＝B_yi∑_yiB_yi^T，且B_yi＝[1 a_xi a_yi a_zi a_yisign(a_yi) 1]；

加速度计Z轴加速度计在第i个位置的输出量离散度无偏方差估计值为

σ²(A_zi)＝K_az²σ²(Δa_zi)

其中，σ²(Δa_zi)＝B_zi∑_ziB_zi^T，且B_i＝[1 a_xi a_yi a_zi a_zisign(a_zi) 1]

本发明与现有技术相比的有益效果是：

(1)本发明中首次对惯性仪表各项误差之间的协方差进行了统计分析， 并增加了拟合残差与各项误差之间的相关性分析，在考虑这两点后计算出来 的加速度计组合输出离散度的精度具有极大提高；

(2)本发明中的计算方法建立了惯性仪表输出离散度无偏估计方差与各 项误差系数离散度无偏估计方差之间的精确关系，可以在实际应用中精确评 定惯性仪表的精度。

附图说明

图1为本发明流程图。

具体实施方式

一种利用加速度计组合输出离散度进行精度评估的方法，计算步骤如附 图1所示，其特征在于步骤如下：

(1)一次通电过程中，测量加速度计组合在m个位置点经过Δt秒后的 输出脉冲个数，所述加速度计组合包括X轴加速度计、Y轴加速度计和Z轴加 速度计，X轴、Y轴和Z轴符合右手规则，X轴加速度计、Y轴加速度计和Z轴 加速度计在第i个位置点输出的脉冲个数分别为A_xi、A_yi和A_zi；其中i∈[1，m]； 所述Δt大于等于10s；

(2)对所有的m个位置点进行N组测量，每组测量后，分别建立X轴加 速度计、Y轴加速度计和Z轴加速度计误差模型，在预先知道三个方向加速 度计的标度因数条件下计算X轴加速度计、Y轴加速度计和Z轴加速度计误差 模型中的误差系数和拟合残差，并统计每个误差系数和拟合残差在N组测量 中的平均值和无偏方差，所述误差系数包括加速度计零偏、标度因数相对误 差、安装误差角和标度因数不对称相对误差；

加速度计组合X轴误差模型为：

$\left(\begin{array}{c}{\mathrm{\Delta a}}_x=\frac{A_{\mathrm{xp}}-K_{\mathrm{ax}}{a}_x}{K_{\mathrm{ax}}}\\ =\left(\begin{array}{cccccc}1& a_x& a_y& a_z& a_x\mathrm{sign}\left(a_x\right)& 1\end{array}\right){\left(\begin{array}{cccccc}{k}_{0x}& {\mathrm{\delta k}}_{\mathrm{ax}}& k_{\mathrm{yx}}& k_{\mathrm{zx}}& {\mathrm{\delta K}}_{\mathrm{ax}}& {ϵ}_x\end{array}\right)}^T\end{array}\right)$

其中，A_xp为X轴加速度计输出脉冲频率；K_ax为X轴加速度计标度因数； k_0x为X轴加速度计零偏；δk_ax为X轴加速度计标度因数相对误差；k_yx、k_zx分 别为Y轴和Z轴相对于X轴的安装误差角；δK_ax为X轴加速度计标度因数不对 称相对误差；a_x、a_y、a_z为加速度计组合X、Y、Z轴敏感到的惯性加速度分 量；Δa_x为X轴加速度计测量误差；ε_x为X轴拟合残差。

加速度计组合Y轴误差模型为：

$\left(\begin{array}{c}\Delta a_y=\frac{A_{\mathrm{yp}}-K_{\mathrm{ay}}{a}_y}{K_{\mathrm{ay}}}\\ =\left(\begin{array}{cccccc}1& a_x& a_y& a_z& a_y\mathrm{sign}\left(a_y\right)& 1\end{array}\right){\left(\begin{array}{cccccc}{k}_{0y}& k_{\mathrm{xy}}& {\mathrm{\delta k}}_{\mathrm{ay}}& k_{\mathrm{zy}}& \delta K_{\mathrm{ay}}& {ϵ}_y\end{array}\right)}^T\end{array}\right)$

其中，A_yp为Y轴加速度计输出脉冲频率；K_ay为Y轴加速度计标度因数； k_0y为Y轴加速度计零偏；δk_ay为Y轴加速度计标度因数相对误差；k_xy、k_zy分 别为X轴和Z轴相对于Y轴的安装误差角；δK_ay为Y轴加速度计标度因数不对 称相对误差；Δa_y为Y轴加速度计测量误差；ε_y为Y轴拟合残差。

加速度计组合Z轴误差模型为：

$\left(\begin{array}{c}{\mathrm{\Delta a}}_z=\frac{A_{\mathrm{zp}}-K_{\mathrm{az}}{a}_z}{K_{\mathrm{az}}}\\ {=\left(\begin{array}{cccccc}1& a_x& a_y& a_z& a_z\mathrm{sign}\left(a_z\right)& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccccc}{k}_{0z}& k_{\mathrm{xz}}& k_{\mathrm{yz}}& {\mathrm{\delta k}}_{\mathrm{az}}& {\mathrm{\delta K}}_{\mathrm{az}}& {ϵ}_z\end{array}\right)}^T\end{array}\right)$

其中，A_zp为Z轴加速度计输出脉冲频率；K_az为Z轴加速度计标度因数； k_0z为Z轴加速度计零偏；δk_az为Z轴加速度计标度因数相对误差；k_xz、k_yz分 别为X轴和Y轴相对于Z轴的安装误差角；δK_az为Z轴加速度计标度因数不对 称相对误差；Δa_z为Z轴加速度计测量误差；ε_z为Z轴拟合残差。

每组测量中加速度计组合X轴误差模型中各误差系数数值的计算公式为：

[k_0x δk_ax k_yx k_zx δK_ax]^T＝(P_x^TP_x)^-1P_x^TY_x

其中，X轴系统矩阵P_x为

$P_x=\left(\begin{array}{ccccc}1& a_{x1}& a_{y1}& a_{z1}& a_{x1}\mathrm{sign}\left(a_{x1}\right)\\ 1& a_{x2}& a_{y2}& a_{z2}& a_{x2}\mathrm{sign}\left(a_{x2}\right)\\ ·& ·& ·& ·& ·\\ ·& ·& ·& ·& ·\\ ·& ·& ·& ·& ·\\ 1& a_{\mathrm{xm}}& a_{\mathrm{ym}}& a_{\mathrm{zm}}& a_{\mathrm{xm}}\mathrm{sign}\left(a_{\mathrm{xm}}\right)\end{array}\right)$

a_xi、a_yi、a_zi分别为第i个位置重力加速度在加速度计组合X、Y、Z轴的 分量；加速度计组合在m个位置的X轴测量输出误差Y_x为

Y_x＝[Δa_x1 Δa_x2 … Δa_xm]^T

Δa_xi为在第i个位置的X轴输出误差，

第i个位置的X轴拟合残差为

ε_xi＝Δa_xi-[1 a_xi a_yi a_zi a_xisign(a_xi)][k_0x δk_ax k_yx k_zx δK_ax]^T

每组测量中加速度计组合Y轴误差模型中各误差系数数值的计算公式为：

[k_0y k_xy δk_ay k_zy δK_ay]^T＝(P_y^TP_y)^-1P_y^TY_y

其中，Y轴系统矩阵P_y为

$P_y=\left(\begin{array}{ccccc}1& a_{x1}& a_{y1}& a_{z1}& a_{y1}\mathrm{sign}\left(a_{y1}\right)\\ 1& a_{x2}& a_{y2}& a_{z2}& a_{y2}\mathrm{sign}\left(a_{y2}\right)\\ ·& ·& ·& ·& ·\\ ·& ·& ·& ·& ·\\ ·& ·& ·& ·& ·\\ 1& a_{\mathrm{xm}}& a_{\mathrm{ym}}& a_{\mathrm{zm}}& a_{\mathrm{ym}}\mathrm{sign}\left(a_{\mathrm{ym}}\right)\end{array}\right)$

加速度计组合在m个位置的Y轴测量输出误差Y_y为

Y_y＝[Δa_y1 Δa_y2 … Δa_ym]^T

Δa_yi为在第i个位置的Y轴输出误差，

第i个位置的Y轴拟合残差为

ε_yi＝Δa_yi-[1 a_xi a_yi a_zi a_yisign(a_yi)][k_0y k_xy δk_ay k_zy δK_ay]^T

每组测量中加速度计组合Z轴误差模型中各误差系数数值的计算公式为：

[k_0z k_xz k_yz δk_az δK_az]^T＝(P_z^TP_z)^-1P_z^TY_z

其中，Z轴系统矩阵P_z为

$P_z=\left(\begin{array}{ccccc}1& a_{x1}& a_{y1}& a_{z1}& a_{z1}\mathrm{sign}\left(a_{z1}\right)\\ 1& a_{x2}& a_{y2}& a_{z2}& a_{z2}\mathrm{sign}\left(a_{z2}\right)\\ ·& ·& ·& ·& ·\\ ·& ·& ·& ·& ·\\ ·& ·& ·& ·& ·\\ 1& a_{\mathrm{xm}}& a_{\mathrm{ym}}& a_{\mathrm{zm}}& a_{\mathrm{zm}}\mathrm{sign}\left(a_{\mathrm{zm}}\right)\end{array}\right)$

加速度计组合在m个位置的Z轴测量输出误差Y_z为

Y_z＝[Δa_z1 Δa_z2 … Δa_am]^T

Δa_zi为在第i个位置的Z轴输出误差，

第i个位置的Z轴拟合残差为

ε_zi＝Δa_zi-[1 a_xi a_yi a_zi a_zisign(a_zi)][k_0z k_xz k_yz δk_az δK_az]^T

N组测量后X轴各误差系数的平均值为

${\left(\begin{array}{ccccc}{\bar{k}}_{0x}& \delta {\bar{k}}_{\mathrm{ax}}& {\bar{k}}_{\mathrm{yx}}& {\bar{k}}_{\mathrm{zx}}& \delta {\bar{K}}_{\mathrm{ax}}\end{array}\right)}^T=\frac{1}{N}{\left(\begin{array}{ccccc}\underset{j=1}{\overset{N}{\Sigma }}{k}_{0\mathrm{xj}}& \underset{j=1}{\overset{N}{\Sigma }}{\mathrm{\delta k}}_{\mathrm{axj}}& \underset{j=1}{\overset{N}{\Sigma }}{k}_{\mathrm{yxj}}& \underset{j=1}{\overset{N}{\Sigma }}{k}_{\mathrm{zxj}}& \underset{j=1}{\overset{N}{\Sigma }}{\mathrm{\delta K}}_{\mathrm{axj}}\end{array}\right)}^T$

其中，k_0xj、δk_axj、k_yxj、k_zxj、δK_axj分别为第j组测量后计算得到的k_0x、δk_ax、 k_yx、k_zx、δK_ax数值。

X轴各误差系数的无偏方差为

$\left(\begin{array}{c}{\left(\begin{array}{ccccc}{\sigma }^2\left(k_{0x}\right)& {\sigma }^2\left({\mathrm{\delta k}}_{\mathrm{ax}}\right)& {\sigma }^2\left(k_{\mathrm{yx}}\right)& {\sigma }^2\left(k_{\mathrm{zx}}\right)& {\sigma }^2\left({\mathrm{\delta K}}_{\mathrm{ax}}\right)\end{array}\right)}^T\\ =\frac{1}{N-1}{\left(\begin{array}{ccccc}\underset{j=1}{\overset{N}{\Sigma }}{(k_{0\mathrm{xj}}-{\bar{k}}_{0x})}^2& \underset{j=1}{\overset{N}{\Sigma }}{({\mathrm{\delta k}}_{\mathrm{axj}}-\delta {\bar{k}}_{\mathrm{ax}})}^2& \underset{j=1}{\overset{N}{\Sigma }}{(k_{\mathrm{yxj}}-{\bar{k}}_{\mathrm{yx}})}^2& \underset{j=1}{\overset{N}{\Sigma }}{(k_{\mathrm{zxj}}-{\bar{k}}_{\mathrm{zx}})}^2& \underset{j=1}{\overset{N}{\Sigma }}{({\mathrm{\delta K}}_{\mathrm{axj}}-\delta {\bar{K}}_{\mathrm{ax}})}^2\end{array}\right)}^T\end{array}\right)$

X轴第i个位置拟合残差的平均值为

${\overline{ϵ}}_{\mathrm{xi}}=\frac{1}{N}\underset{j=1}{\overset{N}{\Sigma }}{ϵ}_{\mathrm{xij}}$

其中，ε_xij为第j组测量中第i个位置的拟合残差。

X轴第i个位置拟合残差的无偏方差为

${\sigma }^2\left({ϵ}_{\mathrm{xi}}\right)=\frac{1}{N-1}\underset{j=1}{\overset{N}{\Sigma }}{({ϵ}_{\mathrm{xij}}-{\overline{ϵ}}_{\mathrm{xi}})}^2$

N组测量后Y轴各误差系数的平均值为

${\left(\begin{array}{ccccc}{\bar{k}}_{0y}& {\bar{k}}_{\mathrm{xy}}& \delta {\bar{k}}_{\mathrm{ay}}& {\bar{k}}_{\mathrm{zy}}& \delta {\bar{K}}_{\mathrm{ay}}\end{array}\right)}^T=\frac{1}{N}{\left(\begin{array}{ccccc}\underset{j=1}{\overset{N}{\Sigma }}{k}_{0\mathrm{yj}}& \underset{j=1}{\overset{N}{\Sigma }}{k}_{\mathrm{xyj}}& \underset{j=1}{\overset{N}{\Sigma }}{\mathrm{\delta k}}_{\mathrm{ayj}}& \underset{j=1}{\overset{N}{\Sigma }}{k}_{\mathrm{zyj}}& \underset{j=1}{\overset{N}{\Sigma }}{\mathrm{\delta K}}_{\mathrm{ayj}}\end{array}\right)}^T$

其中，k_0yj、k_xyj、δk_ayj、k_zyj、δK_ayj分别为第j组测量后计算得到的k_0y、k_xy、 δk_ay、k_zy、δK_ay数值。

Y轴各误差系数的无偏方差为

$\left(\begin{array}{c}{\left(\begin{array}{ccccc}{\sigma }^2\left(k_{0y}\right)& {\sigma }^2\left(k_{\mathrm{xy}}\right)& {\sigma }^2\left({\mathrm{\delta k}}_{\mathrm{ay}}\right)& {\sigma }^2\left(k_{\mathrm{zy}}\right)& {\sigma }^2\left({\mathrm{\delta K}}_{\mathrm{ay}}\right)\end{array}\right)}^T\\ =\frac{1}{N-1}{\left(\begin{array}{ccccc}\underset{j=1}{\overset{N}{\Sigma }}{(k_{0\mathrm{yj}}-{\bar{k}}_{0y})}^2& \underset{j=1}{\overset{N}{\Sigma }}{(k_{\mathrm{xyj}}-{\bar{k}}_{\mathrm{xy}})}^2& \underset{j=1}{\overset{N}{\Sigma }}{({\mathrm{\delta k}}_{\mathrm{ayj}}-\delta {\bar{k}}_{\mathrm{ay}})}^2& \underset{j=1}{\overset{N}{\Sigma }}{(k_{\mathrm{zyj}}-{\bar{k}}_{\mathrm{zy}})}^2& \underset{j=1}{\overset{N}{\Sigma }}{({\mathrm{\delta K}}_{\mathrm{ayj}}-\delta {\bar{K}}_{\mathrm{ay}})}^2\end{array}\right)}^T\end{array}\right)$

Y轴第i个位置拟合残差的平均值为

${\overline{ϵ}}_{\mathrm{yi}}=\frac{1}{N}\underset{j=1}{\overset{N}{\Sigma }}{ϵ}_{\mathrm{yij}}$

其中，ε_yij为第j组测量中第i个位置的拟合残差。

Y轴第i个位置拟合残差的无偏方差为

${\sigma }^2\left({ϵ}_{\mathrm{yi}}\right)=\frac{1}{N-1}\underset{j=1}{\overset{N}{\Sigma }}{({ϵ}_{\mathrm{yij}}-{\overline{ϵ}}_{\mathrm{yi}})}^2$

Z轴各误差系数的平均值为

${\left(\begin{array}{ccccc}{\bar{k}}_{0z}& {\bar{k}}_{\mathrm{xz}}& {\bar{k}}_{\mathrm{yz}}& \delta {\bar{k}}_{\mathrm{az}}& {\delta \bar{K}}_{\mathrm{az}}\end{array}\right)}^T=\frac{1}{N}{\left(\begin{array}{ccccc}\underset{j=1}{\overset{N}{\Sigma }}{k}_{0\mathrm{zj}}& \underset{j=1}{\overset{N}{\Sigma }}{k}_{\mathrm{xzj}}& \underset{j=1}{\overset{N}{\Sigma }}{k}_{\mathrm{yzj}}& \underset{j=1}{\overset{N}{\Sigma }}{\mathrm{\delta k}}_{\mathrm{azj}}& \underset{j=1}{\overset{N}{\Sigma }}{\mathrm{\delta K}}_{\mathrm{azj}}\end{array}\right)}^T$

其中，k_0zj、k_xzj、k_yzj、δk_azj、δK_azj分别为第j组测量后计算得到的k_0z、k_xz、 k_yz、δk_az、δK_az数值。

Z轴各误差系数的无偏方差为

$\left(\begin{array}{c}{\left(\begin{array}{ccccc}{\sigma }^2\left(k_{0z}\right)& {\sigma }^2\left(k_{\mathrm{xz}}\right)& {\sigma }^2\left(k_{\mathrm{yz}}\right)& {\sigma }^2\left(\delta k_{\mathrm{az}}\right)& {\sigma }^2\left(\delta K_{\mathrm{az}}\right)\end{array}\right)}^T\\ =\frac{1}{N-1}{\left(\begin{array}{ccccc}\underset{j=1}{\overset{N}{\Sigma }}{(k_{0\mathrm{zj}}-{\bar{k}}_{0z})}^2& \underset{j=1}{\overset{N}{\Sigma }}{(k_{\mathrm{xzj}}-{\bar{k}}_{\mathrm{xz}})}^2& \underset{j=1}{\overset{N}{\Sigma }}{(k_{\mathrm{yzj}}-{\bar{k}}_{\mathrm{yz}})}^2& \underset{j=1}{\overset{N}{\Sigma }}{(\delta k_{\mathrm{azj}}-\delta {\bar{k}}_{\mathrm{az}})}^2& \underset{j=1}{\overset{N}{\Sigma }}{(\delta K_{\mathrm{azj}}-\delta {\bar{K}}_{\mathrm{az}})}^2\end{array}\right)}^T\end{array}\right)$

Z轴第i个位置拟合残差的平均值为

${\overline{ϵ}}_{\mathrm{zi}}=\frac{1}{N}\underset{j=1}{\overset{N}{\Sigma }}{ϵ}_{\mathrm{zij}}$

其中，ε_zij为第j组测量中第i个位置的拟合残差。

Z轴第i个位置拟合残差的无偏方差为

${\sigma }^2\left({ϵ}_{\mathrm{zi}}\right)=\frac{1}{N-1}\underset{j=1}{\overset{N}{\Sigma }}{({ϵ}_{\mathrm{zij}}-{\overline{ϵ}}_{\mathrm{zi}})}^2$

(3)计算步骤(2)中得到的加速度计零偏、标度因数相对误差、安装 误差角和标度因数不对称相对误差和每个位置的拟合残差之间的协方差矩 阵；

X轴第i个位置的协方差矩阵为

${\Sigma }_{\mathrm{xi}}=\left(\begin{array}{cccccc}{\sigma }^2\left(k_{0x}\right)& {\sigma }^2(\delta k_{\mathrm{ax}},k_{0x})& {\sigma }^2(k_{\mathrm{yx}},k_{0x})& {\sigma }^2(k_{\mathrm{zx}},k_{0x})& {\sigma }^2(\delta K_{\mathrm{ax}},k_{0x})& {\sigma }^2({ϵ}_{\mathrm{xi}},k_{0x})\\ {\sigma }^2(k_{0x},{\mathrm{\delta k}}_{\mathrm{ax}})& {\sigma }^2\left(\delta k_{\mathrm{ax}}\right)& {\sigma }^2(k_{\mathrm{yx}},{\mathrm{\delta k}}_{\mathrm{ax}})& {\sigma }^2(k_{\mathrm{zx}},{\mathrm{\delta k}}_{\mathrm{ax}})& {\sigma }^2({\mathrm{\delta k}}_{\mathrm{ax}},{\mathrm{\delta k}}_{\mathrm{ax}})& {\sigma }^2({ϵ}_{\mathrm{xi}},{\mathrm{\delta k}}_{\mathrm{ax}})\\ {\sigma }^2(k_{0x},k_{\mathrm{yx}})& {\sigma }^2(\delta k_{\mathrm{ax}},k_{\mathrm{yx}})& {\sigma }^2\left(k_{\mathrm{yx}}\right)& {\sigma }^2(k_{\mathrm{zx}},k_{\mathrm{yx}})& {\sigma }^2(\delta K_{\mathrm{ax}},k_{\mathrm{yx}})& {\sigma }^2({ϵ}_{\mathrm{xi}},k_{\mathrm{yx}})\\ {\sigma }^2(k_{0x},k_{\mathrm{zx}})& {\sigma }^2({\mathrm{\delta k}}_{\mathrm{ax}},k_{\mathrm{zx}})& {\sigma }^2(k_{\mathrm{yx}},k_{\mathrm{zx}})& {\sigma }^2\left(k_{\mathrm{zx}}\right)& {\sigma }^2(\delta K_{\mathrm{ax}},k_{\mathrm{zx}})& {\sigma }^2({ϵ}_{\mathrm{xi}},k_{\mathrm{zx}})\\ {\sigma }^2(k_{0x},{\mathrm{\delta K}}_{\mathrm{ax}})& {\sigma }^2({\mathrm{\delta k}}_{\mathrm{ax}},{\mathrm{\delta K}}_{\mathrm{ax}})& {\sigma }^2(k_{\mathrm{yx}},{\mathrm{\delta K}}_{\mathrm{ax}})& {\sigma }^2(k_{\mathrm{zx}},{\mathrm{\delta K}}_{\mathrm{ax}})& {\sigma }^2\left(\delta K_{\mathrm{ax}}\right)& {\sigma }^2({ϵ}_{\mathrm{xi}},{\mathrm{\delta K}}_{\mathrm{ax}})\\ {\sigma }^2(k_{0x},{ϵ}_{\mathrm{xi}})& {\sigma }^2({\mathrm{\delta k}}_{\mathrm{ax}},{ϵ}_{\mathrm{xi}})& {\sigma }^2(k_{\mathrm{yx}},{ϵ}_{\mathrm{xi}})& {\sigma }^2(k_{\mathrm{zx}},{ϵ}_{\mathrm{xi}})& {\sigma }^2(\delta K_{\mathrm{ax}},{ϵ}_{\mathrm{xi}})& {\sigma }^2\left({ϵ}_{\mathrm{xi}}\right)\end{array}\right)$

其中，任意两个变量之间的协方差计算式为

${\sigma }^2(P,Q)=\frac{1}{N-1}\underset{j=1}{\overset{N}{\Sigma }}(P_j-\bar{P})(Q_j-\bar{Q})$

其中，P，Q为协方差矩阵涉及到的变量中的任意两个，，为变量P和 Q对应的均值，P_j，Q_j分别为第j组测量中变量P和Q的估计值；

Y轴第i个位置的协方差矩阵为

${\Sigma }_{\mathrm{yi}}=\left(\begin{array}{cccccc}{\sigma }^2\left(k_{0y}\right)& {\sigma }^2(k_{\mathrm{xy}},k_{0y})& {\sigma }^2({\mathrm{\delta k}}_{\mathrm{ay}},k_{0y})& {\sigma }^2(k_{\mathrm{zy}},k_{0y})& {\sigma }^2(\delta K_{\mathrm{ay}},k_{0y})& {\sigma }^2({ϵ}_{\mathrm{yi}},k_{0y})\\ {\sigma }^2(k_{0y},k_{\mathrm{xy}})& {\sigma }^2\left(k_{\mathrm{xy}}\right)& {\sigma }^2(\delta k_{\mathrm{ay}},{\mathrm{\delta k}}_{\mathrm{xy}})& {\sigma }^2(k_{\mathrm{zy}},k_{\mathrm{xy}})& {\sigma }^2({\mathrm{\delta k}}_{\mathrm{ay}},k_{\mathrm{xy}})& {\sigma }^2({ϵ}_{\mathrm{yi}},k_{\mathrm{xy}})\\ {\sigma }^2(k_{0y},{\mathrm{\delta k}}_{\mathrm{ay}})& {\sigma }^2(k_{\mathrm{xy}},k_{\mathrm{ay}})& {\sigma }^2\left({\mathrm{\delta k}}_{\mathrm{ay}}\right)& {\sigma }^2(k_{\mathrm{zy}},{\mathrm{\delta k}}_{\mathrm{ay}})& {\sigma }^2(\delta K_{\mathrm{ay}},{\mathrm{\delta k}}_{\mathrm{ay}})& {\sigma }^2({ϵ}_{\mathrm{yi}},{\mathrm{\delta k}}_{\mathrm{ay}})\\ {\sigma }^2(k_{0y},k_{\mathrm{zy}})& {\sigma }^2(k_{\mathrm{xy}},k_{\mathrm{zy}})& {\sigma }^2({\mathrm{\delta k}}_{\mathrm{ay}},k_{\mathrm{zy}})& {\sigma }^2\left(k_{\mathrm{zy}}\right)& {\sigma }^2(\delta K_{\mathrm{ay}},k_{\mathrm{zy}})& {\sigma }^2({ϵ}_{\mathrm{yi}},k_{\mathrm{zy}})\\ {\sigma }^2(k_{0y},{\mathrm{\delta K}}_{\mathrm{ay}})& {\sigma }^2(k_{\mathrm{xy}},{\mathrm{\delta K}}_{\mathrm{ay}})& {\sigma }^2({\mathrm{\delta k}}_{\mathrm{ay}},{\mathrm{\delta K}}_{\mathrm{ay}})& {\sigma }^2(k_{\mathrm{zy}},{\mathrm{\delta K}}_{\mathrm{ay}})& {\sigma }^2\left(\delta K_{\mathrm{ay}}\right)& {\sigma }^2({ϵ}_{\mathrm{yi}},{\mathrm{\delta K}}_{\mathrm{ay}})\\ {\sigma }^2(k_{0y},{ϵ}_{\mathrm{yi}})& {\sigma }^2(k_{\mathrm{xy}},{ϵ}_{\mathrm{yi}})& {\sigma }^2(\delta k_{\mathrm{ay}},{ϵ}_{\mathrm{yi}})& {\sigma }^2(k_{\mathrm{zy}},{ϵ}_{\mathrm{yi}})& {\sigma }^2(\delta K_{\mathrm{ay}},{ϵ}_{\mathrm{yi}})& {\sigma }^2\left({ϵ}_{\mathrm{yi}}\right)\end{array}\right)$

Z轴第i个位置的协方差矩阵为

${\Sigma }_{\mathrm{zi}}=\left(\begin{array}{cccccc}{\sigma }^2\left(k_{0z}\right)& {\sigma }^2(k_{\mathrm{xz}},k_{0z})& {\sigma }^2(k_{\mathrm{yz}},k_{0z})& {\sigma }^2(\delta k_{\mathrm{az}},k_{0z})& {\sigma }^2(\delta K_{\mathrm{az}},k_{0z})& {\sigma }^2({ϵ}_{\mathrm{zi}},k_{0z})\\ {\sigma }^2(k_{0z},k_{\mathrm{xz}})& {\sigma }^2\left(k_{\mathrm{xz}}\right)& {\sigma }^2(k_{\mathrm{yz}},k_{\mathrm{xz}})& {\sigma }^2({\mathrm{\delta k}}_{\mathrm{az}},k_{\mathrm{xz}})& {\sigma }^2({\mathrm{\delta k}}_{\mathrm{az}},k_{\mathrm{xz}})& {\sigma }^2({ϵ}_{\mathrm{zi}},k_{\mathrm{xz}})\\ {\sigma }^2(k_{0z},k_{\mathrm{yz}})& {\sigma }^2(k_{\mathrm{xz}},k_{\mathrm{yz}})& {\sigma }^2\left(k_{\mathrm{yz}}\right)& {\sigma }^2({\mathrm{\delta k}}_{\mathrm{az}},k_{\mathrm{yz}})& {\sigma }^2(\delta K_{\mathrm{az}},k_{\mathrm{yz}})& {\sigma }^2({ϵ}_{\mathrm{zi}},k_{\mathrm{yz}})\\ {\sigma }^2(k_{0z},{\mathrm{\delta k}}_{\mathrm{az}})& {\sigma }^2(k_{\mathrm{xz}},{\mathrm{\delta k}}_{\mathrm{az}})& {\sigma }^2(k_{\mathrm{yz}},{\mathrm{\delta k}}_{\mathrm{az}})& {\sigma }^2\left(\delta k_{\mathrm{az}}\right)& {\sigma }^2(\delta K_{\mathrm{az}},{\mathrm{\delta k}}_{\mathrm{az}})& {\sigma }^2({ϵ}_{\mathrm{zi}},{\mathrm{\delta k}}_{\mathrm{az}})\\ {\sigma }^2(k_{0z},{\mathrm{\delta K}}_{\mathrm{az}})& {\sigma }^2(k_{\mathrm{xz}},{\mathrm{\delta K}}_{\mathrm{az}})& {\sigma }^2(k_{\mathrm{yz}},{\mathrm{\delta K}}_{\mathrm{az}})& {\sigma }^2({\mathrm{\delta k}}_{\mathrm{az}},{\mathrm{\delta K}}_{\mathrm{az}})& {\sigma }^2\left(\delta K_{\mathrm{az}}\right)& {\sigma }^2({ϵ}_{\mathrm{zi}},{\mathrm{\delta K}}_{\mathrm{az}})\\ {\sigma }^2(k_{0z},{ϵ}_{\mathrm{zi}})& {\sigma }^2(k_{\mathrm{xz}},{ϵ}_{\mathrm{zi}})& {\sigma }^2(\delta k_{\mathrm{yz}},{ϵ}_{\mathrm{zi}})& {\sigma }^2({\mathrm{\delta k}}_{\mathrm{az}},{ϵ}_{\mathrm{zi}})& {\sigma }^2(\delta K_{\mathrm{az}},{ϵ}_{\mathrm{zi}})& {\sigma }^2\left({ϵ}_{\mathrm{zi}}\right)\end{array}\right)$

(4)根据步骤(1)各位置中重力加速度在加速度计组合三个轴上的分 量和步骤(3)中计算得到的协方差矩阵，计算各位置加速度计组合输出脉 冲个数的无偏方差估计值，即加速度计组合输出离散度。

加速度计X轴加速度计在第i个位置的输出量离散度无偏方差估计值为

σ²(A_xi)＝K_ax²σ²(Δa_xi)

其中，σ²(Δa_xi)＝B_xi∑_xiB_xi^T，且B_xi＝[1 a_xi a_yi a_zi a_xisign(a_xi) 1]。

加速度计Y轴加速度计在第i个位置的输出量离散度无偏方差估计值为

σ²(A_yi)＝K_ay²σ²(Δa_yi)

其中，σ²(Δa_yi)＝B_yi∑_yiB_yi^T，且B_yi＝[1 a_xi a_yi a_zi a_yisign(a_yi) 1]。

加速度计Z轴加速度计在第i个位置的输出量离散度无偏方差估计值为

σ²(A_zi)＝K_az²σ²(Δa_zi)

其中，σ²(Δa_zi)＝B_zi∑_ziB_zi^T，且B_i＝[1 a_xi a_yi a_zi a_zisign(a_zi) 1]。

(5)利用步骤(4)中计算得到的输出离散度进行待检测系统的精度评 估。具体公式见《中国惯性技术学报》19卷第一期(2011年2月出版) 116～121页的文章《基于蒙特卡罗法的弹道导弹落点密集度验前估计》中描 述了加速度计测量误差和速度偏差以及位置偏差之间的关系；其中落点估计 即计算位置偏差的均值和方差，在计算位置的无偏方差时，需要加速度计测 量误差的无偏方差，即输出离散度。

实施例

为验证发明方法的实用性和正确性，进行了转台测试试验，加速度计组 合的X轴误差模型为

$\left(\begin{array}{c}{\mathrm{\Delta a}}_x=\frac{A_x-K_{\mathrm{ax}}-a_x}{K_{\mathrm{ax}}}\\ =\left(\begin{array}{ccccc}1& a_x& a_y& a_z& a_x\mathrm{sign}\left(a_x\right)\end{array}\right){{\left(\begin{array}{ccccc}{k}_{0x}& {\mathrm{\delta k}}_{\mathrm{ax}}& k_{\mathrm{yx}}& k_{\mathrm{zx}}& \delta K_{\mathrm{ax}}\end{array}\right)}^T}^{}\end{array}\right)$

表1给出加速度计X轴误差系数6次标定结果。

表1

参数 δk_axk_0x(g₀) k_yx(rad) k_zx(rad) δK_ax第一组 -3.9630e-5 3.3791E-3 -4.3844E-4 8.2079E-4 6.0597E-4 第二组 3.6790E-5 3.4004E-3 -4.1278E-4 8.2896E-4 6.2536E-4 第三组 -2.2236E-5 3.3694E-3 -4.2883E-4 8.2507E-4 6.1463E-4 第四组 5.5114E-5 3.3899E-3 -4.2082E-4 8.2633E-4 6.3128E-4 第五组 -7.4869E-5 3.3749E-3 -4.5807E-4 8.4602E-4 6.0087E-4 第六组 4.48316E-5 3.3989E-3 -4.4721E-4 8.4806E-4 6.2348E-4 平均值 0 3.3854E-3 -4.3436E-4 8.3254E-4 6.1693E-4 标准差 5.3050E-5 1.2899E-5 1.6873E-5 1.1558E-5 1.1858E-5

按照以往方法，认为误差系数相互独立，则X轴加速度计输出量方差为

${\hat{\sigma }}^2=\left({\mathrm{\Delta a}}_x\right)={\sigma }^2\left(k_{0x}\right)+a_x^2{\sigma }^2\left({\mathrm{\delta k}}_{\mathrm{ax}}\right)+a_y^2{\sigma }^2\left(k_{\mathrm{yx}}\right)+a_z^2{\sigma }^2\left(k_{\mathrm{zx}}\right)+a_x^2{\sigma }^2\left({\mathrm{\delta K}}_{\mathrm{ax}}\right)$

在某一位置，有a_x＝0，a_y＝1，a_z＝0，此时

${\hat{\sigma }}^2=\left({\mathrm{\Delta a}}_x\right)={\sigma }^2\left(k_{0x}\right)+{\sigma }^2\left(k_{\mathrm{yx}}\right)=4.5108e-10$

另外，加速度计组合的拟合输出平均值为

${\hat{A}}_x=K_{\mathrm{ax}}({\bar{k}}_{0x}+{\bar{k}}_{\mathrm{yx}})=16.757$

加速度计组合原始测量输出值进行比较，见表2所示。在已知标度因数 以后，$\Delta a_x=\frac{A_{\mathrm{xp}}-K_{\mathrm{ax}}{a}_x}{K_{\mathrm{ax}}}.$

表2

  A_xpΔa_x第一组 16.6000 2.9234e-3 第二组 16.8167 2.9616e-3 第三组 16.5167 2.9088e-3 第四组 16.7333 2.9469e-3 第五组 16.3500 2.8794e-3 第六组 16.6000 2.9234e-3 平均值 16.6028 2.9239e-3 方差 2.6824e-2 8.3197e-10 均方差 0.1637 2.8844e-5

表2的加速度计6次测量方差值与计算值进行比较，发现二者有差异， 问题主要在于认为各误差系数相互独立，而且没有考虑拟合残差。

由于拟合残差在各位置的平均值并不相同，考虑拟合残差时，加速度计 组合的误差模型可写为

$\left(\begin{array}{c}\Delta a_x=\frac{A_{\mathrm{xp}}-K_{\mathrm{ax}}{a}_x}{K_{\mathrm{ax}}}\\ =\left(\begin{array}{cccccc}1& a_x& a_y& a_z& a_x\mathrm{sign}\left(a_x\right)& 1\end{array}\right){\left(\begin{array}{cccccc}{k}_{0x}& {\mathrm{\delta k}}_{\mathrm{ax}}& k_{\mathrm{yx}}& k_{\mathrm{zx}}& \delta K_{\mathrm{ax}}& {ϵ}_x\end{array}\right)}^T\end{array}\right)$

在该位置的拟合残差ε_x统计特性如表3所示。

表3

  ε_x第一组 -1.7204e-5 第二组 -2.5976e-5 第三组 -3.1780e-5

第四组 -2.2113e-5 第五组 -3.7421e-5 第六组 -2.8223e-5 平均值 -2.7119e-5 方差 5.0751e-11 均方差 7.1240e-6

其中，拟合残差的方差计算方法为

${\sigma }^2\left({ϵ}_x\right)=\frac{1}{5}{({ϵ}_x-{\overline{ϵ}}_x)}^T({ϵ}_x-{\overline{ϵ}}_x)$

在考虑拟合残差以后，加速度计组合的输出平均值为

${\bar{A}}_x={\bar{K}}_{\mathrm{ax}}({\bar{k}}_{0x}+{\bar{k}}_{\mathrm{yx}})+{\overline{ϵ}}_x=16.603$

比较上式计算结果与表2的统计结果，二者相等。

由于各项误差系数的均值和方差已计算得到，下面列出各系数之间的相 关性。X轴加速度计误差系数相关性统计信息如表4所示；

表4

ρ k_0xδk_axk_yxk_zxδK_axε_xk_0x1 0.816053 0.36384 0.24179 0.72293 0.31510 δk_ax0.816053 1 0.62067 -0.05072 0.97997 0.39718 k_yx0.36384 0.62067 1 -0.69092 0.70444 0.47351 k_zx0.24179 -0.00572 -0.69092 1 -0.12857 -0.66290 δK_ax0.72293 0.97997 0.70444 -0.12857 1 0.33576 ε_x0.31510 0.39718 0.47351 -0.66290 0.33576 1

利用各项系数和拟合残差的方差及其相关系数就可估计出加速度计输 出的方差值

对于X轴加速度计，有

${\Sigma }_x=\left(\begin{array}{cccccc}{\rho }_{11}{\sigma }^2\left(k_{0x}\right)& {\rho }_{12}\sigma \left(k_{0x}\right)\sigma \left(\delta k_{\mathrm{ax}}\right)& {\rho }_{13}\sigma \left(k_{0x}\right)\sigma \left(k_{\mathrm{yx}}\right)& {\rho }_{14}\sigma \left(k_{0x}\right)\sigma \left(k_{\mathrm{zx}}\right)& {\rho }_{15}\sigma \left(k_{0x}\right)\sigma \left({\mathrm{\delta K}}_{\mathrm{ax}}\right)& {\rho }_{16}\sigma \left(k_{0x}\right)\sigma \left({ϵ}_x\right)\\ {\rho }_{21}\sigma \left({\mathrm{\delta k}}_{\mathrm{ax}}\right)\sigma \left(k_{0x}\right)& {\rho }_{22}{\sigma }^2\left({\mathrm{\delta k}}_{\mathrm{ax}}\right)& {\rho }_{23}\sigma \left(\delta k_{\mathrm{ax}}\right)\sigma \left(k_{\mathrm{yx}}\right)& {\rho }_{24}\sigma \left({\mathrm{\delta k}}_{\mathrm{ax}}\right)\sigma \left(k_{\mathrm{ax}}\right)& {\rho }_{25}\sigma \left({\mathrm{\delta k}}_{\mathrm{ax}}\right)\sigma \left({\mathrm{\delta K}}_{\mathrm{ax}}\right)& {\rho }_{26}\sigma \left(\delta k_{\mathrm{ax}}\right)\sigma \left({ϵ}_x\right)\\ {\rho }_{31}\sigma \left(k_{\mathrm{yx}}\right)\sigma \left(k_{0x}\right)& {\rho }_{32}\sigma \left(k_{\mathrm{yx}}\right)\sigma \left({\mathrm{\delta k}}_{\mathrm{ax}}\right)& {\rho }_{33}{\sigma }^2\left(k_{\mathrm{yx}}\right)& {\rho }_{34}\sigma \left(k_{\mathrm{yx}}\right)\sigma \left(k_{\mathrm{zx}}\right)& {\rho }_{35}\sigma \left(k_{\mathrm{yx}}\right)\sigma \left(\delta K_{\mathrm{ax}}\right)& {\rho }_{36}\sigma \left(k_{\mathrm{yx}}\right)\sigma \left({ϵ}_x\right)\\ {\rho }_{41}\sigma \left(k_{\mathrm{zx}}\right)\sigma \left(k_{0x}\right)& {\rho }_{42}\sigma \left(k_{\mathrm{zx}}\right)\sigma \left(\delta k_{\mathrm{ax}}\right)& {\rho }_{43}\sigma \left(k_{\mathrm{zx}}\right)\sigma \left(k_{\mathrm{yx}}\right)& {\rho }_{44}{\sigma }^2\left(k_{\mathrm{zx}}\right)& {\rho }_{46}\sigma \left(k_{\mathrm{zx}}\right)\sigma \left({\mathrm{\delta K}}_{\mathrm{ax}}\right)& {\rho }_{46}\sigma \left(k_{\mathrm{zx}}\right)\sigma \left({ϵ}_x\right)\\ {\rho }_{51}\sigma \left(\delta K_{\mathrm{ax}}\right)\sigma \left(k_{0x}\right)& {\rho }_{52}\sigma \left({\delta K}_{\mathrm{ax}}\right)\sigma \left(\delta k_{\mathrm{ax}}\right)& {\rho }_{53}\sigma \left(\delta K_{\mathrm{ax}}\right)\sigma \left(k_{\mathrm{yx}}\right)& {\rho }_{54}\sigma \left({\mathrm{\delta K}}_{\mathrm{ax}}\right)\sigma \left(k_{\mathrm{zx}}\right)& {\rho }_{55}{\sigma }^2\left(\delta K_{\mathrm{ax}}\right)& {\rho }_{56}\sigma \left({\mathrm{\delta K}}_{\mathrm{ax}}\right)\sigma \left({ϵ}_x\right)\\ {\rho }_{61}\sigma \left({ϵ}_x\right)\sigma \left(k_{0x}\right)& {\rho }_{62}\sigma \left({ϵ}_x\right)\sigma \left(\delta k_{\mathrm{ax}}\right)& {\rho }_{63}\sigma \left({ϵ}_x\right)\sigma \left(k_{\mathrm{yx}}\right)& {\rho }_{64}\sigma \left({ϵ}_x\right)\sigma \left(k_{\mathrm{zx}}\right)& {\rho }_{65}\sigma \left({ϵ}_x\right)\sigma \left({\mathrm{\delta K}}_{\mathrm{ax}}\right)& {\rho }_{66}{\sigma }^2\left({ϵ}_x\right)\end{array}\right)$

可求得考虑拟合残差后的X轴加速度计输出量方差为

${\sigma }^2\left(A_x\right)={{\bar{K}}_{\mathrm{ax}}}^2{\sigma }^2\left(\Delta a_x\right)$

其中

在该位置，有a_x＝0，a_y＝1，a_z＝0，此时

σ²(Δa_x)＝ρ₁₁σ²(k_0x)+ρ₃₁σ(k_yx)σ(k_0x)+a_xa_zsign(a_x)(ρ₅₄+ρ₄₅)σ(δK_ax)σ(k_zx)

+(ρ₆₁+ρ₁₆)σ(ε_x)σ(k_0x)+(ρ₆₃+ρ₃₆)σ(ε_x)σ(k_yx)

+ρ₆₆σ²(ε_x)

＝8.3197e-10

比较X轴加速度计的方差计算结果与表2中的加速度计输出方差，可以 看出二者相等。

在该位置，使用现有技术和本发明方法计算出的输出均值和无偏方差如 表5所示。从表中可以看出，使用本发明的计算结果与测量结果严格相等， 相对于以往方法在精度上具有极大的提高。

表5

将本发明中计算得到的输出离散度用于精度评估，例如，使用圆概率偏 差(CEP)对落点精度进行描述时，某组试验中获得的CEP为100m，使 用现有技术估计得到的CEP为73.6m，使用本发明得到的CEP为99.9m， 由此可见本发明中的方法评估值与实验值更为接近，性能更好。

本发明未详细描述内容为本领域技术人员公知技术。