基于序列线性规划的叶片点云模型截面曲线直接构造方法

摘要

本发明公开了一种基于序列线性规划的叶片点云模型截面曲线直接构造方法，其针对叶片散乱点云模型，通过数学形态学建立叶片散乱点云的拓扑结构信息，利用叶片的形状特征建立叶片截面曲线和点云模型的距离函数，得到一阶微分增量，由此建立序列线性规划的优化模型，提高叶片截面曲线的构造精度，使截面曲线的曲率分布趋于合理。本发明的方法可避免耗时严重及拓扑缺陷的三角网格化或曲面参数化，可从叶片散乱点云模型中直接构造截面曲线，提高叶片质量检测的效率。

说明书

技术领域

本发明属于叶片曲面数字化三维形貌检测数据处理领域，具体是一种基于 序列线性规划的叶片点云模型截面曲线直接构造方法。

背景技术

叶片点云模型一般指激光扫描仪或柔性关节臂等非接触式测量获取的三维 点云数据。叶片复杂曲面零件在航空、舰船、核电等工业中扮演着重要的角色， 具有薄壁件类、难加工、易变形、低损伤等技术特点，如何保证其制造精度一 直是数字化制造领域的研究前沿。传统方法大多将制造过程的设计、分析、加 工、测量等阶段独立处理，存在数据传输滞后、测量信息无法集成、自动化程 度低等诸多问题，而研究集成“加工-测量”一体化的闭环平台成为解决该问题 的有效手段。密歇根州立大学开发了基于光学测量数据的复杂曲面精密加工与 检测装置，诺丁汉大学采用类似技术研究了加工、检测、修复一体化集成技术， 其与德国MTU叶片生产商等开展了基于光学的叶片曲面轮廓原位检测与补偿 加工；华中科技大学研制了叶片抛磨机器人“测量-操作-加工”一体化系统，通 过光学扫描获取叶片磨削过程的点云数据，分析叶片余量信息，反馈给磨抛机 器人。可见，“加工-测量”一体化理论与方法对提高叶片制造精度具有重要意义， 就测量获取的叶片点云数据，通过提取叶片的特征参数可用于分析叶片的加工 质量。就测量而言，分为非接触式与接触式测量两种方法，其中非接触式测量 往往通过光学扫描方法(如德国Breuckmann公司的StereoSCAN便携式光学测量 设备，测速超过万点/秒)快速获取大规模点云数据，若经三角网格化和曲面参数 话提取叶片的特征参数，将大幅降低一体化系统的效率，则从叶片点云模型直 接提取形位参数成为评估叶片加工质量的重要技术之一。

光学扫描方法可快速获取叶片铣削或抛磨过程中的反映叶片形貌的大规模 点云数据，但光学测量点云数据规模巨大，动辄十万/百万，从点云数据直接提 取叶片的特征参数，避免网格重构和曲面参数化，提高数据处理效率。为提取 叶片的特征参数，需要在点云模型上有效构建截面曲线，并给出其样条曲线的 表达式。所谓叶片截面曲线是通过截平面与叶片曲面相交求取的曲线：截平面 获取的曲线为平面曲线。截面曲线具有重要的作用，如规划刀具路径、提取叶 片型面或轮廓特征参数、重构曲面、检查干涉等。其中，一个重要应用就是提 取型面特征参数，包括前后缘半径、弦线、弦长、轴弦长、弦倾角、中弧线、 最大厚度等，从而区分叶缘特征，用于提取在机检测的数据。在叶片点云模型 上完成上述应用，需在叶片点云模型上有效提取误差容许的截面曲线。

在叶片点云模型上提取截面曲线，常用方法是将点云模型三角网格化或曲 面参数化，与截平面求交得到截面曲线，但该方法计算效率低，易导致错误的 拓扑结构；或者采用一定厚度的平面直接在点云模型上截取散乱点集，通过凸 包排序法直接构建截面曲线，但该方法并不能保证构建的截面曲线与点云模型 在一定的误差范围内，且对于稀疏点云，从点云模型上截取的点集数目有限， 易导致叶缘特征信息的丢失。故直接从叶片点云模型上构造截面曲线，对于“加 工-测量”一体化系统具有重要的应用价值。

但通过光学测量获取的散乱点云并无有序的拓扑结构，可通过数学形态学 建立拓扑结构，如创建邻域和计算一致性法矢。为此，将二维数学形态学扩展 到三维，构建三维图像实现三维形态学操作，并借助形态学操作提取型线有序 点集及相关特征参数，创建邻域结构，估算叶片点云模型的一致性法矢。构建 三维图像时存在离散误差，初提取的截面型线存在较大误差，曲率方向变化剧 烈。为此，先对形态学粗提取的截面型线采用能量法进行光顺；后通过点-面距 离函数，对截面型线在点云模型上进行整体优化，使其误差达到容许范围、曲 率分布合理。

发明内容

本发明的目的在于提出一种从叶片点云模型上直接构造截面曲线的方法， 通过数学形态学建立叶片散乱点云的拓扑结构信息，针对叶片的形状特征，建 立叶片截面曲线和点云模型的距离函数，得到一阶微分增量，由此建立序列线 性规划的优化模型，提高叶片截面曲线的构造精度，使截面曲线的曲率分布趋 于合理。

按照本发明所采用的技术方案，所述的基于序列线性规划(LP)的叶片点云模 型截面曲线直接构造方法包括以下步骤：

S1：由形态学创建散乱点云模型的三维图像，提取截面有序点集，经能量 法光顺后构建3次B样条曲线。

S2：通过控制弦高将样条曲线离散为足够多的样点，在点云模型对应三维 图像上创建每个样点的k邻域，并采用移动最小二乘法(MLS)计算每个样点在点 云模型上的垂足。

S3：建立截面样条曲线和点云模型之间的距离函数，计算一阶微分增量， 构建序列线性规划模型，通过规划求解得到样条曲线控制点集的微分增量。

S4：将截面样条曲线的控制点集与微分增量相加得到新的控制点集，更新 样条曲线。

作为本发明的改进，所述步骤S1中从图像中提取截面有序点集具体为：

(a)由从三维图像中截取的截平面，转换为二维图像；

(b)采用“十”字结构元对截平面图像进行腐蚀；

(c)对腐蚀前后图像进行减操作提取有序边界环，将像素转换为点集。

作为本发明的改进，所述步骤S2中创建k邻域的方法具体为：

(a)计算样点在三维图像中的像素坐标g，以其为中心，通过半径为R＝3的 球形结构元获取邻近点集，若点数超过k，则转到步骤(c)，否则继续执行下一步；

(b)在(R,R+1]的结构元中继续获取相关点集，直至点数超过k；

(c)选择(欧氏)距离最近k个点作为样点的k邻域。

作为本发明的改进，所述的步骤S3中建立截面样条曲线和点云模型之间的 距离函数，计算一阶微分增量的方法为：

d_q,P(w+Δw)＝‖q(w+Δw)-q^⊥‖₂

式中，d_q,P(w+Δw)表示样条曲线上的样点q到点云模型P的距离(亦可认为是 误差)，w为样条曲线的控制点集，Δw为控制点集的微分增量(亦称微分扰动)， q(w+Δw)表示控制点集发生微分扰动后的样点，q^⊥表示垂足，且认为控制点集 发生微分扰动前后，垂足不变。

作为本发明的改进，所述的步骤S3中构建序列线性规划模型具体为：

通过误差ξ控制样条曲线上每个样点的距离函数，对误差ξ建立优化模型 为，

minξ

s.t.|d_qi,P(w)|≤ξ,i<1,2,…,N

其中，d_qi,P(w)表示样条曲线每个样点和点云模型之间的距离，N表示样条 曲线上离散的样点数。

通过截面曲线和点云模型之间的一阶微分增量，将上述优化模型转换为线 性序列规划模型进行求解。

作为本发明的改进，步骤S2～S4可重复迭代执行，直至截面样条曲线满足 预定的容差。

本发明的优点是：通过数学形态学建立叶片散乱点云的拓扑结构信息，构 建截面初始样条曲线，利用叶片的形状特征，建立叶片截面曲线和点云模型之 间的距离函数，得到一阶微分增量，由此建立序列线性规划的优化模型，优化 调整样条曲线的控制点提高叶片截面曲线的构造精度，使截面曲线的曲率分布 趋于合理，从而实现从叶片散乱点云模型上直接构造截面曲线，避免点云模型 的三角网格化或曲面参数化，提高“加工-检测”闭环系统叶片质量分析的计算 效率。

附图说明

图1为本发明实施例中点云到图像构建过程(二维示例)的示意图，其中(a) 为不连续二值图像的示意图，(b)为2次膨胀后的图像示意图，(c)为图像填充示 意图，(d)为2次腐蚀后的图像示意图，(e)为3×3×3球形结构元示意图。

图2为本发明实施例中从3维图像中创建点云拓扑信息，在点云模型上创 建样点k邻域的示意图。

图3为本发明实施例中从叶片点云模型3维图像构建截面图像过程的示意 图，其中，(a)为截平面点集示意图，(b)为截平面上二值图像的示意图，(c)为 “+”字结构元。

图4为本发明实施例中从叶片点云模型上提取有序截面点集的过程的示意 图，其中，(a)为截面曲线二值图像示意图，(b)为截面曲线的有序点集示意图。

图5为本发明实施例中截面曲线向点云模型的移动过程示意图，其中，(a) 为截面曲线向目标曲面的移动过程示意图，(b)为截面曲线上的样点向目标曲面 的垂足投影过程的示意图。

图6为本发明实施例中构造前后曲线的曲率对比的示意图。

图7为本发明实施例中构造前后曲线到点云模型的误差对比示意图，其中， (a)为曲线构造前的误差示意图(平均误差0.00811mm，标准偏差0.0103mm，最 大误差0.0899mm)，(b)为曲线构造后的误差示意图(平均误差0.000375mm，标 准偏差0.000801mm，最大误差0.00930mm)。

具体实施方式

下面结合附图和具体实施例，对本发明做进一步详细介绍。下述实施例仅 是说明性的，并不构成是对本发明的限定。

本发明是一种基于序列线性规划(LP)的叶片点云模型截面曲线直接构造方 法，其针对叶片散乱点云模型，通过数学形态学建立拓扑信息，构建截面曲线 与点云模型之间的距离函数，采用序列线性规划的优化模型调整样条曲线的控 制点，实现截面曲线的有效构造，该方法具体包括以下步骤：

S1：由形态学创建散乱点云模型的三维图像，提取截面有序点集，经能量 法光顺后构建3次B样条曲线。

S2：通过控制弦高将样条曲线离散为足够多的采样点，在点云模型对应三 维图像上创建每个样点的k邻域，并采用移动最小二乘法(MLS)计算每个样点在 点云模型上的垂足。

S3：建立截面样条曲线和点云模型之间的距离函数，计算一阶微分增量， 构建序列线性规划模型，通过规划求解得到样条曲线控制点集的微分增量。

S4：将截面样条曲线的控制点集与微分增量相加得到新的控制点集，更新 样条曲线。

以下实施例针对叶片3维散乱点云模型，利用点云模型构建3维图像，创 建点云的拓扑信息，在叶片点云模型上提取截面的有序点集，采用能量法光顺 点集后得到截面的3次B样条曲线，后通过点-面距离函数，对截面型线在点云 模型上进行整体优化，使其误差达到容许范围、曲率分布合理。

本实施例中的点云优选以航空叶片曲面的三维点云来描述，一般优选指激 光扫描仪或柔性关节臂等非接触式测量获取的三维点云数据。本实施例中可以 优选通过Hexagon柔性关节臂(标定精度为0.03mm)获取叶片的海量点云数据。

本实施例中，叶片点云模型记为P，其点数为N，其表示的叶片点云曲面记 为S(P)，叶片截面所提取的3次B样条曲线记为q(w,t)，其中w为样条曲线的2 维控制点集，t表示区间范围[0,1]内的参数，每个离散的参数对应样条曲线上的 1个点。

本实施例的方法具体包括以下步骤：

1.叶片点云模型2维图像的构建

由叶片点云模型选取X、Y和Z方向最大和最小坐标值，构建包围盒，其对 角点各为(x_min,y_min,z_min)和(x_max,y_max,z_max)，由边长l_g实现栅格化，使每个栅格仅含1～2 点(采用二分法得到合适的栅格边长l_g)。将含点的栅格标记为1，空栅格标记为0， 由此形成一幅三维图像F₀，如图1(a)所示。对封闭曲面点云模型，采用下述方法 构建封闭图像F(参考文献：莫堃.基于隐式函数的曲面重构方法及其应用：[博 士学位论文].武汉：华中科技大学图书馆，2010.)：

(1)膨胀，构建封闭包围带，采用R＝3球形结构元(如图1(e)所示)进行膨胀， 膨胀后的图像如图1(b)所示。

(2)填充，由扩散操作完成内部填充，构建封闭三维图像，若未填充，则重 复步骤(1)至构建封闭的包围带从而实现填充，如图1(c)所示。

(3)腐蚀，还原图像原来的边界轮廓，结构元与膨胀采用的结构元相同，且 腐蚀的次数必须与膨胀次数相同，腐蚀后的图像如图1(d)所示。

2.叶片点云拓扑信息的创建

建立三维图像后，可创建一致性法矢和k邻域。

(1)一致性法矢

经膨胀、填充和腐蚀处理的图像F为不可微的跃阶函数，通过高斯滤波因 子将其边缘模糊化，光顺三维图像。由此求取梯度场获得单位法矢为(参考 文献：莫堃.基于隐式函数的曲面重构方法及其应用：[博士学位论文].武汉：华 中科技大学图书馆，2010.)：

$v=▿\Phi /\left|\right|▿\Phi {\left|\right|}_2---\left(1\right)$

由此，通过插值可获取点云P各点p的单位法矢v。

(2)邻域创建

如图2所示，对点p，在未经处理的原始三维图像F₀(非空栅格含1～2个点) 中确定其所在的栅格g，则创建点p的k邻域步骤为：

(a)以栅格g为中心，通过R＝3的球形结构元获取邻近点集，若点数超过k， 则转到步骤(c)，否则继续执行下一步；

(b)在(R,R+1]的结构元中继续获取相关点集，直至点数超过k；

(c)选择(欧氏)距离最近k个点作为点p的邻域。

(3)垂足投影

在点云P构建的三维图像上创建点q的邻域，采用移动最小二乘法(MLS)计 算q在点云P上的垂足q^⊥。

3.叶片截面有序点集的提取

对叶片点云上一组散乱截面点云(图3(a)，在截平面上)，由截平面转换为二 维图像，如图3(b)所示，通过二维形态学操作提取有序边界环。对于截面型线构 建而成的图像，可采用图3(c)所示的“十”字结构元B₊来提取有序边界环，先 对图像F由结构元B₊进行腐蚀，进而对腐蚀前后图像进行减操作提取有序边界 环：

$L_E=F-\left(\mathrm{F\Theta }{B}_{+}\right)---\left(2\right)$

事实上，L_E为截面型线的有序点集L(x,y)，如图4(a)所示，其首尾相连可得 完整的型线，如图4(b)所示。对型线点集采用能量法进行光顺(参考文献：朱心 雄.自由曲线曲面造型技术.北京：科学出版社，2000.第15章能量优化法曲线 曲面造型)。

4.截面曲线样点到点云模型的距离函数

对R²中的点列q₁,q₂,…,q_n和相应的实数序列t₁<t₂<…<t_n，构建3次B样条曲 线q(t)，即q(t_i)＝q_i。3次B样条曲线可表示为其中N_i,3(t)为B样 条曲线的基函数，{b_i,i＝0,1,2,…,l}为控制点。该型面曲线q(t)并没有严格在点云P 对应曲面S(P)上，而是存在一定的偏差，后续通过调整控制点使曲线限制在点云 模型P上。令当控制点w也发生变化时，3次B样条曲 线q(t)是关于控制点w和参数t的曲线q(w,t)。

若S(P)表示点云P的曲面模型，对q(w,t)上任意一点q，计算点q在点云P上 的垂足投影点q^⊥∈S(P)，则点q到点云模型P的有向距离函数

$d_{q,P}=\underset{p\in S\left(P\right)}{\min }\left|\right|q-p{\left|\right|}_2=\left|\right|q-q^{\perp }{\left|\right|}_2---\left(3\right)$

对于点q，d_q,P是关于控制点集w的距离函数。故当d_q,P＝0时，曲线将限制 在点云模型P上。如图5(a)所示，曲面S(P)若能参数化，其u向曲率变化较大， 而v向变化比较平缓(叶片曲面符合该要求)，由此认为点q及其在点云模型的投 影q^⊥近似都在截平面上。如图5(b)所示，当控制点发生微分扰动Δw时，点q(w) 变为q(w+Δw)时，且v向变化比较平缓时，变化前后两点的垂足投影都可认为q^⊥。 则当w变为w+Δw时，假设点q沿着垂足投影方向向点云模型P靠近，其垂足投 影点不改变，仍为q^⊥∈S(P)，则

d_q,P(w+Δw)＝‖q(w+Δw)-q^⊥‖₂     (4)

将上式右端在w处做一阶泰勒展开有

$d_{q,P}(w+\mathrm{\Delta w})\approx \left|\right|q\left(w\right)-q^{\perp }{\left|\right|}_2+\underset{j=1}{\overset{m}{\Sigma }}\frac{q_{w_j}\left(w\right)·[q\left(w\right)-q^{\perp }]}{\left|\right|q\left(w\right)-q^{\perp }{\left|\right|}_2}\Delta w_j---\left(5\right)$

其中，m＝2(l+1)，(w)表示对j个控制变量w_j求一阶导。则有

$d_{q,P}(w+\mathrm{\Delta w})\approx d_{q,P}\left(w\right)+\underset{j=1}{\overset{m}{\Sigma }}\frac{q_{w_j}\left(w\right)·[q\left(w\right)-q^{\perp }]}{\left|\right|q\left(w\right)-q^{\perp }{\left|\right|}_2}\Delta w_j---\left(6\right)$

5.点云模型截面曲线的序列线性优化

通过控制弦高将样条曲线q(t)离散为N个点q_i(i＝1,2,…,N)，每个样点q_i到点 云模型P的距离为d_qi,P(w)，将其限制在误差容许范围ξ内，即|d_qi,P(w)|≤ξ，故需 调整合适的控制点集w使误差容许值ξ达到最小，由此形成优化参数组 (w,ξ)∈R^2(l+1)+1，则在点云模型P上生成截面型线q(t)的整体优化模型为

$\left(\begin{array}{c}\underset{(w,\xi )\in R^{2(l+1)+1}}{\min }\xi \\ s.t.\left|d_{\mathrm{qi},P}\left(w\right)\right|\le \xi ,i<\mathrm{1,2},...,N\end{array}\right)---\left(7\right)$

其中，s.t.表示优化的约束条件。

设(w,ξ)为当前可行解，其附近的可行解为(w+Δw,ξ+Δξ)，根据d_qi,P(w)的一 阶微分向量，可将优化的约束条件转换为

$\left(\begin{array}{c}{d}_{q,P}\left(w\right)+\underset{j=1}{\overset{m}{\Sigma }}\frac{q_{w_j}\left(w\right)·[q\left(w\right)-q^{\perp }]}{\left|\right|q\left(w\right)-q^{\perp }{\left|\right|}_2}\Delta w_j\le \xi +\mathrm{\Delta \xi }\\ d_{q,P}\left(w\right)+\underset{j=1}{\overset{m}{\Sigma }}\frac{q_{w_j}\left(w\right)·[q\left(w\right)-q^{\perp }]}{\left|\right|q\left(w\right)-q^{\perp }{\left|\right|}_2}\Delta w_j\ge -\xi -\mathrm{\Delta \xi }\end{array}\right)i=\mathrm{1,2},...,N---\left(8\right)$

于是，优化的目标转化为使Δξ取最小值，尽可能取最小的负值，由此得到 相应的序列线性(LP)规划问题，即

$\underset{(\mathrm{\Delta w},\mathrm{\Delta \xi })\in R^{m+1}}{\min }\mathrm{\Delta \xi }$

$s.t.\left(\begin{array}{c}{d}_{q,P}\left(w\right)+\underset{j=1}{\overset{m}{\Sigma }}\frac{q_{w_j}\left(w\right)·[q\left(w\right)-q^{\perp }]}{\left|\right|q\left(w\right)-q^{\perp }{\left|\right|}_2}\Delta w_j\le \xi +\mathrm{\Delta \xi }\\ d_{q,P}\left(w\right)+\underset{j=1}{\overset{m}{\Sigma }}\frac{q_{w_j}\left(w\right)·[q\left(w\right)-q^{\perp }]}{\left|\right|q\left(w\right)-q^{\perp }{\left|\right|}_2}\Delta w_j\ge -\xi -\mathrm{\Delta \xi }\end{array}\right)i=\mathrm{1,2},...,N---\left(9\right)$

通过上述序列线性优化问题的求解，可以获得截面样条曲线最佳控制点集， 以降低截面曲线到点云模型之间的误差。

但上述序列线性优化模型需提供合适的初始解(Δw⁰,Δξ⁰)以及初始误差ξ⁰， 可采用非线性最小二乘模型：

$\underset{w\in R^{2(l+1)}}{\min }\underset{i=1}{\overset{N}{\Sigma }}[d_{\mathrm{qi},P}\left(w\right){]}^2---\left(10\right)$

上述非线性优化问题可转化为线性最小二乘优化模型：

$\underset{\mathrm{\Delta w}\in R^m}{\min }\underset{i=1}{\overset{N}{\Sigma }}[d_{\mathrm{qi},P}\left(w\right)+\underset{j=1}{\overset{m}{\Sigma }}\frac{q_{w_j}\left(w\right)·[q\left(w\right)-q^{\perp }]}{\left|\right|q\left(w\right)-q^{\perp }{\left|\right|}_2}\Delta w_j{]}^2---\left(11\right)$

考虑对控制点偏移量的约束，引入约束系数λ，则最终求取初始解(Δw⁰,Δξ⁰) 及初始误差ξ⁰的优化模型为：

$\underset{\mathrm{\Delta w}\in R^m}{\min }\underset{i=1}{\overset{N}{\Sigma }}[d_{\mathrm{qi},P}\left(w\right)+\underset{j=1}{\overset{m}{\Sigma }}\frac{q_{w_j}\left(w\right)·[q\left(w\right)-q^{\perp }]}{\left|\right|q\left(w\right)-q^{\perp }{\left|\right|}_2}\Delta w_j{]}^2+\lambda \underset{j=1}{\overset{m}{\Sigma }}\Delta w_j^2---\left(12\right)$

其中，约束系数λ为正数，后续实施例中取λ＝4。

通过控制弦高将初始样条曲线q(t)离散为N个点q_i(i＝1,2,…,N)，采用式(12) 计算得到Δw⁰，由新控制点集w+Δw⁰更新曲线q(t)，计算新曲线q(t)到点云模型P 的最大误差，作为初始误差ξ⁰，并使Δξ⁰＝0，由此可得到序列线性优化模型(即 式(9))的初始解。

根据上述优化模型，在点云模型P上生成截面型线q(t)的主要步骤为：

(1)由形态学得到的有序点集经能量法光顺后构建3次B样条曲线。

(2)由式(12)计算初始(Δw⁰,Δξ⁰)和ξ⁰，更新样条曲线q(t)。

(3)通过控制弦高将样条曲线q(t)离散为N个点q_i(i＝1,2,…,N)，在点云P构建 的三维图像上创建点q_i的邻域，并采用移动最小二乘法(MLS)计算q_i在点云P上 的垂足。

(4)利用式(9)优化得到控制点的偏移量Δw。

(5)通过新的控制点w+Δw得到新的曲线q(t)。

(6)重复步骤(3)～(5)，直至满足预定的容差。

针对上述提出的优化方法，通过一定厚度([-0.25,0.25])的截平面获取的点集 直接构建的型线称为原始型线，将该型线在叶片点云模型上重新构造的曲线称 为构造曲线。叶片型线中，叶背和前后缘曲率方向指向内部，为负，叶盆曲率 方向指向外部，为正。图6为构造前后曲线的曲率对比，其中构造前的曲线指 通过一定厚度的截平面截取散乱点集并排序后直接构造的样条曲线，构造后的 曲线指通过本文方法构造的截面样条曲线。由图6可知，原始曲线的曲率变化 剧烈，无法区分叶盆、叶背和前后缘，而构造型线的曲率变化符合截面型线的 曲率变化规律。由图7(a)(b)对比知，构造型线相对于叶片点云模型的平均误差 由0.00811mm降低为0.000375mm，叶缘的误差也由0.0899mm降低为 0.00930mm。