一种面外面内分步实施的绕飞构型建立方法

摘要

一种面外面内分步实施的绕飞构型建立方法，指定主控航天器相对于目标航天器轨道面外运动幅值出现在特定地心纬度点上空，建立起主控航天器相对于目标航天器的面外相对运动；对面外相对运动采用CW制导策略进行微调，使面外相对运动幅值更加接近于标称值；基于指定的期望绕飞构型的面外、面内相对运动相位差，给出面内相对运动转移脉冲，最终建立起相应的绕飞构型。本发明指出，在面外面内相对运动相位差、绕飞面仰角与绕飞面方位角三个参数之间存在一个简洁的关系式。本发明适用于绕飞相对运动尺度为数百米到数十公里量级的情况，绕飞构型可任意设定，绕飞面仰角、方位角及基线长度等特征指标的实现精度高。

说明书

技术领域

本发明属于航天器编队飞行轨道设计与制导、控制技术领域，涉及一种面 外、面内分步实施的绕飞构型建立的步骤与相关的制导策略。

背景技术

航天器单脉冲轨道控制包括不改变轨道平面与改变轨道平面两种情况。改 变轨道平面的轨道控制包括仅改变轨道倾角、仅改变升交点赤经及两者同时改 变三种情况。对于单航天器控制而言，这些情形均有成熟的关系式可直接使用， 可直接在航天器轨道力学的大量教科书中找到。但在涉及两航天器乃至多航天 器进行编队飞行的情形，控前、控后航天器间相互关系也会体现到制导策略之 中，相应研究工作并不完善。

在编队飞行需要建立、重构异面绕飞构型的情况下，通常必然要求改变主 控航天器的轨道平面。但从文献资料来看，这种改变仅从相对运动轨道构型需 要角度来提出，相应的制导策略则基于相对轨道根数描述来给出。例如2012 年刊登于“Journal of Guidance，Control and Dynamics”第3期的文章“Spaceborne Autonomous Formation-Flying Experiment on the PRISMA Mission”所介绍的 PRISMA(Prototype Research Instruments and Space Mission Technology Advancement)的飞行试验中，主控航天器轨道平面的改变通过主控航天器相对 于目标航天器的轨道倾角矢量的改变量来描述，相应的控制也由主控航 天器面外轨控脉冲来实现，该脉冲严格垂直于主控航天器轨道平面。不难看出， 该方法对工程应用中面外最大相对运动距离在目标航天器轨道上出现的位置的 要求与面外相对运动描述之间的关系缺乏说明。另外，严格垂直于主控航天器 轨道平面的轨控脉冲必然导致控后沿迹速度的大小相对于控前产生变化，因此 一般来说，这种面外转移还会对面内相对运动构型的漂移速度产生影响。

在面外相对运动构型已经建立起来的基础上怎样进行高精度微调及怎样在 此基础上受绕飞面仰角、方位角约束以最终建立期望的绕飞构型均是文献中未 见涉及的问题。本发明从绕飞面方位角及仰角角度导出了面外面内相对运动相 位差δ与绕飞面仰角Θ及方位角α之间的关系式。2010年刊登于“Acta Mechanica Sinica”第四期的文章“The J2invariant relative configuration of spaceborne SAR interferometer for digital elevation measurement”给出了沿迹方向 -垂直沿迹方向相位差与数字高程模型视线角θ_L及视线方位角γ之间的关系 式，两者之间有相通之处。但本发明从绕飞构型本身着眼，从绕飞面仰角及绕 飞面方位角这个角度系统地解决了绕飞椭圆的设计问题，而后者则从数字高程 应用着眼，公式含义不同，应用角度不同。

发明内容

本发明所要解决的技术问题是：克服现有技术的不足，提供一种明确要求 面外最长相对运动距离出现在目标航天器星下指定地心纬度点对应天球上的轨 控策略，随后在面外相对运动构型已经建立起来的基础上进行高精度微调，并 在此基础上受绕飞面仰角及绕飞面方位角指标约束以最终建立期望的绕飞构 型。

本发明的技术解决方案如下：一种面外面内分步实施的绕飞构型建立方法， 实现步骤如下：

(1)指定主控航天器相对于目标航天器轨道面外运动幅值出现在设定的地 心纬度点上空，由目标航天器星下点指定地心纬度ψ₀计算对应的目标航天器轨 道位置处的轨道幅角相应公式为：

式中，为目标航天器轨道倾角平根数；上标“-”出现在轨道根数参数顶部时 代表平根的含义，出现在其它参数顶部时代表期望值即目标值；右下角标出现 的“A”、“B”分别代表主控航天器与目标航天器；N′为目标航天器轨道降交点； T为对应星下点地心纬度为ψ₀时的目标航天器在轨道上的位置；为从T点到 N′点的大圆弧长，上标“⌒”代表大圆弧角；

(2)计算主控航天器目标轨道的升交点赤经相应公式为：

式中，S为主控航天器目标轨道面与目标航天器轨道面交线过目标轨道的点， Δβ为指定的两航天器的不共面度目标角，右下角标“0”代表相应参数对应主 控航天器轨控前情形，“1”代表相应参数对应主控航天器轨控后情形；升交点 赤经平根符号兼做角度符号与升交点标识使用；

(3)计算主控航天器目标轨道的轨道倾角相应公式为：

(4)计算主控航天器轨控脉冲作用点的轨道幅角u_zy及该点处航天器的 控前线速度大小v_A0，相应公式为：

$\Delta {\Omega }_A\stackrel{\Delta }{=}{\bar{\Omega }}_{A1}-{\bar{\Omega }}_{A0}$

$\Delta {\beta }^{\prime }={\cos }^{-1}(\cos {\bar{i}}_{A0}\cos {\bar{i}}_{A1}+\sin {\bar{i}}_{A0}\sin {\bar{i}}_{A1}\cos \left(\Delta {\Omega }_A\right))$

$v_{A0}=\sqrt{\frac{\mu }{{\bar{a}}_A(1-{\bar{e}}_A^2)}}[1+{\bar{e}}_A\cos (u_{\mathrm{zy}}-{\bar{\omega }}_{A0})]$

式中，ΔΩ_A为主控航天器控前、控后升交点赤经平根差，Δβ′为主控航天器控前、 控后轨道面的夹角，S′为主控航天器初始轨道面与目标轨道面交线过初始轨道 的点，μ＝3.9860044×10¹⁴m³/s²为地球引力常数，为主控航天器轨道的平长半轴 长，为主控航天器轨道的平偏心率，为主控航天器初始轨道的近地点幅角；

(5)假定航天器轨控推力方向沿航天器本体坐标系+x方向，计算主控航 天器轨控脉冲的大小Δv_A及其相对于其轨道坐标系的偏航角ψ_YZY，相应公式 为：

${\mathrm{\Delta v}}_A={2v}_{A0}\sin \left(\frac{\Delta {\beta }^{\prime }}{2}\right)$

${\psi }_{\mathrm{YZY}}=\pm (\frac{\pi }{2}+\Delta {\beta }^{\prime })$

上式中，v_A0为轨控后目标轨道线速度矢量或轨控前轨道线速度矢量的大 小，即两个线速度矢量大小相等；在左侧时，偏航角ψ_YZY取负号，在右侧时，偏航角ψ_YZY取正号；主控航天器执行此脉冲后，将建立起相对于目标 航天器的运动幅值出现在特定地心纬度点上空的面外相对运动；

(6)如果经步骤(5)后，面外相对运动的实际实现幅值相对于预期的标 称幅值B_target超过预期的偏差范围，则对面外相对运动采用CW制导策略进行微 调，使面外相对运动幅值更加接近于标称幅值B_target；否则，直接跳过本步骤， 执行步骤(7)；其中，计算面外相对运动微调最优脉冲作用时刻τ^*及脉冲大小Δv_y的公式分别为：

${\tau }^{*}=\left(\begin{array}{cc}\frac{2\pi -{\phi }_0}{n},& \stackrel{.}{y}>0\\ \frac{\pi -{\phi }_0}{n},& \stackrel{.}{y}<0\end{array}\right)$

$\Delta v_y=\left(\begin{array}{cc}n(B_{t\arg \mathrm{et}}-B),& y=0\mathrm{and}\stackrel{.}{y}>0\\ -n(B_{t\arg \mathrm{et}}-B),& y=0\mathrm{and}\stackrel{.}{y}<0\end{array}\right)$

式中，τ^*为相对于CW方程自由运动解析解指定起始时刻t₀的相对时刻，φ₀为 对应时刻t₀时的初相位，n为近圆轨道目标航天器的轨道角速度，y为主控航天 器在目标航天器轨道坐标系中的面外坐标分量，为相应的速度分量，B为面 外相对运动幅值；

(7)以步骤(5)、(6)所实现的面外相对运动幅值B、期望绕飞面仰角及期望绕飞面方位角为已知量，解出期望的封闭绕飞椭圆面内投影的短半轴 长与期望的面外、面内相对运动相位差相应公式为：

$\bar{A}=\frac{B\left|\sin \bar{\alpha }\right|\sin \bar{\Theta }}{\sqrt{(1+3{\sin }^2\bar{\Theta }){\cos }^2\bar{\alpha }+{\cos }^2\bar{\Theta }{\sin }^2\bar{\alpha }}}$

$\bar{\delta }=a\tan 2(2\cos \bar{\alpha }\sin \bar{\Theta },-\cos \bar{\Theta })$

式中，atan2(★，★)为工程适用的拓展值域到[-π，π]范围的反正切函数；

(8)指定绕飞构型面外、面内相对运动相位差，以CW方程自有运动解 析解为基础，进行面内控制点的先粗后精的变尺度搜索；粗搜索在大于目标航 天器一个轨道周期的时间段内完成，搜到一点即可；精搜索则在一个粗 搜索步长内完成；

粗搜索实现步骤为：

(81)在循环走到任意时刻τ时，计算相应的面外相对运动相位φ：

φ＝nτ+φ₀

式中，τ为相对于CW方程自由运动解析解指定起始时刻t₀的相对时刻；

(82)因期望的面内相对运动坐标分量z的最大值为从而速度分量的 最大值满足：

${\stackrel{\stackrel{·}{‾}}{z}}_{\max }=n\bar{A};$

(83)面内相对运动转移的目的是最终建立主控航天器相对于目标航天器 的异面绕飞椭圆，并且漂移速度为零；从而，对应于CW方程自由运动解析解 预报的任意坐标分量z的期望的速度分量为：

${\stackrel{\stackrel{·}{‾}}{z}}_C=\pm {\stackrel{\stackrel{·}{‾}}{z}}_{\max }\sqrt{1-{\left(\frac{z}{\bar{A}}\right)}^2}$

跟飞情形取正号，领飞取负号；由此计算出对应任意坐标分量z的期望的 面内相对运动的相位：

$\bar{\psi }=a\tan 2(\mathrm{nz},{\stackrel{\stackrel{·}{‾}}{z}}_C)$

(84)粗搜索终止的条件为：

$|\bar{\psi }-\phi -\bar{\delta }|\le {ϵ}_C$

式中ε_C为对应粗搜索步长h_C的相位偏差门槛值，一旦上式条件得到满足，粗搜 索停止，并记录搜索得到的时刻t_C；

在粗搜索结束后，指定精搜索初始时刻为t_C，搜索步长为h_J，精搜索在一 个粗搜索步长内完成；在精搜索循环体内用到的公式与粗搜索类似，只需要将 代表粗搜索的下标“C”替换成代表精搜索的下标“J”即可，但精搜索相位偏 差门槛值ε_J与精搜索步长h_J相对应，比ε_C小；一旦精搜索条件得到满足，搜索 停止，并记录搜索得到的时刻t_J及对应该时刻的面内相对运动状态参数及其中，为主控航天器在目标航天器轨道坐标系中x方向的面内速度分量 精搜索结果，z_J为主控航天器在目标航天器轨道坐标系中z方向的面内坐标分 量精搜索结果，及分别为主控航天器在目标航天器轨道坐标系中z方向的 实际面内速度分量及期望面内速度分量的精搜索结果；

(9)计算面内轨控脉冲的大小Δv_xz及其相对于目标航天器轨道坐标系 的俯仰角θ_JZR，相应公式为：

$\Delta v_{\mathrm{xz}}=\sqrt{{({2\mathrm{nz}}_J-{\stackrel{·}{x}}_J)}^2+{({\stackrel{\stackrel{·}{‾}}{z}}_J-{\stackrel{·}{z}}_J)}^2}$

${\theta }_{\mathrm{JZR}}=a\tan 2({\stackrel{·}{z}}_J-{\stackrel{\stackrel{·}{‾}}{z}}_J,2n{z}_J-{\stackrel{·}{x}}_J)$

2、根据权利要求1所述的一种面外面内分步实施的绕飞构型建立方法， 其特征在于，所述步骤(7)的与公式的实现过程如下：

(1)在CW方程自由运动解析解为封闭相对运动椭圆的情况下，绕飞面 仰角Θ满足以下关系式：

$\left(\begin{array}{c}\cos \Theta =\frac{-2B\cos \delta }{\sqrt{{4A}^2+B^2(1+3{\cos }^2\delta )}}\\ \sin \Theta =\frac{\sqrt{{4A}^2+B^2{\sin }^2\delta }}{\sqrt{{4A}^2+B^2(1+{3\cos }^2\delta )}}\end{array}\right)$

即：

$\Theta =a\tan 2(\sqrt{{4A}^2+B^2{\sin }^2\delta },-2B\cos \delta )$

式中，A为面内相对运动椭圆短半轴长，δ为面外、面内相对运动相位差；

(2)在CW方程自由运动解析解为封闭相对运动椭圆的情况下，绕飞面 方位角α满足以下关系式：

$\left(\begin{array}{c}\cos \alpha =\frac{B\sin \delta }{\sqrt{{4A}^2+B^2{\sin }^2\delta }}\\ \sin \alpha =\frac{2A}{\sqrt{{4A}^2+B^2{\sin }^2\delta }}\end{array}\right)$

该式表明cosα与sinδ有相同的正、负号，并有：

α＝atan2(2A，Bsinδ)

(3)结合夹角Θ与α所满足的关系式可反过来以B、绕飞面仰角Θ及绕飞 面方位角α为已知量，求解出面内相对运动椭圆短半轴长A与面外面内相对运 动相位差δ，前者表达式为：

$A=\frac{B\left|\sin \alpha \right|\sin \Theta }{\sqrt{(1+3{\sin }^2\Theta ){\cos }^2\alpha +{\cos }^2\Theta {\sin }^2\alpha }}$

而后者的表达式为：

tanδ＝-2cosαtanΘ

在CW方程自由运动解析解构成封闭相对运动椭圆的情况下，在面外面内 相对运动相位差δ、绕飞面仰角Θ与绕飞面方位角α三个参数中，已知其二即求 出第三个参数的值，并且与面外、面内运动幅值没有关系，有：

δ＝atan2(2cosαsinΘ,-cosΘ)

在按先面外后面内的顺序建立绕飞构型的过程中，在绕飞面仰角Θ、绕飞 面方位角α、封闭绕飞椭圆面内投影的短半轴长A及面外面内相对运动相位差δ 上加上上标“-”，成为期望值。

本发明与现有技术相比的有益效果是，可以在“面外最大相对运动距离出 现在目标航天器下指定地心纬度点对应天球上”这一要求与主控航天器目标轨 道的升交点赤经及轨道倾角之间建立明确的解析关系式；给出的主控航天器面 外转移轨控脉冲大小与方向没有经过近似简化而是严格成立，从而面外相对运 动转移对面内漂移速度也没有影响；在面外相对运动构型已经建立起来的基础 上可进行高精度微调(也可不调)，并在此基础上受绕飞面仰角及绕飞面方位角 指标约束以最终建立任意期望的绕飞构型。本发明适用于绕飞相对运动尺度为 数百米到数十公里量级的情况，绕飞构型可任意设定，绕飞面仰角、方位角及 基线长度等特征指标的实现精度高。本发明还发现了面外面内相对运动相位差、 绕飞面仰角与绕飞面方位角三个参数之间存在的解析关系式，大大加深了对 C-W自由运动封闭椭圆解析解的理解，并在本申报专利中得到直接应用。

附图说明

图1为本发明方法的流程框图；

图2为本发明中由特征地心纬度计算对应轨道幅角的示意图；

图3为本发明中情形计算主控航天器目标轨道参数的示意图；

图4为本发明中情形计算主控航天器目标轨道参数的示意图；

图5为本发明中面外相对运动转移脉冲示意图；

图6为本发明中相平面内的面外相对运动微调示意图；

图7为本发明中绕飞面仰角与方位角定义示意图。

具体实施方式

如图1所示，本发明的具体实施过程如下：

(1)由目标航天器下指定地心纬度ψ₀计算对应的目标航天器轨道上的轨道 幅角

将目标航天器星下指定地心纬度点简称为特征地心纬度点。令特征地心纬 度点的地心纬度为ψ₀，在以地心为中心的天球上，目标航天器轨道、地球赤道 及过特定点子午圈围成一个直角球面三角形TN′D，如图2所示。由图2容易计 算得到对应的目标航天器上的轨道幅角：

上列二式中ψ₀为南纬时取负，北纬时取正，故在降交点附近 求得，从而式中，为目标航天器轨道倾角平根数，上标“-”出 现在轨道根数参数顶部时代表平根的含义，出现在其它参数顶部时代表期望值 (即目标值，与数学期望无关。)的含义，以右下角标出现的“A”、“B”分别代 表主控航天器与目标航天器。N′为目标航天器轨道降交点，T为对应星下点地 心纬度为ψ₀时目标航天器在轨道上的位置，为从T点到N′点的大圆弧长，上 标“⌒”代表大圆弧角。

(2)计算主控航天器目标轨道的升交点赤经

图3与图4中，升交点赤经为的轨道为主控航天器初始轨道，升交点 赤经为的轨道为目标航天器轨道，升交点赤经为的轨道为主控航天器目 标轨道。及分别为这三条轨道对应的轨道倾角平跟数。S₀为主控航天 器初始轨道面与目标航天器轨道面交线过初始轨道的点，Δβ₀为两航天器的初始 不共面度，S为主控航天器目标轨道面与目标航天器轨道面交线过目标轨道的 点，Δβ为两航天器的不共面度目标角，S′为主控航天器初始轨道面与目标轨道 面交线过初始轨道的点，Δβ′为主控航天器控前、控后轨道面的夹角。在球面三 角形中，已知Δβ及

从而运用相邻四元素公式得到：

于是有：

在本步骤提到的图及表达式中，右下角标“0”代表相应参数对应主控航天 器轨控前情形，“1”代表相应参数对应主控航天器轨控后情形；升交点赤经平 根符号兼做角度符号与升交点标识使用。

(3)计算主控航天器目标轨道的轨道倾角

在图3球面三角形中运用正弦定理，得到：

对应图3所示情形。而在图4所示情形有：

(4)计算主控航天器轨控脉冲作用点的轨道幅角u_zy及该点处航天器的 控前线速度大小v_A。

定义主控航天器控前、控后升交点赤经平根差：

$\Delta {\Omega }_A\stackrel{\Delta }{=}{\bar{\Omega }}_{A1}-{\bar{\Omega }}_{A0}$

对图3或图4中球面三角形运用余弦定理，易有：

$\left(\begin{array}{cc}\Delta {\beta }^{\prime }={\cos }^{-1}(\cos {\bar{i}}_{A0}\cos {\bar{i}}_{A1}+\sin {\bar{i}}_{A0}\sin {\bar{i}}_{A1}\cos \left(\Delta {\Omega }_A\right))& //{\mathrm{\Delta \beta }}^{\prime }\end{array},\in [0,\pi )\right)$

故主控航天器轨控脉冲作用点的轨道幅角为：

相应的真近点角为：

${\bar{f}}_{A0}=u_{\mathrm{zy}}-{\bar{\omega }}_{A0}$

式中，为主控航天器初始轨道的近地点幅角。由该式可求得主控航天器在该 脉冲作用点处的控前飞行线速度的大小为：

$v_{A0}=\sqrt{\frac{\mu }{{\bar{a}}_A(1-{\bar{e}}_A^2)}}[1+{\bar{e}}_A\cos {\bar{f}}_{A0}]$

式中，μ＝3.9860044×10¹⁴m³/s²为地球引力常数，为主控航天器轨道的平长半轴 长，为主控航天器轨道的平偏心率，这两个参数控前、控后取值不变。

(5)计算主控航天器轨控脉冲的大小Δv_A及其相对于其轨道坐标系的偏 航角ψ_YZY，主控航天器执行此脉冲后，将建立起相对于目标航天器的运动幅值 出现在特定地心纬度点上空的面外相对运动。

如图5所示，主控航天器控前轨道线速度矢量为目标轨道线速度矢量 为两者之间的夹角参图3或图4为Δβ′，理想情况这两个线速度大小应相 等，故由图5可求出主控航天器轨控脉冲的大小为：

${\mathrm{\Delta v}}_A={2v}_{A0}\sin \left(\frac{\Delta {\beta }^{\prime }}{2}\right)$

无论是目标航天器还是主控航天器，其轨道坐标系均约定定义为：原点位 于航天器质心，z轴指向地心，y轴指向轨道面负法向，x轴完成三轴正交坐标 系。对于圆轨道航天器而言，x轴与其飞行方向一致。当航天器处于对地三轴 稳定标称零姿态时，航天器本体坐标系与航天器轨道坐标系重合。假定航天器 轨控推力方向沿航天器本体坐标系+x方向，则主控航天器轨控脉冲相对于 主控航天器初始轨道坐标系的偏航角为：

${\psi }_{\mathrm{YZY}}=\pm (\frac{\pi }{2}+\Delta {\beta }^{\prime })$

上式中，当在左侧时取负号，在右侧时取正号。

(6)计算面外相对运动微调最优脉冲作用时刻τ^*及脉冲大小Δv_y

工程适用的编队绕飞面外、面内相对运动尺度一般在数米到数十公里量级， 这个尺度的相对运动可采用CW方程自由运动解析解很好地加以描述。在面外 相对运动转移完成之后，基于面外相对运动数据可获取面外自由运动解析解的 参数并基于这个解析解进行面外相对运动预报：

$\left(\begin{array}{c}y=B\sin (\mathrm{n\tau }+{\phi }_0)\\ \stackrel{·}{y}=\mathrm{nB}\cos (\mathrm{n\tau }+{\phi }_0)\end{array}\right)$

式中B为面外相对运动振幅，n为近圆轨道目标航天器的轨道角速度，τ为相对 于CW方程自由运动解析解指定起始时刻t₀的相对时刻，φ₀为对应时刻t₀的初相 位，y为主控航天器在目标航天器轨道坐标系中的面外坐标分量，为相应的速 度分量。上式所描述的面外相对运动相轨迹为一个椭圆：

${\left(\frac{y}{B}\right)}^2+{\left(\frac{\stackrel{·}{y}}{\mathrm{nB}}\right)}^2=1$

容易证明，在两个同中心的面外相对运动椭圆相轨迹之间进行单脉冲转移， 沿速度轴的转移是最优的，如图6所示。若限定初相位φ₀∈[0,-2π)，则基于面外 自由运动解析解可求得时刻t₀之后一个轨道周期内面外相对运动位移y＝0而面 外相对运动速度绝对值达到最大的相对时刻：

${\tau }^{*}=\left(\begin{array}{cc}\frac{2\pi -{\phi }_0}{n},& \stackrel{.}{y}>0\\ \frac{\pi -{\phi }_0}{n},& \stackrel{.}{y}<0\end{array}\right)$

面外相对运动微调脉冲就选取在这样的时刻或这样的时刻之后若干个目标航天 器轨道整周期时实施。

令面外相对运动幅值目标值为B_target，若面外相对运动微调脉冲在相点处施加，则：

Δv_y＝n(B_target-B)

若面外相对运动微调脉冲在相点处施加，则：

Δv_y＝-n(B_target-B)

仍假定航天器轨控推力方向沿航天器本体坐标系+x方向，则当Δv_y>0时， 主控航天器轨控脉冲沿目标航天器轨道坐标系+y方向；当Δv_y<0时，主控航 天器轨控脉冲沿目标航天器轨道坐标系-y方向。

值得补充的是，如果通过面外相对运动转移已经建立起满意的面外相对运 动，可不必执行上述步骤(6)，直接转入下面的步骤。

(7)基于面外相对运动幅值B、期望绕飞面仰角及期望绕飞面方位角计算面内相对运动椭圆短半轴长与面外面内相对运动相位差

在主控航天器相对于目标航天器处于跟飞或领飞状态下，通过前述面外相 对运动转移及面外相对运动微调建立起满意的面外相对运动后，需要通过面内 相对运动转移进入期望的绕飞状态。这时，实际存在的面内相对运动通常也可 采用CW方程自由运动解析解很好地加以描述。基于面内相对运动数据可获取 面内自由运动解析解的参数并基于这个解析解进行面内相对运动预报：

$\left(\begin{array}{c}x={\xi }_0+\mathrm{\sigma \tau }-2A\cos (\mathrm{n\tau }+{\psi }_0)\\ z={\zeta }_0+A\sin (\mathrm{n\tau }+{\psi }_0)\\ \stackrel{·}{x}=2\mathrm{nA}\sin (\mathrm{n\tau }+{\psi }_0)\\ \stackrel{·}{z}=\mathrm{nA}\cos (\mathrm{n\tau }+{\psi }_0)\end{array}\right)$

式中A为面内滚动椭圆短半轴长，σ为CW漂移速度：

$\sigma ={6\mathrm{nz}}_0-3{\stackrel{·}{x}}_0$

(ξ₀+στ,ζ₀)为目标航天器轨道面内滚动椭圆中心点的横、纵坐标，在σ＝0的封 闭椭圆情形退化为(ξ₀,0)，ψ₀为对应时刻t₀的初相位，x、z为主控航天器在目标 航天器轨道坐标系中的面内横、纵坐标分量，为相应的速度分量，x、z与一起构成面内运动的状态空间，x₀、z₀及z₀为对应时刻t₀的状态分量。

在σ＝0情形定义主控航天器相对于中心(ξ₀,0)的矢量为则该矢量在目标 航天器轨道坐标系中的坐标列阵为：

$\underset{‾}{r_c}=\left(\begin{array}{c}-2A\cos (\mathrm{n\tau }+{\psi }_0)\\ B\sin (\mathrm{n\tau }+{\phi }_0)\\ A\sin (\mathrm{n\tau }+{\psi }_0)\end{array}\right)$

这时主控航天器相对于该中心的速度矢量在目标航天器轨道坐标系中的坐标 列阵为：

$\underset{‾}{v_c}=\left(\begin{array}{c}2\mathrm{nA}\sin (\mathrm{n\tau }+{\psi }_0)\\ \mathrm{nB}\cos (\mathrm{n\tau }+{\phi }_0)\\ \mathrm{nA}\cos (\mathrm{n\tau }+{\psi }_0)\end{array}\right)$

因此若定义主控航天器相对于该中心的相对动量矩矢量为：

则该矢量在目标航天器轨道坐标系的坐标列阵为：

$\underset{‾}{h}\stackrel{\Delta }{=}\left(\begin{array}{c}{x}_h\\ y_h\\ z_h\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\mathrm{nAB}\sin ({\phi }_0-{\psi }_0)\\ 2n{A}^2\\ -2\mathrm{nAB}\cos ({\phi }_0-{\psi }_0)\end{array}\right)$

鉴于坐标列阵的第一、三分量中均出现公共参数φ₀-ψ₀，因此可以一般地引 入一个面外、面内相对运动相位差δ的定义：

$\delta \stackrel{\Delta }{=}\phi -\psi$

式中，面内运动相位为：

ψ＝nτ+ψ₀

面外运动相位为：

φ＝nτ+φ₀

故有：

δ＝φ₀-ψ₀

基于相对动量矩矢量可定义封闭椭圆平面与目标航天器轨道坐标系z 轴的夹角为Θ，并称之为绕飞面仰角，参图7，绕飞面仰角满足：

式中为目标航天器轨道坐标系z轴的单位矢量，为矢量在目标航天器轨 道坐标系xoy平面的投影矢量。另外，在绕飞情形，Θ或π-Θ在区间取值， 就是封闭椭圆与当地水平面的夹角，称之为绕飞面倾角。

由上式容易得知，在CW方程自由运动解析解构成封闭相对运动椭圆的情 况下，绕飞面仰角Θ满足以下关系式：

$\left(\begin{array}{c}\cos \Theta =\frac{-2B\cos \delta }{\sqrt{{4A}^2+B^2(1+3{\cos }^2\delta )}}\\ \sin \Theta =\frac{\sqrt{{4A}^2+B^2{\sin }^2\delta }}{\sqrt{{4A}^2+B^2(1+{3\cos }^2\delta )}}\end{array}\right)$

即：

$\Theta =a\tan 2(\sqrt{{4A}^2+B^2{\sin }^2\delta },-2B\cos \delta )$

式中，atan2(★，★)为工程适用的拓展值域到[-π，π]范围的反正切函数。上式表 明，在CW方程自由运动解析解构成封闭相对运动椭圆的情况下，只要已知封 闭相对运动椭圆面内短半轴长A、面外相对运动幅值B及面外、面内相对运动 相位差δ即可求出绕飞面仰角Θ。

进一步定义该封闭椭圆的方位角α为矢量在目标航天器轨道坐标系xoy 平面的投影矢量与x轴的夹角，参图7，则有：

故绕飞面方位角满足以下关系式：

$\left(\begin{array}{c}\cos \alpha =\frac{B\sin \delta }{\sqrt{{4A}^2+B^2{\sin }^2\delta }}\\ \sin \alpha =\frac{2A}{\sqrt{{4A}^2+B^2{\sin }^2\delta }}\end{array}\right)$

该式表明cosα与sinδ有相同的符号，并有：

α＝atan2(2A，Bsinδ)

这表明，在CW方程自由运动解析解构成封闭相对运动椭圆的情况下，只要已 知封闭相对运动椭圆面内短半轴长A、面外相对运动幅值B及面外、面内相对 运动相位差δ即可求出绕飞面方位角α。

结合夹角Θ与α所满足的关系式可反过来以B、绕飞面仰角Θ及绕飞面方位 角α为已知量，求解出面内相对运动椭圆短半轴长A与面外、面内相对运动相 位差δ。前者表达式为：

$A=\frac{B\left|\sin \alpha \right|\sin \Theta }{\sqrt{(1+3{\sin }^2\Theta ){\cos }^2\alpha +{\cos }^2\Theta {\sin }^2\alpha }}$

而后者的表达式为：

tanδ＝-2cosαtanΘ

这表明，在CW方程自由运动解析解构成封闭相对运动椭圆的情况下，在面外 面内相对运动相位差δ、绕飞面仰角Θ与绕飞面方位角α三个参数中，已知其二 即可求出第三个参数的值，并且与面外、面内运动幅值没有关系。例如，由上 式结合cosα与sinδ同符号的特点，有：

δ＝atan2(2cosαsinΘ,-cosΘ)

以上为本步骤的理论基础。本步骤的具体做法就是，参照上述一系列关系 式，设定经前述各步骤所实现的面外相对运动幅值B、期望绕飞面仰角及期 望绕飞面方位角为已知量，解出期望的封闭绕飞椭圆面内投影的短半轴长与期望的面外面内相对运动相位差前者满足：

$\bar{A}=\frac{B\left|\sin \bar{\alpha }\right|\sin \bar{\Theta }}{\sqrt{(1+3{\sin }^2\bar{\Theta }){\cos }^2\bar{\alpha }+{\cos }^2\bar{\Theta }{\sin }^2\bar{\alpha }}}$

此式仅当要求期望绕飞面仰角及期望绕飞面方位角均为90o情形奇异，退 化为同平面绕飞情形。后者满足：

$\bar{\delta }=a\tan 2(2\cos \bar{\alpha }\sin \bar{\Theta },-\cos \bar{\Theta })$

上列二式式给出了接下来要建立面内相对运动时必须用到的两个基本参数 与

(8)指定绕飞构型面外、面内相对运动相位差情况下，以CW自由运动 解析解为基础的面内控制点的先粗后精的变尺度搜索。

指定粗搜索初始时刻为t₀，搜索步长为h_C，粗搜索在略大于目标航天器一 个轨道周期的时间段内完成，搜到一点即可。下面介绍粗搜索循环体中 要用到的公式。

(81)在循环走到任意时刻时，计算相应的面外相对运动相位φ，公式见 步骤(7)。

(82)因期望的面内相对运动坐标分量z的最大值为从而速度分量的 最大值满足：

${\stackrel{\stackrel{·}{‾}}{z}}_{\max }=n\bar{A}$

(83)面内相对运动转移的目的是最终建立主控航天器相对于目标航天器 的异面绕飞椭圆，并且漂移速度为零。这样的绕飞椭圆满足关系式：

${\left(\frac{z}{\bar{A}}\right)}^2+{\left(\frac{\stackrel{·}{z}}{{\stackrel{\stackrel{·}{‾}}{z}}_{\max }}\right)}^2=1$

因此，对应于预报的任意坐标分量z的期望的速度分量为：

${\stackrel{\stackrel{·}{‾}}{z}}_C=\pm {\stackrel{\stackrel{·}{‾}}{z}}_{\max }\sqrt{1-{\left(\frac{z}{\bar{A}}\right)}^2}$

跟飞情形上式取正号，领飞取负号。由此可计算出期望面内相对运动的相位：

$\bar{\psi }=a\tan 2(\mathrm{nz},{\stackrel{·}{z}}_C)$

(84)因要求期望面内相对运动相位与现实面外相对运动相位φ之差为 故粗搜索终止的条件为：

$|\bar{\psi }-\phi -\bar{\delta }|\le {ϵ}_C$

式中ε_C为对应粗搜索步长h_C的相位偏差门槛值。

最后，一旦上式条件得到满足，粗搜索停止，并记录搜索得到的时刻t_C。

随后指定精搜索初始时刻为t_C，搜索步长为h_J，精搜索在一个粗搜索步长 内完成。在精搜索循环体内用到的公式与粗搜索类似，只需要将代表粗搜索的 下标“C”替换成代表精搜索的下标“J”即可，但精搜索相位偏差门槛值ε_J与 精搜索步长h_J相对应，比ε_C小得多。一旦精搜索条件得到满足，搜索停止，并 记录搜索得到的时刻t_J及对应该时刻的面内相对运动状态参数及其 中，为主控航天器在目标航天器轨道坐标系中x方向的面内速度分量精搜索 结果，z_J为主控航天器在目标航天器轨道坐标系中z方向的面内坐标分量精搜 索结果，及分别为主控航天器在目标航天器轨道坐标系中z方向的实际面 内速度分量及期望面内速度分量的精搜索结果。

前后采用粗、精两个步长进行搜索的好处在于，可以在搜索总时间限制条 件下使搜索得到的结果精度比仅进行一次搜索的结果精度高得多。

(9)计算面内轨控脉冲的大小Δv_xz及其相对于目标航天器轨道坐标系的俯 仰角θ_JZR。

为了消去漂移速度，在面内相对运动状态点处应当施加的水平脉冲 的大小显然为：

$\Delta v_x=2n{z}_J-{\stackrel{·}{x}}_J$

而为了将面内相对运动尺度建造为期望的大小，在该状态点同时应当施加的垂 直脉冲的大小为：

$\Delta v_z={\stackrel{\stackrel{·}{‾}}{z}}_J-{\stackrel{·}{z}}_J$

处于跟飞或领飞状态时面内相对运动尺度一般远小于要实现的面内绕飞尺 度，所以在跟飞情形上式结果总是大于零，在领飞情形则总是小于零。

将上列二式合成，得到在面内相对运动状态点处应当施加的脉冲 的大小为：

$\Delta v_{\mathrm{xz}}=\sqrt{{\left({\mathrm{\Delta v}}_x\right)}^2+{\left(\Delta v_z\right)}^2}=\sqrt{{({2\mathrm{nz}}_J-{\stackrel{·}{x}}_J)}^2+{({\stackrel{\stackrel{·}{‾}}{z}}_J-{\stackrel{·}{z}}_J)}^2}$

仍假定航天器轨控推力方向沿航天器本体坐标系+x方向，则该脉冲相对于 目标航天器轨道坐标系的俯仰角为：

${\theta }_{\mathrm{JZR}}=a\tan 2(-\Delta v_z,\Delta v_x)=a\tan 2({\stackrel{·}{z}}_J-{\stackrel{\stackrel{·}{‾}}{z}}_J,2n{z}_J-{\stackrel{·}{x}}_J)$

脉冲相对于目标航天器轨道坐标系的偏航角ψ_JZR为零。

上述申报内容中面外相对运动转移策略与面内相对运动转移策略已经在我 国首次自主编队飞行试验中得到成功验证。