数字全息成像系统及全息影像的数值重建方法

摘要

本发明提供一种数字全息成像系统及全息影像的数值重建方法，用以拍摄目标物，并以全息影像资料储存，所述系统包含：讯号光，其由光源照射该目标物后而形成；影像侦测器，用以记录该讯号光的干涉条纹；以及导光管，设置在该讯号光的光路上以及该目标物与该影像侦测器之间，其中该导光管具有反射面，部份之讯号光经由该导光管之反射面反射后进到该影像侦测器。本发明能够使撷取信号等效为数倍影像侦测器的画素总数，故能突破空间频宽的局限，並缩短全息影像的量测时间。

说明书

技术领域

本发明涉及一种全息摄影技术，尤指一种数字全息成像系统及全息影像 的数值重建方法。

背景技术

全息摄影术（holography）是一种三维立体影像的再现技术，其不同于一 般摄影只储存了亮度资料，全息摄影储存了亮度（intensity）和相（phase） 的资料，当以适当光源照射全息片（hologram）进行影像重建（reconstruct） 时，可将真实般的三维立体影像重现于原记录位置。

一般来说，全息摄影是将雷射发射的光束，通过分光镜（beam splitter） 分成两道光束，一束作为参考光束，另一束照射目标物，目标物经此光束照 射后形成散射，物体光与参考光束相互干涉形成明暗干涉条纹，并由底片记 录下来。

数字全息摄影术（digital holography）是一种通过电荷耦合元件 （charge-coupled device，CCD）获取并处理全息干涉资料的技术，经过对量 测而得的资料进行数值重建（numerical reconstruction），典型的数字全息摄影 能够建立物体的三维表面或是其深度资讯。

然而，现行的数字全息摄影技术中，不论是采用何种架构，最终的数值 计算都会受到空间频宽的限制（spatial bandwidth limit），以下列公式来作说 明：

A×B<f(N)               (1)

其中A为可视区域（field ofview， FOV），B为解析度之倒数B=1/u，u为解析 度，N为影像侦测器（image detector）的画素总数。也就是说，影像侦测器， 如CCD，可记录的影像资料是有限的。为了突破空间频宽的限制，现有一种 孔径综合（aperture synthesis）的技术，其通过平移影像侦测器，使其进行二 维扫描，以等效成更高画素总数，此一方式聪明的解决了影像侦测器的画素 限制，然而对影像侦测器进行平移会增加系统复杂度并大幅拉长量测时间， 在实际运用上有其难度。

发明内容

本发明之目的在于提供一种数字全息成像系统及全息影像的数值重建方 法，以缩短全息影像的量测时间，简化系统复杂度，同时提升重建影像的品 质。

为达成上述目的，本发明提供一种数字全息成像系统，用以拍摄目标物， 并以全息影像资料储存，所述系统包含：讯号光，其由光源照射该目标物后 而形成；影像侦测器，用以记录该讯号光的干涉条纹；以及导光管，设置在 该讯号光的光路上以及该目标物与该影像侦测器之间，其中该导光管具有反 射面，部份之讯号光经由该导光管之反射面反射后进到该影像侦测器。

本发明另一方面提供一种全息影像的数值重建方法，适用于拍摄的目标 物与影像侦测器之间设置有导光管的光学架构，所述方法包含步骤：利用影 像侦测器撷取目标物的干涉影像；将该干涉影像转换为数据矩阵；沿该数据 矩阵的多个边进行多次镜射，以扩张成一新的数据矩阵；以及对该新的数据 矩阵进行数值重建，以获得该目标物所在平面之场分布。

本发明所提出的数字全息成像系统在讯号光的光路上、目标物与影像侦 测器之间设置有导光管，该导光管具有反射面或全反射面，能够用来收集大 角度的讯号光。配合本发明所提出的全息影像的数值重建方法，能够使所撷 取的信号等效为数倍影像侦测器的画素总数，故能突破空间频宽的局限。相 较于现有的孔径综合的技术，本发明可缩短全息影像的量测时间，简化系统 复杂度，同时能够提升重建影像的品质。

附图说明

图1A显示本发明之数字全息成像系统的架构示意图。

图1B显示本发明之数字全息成像系统的另一架构示意图。

图2A显示本发明第一实施例之数字全息成像系统的示意图。

图2B显示本发明第二实施例之数字全息成像系统的示意图。

图2C显示本发明第三实施例之数字全息成像系统的示意图。

图2D显示本发明第四实施例之数字全息成像系统的示意图。

图2E显示本发明第五实施例之数字全息成像系统的示意图。

图2F显示本发明第六实施例之数字全息成像系统的示意图。

图3A显示本发明第七实施例之数字全息成像系统的示意图。

图3B显示本发明第八实施例之数字全息成像系统的示意图。

图3C显示本发明第九实施例之数字全息成像系统的示意图。

图4A显示本发明第十实施例之数字全息成像系统的示意图。

图4B显示本发明第十一实施例之数字全息成像系统的示意图。

图4C显示本发明第十二实施例之数字全息成像系统的示意图。

图4D显示本发明第十三实施例之数字全息成像系统的示意图。

图4E显示本发明第十四实施例之数字全息成像系统的示意图。

图4F显示本发明第十五实施例之数字全息成像系统的示意图。

图4G显示本发明第十六实施例之数字全息成像系统的示意图。

图4H显示本发明第十七实施例之数字全息成像系统的示意图。

图4I显示本发明第十八实施例之数字全息成像系统的示意图。

图4J显示本发明第十九实施例之数字全息成像系统的示意图。

图4K显示本发明第二十实施例之数字全息成像系统的示意图。

图5A至图5D显示依本发明实现的实施例中导光管之侧壁为倾斜的示意 图。

图6显示本发明之全息影像的数值重建方法的流程示意图。

图7显示根据本发明实施例实现的数字全息成像系统的示意图。

图8A至图8F显示本发明之全息影像数值重建方法中对数据矩阵进行扩 张的示意图。

具体实施方式

本发明提出一种数字全息成像系统，在讯号光路上加入导光管（light  pipe），利用在讯号光的光路上，目标物（即欲拍摄的物体）至影像感测器（如 CCD、CMOS）之间加上导光管，藉由导光管之反射面来搜集大角度的讯号 光，并在后续进行数值重建时，藉由影像矩阵的复制来克服影像感测器的画 素限制，突破了空间频宽（spatial bandwidth）的局限，大幅增进重建影像的 品质。

请参阅图1A及图1B，其显示本发明之数字全息成像系统的架构示意图。 本发明的数字全息成像系统包含讯号光11，其由光源照射目标物后而形成； 影像侦测器16，用以记录该讯号光11的干涉条纹；以及导光管14，设置在 讯号光11的光路上，目标物与影像侦测器16之间，其中导光管14具有反射 面，部份之讯号光经由该导光管14之反射面反射后进到影像侦测器16。该 导光管14之反射面用来收集大角度的讯号光，这相当于在导光管14之反射 面的镜像位置上亦设置了影像侦测器16，如此等效提升了影像侦测器16的 画素总数。

在图1A中，形成讯号光11的光源与照射目标物的光源是同一光源，讯 号光11是与该光源发出的光线相互干涉而产生干涉条纹。此外，如图1B所 示，影像侦测器16是记录讯号光11与参考光12相互干涉而产生的干涉条纹， 可以使用同一光源经过分光镜（beam splitter,BS）分成两道光束，其中一道 光束作为参考光12，另一道光束照射目标物后形成讯号光11。在具体实施方 式上，该光源可为发光二极体（light emitted diode,LED）光源或雷射（laser） 光源。当光源为雷射光源时亦可加入波长调控元件（如，声光调制器），使其 中一道光束或两道光束产生波长偏移，以发挥外插干涉仪（hetero interferometer）的功用。

导光管14可以两种方式来实现，其一是导光管14之侧面镀有反射膜； 其二是导光管14为实心，利用介面之全反射将光反射，而不需镀上反射膜。 导光管14之横向切面最佳为矩形，也可以是三角形、四边形、五边形、六边 形或其它多边形。

本发明所提出的数字全息成像系统在讯号光11的光路上、目标物与影像 侦测器1 6之间设置有导光管14，该导光管14具有反射面或全反射面，能够 用来收集大角度的讯号光，在后续进行数值重建时，所撷取的信号可等效於 数倍影像侦测器16的画素总数，故能突破空间频宽的局限。相较于现有的孔 径综合（aperture synthesis）的技术，本发明可缩短全息影像的量测时间，简 化系统复杂度，同时能够提升重建影像的品质。

图2A显示本发明第一实施例之数字全息成像系统的示意图。在本发明 第一实施例中，使用近似球面波112之光源照射目标物15，球面波光源与目 标物15在同一条光轴上，来自目标物15的绕射光与球面波112彼此干涉， 影像侦测器16记录干涉讯号，目标物15与影像侦测器16之间设置有导光管 14，导光管14之侧壁具有反射面或全反射面，可用来收集大角度的干涉讯号。

图2B显示本发明第二实施例之数字全息成像系统的示意图。本发明第二 实施例与第一实施例的差异在于：在第二实施例中，球面波光源偏离了光轴， 也就是说球面波光源与目标物15不在同一条光轴上，如此可解决球面波光源 与目标物15在同一条光轴上容易产生较大杂讯的问题。

图2C显示本发明第三实施例之数字全息成像系统的示意图。本发明第三 实施例与第一实施例和第二实施例的差异在于：在第三实施例中，球面波光 源与目标物15都设置在平行于影像侦测器16之表面的平面上，并另外引入 另一道光束照射目标物15，球面波112则作为参考光，为了能够产生干涉条 纹，此一照射目标物之光束通常与参考光产生自同一雷射光源，本发明第三 实施例可降低杂讯的产生。

图2D、图2E和图2F分别显示本发明第四实施例、第五实施例和第六实 施例之数字全息成像系统的示意图。图2D、图2E和图2F所示的实施例分别 是将图2A、图2B和图2C中的球面波112替换为平面波114。也就是说，除 了使用球面波光源照射目标物15之外，本发明亦可使用平面波或斜打平面波 照射目标物15，而其他波前之光源亦适用之。此外，在图2F所示的第六实 施例中，是以平面波114作为参考光，并另外引入另一道光束照射目标物1 5， 此一照射目标物之光束通常与参考光产生自同一雷射光源。

图3A、图3B和图3C分别显示本发明第七实施例、第八实施例和第九 实施例之数字全息成像系统的示意图。在图3A、图3B和图3C所示的数字 全息成像系统中都具有一光学元件，即分光镜17，分光镜17能够将讯号光 与参考光同时导引至影像侦测器1 6进行干涉，光源照射目标物1 5后形成的 光称作讯号光，由同一光源经分光镜17导引而来之另一道光称做参考光，其 用以与讯号光进行干涉，此一参考光可以是平面波（如图3A所示的第七实 施例）、斜打平面波（如图3B所示的第八实施例）、球面波（如图3C所示的 第九实施例）或其他类型之波形，此一照射目标物之光束通常与参考光产生 自同一雷射光源。

图4A至图4F分别显示本发明第十实施例至第十五实施例之数字全息成 像系统的示意图。图4A至图4F所示的实施例分别是在图2A至图2F所示的 实施例中，在讯号光的光路上设置透镜18或透镜组，以调整讯号光场的分布。

图4G和图4H分别显示本发明第十六实施例和第十七实施例之数字全息 成像系统的示意图。本发明图4G所示的第十六实施例与图3A的差异在于： 在此实施例中，在讯号光的光路上，目标物15与分光镜17之间设置了透镜 18或透镜组，以调整讯号光场的分布。本发明图4H所示的第十七实施例与 图3A的差异在于：在此实施例中，在讯号光的光路上，分光镜1 7与影像侦 测器16之间设置了透镜18或透镜组，以调整干涉条纹的分布。

图4I至图4K分别显示本发明第十八实施例至第二十实施例之数字全息 成像系统的示意图。图4I所示的实施例是将图4G中的平面波1 14替换为斜 打平面波，图4J所示的实施例是将图4H中的平面波114替换为斜打平面波， 而图4K所示的实施例是将图4H中的平面波114替换为球面波。

图5A至图5D显示依本发明实现的实施例中导光管之侧壁为倾斜的示意 图。与本发明图1A和图1B所示之导光管14侧壁垂直与影像侦测器1 6平面 的例子相较，在本发明中，导光管14之侧壁也可以设置成倾斜，如图5A至 图5D所示。较佳地，导光管14之侧壁与中垂线的夹角可为-70°至+70°之间。 此外，导光管14的横切面面积可大于或小于影像侦测器16的面积，也就是 说，导光管14的横切面面积不需与影像侦测器16的面积相同。

请参阅图6，其显示本发明之全息影像的数值重建方法的流程示意图。 本发明所提供的全息影像的数值重建方法，适用于拍摄的目标物与影像侦测 器之间设置有导光管的光学架构，所述方法包含如下步骤。

步骤S10：利用影像侦测器撷取目标物的干涉影像。

步骤S12：将该干涉影像转换为数据矩阵。

步骤S14：沿该数据矩阵的多个边进行多次镜射，以扩张成一新的数据 矩阵。

步骤S16：对该新的数据矩阵进行数值重建，以获得该目标物所在平面 之场分布。

请参阅图7，以下将以图7所示的数字全息成像系统来说明本发明所提 出的全息影像的数值重建方法。图7所示的数字全息成像系统使用点光源所 产生之发散球面波照射目标物15，参考光12亦为发散球面波，产生参考光 12之点光源位于与目标物15同一个平行于影像侦测器16之平面，导光管14 位于目标物15与影像侦测器16之间，影像侦测器16上接收到原本之讯号光 11与参考光12以及经导光管14侧壁反射之讯号光11与参考光12。

在进行全息影像的数值重建之前，可采用高动态范围拍摄技术，以获取 品质较佳的全息影像。这是因为讯号经导光管多次反射后交迭在一起，此时 为了取得影像更细致的变化，可以增加撷取影像的动态范围（dynamic range）， 以更多位元组储存影像细节。在拍摄目标物时，先对同一画面进行多次不同 时间的曝光，再将所拍摄的多张照片以高动态范围影像技术进行重组，即可 获得高动态范围的干涉影像，藉由此高动态范围的干涉影像可重建出高品质 的全息影像。

假定经上述步骤后所取得的影像如图8A所示，若导光管侧壁的倾斜角 度为0度，经由硬体将所取得的影像转换为二维数据矩阵（U₀₀）后，再以镜 射的方式将此二维数据矩阵扩大，其扩大的程度受限于导光管之镜面反射率 与影像侦测器的动态范围。而扩大的方式为不断将此数据矩阵对其中一个边 进行镜射。举例来说，将图8A所示的数据矩阵对右边镜射成图8B，将图8B 对上边镜射成图8C，将图8C对左边镜射成图8D，将图8D对下边镜射成图 8E，循着这样的方式可以将数据矩阵不断扩大，以此扩充后的数据矩阵进行 数值重建即能够突破空间频宽的限制。在此将各个新增的数据矩阵编号表达 成函数U_i，j(x,y)，如图8F所示，最后形成之数据矩阵中各新增的矩阵表示为：

U_ij(x,y)＝U₀₀((-1)ⁱx,(-1)^jy),                     (2)

若考量导光管镜面反射率（Re）所造成的影响，各新增的矩阵可修正为：

U_ij(x,y)＝U₀₀((-1)ⁱx,(-1)^jy)/Re^|i|+^|j|,                (3)

将公式(2)或公式(3)所扩展成之矩阵命名为U_mn，其为讯号光（S_mn）与参 考光（R_mn）干涉之结果，表示如下：

$U_{\mathrm{mn}}={\left|R_{\mathrm{mn}}\right|}^2+{\left|S_{\mathrm{mm}}\right|}^2+R_{\mathrm{mn}}{S}_{\mathrm{mn}}^{*}+R_{\mathrm{mn}}^{*}{S}_{\mathrm{mn}},,---\left(4\right)$

接着，对该新的数据矩阵进行数值重建，以获得该目标物所在平面之场 分布，其中除了要用来重建的讯号项以外，其它项为杂讯项。若要使用重建，则需将Umn乘上并朝正向传递至目标平面（即目标物所在平面）； 若要使用重建，则需将U_mn乘上R_mn，并反向传递至目标平面，所谓 反向传递是将传递距离乘上负1。需注意的是，R_mn为参考光经自由空间传递 至U_mn扩张矩阵范围内之参考光分布，而非U₀₀范围内之参考光分布经矩阵 扩展而成。

然而，此时在目标平面上除了有所要的讯号外还存在其他杂讯，移除这 些杂讯的方式包含相移干涉术（phase shift interferometer）、递回式演算法 （iterative algorithm)、空间滤波法（spacial filter）等，在此不再赘述。

若参考光为一个发散球面波，且目标平面与参考光之点光源位于同一平 面上，则因为球面波于影像侦测器上的分布相当于一个球面透镜之相位分布， 当目标平面与影像侦测器距离够长时，在目标平面上之场分布相当于对U_mn进行傅式转换所获得之结果，在此可使用快速傅立叶转换进行计算，以获得 目标平面上之场分布：

Target=FFT(U_mn)，                        (5)

若目标平面与参考光之点光源虽位于同一平面上，但目标物与参考光之 点光源距离过远，则可加入一个相位项以进行平移，即

$T\arg \mathrm{et}=\mathrm{FFT}\left\{U_{\mathrm{mn}}\exp \right[i2\pi (x_{\mathrm{mn}}\frac{\mathrm{\Delta x}}{{\mathrm{\lambda z}}_0}+y_{\mathrm{mn}}\frac{\mathrm{\Delta y}}{{\mathrm{\lambda z}}_0})\left]\right\},---\left(6\right)$

其中Δx及Δy分别为在x及在y方向上的平移距离，(x_mn，y_mn)为扩张后 矩阵之座标系，表示如下：

$x_{\mathrm{mn}}=t_1{B}_x-\frac{{\mathrm{mL}}_x}{2},---\left(7\right)$

$y_{\mathrm{mn}}=t_2{B}_y-\frac{{\mathrm{nL}}_y}{2},---\left(8\right)$

其中L_x与L_y分别为影像侦测器之取像范围在x与y方向上的长度，t₁代表座标矩阵中的第t₁列（column），t₂代表座标矩阵中的第t₂行（row），B_x及B_y分别为影像侦测器在x与y方向上之画素间距（pixel pitch）。

若目标平面与参考光之点光源不位于同一平面上，则计算方式较为复杂。 首先，使用R_mn或乘上U_mn，以获得S_mn矩阵，即代表讯号光之矩阵。若 使用下式：

$S_{\mathrm{mn}}=R_{\mathrm{mn}}^{*}{U}_{\mathrm{mn}},---\left(9\right)$

则要重建回目标平面之场分布所使用的传递距离为空间中之真实距离； 若使用如下公式：

S_mn＝R_mnU_mn,                          (10)

则要重建回目标平面之场分布所使用的传递距离为空间中之真实距离乘 上负1。

公式(5)-(10)所述的计算方式为特殊情况下的简化计算方式，若系统不满 足简化条件，在对扩张后新的数据矩阵进行数值重建时，通常会使用角频谱 传播来计算由任意起始平面传递至任意目标平面之光场分布，其计算方式表 达如后：

FU₁＝FET(U₀)exp(i2πz/λ(1-α²-β²)^0.5),            (11)

α＝t₁λ/L_x0,                    (12)

β＝t₂λ/L_y0,                      (13)

其中λ为光源波长，FFT为快速傅立叶转换，U₀为起始平面，U₁为目标 平面，FU₁为目标平面之频谱分布，L_x0与L_y0分别为U₀之取像范围在x与y 方向上的长度，t₁代表矩阵中的第t₁列，t₂代表矩阵中的第t₂行，z代表传递 距离。最终，以快速傅立叶反转换（IFFT）获得目标平面之场分布为：

U₁=IFFT(FU₁)。                         (14)

直接使用公式(11)至(14)计算之缺点为目标平面之解析度受限于起始平 面之解析度，若要使用U_mn获得高解析度之目标平面影像，需进行空间传递 上的估算。空间传递上的计算方式可为：(1)将起始平面进行内插扩张；(2)将 起始平面进行内插扩张再切成等分大小进行传播；(3)使用二段式菲涅耳转换 （Fresnel transform）；以及(4)使用雷利-索莫菲尔公式（Rayleigh-Sommfeld  formula）直接积分，分述如后：

（1）将起始平面进行内插扩张

将S_mn矩阵等距内插扩张为M×N倍的矩阵，目标平面的频谱（TargetF） 可由以下公式计算：

TargetF＝FFT(S_mn)exp(i2πzz₀/λ(1-α²-β²)^0.5),          (15)

α＝t₁λ/mL_x,                          (16)

β＝t₂λ/nL_y,                           (17)

其中L_x与L_y分别为影像侦测器之取像范围在x与y方向上的长度，t₁代表作标矩阵中的第t₁列，t₂代表作标矩阵中的第t₂行，z_o代表目标平面与 影像侦测器之间的距离。最终，以快速傅立叶反转换（IFFT）获得目标平面 之场分布为：

Target=IFFT(TargetF)                  (18)

（2）将起始平面进行内插扩张再切成等分大小进行传播

首先，将S_mn矩阵等距内插扩张至M×N倍，再将其在x及y方向上分成 D_x及D_y等份，表示成Sd_ij，Sd_ij（即x方向第d_i等份，y方向第d_j等份），中 心位于分别将各等份传播至目标平 面中心位置。

接着，使用角频谱传播方式计算出传递至目标平面之角频谱分布，如下：

FSd_ij＝FFT(Sd_ij)exp(i2πz₀/λ(1-α²-β²)^0.5),        (19)

考虑Sd_ij的位置，可算出Targetd_ij在目标平面中心位置的角频谱分布为：

${T\arg \mathrm{etFd}}_{\mathrm{ij}}=$

${\mathrm{FSd}}_{\mathrm{ij}}(v_x,v_y)\exp (-i2\pi (v_x{\mathrm{mL}}_x(\frac{d_i-0.5}{D_x}-\frac{1}{2})+v_y{\mathrm{nL}}_y(\frac{d_j-0.5}{D_y}-\frac{1}{2}))),---\left(20\right)$

其中(v_x，v_y)为角频谱之座标系，表示如下：

v_x＝t₁/mL_x,                           (21)

v_y＝t₂/nL_y,                          (22)

使用以上方式算出各镜射扩增矩阵传至目标平面之角频谱分布后，接着 可将各角频谱分布相加后得到目标平面之角频谱分布，如下：

$T\arg \mathrm{etF}=\underset{i=1}{\overset{D_x}{\Sigma }}\underset{j=1}{\overset{D_y}{\Sigma }}T\arg \mathrm{et}{\mathrm{Fd}}_{\mathrm{ij}},---\left(23\right)$

最后，以快速傅立叶反转换获得目标平面之场分布，同公式(18)之计算方 式，表示如下：

Target=IFFT(TargetF)。                   (24)

（3）二段式Fresnel Transform

当目标平面与影像侦测器距离够长时可使用Fresnel Transform计算目标 平面之场分布，S_mn中各元素对应之空间座标为：

$x_{\mathrm{mn}}=t_1{B}_x-\frac{{\mathrm{mL}}_x}{2},---\left(25\right)$

$y_{\mathrm{mn}}=t_2{B}_y-\frac{{\mathrm{nL}}_y}{2},---\left(26\right)$

其中t₁代表座标矩阵中的第t₁列，t₂代表座标矩阵中的第t₂行，其中B_x及B_y分别为影像侦测器在x与y方向上之画素间距。

二段式Fresnel Transform中第一段传递以Fresnel Transform传递至中介 平面，此中介平面与S_mn相距z_a，与物相距z_b，最终目标平面上的解析度放 大率为z_b与z_a的比值，故由总距离z_o及目标放大率（Mag），可以算出：

$z_a=\frac{z_0}{1+\mathrm{Mag}},---\left(27\right)$

$z_b=\frac{\mathrm{Mag}·z_0}{1+\mathrm{Mag}},---\left(28\right)$

此时，传递至中介平面上之场分布S_mid可由以下方式算出：

$S_{\mathrm{mid}}=\mathrm{FFT}\left[S_{\mathrm{mn}}\exp \left(\frac{\mathrm{\pi i}}{\lambda }\frac{x_{\mathrm{mn}}^2+y_{\mathrm{mn}}^2}{z_a}\right)\right]\exp \left(\frac{\mathrm{\pi i}}{\lambda }\frac{x_{\mathrm{mid}}^2+y_{\mathrm{mid}}^2}{z_a}\right),---\left(29\right)$

其中(x_mid，y_mid)为中介平面之座标系，表示如下：

$x_{\mathrm{mid}}=\frac{t_1{\mathrm{\lambda z}}_a}{{\mathrm{mL}}_x}-\frac{{\mathrm{\lambda z}}_a}{{2B}_x},---\left(30\right)$

$y_{\mathrm{mid}}=\frac{t_2{\mathrm{\lambda z}}_a}{{\mathrm{nL}}_y}-\frac{{\mathrm{\lambda z}}_a}{{2B}_y},---\left(31\right)$

二段式Fresnel Transform中第二段传递是由中介平面传递至目标平面， 目标平面之场分布表示如下：

$T\arg \mathrm{et}=\mathrm{FFT}\left(S_{\mathrm{mid}}\exp \left(\frac{\mathrm{\pi i}}{\lambda }\frac{x_{\mathrm{mid}}^2+y_{\mathrm{mid}}^2}{z_b}\right)\right)\exp \left(\frac{\mathrm{\pi i}}{\lambda }\frac{{\xi }^2+{\eta }^2}{z_b}\right),---\left(32\right)$

其中(ξ,η)为目标平面之座标系，藉由调整z_a与z_b的比例可以调整影像 之解析度，表示如下：

$\xi =\frac{z_b}{z_a}{x}_{\mathrm{mn}},---\left(33\right)$

（4）使用Rayleigh-Sommfeld直接积分

使用Rayleigh-Sommfeld Diffracion Theory，其中Smn中各元素对应之空间 座标如下：

$x_{\mathrm{mn}}=t_1{B}_x-\frac{{\mathrm{mL}}_x}{2},---\left(35\right)$

z_mn＝0,                        (37)

令目标平面之座标为(ξ,η,z_o)，则可获得目标平面与S_mn中各画素的距离 r为

$r=\sqrt{{(x_{\mathrm{mn}}-\xi )}^2+{(y_{\mathrm{mn}}-\eta )}^2+{(z_{\mathrm{mn}}-z_0)}^2},---\left(38\right)$

将上式代入Rayleigh-Sommfeld Diffracion Theory进行积分，得到目标平 面之场分布为：

$T\arg \mathrm{et}={\int \int S}_{\mathrm{mn}}\frac{\exp \left(\mathrm{jkr}\right)}{r}\frac{z_0}{r}{\mathrm{dx}}_{\mathrm{mn}}{\mathrm{dy}}_{\mathrm{mn}}---\left(39\right)$

当导光管侧壁的倾斜角度θ（即与中垂线的夹角）等于0度时（如图1A 和图1B所示），扩增之矩阵U_ij与原始的数据矩阵U₀₀位于空间中同一平面 上。若导光管侧壁的倾斜角度θ不等于0度（如图5A至图5D所示），虽可 用镜射的方式将此数据矩阵扩大，但其扩增之矩阵U_ij不会与原始的数据矩阵 U₀₀位在空间中同一平面上，此时镜射扩增之矩阵U_ij必须在空间中旋转2θ角 度。

由于镜射扩增之矩阵U_ij与原矩阵U₀₀不在同一个平面上，无法以前述之 方式推算出目标平面之电场分布，因此在空间传递上的计算方式需使用以下 两种解决方式：(1)Rayleigh-Sommfeld直接积分；以及(2)在自由空间中彼此 旋转与位移平面间之光传播之快速傅立叶转换解法。

（1）Rayleigh-Sommfeld直接积分

使用Rayleigh-Sommfeld Diffracion Theory计算出各Target_ij，再将其彼此 相加，以Target₁₀为例，U₁₀上的各元素对应之空间座标如下：

$x_{10}=t_1{B}_x\cos \left(2\theta \right)+\frac{L_x}{2},---\left(40\right)$

$y_{10}=t_2{B}_y-\frac{L_y}{2},---\left(41\right)$

z₁₀＝t₁B_xsin(2θ),                   (42)

其中t₁代表座标矩阵中的第t₁列，t₂代表座标矩阵中的第t₂行，其中B_x及B_y分别为影像侦测器在x与y方向上之画素间距。以此空间座标，可计算 出传递至此位置之参考光R₁₀，接着使用参考光之共轭光乘上U₁₀，获得 S₁₀矩阵，表示如下：

$S_{10}=R_{10}^{*}{U}_{10}---\left(43\right)$

垂直于S₁₀矩阵平面之单位向量为：

$\overrightarrow{n}=(-\sin \left(2\theta \right),0,\cos \left(2\theta \right)),---\left(44\right)$

假设目标平面之座标为(ξ,η,z_o)，S₁₀中各元素指向目标平面特定点之向量 为：

$\overrightarrow{r_{10}}=(\xi -x_{10},\eta -y_{10},z_0-z_{10}),---\left(45\right)$

目标平面与S₁₀中各元素的距离r₀₁₀为|r₀₁₀|，则将S₁₀带入 Rayleigh-Sommfeld Diffracion Theory可算出其所对应的Target₁₀，如下：

${T\arg \mathrm{et}}_{10}=\int \int \int S_{10}\frac{\exp \left({\mathrm{jkr}}_{10}\right)}{r_{10}}\frac{\overrightarrow{r_{10}}·\overrightarrow{n}}{r_{10}\left|n\right|}{\mathrm{dx}}_{10}{\mathrm{dy}}_{10}{\mathrm{dz}}_{10},$

$={\int \int S}_{10}\frac{\exp \left({\mathrm{jkr}}_{10}\right)}{r_{10}}\frac{\overrightarrow{r_{10}}·\overrightarrow{n}}{r_{10}\left|n\right|}{\mathrm{dX}}_{10}{\mathrm{dY}}_{10}$                        

以相同方式算出各矩阵S_ij所对应之目标平面场分布（Target_ij）后，再将 各种算法所得到的场分布加在一起，即可得到目标平面之场分布，如下：

$T\arg \mathrm{et}=\underset{i=0}{\overset{m}{\Sigma }}\underset{j=0}{\overset{n}{\Sigma }}{T\arg \mathrm{et}}_{\mathrm{ij}},---\left(47\right)$

上述计算方式之速度取决于目标平面之取样点数，当取样点数过多时，

电脑计算速度将会降低，改良方式之一是使用算出S_mn的任一种方式推算出 S₀₀对应的Target₀₀，再使用Rayleigh-Sommfeld Diffracion Theory算出Target₀₀以外的Target_ij，再将其彼此加起来。

（2）在自由空间中彼此旋转与位移平面间之光传播之快速傅立叶转换解 法

首先，使用角频谱传播方式算出传递至目标平面之角频谱分布，如下：

FS₁₀＝FFT(S₁₀)exp(i2πz₁₀/λ(1-α²-β²)^0.5),          (48)

其中传递距离为：

$z_{10}=(\frac{z_0}{\cos \left(2\theta \right)}-\frac{L_x\tan \left(2\theta \right)}{2}),---\left(49\right)$

接着，使用座标旋转矩阵将角谱进行座标转换，如下：

$\left(\begin{array}{c}{v}_{x0}^{\prime }\\ v_{y0}^{\prime }\\ v_{z0}^{\prime }\end{array}\right)={\mathrm{Rot}}_{10}\left(\begin{array}{c}{v}_x\\ v_y\\ v_z\end{array}\right),---\left(50\right)$

其中旋转矩阵为：

${\mathrm{Rot}}_{10}=\left(\begin{array}{ccc}\cos 2\theta & 0& -\sin 2\theta \\ 0& 1& 0\\ \sin 2\theta & 0& \cos 2\theta \end{array}\right),---\left(51\right)$

将原角谱座标中的场分布FS₁₀(v_x,v_y,v_z)映射（mapping）至新座标中的 场分布RFS₁₀(v_x0’,v_y0’,v_z0’)，其中若发生v_z0’小于零或v_z0’存在虚部，即

v_z0’<0，                     (52)

Im[v_z0’]≠0，                   (53)

则令其所对应的场分布为零。接着，将转换后的角谱分布以内插方式映 射至等距分布之角谱座标中得到新的RFS₁₀(v_x’,v_y’，v_z’)。

接着，将频谱分布之中心位移至目标平面的中心，位移量为：

${\mathrm{\Delta \xi }}_{10}=\frac{L_x\cos \left(2\theta \right)}{2}+L_x-\tan \left(2\theta \right)[z_0-\frac{L_x\sin \left(2\theta \right)}{2}],---\left(54\right)$

可算出Target₁₀的频谱分布为：

TargetF₁₀＝RSF(v′_x，v′_y,v′_z)exp(-i2πv′_xΔξ₁₀)，       (55)

使用以上方式算出各镜射扩增矩阵传至目标物平面之角频谱分布后，再 将各角频谱分布相加后得到物之角频谱分布，如下：

$T\arg \mathrm{etF}=\underset{i=0}{\overset{m}{\Sigma }}\underset{j=0}{\overset{n}{\Sigma }}{T\arg \mathrm{etF}}_{\mathrm{ij}},---\left(56\right)$

最后，以快速傅立叶反转换获得目标平面之场分布，如下：

Target=IFFT(TargetF)。                 (57)

综上所述，虽然本发明已用较佳实施例揭露如上，然其并非用以限定本 发明，本发明所属技术领域中具有通常知识者，在不脱离本发明之精神和范 围内，当可作各种之更动与润饰，因此本发明之保护范围当视后附之申请专 利范围所界定者为准。